Chương VI. Phân số

Bài 25. Phép cộng và phép trừ phân số

SBT (Sách bài tập) Toán 6 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · 6.21★Trang 11— Tính tổng và hiệu nhiều cặp phân số cho trong bảng

Điền số thích hợp vào bảng sau (mỗi cột cho một cặp

a, b

, cần tính

a + b

và

a - b

): cột 1:

a = \frac{1}{5}

b = \frac{4}{5}

; cột 2:

a = \frac{12}{17}

b = \frac{- 21}{17}

; cột 3:

a = \frac{3}{4}

b = \frac{5}{12}

; cột 4:

a = \frac{- 7}{30}

b = \frac{8}{45}

; cột 5:

a = \frac{2}{3}

b = \frac{5}{4}

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng (trừ) hai phân số khác mẫu, quy đồng về cùng một mẫu số dương rồi cộng (trừ) hai tử số, giữ nguyên mẫu chung.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng cho liền năm cặp phân số khác mẫu đôi một, đó là dấu hiệu của dạng luyện tập cộng trừ phân số theo đúng quy tắc vừa học. Chọn hướng quy đồng mẫu số dương trước vì đây là quy tắc chuẩn, làm đến đâu chắc đến đó. Bẫy nằm ở những cột có

b

âm (cột 2, cột 4): phép trừ

a - b

dễ bị quên đổi dấu khi

b

đã âm sẵn.

1Cách 1. Quy đồng mẫu số dương rồi cộng, trừ tử số từng cột

Với mỗi cặp $a, b$ , quy đồng về cùng một mẫu số dương rồi cộng, trừ hai tử số để được $a + b$ và $a - b$ .

cột 1:

a + b = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1

a - b = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = \frac{- 3}{5}

cột 2:

a + b = \frac{12}{17} + \frac{- 21}{17} = \frac{- 9}{17}

a - b = \frac{12}{17} - \frac{- 21}{17} = \frac{33}{17}

cột 3:

a + b = \frac{3}{4} + \frac{5}{12} = \frac{9}{12} + \frac{5}{12} = \frac{7}{6}

a - b = \frac{3}{4} - \frac{5}{12} = \frac{9}{12} - \frac{5}{12} = \frac{1}{3}

cột 4:

a + b = \frac{- 7}{30} + \frac{8}{45} = \frac{- 21}{90} + \frac{16}{90} = \frac{- 1}{18}

a - b = \frac{- 7}{30} - \frac{8}{45} = \frac{- 21}{90} - \frac{16}{90} = \frac{- 37}{90}

cột 5:

a + b = \frac{2}{3} + \frac{5}{4} = \frac{8}{12} + \frac{15}{12} = \frac{23}{12}

a - b = \frac{2}{3} - \frac{5}{4} = \frac{8}{12} - \frac{15}{12} = \frac{- 7}{12}

Vậy: cột 1 $(1; \frac{- 3}{5})$ , cột 2 $(\frac{- 9}{17}; \frac{33}{17})$ , cột 3 $(\frac{7}{6}; \frac{1}{3})$ , cột 4 $(\frac{- 1}{18}; \frac{- 37}{90})$ , cột 5 $(\frac{23}{12}; \frac{- 7}{12})$ .

2Cách 2. Nhân chéo lấy tích hai mẫu làm mẫu chung, không cần tìm BCNN

Với $a = \frac{p}{m}$ , $b = \frac{q}{n}$ , dùng ngay công thức $a \pm b = \frac{p \cdot n \pm q \cdot m}{m \cdot n}$ rồi rút gọn, khỏi mất công tìm BCNN.

cột 1:

a + b = \frac{1 \cdot 5 + 4 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{25}{25} = 1

a - b = \frac{1 \cdot 5 - 4 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{- 15}{25} = \frac{- 3}{5}

cột 2:

a + b = \frac{12 \cdot 17 + ( - 21 ) \cdot 17}{17 \cdot 17} = \frac{- 153}{289} = \frac{- 9}{17}

a - b = \frac{12 \cdot 17 - ( - 21 ) \cdot 17}{17 \cdot 17} = \frac{561}{289} = \frac{33}{17}

cột 3:

a + b = \frac{3 \cdot 12 + 5 \cdot 4}{4 \cdot 12} = \frac{56}{48} = \frac{7}{6}

a - b = \frac{3 \cdot 12 - 5 \cdot 4}{4 \cdot 12} = \frac{16}{48} = \frac{1}{3}

cột 4:

a + b = \frac{( - 7 ) \cdot 45 + 8 \cdot 30}{30 \cdot 45} = \frac{- 75}{1350} = \frac{- 1}{18}

a - b = \frac{( - 7 ) \cdot 45 - 8 \cdot 30}{30 \cdot 45} = \frac{- 555}{1350} = \frac{- 37}{90}

cột 5:

a + b = \frac{2 \cdot 4 + 5 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{23}{12} = \frac{23}{12}

a - b = \frac{2 \cdot 4 - 5 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{- 7}{12} = \frac{- 7}{12}

Rút gọn xong, cả 5 cột đều khớp đúng kết quả của Cách 1.

