Chương III. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang32–33 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.1★★Trang 32— Tính giá trị biểu thức lượng giác của các góc từ

0^{\circ}

đến

18 0^{\circ}

Tính giá trị của các biểu thức sau: a)

A = sin 4 5^{\circ} + 2 sin 6 0^{\circ} + tan 12 0^{\circ} + cos 13 5^{\circ}

; b)

B = tan 4 5^{\circ} \cdot cot 13 5^{\circ} - sin 3 0^{\circ} \cdot cos 12 0^{\circ} - sin 6 0^{\circ} \cdot cos 15 0^{\circ}

; c)

C = cos^{2} 5^{\circ} + cos^{2} 2 5^{\circ} + cos^{2} 4 5^{\circ} + cos^{2} 6 5^{\circ} + cos^{2} 8 5^{\circ}

; d)

D = 12 cos^{2} 7 3^{\circ} - 4 tan 7 5^{\circ} \cdot cot 10 5^{\circ} + 12 sin^{2} 10 7^{\circ} - 2 tan 4 0^{\circ} \cdot cos 6 0^{\circ} \cdot tan 5 0^{\circ}

; e)

E = 4 tan 3 2^{\circ} \cdot cos 6 0^{\circ} \cdot cot 14 8^{\circ} + \frac{5 cot ^{2} 10 8 ^{\circ}}{1 + tan ^{2} 1 8 ^{\circ}} + 5 sin^{2} 7 2^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Hai góc bù nhau: $sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$ , $cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α$ , $tan (18 0^{\circ} - α) = - tan α$ , $cot (18 0^{\circ} - α) = - cot α$ .
Hai góc phụ nhau: $sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$ , $cos (9 0^{\circ} - α) = sin α$ , $tan (9 0^{\circ} - α) = cot α$ .
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ với mọi góc $α$ từ $0^{\circ}$ đến $18 0^{\circ}$ .
$1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ khi $cos α \neq = 0$ , và $tan α \cdot cot α = 1$ khi cả hai đều xác định.
Bảng góc đặc biệt: $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $tan 4 5^{\circ} = cot 4 5^{\circ} = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Năm biểu thức đều chỉ chứa giá trị lượng giác của những góc cụ thể, nên việc đầu tiên là soi xem góc nào tra được ngay từ bảng góc đặc biệt và góc nào buộc phải hạ về góc nhọn trước. Hai ý a) và b) chỉ dùng các góc

3 0^{\circ}

4 5^{\circ}

6 0^{\circ}

cùng góc bù của chúng, còn ba ý c), d), e) lại có những góc lẻ như

5^{\circ}

7 3^{\circ}

3 2^{\circ}

không tra bảng được — đó chính là tín hiệu phải ghép cặp theo quan hệ bù nhau hoặc phụ nhau chứ không phải bấm máy. Bẫy lớn nhất là dấu:

cos

tan

cot

của góc tù đều âm, riêng

sin

vẫn dương, quên điều đó là sai ngay dòng đầu.

1Cách 1. Hạ mọi góc tù về góc bù nhọn rồi tra bảng giá trị đặc biệt

Định hướng. Đưa từng góc tù về góc bù nhọn để mọi số hạng đều tra được từ bảng, rồi cộng trừ trực tiếp theo đúng thứ tự của đề.

tan 12 0^{\circ} = - tan 6 0^{\circ} = - 3

và

cos 13 5^{\circ} = - cos 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

A = \frac{2}{2} + 2 \cdot \frac{3}{2} - 3 - \frac{2}{2}

A = (\frac{2}{2} - \frac{2}{2}) + (3 - 3) = 0

cot 13 5^{\circ} = - cot 4 5^{\circ} = - 1

cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

cos 15 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ} = - \frac{3}{2}

B = 1 \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2})

B = - 1 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = - 1 + 1 = 0

cos 8 5^{\circ} = cos (9 0^{\circ} - 5^{\circ}) = sin 5^{\circ}

và

cos 6 5^{\circ} = cos (9 0^{\circ} - 2 5^{\circ}) = sin 2 5^{\circ}

C = (cos^{2} 5^{\circ} + sin^{2} 5^{\circ}) + (cos^{2} 2 5^{\circ} + sin^{2} 2 5^{\circ}) + cos^{2} 4 5^{\circ}

