Chương VI. Phân số

Bài 23. Mở rộng phân số. Phân số bằng nhau

SBT (Sách bài tập) Toán 6 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · 6.1★Trang 5— Đọc phân số biểu thị phần tô màu từ hình vẽ trực quan

Phần tô màu trong mỗi hình vẽ dưới đây biểu thị phân số nào? a) Hình chữ nhật chia thành 15 phần bằng nhau, tô màu 5 phần liền nhau. b) Hình chữ nhật chia thành 15 phần bằng nhau, tô màu 5 phần nằm rải rác. c) Hình chữ nhật chia thành 8 phần bằng nhau, tô màu 5 phần. d) Hình chữ nhật chia thành 16 phần bằng nhau, tô màu 6 phần.

Kiến thức cần nhớ

Phân số biểu thị phần tô màu có tử số là số phần được tô, mẫu số là tổng số phần bằng nhau của cả hình; vị trí các phần được tô không làm thay đổi phân số, chỉ số lượng phần tô mới quyết định tử số.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ yêu cầu đọc phân số trực tiếp từ hình chia phần và tô màu, dấu hiệu là đề hỏi thẳng "biểu thị phân số nào" chứ không yêu cầu rút gọn hay so sánh gì thêm. Chọn hướng đếm trực tiếp số phần tô trên tổng số phần vì đây là định nghĩa gốc của phân số, áp dụng được ngay cho mọi hình bất kể phần tô nằm liền hay rải rác. Bẫy nằm ở hình b) và hình d): phần tô rải rác dễ đếm sót hoặc đếm nhầm tổng số phần của cả hình.

1Cách 1. Đếm trực tiếp số phần tô màu trên tổng số phần

Đếm số phần được tô màu làm tử số, đếm tổng số phần chia đều của cả hình làm mẫu số.

a) hình chia

15

phần, tô

5

phần nên phân số biểu thị là

\frac{5}{15}

b) hình cũng chia

15

phần, tô

5

phần (dù nằm rải rác) nên phân số biểu thị vẫn là

\frac{5}{15}

c) hình chia

8

phần, tô

5

phần nên phân số biểu thị là

\frac{5}{8}

d) hình chia

16

phần, tô

6

phần nên phân số biểu thị là

\frac{6}{16}

Vậy bốn hình lần lượt biểu thị các phân số $\frac{5}{15}$ , $\frac{5}{15}$ , $\frac{5}{8}$ , $\frac{6}{16}$ .

2Cách 2. Đếm phần không tô rồi lấy tổng số phần trừ đi

Đếm số phần KHÔNG tô màu, lấy tổng số phần trừ đi số đó để ra số phần đã tô, cách này tiện khi phần tô nhiều hơn phần không tô.

15

phần, không tô

10

phần nên số phần tô là

15 - 10 = 5

, phân số là

\frac{5}{15}

b) tương tự, không tô

10

phần trong

15

phần nên số phần tô là

15 - 10 = 5

, phân số là

\frac{5}{15}

8

phần, không tô

3

phần nên số phần tô là

8 - 3 = 5

, phân số là

\frac{5}{8}

16

phần, không tô

10

phần nên số phần tô là

16 - 10 = 6

, phân số là

\frac{6}{16}

Tính qua phần bù cũng cho đúng bốn phân số như Cách 1.

3Cách 3. Gộp các phần tô rải rác thành một khối liền để so sánh

Với hình có phần tô nằm rải rác (hình b), tưởng tượng dồn các phần đã tô về sát nhau thành một khối liền, rồi so khối đó với hình a) đã tô liền sẵn.

khối gộp của hình b) gồm đúng

5

phần chia đều, y hệt số phần đã tô liền nhau ở hình a)

hình a) và hình b) có cùng tổng số phần chia đều là

15

và cùng số phần tô là

5

Nên phân số biểu thị của hình a) và hình b) đều là $\frac{5}{15}$ , không phụ thuộc việc các phần tô nằm liền hay rải rác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đây là cách nhanh nhất, chỉ cần đếm hai lần (phần tô và tổng số phần) là ra ngay phân số, không cần suy luận thêm.

Đáp số. a)

\frac{5}{15}

; b)

\frac{5}{15}

; c)

\frac{5}{8}

; d)

\frac{6}{16}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn đếm nhầm mẫu số bằng cách đếm luôn số phần đã tô cộng thêm một phần biên của hình, ví dụ ở hình d) đếm mẫu thành

17

thay vì

16

. Phải đếm đúng tổng số phần CHIA ĐỀU của cả hình làm mẫu số, hình d) chia đúng

16

phần nên phân số phải là

\frac{6}{16}

🚀 Mở rộng. Mở rộng: nếu một hình được tô màu theo nhiều đợt khác màu nhau, mỗi màu ứng với một phân số riêng, thì tổng các phân số đó phải bằng phân số biểu thị toàn bộ phần đã tô.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.2★Trang 5— Viết phép chia hai số nguyên dưới dạng phân số

Viết các phép chia sau dưới dạng phân số: a)

(- 17) : 8

; b)

(- 8) : (- 9)

Kiến thức cần nhớ

Thương của phép chia $a : b$ (với $b \neq = 0$ ) được viết dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ , trong đó $a$ là tử số (số bị chia), $b$ là mẫu số (số chia); nếu cả tử và mẫu cùng âm thì nhân cả hai với $- 1$ để đưa mẫu về dương.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho thẳng hai phép chia số nguyên, dấu hiệu nhận dạng dạng toán là chỉ cần biết số bị chia và số chia để viết thành phân số. Chọn hướng viết trực tiếp theo định nghĩa vì nhanh nhất, chỉ cần thêm bước đổi dấu khi mẫu âm. Bẫy ở câu b) là hai số cùng âm chia cho nhau, rất dễ chỉ đổi dấu một nửa (chỉ đổi tử hoặc chỉ đổi mẫu) mà bỏ quên quy tắc dấu của phép chia.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp định nghĩa phép chia ra phân số

Số bị chia làm tử số, số chia làm mẫu số, viết ngay theo đúng thứ tự của phép chia.

