Bài 1 · 3.1★★Trang 32— Tính giá trị biểu thức lượng giác của các góc từ 0∘ đến 180∘
Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A=sin45∘+2sin60∘+tan120∘+cos135∘; b) B=tan45∘⋅cot135∘−sin30∘⋅cos120∘−sin60∘⋅cos150∘; c) C=cos25∘+cos225∘+cos245∘+cos265∘+cos285∘; d) D=12cos273∘−4tan75∘⋅cot105∘+12sin2107∘−2tan40∘⋅cos60∘⋅tan50∘; e) E=4tan32∘⋅cos60∘⋅cot148∘+1+tan218∘5cot2108∘+5sin272∘.
Kiến thức cần nhớ
Hai góc bù nhau: sin(180∘−α)=sinα, cos(180∘−α)=−cosα, tan(180∘−α)=−tanα, cot(180∘−α)=−cotα.
Hai góc phụ nhau: sin(90∘−α)=cosα, cos(90∘−α)=sinα, tan(90∘−α)=cotα.
sin2α+cos2α=1 với mọi góc α từ 0∘ đến 180∘.
1+tan2α=cos2α1 khi cosα=0, và tanα⋅cotα=1 khi cả hai đều xác định.
Bảng góc đặc biệt: sin30∘=21, sin45∘=cos45∘=22, sin60∘=cos30∘=23, cos60∘=21, tan45∘=cot45∘=1.
🧠 Phân tích tư duy
Năm biểu thức đều chỉ chứa giá trị lượng giác của những góc cụ thể, nên việc đầu tiên là soi xem góc nào tra được ngay từ bảng góc đặc biệt và góc nào buộc phải hạ về góc nhọn trước. Hai ý a) và b) chỉ dùng các góc 30∘, 45∘, 60∘ cùng góc bù của chúng, còn ba ý c), d), e) lại có những góc lẻ như 5∘, 73∘, 32∘ không tra bảng được — đó chính là tín hiệu phải ghép cặp theo quan hệ bù nhau hoặc phụ nhau chứ không phải bấm máy. Bẫy lớn nhất là dấu: cos, tan, cot của góc tù đều âm, riêng sin vẫn dương, quên điều đó là sai ngay dòng đầu.
1Cách 1. Hạ mọi góc tù về góc bù nhọn rồi tra bảng giá trị đặc biệt
Định hướng. Đưa từng góc tù về góc bù nhọn để mọi số hạng đều tra được từ bảng, rồi cộng trừ trực tiếp theo đúng thứ tự của đề.
a) tan120∘=−tan60∘=−3 và cos135∘=−cos45∘=−22
A=22+2⋅23−3−22
A=(22−22)+(3−3)=0
b) cot135∘=−cot45∘=−1, cos120∘=−cos60∘=−21, cos150∘=−cos30∘=−23
B=1⋅(−1)−21⋅(−21)−23⋅(−23)
B=−1+41+43=−1+1=0
c) cos85∘=cos(90∘−5∘)=sin5∘ và cos65∘=cos(90∘−25∘)=sin25∘
C=(cos25∘+sin25∘)+(cos225∘+sin225∘)+cos245∘
C=1+1+(22)2=2+21=25
d) cot105∘=−cot75∘ nên tan75∘⋅cot105∘=−tan75∘⋅cot75∘=−1
tan50∘=tan(90∘−40∘)=cot40∘ nên tan40∘⋅tan50∘=1
sin107∘=sin(180∘−107∘)=sin73∘
D=12cos273∘−4⋅(−1)+12sin273∘−2⋅1⋅21
D=12(cos273∘+sin273∘)+4−1=12+4−1=15
e) cot148∘=−cot32∘ nên 4tan32∘⋅21⋅cot148∘=−2tan32∘⋅cot32∘=−2
cot108∘=−cot72∘=−tan18∘ nên cot2108∘=tan218∘
1+tan218∘5cot2108∘=5tan218∘⋅cos218∘=5sin218∘
sin72∘=cos18∘ nên 5sin272∘=5cos218∘
E=−2+5sin218∘+5cos218∘=−2+5=3
VậyA=0, B=0, C=25, D=15 và E=3.
2Cách 2. Ghép cặp góc bù nhau, góc phụ nhau để các số hạng tự triệt tiêu
Định hướng. Không tính từng số hạng mà soi cấu trúc: mỗi biểu thức đều được lắp từ những cặp góc bù nhau hoặc phụ nhau, ghép đúng cặp là kết quả hiện ra mà khỏi tra bảng.
a) cos135∘=−cos45∘ cùng cos45∘=sin45∘ cho sin45∘+cos135∘=0
tan120∘=−tan60∘=−cos60∘sin60∘=−2sin60∘ cho 2sin60∘+tan120∘=0
A=(sin45∘+cos135∘)+(2sin60∘+tan120∘)=0+0=0
b) cot135∘=−cot45∘ nên tan45∘⋅cot135∘=−1
cos120∘=−cos60∘ và cos150∘=−cos30∘ nên B=−1+sin30∘cos60∘+sin60∘cos30∘
sin30∘=cos60∘ và sin60∘=cos30∘ nên B=−1+cos260∘+cos230∘
cos260∘+cos230∘=cos260∘+sin260∘=1 nên B=−1+1=0
c) C=(cos25∘+cos285∘)+(cos225∘+cos265∘)+cos245∘
5∘+85∘=90∘ và 25∘+65∘=90∘ nên mỗi ngoặc bằng 1
C=1+1+21=25
d) 73∘+107∘=180∘ cho sin2107∘=sin273∘ và 12cos273∘+12sin2107∘=12
75∘+105∘=180∘ cho cot105∘=−cot75∘ và −4tan75∘⋅cot105∘=4
40∘+50∘=90∘ cho tan50∘=cot40∘ và −2tan40∘⋅cos60∘⋅tan50∘=−1
D=12+4−1=15
e) 32∘+148∘=180∘ cho cot148∘=−cot32∘, số hạng thứ nhất bằng −2
72∘+108∘=180∘ cùng 18∘+72∘=90∘ cho cot108∘=−cot72∘=−tan18∘
1+tan218∘5cot2108∘=1+tan218∘5tan218∘=5sin218∘
5sin272∘=5cos218∘ nên hai số hạng cuối cộng lại bằng 5
E=−2+5=3
VậyA=0, B=0, C=25, D=15 và E=3.
