Bài 57. Quy đồng mẫu số các phân số

Định hướng. Với hai phân số bất kỳ, tích của hai mẫu số luôn là một mẫu số chung hợp lệ, dù không phải mẫu số chung nhỏ nhất.

Vậy cả ba câu đều quy đồng được, nhưng các số $722$; $900$; $507$ đều lớn hơn nhiều so với mẫu số chung nhỏ nhất.

Định hướng. Lấy mẫu số lớn hơn chia cho mẫu số bé hơn ở từng câu; nếu chia hết thì mẫu số chung nhỏ nhất chính là mẫu số lớn hơn, không cần nhân hai mẫu số với nhau.

Vậy mẫu số chung nhỏ nhất của ba câu lần lượt là $38$; $60$; $39$, đúng bằng mẫu số lớn hơn trong mỗi cặp.

Định hướng. Không cần đặt phép chia, chỉ cần nhớ bảng nhân quen thuộc để nhận ra ngay $38=19\times 2$, $60=15\times 4$, $39=13\times 3$, rồi viết thẳng thừa số vào công thức.

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả: $\frac{30}{38}$ và $\frac{17}{38}$; $\frac{44}{60}$ và $\frac{23}{60}$; $\frac{36}{39}$ và $\frac{16}{39}$.

Nhận xét. Cách 3 nhanh nhất vì không cần thực hiện phép chia, chỉ cần nhớ bảng nhân để nhận ra ngay quan hệ bội số giữa hai mẫu.

Định hướng. Mẫu mới luôn là bội của mẫu cũ nên lấy mẫu mới chia cho mẫu cũ ra số cần nhân thêm, rồi nhân số đó với cả tử số và mẫu số.

Vậy bốn tử số cần điền lần lượt là $12$; $10$; $8$; $21$.

Định hướng. Hai phân số bằng nhau thì tích chéo bằng nhau; gọi tử số cần tìm là $x$, ta có $x\times$ mẫu cũ $=$ tử cũ $\times$ mẫu mới, tính $x$ bằng phép nhân trước, chia sau — ngược thứ tự với Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1.

Định hướng. Đoán một tử số hợp lý cho chỗ trống rồi rút gọn phân số vừa điền; nếu rút gọn ra đúng phân số ban đầu là nhận — cách này giúp tự kiểm tra lại bài làm.

Vậy làm tương tự cho câu b) và d) cũng rút gọn đúng về $\frac{2}{3}$ và $\frac{3}{4}$ như hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại sau khi đã điền bằng Cách 1 hoặc Cách 2, vì đoán sai số ban đầu sẽ phải thử lại nhiều lần.

Định hướng. Lấy $15$ chia lần lượt cho $3$ và cho $5$ để ra hai số cần nhân thêm, rồi nhân số đó với cả tử số và mẫu số.

Vậy hai phân số cần tìm là $\frac{5}{15}$ và $\frac{12}{15}$.

Định hướng. $15$ nằm trong bảng nhân $3$ ($3\times 5=15$) và bảng nhân $5$ ($5\times 3=15$) nên đọc ngay được số cần nhân thêm mà không cần đặt phép chia.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1.

Định hướng. Gọi tử số cần tìm là $x$; hai phân số bằng nhau thì tích chéo bằng nhau, từ đó tính $x$ bằng một phép nhân rồi một phép chia.

Vậy cả ba cách đều cho cùng hai phân số $\frac{5}{15}$ và $\frac{12}{15}$.

Nhận xét. Có thể kiểm tra lại bằng cách rút gọn: $\frac{5}{15}=\frac{5:5}{15:5}=\frac{1}{3}$ và $\frac{12}{15}=\frac{12:3}{15:3}=\frac{4}{5}$, đúng bằng hai phân số đã cho.

Định hướng. Tích của hai mẫu số luôn là một mẫu số chung hợp lệ dù không phải nhỏ nhất; dùng cách này để đối chiếu với kết quả gọn hơn ở Cách 2.

Vậy quy đồng được nhưng số ở câu b) và c) quá lớn, không thuận tiện để tính tiếp.

Định hướng. Chia mẫu lớn cho mẫu bé ở từng câu; mẫu số chung nhỏ nhất chính là mẫu lớn hơn khi phép chia này có kết quả đúng (chia hết).

Vậy mẫu số chung nhỏ nhất của ba câu lần lượt là $32$; $70$; $330$.

Định hướng. Quan sát để nhận ra ngay $32=8\times 4$, $70=35\times 2$, $330=33\times 10$, rồi viết thẳng thừa số vào công thức mà không cần đặt phép chia.