(- 17) : 8 = \frac{- 17}{8}

(- 8) : (- 9) = \frac{- 8}{- 9}

mẫu số đang âm nên nhân cả tử và mẫu với

- 1

để đưa mẫu về dương:

\frac{- 8}{- 9} = \frac{( - 8 ) \cdot ( - 1 )}{( - 9 ) \cdot ( - 1 )} = \frac{8}{9}

Vậy $(- 17) : 8 = \frac{- 17}{8}$ và $(- 8) : (- 9) = \frac{8}{9}$ .

2Cách 2. Thử lại bằng phép nhân ngược

Lấy phân số vừa viết nhân với mẫu số, kết quả phải đúng bằng tử số thì phép viết là đúng.

\frac{- 17}{8} \cdot 8 = - 17

, đúng bằng số bị chia ban đầu

\frac{8}{9} \cdot 9 = 8

, mà số bị chia của phép tính gốc là

- 8

; vì đã đổi dấu cả tử và mẫu (một phép biến đổi không làm thay đổi giá trị phân số) nên

\frac{- 8}{- 9}

và

\frac{8}{9}

vẫn là cùng một số, thử lại đúng

Cả hai phép viết ở Cách 1 đều được xác nhận đúng bằng phép thử ngược.

3Cách 3. Xét dấu của thương trước khi viết phân số

Xác định dấu của thương theo quy tắc dấu của phép chia hai số nguyên rồi mới viết phân số với mẫu dương.

a) số bị chia âm, số chia dương nên thương âm:

(- 17) : 8

mang dấu âm, viết

\frac{- 17}{8}

b) số bị chia âm, số chia âm nên thương dương:

(- 8) : (- 9)

mang dấu dương, viết ngay

\frac{8}{9}

với mẫu dương

Xét dấu trước cũng cho $\frac{- 17}{8}$ và $\frac{8}{9}$ , khớp với Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ mất một dòng cho mỗi câu; nhớ luôn kiểm tra dấu như Cách 3 khi cả tử và mẫu cùng âm để khỏi viết sai dấu.

Đáp số. a)

\frac{- 17}{8}

; b)

\frac{8}{9}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn viết câu b) thành

\frac{- 8}{9}

, chỉ đổi dấu ở tử mà quên mẫu cũng đang âm. Thử lại:

\frac{- 8}{9} \approx - 0, 89

mang dấu âm, trong khi

(- 8) : (- 9)

là thương của hai số âm nên phải dương; viết đúng phải là

\frac{8}{9}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: phép chia

a : b

với

a, b

cùng dấu luôn cho thương dương, khác dấu luôn cho thương âm, nên

\frac{a}{b}

viết ra phải khớp đúng quy tắc dấu đó trước khi rút gọn.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.3★★Trang 5— Đổi đơn vị đo độ dài, diện tích ra phân số tối giản theo đơn vị mới

Biểu thị các số sau dưới dạng phân số tối giản với đơn vị là: a) Mét:

15

cm;

40

mm; b) Mét vuông:

15

^{2}

;

35

^{2}

Kiến thức cần nhớ

$1$ m $= 100$ cm $= 1000$ mm; $1$ m $^{2} = 10000$ cm $^{2} = 100$ dm $^{2}$ ; muốn tối giản một phân số ta chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu của dạng này là đề cho số đo ở đơn vị nhỏ (cm, mm, cm

^{2}

, dm

^{2}

) và bắt đổi sang đơn vị lớn (m, m

^{2}

) dưới dạng phân số tối giản, nên việc đầu tiên là nhớ đúng tỉ lệ quy đổi. Chọn hướng viết phân số trực tiếp theo tỉ lệ rồi rút gọn dần vì không cần thuộc bảng thừa số nguyên tố, phù hợp làm nhanh. Bẫy chết người nằm ở phần diện tích: tỉ lệ quy đổi phải bình phương lên chứ không giữ nguyên như độ dài.

1Cách 1. Viết trực tiếp phân số theo tỉ lệ đơn vị rồi rút gọn dần

Viết số đo dưới dạng phân số của mét (hay mét vuông) dựa theo tỉ lệ quy đổi đơn vị, rồi rút gọn dần bằng các ước chung dễ thấy.

15

= \frac{15}{100}

= \frac{15 : 5}{100 : 5}

= \frac{3}{20}

40

= \frac{40}{1000}

= \frac{40 : 40}{1000 : 40}

= \frac{1}{25}

15

^{2} = \frac{15}{10000}

^{2} = \frac{15 : 5}{10000 : 5}

^{2} = \frac{3}{2000}

^{2}

35

^{2} = \frac{35}{100}

^{2} = \frac{35 : 5}{100 : 5}

^{2} = \frac{7}{20}

^{2}

Vậy $15$ cm $= \frac{3}{20}$ m, $40$ mm $= \frac{1}{25}$ m, $15$ cm $^{2} = \frac{3}{2000}$ m $^{2}$ , $35$ dm $^{2} = \frac{7}{20}$ m $^{2}$ .

2Cách 2. Rút gọn một lần bằng ước chung lớn nhất tính qua thừa số nguyên tố

Phân tích tử và mẫu ra thừa số nguyên tố để tìm ngay ước chung lớn nhất, rút gọn một lần duy nhất.

15 = 3 \cdot 5

100 = 2^{2} \cdot 5^{2}

nên ƯCLN

= 5

, suy ra

\frac{15}{100} = \frac{3}{20}

(mét)

40 = 2^{3} \cdot 5

1000 = 2^{3} \cdot 5^{3}

nên ƯCLN

= 2^{3} \cdot 5 = 40

, suy ra

\frac{40}{1000} = \frac{1}{25}

(mét)

15 = 3 \cdot 5

10000 = 2^{4} \cdot 5^{4}

nên ƯCLN

= 5

, suy ra

\frac{15}{10000} = \frac{3}{2000}

(mét vuông)

35 = 5 \cdot 7

100 = 2^{2} \cdot 5^{2}

nên ƯCLN

= 5

, suy ra

\frac{35}{100} = \frac{7}{20}

(mét vuông)

Rút gọn một lần bằng ƯCLN cũng cho đúng bốn kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Đổi ra số thập phân để kiểm tra lại phân số vừa rút gọn

Đổi số đo ra số thập phân của đơn vị mới rồi so khớp với phân số đã rút gọn để kiểm chứng.

