Bài 42. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Định hướng. Biểu thức có dấu ngoặc thì luôn tính trong ngoặc trước, sau đó mới nhân ra kết quả — đây là cách làm trực tiếp theo đúng thứ tự phép tính.

Vậy a) $175$; b) $192$.

Định hướng. Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: nhân số đó với từng số hạng trong ngoặc rồi cộng lại.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1.

Định hướng. Vẽ một hình chữ nhật rồi chia thành hai phần nhỏ theo đúng hai số hạng trong ngoặc — diện tích cả hình bằng tổng diện tích hai phần, giúp nhìn thấy vì sao hai cách trên luôn cho cùng một kết quả.

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả a) $175$, b) $192$.

Nhận xét. Hình vẽ cho thấy $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$ đúng với mọi trường hợp, vì diện tích cả hình luôn bằng tổng diện tích các phần nhỏ ghép lại.

Định hướng. Thay $m=4,n=2,p=7$ vào cả bốn biểu thức ở câu a) để có bốn kết quả cụ thể, rồi dùng đúng các số đó để so khớp từng khẳng định ở câu b).

Vậy câu a) cho bốn kết quả $36;42;36;42$; câu b) lần lượt là S, Đ, S, Đ.

Định hướng. Không cần thay số: đối chiếu ngay từng khẳng định với công thức tổng quát $m\times (n+p)=m\times n+m\times p$ và $(m+n)\times p=m\times p+n\times p$ — khẳng định nào nhân đủ cả hai số hạng là đúng luật, khẳng định nào chỉ nhân một số hạng rồi cộng thẳng số còn lại là sai luật.

Vậy kết quả xét đúng/sai giống hệt Cách 1, mà không cần tính số.

Định hướng. Muốn chắc chắn một khẳng định là SAI, có thể thử một bộ số $m,n,p$ khác — nếu hai vế cho ra hai kết quả khác nhau thì khẳng định đó chắc chắn sai, không phụ thuộc số đã cho ban đầu.

Vậy hai khẳng định đó sai với MỌI bộ số, đúng như đã xét ở Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Chỉ cần một bộ số làm hai vế khác nhau là đủ kết luận khẳng định sai; muốn khẳng định là đúng luôn thì phải dùng công thức tổng quát như Cách 2.

Định hướng. Vì mỗi túi cam và mỗi túi xoài đều có cùng $12$ quả, gộp tổng số túi lại trước rồi nhân một lần với $12$ sẽ nhanh hơn tính riêng từng loại.

Vậy cả cam và xoài có $108$ quả.

Định hướng. Đi theo chiều ngược lại: tính riêng số quả cam, số quả xoài rồi mới cộng hai kết quả — đây chính là vế bên phải của tính chất phân phối, dùng để kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, đúng như tính chất phân phối đã học.

Định hướng. Vẽ một đoạn thẳng gồm hai phần: phần ứng với 5 túi cam và phần ứng với 4 túi xoài, để nhìn thấy trực quan vì sao gộp túi trước hay tính riêng rồi cộng đều cho cùng một kết quả.

Vậy cả ba cách đều cho cùng đáp số $108$ quả.

Nhận xét. Sơ đồ cho thấy rõ $(5+4)\times 12$ và $5\times 12+4\times 12$ chỉ là hai cách nhìn khác nhau của cùng một phép tính.

Định hướng. Thay số vào biểu thức, cộng đủ cả ba số trong ngoặc trước, rồi mới nhân với $36$.

Vậy số cần điền là $3600$.

Định hướng. Áp dụng tính chất phân phối cho ba số hạng: nhân $36$ với từng số $a,b,c$ rồi cộng cả ba tích lại, kết quả không đổi so với Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1.

Định hướng. Sau khi có kết quả, có thể kiểm tra lại bằng phép tính ngược: lấy kết quả chia cho $36$, nếu ra đúng $a+b+c$ thì bài làm đúng.

Vậy kết quả $3600$ là chính xác, không tính nhầm ở bước nào.

Nhận xét. Cách kiểm tra ngược này giúp tự phát hiện lỗi tính sai mà không cần làm lại từ đầu.