3Cách 3. Đọc toạ độ điểm biểu diễn trên nửa đường tròn đơn vị
Định hướng. Đặt mỗi góc lên nửa đường tròn đơn vị rồi đọc cos là hoành độ, sin là tung độ của điểm biểu diễn; hai phép đối xứng — qua trục tung cho góc bù nhau, qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất cho góc phụ nhau — thay hẳn cho mọi công thức biến đổi.
Điểm ứng với 45∘ là M1(22;22), điểm ứng với 60∘ là M2(21;23)
Điểm của 135∘ đối xứng M1 qua trục tung nên là (−22;22), cho cos135∘=−22 và cot135∘=−1
Điểm của 120∘ đối xứng M2 qua trục tung nên là (−21;23), cho tan120∘=−1/23/2=−3 và cos120∘=−21
A=22+3−3−22=0
B=1⋅(−1)−21⋅(−21)−23⋅(−23)=−1+41+43=0
Hai góc phụ nhau có hai điểm biểu diễn đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất nên hoành độ điểm này bằng tung độ điểm kia: cos85∘=sin5∘, cos65∘=sin25∘, tan50∘=cot40∘, cot72∘=tan18∘
Điểm của 5∘ là (cos5∘;sin5∘) nằm trên đường tròn bán kính 1 nên cos25∘+sin25∘=1, tương tự với 25∘
C=1+1+21=25
Điểm của 107∘ và điểm của 73∘ đối xứng qua trục tung nên cùng tung độ, cho sin2107∘=sin273∘ và 12cos273∘+12sin273∘=12
D=12+4−1=15
Điểm của 108∘ đối xứng điểm của 72∘ qua trục tung nên cot108∘=−tan18∘, đồng thời sin72∘=cos18∘
E=−2+5sin218∘+5cos218∘=3
VậyA=0, B=0, C=25, D=15 và E=3.
4Cách 4. Soát lại bằng máy tính cầm tay đặt ở đơn vị độ
Định hướng. Đặt máy ở đơn vị độ rồi bấm từng nhóm số hạng để soát hai ý d) và e) — hai ý nhiều số hạng, dễ nhầm một dấu mà không tự phát hiện.
12cos273∘≈1,0257 và 12sin2107∘≈10,9743, tổng đúng bằng 12
Máy cho A=0, B=0, C=2,5, khớp với ba kết quả của các cách trên
Vậy cả năm kết quả được xác nhận: A=0, B=0, C=25, D=15, E=3.
Nhận xét. Máy tính chỉ dùng để soát, không thay được lời giải: các giá trị 1,0257 hay 0,4775 là số gần đúng, chỉ khi ghép cặp như Cách 2 mới thấy tổng của chúng đúng bằng số nguyên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần nhìn ra cặp bù nhau hoặc phụ nhau là cả năm biểu thức gọn trong vài dòng, không phải tra bảng nên hầu như không sai dấu; Cách 1 an toàn nhưng dài gấp đôi, còn Cách 3 phải vẽ hình.
Đáp số.a) A=0; b) B=0; c) C=25; d) D=15; e) E=3.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp nhất là giữ nguyên dấu khi hạ góc tù, viết cos135∘=22 thay vì −22; lúc đó ý a) cho A=2≈1,41 chứ không phải 0. Sai lầm thứ hai là kéo dấu trừ ra ngoài cả bình phương, viết sin2107∘=−sin273∘, khi đó ý d) thành 12cos273∘+4−12sin273∘−1≈−6,95 thay vì 15. Sai lầm thứ ba là lẫn góc phụ nhau với góc bù nhau ở ý c), lấy cos65∘=cos25∘ rồi được C=2cos25∘+2cos225∘+21≈4,13.
🚀 Mở rộng.Tổng quát hoá ý c): nếu 2k+1 góc lập thành cấp số cộng đối xứng quanh 45∘ và nằm giữa 0∘ với 90∘ thì tổng các cos2 của chúng bằng k+21, vì mỗi cặp đầu — cuối là một cặp góc phụ nhau; thử với bảy góc 5∘, 18∘, 31∘, 45∘, 59∘, 72∘, 85∘ sẽ được đúng 27.
Bài 2 · 3.2★★★Trang 32— Tính giá trị biểu thức chứa tan và cot khi biết sin của một góc tù
Cho góc α với 90∘<α<180∘ thoả mãn sinα=43. Tính giá trị của biểu thức F=tanα+cotαtanα+2cotα.
Kiến thức cần nhớ
sin2α+cos2α=1.
tanα=cosαsinα khi cosα=0 và cotα=sinαcosα khi sinα=0; khi đó tanα⋅cotα=1.
Với 90∘<α<180∘ thì sinα>0 còn cosα<0, tanα<0, cotα<0.