C = 1 + 1 + (\frac{2}{2})^{2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

cot 10 5^{\circ} = - cot 7 5^{\circ}

nên

tan 7 5^{\circ} \cdot cot 10 5^{\circ} = - tan 7 5^{\circ} \cdot cot 7 5^{\circ} = - 1

tan 5 0^{\circ} = tan (9 0^{\circ} - 4 0^{\circ}) = cot 4 0^{\circ}

nên

tan 4 0^{\circ} \cdot tan 5 0^{\circ} = 1

sin 10 7^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 10 7^{\circ}) = sin 7 3^{\circ}

D = 12 cos^{2} 7 3^{\circ} - 4 \cdot (- 1) + 12 sin^{2} 7 3^{\circ} - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}

D = 12 (cos^{2} 7 3^{\circ} + sin^{2} 7 3^{\circ}) + 4 - 1 = 12 + 4 - 1 = 15

cot 14 8^{\circ} = - cot 3 2^{\circ}

nên

4 tan 3 2^{\circ} \cdot \frac{1}{2} \cdot cot 14 8^{\circ} = - 2 tan 3 2^{\circ} \cdot cot 3 2^{\circ} = - 2

cot 10 8^{\circ} = - cot 7 2^{\circ} = - tan 1 8^{\circ}

nên

cot^{2} 10 8^{\circ} = tan^{2} 1 8^{\circ}

\frac{5 cot ^{2} 10 8 ^{\circ}}{1 + tan ^{2} 1 8 ^{\circ}} = 5 tan^{2} 1 8^{\circ} \cdot cos^{2} 1 8^{\circ} = 5 sin^{2} 1 8^{\circ}

sin 7 2^{\circ} = cos 1 8^{\circ}

nên

5 sin^{2} 7 2^{\circ} = 5 cos^{2} 1 8^{\circ}

E = - 2 + 5 sin^{2} 1 8^{\circ} + 5 cos^{2} 1 8^{\circ} = - 2 + 5 = 3

Vậy $A = 0$ , $B = 0$ , $C = \frac{5}{2}$ , $D = 15$ và $E = 3$ .

2Cách 2. Ghép cặp góc bù nhau, góc phụ nhau để các số hạng tự triệt tiêu

Định hướng. Không tính từng số hạng mà soi cấu trúc: mỗi biểu thức đều được lắp từ những cặp góc bù nhau hoặc phụ nhau, ghép đúng cặp là kết quả hiện ra mà khỏi tra bảng.

cos 13 5^{\circ} = - cos 4 5^{\circ}

cùng

cos 4 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ}

cho

sin 4 5^{\circ} + cos 13 5^{\circ} = 0

tan 12 0^{\circ} = - tan 6 0^{\circ} = - \frac{sin 6 0 ^{\circ}}{cos 6 0 ^{\circ}} = - 2 sin 6 0^{\circ}

cho

2 sin 6 0^{\circ} + tan 12 0^{\circ} = 0

A = (sin 4 5^{\circ} + cos 13 5^{\circ}) + (2 sin 6 0^{\circ} + tan 12 0^{\circ}) = 0 + 0 = 0

cot 13 5^{\circ} = - cot 4 5^{\circ}

nên

tan 4 5^{\circ} \cdot cot 13 5^{\circ} = - 1

cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ}

và

cos 15 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ}

nên

B = - 1 + sin 3 0^{\circ} cos 6 0^{\circ} + sin 6 0^{\circ} cos 3 0^{\circ}

sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ}

và

sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ}

nên

B = - 1 + cos^{2} 6 0^{\circ} + cos^{2} 3 0^{\circ}

cos^{2} 6 0^{\circ} + cos^{2} 3 0^{\circ} = cos^{2} 6 0^{\circ} + sin^{2} 6 0^{\circ} = 1

nên

B = - 1 + 1 = 0

C = (cos^{2} 5^{\circ} + cos^{2} 8 5^{\circ}) + (cos^{2} 2 5^{\circ} + cos^{2} 6 5^{\circ}) + cos^{2} 4 5^{\circ}

