Bài 60. Phép cộng phân số

Định hướng. Hai phân số cùng mẫu số nên cộng hai tử số với nhau, giữ nguyên mẫu số.

Vậy a) $\frac{8}{11}$; b) $\frac{89}{27}$; c) $\frac{15}{13}$; d) $\frac{31}{131}$.

Định hướng. Vẽ băng giấy chia 11 phần bằng nhau, tô 5 phần rồi tô thêm 3 phần để đếm trực tiếp số phần tô đậm.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: a) 8/11; b) 89/27; c) 15/13; d) 31/131.

Định hướng. Sau khi tính được tổng, lấy tổng trừ đi một số hạng, nếu ra đúng số hạng còn lại thì phép cộng đã làm đúng.

Vậy cả bốn kết quả ở Cách 1 đều được kiểm chứng đúng bằng phép trừ ngược.

Nhận xét. Phép trừ luôn dùng để kiểm tra ngược lại một phép cộng, dù là cộng số tự nhiên hay cộng phân số.

Định hướng. Đọc đúng phân số chỉ mực nước ở từng bình rồi viết phép cộng hai phân số cùng mẫu số, cuối cùng rút gọn kết quả nếu còn rút gọn được.

Vậy a) $\frac{5}{10}+\frac{1}{10}=\frac{3}{5}$ l; b) $\frac{2}{8}+\frac{4}{8}=\frac{3}{4}$ l.

Định hướng. Mỗi bình chia thành các vạch bằng nhau, đếm số vạch có nước tô màu ở cả hai bình rồi cộng dồn lại, không cần viết phép tính trước.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: a) 5/10 + 1/10 = 3/5 (l); b) 2/8 + 4/8 = 3/4 (l).

Định hướng. Rút gọn từng phân số về dạng đơn giản hơn trước khi cộng, để con số nhỏ, dễ tính.

Vậy cả ba cách đều cho cùng đáp số.

Định hướng. Xem phép cộng như số hạng cần tìm cộng với số hạng đã biết bằng tổng, nên số hạng cần tìm bằng tổng trừ đi số hạng đã biết; ở câu b), d) mẫu số chưa biết chính là mẫu số chung, vì ba phân số trong một phép cộng cùng mẫu số luôn có mẫu số bằng nhau.

Vậy a) 6; b) 50; c) 29; d) 125.

Định hướng. Đoán một số hợp lý rồi thay vào phép cộng ban đầu, nếu ra đúng vế phải thì số đó chính là đáp số.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: a) 6; b) 50; c) 29; d) 125.

Định hướng. Nhận ra ngay câu b) và d) hỏi mẫu số chứ không phải tử số, vì tử số hai vế đã cho đủ và khớp với nhau ($75+18=93$; $18+12=30$), nên chỉ cần điền mẫu số chung mà không cần tính toán gì thêm.

Vậy cả ba cách đều cho cùng một đáp số cho bốn câu.

Định hướng. Phần thửa ruộng cày được cả ngày bằng phần cày buổi sáng cộng với phần cày buổi chiều, hai phân số này cùng mẫu số nên chỉ cần cộng hai tử số.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: 7/11 thửa ruộng.

Định hướng. Vẽ thửa ruộng chia 11 phần bằng nhau, tô 3 phần cho buổi sáng và 4 phần cho buổi chiều rồi đếm tổng số phần đã tô.

Vậy cả ngày chú Đạt cày được $\frac{7}{11}$ thửa ruộng, khớp với Cách 1.

Định hướng. Cả thửa ruộng coi là $\frac{11}{11}$; nếu tính được phần còn lại chưa cày thì phần đã cày phải bằng cả thửa trừ đi phần còn lại, dùng để kiểm tra lại kết quả.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: 7/11 thửa ruộng.

Nhận xét. Cách tính qua phần bù rất hữu ích khi cần kiểm tra nhanh một bài toán chia phần trong một tổng thể trọn vẹn.

Định hướng. So sánh câu nói của Việt với quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu số đã học để tìm chỗ sai.

Vậy bạn Việt nói sai; sửa lại: muốn cộng hai phân số cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

Định hướng. Áp dụng đúng lời Việt nói vào một ví dụ cụ thể, nếu ra kết quả vô lý thì chứng tỏ lời Việt nói sai.

Vậy lời Việt nói là sai, quy tắc đúng phải giữ nguyên mẫu số.