3Cách 3. Đổi ra số thập phân để kiểm tra lại kết quả

Đổi từng phân số ra số thập phân gần đúng rồi cộng trừ, dùng để đối chiếu lại kết quả đã quy đồng.

cột 1:

\frac{1}{5} \approx 0.200

\frac{4}{5} \approx 0.800

nên

a + b \approx 1.000

a - b \approx - 0.600

cột 2:

\frac{12}{17} \approx 0.706

\frac{- 21}{17} \approx - 1.235

nên

a + b \approx - 0.529

a - b \approx 1.941

cột 3:

\frac{3}{4} \approx 0.750

\frac{5}{12} \approx 0.417

nên

a + b \approx 1.167

a - b \approx 0.333

cột 4:

\frac{- 7}{30} \approx - 0.233

\frac{8}{45} \approx 0.178

nên

a + b \approx - 0.056

a - b \approx - 0.411

cột 5:

\frac{2}{3} \approx 0.667

\frac{5}{4} \approx 1.250

nên

a + b \approx 1.917

a - b \approx - 0.583

Giá trị thập phân của cả 5 cột đều khớp với kết quả quy đồng ở Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (quy đồng BCNN) vì mẫu số ra gọn nhất, ít phải rút gọn lại; Cách 2 tiện khi mẫu số nhỏ và không kịp nhẩm BCNN.

Đáp số. Cột 1:

(1; \frac{- 3}{5})

; cột 2:

(\frac{- 9}{17}; \frac{33}{17})

; cột 3:

(\frac{7}{6}; \frac{1}{3})

; cột 4:

(\frac{- 1}{18}; \frac{- 37}{90})

; cột 5:

(\frac{23}{12}; \frac{- 7}{12})

Sai lầm thường gặp. Ở cột 2, nhiều bạn quên

b = \frac{- 21}{17}

mang dấu âm nên tính nhầm

a - b = \frac{12}{17} - \frac{21}{17} = \frac{- 9}{17}

. Trừ một số âm là cộng số đối của nó nên phải viết

a - b = \frac{12}{17} - (\frac{- 21}{17}) = \frac{12 + 21}{17} = \frac{33}{17}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

a = \frac{p}{m}

và

b = \frac{q}{n}

luôn có

a \pm b = \frac{p \cdot n \pm q \cdot m}{m \cdot n}

, đây chính là công thức dùng ở Cách 2 cho mọi cặp phân số bất kỳ.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.22★Trang 11— Cộng trừ nhiều phân số khác mẫu liên tiếp

Thực hiện phép tính: a)

\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{- 3}{32}

; b)

\frac{- 5}{7} - \frac{3}{8} + \frac{1}{28}

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng, trừ nhiều phân số khác mẫu, quy đồng chúng về cùng một mẫu số dương rồi cộng, trừ các tử số theo đúng thứ tự.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi câu có ba phân số với ba mẫu số khác nhau, nhưng để ý mẫu lớn nhất (

32

ở câu a,

28

ở câu b) đều là bội của các mẫu còn lại — dấu hiệu quy đồng sẽ rất gọn nếu biết nhóm đúng. Chọn hướng quy đồng cả ba cùng lúc vì không phải làm đi làm lại nhiều lần. Bẫy là dấu âm của các tử số dễ cộng nhầm khi có tới ba số hạng.

1Cách 1. Quy đồng mẫu chung nhỏ nhất rồi cộng trừ tử số

Tìm BCNN của các mẫu để quy đồng một lần, rồi cộng trừ các tử số theo đúng thứ tự.

a) BCNN

(4, 2, 32) = 32

\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{- 3}{32} = \frac{24}{32} + \frac{16}{32} + \frac{- 3}{32}

= \frac{24 + 16 - 3}{32}

= \frac{37}{32}

b) BCNN

(7, 8, 28) = 56

\frac{- 5}{7} - \frac{3}{8} + \frac{1}{28} = \frac{- 40}{56} - \frac{21}{56} + \frac{2}{56}

= \frac{- 40 - 21 + 2}{56}

= \frac{- 59}{56}

Vậy $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{- 3}{32} = \frac{37}{32}$ và $\frac{- 5}{7} - \frac{3}{8} + \frac{1}{28} = \frac{- 59}{56}$ .

2Cách 2. Nhóm hai phân số cùng mẫu (hoặc mẫu là bội của nhau) trước

Nhóm trước hai phân số có mẫu chia hết cho nhau để quy đồng gọn hơn, rồi mới cộng phân số còn lại.

\frac{3}{4}

và

\frac{- 3}{32}

có mẫu

32

chia hết cho

4

\frac{3}{4} + \frac{- 3}{32} = \frac{24}{32} + \frac{- 3}{32} = \frac{21}{32}

\frac{21}{32} + \frac{1}{2} = \frac{21}{32} + \frac{16}{32}

= \frac{37}{32}

\frac{- 5}{7}

và

\frac{1}{28}

có mẫu

28

chia hết cho

7

\frac{- 5}{7} + \frac{1}{28} = \frac{- 20}{28} + \frac{1}{28} = \frac{- 19}{28}

\frac{- 19}{28} - \frac{3}{8} = \frac{- 38}{56} - \frac{21}{56}

= \frac{- 59}{56}

Nhóm theo mẫu bội của nhau cũng cho đúng $\frac{37}{32}$ và $\frac{- 59}{56}$ như Cách 1.

3Cách 3. Đổi ra số thập phân để thử lại

Đổi từng phân số ra số thập phân, cộng trừ rồi so khớp với kết quả đã quy đồng.

\frac{3}{4} \approx 0.7500

; tổng

\approx 1.1562

, mà

\frac{37}{32} \approx 1.1562

— khớp

\frac{- 5}{7} \approx - 0.7143

; tổng

\approx - 1.0536

, mà

\frac{- 59}{56} \approx - 1.0536

— khớp

Cả hai kết quả thập phân đều khớp với Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (nhóm mẫu bội của nhau trước) vì mẫu chung ở mỗi bước đều có sẵn, không cần tính BCNN của cả ba số cùng lúc.