15

= 0, 15

m, mà

\frac{3}{20} = 0, 15

nên khớp;

40

= 0, 04

m, mà

\frac{1}{25} = 0, 04

nên khớp

15

^{2} = 0, 0015

^{2}

, mà

\frac{3}{2000} = 0, 0015

nên khớp;

35

^{2} = 0, 35

^{2}

, mà

\frac{7}{20} = 0, 35

nên khớp

Cả bốn phân số đã rút gọn đều được xác nhận đúng bằng phép thử số thập phân.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì rút gọn dần bằng các ước chung nhỏ (chia

5

, chia

40

) vừa quen tay vừa ít khả năng tính nhầm ƯCLN lớn.

Đáp số. a)

15

= \frac{3}{20}

40

= \frac{1}{25}

m; b)

15

^{2} = \frac{3}{2000}

^{2}

;

35

^{2} = \frac{7}{20}

^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn đổi diện tích như đổi độ dài, cho rằng

1

^{2} = 100

^{2}

nên viết

15

^{2} = \frac{15}{100}

^{2} = \frac{3}{20}

^{2}

. Thật ra diện tích phải bình phương tỉ lệ độ dài,

1

^{2} = 10 0^{2} = 10000

^{2}

, nên kết quả đúng là

15

^{2} = \frac{15}{10000}

^{2} = \frac{3}{2000}

^{2}

🚀 Mở rộng. Mở rộng sang thể tích:

1

^{3} = 1000000

^{3}

(lập phương tỉ lệ độ dài), nên

15

^{3} = \frac{15}{1000000}

^{3} = \frac{3}{200000}

^{3}

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.4★★Trang 6— Giải thích hai phân số bằng nhau bằng tính chất cơ bản của phân số

Dùng tính chất cơ bản của phân số, hãy giải thích vì sao các cặp phân số sau bằng nhau: a)

\frac{21}{9} = \frac{49}{21}

; b)

\frac{- 24}{34} = \frac{- 60}{85}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cơ bản của phân số: nếu nhân (hoặc chia) cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác $0$ thì được một phân số bằng phân số đã cho.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã chỉ đích danh phải dùng tính chất cơ bản của phân số, dấu hiệu là hai phân số ở mỗi câu tuy tử và mẫu khác nhau nhưng đều có thể quy về cùng một phân số sau khi nhân hoặc chia. Chọn hướng rút gọn về cùng phân số tối giản vì đây là chiều tự nhiên nhất của tính chất, dễ nhìn ra ước chung (

3

và

7

ở câu a,

2

và

5

ở câu b). Bẫy là nhầm tính chất cơ bản với phép cộng cùng một số vào tử và mẫu, vốn không hề giữ nguyên giá trị phân số.

1Cách 1. Chia cả hai phân số về cùng một phân số tối giản

Chia cả tử và mẫu của mỗi phân số cho ước chung của chúng để đưa cả hai về cùng một phân số tối giản.

\frac{21}{9} = \frac{21 : 3}{9 : 3} = \frac{7}{3}

, còn

\frac{49}{21} = \frac{49 : 7}{21 : 7} = \frac{7}{3}

cả hai đều rút gọn về

\frac{7}{3}

nên

\frac{21}{9} = \frac{49}{21}

\frac{- 24}{34} = \frac{- 24 : 2}{34 : 2} = \frac{- 12}{17}

, còn

\frac{- 60}{85} = \frac{- 60 : 5}{85 : 5} = \frac{- 12}{17}

Cả hai đều rút gọn về $\frac{- 12}{17}$ nên $\frac{- 24}{34} = \frac{- 60}{85}$ .

2Cách 2. Nhân cả hai phân số về cùng một mẫu số chung

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với một số thích hợp để đưa cả hai về cùng mẫu số, rồi so sánh tử số.

\frac{21}{9} = \frac{21 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{147}{63}

, và

\frac{49}{21} = \frac{49 \cdot 3}{21 \cdot 3} = \frac{147}{63}

hai phân số cùng bằng

\frac{147}{63}

nên

\frac{21}{9} = \frac{49}{21}

\frac{- 24}{34} = \frac{- 24 \cdot 5}{34 \cdot 5} = \frac{- 120}{170}

, và

\frac{- 60}{85} = \frac{- 60 \cdot 2}{85 \cdot 2} = \frac{- 120}{170}

Hai phân số cùng bằng $\frac{- 120}{170}$ nên $\frac{- 24}{34} = \frac{- 60}{85}$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng tích chéo của định nghĩa hai phân số bằng nhau

Đây là hệ quả trực tiếp của tính chất cơ bản: hai phân số bằng nhau khi và chỉ khi tích chéo của chúng bằng nhau, dùng để kiểm tra nhanh kết quả của Cách 1 và Cách 2.

21 \cdot 21 = 441

và

9 \cdot 49 = 441

, hai tích bằng nhau nên

\frac{21}{9} = \frac{49}{21}

(- 24) \cdot 85 = - 2040

và

34 \cdot (- 60) = - 2040

, hai tích bằng nhau nên

\frac{- 24}{34} = \frac{- 60}{85}

Tích chéo bằng nhau xác nhận đúng cả hai cặp phân số ở đề bài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì ước chung ở cả hai câu đều nhỏ và dễ thấy, rút gọn xong là so sánh được ngay, ngắn hơn hẳn Cách 2 phải tìm mẫu chung.