Định hướng. Vẽ băng giấy chia 3 phần bằng nhau, tô 1 phần rồi tô thêm 1 phần để xem mẫu số (tổng số phần chia) có đổi hay không.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: Bạn Việt nói sai. Sửa lại: muốn cộng hai phân số cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số..

Nhận xét. Hình vẽ trực quan giúp thấy rõ vì sao mẫu số không được cộng: số phần chia của băng giấy không hề thay đổi khi tô thêm.

Định hướng. Tính lại từng phép cộng theo đúng quy tắc (cộng tử số, giữ nguyên mẫu số) rồi so sánh với biểu thức đề cho.

Vậy a) S; b) S; c) Đ; d) S.

Định hướng. So sánh cách làm trong đề với quy tắc chuẩn để chỉ ra chính xác chỗ sai của từng câu, không chỉ tính lại kết quả.

Vậy a) S; b) S; c) Đ; d) S, khớp với Cách 1.

Định hướng. Với câu d), vẽ băng giấy chia 3 phần, tô 1 phần rồi tô thêm 1 phần để thấy rõ tổng phải lớn hơn một số hạng ban đầu.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: a) S (đúng là 11/10); b) S (đúng là 16/7); c) Đ; d) S (đúng là 2/3).

Nhận xét. Cộng thêm một phân số dương thì tổng luôn lớn hơn số hạng ban đầu, đây là cách kiểm tra nhanh phát hiện đáp số vô lý.

Định hướng. Tính giá trị cụ thể của từng vế rồi so sánh hai kết quả với nhau.

Vậy a) =; b) =.

Định hướng. Nhận ra hai vế chỉ đổi chỗ các số hạng cho nhau, các phân số tham gia hoàn toàn giống nhau, nên áp dụng tính chất giao hoán của phép cộng để kết luận ngay.

Vậy a) =; b) =, khớp với Cách 1 mà không cần tính cụ thể.

Định hướng. Thử một bộ ba phân số khác cùng mẫu số, đổi chỗ các số hạng và tính lại để khẳng định tính chất giao hoán luôn đúng, không riêng gì bài này.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: a) =; b) =.

Nhận xét. Dù đổi chỗ các số hạng theo bất kỳ thứ tự nào, tổng của một dãy phân số cùng mẫu số vẫn không đổi.

Định hướng. Cộng lần lượt từng tử số theo đúng thứ tự viết trong đề, giữ nguyên mẫu số.

Vậy a) $\frac{193}{47}$; b) $\frac{218}{31}$.

Định hướng. Dùng tính chất kết hợp, nhóm hai số hạng có tử số cộng lại tròn chục hoặc tròn trăm trước rồi cộng số hạng còn lại.

Vậy kết quả giống hệt Cách 1: $\frac{193}{47}$ và $\frac{218}{31}$.

Định hướng. Đặt ba tử số thẳng hàng đơn vị rồi cộng theo cột dọc như cộng ba số tự nhiên, sau đó viết kết quả trên mẫu số giữ nguyên.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: a) 193/47; b) 218/31.

Định hướng. Số phần bể cả ba vòi chảy được bằng tổng ba phân số cùng mẫu số đã cho, cộng lần lượt ba tử số.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: 7/10 bể nước.

Định hướng. Vẽ bể nước chia 10 phần bằng nhau, tô số phần theo đúng lượng nước mỗi vòi chảy được rồi đếm tổng số phần đã tô.

Vậy cả ba vòi chảy được $\frac{7}{10}$ bể nước, khớp với Cách 1.

Định hướng. Dùng tính chất kết hợp, nhóm vòi 1 và vòi 3 (có tổng tròn) trước rồi cộng thêm vòi 2.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: 7/10 bể nước.

Nhận xét. Nhóm số hạng tuỳ ý không làm thay đổi kết quả, đây chính là tính chất kết hợp của phép cộng.

Định hướng. Đi từ ô tròn theo chiều mũi tên, mỗi bước lấy giá trị ô trước cộng với phân số ghi trên mũi tên để tìm ô tiếp theo.

Vậy ô vuông là $\frac{9}{31}$, ô ngũ giác là $\frac{19}{31}$, ô lục giác là $\frac{71}{31}$.

Định hướng. Cộng gộp cả ba lượng cộng thêm trên các mũi tên trước, cộng một lần vào ô tròn để ra ngay ô cuối cùng, sau đó tính lùi dần để tìm hai ô ở giữa.

Vậy kết quả khớp hoàn toàn với Cách 1.

