Bài 59. Luyện tập chung

Định hướng. Ở mỗi cặp phân số liền nhau, so hai mẫu số (hoặc hai tử số) đã biết để tìm ra đã nhân hay chia cho mấy, rồi áp dụng đúng phép đó cho số còn lại.

Vậy $\frac{60}{48}=\frac{30}{24}=\frac{5}{4}$ và $\frac{15}{25}=\frac{3}{5}=\frac{9}{15}=\frac{27}{45}$; b) $\frac{84}{32}=\frac{21}{8}$, $\frac{15}{27}=\frac{5}{9}$, $\frac{96}{120}=\frac{4}{5}$.

Định hướng. Rút gọn ngay hai phân số đầu của mỗi dãy về dạng tối giản, coi đó là điểm tựa duy nhất, sau đó nhân điểm tựa với thừa số phù hợp để ra đúng mẫu số (hoặc tử số) ở từng ô còn thiếu.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, cho thấy đi qua phân số tối giản làm điểm tựa vẫn ra đúng đáp số.

Định hướng. Hai phân số bằng nhau $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì tích chéo bằng nhau: $a\times d=b\times c$; áp dụng công thức này để tính ngay số còn thiếu mà không cần đoán tỉ số.

Vậy tích chéo xác nhận cả hai câu a) và b) đều cho kết quả đúng như hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 đặc biệt hữu ích để tự kiểm tra lại bài làm mà không cần nghĩ ra tỉ số ngay từ đầu.

Định hướng. Đếm tổng số ô (hoặc số ngôi sao) của cả hình, đếm số ô đã tô màu, lập phân số rồi so với $\frac{4}{9}$ (hoặc $\frac{3}{10}$).

Vậy a) chọn B; b) chọn A; c) chọn C.

Định hướng. Từ phân số đề cho, tính trước xem cần tô đúng bao nhiêu phần trong tổng số phần của hình, rồi mới nhìn từng phương án để loại các hình tô sai số lượng.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1: a) B; b) A; c) C.

Định hướng. Nhìn lướt để loại ngay các hình tô màu rõ ràng nhiều hơn hay ít hơn phân số đề cho, chỉ đếm kỹ một, hai hình còn nghi ngờ — cách làm nhanh khi đi thi trắc nghiệm.

Vậy vẫn ra a) B; b) A; c) C như hai cách trên.

Nhận xét. Cách ước lượng giúp làm nhanh nhưng vẫn phải đếm hoặc kiểm lại phương án nghi ngờ để chắc chắn, không được đoán liều.

Định hướng. Tìm thừa số xuất hiện giống hệt nhau ở cả tử và mẫu rồi khử (bỏ) luôn cặp đó, chỉ nhân phần còn lại.

Vậy a) $\frac{4\times 8\times 13}{13\times 7\times 8}=\frac{4}{7}$; b) $\frac{6\times 17\times 11}{17\times 11\times 9}=\frac{2}{3}$.

Định hướng. Nhân đủ tử số thành một số, nhân đủ mẫu số thành một số, rồi rút gọn phân số kết quả bằng cách tìm ƯCLN của hai số đó.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, dù phải nhân số lớn hơn và tìm ƯCLN vất vả hơn.

Định hướng. Dùng tính chất giao hoán của phép nhân để viết lại tử số và mẫu số theo thứ tự có lợi (thừa số chung đứng liền nhau), giúp nhìn ra ngay chỗ khử mà không bị rối mắt.

Vậy sắp xếp lại trước khi khử cũng cho đúng kết quả như hai cách trên, mà nhìn rõ ràng hơn với những bài có thứ tự thừa số lộn xộn.

Nhận xét. Ba cách đều dựa trên một ý: tử và mẫu có thừa số giống nhau thì được phép khử — chỉ khác ở chỗ khử ngay, nhân hết rồi rút gọn, hay sắp xếp lại trước.

Định hướng. So trực tiếp hai số 13 và 9: số nào làm tử, số nào làm mẫu sẽ quyết định phân số bé hơn, lớn hơn hay bằng 1.

Vậy a) $\frac{9}{13}$; b) $\frac{13}{9}$; c) $\frac{13}{13}$ và $\frac{9}{9}$.