Trên nửa đường tròn đơn vị, điểm biểu diễn góc α có hoành độ cosα và tung độ sinα.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho sinα kèm điều kiện α tù, còn biểu thức lại viết theo tanα và cotα, nên dấu hiệu rõ ràng là phải bắc cầu qua cosα bằng hệ thức sin2α+cos2α=1. Điều kiện 90∘<α<180∘ không phải để trang trí mà để chọn giá trị âm cho cosα, vì từ cos2α luôn có hai giá trị trái dấu. Bẫy nằm ở chỗ tưởng phải tính xong tanα với cotα mới thay được, trong khi F chỉ phụ thuộc cos2α nên dấu của cosα hoá ra không ảnh hưởng gì tới đáp số.
1Cách 1. Tính lần lượt cos, tan, cot rồi thay số vào F
Định hướng. Đi đúng thứ tự dữ kiện: từ sinα ra cosα nhờ hệ thức nền, rồi ra tanα và cotα, cuối cùng thay cả hai vào F.
cos2α=1−sin2α=1−169=167
90∘<α<180∘ nên cosα<0, do đó cosα=−47
tanα=cosαsinα=−7/43/4=−73=−737
cotα=sinαcosα=3/4−7/4=−37
tanα+2cotα=−737−327=−2197+147=−21237
tanα+cotα=−737−37=−2197+77=−21167
F=−167/21−237/21=1623
VậyF=1623.
2Cách 2. Quy về sin và cos: nhân cả tử và mẫu với sin α · cos α
Định hướng. Đưa F về sin và cos ngay từ đầu, khi đó mẫu thu về sin2α+cos2α=1 nên khỏi phải tính tanα hay cotα, cũng khỏi bàn dấu.
3Cách 3. Đặt t = tan²α để F thành một phân thức bậc nhất theo t
Định hướng. Chia cả tử và mẫu cho cotα rồi dùng tanα⋅cotα=1: biểu thức chỉ còn phụ thuộc t=tan2α, đại lượng luôn dương nên khỏi xét dấu.
cotα=tanα1 nên cotαtanα=tan2α=t
F=cotαtanα+1cotαtanα+2=t+1t+2
t=cos2αsin2α=7/169/16=79
F=79+179+2=16/723/7=1623
VậyF=1623.
4Cách 4. Dựng điểm biểu diễn trên nửa đường tròn đơn vị rồi đọc toạ độ
Định hướng. Dựng điểm biểu diễn M của góc α trên nửa đường tròn đơn vị: tung độ đã biết là 43, hoành độ lấy từ tam giác vuông OHM và mang dấu âm vì M nằm bên trái trục tung.
M(x0;y0) với y0=sinα=43 và OM=1
Tam giác OHM vuông tại H cho OH2=OM2−HM2=1−169=167, suy ra OH=47
α tù nên M ở bên trái trục tung, do đó x0=cosα=−47
Nhận xét. Ba cách sau đều cho thấy F=1+cos2α=2−sin2α, tức F chỉ phụ thuộc sin2α: giá trị 1623 giữ nguyên dù α nhọn hay tù, nên điều kiện 90∘<α<180∘ của đề chỉ thật sự cần nếu bài hỏi thêm cosα hoặc tanα.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: hai dòng quy đồng là F thu về 1+cos2α, chỉ còn một phép trừ phân số, lại không phải lôi 7 ra nên gần như không sai dấu; Cách 1 đúng nhưng phải cộng bốn phân số có căn, rất dễ nhầm.
Đáp số.cosα=−47, tanα=−737, cotα=−37 và F=1623.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm nặng nhất là bỏ qua điều kiện α tù mà lấy cosα=47; riêng bài này F vẫn ra 1623 nên lỗi bị che, nhưng nếu đề hỏi tanα thì đáp số sai dấu hoàn toàn, thành 737 thay vì −737. Sai lầm thứ hai là rút gọn bừa tanα+cotαtanα+2cotα=cotα2cotα=2 — xoá tanα ở tử với tanα ở mẫu, phép chỉ được làm với nhân tử chứ không phải với số hạng. Sai lầm thứ ba là lẫn sin với cos, viết cosα=−43, khi đó F=1+169=1625.
🚀 Mở rộng.Vẫn lối biến đổi ấy, tanα+cotαtanα+mcotα=sin2α+mcos2α=m−(m−1)sin2α, nên chỉ cần đổi số 2 của đề thành m là có ngay đáp số m−169(m−1); thử m=3 sẽ được 815.
Bài 3 · 3.3★★★Trang 33— Tính giá trị biểu thức theo sin và cos khi biết tanα
Cho góc α thoả mãn 0∘<α<180∘ và tanα=2. Tính giá trị của các biểu thức: a) G=2sinα+cosα; b) H=sinα−cosα2sinα+cosα.
Kiến thức cần nhớ
1+tan2α=cos2α1 khi cosα=0.
sin2α+cos2α=1 và tanα=cosαsinα.
Với 0∘<α<90∘ thì tanα>0; với 90∘<α<180∘ thì tanα<0.
Thương hai biểu thức thuần nhất cùng bậc theo sinα và cosα chỉ phụ thuộc tanα.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho tanα=2 là số dương, mà trong khoảng từ 0∘ đến 180∘ chỉ góc nhọn mới có tan dương, nên α nhọn và cả sinα lẫn cosα đều dương — dấu được chốt trước khi tính. Ý a) là biểu thức bậc nhất nên buộc phải biết riêng sinα và cosα, còn ý b) là thương hai biểu thức cùng bậc nhất, dấu hiệu kinh điển để chia cả tử và mẫu cho cosα mà khỏi cần giá trị cụ thể. Bẫy là thấy tanα=2 rồi kết luận luôn sinα=2, cosα=1, quên rằng sinα không bao giờ vượt 1.