Định hướng. Sau khi điền xong ba ô theo Cách 1, lấy ô lục giác trừ dần từng lượng cộng thêm theo chiều ngược mũi tên để kiểm tra lại.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: Ô vuông: 9/31; ô ngũ giác: 19/31; ô lục giác: 71/31.

Nhận xét. Đi ngược từ đáp số bằng phép trừ là cách kiểm tra chắc chắn nhất cho các sơ đồ cộng nhiều bước.

Định hướng. Quy đồng mẫu số hai phân số về cùng một mẫu số chung rồi cộng hai phân số cùng mẫu số.

Vậy a) $\frac{5}{8}$; b) $\frac{9}{10}$; c) $\frac{8}{9}$.

Định hướng. Vẽ hai băng giấy cho mỗi câu: băng trên chia theo mẫu số của phân số thứ nhất, băng dưới chia theo mẫu số của phân số thứ hai, tô đúng số phần rồi quy về cùng một cách chia để đếm tổng.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: a) 5/8; b) 9/10; c) 8/9.

Định hướng. So sánh hai mẫu số trước khi quy đồng: nếu mẫu số lớn chia hết cho mẫu số nhỏ thì chỉ cần quy đồng phân số có mẫu số nhỏ, không cần động đến phân số có mẫu số lớn.

Vậy cách quy đồng rút gọn này cho cùng kết quả với Cách 1 nhưng ít phép nhân hơn.

Định hướng. Rút gọn phân số chưa tối giản trước, sau đó quy đồng mẫu số hai phân số đã rút gọn rồi cộng.

Vậy a) $\frac{7}{5}$; b) $\frac{3}{5}$; c) $\frac{8}{3}$.

Định hướng. Quy đồng mẫu số hai phân số ban đầu mà chưa rút gọn, cộng lại rồi mới rút gọn kết quả cuối cùng, để đối chiếu với Cách 1.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: a) 7/5; b) 3/5; c) 8/3.

Nhận xét. Rút gọn trước khi cộng (Cách 1) thường cho số nhỏ hơn, dễ tính hơn là quy đồng trực tiếp rồi mới rút gọn.

Định hướng. Sau khi rút gọn, quan sát xem hai mẫu số mới có bằng nhau hay là bội của nhau để quy đồng nhanh nhất có thể.

Vậy cả ba câu sau khi rút gọn đều trở thành cộng hai phân số cùng mẫu số ngay lập tức.

Định hướng. Phần bánh hai bạn ăn tất cả bằng phần Nam ăn cộng với phần Việt ăn, hai phân số khác mẫu số nên quy đồng mẫu số trước khi cộng.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: 3/4 cái bánh.

Định hướng. Vẽ cái bánh hình tròn chia 4 phần bằng nhau, tô phần Nam ăn và phần Việt ăn rồi đếm tổng số phần đã tô.

Vậy hai bạn đã ăn $\frac{3}{4}$ cái bánh, khớp với Cách 1.

Định hướng. Cả cái bánh coi là $1$; nếu tìm được phần bánh còn lại chưa ăn thì phần đã ăn phải bằng cả cái bánh trừ đi phần còn lại.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: 3/4 cái bánh.

Nhận xét. Với bài toán chia hết một tổng thể (cả cái bánh), luôn có thể kiểm tra qua phần còn lại.

Định hướng. Đi từ ô tròn theo chiều mũi tên, mỗi bước quy đồng mẫu số rồi cộng để tìm ô tiếp theo.

Vậy ô lục giác là $\frac{1}{2}$, ô vuông là $4$, ô ngũ giác là $\frac{41}{10}$.

Định hướng. Đưa tất cả các phân số xuất hiện trong sơ đồ về cùng mẫu số 10 trước, sau đó chỉ việc cộng các tử số qua từng bước.

Vậy kết quả khớp hoàn toàn với Cách 1: $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$, $\frac{40}{10}=4$, $\frac{41}{10}$.

Định hướng. Sau khi điền xong ba ô, lấy ô ngũ giác trừ dần từng lượng cộng thêm theo chiều ngược mũi tên để kiểm tra lại.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: Ô lục giác: 1/2; ô vuông: 4; ô ngũ giác: 41/10.

Nhận xét. Ô vuông cho kết quả là số tự nhiên $4$ vì $\frac{8}{2}$ vừa đúng chia hết, đây là điểm khác biệt so với các ô còn lại.

Định hướng. Xem hai mẫu số của mỗi câu có giống nhau không, nếu giống thì cộng tử số ngay, nếu khác thì quy đồng trước khi cộng.

