Bài 70. Ôn tập phép tính với phân số

Định hướng. Bốn phép tính đều là cộng hoặc trừ hai phân số khác mẫu số (có bài phối hợp với số tự nhiên); quy đồng về mẫu số chung nhỏ nhất rồi cộng, trừ hai tử số.

Vậy a) $\frac{53}{28}$; b) $\frac{55}{12}$; c) $\frac{1}{8}$; d) $\frac{7}{19}$.

Định hướng. Với câu b), d) có một số tự nhiên, có thể ghép số tự nhiên và phân số thành hỗn số ngay mà không cần quy đồng đầy đủ; câu a), c) vẫn quy đồng như Cách 1 để đối chiếu.

Vậy bốn kết quả trùng khớp với Cách 1: a) $\frac{53}{28}$; b) $\frac{55}{12}$; c) $\frac{1}{8}$; d) $\frac{7}{19}$.

Định hướng. Sau khi có kết quả ở Cách 1, lấy kết quả trừ (hoặc cộng) ngược lại một số hạng, nếu ra đúng số hạng còn lại thì phép tính ban đầu đã đúng.

Vậy cả bốn kết quả của Cách 1 đều được kiểm chứng đúng.

Nhận xét. Phép trừ luôn kiểm tra ngược được phép cộng và ngược lại, dù là số tự nhiên hay phân số.

Định hướng. Tính lần lượt từ trái sang phải, riêng câu c) tính trong ngoặc trước; mỗi bước quy đồng đúng cặp phân số đang cộng, trừ.

Vậy a) $\frac{15}{16}$; b) $\frac{4}{9}$; c) $\frac{35}{27}$.

Định hướng. Thay vì quy đồng từng cặp, tìm luôn mẫu số chung của tất cả phân số trong một biểu thức rồi cộng, trừ tử số một lượt — ít phải quy đồng lại giữa chừng.

Vậy ba kết quả trùng khớp với Cách 1: a) $\frac{15}{16}$; b) $\frac{4}{9}$; c) $\frac{35}{27}$.

Định hướng. Với câu c) có dấu ngoặc, có thể phá ngoặc rồi nhóm hai phân số cùng mẫu số $9$ lại với nhau trước, tính gọn hơn là tính trong ngoặc trước; câu a), b) nhóm số hạng theo cặp cho tổng tròn để tính nhanh.

Vậy nhóm theo cách khác vẫn cho đúng ba kết quả: a) $\frac{15}{16}$; b) $\frac{4}{9}$; c) $\frac{35}{27}$.

Nhận xét. Phép cộng, trừ phân số có tính chất giao hoán và kết hợp giống số tự nhiên nên được phép nhóm lại theo thứ tự thuận tiện, miễn giữ nguyên dấu của từng số hạng.

Định hướng. Coi cả mảnh vườn là 1; tính tổng phần diện tích đã dùng để trồng rau và trồng cây ăn quả, rồi lấy 1 trừ đi tổng đó để ra phần diện tích làm lối đi.

Vậy bác Tuấn đã dành $\frac{1}{14}$ diện tích mảnh vườn để làm lối đi.

Định hướng. Thay vì cộng hai phần đã dùng rồi mới trừ một lần, có thể trừ liên tiếp: lấy 1 trừ phần trồng rau trước, rồi trừ tiếp phần trồng cây ăn quả trong phần còn lại.

Vậy trừ liên tiếp hai lần cũng ra đúng $\frac{1}{14}$ diện tích mảnh vườn.

Định hướng. Đổi cả mảnh vườn (1), phần trồng rau và phần trồng cây ăn quả về cùng mẫu số 14 ngay từ đầu, rồi trừ tử số một lần cho gọn.

Vậy quy đồng cả ba phân số về mẫu số 14 ngay từ đầu cũng cho cùng kết quả $\frac{1}{14}$.

Nhận xét. Bài toán 'tìm phần còn lại' luôn có thể giải theo kiểu cộng rồi trừ hoặc trừ liên tiếp, miễn tổng các phần bằng đúng cả mảnh vườn.

Định hướng. Cách tự nhiên nhất là quy đồng và tính lần lượt từng phép cộng, trừ theo đúng thứ tự viết trong đề, không nhóm số hạng nào.

Vậy $\frac{5}{14}+\frac{4}{7}+\frac{17}{7}-3=\frac{5}{14}$.