1Cách 1. Từ 1 + tan²α = 1/cos²α tìm cos α, sin α rồi thay vào
Định hướng. Khai thác trực tiếp hệ thức liên hệ tanα với cosα để có hai giá trị sinα, cosα, sau đó thay vào cả hai biểu thức.
tanα=2>0 và 0∘<α<180∘ nên 0∘<α<90∘, do đó sinα>0 và cosα>0
cos2α1=1+tan2α=1+4=5, suy ra cos2α=51
cosα=51=55
sinα=tanα⋅cosα=2⋅55=525
G=2⋅525+55=545+5=555=5
sinα−cosα=525−55=55
H=555=5⋅55=5
VậyG=5 và H=5.
2Cách 2. Chia cả tử và mẫu cho cos α để mọi thứ chỉ còn tan α
Định hướng. Tử và mẫu của H đều thuần nhất bậc một nên chia cả hai cho cosα là H chỉ còn phụ thuộc tanα; với G thì đặt cosα làm nhân tử chung rồi dùng cosα=1+tan2α1.
H=cosαsinα−1cosα2sinα+1=tanα−12tanα+1
H=2−12⋅2+1=15=5
G=cosα(2tanα+1)=5cosα
α nhọn nên cosα=1+tan2α1=51
G=55=5
VậyG=5 và H=5.
3Cách 3. Đặt sin α = 2k, cos α = k rồi dùng sin²α + cos²α = 1
Định hướng.tanα=2 nghĩa là sinα gấp đôi cosα, nên đặt một tham số chung k: hệ thức nền cho ngay k, mà riêng H thì k bị triệt tiêu nên khỏi cần giá trị của nó.
tanα=2 cho sinα=2cosα; đặt cosα=k thì sinα=2k
sin2α+cos2α=4k2+k2=5k2=1, suy ra k2=51
α nhọn nên k>0, do đó k=55
G=2⋅2k+k=5k=5⋅55=5
H=2k−k4k+k=k5k=5
VậyG=5 và H=5.
4Cách 4. Dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 2 và 1 để đọc ngay sin, cos
Định hướng.tanα=2 chính là tỉ số cạnh đối trên cạnh kề, nên dựng một tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 2 và 1: cạnh huyền tính bằng định lí Pythagore, rồi đọc sinα, cosα trực tiếp.
Tam giác OHM vuông tại H với HM=2, OH=1 có tanHOM=OHHM=2 nên HOM=α
OM2=OH2+HM2=12+22=5, suy ra OM=5
sinα=OMHM=52=525 và cosα=OMOH=51=55
G=2⋅52+51=55=5
H=52−5154+51=1/55/5=5
VậyG=5 và H=5.
Nhận xét. Cách 4 cho thấy vì sao H không cần tới 5: tử và mẫu cùng chứa nhân tử 51 nên nhân tử ấy bị triệt tiêu — đúng đặc điểm của thương hai biểu thức thuần nhất cùng bậc, trong khi G chỉ có một tầng nên vẫn phải biết cosα.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 cho ý b) và Cách 3 cho ý a): ý b) chỉ một dòng chia cho cosα là xong, còn ý a) đặt cosα=k giúp G=5k hiện ra trước khi phải rút căn, nhờ đó không phải cộng hai phân số chứa 5.
Đáp số.α nhọn với cosα=55, sinα=525; a) G=5; b) H=5.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm phổ biến nhất là suy từ tanα=2 ra sinα=2 và cosα=1, cho G=5 và H=5 — đáp số ý b) tình cờ đúng nên lỗi càng dễ lọt, dù sinα=2 vô lí vì luôn có sinα≤1. Sai lầm thứ hai là lấy cosα=−55 vì nghĩ 0∘<α<180∘ thì phải xét hai trường hợp, quên rằng tanα=2>0 đã loại hẳn góc tù; khi đó G=−5. Sai lầm thứ ba là ở ý b) chia tử và mẫu cho sinα được H=1−cotα2+cotα mà vẫn thay cotα=2, ra H=−4 thay vì thay đúng cotα=21.
🚀 Mở rộng.Cùng lối chia cho cosα, với tanα=t=1 ta luôn có H=t−12t+1=2+t−13, nên H nhận mọi giá trị trừ 2 và H=5 chỉ xảy ra đúng khi t=2; thử t=3 sẽ cho H=27.
Bài 4 · 3.4★★★★Trang 33— Rút gọn và tính biểu thức thuần nhất bậc ba theo sin và cos khi biết tan
Cho góc α thoả mãn 0∘<α<180∘ và tanα=2. Tính giá trị của biểu thức K=sinα−cosαsin3α+sinαcos2α+2sin2αcosα−4cos3α.
Kiến thức cần nhớ
1+tan2α=cos2α1 khi cosα=0.
Biểu thức thuần nhất bậc n theo sinα, cosα sau khi chia cho cosnα thì chỉ còn phụ thuộc tanα.
t=1 là nghiệm của đa thức P(t) khi và chỉ khi P(t) chia hết cho t−1.
sinαcosα=tanα⋅cos2α=1+tan2αtanα.
🧠 Phân tích tư duy
Tử là biểu thức thuần nhất bậc ba theo sinα và cosα, mẫu thuần nhất bậc một, nên thương là biểu thức thuần nhất bậc hai — dấu hiệu cho thấy K chỉ phụ thuộc tanα và tính được mà không cần biết riêng sinα hay cosα. Chia tử cho cos3α và mẫu cho cosα là đường tự nhiên, nhưng hay hơn là thử tách sinα−cosα ra khỏi tử, vì t=1 đúng là nghiệm của t3+2t2+t−4. Bẫy của đề là mẫu sinα−cosα có thể bằng 0 khi α=45∘, nên trước khi rút gọn phải nói rõ tanα=2=1.