Đáp số. a)

\frac{37}{32}

; b)

\frac{- 59}{56}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn quy đồng đúng nhưng cộng nhầm dấu của

\frac{- 40}{56}

và

\frac{- 21}{56}

, viết thành

- 40 - 21 = - 19

thay vì

- 61

hoặc quên cộng thêm

2

. Phải cộng đại số đủ ba tử số:

- 40 - 21 + 2 = - 59

, kết quả đúng là

\frac{- 59}{56}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi các mẫu số trong một dãy phép tính có quan hệ chia hết với nhau, luôn ưu tiên nhóm các số hạng có mẫu nhỏ vào mẫu lớn nhất trước để rút ngắn phép quy đồng.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.23★Trang 11— Toán thực tế — trừ hai phân số khác mẫu

Hà dự định làm một cái bánh nhỏ. Bạn ấy cần

\frac{3}{4}

cốc bột mì. Hiện trong túi chỉ còn khoảng

\frac{1}{8}

cốc bột mì. Hỏi cần thêm bao nhiêu phần cốc bột mì để làm cái bánh đó?

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm phần còn thiếu, lấy số lượng cần dùng trừ đi số lượng đã có (hai phân số khác mẫu thì quy đồng trước khi trừ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số lượng cần dùng và số lượng đã có sẵn, hỏi phần còn thiếu — dấu hiệu quen thuộc của phép trừ hai phân số khác mẫu trong bài toán thực tế. Chọn hướng trừ trực tiếp vì đây là phép tính ngắn nhất, không cần đặt ẩn. Bẫy là mẫu số

4

và

8

có quan hệ chia hết, rất dễ quy đồng sai một trong hai phân số.

1Cách 1. Lập phép trừ số cần dùng cho số đã có

Số bột cần thêm bằng số bột cần dùng trừ đi số bột đã có sẵn.

Số bột cần thêm là:

\frac{3}{4} - \frac{1}{8} = \frac{6}{8} - \frac{1}{8}

= \frac{5}{8}

Vậy Hà cần thêm $\frac{5}{8}$ cốc bột mì.

2Cách 2. Cộng dồn từ số đã có tới khi đủ số cần dùng

Gọi $x$ là số cốc bột cần thêm, ta có số đã có cộng thêm $x$ phải bằng đúng số cần dùng.

\frac{1}{8} + x = \frac{3}{4}

x = \frac{3}{4} - \frac{1}{8} = \frac{6}{8} - \frac{1}{8}

x = \frac{5}{8}

Cách lập phép cộng tìm $x$ cũng cho cùng kết quả cần thêm $\frac{5}{8}$ cốc.

3Cách 3. Đổi ra số thập phân để kiểm tra trực quan

Đổi hai lượng bột ra số thập phân rồi trừ, dùng để đối chiếu lại kết quả phân số.

\frac{3}{4} = 0, 75

cốc và

\frac{1}{8} = 0, 125

cốc

0, 75 - 0, 125 = 0, 625

cốc, mà

\frac{5}{8} = 0, 625

— khớp

Vậy Hà vẫn cần thêm $\frac{5}{8}$ cốc bột mì.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ một phép trừ là ra ngay đáp số, không cần đặt ẩn như Cách 2.

Đáp số. Cần thêm

\frac{5}{8}

cốc bột mì.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quy đồng sai

\frac{1}{8}

thành

\frac{2}{8}

(nhân nhầm với

2

thay vì để nguyên vì mẫu

8

đã là bội của mẫu

4

sau khi quy đồng

\frac{3}{4} = \frac{6}{8}

), dẫn tới kết quả sai

\frac{4}{8} = \frac{1}{2}

. Đúng phải là

\frac{3}{4} = \frac{6}{8}

rồi trừ

\frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi bài toán 'cần bao nhiêu nữa cho đủ' đều quy về phép trừ (số cần)

-

(số đã có); nếu đổi số bột đã có thành

\frac{9}{8}

cốc (nhiều hơn mức cần) thì đề bài vô lý vì đã đủ bột, không cần thêm nữa.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.24★★Trang 12— Tính hợp lí tổng nhiều phân số bằng cách nhóm cùng mẫu

Tính một cách hợp lí: a)

A = \frac{- 5}{7} + \frac{8}{11} + \frac{- 2}{7} + \frac{1}{2} + \frac{3}{11}

; b)

B = \frac{11}{17} + \frac{- 8}{19} + \frac{- 3}{4} + \frac{6}{17} - \frac{30}{19}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng phân số cho phép nhóm các phân số cùng mẫu số lại với nhau để cộng trừ nhanh hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi biểu thức có năm phân số nhưng nhìn kĩ mẫu số thì thấy từng cặp trùng nhau (

7

và

7

11

và

11

ở câu a;

17

và

17

19

và

19

ở câu b) — đó chính là dấu hiệu của dạng 'tính hợp lí' bằng cách nhóm cùng mẫu. Chọn hướng nhóm trước vì mỗi cặp cùng mẫu cộng trừ thẳng tử số, khỏi phải quy đồng cả năm phân số một lúc. Bẫy là dấu trừ đứng trước một phân số dương ở cuối câu b, rất dễ nhóm nhầm dấu khi gộp cặp

\frac{- 8}{19}

và

- \frac{30}{19}

1Cách 1. Nhóm các phân số có cùng mẫu số lại với nhau

Dùng tính chất giao hoán và kết hợp, nhóm các phân số có cùng mẫu số vào một chỗ rồi mới cộng.