5^{\circ} + 8 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

và

2 5^{\circ} + 6 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

nên mỗi ngoặc bằng

1

C = 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

7 3^{\circ} + 10 7^{\circ} = 18 0^{\circ}

cho

sin^{2} 10 7^{\circ} = sin^{2} 7 3^{\circ}

và

12 cos^{2} 7 3^{\circ} + 12 sin^{2} 10 7^{\circ} = 12

7 5^{\circ} + 10 5^{\circ} = 18 0^{\circ}

cho

cot 10 5^{\circ} = - cot 7 5^{\circ}

và

- 4 tan 7 5^{\circ} \cdot cot 10 5^{\circ} = 4

4 0^{\circ} + 5 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

cho

tan 5 0^{\circ} = cot 4 0^{\circ}

và

- 2 tan 4 0^{\circ} \cdot cos 6 0^{\circ} \cdot tan 5 0^{\circ} = - 1

D = 12 + 4 - 1 = 15

3 2^{\circ} + 14 8^{\circ} = 18 0^{\circ}

cho

cot 14 8^{\circ} = - cot 3 2^{\circ}

, số hạng thứ nhất bằng

- 2

7 2^{\circ} + 10 8^{\circ} = 18 0^{\circ}

cùng

1 8^{\circ} + 7 2^{\circ} = 9 0^{\circ}

cho

cot 10 8^{\circ} = - cot 7 2^{\circ} = - tan 1 8^{\circ}

\frac{5 cot ^{2} 10 8 ^{\circ}}{1 + tan ^{2} 1 8 ^{\circ}} = \frac{5 tan ^{2} 1 8 ^{\circ}}{1 + tan ^{2} 1 8 ^{\circ}} = 5 sin^{2} 1 8^{\circ}

5 sin^{2} 7 2^{\circ} = 5 cos^{2} 1 8^{\circ}

nên hai số hạng cuối cộng lại bằng

5

E = - 2 + 5 = 3

Vậy $A = 0$ , $B = 0$ , $C = \frac{5}{2}$ , $D = 15$ và $E = 3$ .

3Cách 3. Đọc toạ độ điểm biểu diễn trên nửa đường tròn đơn vị

Định hướng. Đặt mỗi góc lên nửa đường tròn đơn vị rồi đọc $cos$ là hoành độ, $sin$ là tung độ của điểm biểu diễn; hai phép đối xứng — qua trục tung cho góc bù nhau, qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất cho góc phụ nhau — thay hẳn cho mọi công thức biến đổi.

Điểm ứng với

4 5^{\circ}

là

M_{1} (\frac{2}{2}; \frac{2}{2})

, điểm ứng với

6 0^{\circ}

là

M_{2} (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})

Điểm của

13 5^{\circ}

đối xứng

M_{1}

qua trục tung nên là

(- \frac{2}{2}; \frac{2}{2})

, cho

cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

và

cot 13 5^{\circ} = - 1

Điểm của

12 0^{\circ}

đối xứng

M_{2}

qua trục tung nên là

(- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})

, cho

tan 12 0^{\circ} = \frac{3 /2}{- 1/2} = - 3

và

cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

A = \frac{2}{2} + 3 - 3 - \frac{2}{2} = 0

B = 1 \cdot (- 1) - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2}) = - 1 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 0

Hai góc phụ nhau có hai điểm biểu diễn đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất nên hoành độ điểm này bằng tung độ điểm kia:

cos 8 5^{\circ} = sin 5^{\circ}

cos 6 5^{\circ} = sin 2 5^{\circ}

tan 5 0^{\circ} = cot 4 0^{\circ}

cot 7 2^{\circ} = tan 1 8^{\circ}

Điểm của

5^{\circ}

là

(cos 5^{\circ}; sin 5^{\circ})

nằm trên đường tròn bán kính

1

nên

cos^{2} 5^{\circ} + sin^{2} 5^{\circ} = 1

, tương tự với

2 5^{\circ}

C = 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

Điểm của

10 7^{\circ}

và điểm của

7 3^{\circ}

đối xứng qua trục tung nên cùng tung độ, cho

sin^{2} 10 7^{\circ} = sin^{2} 7 3^{\circ}

và

12 cos^{2} 7 3^{\circ} + 12 sin^{2} 7 3^{\circ} = 12

D = 12 + 4 - 1 = 15

Điểm của

10 8^{\circ}

đối xứng điểm của

7 2^{\circ}

qua trục tung nên

cot 10 8^{\circ} = - tan 1 8^{\circ}

, đồng thời

sin 7 2^{\circ} = cos 1 8^{\circ}

E = - 2 + 5 sin^{2} 1 8^{\circ} + 5 cos^{2} 1 8^{\circ} = 3

Vậy $A = 0$ , $B = 0$ , $C = \frac{5}{2}$ , $D = 15$ và $E = 3$ .