1Cách 1. Tính hẳn sin α và cos α rồi thay số vào tử và mẫu
Định hướng. Lối thẳng nhất: tìm đủ sinα, cosα, tính riêng tử và mẫu rồi mới chia, cuối cùng trục căn ở mẫu.
tanα=2>0 và 0∘<α<180∘ nên α nhọn, sinα>0 và cosα>0
cos2α1=1+(2)2=3, suy ra cos2α=31 và cosα=33
sinα=tanα⋅cosα=2⋅33=36
sin3α=2766=926 và cos3α=2733=93
sinαcos2α=36⋅31=96 và sin2αcosα=32⋅33=923
2Cách 2. Chia tử cho cos³α và mẫu cho cos α để đưa về tan α
Định hướng. Tử thuần nhất bậc ba, mẫu thuần nhất bậc một, nên tách cos3α ở tử và cosα ở mẫu: phần còn lại chỉ chứa tanα, còn cos2α dư ra thì lấy ngay từ 1+tan2α.
Tử =cos3α(tan3α+2tan2α+tanα−4) và mẫu =cosα(tanα−1)
K=cos2α⋅tanα−1tan3α+2tan2α+tanα−4
tanα=2 cho tan2α=2 và tan3α=22
tan3α+2tan2α+tanα−4=22+4+2−4=32
cos2α=1+tan2α1=31
K=31⋅2−132=2−12=2−12(2+1)=2+2
VậyK=2+2.
3Cách 3. Tách nhân tử (sin α − cos α) ở tử để rút gọn thẳng với mẫu
Định hướng. Đa thức t3+2t2+t−4 nhận t=1 làm nghiệm nên tử chia hết cho sinα−cosα; rút gọn trước rồi mới thay số, K chỉ còn một biểu thức bậc hai rất nhẹ.
t3+2t2+t−4=(t−1)(t2+3t+4), kiểm lại bằng 1+2+1−4=0
Chuyển về sinα và cosα: tử =(sinα−cosα)(sin2α+3sinαcosα+4cos2α)
tanα=2=1 nên sinα−cosα=0, rút gọn được K=sin2α+3sinαcosα+4cos2α
4Cách 4. Chuẩn hoá biểu thức đã rút gọn bằng cách chia cho sin²α + cos²α
Định hướng. Sau khi rút gọn, K là biểu thức thuần nhất bậc hai; chia nó cho sin2α+cos2α — vốn bằng 1 nên giá trị không đổi — thì K thành một phân thức chỉ theo tanα, thay số một lần là xong.
Nhận xét. Ba dòng của Cách 4 là lối ngắn nhất, nhưng nó chỉ dùng được sau khi Cách 3 đã tách xong nhân tử sinα−cosα: nếu giữ nguyên mẫu bậc một thì thương không thuần nhất nên phép chuẩn hoá chia cho sin2α+cos2α không áp dụng được ngay.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3 rồi chốt bằng dòng cuối của Cách 4: tách được nhân tử sinα−cosα là mọi căn bậc hai biến mất, chỉ còn thay cos2α=31 với sinαcosα=32; Cách 1 phải tính bảy luỹ thừa có căn nên rất dễ sai một dấu.
Đáp số.α nhọn với cosα=33, sinα=36 và K=2+2≈3,41.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm thứ nhất là rút gọn mẫu với một số hạng của tử, chẳng hạn xoá sinα của sin3α với sinα ở mẫu; phép ấy chỉ đúng khi sinα là nhân tử của CẢ tử, còn ở đây nó biến K thành một biểu thức khác hẳn. Sai lầm thứ hai là chia cả tử và mẫu cho cos3α rồi quên rằng mẫu chỉ bậc một, làm mất nhân tử cos2α=31 và được K=2−132=6+32≈10,24, gấp ba đáp số đúng. Sai lầm thứ ba là lấy cosα=−33 vì tưởng α có thể tù, khi đó các bậc lẻ đổi dấu và K thành 2−2≈0,59.
🚀 Mở rộng.Thay hệ số −4 của cos3α bằng −m thì tử còn tách được nhân tử sinα−cosα đúng khi 1+2+1−m=0, tức chỉ khi m=4 như đề; với m khác 4 vẫn tính được nhưng phải đi đường chia cho cos3α của Cách 2, chẳng hạn m=1 cho K=3+22.
Bài 5 · 3.5★★★Trang 33— Chứng minh đẳng thức lượng giác nhờ hệ thức sin2α+cos2α=1
Chứng minh rằng: a) sin4α+cos4α=1−2sin2αcos2α; b) sin6α+cos6α=1−3sin2αcos2α; c) sin4α+6cos2α+3+cos4α+4sin2α=4.
Kiến thức cần nhớ
sin2α+cos2α=1 với mọi góc α từ 0∘ đến 180∘.
(a+b)2=a2+2ab+b2 và (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b).
X2=∣X∣, bằng X khi X≥0 và bằng −X khi X<0.
0≤sin2α≤1 và 0≤cos2α≤1.
🧠 Phân tích tư duy
Cả ba đẳng thức chỉ chứa sinα và cosα ở luỹ thừa chẵn, nên dấu hiệu là dùng sin2α+cos2α=1 làm cầu nối chứ không cần biết α bằng bao nhiêu. Hai ý đầu là hằng đẳng thức bình phương và lập phương của một tổng đọc ngược lại, còn ý c) khác bản chất: vế trái có căn nên việc đầu tiên là biến hai biểu thức dưới căn thành bình phương đúng. Bẫy ở ý c) là sau khi khai căn phải kiểm dấu của biểu thức lấy ra, vì X2=∣X∣ chứ không phải X.