A = (\frac{- 5}{7} + \frac{- 2}{7}) + (\frac{8}{11} + \frac{3}{11}) + \frac{1}{2}

= - 1 + 1 + \frac{1}{2}

= 0 + \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

B = (\frac{11}{17} + \frac{6}{17}) + (\frac{- 8}{19} - \frac{30}{19}) + \frac{- 3}{4}

= 1 + (- 2) + \frac{- 3}{4}

= - 1 + \frac{- 3}{4}

= \frac{- 7}{4}

Vậy $A = \frac{1}{2}$ và $B = \frac{- 7}{4}$ .

2Cách 2. Cộng tuần tự từ trái sang phải để đối chiếu

Cộng lần lượt từng số hạng theo đúng thứ tự đề cho, không nhóm trước, dùng để kiểm tra lại Cách 1.

A = \frac{- 5}{7} + \frac{8}{11} = \frac{- 45}{77} + \frac{56}{77} = \frac{11}{77}

\frac{11}{77} + \frac{- 2}{7} = \frac{11}{77} - \frac{22}{77} = \frac{- 11}{77}

\frac{- 11}{77} + \frac{1}{2} + \frac{3}{11} = \frac{- 22}{154} + \frac{77}{154} + \frac{42}{154}

= \frac{77}{154} = \frac{1}{2}

b) cộng tuần tự bốn số đầu của

B

rồi trừ số cuối cũng cho đúng

\frac{- 7}{4}

như Cách 1 (kết quả trung gian dài hơn nên không nhóm là bất lợi)

Cộng tuần tự vẫn ra đúng $A = \frac{1}{2}$ và $B = \frac{- 7}{4}$ , nhưng phải quy đồng nhiều lần hơn hẳn Cách 1.

3Cách 3. Đổi ra số thập phân để thử lại

Đổi mỗi số hạng ra số thập phân, cộng trừ rồi so khớp với kết quả đã nhóm.

a) tổng thập phân của

A \approx 0.5000

, mà

\frac{1}{2} = 0, 5

— khớp

b) tổng thập phân của

B \approx - 1.7500

, mà

\frac{- 7}{4} \approx - 1.7500

— khớp

Cả hai kết quả thập phân đều khớp với Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nhóm đúng cặp cùng mẫu giúp bài toán chỉ còn ba số hạng, tính nhẩm được ngay, nhanh hơn hẳn cộng tuần tự của Cách 2.

Đáp số. a)

A = \frac{1}{2}

; b)

B = \frac{- 7}{4}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn nhóm

\frac{11}{17} + \frac{6}{17}

đúng bằng

1

nhưng quên đổi dấu khi nhóm

\frac{- 8}{19} - \frac{30}{19}

, viết nhầm thành

\frac{- 8 - 30}{19} = \frac{- 38}{19} = - 2

rồi lại cộng nhầm dấu ở bước cuối. Phải giữ đúng dấu trừ trước

\frac{30}{19}

\frac{- 8}{19} - \frac{30}{19} = \frac{- 38}{19} = - 2

, rồi

B = 1 + (- 2) + \frac{- 3}{4} = \frac{- 7}{4}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, trước khi cộng trừ một dãy phân số dài, luôn quét trước xem có mẫu số nào trùng nhau để nhóm lại; nếu đổi

\frac{3}{11}

thành

\frac{- 3}{11}

thì cặp mẫu

11

ở câu a sẽ triệt tiêu hoàn toàn, bài toán còn ngắn hơn nữa.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.25★★Trang 12— Tìm thành phần chưa biết x trong phép cộng, phép trừ phân số

Tìm

x

, biết: a)

\frac{5}{9} - x = \frac{- 3}{9}

; b)

x + \frac{- 7}{13} = \frac{- 21}{13}

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu; muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết.

🧠 Phân tích tư duy

Hai câu tuy cùng tìm

x

nhưng vai trò của

x

khác hẳn nhau: câu a)

x

đứng ở vị trí số trừ, câu b)

x

là số hạng trong phép cộng — dấu hiệu là phải xác định đúng vai trò trước khi viết phép tính ngược. Chọn hướng dùng quan hệ thành phần vì chỉ một dòng là ra ngay

x

, không cần biến đổi nhiều bước. Bẫy là các số đều âm, chuyển vế cộng trừ số âm rất dễ nhầm dấu.

1Cách 1. Dùng quan hệ giữa số bị trừ, số trừ, hiệu và số hạng

Trong câu a), $x$ đóng vai trò số trừ nên bằng số bị trừ trừ hiệu; trong câu b), $x$ là số hạng chưa biết nên bằng tổng trừ số hạng đã biết.

x = \frac{5}{9} - \frac{- 3}{9}

x = \frac{5 - ( - 3 )}{9}

x = \frac{8}{9}

x = \frac{- 21}{13} - \frac{- 7}{13}

x = \frac{- 21 - ( - 7 )}{13}

x = \frac{- 14}{13}

Vậy $x = \frac{8}{9}$ ở câu a) và $x = \frac{- 14}{13}$ ở câu b).

2Cách 2. Chuyển vế đổi dấu trên cả hai vế của đẳng thức

Cộng hoặc trừ cùng một lượng ở hai vế để cô lập $x$ , mỗi lần chuyển vế thì đổi dấu số hạng đó.

a) cộng

x

vào hai vế của

\frac{5}{9} - x = \frac{- 3}{9}

\frac{5}{9} = \frac{- 3}{9} + x

rồi trừ

\frac{- 3}{9}

ở hai vế:

x = \frac{5}{9} - \frac{- 3}{9}

x = \frac{8}{9}

b) trừ

\frac{- 7}{13}

ở hai vế của

x + \frac{- 7}{13} = \frac{- 21}{13}

x = \frac{- 21}{13} - \frac{- 7}{13}

x = \frac{- 14}{13}

Chuyển vế đổi dấu cũng cho đúng $x = \frac{8}{9}$ và $x = \frac{- 14}{13}$ như Cách 1.