Đáp số. Cả hai cặp phân số đều bằng nhau:

\frac{21}{9} = \frac{49}{21} = \frac{7}{3}

và

\frac{- 24}{34} = \frac{- 60}{85} = \frac{- 12}{17}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tưởng tính chất cơ bản cho phép CỘNG cùng một số vào cả tử và mẫu. Phản ví dụ:

\frac{21}{9}

cộng thêm

1

vào tử và mẫu được

\frac{22}{10} = \frac{11}{5} \neq = \frac{7}{3}

, chứng tỏ phép cộng làm thay đổi giá trị phân số; chỉ có phép NHÂN hoặc CHIA cả tử và mẫu cho cùng một số khác

0

mới giữ nguyên giá trị.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hai phân số

\frac{a}{b}

và

\frac{c}{d}

bằng nhau khi và chỉ khi tồn tại số nguyên

k \neq = 0

sao cho chúng cùng rút gọn về một phân số tối giản, tương đương với điều kiện

a d = b c

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.5★★Trang 6— Giải thích hai phân số bằng nhau bằng quy tắc (định nghĩa) hai phân số bằng nhau

Dùng quy tắc bằng nhau của phân số, hãy giải thích vì sao các cặp phân số sau bằng nhau: a)

\frac{3}{5} = \frac{27}{45}

; b)

\frac{- 6}{8} = \frac{- 21}{28}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hai phân số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (với $b, d \neq = 0$ ) khi và chỉ khi $a \cdot d = b \cdot c$ ; đây là cách kiểm tra không cần rút gọn hay quy đồng trước.

🧠 Phân tích tư duy

Bài này gần giống bài trước nhưng đề đổi tên gọi thành "quy tắc bằng nhau của phân số", dấu hiệu là nên ưu tiên dùng định nghĩa tích chéo

a d = b c

thay vì chỉ rút gọn. Chọn hướng tích chéo trước vì áp dụng được ngay không cần tìm ước chung, đặc biệt an toàn với câu b) có số âm dễ nhầm dấu khi rút gọn. Bẫy là ngộ nhận "tử lớn hơn, mẫu cũng lớn hơn" là đủ để hai phân số bằng nhau, trong khi phải đúng cùng một tỉ lệ nhân.

1Cách 1. Kiểm tra bằng tích chéo theo đúng quy tắc bằng nhau

Nhân chéo tử số của phân số này với mẫu số của phân số kia, hai kết quả bằng nhau thì hai phân số bằng nhau.

3 \cdot 45 = 135

và

5 \cdot 27 = 135

, hai tích bằng nhau nên

\frac{3}{5} = \frac{27}{45}

(- 6) \cdot 28 = - 168

và

8 \cdot (- 21) = - 168

, hai tích bằng nhau nên

\frac{- 6}{8} = \frac{- 21}{28}

Cả hai cặp đều thoả quy tắc bằng nhau nên đúng là hai phân số bằng nhau.

2Cách 2. Nhân cả tử và mẫu của phân số nhỏ để ra phân số lớn

Tìm số nhân thích hợp để đưa phân số có tử mẫu nhỏ hơn thành phân số có tử mẫu lớn hơn, dùng tính chất cơ bản làm nền cho quy tắc bằng nhau.

a) mẫu số đi từ

5

lên

45

là nhân với

9

, nên nhân luôn tử:

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{27}{45}

b) mẫu số đi từ

8

lên

28

là nhân với

\frac{7}{2}

; nhân cả tử và mẫu với

2

trước để tránh số không nguyên:

\frac{- 6}{8} = \frac{- 6 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{- 42}{56}

, và

\frac{- 21}{28} = \frac{- 21 \cdot 2}{28 \cdot 2} = \frac{- 42}{56}

Cả hai phân số của câu b) đều bằng $\frac{- 42}{56}$ nên $\frac{- 6}{8} = \frac{- 21}{28}$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Rút gọn cả hai phân số về cùng một phân số tối giản

Chia cả tử và mẫu của mỗi phân số cho ước chung của chúng, nếu cùng ra một phân số tối giản thì hai phân số ban đầu bằng nhau.

\frac{27}{45} = \frac{27 : 9}{45 : 9} = \frac{3}{5}

, đúng bằng phân số còn lại

\frac{- 6}{8} = \frac{- 6 : 2}{8 : 2} = \frac{- 3}{4}

, và

\frac{- 21}{28} = \frac{- 21 : 7}{28 : 7} = \frac{- 3}{4}

Cùng rút gọn về $\frac{- 3}{4}$ nên $\frac{- 6}{8} = \frac{- 21}{28}$ , thêm một lần xác nhận kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đề đã gọi tên đúng "quy tắc bằng nhau", làm đúng tích chéo vừa nhanh vừa bám sát yêu cầu của đề, mỗi câu chỉ hai phép nhân.

Đáp số. Cả hai cặp phân số đều bằng nhau:

\frac{3}{5} = \frac{27}{45}

và

\frac{- 6}{8} = \frac{- 21}{28} = \frac{- 3}{4}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy tử và mẫu của phân số sau đều "lớn hơn" phân số trước là vội kết luận bằng nhau mà không kiểm tra đúng tỉ lệ, chẳng hạn nhầm

\frac{3}{5}

với

\frac{30}{45}

(nhân tử với

10

nhưng mẫu chỉ nhân với

9

). Thử tích chéo:

3 \cdot 45 = 135

còn

5 \cdot 30 = 150

, hai tích khác nhau nên

\frac{3}{5} \neq = \frac{30}{45}

, phải nhân tử và mẫu với ĐÚNG CÙNG một số.

🚀 Mở rộng. Mở rộng: với ba phân số bằng nhau liên tiếp

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}

, chỉ cần kiểm tra tích chéo giữa từng cặp liền kề là đủ suy ra cả ba đôi một bằng nhau.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.6★★Trang 6— Tìm số nguyên chưa biết trong một dãy các phân số bằng nhau

Tìm các số nguyên

x

y

, biết:

\frac{- 3}{4} = \frac{x}{20} = \frac{21}{y}

Kiến thức cần nhớ

Hai phân số bằng nhau khi tích chéo bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ khi và chỉ khi $a \cdot d = b \cdot c$ (với $b, d \neq = 0$ ); cũng có thể tìm số chưa biết bằng cách nhân hoặc chia tử và mẫu với cùng một số theo tính chất cơ bản của phân số.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một dãy ba phân số bằng nhau với hai ẩn

x

y

nằm ở hai vị trí khác nhau (mẫu số và mẫu số), dấu hiệu là phải tách thành hai bài toán tìm số hạng chưa biết độc lập, mỗi bài dùng chung phân số gốc

\frac{- 3}{4}

. Chọn hướng nhân theo hệ số tỉ lệ vì mẫu và tử đã biết đều là bội nguyên gọn của

4

và

- 3

, tính nhẩm được ngay. Bẫy nằm ở

y

: dấu của

21

và dấu của

\frac{- 3}{4}

khác nhau nên

y

phải âm, rất dễ bị bỏ quên khi vội tính.