1Cách 1. Bình phương rồi lập phương hệ thức sin²α + cos²α = 1
Định hướng. Nâng hệ thức nền lên bậc hai và bậc ba là hai vế của ý a), ý b) hiện ra ngay; với ý c) thì đổi cos2α thành 1−sin2α để biểu thức dưới căn thành bình phương đúng.
a) 1=(sin2α+cos2α)2=sin4α+2sin2αcos2α+cos4α
sin4α+cos4α=1−2sin2αcos2α
b) 1=(sin2α+cos2α)3=sin6α+cos6α+3sin2αcos2α(sin2α+cos2α)
1=sin6α+cos6α+3sin2αcos2α
sin6α+cos6α=1−3sin2αcos2α
c) 6cos2α=6−6sin2α nên sin4α+6cos2α+3=sin4α−6sin2α+9=(3−sin2α)2
4sin2α=4−4cos2α nên cos4α+4sin2α=cos4α−4cos2α+4=(2−cos2α)2
sin2α≤1<3 và cos2α≤1<2 nên 3−sin2α>0 và 2−cos2α>0
(3−sin2α)2+(2−cos2α)2=(3−sin2α)+(2−cos2α)
=5−(sin2α+cos2α)=5−1=4
Vậy cả ba đẳng thức đều đúng với mọi góc α từ 0∘ đến 180∘.
2Cách 2. Đặt u = sin²α rồi so hai vế như hai đa thức một biến
Định hướng. Đặt u=sin2α thì cos2α=1−u với 0≤u≤1; hai vế của mỗi đẳng thức trở thành đa thức của một biến u, chỉ việc khai triển rồi so sánh hệ số.
a) Vế trái =u2+(1−u)2=2u2−2u+1
Vế phải =1−2u(1−u)=2u2−2u+1, hai vế trùng nhau
b) Vế trái =u3+(1−u)3=u3+1−3u+3u2−u3=3u2−3u+1
Vế phải =1−3u(1−u)=3u2−3u+1, hai vế trùng nhau
c) u2+6(1−u)+3=u2−6u+9=(u−3)2
(1−u)2+4u=u2+2u+1=(u+1)2
0≤u≤1 nên 3−u>0 và u+1>0
Vế trái =∣u−3∣+∣u+1∣=(3−u)+(u+1)=4
Vậy ba đẳng thức đúng với mọi u thuộc đoạn từ 0 đến 1, tức với mọi góc α đã cho.
3Cách 3. Dùng đa thức đối xứng theo tổng S và tích P của sin²α với cos²α
Định hướng. Gọi S=sin2α+cos2α=1 và P=sin2αcos2α: mọi tổng luỹ thừa đối xứng đều viết được qua S và P, nên hai ý đầu chỉ là hai công thức quen mà khỏi khai triển tay.
sin2α và cos2α là hai nghiệm của X2−SX+P=0 với S=1
a) sin4α+cos4α=S2−2P=1−2P=1−2sin2αcos2α
b) sin6α+cos6α=S3−3PS=1−3P=1−3sin2αcos2α
c) sin4α+6cos2α+3=sin4α+6(1−sin2α)+3=(sin2α−3)2
cos4α+4sin2α=cos4α+4(1−cos2α)=(cos2α−2)2
sin2α≤1 và cos2α≤1 nên hai căn lần lượt bằng 3−sin2α và 2−cos2α
Tổng hai căn =5−S=5−1=4
Vậy cả ba đẳng thức được chứng minh chỉ nhờ S=1, không cần tới giá trị của P.
4Cách 4. Quy về Pythagore trong tam giác vuông OHM của nửa đường tròn đơn vị
Định hướng. Đặt điểm biểu diễn M của góc α lên nửa đường tròn đơn vị và gọi H là hình chiếu của M trên trục hoành: hệ thức nền chỉ là định lí Pythagore trong tam giác OHM, từ đó đặt a, b là hai bình phương và mọi thứ thành đại số thuần.
M(cosα;sinα) nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính 1 nên OM=1
OH=∣cosα∣, HM=sinα và tam giác OHM vuông tại H cho OH2+HM2=OM2
cos2α+sin2α=1; đặt a=sin2α, b=cos2α thì a+b=1 với a≥0, b≥0
a) a2+b2=(a+b)2−2ab=1−2ab
b) a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)=1−3ab
c) a2+6b+3=a2+6(1−a)+3=(a−3)2 và b2+4a=b2+4(1−b)=(b−2)2
a≤1 và b≤1 nên tổng hai căn =(3−a)+(2−b)=5−(a+b)=4
Vậy cả ba đẳng thức đúng với mọi góc α, và gốc rễ của chúng là định lí Pythagore.
Nhận xét. Nhìn lại bốn cách thì bản chất chỉ có một: sin2α và cos2α là hai số không âm có tổng bằng 1; mọi đẳng thức kiểu này đều là hệ quả của điều đó, nên gặp dạng lạ cứ đặt a+b=1 với a≥0, b≥0 là ra.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: bình phương rồi lập phương hệ thức sin2α+cos2α=1 là đúng đường lối đáp án, mỗi ý gọn hai dòng; Cách 3 ngắn hơn nhưng phải viện tới đa thức đối xứng, còn Cách 2 khai triển nhiều nên dễ sai hệ số.