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả: $\frac{28}{32}$ và $\frac{13}{32}$; $\frac{34}{70}$ và $\frac{19}{70}$; $\frac{230}{330}$ và $\frac{67}{330}$.

Nhận xét. Câu c) có mẫu số $330=33\times 10$ nên chỉ cần thêm một chữ số $0$ vào cả tử và mẫu của $\frac{23}{33}$, không cần nhân thủ công.

Định hướng. Rút gọn mỗi phân số về dạng tối giản, rồi quy đồng hai phân số đã rút gọn — số sẽ nhỏ và dễ tính hơn hẳn quy đồng trực tiếp từ đề.

Vậy kết quả là $\frac{5}{18}$ và $\frac{6}{18}$ ở câu a); $\frac{14}{30}$ và $\frac{11}{30}$ ở câu b).

Định hướng. Nếu chưa nhận ra ngay ước chung lớn nhất, có thể chia dần qua nhiều bước bằng các ước nhỏ quen thuộc $2$, $3$ — vẫn ra cùng phân số tối giản, chỉ khác số lần chia.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, dù cách chia ở câu a) có thêm một bước trung gian.

Định hướng. Sau khi rút gọn, nếu không nhận ra ngay quan hệ bội số giữa hai mẫu, có thể lấy tích hai mẫu đã rút gọn làm mẫu số chung — cách này luôn đúng dù không phải mẫu số nhỏ nhất.

Vậy câu a) ra $\frac{15}{54}$ và $\frac{18}{54}$, rút gọn tiếp cho $3$ thì trở về đúng $\frac{5}{18}$ và $\frac{6}{18}$ như Cách 1; câu b) ra $\frac{210}{450}$ và $\frac{165}{450}$, rút gọn tiếp cho $15$ cũng trở về $\frac{14}{30}$ và $\frac{11}{30}$.

Nhận xét. Quên nhận ra quan hệ bội số vẫn ra kết quả đúng, nhưng phải rút gọn thêm một lần nữa mới gọn bằng Cách 1 — nên ưu tiên Cách 1 khi làm bài.

Định hướng. Nhân cả ba mẫu số với nhau luôn cho một mẫu số chung hợp lệ, dù rất lớn và phải rút gọn lại sau.

Vậy quy đồng được nhưng số quá lớn; rút gọn cả ba phân số cho $36$ sẽ trở về đúng mẫu số $36$ như cách làm gọn hơn ở Cách 2.

Định hướng. Quan sát ba mẫu số; nếu mẫu lớn nhất chia hết cho cả hai mẫu còn lại thì dùng ngay mẫu đó làm mẫu số chung cho cả ba phân số.

Vậy mẫu số chung của câu a) là $36$, của câu b) là $76$ — đúng bằng mẫu số lớn nhất đã cho sẵn trong đề.

Định hướng. Thay vì xử lý cả ba phân số cùng lúc, quy đồng hai phân số đầu trước, rồi so mẫu số vừa có với phân số thứ ba để hoàn thiện — cách làm chia nhỏ việc, phù hợp khi chưa quen quy đồng nhiều phân số.

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả: câu a) là $\frac{16}{36}$; $\frac{45}{36}$; $\frac{7}{36}$, câu b) là $\frac{24}{76}$; $\frac{25}{76}$; $\frac{22}{76}$.

Nhận xét. Cách 3 hữu ích khi ba mẫu số không có sẵn một mẫu là bội chung — quy đồng dần từng cặp rồi kiểm tra lại với phân số còn lại.

Định hướng. Mẫu $75$ là bội của mẫu $15$ nên chỉ cần tìm số cần nhân thêm rồi nhân, kết quả sẽ trùng với đúng một phương án.

Vậy phân số cần tìm là $\frac{20}{75}$, trùng với phương án C.

Định hướng. Đưa cả bốn phương án về dạng tối giản, phương án nào cho đúng $\frac{4}{15}$ thì xét tiếp mẫu số gốc có phải $75$ hay không.

Vậy chỉ có phương án C vừa đúng giá trị vừa đúng mẫu số $75$.

Định hướng. Hai phân số $\frac{4}{15}$ và $\frac{a}{75}$ bằng nhau khi $4\times 75=15\times a$, từ đó tính thẳng $a$ mà không cần rút gọn.

Vậy phân số cần tìm là $\frac{20}{75}$, đúng phương án C.

Nhận xét. Cách 3 và Cách 1 cho cùng một phép tính nhưng nhìn theo hai chiều khác nhau — Cách 1 đi từ số cần nhân thêm, Cách 3 đi từ đẳng thức tích chéo.