Bài 56. Rút gọn phân số

Định hướng. Với mỗi phân số, thử xem tử số và mẫu số có cùng chia hết cho 2, rồi 3, rồi 5,... hay không; hễ tìm được thì chia ngay, rồi lặp lại cho tới khi không chia được nữa.

Vậy phân số tối giản là $\frac{19}{21};\frac{25}{17};\frac{13}{42}$; ba phân số $\frac{2}{6};\frac{20}{35};\frac{27}{57}$ chưa tối giản và rút gọn được lần lượt thành $\frac{1}{3};\frac{4}{7};\frac{9}{19}$.

Định hướng. Viết tử số và mẫu số thành tích các thừa số nguyên tố, thừa số nào xuất hiện ở cả hai thì đó chính là ước chung lớn nhất; chia một lần cho số đó là ra ngay phân số tối giản, không cần thử nhiều lần.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1: phân số tối giản là $\frac{19}{21};\frac{25}{17};\frac{13}{42}$, ba phân số còn lại rút gọn thành $\frac{1}{3};\frac{4}{7};\frac{9}{19}$.

Định hướng. Vẽ hai băng giấy dài bằng nhau: băng A chia 6 phần bằng nhau và tô đậm 2 phần, băng B chia 3 phần bằng nhau và tô đậm 1 phần; nếu phần tô đậm của hai băng dài bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau (xem hình).

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả, khẳng định bài đã làm đúng.

Nhận xét. Phân số có tử số lớn hơn mẫu số (như $\frac{25}{17}$) vẫn có thể là phân số tối giản, không phải cứ tử lớn hơn mẫu là chưa tối giản.

Định hướng. Rút gọn dần từng phân số ở hàng dưới bằng các ước nhỏ, qua nhiều bước trung gian, cho tới khi tối giản rồi so khớp với phân số tương ứng ở hàng trên.

Vậy nối $\frac{27}{36}$ với $\frac{3}{4}$, nối $\frac{3}{13}$ với $\frac{12}{52}$, nối $\frac{1}{5}$ với $\frac{20}{100}$.

Định hướng. Phân tích tử số và mẫu số ra thừa số nguyên tố để thấy ngay ước chung lớn nhất, chia một lần là được phân số tối giản.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1.

Định hướng. Nhìn vào cặp mẫu đã nối sẵn trong hình: $\frac{14}{18}$ nối với $\frac{7}{9}$ vì hai băng giấy tô cùng một độ dài; áp dụng đúng cách đó cho ba cặp còn lại bằng cách hình dung gộp các phần nhỏ lại.

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả: nối $\frac{27}{36}$ với $\frac{3}{4}$; $\frac{3}{13}$ với $\frac{12}{52}$; $\frac{1}{5}$ với $\frac{20}{100}$.

Nhận xét. Hai phân số có hình thức rất khác nhau (như $\frac{3}{13}$ và $\frac{12}{52}$) vẫn có thể bằng nhau, phải rút gọn mới nhận ra.

Định hướng. Rút gọn phân số $\frac{24}{48}$ dần từng bước bằng cách chia liên tiếp cho các ước nhỏ, đối chiếu từng kết quả trung gian với ba phương án đã cho.

Vậy câu a: $\frac{7}{6}$ ghi Đ, $\frac{6}{7}$ ghi S. Câu b: $\frac{12}{24}$ ghi S, $\frac{6}{12}$ ghi S, $\frac{1}{2}$ ghi Đ.

Định hướng. Tìm ngay ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số bằng cách phân tích thừa số nguyên tố, chia một lần để có phân số tối giản, rồi so sánh với từng phương án.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1.

Định hướng. Hình dung một băng giấy chia 48 phần bằng nhau, tô đậm 24 phần; so sánh với các băng giấy chia ít phần hơn nhưng vẫn tô đậm đúng độ dài đó.

Vậy cả ba cách đều xác nhận: câu a $\frac{7}{6}$ là Đ, $\frac{6}{7}$ là S; câu b chỉ có $\frac{1}{2}$ là Đ.

Nhận xét. Khi đề hỏi phân số tối giản, phải rút gọn đến hết, không được dừng ở một kết quả trung gian dù kết quả đó có giá trị đúng.

Định hướng. Với câu a, rút gọn $\frac{60}{45}$ xuống $\frac{12}{?}$ bằng một bước, rồi rút gọn tiếp xuống $\frac{4}{?}$ bằng một bước nữa. Với câu b, chia liên tiếp cho các ước chung nhỏ cho tới khi tối giản.