Đáp số.Cả ba đẳng thức đều đúng với mọi góc α thoả mãn 0∘≤α≤180∘; riêng vế trái của ý c) là hằng số 4, không phụ thuộc α.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm nặng nhất ở ý c) là viết (sin2α−3)2=sin2α−3 mà quên trị tuyệt đối: với α=30∘ sẽ được 41−3+43−2=−1,5 thay vì 4. Sai lầm thứ hai ở ý b) là dùng (a+b)3=a3+b3, tức bỏ hẳn số hạng 3ab(a+b), rồi kết luận sin6α+cos6α=1 — thử α=45∘ cho vế trái 81+81=41 chứ không phải 1. Sai lầm thứ ba là thay một giá trị cụ thể như α=60∘, thấy hai vế bằng nhau rồi coi là đã chứng minh, trong khi đẳng thức phải đúng với mọi α nên thử số chỉ là kiểm tra chứ chưa phải chứng minh.
🚀 Mở rộng.Vẫn đặt a=sin2α, b=cos2α với a+b=1 và P=ab, các tổng un=sin2nα+cos2nα thoả hệ thức truy hồi un=un−1−Pun−2 với u1=1, u2=1−2P; áp dụng cho n=3 ra đúng ý b), còn n=4 cho sin8α+cos8α=1−4P+2P2.
Bài 6 · 3.6★★★★Trang 33— Vận dụng công thức thực tế có trị tuyệt đối của cos để tính góc nghiêng
Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Để đo trực tiếp góc này, vào khoảng 12 giờ trưa ta dựng một chiếc thước thẳng vuông góc với mặt đất rồi đo độ dài bóng thước trên mặt đất; khi đó tang của góc nghiêng bằng tỉ số giữa độ dài của thước và độ dài bóng thước. Góc nghiêng phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đo và vào thời điểm đo trong năm. Tại vị trí có vĩ độ φ, vào ngày thứ N trong năm, góc nghiêng α của Mặt Trời được tính xấp xỉ bởi công thức α=90∘−φ−cos[(3652(N+10)−m)⋅180∘]⋅23,5∘, trong đó m=0 nếu 1≤N≤172, m=1 nếu 173≤N≤355, m=2 nếu 356≤N≤365. a) Tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10 tháng 10 của một năm không nhuận tại vị trí có vĩ độ φ=20∘. b) Xác định vĩ độ nơi em sinh sống rồi tính góc nghiêng của Mặt Trời tại đó theo hai cách — đo bóng thước và dùng công thức trên — sau đó so sánh hai kết quả.
Kiến thức cần nhớ
Năm không nhuận có 365 ngày; tháng 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12 có 31 ngày, tháng 4, 6, 9, 11 có 30 ngày và tháng 2 có 28 ngày.
Hai góc bù nhau có cos(180∘−x)=−cosx, nên ∣cosx∣=cos(180∘−x) khi 90∘<x<180∘.
cosx<0 khi 90∘<x<180∘ và cosx>0 khi 0∘≤x<90∘; luôn có 0≤∣cosx∣≤1.
Trong tam giác vuông, tan của một góc nhọn bằng tỉ số cạnh đối trên cạnh kề.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho sẵn một công thức nhiều tầng, nên mấu chốt không phải biến đổi lượng giác mà là xác định đúng hai dữ kiện đầu vào: số thứ tự N của ngày trong năm và giá trị m tương ứng. Dấu hiệu phải cẩn thận là ba khoảng chia của m đều theo N, nên lệch một ngày có thể nhảy sang khoảng khác và làm sai hẳn kết quả. Bẫy thứ hai là dấu trị tuyệt đối: biểu thức trong ngoặc vuông ra một góc tù nên cos của nó âm, bỏ trị tuyệt đối thì góc nghiêng bị cộng thêm thay vì trừ đi.
1Cách 1. Đếm tiến số ngày từ mồng 1 tháng 1 để tìm N rồi thay vào công thức
Định hướng. Cộng dồn số ngày của các tháng đã qua để có số thứ tự N, đối chiếu N với ba khoảng của đề để chọn m, rồi thay cả hai vào công thức.
Số ngày của chín tháng đầu năm: 31+28+31+30+31+30+31+31+30=273
N=273+10=283
173≤283≤355 nên m=1
3652(N+10)−m=3652⋅293−1=365586−1=365221
365221⋅180∘=36539780∘≈108,986∘
cos108,986∘≈−0,3253 nên ∣cos108,986∘∣≈0,3253
α≈90∘−20∘−0,3253⋅23,5∘=70∘−7,6455∘
α≈62,35∘
Vậy góc nghiêng của Mặt Trời ngày 10 tháng 10 tại vĩ độ 20∘ khoảng 62,35∘.
2Cách 2. Đếm ngược từ ngày 31 tháng 12 và hạ góc tù về góc bù nhọn
Định hướng. Đếm ngược từ cuối năm cho ra N bằng một dòng trừ, còn trị tuyệt đối thì bỏ đi bằng quan hệ hai góc bù nhau của chính bài học này, nhờ đó chỉ phải bấm cos của một góc nhọn.
Từ sau ngày 10 tháng 10 đến hết tháng 10 còn 31−10=21 ngày; tháng 11 có 30 ngày, tháng 12 có 31 ngày
N=365−(21+30+31)=365−82=283, khớp với Cách 1
173≤283≤355 nên m=1 và x=365221⋅180∘≈108,986∘
90∘<x<180∘ nên cosx<0 và ∣cosx∣=cos(180∘−x)≈cos71,014∘
cos71,014∘≈0,3253 nên 0,3253⋅23,5∘≈7,6455∘
α≈70∘−7,6455∘≈62,35∘
Vậyα≈62,35∘, cùng kết quả với Cách 1 nhưng chỉ dùng cos của góc nhọn 71,014∘.