Định hướng. Hai phân số $\frac{4}{7}$ và $\frac{17}{7}$ cùng mẫu số 7 nên nhóm lại tính trước, được một số tự nhiên gọn để trừ với 3.

Vậy $\frac{5}{14}+\frac{4}{7}+\frac{17}{7}-3=\frac{5}{14}$, khớp với Cách 1 nhưng ít bước quy đồng hơn hẳn.

Định hướng. Đổi luôn số 3 thành phân số mẫu số 7 là $\frac{21}{7}$ rồi nhóm chung với $\frac{4}{7}$ và $\frac{17}{7}$; ba số hạng mẫu số 7 triệt tiêu vừa đúng bằng 0.

Vậy nhóm cả ba số hạng mẫu số 7 lại cũng cho đúng kết quả $\frac{5}{14}$.

Nhận xét. Nhìn thấy các số hạng cùng mẫu số (hoặc đổi được về cùng mẫu số) trước khi quy đồng cả biểu thức là chìa khoá của mọi bài 'tính bằng cách thuận tiện'.

Định hướng. Nhân đôi tử và mẫu (nếu cần) để tử số chẵn, rồi tách tử số thành tổng của một số chia hết cho mẫu và phần dư, sao cho cả hai phần đều rút gọn được về tử số 1.

Vậy a) $\frac{5}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}$; b) $\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$.

Định hướng. Thử lần lượt các phân số đơn vị $\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4};\dots$ nhỏ hơn phân số đã cho, chọn phân số đơn vị lớn nhất mà hiệu còn lại vẫn có tử số bằng 1.

Vậy chọn phân số đơn vị lớn nhất trước cũng ra đúng hai kết quả như Cách 1.

Định hướng. Liệt kê một vài cách tách tử số thành tổng hai số, rút gọn từng phần rồi chọn cách thoả cả hai điều kiện (tử số bằng 1 và mẫu số khác nhau), loại các cách không thoả.

Vậy sau khi loại cách không thoả điều kiện, kết quả đúng vẫn là a) $\frac{5}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}$; b) $\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$.

Nhận xét. Một phân số có thể tách thành tổng hai phân số đơn vị theo nhiều cách; phải kiểm tra đủ cả hai điều kiện của đề (tử số bằng 1 và mẫu số khác nhau) trước khi chọn đáp số.

Định hướng. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu (câu c, d đổi phép chia thành nhân với phân số đảo ngược trước), rồi rút gọn phân số kết quả về tối giản.

Vậy a) $\frac{1}{2}$; b) $\frac{7}{4}$; c) $\frac{4}{3}$; d) $\frac{6}{7}$.

Định hướng. Rút gọn tử số của phân số này với mẫu số của phân số kia ngay trước khi nhân, để các số cần nhân nhỏ hơn hẳn, đỡ phải rút gọn phân số lớn ở bước cuối.

Vậy bốn kết quả trùng khớp Cách 1: a) $\frac{1}{2}$; b) $\frac{7}{4}$; c) $\frac{4}{3}$; d) $\frac{6}{7}$.

Định hướng. Với phép nhân, lấy kết quả chia ngược cho một thừa số phải ra đúng thừa số còn lại; với phép chia, lấy kết quả nhân ngược với số chia phải ra đúng số bị chia.

Vậy cả bốn kết quả của Cách 1 đều được kiểm chứng đúng.

Nhận xét. Phép chia luôn kiểm tra ngược được phép nhân (nhân kết quả với số chia) và ngược lại, áp dụng được cho cả số tự nhiên lẫn phân số.

Định hướng. Rút gọn mọi phân số về tối giản trước, sau đó thực hiện đúng thứ tự: nhân, chia trước; cộng, trừ sau (hoặc trong ngoặc trước).

Vậy a) $\frac{7}{24}$; b) $\frac{2}{5}$.

Định hướng. Không rút gọn ngay từ đầu, cứ giữ nguyên phân số đề cho và tính theo đúng thứ tự phép tính, chỉ rút gọn ở bước cuối cùng để so sánh với Cách 1.

Vậy không rút gọn từ đầu vẫn ra đúng kết quả: a) $\frac{7}{24}$; b) $\frac{2}{5}$ — nhưng các số ở bước tính phức tạp hơn hẳn Cách 1.