Định hướng. Đổi số 1 thành phân số có cùng mẫu số với phân số cần so, rồi so hai phân số cùng mẫu bằng cách so tử số — không cần thực hiện phép chia lấy thương.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1: $\frac{9}{13}<1<\frac{13}{9}$, còn $\frac{13}{13}=\frac{9}{9}=1$.

Định hướng. Từ hai số 13 và 9, chỉ có đúng 4 cách ghép thành phân số (mỗi số làm tử hoặc làm mẫu, kể cả ghép với chính nó): liệt kê hết rồi xếp vào đúng nhóm.

Vậy liệt kê đủ cả 4 khả năng cũng cho đúng ba nhóm như hai cách trên, không sót phân số nào.

Nhận xét. Cách liệt kê giúp chắc chắn không bỏ sót phân số nào khi đề chỉ cho vỏn vẹn hai số.

Định hướng. Đưa $\frac{64}{96}$ về dạng tối giản một lần, sau đó chỉ cần so mỗi đáp án với phân số tối giản này.

Vậy chỉ có $\frac{3}{4}$ không bằng $\frac{64}{96}$. Chọn C.

Định hướng. Thay vì tìm ƯCLN ngay, chia liên tiếp tử và mẫu của 64/96 cho 2 nhiều lần, mỗi lần ra một phân số bằng nhau — so trực tiếp các đáp án với dãy phân số đó.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1. Chọn C.

Định hướng. Hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ bằng nhau khi $a\times d=b\times c$; áp dụng cho từng đáp án với 64/96.

Vậy chỉ có đáp án C cho tích chéo không bằng nhau, tức $\frac{64}{96}$ không bằng $\frac{3}{4}$. Chọn C.

Nhận xét. Cách tích chéo không cần rút gọn, phù hợp khi khó tìm ƯCLN nhanh.

Định hướng. So hai mẫu số của từng cặp: nếu mẫu lớn chia hết cho mẫu bé thì lấy luôn mẫu lớn làm mẫu số chung, chỉ cần nhân phân số có mẫu bé, giữ nguyên phân số có mẫu lớn.

Vậy a) $\frac{3}{21}$ và $\frac{5}{21}$; $\frac{60}{72}$ và $\frac{7}{72}$; $\frac{65}{100}$ và $\frac{43}{100}$. b) $\frac{15}{20}$ và $\frac{11}{20}$; $\frac{9}{27}$ và $\frac{8}{27}$.

Định hướng. Không cần nhận ra quan hệ chia hết, cứ lấy mẫu số chung là tích của hai mẫu số rồi quy đồng cả hai phân số theo mẫu chung đó — cách làm được với mọi cặp phân số.

Vậy dùng mẫu chung là tích hai mẫu số cũng ra đúng kết quả, nhưng số lớn hơn và phải rút gọn lại — chứng tỏ Cách 1 gọn hơn hẳn.

Định hướng. Ở câu b), thay vì tìm ƯCLN để rút gọn một lần, chia liên tiếp tử và mẫu cho 2 hoặc 3 từng bước nhỏ cho tới khi tối giản, rồi mới quy đồng như Cách 1.

Vậy chia dần từng bước nhỏ cũng cho đúng phân số tối giản như rút gọn một lần, chỉ mất thêm vài bước.

Nhận xét. Chia dần từng bước ít bị sai hơn khi chưa quen tìm ƯCLN nhanh.

Định hướng. Kiểm tra mẫu số lớn nhất có chia hết cho tất cả mẫu số còn lại không; nếu có thì lấy luôn làm mẫu số chung, chỉ quy đồng các phân số còn thiếu.

Vậy a) $\frac{9}{54}$; $\frac{51}{54}$; $\frac{11}{54}$. b) $\frac{27}{36}$; $\frac{30}{36}$; $\frac{28}{36}$; $\frac{17}{36}$.

Định hướng. Quy đồng hai phân số đầu tiên với nhau, rồi lấy kết quả đó quy đồng tiếp với phân số thứ ba (và thứ tư nếu có) — làm từng bước nhỏ thay vì quy đồng cả nhóm cùng lúc.

Vậy quy đồng dần từng đôi một cũng ra đúng kết quả như Cách 1, nhưng phải đổi mẫu số chung nhiều lần hơn.

Định hướng. Không cần nhìn ra ngay mẫu lớn nhất có phải bội chung hay không, cứ nhân tất cả các mẫu số lại rồi rút gọn số đó xuống thành bội chung nhỏ nhất — cách làm được cho mọi nhóm phân số.