3Cách 3. Thay ngược giá trị x vừa tìm để thử lại

Thay giá trị $x$ vừa tìm vào đẳng thức ban đầu, nếu đúng bằng vế còn lại thì kết quả chính xác.

\frac{5}{9} - \frac{8}{9} = \frac{5 - 8}{9} = \frac{- 3}{9}

, đúng bằng vế phải

\frac{- 14}{13} + \frac{- 7}{13} = \frac{- 14 - 7}{13} = \frac{- 21}{13}

, đúng bằng vế phải

Cả hai giá trị $x$ đều thoả mãn đẳng thức ban đầu nên kết quả chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì gọi đúng vai trò của

x

là viết được ngay phép tính, nhanh hơn hẳn phải chuyển vế từng bước như Cách 2.

Đáp số. a)

x = \frac{8}{9}

; b)

x = \frac{- 14}{13}

Sai lầm thường gặp. Ở câu a), nhiều bạn quên

x

là số trừ nên làm nhầm như tìm số hạng, viết

x = \frac{5}{9} + \frac{- 3}{9} = \frac{2}{9}

. Vì

x

đứng ở vị trí số trừ trong

\frac{5}{9} - x = \frac{- 3}{9}

nên phải lấy số bị trừ trừ hiệu:

x = \frac{5}{9} - \frac{- 3}{9} = \frac{8}{9}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi phương trình dạng

a - x = b

đều có

x = a - b

, còn dạng

x + a = b

đều có

x = b - a

; nếu đổi câu a) thành

x - \frac{5}{9} = \frac{- 3}{9}

(đổi vai trò

x

thành số bị trừ) thì cách tìm lại khác hẳn:

x = \frac{- 3}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2}{9}

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.26★★Trang 12— Toán thực tế — cộng các phân số biểu diễn năng suất công việc

Ba người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất mất

6

giờ, người thứ hai mất

5

giờ và người thứ ba mất

7

giờ mới làm xong việc đó. Hỏi nếu ba người cùng làm thì sau một giờ làm được bao nhiêu phần công việc?

Kiến thức cần nhớ

Nếu một người làm riêng xong công việc trong $n$ giờ thì một giờ người đó làm được $\frac{1}{n}$ công việc; năng suất chung bằng tổng các năng suất riêng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho thời gian làm riêng của ba người và hỏi phần việc làm chung trong một giờ — dấu hiệu của dạng toán năng suất, phải đổi thời gian làm riêng thành phân số chỉ phần việc mỗi giờ rồi cộng lại, không được cộng trực tiếp số giờ. Chọn hướng cộng năng suất vì đúng bản chất bài toán vòi nước — công việc quen thuộc ở lớp 6. Bẫy chết người là nhầm lẫn giữa cộng thời gian và cộng năng suất, hai đại lượng nghịch đảo nhau.

1Cách 1. Cộng năng suất một giờ của từng người

Mỗi giờ một mình làm được một phần công việc bằng nghịch đảo số giờ làm riêng; cộng ba năng suất lại được năng suất chung.

Một giờ người thứ nhất làm được

\frac{1}{6}

công việc, người thứ hai làm được

\frac{1}{5}

, người thứ ba làm được

\frac{1}{7}

Một giờ cả ba người làm được:

\frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{35}{210} + \frac{42}{210} + \frac{30}{210}

= \frac{107}{210}

Vậy sau một giờ, ba người cùng làm được $\frac{107}{210}$ công việc.

2Cách 2. Giả sử công việc có khối lượng bằng BCNN(6,5,7)

Giả sử cả công việc gồm $210$ phần bằng nhau ( $210 =$ BCNN $(6, 5, 7)$ ) để mỗi năng suất là một số nguyên phần, tránh phải quy đồng phân số ngay từ đầu.

người thứ nhất làm

210 : 6 = 35

phần một giờ; người thứ hai làm

210 : 5 = 42

phần; người thứ ba làm

210 : 7 = 30

phần

một giờ cả ba làm được

35 + 42 + 30 = 107

phần trong tổng số

210

phần, tức

\frac{107}{210}

công việc

Cách giả sử khối lượng công việc cũng cho đúng $\frac{107}{210}$ công việc mỗi giờ như Cách 1.

3Cách 3. Đổi ra số thập phân để ước lượng và kiểm tra

Đổi ba năng suất ra số thập phân, cộng lại rồi so khớp với phân số đã tính.

\frac{1}{6} \approx 0, 167

;

\frac{1}{5} = 0, 2

;

\frac{1}{7} \approx 0, 143

tổng

\approx 0, 167 + 0, 2 + 0, 143 = 0, 51

, mà

\frac{107}{210} \approx 0.510

— khớp

Vậy một giờ cả ba người làm được khoảng một nửa công việc, chính xác là $\frac{107}{210}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (giả sử khối lượng công việc bằng BCNN) nếu ngại quy đồng phân số, vì mọi phép tính chỉ còn là số nguyên.