1Cách 1. Nhân tử và mẫu theo hệ số tỉ lệ giữa hai mẫu (hoặc hai tử) đã biết

So hai mẫu số (hoặc hai tử số) đã biết để tìm hệ số nhân, rồi nhân tử số (hoặc mẫu số) còn lại theo đúng hệ số đó.

tìm

x

: mẫu đi từ

4

lên

20

là nhân với

5

, nên

x = - 3 \cdot 5 = - 15

; tức

\frac{- 3}{4} = \frac{- 3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{- 15}{20}

tìm

y

: tử đi từ

- 3

lên

21

là nhân với

- 7

(vì

- 3 \cdot (- 7) = 21

), nên

y = 4 \cdot (- 7) = - 28

; tức

\frac{- 3}{4} = \frac{- 3 \cdot ( - 7 )}{4 \cdot ( - 7 )} = \frac{21}{- 28}

Vậy $x = - 15$ và $y = - 28$ .

2Cách 2. Lập đẳng thức tích chéo rồi giải tìm ẩn

Dùng quy tắc hai phân số bằng nhau để lập đẳng thức tích chéo cho từng cặp phân số, rồi giải ra $x$ , $y$ .

từ

\frac{- 3}{4} = \frac{x}{20}

suy ra

- 3 \cdot 20 = 4 \cdot x

, tức

4 x = - 60

x = - 60 : 4 = - 15

từ

\frac{- 3}{4} = \frac{21}{y}

suy ra

- 3 \cdot y = 4 \cdot 21

, tức

- 3 y = 84

y = 84 : (- 3) = - 28

Vậy $x = - 15$ và $y = - 28$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Đưa các phân số về cùng mẫu số để đọc thẳng ra tử số

Quy đồng mẫu số của $\frac{- 3}{4}$ với $20$ , khi mẫu đã bằng nhau thì tử số cũng phải bằng nhau, đọc thẳng ra $x$ mà không cần lập phương trình.

\frac{- 3}{4} = \frac{- 15}{20}

(nhân tử và mẫu với

5

); mà đề cho

\frac{- 3}{4} = \frac{x}{20}

nên hai phân số

\frac{- 15}{20}

và

\frac{x}{20}

có cùng mẫu

20

, suy ra

x = - 15

với

y

, viết lại

\frac{- 15}{20} = \frac{21}{y}

rồi lập tích chéo:

- 15 \cdot y = 20 \cdot 21 = 420

y = 420 : (- 15) = - 28

Cách quy đồng cũng cho $x = - 15$ và $y = - 28$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì hệ số tỉ lệ ở cả hai chỗ đều là số nguyên đẹp (

5

và

- 7

), nhẩm ra ngay

x

y

mà không cần đặt phép chia như Cách 2.

Đáp số.

x = - 15

;

y = - 28

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tính

y

mà quên xét dấu, viết

y = 21 \cdot 4 : 3 = 28

(bỏ mất dấu âm của

\frac{- 3}{4}

). Vì

21

dương mà phân số

\frac{21}{y}

phải mang dấu âm bằng

\frac{- 3}{4}

, nên

y

bắt buộc phải âm; kết quả đúng là

y = - 28

chứ không phải

28

🚀 Mở rộng. Mở rộng: với dãy

\frac{a}{b} = \frac{x}{m} = \frac{n}{y}

, luôn tìm được

x = \frac{a \cdot m}{b}

và

y = \frac{b \cdot n}{a}

miễn là các phép chia đó ra số nguyên.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.7★★Trang 6— Rút gọn phân số có tử và mẫu chứa lũy thừa cùng cơ số

Rút gọn các phân số sau: a)

\frac{2 ^{3} \cdot 3 ^{2}}{2 ^{2} \cdot 3 ^{3}}

; b)

\frac{- 2 \cdot 3 \cdot 5 ^{2}}{3 ^{2} \cdot 5 ^{3}}

Kiến thức cần nhớ

Muốn chia hai lũy thừa cùng cơ số ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ (với $m > n$ , $a \neq = 0$ ); áp dụng riêng cho từng cơ số ở tử và mẫu để rút gọn phân số.

🧠 Phân tích tư duy

Tử và mẫu đều đã viết sẵn dưới dạng tích các lũy thừa cùng cơ số (

2

và

3

ở câu a,

3

và

5

ở câu b), đó là dấu hiệu nên dùng quy tắc chia lũy thừa cùng cơ số thay vì nhân ra số cụ thể rồi mới tìm ước chung. Chọn hướng trừ số mũ vì nhanh và tránh phải tính các số khá lớn như

108

hay

1125

. Bẫy là cộng nhầm số mũ thay vì trừ, đặc biệt dễ xảy ra khi tử và mẫu đều có nhiều lũy thừa.

1Cách 1. Tính ra giá trị cụ thể rồi rút gọn theo ước chung lớn nhất

Tính giá trị của tử và mẫu trước, sau đó tìm ước chung lớn nhất để rút gọn như một phân số bình thường.

2^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72

và

2^{2} \cdot 3^{3} = 4 \cdot 27 = 108

; ƯCLN

(72, 108) = 36

\frac{72}{108} = \frac{72 : 36}{108 : 36} = \frac{2}{3}

- 2 \cdot 3 \cdot 5^{2} = - 2 \cdot 3 \cdot 25 = - 150

và

3^{2} \cdot 5^{3} = 9 \cdot 125 = 1125

; ƯCLN

(150, 1125) = 75

\frac{- 150}{1125} = \frac{- 150 : 75}{1125 : 75} = \frac{- 2}{15}

Vậy $\frac{2 ^{3} \cdot 3 ^{2}}{2 ^{2} \cdot 3 ^{3}} = \frac{2}{3}$ và $\frac{- 2 \cdot 3 \cdot 5 ^{2}}{3 ^{2} \cdot 5 ^{3}} = \frac{- 2}{15}$ .