Vậy a) chỗ trống là $9$ và $3$ (tức $\frac{60}{45}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$). b) $\frac{16}{40}=\frac{2}{5}$; $\frac{100}{125}=\frac{4}{5}$; $\frac{34}{64}=\frac{17}{32}$.

Định hướng. Phân tích tử số và mẫu số ra thừa số nguyên tố để tìm ước chung lớn nhất, chia một lần cho ra ngay phân số tối giản, dùng để kiểm tra kết quả từng bước của Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, xác nhận các số cần điền là $9$, $3$ và ba phân số rút gọn đúng.

Định hướng. Hình dung băng giấy chia 40 phần bằng nhau, tô đậm 16 phần, rồi gộp dần các phần nhỏ lại thành phần lớn hơn để thấy rõ từng bước rút gọn.

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả như trên.

Nhận xét. Phân số $\frac{16}{40}$ phải rút gọn tới ba bước (chia cho 2 ba lần) mới tối giản, trong khi $\frac{34}{64}$ chỉ cần một bước — không phải phân số nào cũng rút gọn nhanh như nhau.

Định hướng. Rút gọn $\frac{60}{75}$ dần từng bước, đồng thời kiểm tra từng phương án A, B, C, D xem có còn rút gọn được nữa không.

Vậy chọn phương án C: $\frac{4}{5}$.

Định hướng. Phân tích 60 và 75 ra thừa số nguyên tố để tìm ngay ước chung lớn nhất, chia một lần được luôn phân số tối giản.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1: chọn C.

Định hướng. Hình dung băng giấy chia 75 phần bằng nhau, tô đậm 60 phần, rồi gộp dần các phần nhỏ lại để tìm cách chia có ít phần nhất mà vẫn tô đậm đúng độ dài đó.

Vậy cả ba cách đều xác nhận chọn phương án C: $\frac{4}{5}$.

Nhận xét. A và B tuy tô đậm đúng độ dài như C nhưng băng giấy bị chia vụn hơn (còn gộp được nữa), nên không phải là phân số tối giản.

Định hướng. Tìm các thừa số giống nhau xuất hiện ở cả tử số và mẫu số rồi lược bỏ trước, không cần nhân hết các số ra rồi mới rút gọn.

Vậy a) $\frac{15\times 16\times 17}{17\times 18\times 15}=\frac{8}{9}$. b) $\frac{51\times 53\times 55\times 44}{44\times 53\times 55\times 24}=\frac{17}{8}$.

Định hướng. Nhân hết tử số và nhân hết mẫu số ra một số cụ thể, rồi tìm ước chung lớn nhất của hai số đó để rút gọn một lần — cách này chậm hơn nhưng giúp kiểm tra lại Cách 1.

Vậy câu a hai cách cho cùng kết quả $\frac{8}{9}$, xác nhận Cách 1 làm đúng; câu b giữ nguyên kết quả $\frac{17}{8}$ của Cách 1.

Định hướng. Viết tử số và mẫu số thành hàng ngang, dùng dấu gạch chéo đánh dấu từng cặp thừa số giống nhau xuất hiện ở cả hai hàng — giống cách rô-bốt gợi ý trong sách: nhìn thấy cặp nào giống nhau thì gạch bỏ ngay cặp đó.

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả như trên.

Nhận xét. Gạch bỏ thừa số giống nhau trước khi nhân giúp làm việc với số rất nhỏ, tránh phải nhân ra những số có nhiều chữ số như ở Cách 2.

Định hướng. Rút gọn lần lượt bốn phân số của Việt, Nam, Mai, Rô-bốt về dạng tối giản rồi so sánh.

Vậy Việt, Mai, Rô-bốt đều tô $\frac{1}{2}$ băng giấy — bằng nhau; còn Nam tô $\frac{3}{4}$, nhiều hơn ba bạn kia. Chọn phương án C: Mai, Việt, Rô-bốt.

Định hướng. Tìm ngay ước chung lớn nhất của từng cặp tử số – mẫu số để rút gọn một lần, rồi quy đồng để so sánh chắc chắn với phần của Nam.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1: Việt, Mai, Rô-bốt bằng nhau (đều $\frac{1}{2}$); Nam khác. Chọn C.

Định hướng. Vẽ bốn băng giấy dài bằng nhau, tô đậm đúng theo phần của từng bạn rồi so sánh độ dài phần tô đậm bằng mắt (xem hình).

Vậy cả ba cách đều xác nhận ba bạn tô màu bằng nhau là Việt, Mai, Rô-bốt. Chọn phương án C.

Nhận xét. Hai phân số $\frac{6}{12}$ và $\frac{3}{6}$ có hình thức khác hẳn nhau nhưng rút gọn lại bằng nhau — không nhìn hình thức bên ngoài mà kết luận vội.