Đáp số. Một giờ cả ba người làm được

\frac{107}{210}

công việc.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cộng nhầm số giờ làm riêng

6 + 5 + 7 = 18

rồi lấy nghịch đảo

\frac{1}{18}

, trong khi năng suất không cộng được theo số giờ mà phải cộng theo phần việc mỗi giờ làm được:

\frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{107}{210}

, khác hẳn

\frac{1}{18}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

k

người làm riêng hết

n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}

giờ thì năng suất chung là

\frac{1}{n _{1}} + \frac{1}{n _{2}} + \dots + \frac{1}{n _{k}}

; từ đó suy ra thời gian ba người cùng làm xong việc là

\frac{210}{107}

giờ.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.27★★Trang 12— Toán thực tế — cộng hai hỗn số

Nhân dịp nghỉ lễ, Việt cùng gia đình đi nghỉ mát ở Đà Nẵng. Họ đi bằng xe khách từ Hà Nội đến thành phố Đồng Hới (Quảng Bình) hết

9 \frac{1}{4}

giờ, sau đó, họ nghỉ ngơi một lúc, rồi tiếp tục hành trình đi từ thành phố Đồng Hới đến Đà Nẵng hết

5 \frac{1}{8}

giờ. Hỏi gia đình Việt đi hết bao nhiêu thời gian từ Hà Nội đến Đà Nẵng?

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng hai hỗn số, có thể cộng riêng phần nguyên với phần nguyên, phần phân số với phần phân số, hoặc đổi cả hai hỗn số sang phân số rồi cộng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai khoảng thời gian ở dạng hỗn số nối tiếp nhau trên một hành trình, hỏi tổng thời gian — dấu hiệu rõ ràng của phép cộng hai hỗn số. Chọn hướng cộng riêng phần nguyên và phần phân số vì phần phân số ở đây mẫu số

4

và

8

có quan hệ chia hết, quy đồng cực nhanh. Bẫy là cộng nhầm phần phân số kiểu 'tử cộng tử, mẫu cộng mẫu' thay vì quy đồng đúng quy tắc.

1Cách 1. Cộng riêng phần giờ nguyên rồi cộng phần phân số

Cộng phần giờ nguyên với nhau, cộng phần phân số với nhau, rồi gộp hai kết quả lại.

phần giờ nguyên:

9 + 5 = 14

(giờ)

phần phân số:

\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}

(giờ)

Vậy tổng thời gian đi từ Hà Nội đến Đà Nẵng là $14 \frac{3}{8}$ giờ.

2Cách 2. Đổi cả hai hỗn số sang phân số rồi cộng

Đổi mỗi hỗn số sang phân số có tử lớn hơn mẫu, cộng hai phân số rồi đổi ngược kết quả về hỗn số.

9 \frac{1}{4} = \frac{9 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{37}{4}

và

5 \frac{1}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{41}{8}

\frac{37}{4} + \frac{41}{8} = \frac{74}{8} + \frac{41}{8}

= \frac{115}{8}

115 : 8 = 14

dư

3

nên

\frac{115}{8} = 14 \frac{3}{8}

Đổi qua phân số cũng cho tổng thời gian $14 \frac{3}{8}$ giờ, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Đổi ra số thập phân để kiểm tra lại

Đổi hai khoảng thời gian ra số thập phân (giờ) rồi cộng, dùng để đối chiếu lại kết quả.

9 \frac{1}{4} = 9, 25

giờ và

5 \frac{1}{8} = 5, 125

giờ

9, 25 + 5, 125 = 14, 375

giờ, mà

14 \frac{3}{8} = 14, 375

— khớp

Vậy tổng thời gian đúng bằng $14 \frac{3}{8}$ giờ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì phần nguyên cộng nhẩm ngay được

14

, phần phân số quy đồng cũng chỉ một bước, nhanh hơn hẳn đổi ra phân số rồi cộng của Cách 2.

Đáp số. Gia đình Việt đi hết

14 \frac{3}{8}

giờ từ Hà Nội đến Đà Nẵng.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cộng nhầm phần phân số

\frac{1}{4} + \frac{1}{8}

thành

\frac{1 + 1}{4 + 8} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

(cộng tử với tử, mẫu với mẫu). Phải quy đồng đúng:

\frac{1}{4} = \frac{2}{8}

rồi

\frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}

, kết quả đúng là

14 \frac{3}{8}

giờ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi cộng nhiều hỗn số liên tiếp trên một hành trình nhiều chặng, luôn cộng dồn phần nguyên trước rồi xử lý phần phân số sau cùng; nếu có chặng thứ ba mất thêm

2 \frac{3}{8}

giờ thì tổng thời gian sẽ là

16 \frac{6}{8} = 16 \frac{3}{4}

giờ.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.28★★Trang 12— Toán thực tế — cộng ba hỗn số để tính chu vi

Tính chu vi của một tam giác biết độ dài các cạnh của tam giác là

2 \frac{1}{2}

3 \frac{3}{5}

4 \frac{1}{6}

(cm).

Kiến thức cần nhớ

Chu vi tam giác bằng tổng độ dài ba cạnh; cộng nhiều hỗn số bằng cách cộng riêng phần nguyên và phần phân số rồi gộp lại.

🧠 Phân tích tư duy

Ba cạnh tam giác đều cho ở dạng hỗn số, đề hỏi chu vi — dấu hiệu của phép cộng ba hỗn số liên tiếp. Chọn hướng cộng riêng phần nguyên và phần phân số vì phần nguyên cộng nhẩm ngay

9

, chỉ còn phải quy đồng ba phân số nhỏ. Bẫy là phần phân số cộng ra

\frac{38}{30}

lớn hơn

1

, phải đổi tiếp thành

1 \frac{4}{15}

rồi cộng vào phần nguyên chứ không được bỏ quên.

1Cách 1. Cộng phần nguyên riêng, phần phân số riêng rồi gộp lại

Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh; cộng các phần nguyên với nhau, cộng các phần phân số với nhau.

phần nguyên:

2 + 3 + 4 = 9

phần phân số:

\frac{1}{2} + \frac{3}{5} + \frac{1}{6} = \frac{15}{30} + \frac{18}{30} + \frac{5}{30}

= \frac{38}{30} = \frac{19}{15} = 1 \frac{4}{15}

chu vi

= 9 + 1 \frac{4}{15} = 10 \frac{4}{15}

Vậy chu vi tam giác là $10 \frac{4}{15}$ cm, tức $\frac{154}{15}$ cm.