Định hướng. Câu a) chia phân số cho số tự nhiên có thể nhân mẫu số với số đó nếu tử số không chia hết; câu b) phép chia cho một tích $a:(b\times c)$ có thể tách thành chia liên tiếp $(a:b):c$.

Vậy tách phép chia thành hai bước nhỏ cũng cho đúng kết quả: a) $\frac{7}{24}$; b) $\frac{2}{5}$.

Nhận xét. Chia một số cho một tích bằng chia số đó lần lượt cho từng thừa số — tính chất này giúp tách phép chia phức tạp thành nhiều bước chia đơn giản.

Định hướng. Tìm số tiền Mai đã dùng bằng cách lấy tổng số tiền nhân với phân số $\frac{5}{7}$, sau đó lấy tổng trừ đi số tiền đã dùng để ra số tiền còn lại.

Vậy Mai còn lại 100 000 đồng.

Định hướng. Vì dùng $\frac{5}{7}$ số tiền nên số tiền còn lại ứng với $1-\frac{5}{7}=\frac{2}{7}$ tổng số tiền; tính thẳng số tiền còn lại mà không cần tính số tiền đã dùng.

Vậy tính trực tiếp phần còn lại cũng ra đúng 100 000 đồng, ít bước hơn Cách 1.

Định hướng. Tìm giá trị của $\frac{1}{7}$ tổng số tiền trước (rút về đơn vị), rồi nhân với số phần tương ứng của số tiền còn lại.

Vậy rút về đơn vị cũng cho đúng kết quả 100 000 đồng.

Nhận xét. Với các bài mà tổng số chia hết cho mẫu số, rút về đơn vị thường tính nhẩm nhanh hơn nhân trực tiếp với phân số.

Định hướng. Từ diện tích và chiều dài, tìm chiều rộng bằng phép chia, rồi thay chiều dài và chiều rộng vào công thức chu vi hình chữ nhật.

Vậy chu vi tấm kính là 4 m.

Định hướng. Không cộng chiều dài với chiều rộng trước, mà tính riêng 2 lần chiều dài và 2 lần chiều rộng rồi cộng lại — theo đúng công thức chu vi mở rộng.

Vậy tách riêng hai lần chiều dài và hai lần chiều rộng cũng cho đúng chu vi 4 m.

Định hướng. Coi chiều rộng là thành phần chưa biết trong phép nhân 'chiều dài nhân chiều rộng bằng diện tích', áp dụng quy tắc tìm thừa số chưa biết rồi kiểm tra lại bằng phép nhân trước khi tính chu vi.

Vậy tìm chiều rộng theo kiểu 'tìm thừa số chưa biết' rồi kiểm tra lại cũng ra đúng chu vi 4 m.

Nhận xét. Luôn nên thử nhân lại chiều dài với chiều rộng vừa tìm được để chắc chắn đúng bằng diện tích đề cho, trước khi tính tiếp chu vi.

Định hướng. Câu a) nhóm hai cặp phân số nghịch đảo lại vì tích của chúng bằng 1; câu b) đặt thừa số chung $\frac{4}{9}$ ra ngoài theo tính chất nhân một số với một tổng.

Vậy a) $9$; b) $\frac{2}{9}$.

Định hướng. Nhân, cộng, trừ đúng theo thứ tự viết trong đề, không nhóm thừa số nào, để thấy rõ vì sao cách nhóm ở Cách 1 nhanh hơn hẳn.

Vậy tính tuần tự cũng ra đúng a) $9$; b) $\frac{2}{9}$, nhưng phải rút gọn phân số lớn ở nhiều bước hơn Cách 1.

Định hướng. Khi viết tích nhiều phân số liên tiếp, có thể rút gọn chéo ngay các cặp tử số – mẫu số bằng nhau (hoặc là nghịch đảo của nhau) trước khi nhân ra kết quả, không cần viết riêng phép nhóm trong ngoặc.

Vậy rút gọn ngay trong lúc nhân cũng cho đúng a) $9$; b) $\frac{2}{9}$, gọn hơn cả Cách 1.

Nhận xét. Nhìn thấy hai phân số là nghịch đảo của nhau (tích bằng 1) hoặc thừa số chung xuất hiện ở nhiều số hạng chính là dấu hiệu của mọi bài 'tính bằng cách thuận tiện' với phép nhân.