Định hướng. Tính riêng từng phép nhân rồi cộng hai kết quả lại — đây là cách làm trực tiếp theo đúng thứ tự phép tính.

Vậy a) $259$; b) $1030$.

Định hướng. Cả hai tích trong mỗi câu đều có chung một thừa số, gộp thừa số chung ra ngoài rồi cộng hai thừa số còn lại theo tính chất phân phối.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, mà tính nhẩm nhanh hơn hẳn ở câu b) vì $4+6=10$ là số tròn chục.

Định hướng. Đặt tính rồi cộng theo cột dọc hai tích đã tính ở Cách 1, giúp kiểm tra lại phép cộng không bị nhầm hàng.

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả như trên.

Nhận xét. Đặt tính theo cột dọc chắc chắn không nhầm hàng, nhưng gộp thừa số chung (Cách 2) vẫn nhanh và gọn hơn khi đi thi.

Định hướng. Tính riêng từng phép nhân rồi cộng lại — cách làm chắc chắn dùng để đối chiếu với cách gộp thừa số chung.

Vậy a) $760$; b) $13600$; c) $500$.

Định hướng. Tìm đúng thừa số chung của hai tích (đứng trước hay đứng sau đều được), gộp ra ngoài rồi cộng hai thừa số còn lại; câu nào tổng đó tròn chục, tròn trăm thì tính nhẩm cực nhanh.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, mà tính nhẩm nhanh hơn nhiều vì cả ba tổng $7+3,80+20,41+59$ đều tròn chục hoặc tròn trăm.

Định hướng. Đặt tính rồi cộng theo cột dọc các tích đã tính ở Cách 1, dùng để kiểm tra lại kết quả câu a) một lần nữa.

Vậy kết quả câu a) chắc chắn đúng là $760$, khớp với cả hai cách trên.

Nhận xét. Với những số lớn như câu b), gộp thừa số chung trước (Cách 2) an toàn và nhanh hơn hẳn so với nhân riêng từng tích rồi cộng số có nhiều chữ số.

Định hướng. Tính riêng từng phép nhân rồi cộng cả ba kết quả lại theo đúng thứ tự đề cho.

Vậy a) $4170$; b) $870$.

Định hướng. Gộp thừa số chung của cả ba tích ra ngoài rồi cộng ba thừa số còn lại; chú ý ở câu b) số $87$ đứng riêng chính là $87\times 1$.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, mà chỉ cần một phép nhân với $10$.

Định hướng. Đặt tính rồi cộng theo cột dọc ba tích đã tính ở Cách 1, dùng để kiểm tra lại kết quả câu b).

Vậy kết quả câu b) chắc chắn đúng là $870$, khớp với cả hai cách trên.

Nhận xét. Gộp thừa số chung (Cách 2) luôn nhanh và an toàn hơn khi thừa số chung là số có ba chữ số như $417$.

Định hướng. Tính số tiền mua từng loại bút chì màu riêng, rồi cộng hai số tiền lại để ra tổng số tiền cô giáo đã mua.

Vậy cô giáo đã mua hết $500000$ đồng.

Định hướng. Vì cả hai loại đều mua đúng $5$ hộp, cộng giá một hộp của hai loại trước, rồi nhân một lần với số hộp — đây là chiều ngược của tính chất phân phối.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, mà chỉ cần một phép nhân với số tròn trăm nghìn.

Định hướng. Đặt tính rồi cộng theo cột dọc hai số tiền đã tính ở Cách 1, dùng để kiểm tra lại phép cộng số có nhiều chữ số $0$.

Vậy tổng số tiền chắc chắn đúng là $500000$ đồng, khớp với cả hai cách trên.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn hẳn vì gộp giá tiền tròn trăm nghìn trước khi nhân, tránh phải cộng hai số có nhiều chữ số $0$ ở bước cuối.

Định hướng. Với biểu thức có dấu ngoặc, tính trong ngoặc trước; với biểu thức chỉ có nhân và trừ, tính phép nhân trước, phép trừ sau.

Vậy bốn kết quả lần lượt là $96;96;48;48$ — hai cặp biểu thức bằng nhau từng đôi một.