4Cách 4. Soát lại bằng máy tính cầm tay đặt ở đơn vị độ

Định hướng. Đặt máy ở đơn vị độ rồi bấm từng nhóm số hạng để soát hai ý d) và e) — hai ý nhiều số hạng, dễ nhầm một dấu mà không tự phát hiện.

12 cos^{2} 7 3^{\circ} \approx 1, 0257

và

12 sin^{2} 10 7^{\circ} \approx 10, 9743

, tổng đúng bằng

12

- 4 tan 7 5^{\circ} \cdot cot 10 5^{\circ} = 4

và

- 2 tan 4 0^{\circ} \cdot cos 6 0^{\circ} \cdot tan 5 0^{\circ} = - 1

D \approx 1, 0257 + 4 + 10, 9743 - 1 = 15

4 tan 3 2^{\circ} \cdot cos 6 0^{\circ} \cdot cot 14 8^{\circ} = - 2

\frac{5 cot ^{2} 10 8 ^{\circ}}{1 + tan ^{2} 1 8 ^{\circ}} \approx 0, 4775

5 sin^{2} 7 2^{\circ} \approx 4, 5225

E \approx - 2 + 0, 4775 + 4, 5225 = 3

Máy cho

A = 0

B = 0

C = 2, 5

, khớp với ba kết quả của các cách trên

Vậy cả năm kết quả được xác nhận: $A = 0$ , $B = 0$ , $C = \frac{5}{2}$ , $D = 15$ , $E = 3$ .

Nhận xét. Máy tính chỉ dùng để soát, không thay được lời giải: các giá trị $1, 0257$ hay $0, 4775$ là số gần đúng, chỉ khi ghép cặp như Cách 2 mới thấy tổng của chúng đúng bằng số nguyên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần nhìn ra cặp bù nhau hoặc phụ nhau là cả năm biểu thức gọn trong vài dòng, không phải tra bảng nên hầu như không sai dấu; Cách 1 an toàn nhưng dài gấp đôi, còn Cách 3 phải vẽ hình.

Đáp số. a)

A = 0

; b)

B = 0

; c)

C = \frac{5}{2}

; d)

D = 15

; e)

E = 3

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất là giữ nguyên dấu khi hạ góc tù, viết

cos 13 5^{\circ} = \frac{2}{2}

thay vì

- \frac{2}{2}

; lúc đó ý a) cho

A = 2 \approx 1, 41

chứ không phải

0

. Sai lầm thứ hai là kéo dấu trừ ra ngoài cả bình phương, viết

sin^{2} 10 7^{\circ} = - sin^{2} 7 3^{\circ}

, khi đó ý d) thành

12 cos^{2} 7 3^{\circ} + 4 - 12 sin^{2} 7 3^{\circ} - 1 \approx - 6, 95

thay vì

15

. Sai lầm thứ ba là lẫn góc phụ nhau với góc bù nhau ở ý c), lấy

cos 6 5^{\circ} = cos 2 5^{\circ}

rồi được

C = 2 cos^{2} 5^{\circ} + 2 cos^{2} 2 5^{\circ} + \frac{1}{2} \approx 4, 13

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá ý c): nếu

2 k + 1

góc lập thành cấp số cộng đối xứng quanh

4 5^{\circ}

và nằm giữa

0^{\circ}

với

9 0^{\circ}

thì tổng các

cos^{2}

của chúng bằng

k + \frac{1}{2}

, vì mỗi cặp đầu — cuối là một cặp góc phụ nhau; thử với bảy góc

5^{\circ}

1 8^{\circ}

3 1^{\circ}

4 5^{\circ}

5 9^{\circ}

7 2^{\circ}

8 5^{\circ}

sẽ được đúng

\frac{7}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.2★★★Trang 32— Tính giá trị biểu thức chứa