Vậy a) $\frac{13}{15}$; b) $\frac{15}{19}$; c) $\frac{2}{3}$; d) $\frac{13}{20}$.

Định hướng. Với câu c), d), nhận ra mẫu số lớn ($12$, $20$) chia hết cho mẫu số nhỏ ($4$, $10$) nên chỉ cần quy đồng phân số có mẫu số nhỏ.

Vậy kết quả giống Cách 1 nhưng tính nhanh hơn vì chỉ quy đồng một phân số.

Định hướng. Lấy kết quả trừ đi một số hạng, nếu ra đúng số hạng còn lại thì phép cộng đã làm đúng.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: a) 13/15; b) 15/19; c) 2/3; d) 13/20.

Nhận xét. Phép trừ ngược kiểm tra được cả phép cộng cùng mẫu số lẫn khác mẫu số.

Định hướng. Tính giá trị cụ thể của từng vế rồi so sánh hai kết quả.

Vậy a) =; b) =.

Định hướng. Nhận ra hai vế có cùng ba số hạng, chỉ khác cách nhóm ngoặc, áp dụng tính chất kết hợp của phép cộng để kết luận ngay bằng nhau.

Vậy a) =; b) =, khớp với Cách 1 mà không cần tính cụ thể.

Định hướng. Thử nhóm số hạng đầu và số hạng cuối lại với nhau (một cách nhóm khác nữa) rồi tính, xem kết quả có vẫn bằng hai vế đã cho hay không.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: a) =; b) =.

Nhận xét. Dù nhóm ba số hạng theo bất kỳ cách nào, tổng vẫn không đổi.

Định hướng. Quan sát ba tử số, tìm cặp cộng lại tròn chục hoặc tròn trăm rồi nhóm cặp đó lại với nhau trước, sau đó cộng số hạng còn lại.

Vậy a) $\frac{193}{41}$; b) $\frac{34}{75}$.

Định hướng. Cộng ba tử số theo đúng thứ tự viết trong đề, không nhóm, để kiểm tra kết quả có giống Cách 1 hay không.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: a) 193/41; b) 34/75.

Nhận xét. Kết quả giống nhau ở cả hai cách nhưng Cách 1 tính nhẩm nhanh hơn vì có số tròn.

Định hướng. Với câu b), rút gọn mỗi phân số về dạng đơn giản hơn trước khi cộng, để con số nhỏ, dễ tính hơn.

Vậy rút gọn trước khi cộng cũng ra cùng kết quả $\frac{34}{75}$.

Định hướng. Thời gian cần tất cả bằng thời gian quét cộng với thời gian lau, hai phân số khác mẫu số nên quy đồng mẫu số trước khi cộng.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: 2/3 giờ.

Định hướng. Vẽ hình tròn tượng trưng cho 1 giờ, chia 6 phần bằng nhau, tô phần thời gian quét nhà và phần thời gian lau nhà rồi đếm tổng số phần đã tô.

Vậy Mai cần $\frac{2}{3}$ giờ, khớp với Cách 1.

Định hướng. Đổi mỗi khoảng thời gian ra phút (1 giờ = 60 phút), cộng số phút rồi đổi kết quả ngược lại ra giờ để kiểm tra Cách 1.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: 2/3 giờ.

Nhận xét. Đổi ra đơn vị phút giúp dễ hình dung hơn nhưng vẫn phải đổi ngược lại ra giờ vì đề hỏi bằng đơn vị giờ.

Định hướng. Số phần cuốn sách đọc cả ngày bằng tổng ba phân số của ba buổi, quy đồng cả ba phân số về mẫu số chung 12 rồi cộng.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: 11/12 cuốn sách.

Định hướng. Cộng buổi sáng với buổi chiều trước, rồi cộng tiếp kết quả đó với buổi tối, thay vì quy đồng cả ba phân số cùng một lúc.

Vậy kết quả giống hệt Cách 1: $\frac{11}{12}$ cuốn sách.

Định hướng. Vẽ hình tròn tượng trưng cả cuốn sách, chia 12 phần bằng nhau, tô số phần mỗi buổi đã đọc rồi đếm tổng số phần đã tô.

Vậy cách làm này cũng cho kết quả khớp với đáp số: 11/12 cuốn sách.

Nhận xét. Nam còn thiếu $\frac{1}{12}$ cuốn sách nữa mới đọc xong hết cả cuốn.