Định hướng. Đối chiếu từng cặp ở câu b) với công thức $a\times (b-c)=a\times b-a\times c$: nếu số trừ ở hai vế giống nhau thì áp dụng công thức ngay là bằng nhau; nếu số trừ khác nhau thì phải tính riêng từng vế mới so sánh được.

Vậy bốn dấu cần điền lần lượt là $=,<,=,=$.

Định hướng. Vẽ một hình chữ nhật cạnh $24$ và $8$, sau đó cắt bớt đi phần cạnh $4$ — phần còn lại chính là hình chữ nhật cạnh $24$ và $8-4=4$, giúp nhìn thấy trực quan vì sao phép trừ trong ngoặc cũng phân phối được như phép cộng.

Vậy $24\times (8-4)=24\times 8-24\times 4=96$, đúng như hai cách trên.

Nhận xét. Công thức phân phối trừ chỉ đúng khi số bị trừ trong ngoặc lớn hơn hoặc bằng số trừ, và số trừ ở hai vế phải giống hệt nhau.

Định hướng. Thay đúng $a,b,c$ của từng hàng vào hai cột công thức, tính riêng từng vế rồi so sánh.

Vậy bảng được điền đủ, và dấu cần điền vào chỗ chấm là dấu $=$: $a\times (b-c)=a\times b-a\times c$.

Định hướng. Vì hàng mẫu đã cho thấy hai cột luôn bằng nhau, áp dụng ngay công thức $a\times (b-c)=a\times b-a\times c$ để suy cột thứ hai từ cột thứ nhất mà không cần tính lại từ đầu.

Vậy kết quả giống hệt Cách 1, nhưng tính nhanh hơn vì chỉ cần tính một cột.

Định hướng. Với câu b), gộp theo tính chất phân phối trừ trước khi tính để nối nhanh; đồng thời có thể tự thử thêm một bộ số ngoài bảng để chắc chắn công thức luôn đúng.

Vậy $17\times 5-17\times 3$ nối với $34$, $41\times 8-35\times 8$ nối với $48$, đúng như tính chất đã kiểm chứng ở câu a).

Nhận xét. Bài toán nối ở câu b) chính là ứng dụng ngược của công thức: thay vì tính trừ hai số lớn, gộp thừa số chung để tính nhẩm nhanh hơn.

Định hướng. Tính riêng từng phép nhân rồi trừ hai kết quả — cách làm trực tiếp để đối chiếu với cách gộp thừa số chung.

Vậy a) $125$; b) $900$.

Định hướng. Gộp thừa số chung của hai tích ra ngoài rồi trừ hai thừa số còn lại; kết quả phép trừ trong ngoặc càng nhỏ thì tính nhẩm càng nhanh.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, mà không cần nhân số có ba, bốn chữ số.

Định hướng. Đặt tính rồi trừ theo cột dọc hai tích đã tính ở Cách 1, dùng để kiểm tra lại phép trừ không bị nhầm hàng.

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả như trên.

Nhận xét. Câu a) đặc biệt gọn vì $8-7=1$, nhân với $1$ không đổi giá trị — nên $125\times 8-125\times 7$ bằng chính $125$.

Định hướng. Tìm số hộp bút màu còn lại trước bằng phép trừ, sau đó nhân với số bút có trong mỗi hộp.

Vậy cửa hàng còn lại $120$ chiếc bút màu.

Định hướng. Đi theo chiều ngược lại: tính tổng số bút màu ban đầu và số bút đã bán rồi mới trừ hai kết quả — đây chính là vế bên phải của tính chất phân phối trừ, dùng để kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, đúng như tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ.

Định hướng. Đặt tính rồi trừ theo cột dọc hai số ở Cách 2, dùng để kiểm tra lại kết quả một lần nữa.

Vậy số bút màu còn lại chắc chắn đúng là $120$ chiếc, khớp với cả hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 (trừ số hộp trước) nhanh hơn hẳn Cách 2 vì chỉ cần nhân với số nhỏ $10$ thay vì nhân với cả $100$ và $90$.