3Cách 3. Đo thước và bóng thước rồi suy ra góc từ tang (đúng ý b của đề)
Định hướng. Dùng chính cách đo mà đề mô tả: thước dựng thẳng đứng là cạnh đối, bóng thước trên mặt đất là cạnh kề của góc nghiêng, nên tỉ số hai độ dài cho ngay tan của góc cần tìm — đây là kênh kiểm chứng độc lập với công thức.
Gọi a là độ dài thước dựng thẳng đứng, b là độ dài bóng thước; tam giác STB vuông tại B với TB=a và SB=b
tanα=SBTB=ba
Kết quả của Cách 1 cho α≈62,35∘ nên tanα≈1,9091
b=tanαa≈1,9091a≈0,524a
a=100 cm thì b≈52,4 cm; ngược lại đo được a=100 cm cùng b=52,4 cm thì tanα≈1,9084
tanα≈1,9084 cho α≈62,35∘
Vậy hai cách cho cùng một kết quả α≈62,35∘: phép đo bóng thước xác nhận công thức, đúng yêu cầu so sánh của ý b).
4Cách 4. Chặn khoảng giá trị của α rồi đối chiếu với các mốc phân, chí trong năm
Định hướng. Không tính trước mà chặn: vì ∣cosx∣ chỉ chạy từ 0 đến 1 nên α bị kẹp trong một đoạn dài đúng 23,5∘; xem ngày 10 tháng 10 nằm đâu giữa hai mốc của năm là biết ngay kết quả phải rơi vào chỗ nào của đoạn ấy.
0≤∣cosx∣≤1 nên 90∘−φ−23,5∘≤α≤90∘−φ
φ=20∘ cho 46,5∘≤α≤70∘
∣cosx∣=1 khi x=0∘ hoặc x=180∘: với m=0 thì 3652(N+10)=1 cho N=172,5, với m=1 thì 3652(N+10)=2 cho N=355
Hai số 172,5 và 355 đúng là hai mốc chia khoảng của m trong đề, ứng với ngày hạ chí và ngày đông chí — lúc α đạt chặn dưới 46,5∘
∣cosx∣=0 khi x=90∘: với m=1 thì 3652(N+10)=1,5 cho N=263,75, tức khoảng ngày 20 tháng 9 và gần đúng ngày thu phân, lúc α đạt chặn trên 70∘
N=283 chỉ cách mốc 263,75 chừng 19 ngày trong khi còn xa mốc 355, nên ∣cosx∣ còn nhỏ và α phải gần 70∘ hơn 46,5∘
Vậy giá trị α≈62,35∘ hợp lí cả về khoảng chặn 46,5∘≤α≤70∘ lẫn về vị trí của ngày 10 tháng 10 giữa hai mốc thu phân và đông chí.
Nhận xét. Chặn 46,5∘≤α≤70∘ giải thích luôn hiện tượng mùa: cùng một vĩ độ, góc nghiêng giữa trưa xê dịch tới 23,5∘ trong năm nên lượng nhiệt nhận được thay đổi theo mùa, và con số 23,5∘ ấy chính là độ nghiêng của trục Trái Đất.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 rồi soát nhanh bằng Cách 2: đếm tiến cho ra N=283 theo đúng đường lối đáp án, còn đếm ngược chỉ mất một dòng mà bắt được lỗi lệch một ngày — lỗi phổ biến nhất của bài này; Cách 4 nên để dành cho bước soát cuối vì nó chỉ chặn khoảng chứ không cho số chính xác.
Đáp số.a) Ngày 10 tháng 10 của năm không nhuận là ngày thứ N=283, ứng với m=1; góc nghiêng của Mặt Trời tại vĩ độ φ=20∘ là α≈62,35∘. b) Tuỳ vĩ độ nơi ở: thay φ của địa phương cùng N của ngày làm bài vào công thức, rồi so với kết quả đo bóng thước qua tanα=ba; hai kết quả chỉ lệch nhau trong khoảng sai số của phép đo vì bản thân công thức cũng là công thức xấp xỉ.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm thứ nhất là bỏ dấu trị tuyệt đối: vì cos108,986∘≈−0,3253 nên sẽ được α≈70∘+7,6455∘=77,65∘, vượt cả chặn trên 70∘ mà công thức cho phép. Sai lầm thứ hai là đếm ngày thành N=284 do tính cả ngày 10 tháng 10 hai lần, khi đó α≈61,97∘; nguy hơn nữa là đếm ra N nhỏ hơn 173 rồi lấy m=0 trái với quy ước của đề. Sai lầm thứ ba là để máy tính ở đơn vị radian: khi đó máy hiểu cos108,986 là cosin của 108,986 radian và cho −0,5658, dẫn tới α≈56,70∘, lệch gần 6∘ so với đáp số đúng.
🚀 Mở rộng.Cũng công thức ấy, ở vĩ độ φ góc nghiêng giữa trưa luôn nằm giữa 90∘−φ−23,5∘ và 90∘−φ, nên biên độ dao động trong năm bằng đúng 23,5∘ ở mọi nơi và chỉ vị trí của đoạn ấy mới phụ thuộc vĩ độ; thử với Hà Nội có φ≈21∘ sẽ được đoạn từ 45,5∘ đến 69∘.
Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-10-kn/bai-5-gia-tri-luong-giac-cua-mot-goc-tu-0-den-180.jsp · https://loigiaihay.com/giai-bai-36-trang-33-sach-bai-tap-toan-10-ket-noi-tri-thuc-voi-cuoc-song-a115229.html