2Cách 2. Rút gọn trực tiếp bằng quy tắc chia lũy thừa cùng cơ số

Nhóm các lũy thừa cùng cơ số ở tử và mẫu rồi trừ số mũ, không cần tính ra giá trị cụ thể.

\frac{2 ^{3} \cdot 3 ^{2}}{2 ^{2} \cdot 3 ^{3}} = 2^{3 - 2} \cdot 3^{2 - 3} = 2^{1} \cdot 3^{- 1} = \frac{2}{3}

\frac{- 2 \cdot 3 \cdot 5 ^{2}}{3 ^{2} \cdot 5 ^{3}} = - 2 \cdot 3^{1 - 2} \cdot 5^{2 - 3} = - 2 \cdot 3^{- 1} \cdot 5^{- 1} = \frac{- 2}{3 \cdot 5} = \frac{- 2}{15}

Rút gọn thẳng bằng quy tắc lũy thừa cũng cho $\frac{2}{3}$ và $\frac{- 2}{15}$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Phân tích riêng từng cơ số ra thừa số để kiểm chứng

Viết lại từng luỹ thừa thành tích các thừa số bằng nhau, gạch bỏ phần chung ở tử và mẫu để kiểm tra lại kết quả của Cách 2.

a) tử

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

, mẫu

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

; gạch bỏ

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

chung ở cả hai, còn lại

\frac{2}{3}

b) tử

= (- 1) \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5

, mẫu

= 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

; gạch bỏ

3 \cdot 5 \cdot 5

chung ở cả hai, còn lại

\frac{- 2}{3 \cdot 5} = \frac{- 2}{15}

Gạch bỏ thừa số chung cũng xác nhận đúng $\frac{2}{3}$ và $\frac{- 2}{15}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì không phải nhân ra số cụ thể, chỉ trừ số mũ là ra ngay kết quả, đặc biệt lợi khi số mũ lớn khiến việc tính giá trị cụ thể rất cồng kềnh.

Đáp số. a)

\frac{2}{3}

; b)

\frac{- 2}{15}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cộng dồn số mũ thay vì trừ, nhầm

\frac{2 ^{3} \cdot 3 ^{2}}{2 ^{2} \cdot 3 ^{3}} = \frac{2 ^{3 + 2}}{3 ^{2 + 3}} = \frac{32}{243}

. Đây là sai vì quy tắc trừ số mũ chỉ áp dụng khi CHIA hai lũy thừa CÙNG cơ số ở đúng vị trí tử và mẫu; tính đúng phải là

2^{3 - 2} \cdot 3^{2 - 3} = 2 \cdot 3^{- 1} = \frac{2}{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

\frac{a ^{m} \cdot b ^{n}}{a ^{p} \cdot b ^{q}} = a^{m - p} \cdot b^{n - q}

với mọi số mũ nguyên, kể cả khi kết quả có số mũ âm thì chuyển xuống mẫu theo quy tắc

a^{- k} = \frac{1}{a ^{k}}

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.8★★Trang 6— Nhận biết phân số tối giản, rút gọn phân số chưa tối giản

Trong các phân số

\frac{- 30}{64}

;

\frac{17}{29}

;

\frac{10}{- 25}

, phân số nào là phân số tối giản? Rút gọn các phân số chưa tối giản.

Kiến thức cần nhớ

Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu (xét giá trị tuyệt đối) chỉ có ước chung là $1$ , tức ước chung lớn nhất của chúng bằng $1$ ; phân số có mẫu âm thì nên đưa dấu về tử trước khi xét.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba phân số và hỏi thẳng phân số nào tối giản, dấu hiệu là phải kiểm tra ước chung lớn nhất của tử và mẫu từng phân số một. Chọn hướng tìm ƯCLN trực tiếp vì nhanh gọn với các số không quá lớn như

30

64

17

29

10

25

. Bẫy nằm ở phân số có mẫu âm

\frac{10}{- 25}

: phải chuẩn hoá dấu về tử trước khi kết luận tối giản hay chưa, nếu không rất dễ rút gọn sai chuẩn trình bày.

1Cách 1. Tìm ước chung lớn nhất của tử và mẫu rồi chia cả hai

Tính ước chung lớn nhất của giá trị tuyệt đối tử và mẫu; nếu bằng $1$ thì phân số đã tối giản, nếu lớn hơn $1$ thì chia cả tử và mẫu cho số đó.

\frac{- 30}{64}

: ƯCLN

(30, 64) = 2

, chưa tối giản, rút gọn

\frac{- 30}{64} = \frac{- 30 : 2}{64 : 2} = \frac{- 15}{32}

\frac{17}{29}

: ƯCLN

(17, 29) = 1

nên đây là phân số tối giản

\frac{10}{- 25}

: đưa dấu về tử được

\frac{- 10}{25}

; ƯCLN

(10, 25) = 5

, chưa tối giản, rút gọn

\frac{- 10}{25} = \frac{- 10 : 5}{25 : 5} = \frac{- 2}{5}

Vậy $\frac{17}{29}$ là phân số tối giản; $\frac{- 30}{64} = \frac{- 15}{32}$ và $\frac{10}{- 25} = \frac{- 2}{5}$ sau khi rút gọn.

2Cách 2. Phân tích tử và mẫu ra thừa số nguyên tố

Phân tích tử và mẫu ra thừa số nguyên tố, thừa số chung là ước chung cần khử; nếu không có thừa số chung thì phân số tối giản.