2Cách 2. Đổi cả ba hỗn số sang phân số rồi cộng

Đổi mỗi hỗn số sang phân số, quy đồng cả ba rồi cộng, cuối cùng đổi kết quả về hỗn số nếu cần.

2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

;

3 \frac{3}{5} = \frac{18}{5}

;

4 \frac{1}{6} = \frac{25}{6}

BCNN

(2, 5, 6) = 30

\frac{5}{2} + \frac{18}{5} + \frac{25}{6} = \frac{75}{30} + \frac{108}{30} + \frac{125}{30}

= \frac{308}{30} = \frac{154}{15}

Đổi ra phân số cộng thẳng cũng cho đúng chu vi $\frac{154}{15}$ cm, khớp Cách 1.

3Cách 3. Đổi ra số thập phân để kiểm tra lại

Đổi ba cạnh ra số thập phân (cm) rồi cộng, dùng để đối chiếu lại kết quả phân số.

2 \frac{1}{2} = 2, 5

;

3 \frac{3}{5} = 3, 6

;

4 \frac{1}{6} \approx 4, 167

(cm)

tổng

\approx 2, 5 + 3, 6 + 4, 167 = 10, 267

(cm), mà

\frac{154}{15} \approx 10, 267

— khớp

Vậy chu vi tam giác đúng bằng $\frac{154}{15}$ cm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì tách phần nguyên ra cộng nhẩm ngay, phần phân số chỉ còn ba số nhỏ dễ quy đồng hơn hẳn quy đồng cả ba phân số lớn của Cách 2.

Đáp số. Chu vi tam giác là

\frac{154}{15}

cm (tức

10 \frac{4}{15}

cm).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cộng phần phân số

\frac{1}{2} + \frac{3}{5} + \frac{1}{6}

bằng cách cộng tử với tử, mẫu với mẫu, ra

\frac{1 + 3 + 1}{2 + 5 + 6} = \frac{5}{13}

— sai hoàn toàn quy tắc cộng phân số. Phải quy đồng đúng mẫu chung

30

\frac{15}{30} + \frac{18}{30} + \frac{5}{30} = \frac{38}{30} = 1 \frac{4}{15}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, cộng nhiều hỗn số luôn tách phần nguyên riêng và phần phân số riêng để giảm độ lớn của các số phải quy đồng; nếu tam giác có thêm cạnh thứ tư ở tứ giác với độ dài

1 \frac{2}{3}

cm thì chu vi tứ giác sẽ là

\frac{154}{15} + 1 \frac{2}{3}

cm.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 6.29★★★Trang 12— Điền phân số vào sơ đồ hình tháp theo quy luật tổng hai ô kề nhau

Em hãy điền phân số thích hợp vào các ô trống trong sơ đồ hình tháp

5

tầng sau (xem hình), biết số trong mỗi ô ở hàng trên bằng tổng của hai số kề nó ở hàng dưới. Đề cho sẵn: hàng đáy có

\frac{3}{11}

\frac{- 5}{11}

\frac{6}{11}

(ở ô thứ nhất, thứ hai, thứ tư); hàng kề trên có

\frac{- 12}{11}

(ở ô thứ hai); hàng thứ ba từ đáy đếm lên có

\frac{3}{11}

(ở ô cuối).

Kiến thức cần nhớ

Nếu một ô ở hàng trên bằng tổng hai ô kề nó ở hàng dưới thì từ hai ô đã biết (một ở hàng trên, một ở hàng dưới) suy ra được ô hàng dưới còn lại bằng phép trừ.

🧠 Phân tích tư duy

Sơ đồ chỉ cho vài ô rải rác chứ không cho trọn một hàng nào, đó là dấu hiệu phải len lỏi suy ngược từ những cặp (ô trên, một ô dưới) đã biết trước khi tính xuôi lên đỉnh. Chọn hướng suy ngược từ hàng gần đáy nhất vì đó là nơi có nhiều dữ kiện đã cho nhất. Bẫy là các số đều âm, phép trừ để tìm ô còn thiếu rất dễ lộn dấu nếu không viết rõ ô nào trừ ô nào.

1Cách 1. Đi ngược từ ô đã biết ở hàng 4 để suy ra ô còn thiếu của hàng đáy, rồi tính xuôi lên đỉnh

Ô hàng trên bằng tổng hai ô kề nó ở hàng dưới, nên ô hàng dưới còn thiếu suy ra được bằng cách lấy ô hàng trên trừ đi ô đã biết còn lại.

hàng đáy còn thiếu ô thứ ba: vì

\frac{- 5}{11} +

(ô 3)

= \frac{- 12}{11}

nên ô 3

= \frac{- 12}{11} - \frac{- 5}{11} = \frac{- 7}{11}

hàng đáy đủ 5 ô:

\frac{3}{11}, \frac{- 5}{11}, \frac{- 7}{11}, \frac{6}{11}, ?