Vậy dù đi đường vòng qua tích lớn rồi rút gọn, kết quả cuối cùng vẫn là mẫu chung như hai cách trên — xác nhận $54$ và $36$ đúng là mẫu số chung nhỏ nhất.

Nhận xét. Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra, vì tính với số lớn dễ sai; Cách 1 vẫn nhanh và gọn nhất khi nhận ra ngay bội chung.

Định hướng. Đếm tổng số phần bằng nhau mà đoạn thẳng được chia ra, rồi đếm số phần ứng với đoạn cần tìm.

Vậy $BC=\frac{1}{4}AC$ và $NP=\frac{2}{5}MP$.

Định hướng. Cả đoạn thẳng ứng với phân số $1$; phần còn lại bằng $1$ trừ đi phần đã biết, tính hoàn toàn bằng phép trừ phân số.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, mà không cần đếm số phần trên hình.

Định hướng. Đặt độ dài mỗi phần bằng nhau là một đơn vị chung, tính độ dài AB (hay MN) và BC (hay NP) theo đơn vị đó rồi cộng lại để kiểm tra đúng bằng cả đoạn.

Vậy cả ba cách đều cho $BC=\frac{1}{4}AC$ và $NP=\frac{2}{5}MP$.

Nhận xét. Phép cộng lại đúng bằng cả đoạn là cách tự kiểm tra nhanh và chắc chắn nhất.

Định hướng. Với mỗi số, tìm xem $24$ gấp mấy lần mẫu số hiện tại rồi nhân cả tử và mẫu với đúng số lần đó.

Vậy $3=\frac{72}{24}$; $\frac{7}{8}=\frac{21}{24}$; $\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$.

Định hướng. Viết cả ba số dưới dạng phân số ($3=\frac{3}{1}$, giữ nguyên $\frac{7}{8}$ và $\frac{5}{6}$), rồi coi cả ba như một nhóm phân số cần quy đồng về mẫu chung 24 — không tách riêng số tự nhiên ra xử lý khác cách.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1 — chứng tỏ số tự nhiên chỉ cần viết thành phân số mẫu 1 là xử lý được như mọi phân số khác.

Định hướng. Sau khi có ba phân số mẫu số 24, chia ngược tử và mẫu cho đúng thừa số đã nhân để kiểm tra có quay lại đúng số ban đầu không.

Vậy cả ba kết quả đều được xác nhận đúng bằng phép thử ngược.

Nhận xét. Luôn thử lại bằng phép chia ngược là thói quen tốt để tự phát hiện lỗi tính nhân sai số cần nhân thêm.

Định hướng. Gập đôi sợi dây hai lần liên tiếp để chia thành 4 phần bằng nhau, rồi cắt lấy đúng 1 phần.

Vậy gập đôi 2 lần rồi cắt 1 phần trong 4 phần bằng nhau sẽ được đoạn dây dài $\frac{1}{6}$m.

Định hướng. Trước khi gập, tính xem $\frac{1}{6}$m chiếm bao nhiêu phần của $\frac{2}{3}$m bằng phép chia hai phân số, từ đó biết cần chia sợi dây thành mấy phần bằng nhau.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, chỉ khác ở chỗ tính trước số phần cần chia thay vì gập thử.

Định hướng. Sau khi cắt được đoạn dây nghi là $\frac{1}{6}$m, kiểm tra lại bằng cách nhân với đúng số phần đã gập xem có ra lại $\frac{2}{3}$m không.

Vậy phép thử ngược xác nhận cách gập đôi 2 lần rồi cắt 1 phần là đúng.

Nhận xét. Thử lại bằng phép nhân ngược giúp chắc chắn không cắt nhầm sang 1/3 hay 1/8.

Định hướng. Với các cặp đã cùng mẫu số hoặc cùng tử số, so trực tiếp tử số (hoặc mẫu số) mà không cần quy đồng.

Vậy hai cặp cùng mẫu, cùng tử so được ngay không cần quy đồng.

Định hướng. Với các cặp khác cả mẫu lẫn tử, quy đồng mẫu số hai phân số rồi so sánh tử số của phân số mới.

Vậy ba cặp này lần lượt là $>$, $=$, $<$.

Định hướng. Với các cặp có số tự nhiên hoặc phân số mà tử và mẫu gần bằng nhau, tính giá trị hoặc so với 1 trước khi kết luận, không cần quy đồng phức tạp.