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

và

64 = 2^{6}

, thừa số chung là

2

nên

\frac{- 30}{64} = \frac{- 15}{32}

17

và

29

đều là số nguyên tố, không có thừa số chung nên

\frac{17}{29}

đã tối giản

10 = 2 \cdot 5

và

25 = 5^{2}

, thừa số chung là

5

nên

\frac{- 10}{25} = \frac{- 2}{5}

Phân tích ra thừa số nguyên tố cũng cho đúng ba kết luận như Cách 1.

3Cách 3. Thử chia lần lượt cho các số nguyên tố nhỏ

Thử chia tử và mẫu lần lượt cho $2$ , $3$ , $5$ , $7$ ,... đến khi không còn chia hết được nữa, phù hợp khi chưa muốn tìm ƯCLN ngay.

\frac{- 30}{64}

: cả tử và mẫu đều chia hết cho

2

, được

\frac{- 15}{32}

;

15

và

32

không còn ước chung nào khác

1

\frac{17}{29}

: không chia hết cho

2

3

5

; vì

17 < 29

và không có ước chung nên đã tối giản

\frac{10}{- 25}

: cả hai chia hết cho

5

, được

\frac{- 2}{5}

;

2

và

5

không còn ước chung nào khác

1

Thử chia dần cũng dừng đúng ở $\frac{- 15}{32}$ , $\frac{17}{29}$ , $\frac{- 2}{5}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì tính thẳng ƯCLN rồi chia một lần là xong, không phải liệt kê nhiều bước thử như Cách 3.

Đáp số.

\frac{17}{29}

là phân số tối giản;

\frac{- 30}{64} = \frac{- 15}{32}

;

\frac{10}{- 25} = \frac{- 2}{5}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn rút gọn

\frac{10}{- 25}

mà quên đưa dấu về tử trước, viết thành

\frac{2}{- 5}

rồi để nguyên mẫu âm. Cách viết

\frac{2}{- 5}

tuy đúng giá trị nhưng sai chuẩn trình bày phân số (mẫu phải dương); phải nhân cả tử và mẫu với

- 1

để có kết quả chuẩn là

\frac{- 2}{5}

🚀 Mở rộng. Mở rộng: một phân số

\frac{a}{b}

luôn có thể đưa về đúng một phân số tối giản duy nhất (không kể dấu) bằng cách chia cho ƯCLN

(∣ a ∣, ∣ b ∣)

, đây chính là đại diện chuẩn của cả một họ vô số phân số bằng nhau.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 6.9★★Trang 6— Toán thực tế — lập tỉ số bằng phân số rồi rút gọn về phân số tối giản

Tần số của các nốt nhạc tính theo đơn vị Hertz (Hz) có nốt Đô (C) là

264

Hz và nốt Mi (E) là

330

Hz. Viết phân số thể hiện tỉ số giữa tần số nốt Đô và tần số nốt Mi, rồi rút gọn về phân số tối giản.

Kiến thức cần nhớ

Tỉ số giữa hai đại lượng cùng loại có thể biểu diễn bằng một phân số, tử số là đại lượng thứ nhất, mẫu số là đại lượng thứ hai; rút gọn phân số đó về dạng tối giản bằng cách chia cho ước chung lớn nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai số đo tần số và yêu cầu lập tỉ số, dấu hiệu nhận dạng là cụm "tỉ số giữa" hai đại lượng cùng đơn vị Hz nên chỉ cần đặt số liệu thứ nhất lên tử, số liệu thứ hai xuống mẫu. Chọn hướng tìm ƯCLN bằng Euclid vì

264

và

330

không quá lớn, thuật toán chạy đúng hai bước là ra ngay ước chung lớn nhất. Bẫy là rút gọn nửa chừng rồi dừng lại tưởng đã tối giản, trong khi

44/55

còn chung ước

11

1Cách 1. Lập tỉ số rồi tìm ước chung lớn nhất bằng thuật toán Euclid

Viết tỉ số tần số Đô trên Mi thành phân số, rồi tìm ƯCLN của tử và mẫu bằng phép chia liên tiếp để rút gọn một lần.

tỉ số cần tìm là

\frac{264}{330}

330 = 264 \cdot 1 + 66

;

264 = 66 \cdot 4 + 0

nên ƯCLN

(264, 330) = 66

\frac{264}{330} = \frac{264 : 66}{330 : 66} = \frac{4}{5}

Vậy tỉ số tần số nốt Đô trên nốt Mi, sau khi rút gọn, là $\frac{4}{5}$ .

2Cách 2. Phân tích cả hai tần số ra thừa số nguyên tố

Phân tích $264$ và $330$ ra thừa số nguyên tố để khử ngay các thừa số chung.

264 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 11

và

330 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11

thừa số chung là

2 \cdot 3 \cdot 11 = 66

, khử đi được

\frac{264}{330} = \frac{2 ^{2}}{5} = \frac{4}{5}

Phân tích ra thừa số nguyên tố cũng cho tỉ số tối giản là $\frac{4}{5}$ .

3Cách 3. Rút gọn dần qua từng ước chung nhỏ

Không cần tìm ƯCLN ngay, cứ rút gọn dần bằng các ước chung dễ nhận ra như $2$ , $3$ , $11$ , phù hợp khi tính nhẩm.

\frac{264}{330} = \frac{264 : 2}{330 : 2} = \frac{132}{165}

\frac{132}{165} = \frac{132 : 3}{165 : 3} = \frac{44}{55}

\frac{44}{55} = \frac{44 : 11}{55 : 11} = \frac{4}{5}

Rút gọn dần từng bước cũng đi đến cùng kết quả $\frac{4}{5}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 nếu chưa quen thuật toán Euclid, vì rút gọn dần qua các ước nhỏ dễ nhớ (

2

3

11

) vẫn chắc chắn ra đúng

\frac{4}{5}

mà không sợ bỏ sót ước chung.