tan

và

cot

khi biết

sin

của một góc tù

Cho góc

α

với

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

thoả mãn

sin α = \frac{3}{4}

. Tính giá trị của biểu thức

F = \frac{tan α + 2 cot α}{tan α + cot α}

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
$tan α = \frac{sin α}{cos α}$ khi $cos α \neq = 0$ và $cot α = \frac{cos α}{sin α}$ khi $sin α \neq = 0$ ; khi đó $tan α \cdot cot α = 1$ .
Với $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ thì $sin α > 0$ còn $cos α < 0$ , $tan α < 0$ , $cot α < 0$ .
Trên nửa đường tròn đơn vị, điểm biểu diễn góc $α$ có hoành độ $cos α$ và tung độ $sin α$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

sin α

kèm điều kiện

α

tù, còn biểu thức lại viết theo

tan α

và

cot α

, nên dấu hiệu rõ ràng là phải bắc cầu qua

cos α

bằng hệ thức

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

. Điều kiện

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

không phải để trang trí mà để chọn giá trị âm cho

cos α

, vì từ

cos^{2} α

luôn có hai giá trị trái dấu. Bẫy nằm ở chỗ tưởng phải tính xong

tan α

với

cot α

mới thay được, trong khi

F

chỉ phụ thuộc

cos^{2} α

nên dấu của

cos α

hoá ra không ảnh hưởng gì tới đáp số.

1Cách 1. Tính lần lượt cos, tan, cot rồi thay số vào F

Định hướng. Đi đúng thứ tự dữ kiện: từ $sin α$ ra $cos α$ nhờ hệ thức nền, rồi ra $tan α$ và $cot α$ , cuối cùng thay cả hai vào $F$ .

cos^{2} α = 1 - sin^{2} α = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}

9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

nên

cos α < 0

, do đó

cos α = - \frac{7}{4}

tan α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{3/4}{- 7 /4} = - \frac{3}{7} = - \frac{3 7}{7}

cot α = \frac{cos α}{sin α} = \frac{- 7 /4}{3/4} = - \frac{7}{3}

tan α + 2 cot α = - \frac{3 7}{7} - \frac{2 7}{3} = - \frac{9 7 + 14 7}{21} = - \frac{23 7}{21}

tan α + cot α = - \frac{3 7}{7} - \frac{7}{3} = - \frac{9 7 + 7 7}{21} = - \frac{16 7}{21}

F = \frac{- 23 7 /21}{- 16 7 /21} = \frac{23}{16}

Vậy $F = \frac{23}{16}$ .

2Cách 2. Quy về sin và cos: nhân cả tử và mẫu với sin α · cos α

Định hướng. Đưa $F$ về $sin$ và $cos$ ngay từ đầu, khi đó mẫu thu về $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ nên khỏi phải tính $tan α$ hay $cot α$ , cũng khỏi bàn dấu.

tan α + 2 cot α = \frac{sin α}{cos α} + \frac{2 cos α}{sin α} = \frac{sin ^{2} α + 2 cos ^{2} α}{sin α cos α}

tan α + cot α = \frac{sin α}{cos α} + \frac{cos α}{sin α} = \frac{sin ^{2} α + cos ^{2} α}{sin α cos α} = \frac{1}{sin α cos α}

F = \frac{sin ^{2} α + 2 cos ^{2} α}{sin α cos α} \cdot \frac{sin α cos α}{1} = sin^{2} α + 2 cos^{2} α

F = (sin^{2} α + cos^{2} α) + cos^{2} α = 1 + cos^{2} α

cos^{2} α = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}

F = 1 + \frac{7}{16} = \frac{23}{16}

Vậy $F = \frac{23}{16}$ .

3Cách 3. Đặt t = tan²α để F thành một phân thức bậc nhất theo t

Định hướng. Chia cả tử và mẫu cho $cot α$ rồi dùng $tan α \cdot cot α = 1$ : biểu thức chỉ còn phụ thuộc $t = tan^{2} α$ , đại lượng luôn dương nên khỏi xét dấu.

cot α = \frac{1}{tan α}

nên

\frac{tan α}{cot α} = tan^{2} α = t

F = \frac{\frac{tan α}{cot α} + 2}{\frac{tan α}{cot α} + 1} = \frac{t + 2}{t + 1}

t = \frac{sin ^{2} α}{cos ^{2} α} = \frac{9/16}{7/16} = \frac{9}{7}

F = \frac{\frac{9}{7} + 2}{\frac{9}{7} + 1} = \frac{23/7}{16/7} = \frac{23}{16}

Vậy $F = \frac{23}{16}$ .

