Bài 69. Ôn tập phân số

Định hướng. Đếm tổng số phần bằng nhau của hình rồi đếm số phần được tô màu để viết đúng tử số, mẫu số.

Vậy câu a) chọn đáp án C; câu b) chọn đáp án B vì hình B tô màu đúng $\frac{2}{5}$ số cây nấm.

Định hướng. Ở bốn hình nấm, cây nấm được xếp thành hàng dọc đều nhau; nếu cả một hàng dọc được tô màu trọn vẹn thì tỉ số phần tô màu chính là tỉ số số hàng được tô trên tổng số hàng dọc.

Vậy câu a) chọn C, câu b) chọn B, trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Với câu trắc nghiệm có nhiều phương án, có thể ước lượng nhanh phần tô màu chiếm ít hơn hay nhiều hơn nửa hình, rồi loại các đáp án không phù hợp thay vì tính đủ cả bốn phương án.

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả: câu a) chọn C, câu b) chọn B.

Nhận xét. Cách 3 giúp loại nhanh phương án sai khi làm bài trắc nghiệm có tính giờ, nhưng vẫn cần đếm lại chính xác trước khi khoanh.

Định hướng. Rút gọn phân số đầu về dạng tối giản, sau đó nhân tử số và mẫu số của phân số tối giản với số thích hợp để ra đúng mẫu số hoặc tử số đề cho.

Vậy a) $\frac{64}{72}=\frac{32}{36}=\frac{8}{9}=\frac{40}{45}$; b) $\frac{90}{120}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$.

Định hướng. Đi từ trái sang phải: mỗi phân số bằng phân số đứng trước nó, nên tìm số mà tử số (hoặc mẫu số) trước đó đã chia (hay nhân) để ra số đã biết ở phân số sau, rồi áp dụng đúng số đó cho số còn thiếu.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1.

Định hướng. Hai phân số bằng nhau khi tích của tử số phân số này với mẫu số phân số kia bằng tích của mẫu số phân số này với tử số phân số kia — dùng phép nhân chéo để tự kiểm tra các số vừa điền.

Vậy các số đã điền ở Cách 1 và Cách 2 đều đúng, vì các tích chéo luôn bằng nhau.

Nhận xét. Cách 3 chỉ nên dùng để tự kiểm tra lại sau khi đã điền số bằng Cách 1 hoặc Cách 2.

Định hướng. Kiểm tra mẫu số lớn nhất có chia hết cho các mẫu số còn lại không; nếu có thì chọn ngay làm mẫu số chung, chỉ cần quy đồng các phân số còn lại.

Vậy a) $\frac{12}{32}$ và $\frac{19}{32}$; b) $\frac{37}{60}$ và $\frac{52}{60}$; c) $\frac{45}{63}$; $\frac{56}{63}$ và $\frac{48}{63}$.

Định hướng. Dùng cách tổng quát: lấy mẫu số chung là tích hai mẫu số, mỗi phân số nhân thêm với mẫu số của phân số kia — cách này luôn đúng dù các mẫu số có quan hệ chia hết hay không.

Vậy sau khi rút gọn, kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, nhưng các số ở bước trung gian lớn hơn nhiều.

Định hướng. Sau khi quy đồng xong, rút gọn ngược phân số mới để kiểm tra có ra đúng phân số đề cho hay không, nhằm tự phát hiện sai sót về phép nhân.

Vậy cả ba câu đã quy đồng đúng như Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Luôn kiểm tra mẫu số lớn nhất có chia hết cho các mẫu số còn lại trước khi quy đồng, sẽ tránh được việc tính với những số quá lớn.

Định hướng. Quan sát mẫu số và tử số của từng cặp; nếu cùng mẫu số thì so tử số, nếu cùng tử số thì so mẫu số theo chiều ngược lại, không cần quy đồng.

Vậy a) $\frac{4}{9}<\frac{7}{9}$; $1<\frac{12}{11}$. b) $\frac{13}{15}>\frac{13}{17}$; $\frac{14}{7}=2$. c) $\frac{4}{7}=\frac{12}{21}$; $\frac{19}{6}>3$.