Đáp số. Tỉ số tần số nốt Đô trên nốt Mi là

\frac{264}{330} = \frac{4}{5}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn rút gọn chưa triệt để, dừng lại ở

\frac{44}{55}

hoặc

\frac{132}{165}

rồi coi đó là kết quả cuối cùng. Thật ra

44

và

55

vẫn còn chia hết cho

11

, phải rút gọn tiếp mới ra phân số tối giản đúng là

\frac{4}{5}

🚀 Mở rộng. Mở rộng: nếu biết tần số nốt Đô là

264

Hz và mỗi quãng tám tần số tăng gấp đôi, có thể lập tiếp các tỉ số của nốt Đô ở quãng tám kế tiếp (

528

Hz) với các nốt khác để luyện thêm về rút gọn phân số.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 6.10★★★Trang 6— Liệt kê các phân số bằng nhau thoả điều kiện về số chữ số của tử và mẫu

Viết tất cả các phân số bằng phân số

\frac{18}{39}

mà cả tử và mẫu đều là số tự nhiên có hai chữ số.

Kiến thức cần nhớ

Mọi phân số bằng phân số tối giản $\frac{a _{0}}{b _{0}}$ đều có dạng $\frac{a _{0} \cdot k}{b _{0} \cdot k}$ với $k$ là số nguyên dương; muốn tử và mẫu đều có hai chữ số thì chọn $k$ sao cho cả $a_{0} \cdot k$ và $b_{0} \cdot k$ nằm trong khoảng từ $10$ đến $99$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu liệt kê TẤT CẢ phân số bằng

\frac{18}{39}

thoả thêm điều kiện về số chữ số, dấu hiệu là phải nghĩ đến việc rút gọn về phân số tối giản trước rồi nhân với hệ số

k

chạy qua nhiều giá trị. Chọn hướng rút gọn rồi thử

k

lần lượt vì trực quan, kiểm soát được từng trường hợp không bỏ sót. Bẫy nằm ở chỗ phải xét đồng thời CẢ HAI điều kiện (tử đủ hai chữ số VÀ mẫu đủ hai chữ số), thiếu một điều kiện là liệt kê dư hoặc thiếu phân số.

1Cách 1. Rút gọn về phân số tối giản rồi thử lần lượt từng hệ số nhân

Rút gọn $\frac{18}{39}$ về phân số tối giản, sau đó nhân với $k = 1, 2, 3, \dots$ và kiểm tra điều kiện hai chữ số ở cả tử và mẫu.

ƯCLN

(18, 39) = 3

nên

\frac{18}{39} = \frac{18 : 3}{39 : 3} = \frac{6}{13}

k = 1

\frac{6}{13}

, tử

6

chỉ có một chữ số nên loại

k = 2

\frac{12}{26}

;

k = 3

\frac{18}{39}

;

k = 4

\frac{24}{52}

;

k = 5

\frac{30}{65}

;

k = 6

\frac{36}{78}

;

k = 7

\frac{42}{91}

, cả tử và mẫu đều có hai chữ số

k = 8

\frac{48}{104}

, mẫu

104

có ba chữ số nên loại

Vậy có đúng $6$ phân số thoả mãn: $\frac{12}{26}$ , $\frac{18}{39}$ , $\frac{24}{52}$ , $\frac{30}{65}$ , $\frac{36}{78}$ , $\frac{42}{91}$ .

2Cách 2. Liệt kê song song bội của tử và mẫu tối giản

Viết dãy bội của $6$ và dãy bội của $13$ theo cùng một hệ số nhân, ghép từng cặp cùng hệ số lại với nhau.

bội của

6

có hai chữ số:

12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, \dots, 96

(ứng với

k = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \dots, 16

)

bội của

13

có hai chữ số:

13, 26, 39, 52, 65, 78, 91

(ứng với

k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

)

ghép các cặp có CÙNG hệ số

k

và cùng nằm trong hai dãy trên:

k = 2, 3, 4, 5, 6, 7

cho các cặp

(12; 26), (18; 39), (24; 52), (30; 65), (36; 78), (42; 91)

Ghép cặp cùng hệ số cũng cho đúng $6$ phân số như Cách 1.

3Cách 3. Giải bất phương trình kép để tìm khoảng của hệ số nhân

Đặt điều kiện hai chữ số thành hai bất phương trình kép cho tử và mẫu, tìm giao của hai khoảng nghiệm nguyên dương.

điều kiện tử có hai chữ số:

10 \leq 6 k \leq 99

, suy ra

1, 67 \leq k \leq 16, 5

, tức

k \geq 2

điều kiện mẫu có hai chữ số:

10 \leq 13 k \leq 99

, suy ra

0, 77 \leq k \leq 7, 6

, tức

k \leq 7

giao của hai điều kiện là

2 \leq k \leq 7

, tức

k \in {2, 3, 4, 5, 6, 7}

Với $6$ giá trị $k$ đó, thay vào $\frac{6 k}{13 k}$ được đúng $6$ phân số như hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (bất phương trình kép) vì tìm được ngay khoảng của

k

mà không cần thử nhiều giá trị, an toàn không sợ bỏ sót hay lấy dư trường hợp nào.

Đáp số.

\frac{12}{26}

;

\frac{18}{39}

;

\frac{24}{52}

;

\frac{30}{65}

;

\frac{36}{78}

;

\frac{42}{91}

(tất cả

6

phân số)

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chỉ xét điều kiện của mẫu số (

13 k \leq 99

nên

k \leq 7

) mà quên xét điều kiện của tử số, dẫn đến lấy luôn

k = 1

và liệt kê nhầm

\frac{6}{13}

vào danh sách. Nhưng tử số

6

ở

k = 1

chỉ có một chữ số, không thoả yêu cầu đề bài, nên phải loại, khoảng đúng của

k

là từ

2

đến

7

🚀 Mở rộng. Tổng quát, số các phân số bằng

\frac{a _{0}}{b _{0}}

(tối giản) có tử và mẫu đều là số có

n

chữ số bằng số giá trị nguyên

k

thoả

1 0^{n - 1} \leq a_{0} \cdot k

và

b_{0} \cdot k \leq 1 0^{n} - 1

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-6-ket-noi/bai-23-mo-rong-phan-so-phan-so-bang-nhau.jsp · https://loigiaihay.com/bai-23-mo-rong-phan-so-phan-so-bang-nhau-ket-noi-tri-thuc-voi-cuoc-song-e23053.html