4Cách 4. Dựng điểm biểu diễn trên nửa đường tròn đơn vị rồi đọc toạ độ

Định hướng. Dựng điểm biểu diễn $M$ của góc $α$ trên nửa đường tròn đơn vị: tung độ đã biết là $\frac{3}{4}$ , hoành độ lấy từ tam giác vuông $O H M$ và mang dấu âm vì $M$ nằm bên trái trục tung.

M (x_{0}; y_{0})

với

y_{0} = sin α = \frac{3}{4}

và

O M = 1

Tam giác

O H M

vuông tại

H

cho

O H^{2} = O M^{2} - H M^{2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}

, suy ra

O H = \frac{7}{4}

α

tù nên

M

ở bên trái trục tung, do đó

x_{0} = cos α = - \frac{7}{4}

F = \frac{\frac{y _{0}}{x _{0}} + \frac{2 x _{0}}{y _{0}}}{\frac{y _{0}}{x _{0}} + \frac{x _{0}}{y _{0}}} = \frac{y _{0}^{2} + 2 x _{0}^{2}}{y _{0}^{2} + x _{0}^{2}} = y_{0}^{2} + 2 x_{0}^{2}

F = \frac{9}{16} + 2 \cdot \frac{7}{16} = \frac{9 + 14}{16} = \frac{23}{16}

Vậy $F = \frac{23}{16}$ .

Nhận xét. Ba cách sau đều cho thấy $F = 1 + cos^{2} α = 2 - sin^{2} α$ , tức $F$ chỉ phụ thuộc $sin^{2} α$ : giá trị $\frac{23}{16}$ giữ nguyên dù $α$ nhọn hay tù, nên điều kiện $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ của đề chỉ thật sự cần nếu bài hỏi thêm $cos α$ hoặc $tan α$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hai dòng quy đồng là

F

thu về

1 + cos^{2} α

, chỉ còn một phép trừ phân số, lại không phải lôi

7

ra nên gần như không sai dấu; Cách 1 đúng nhưng phải cộng bốn phân số có căn, rất dễ nhầm.

Đáp số.

cos α = - \frac{7}{4}

tan α = - \frac{3 7}{7}

cot α = - \frac{7}{3}

và

F = \frac{23}{16}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm nặng nhất là bỏ qua điều kiện

α

tù mà lấy

cos α = \frac{7}{4}

; riêng bài này

F

vẫn ra

\frac{23}{16}

nên lỗi bị che, nhưng nếu đề hỏi

tan α

thì đáp số sai dấu hoàn toàn, thành

\frac{3 7}{7}

thay vì

- \frac{3 7}{7}

. Sai lầm thứ hai là rút gọn bừa

\frac{tan α + 2 cot α}{tan α + cot α} = \frac{2 cot α}{cot α} = 2

— xoá

tan α

ở tử với

tan α

ở mẫu, phép chỉ được làm với nhân tử chứ không phải với số hạng. Sai lầm thứ ba là lẫn

sin

với

cos

, viết

cos α = - \frac{3}{4}

, khi đó

F = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}

🚀 Mở rộng. Vẫn lối biến đổi ấy,

\frac{tan α + m cot α}{tan α + cot α} = sin^{2} α + m cos^{2} α = m - (m - 1) sin^{2} α

, nên chỉ cần đổi số

2

của đề thành

m

là có ngay đáp số

m - \frac{9 ( m - 1 )}{16}

; thử

m = 3

sẽ được

\frac{15}{8}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.3★★★Trang 33— Tính giá trị biểu thức theo

sin

và

cos

khi biết

tan α

Cho góc

α

thoả mãn

0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

và

tan α = 2

. Tính giá trị của các biểu thức: a)

G = 2 sin α + cos α

; b)