Định hướng. Với những cặp chưa cùng mẫu số, quy đồng mẫu số hai phân số rồi so sánh tử số của hai phân số mới — cách này áp dụng được cho mọi cặp phân số.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1, dù phải tính qua nhiều bước hơn.

Định hướng. Quy đồng rồi lấy hiệu của hai phân số; hiệu là số dương thì phân số bị trừ lớn hơn, hiệu bằng $0$ thì hai phân số bằng nhau — cách này giúp tự kiểm tra chéo với Cách 1 và Cách 2.

Vậy cả sáu kết quả đều trùng khớp với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 1 (nhận ra cùng mẫu hoặc cùng tử) là nhanh nhất, nên ưu tiên quan sát trước khi quy đồng hoặc tính hiệu.

Định hướng. Nhận ra $24$ chia hết cho cả $3$ và $8$ nên chọn ngay $24$ làm mẫu số chung, quy đồng hai phân số còn lại rồi so sánh ba tử số.

Vậy trong $1$ giờ, vòi số $2$ chảy được nhiều nước nhất, vòi số $3$ chảy được ít nước nhất.

Định hướng. Quy đồng rồi lấy hiệu của từng cặp hai phân số; hiệu dương cho biết phân số bị trừ lớn hơn — so sánh từng cặp một để tự kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy $\frac{3}{8}>\frac{1}{3}>\frac{7}{24}$: vòi số $2$ chảy nhiều nước nhất, vòi số $3$ chảy ít nước nhất, đúng như Cách 1.

Định hướng. Đưa ba phân số về cùng một tử số (bằng cách nhân thêm), khi đó phân số nào có mẫu số bé hơn thì lớn hơn — làm ngược lại với Cách 1 để tự kiểm tra chéo.

Vậy vòi số $2$ vẫn chảy nhiều nước nhất, vòi số $3$ vẫn chảy ít nước nhất, trùng khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 3 tính với số khá lớn nên chỉ nên dùng để đối chiếu, Cách 1 (quy đồng mẫu số $24$ có sẵn) vẫn nhanh và gọn nhất.

Định hướng. Xét từng phương án một: so tử số với mẫu số (câu a), rút gọn về tối giản rồi so với $\frac{4}{9}$ (câu b), rút gọn rồi so với $\frac{5}{7}$ (câu c).

Vậy a) chọn C; b) chọn B; c) chọn D.

Định hướng. Thay vì rút gọn, đưa các phương án về cùng mẫu số với phân số mốc rồi so sánh tử số.

Vậy câu c) vẫn chọn D, trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Dùng các mốc phân số quen thuộc như $1$ hoặc $\frac{1}{2}$ để ước lượng nhanh, loại các phương án rõ ràng sai trước khi tính chính xác phương án còn nghi ngờ bằng cách rút gọn.

Vậy cả ba câu đều cho cùng đáp án như Cách 1 và Cách 2: a) C; b) B; c) D.

Nhận xét. Ước lượng theo mốc giúp loại nhanh vài phương án nhưng với những phương án gần bằng nhau (như câu c) vẫn phải tính chính xác lại bằng rút gọn để chắc chắn không chọn nhầm.

Định hướng. Rút gọn phân số nào chưa tối giản, rồi quy đồng tất cả về cùng một mẫu số chung nhỏ nhất để so sánh tử số.

Vậy thứ tự cân nặng từ bé đến lớn là: quả bưởi, quả sầu riêng, quả dưa hấu, quả mít.

Định hướng. Đổi các phân số lớn hơn $1$ ra hỗn số (phần nguyên và phần phân số) để hình dung khối lượng gần bằng bao nhiêu ki-lô-gam, giúp so sánh nhanh mà không cần quy đồng hết.

Vậy thứ tự vẫn là quả bưởi, quả sầu riêng, quả dưa hấu, quả mít, trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. So sánh lần lượt từng cặp hai khối lượng một, xác định quả nào nhẹ hơn rồi xếp dần vào đúng vị trí, không cần quy đồng cùng lúc cả bốn phân số.

Vậy thứ tự cân nặng từ bé đến lớn là quả bưởi, quả sầu riêng, quả dưa hấu, quả mít, đúng như hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 phù hợp khi chỉ cần so sánh từng cặp, nhưng với nhiều số hạng thì quy đồng hết một lần (Cách 1) vẫn chắc chắn và ít nhầm lẫn hơn.