Vậy bốn cặp còn lại lần lượt là $=$, $<$, $<$, $<$.

Nhận xét. Gộp cả 9 cặp: a) $>$, $>$, $=$; b) $>$, $=$, $<$; c) $<$, $<$, $<$.

Định hướng. Đưa $\frac{1}{2}$ và $\frac{3}{8}$ về cùng mẫu số $8$ rồi so tử số để biết ai được cho nhiều bi hơn.

Vậy a) sai (S); b) đúng (Đ).

Định hướng. Đổi $\frac{1}{2}$ số bi ra lời mấy phần trong 8 phần để so trực tiếp với $\frac{3}{8}$ mà không cần viết phép nhân.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1: a) sai; b) đúng.

Định hướng. Lấy phân số của Nam trừ phân số của Việt; nếu kết quả dương thì Nam được nhiều bi hơn, nếu âm thì Việt nhiều hơn.

Vậy Nam được cho nhiều bi hơn Việt, đúng như hai cách trên: a) sai; b) đúng.

Nhận xét. Cách tính hiệu còn cho biết Nam hơn Việt đúng bao nhiêu phần, chi tiết hơn hai cách kia.

Định hướng. Đưa cả ba phân số về mẫu số chung $10$ (vì $10$ chia hết cho cả $2,5,10$) rồi so trực tiếp ba tử số.

Vậy Nam ăn nhiều bánh nhất (vì $\frac{1}{2}$ lớn nhất). Chọn A.

Định hướng. So Nam với Việt trước, rồi so Việt với Mai, từ đó suy ra thứ tự cả ba mà không cần quy đồng cùng lúc.

Vậy Nam ăn nhiều bánh nhất, trùng khớp hoàn toàn với Cách 1. Chọn A.

Định hướng. Không viết phép nhân, chỉ cần nhớ một nửa bằng năm phần mười và một phần năm bằng hai phần mười, rồi so bằng lời.

Vậy vẫn ra Nam ăn nhiều bánh nhất như hai cách trên. Chọn A.

Nhận xét. Nhớ sẵn $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$ và $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}$ giúp so sánh nhanh mà không cần viết phép nhân ra giấy.

Định hướng. Với nhóm cùng mẫu số 19, so tử số trực tiếp; với nhóm trong hàng rào, quy đồng cả bốn phân số về mẫu chung 56 rồi so tử số.

Vậy a) $\frac{5}{19};\frac{8}{19};\frac{12}{19};\frac{13}{19}$. b) $\frac{23}{28};\frac{45}{56};\frac{9}{14};\frac{4}{7}$.

Định hướng. So lần lượt hai phân số một để xếp dần vào đúng chỗ, dùng tính chất bắc cầu (a lớn hơn b, b lớn hơn c thì a lớn hơn c) thay vì quy đồng cả nhóm ngay từ đầu.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, dù phải so nhiều cặp hơn.

Định hướng. Lấy 1 trừ đi mỗi phân số để biết phân số đó còn thiếu bao nhiêu mới bằng 1; phân số nào thiếu ÍT hơn thì phân số đó LỚN hơn.

Vậy thứ tự lớn đến bé vẫn là $\frac{23}{28};\frac{45}{56};\frac{9}{14};\frac{4}{7}$, khớp cả ba cách.

Nhận xét. Phân số nào thiếu ít hơn để bằng 1 thì phân số đó gần 1 hơn, tức là lớn hơn — không cần ước lượng bằng mắt.

Định hướng. Nhận xét tử số so với mẫu số của mỗi phân số để so với 1, rồi suy ra ngay phân số nào lớn hơn mà không cần quy đồng.

Vậy quả bưởi (nặng $\frac{7}{6}$kg) nặng hơn quả thanh long.

Định hướng. Tìm mẫu số chung của $11$ và $6$ (là $66$), quy đồng cả hai phân số rồi so trực tiếp tử số.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1: quả bưởi nặng hơn.

Định hướng. Tính xem mỗi phân số kém 1 (hoặc hơn 1) bao nhiêu, rồi so sánh: phân số nào hơn 1 chắc chắn lớn hơn phân số kém 1.

Vậy quả bưởi vẫn nặng hơn quả thanh long, khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách so với 1 làm mốc là nhanh nhất khi hai mẫu số không có quan hệ chia hết rõ ràng.