H = \frac{2 sin α + cos α}{sin α - cos α}

Kiến thức cần nhớ

$1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ khi $cos α \neq = 0$ .
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ và $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ .
Với $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ thì $tan α > 0$ ; với $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ thì $tan α < 0$ .
Thương hai biểu thức thuần nhất cùng bậc theo $sin α$ và $cos α$ chỉ phụ thuộc $tan α$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.4★★★★Trang 33— Rút gọn và tính biểu thức thuần nhất bậc ba theo

sin

và

cos

khi biết

tan

Cho góc

α

thoả mãn

0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

và

tan α = 2

. Tính giá trị của biểu thức

K = \frac{sin ^{3} α + sin α cos ^{2} α + 2 sin ^{2} α cos α - 4 cos ^{3} α}{sin α - cos α}

Kiến thức cần nhớ

$1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ khi $cos α \neq = 0$ .
Biểu thức thuần nhất bậc $n$ theo $sin α$ , $cos α$ sau khi chia cho $cos^{n} α$ thì chỉ còn phụ thuộc $tan α$ .
$t = 1$ là nghiệm của đa thức $P (t)$ khi và chỉ khi $P (t)$ chia hết cho $t - 1$ .
$sin α cos α = tan α \cdot cos^{2} α = \frac{tan α}{1 + tan ^{2} α}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.5★★★Trang 33— Chứng minh đẳng thức lượng giác nhờ hệ thức

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Chứng minh rằng: a)

sin^{4} α + cos^{4} α = 1 - 2 sin^{2} α cos^{2} α

; b)

sin^{6} α + cos^{6} α = 1 - 3 sin^{2} α cos^{2} α

; c)

sin^{4} α + 6 cos^{2} α + 3 + cos^{4} α + 4 sin^{2} α = 4

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ với mọi góc $α$ từ $0^{\circ}$ đến $18 0^{\circ}$ .
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ và $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 ab (a + b)$ .
$X^{2} = ∣ X ∣$ , bằng $X$ khi $X \geq 0$ và bằng $- X$ khi $X < 0$ .
$0 \leq sin^{2} α \leq 1$ và $0 \leq cos^{2} α \leq 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.6★★★★Trang 33— Vận dụng công thức thực tế có trị tuyệt đối của

cos

để tính góc nghiêng

Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Để đo trực tiếp góc này, vào khoảng 12 giờ trưa ta dựng một chiếc thước thẳng vuông góc với mặt đất rồi đo độ dài bóng thước trên mặt đất; khi đó tang của góc nghiêng bằng tỉ số giữa độ dài của thước và độ dài bóng thước. Góc nghiêng phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đo và vào thời điểm đo trong năm. Tại vị trí có vĩ độ

φ

, vào ngày thứ

N

trong năm, góc nghiêng

α

của Mặt Trời được tính xấp xỉ bởi công thức

α = 9 0^{\circ} - φ - cos [(\frac{2 ( N + 10 )}{365} - m) \cdot 18 0^{\circ}] \cdot 23, 5^{\circ}

, trong đó

m = 0

nếu

1 \leq N \leq 172

m = 1

nếu

173 \leq N \leq 355

m = 2

nếu

356 \leq N \leq 365

. a) Tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10 tháng 10 của một năm không nhuận tại vị trí có vĩ độ

φ = 2 0^{\circ}

. b) Xác định vĩ độ nơi em sinh sống rồi tính góc nghiêng của Mặt Trời tại đó theo hai cách — đo bóng thước và dùng công thức trên — sau đó so sánh hai kết quả.

Kiến thức cần nhớ

Năm không nhuận có $365$ ngày; tháng 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12 có $31$ ngày, tháng 4, 6, 9, 11 có $30$ ngày và tháng 2 có $28$ ngày.
Hai góc bù nhau có $cos (18 0^{\circ} - x) = - cos x$ , nên $∣ cos x ∣ = cos (18 0^{\circ} - x)$ khi $9 0^{\circ} < x < 18 0^{\circ}$ .
$cos x < 0$ khi $9 0^{\circ} < x < 18 0^{\circ}$ và $cos x > 0$ khi $0^{\circ} \leq x < 9 0^{\circ}$ ; luôn có $0 \leq ∣ cos x ∣ \leq 1$ .
Trong tam giác vuông, $tan$ của một góc nhọn bằng tỉ số cạnh đối trên cạnh kề.