Định hướng. Nhận ra $15$ chia hết cho cả $5$ và $3$ nên chọn $15$ làm mẫu số chung, quy đồng ba phân số còn lại rồi so sánh bốn tử số.

Vậy bạn Hùng chạy hết ít thời gian nhất nên về đích đầu tiên, bạn Lan chạy hết nhiều thời gian nhất nên về đích cuối cùng.

Định hướng. Tính xem mỗi bạn còn thiếu bao nhiêu phần của phút nữa mới đủ $1$ phút; ai thiếu ít hơn nghĩa là chạy gần hết $1$ phút hơn, tức là chạy lâu hơn — so sánh ngược chiều để tự kiểm tra.

Vậy Lan thiếu ít nhất nên chạy lâu nhất (về đích cuối cùng), Hùng thiếu nhiều nhất nên chạy ít thời gian nhất (về đích đầu tiên) — trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Đổi mỗi phân số của phút ra giây (nhân với $60$) để so sánh bằng số tự nhiên quen thuộc, không cần quy đồng phân số.

Vậy Hùng ($36$ giây) về đích đầu tiên, Lan ($56$ giây) về đích cuối cùng, đúng như hai cách trên.

Nhận xét. Đổi ra giây (Cách 3) giúp so sánh trực quan bằng số tự nhiên, nhưng chỉ áp dụng được khi đơn vị ban đầu là phút hoặc giờ có thể đổi tròn.

Định hướng. Nhận ra thừa số $5$ và $11$ có mặt ở cả tử số và mẫu số, gạch bỏ (chia) chúng trước, chỉ còn nhân các thừa số còn lại.

Vậy $\frac{5\times 8\times 11}{11\times 12\times 5}=\frac{2}{3}$.

Định hướng. Phân tích $12=4\times 3$ để lộ ra thừa số $4$ có thể rút gọn với $8$ ở tử số, làm phép tính gọn hơn ngay từ đầu.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1.

Định hướng. Cứ nhân hết tử số và mẫu số thành hai số cụ thể, sau đó tìm ước chung lớn nhất để rút gọn — cách làm chậm hơn nhưng dùng để tự kiểm tra kết quả.

Vậy $\frac{440}{660}=\frac{2}{3}$, đúng như hai cách rút gọn trước khi nhân ở trên.

Nhận xét. Rút gọn trước khi nhân (Cách 1, 2) luôn nhanh và an toàn hơn nhân hết ra số lớn rồi mới rút gọn (Cách 3).

Định hướng. Quy đồng hai phân số mốc về cùng mẫu số, tìm một số tự nhiên nằm giữa hai tử số mới, từ đó suy ra phân số cần tìm.

Vậy $\frac{3}{4}$ là một phân số vừa lớn hơn $\frac{5}{8}$ vừa bé hơn $\frac{6}{7}$ (có thể chọn phân số khác thoả mãn).

Định hướng. Muốn tìm một phân số nằm chính giữa hai phân số, lấy trung bình cộng của hai phân số đó — luôn cho một phân số thoả mãn cả hai điều kiện lớn hơn và bé hơn.

Vậy $\frac{83}{112}$ cũng là một phân số vừa lớn hơn $\frac{5}{8}$ vừa bé hơn $\frac{6}{7}$, khác với phân số $\frac{3}{4}$ tìm được ở Cách 1 nhưng vẫn đúng yêu cầu đề bài.

Định hướng. Sau khi chọn được một phân số, quy đồng để so sánh lại với cả $\frac{5}{8}$ và $\frac{6}{7}$, nhằm chắc chắn phân số đó thoả mãn cả hai điều kiện cùng lúc.

Vậy $\frac{3}{4}$ thoả mãn đúng cả hai điều kiện của đề bài, xác nhận lại kết quả của Cách 1.

Nhận xét. Bài toán này có vô số phân số thoả mãn (như $\frac{3}{4}$, $\frac{83}{112}$, $\frac{43}{56}$…), học sinh chỉ cần tìm đúng một phân số và luôn nên thử lại như Cách 3.