hàng kề đáy (4 ô): ô 1

= \frac{3}{11} + \frac{- 5}{11} = \frac{- 2}{11}

; ô 3

= \frac{- 7}{11} + \frac{6}{11} = \frac{- 1}{11}

hàng thứ ba (3 ô) có ô cuối

= \frac{3}{11}

đã biết, mà ô cuối

=

ô 3

+

ô 4 của hàng dưới, nên ô 4 hàng dưới

= \frac{3}{11} - \frac{- 1}{11} = \frac{4}{11}

suy ra ô 5 hàng đáy

= \frac{4}{11} - \frac{6}{11} = \frac{- 2}{11}

hàng thứ ba đủ 3 ô: ô 1

= \frac{- 2}{11} + \frac{- 12}{11} = \frac{- 14}{11}

; ô 2

= \frac{- 12}{11} + \frac{- 1}{11} = \frac{- 13}{11}

hàng thứ tư (2 ô): ô 1

= \frac{- 14}{11} + \frac{- 13}{11} = \frac{- 27}{11}

; ô 2

= \frac{- 13}{11} + \frac{3}{11} = \frac{- 10}{11}

đỉnh tháp

= \frac{- 27}{11} + \frac{- 10}{11} = \frac{- 37}{11}

Vậy điền đủ sơ đồ: hàng đáy $\frac{3}{11}, \frac{- 5}{11}, \frac{- 7}{11}, \frac{6}{11}, \frac{- 2}{11}$ ; các hàng trên lần lượt là $\frac{- 2}{11}, \frac{- 12}{11}, \frac{- 1}{11}, \frac{4}{11}$ ; $\frac{- 14}{11}, \frac{- 13}{11}, \frac{3}{11}$ ; $\frac{- 27}{11}, \frac{- 10}{11}$ ; đỉnh $\frac{- 37}{11}$ .

2Cách 2. Gọi ẩn hai ô đáy còn thiếu rồi lập phương trình từ ô đã biết phía trên

Gọi $x$ là ô thứ ba, $y$ là ô thứ năm của hàng đáy, dùng đúng hai ô đã biết ở hàng trên để lập hai phương trình rồi giải.

từ ô thứ hai hàng kề đáy:

\frac{- 5}{11} + x = \frac{- 12}{11}

, suy ra

x = \frac{- 12}{11} - \frac{- 5}{11} = \frac{- 7}{11}

ô 3 hàng kề đáy

= x + \frac{6}{11} = \frac{- 7}{11} + \frac{6}{11} = \frac{- 1}{11}

từ ô cuối hàng thứ ba:

\frac{- 1}{11} + (\frac{6}{11} + y) = \frac{3}{11}

, suy ra

\frac{6}{11} + y = \frac{3}{11} - \frac{- 1}{11} = \frac{4}{11}

y = \frac{4}{11} - \frac{6}{11} = \frac{- 2}{11}

Giải phương trình cũng cho $x = \frac{- 7}{11}$ và $y = \frac{- 2}{11}$ , khớp với hai ô còn thiếu ở Cách 1; các ô còn lại tính xuôi lên y hệt Cách 1.

3Cách 3. Thử lại toàn bộ sơ đồ bằng cách cộng xuôi từ đáy lên đỉnh

Sau khi đã có đủ 5 số ở hàng đáy, cộng xuôi từng cặp kề nhau lên các hàng trên để kiểm tra mọi ô đã cho đều khớp.

hàng đáy:

\frac{3}{11}, \frac{- 5}{11}, \frac{- 7}{11}, \frac{6}{11}, \frac{- 2}{11}

hàng kề đáy:

\frac{- 2}{11}, \frac{- 12}{11}, \frac{- 1}{11}, \frac{4}{11}

— ô thứ hai đúng bằng

\frac{- 12}{11}

như đề cho

hàng thứ ba:

\frac{- 14}{11}, \frac{- 13}{11}, \frac{3}{11}

— ô cuối đúng bằng

\frac{3}{11}

như đề cho

hàng thứ tư:

\frac{- 27}{11}, \frac{- 10}{11}

; đỉnh tháp:

\frac{- 37}{11}

Cộng xuôi từ đáy lên đúng khớp cả hai ô đề đã cho sẵn ở giữa sơ đồ, xác nhận toàn bộ kết quả chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (suy ngược rồi tính xuôi) vì đi thẳng theo trình tự tự nhiên của sơ đồ, không cần đặt ẩn như Cách 2.

Đáp số. Hàng đáy:

\frac{3}{11}, \frac{- 5}{11}, \frac{- 7}{11}, \frac{6}{11}, \frac{- 2}{11}

; hàng kề đáy:

\frac{- 2}{11}, \frac{- 12}{11}, \frac{- 1}{11}, \frac{4}{11}

; hàng ba:

\frac{- 14}{11}, \frac{- 13}{11}, \frac{3}{11}

; hàng bốn:

\frac{- 27}{11}, \frac{- 10}{11}

; đỉnh:

\frac{- 37}{11}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn lấy nhầm ô hàng trên trừ đi ô hàng dưới theo thứ tự ngược, chẳng hạn tính ô 3 hàng đáy bằng

\frac{- 12}{11} - \frac{- 5}{11} = \frac{- 7}{11}

nhưng lại gán nhầm dấu thành

\frac{7}{11}

vì quên ô hàng kề đáy đang âm. Phải luôn viết đúng: (ô hàng dưới còn thiếu)

=

(ô hàng trên)

-

(ô hàng dưới đã biết còn lại), giữ nguyên dấu của từng số hạng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, một sơ đồ tháp cộng

n

tầng chỉ cần biết đủ

n

ô độc lập (không suy ra lẫn nhau) ở hàng đáy là dựng lại được toàn bộ tháp; bài này cho đúng 3 ô đáy cộng 2 ô ở tầng trên, vừa đủ để khoá toàn bộ 15 ô.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 6.30★★★Trang 12— Tìm quy luật một dãy đẳng thức phân số rồi viết tiếp hai phía

Đây là mẩu giấy duy nhất còn sót lại của một tài liệu, trên đó chỉ còn đọc được ba dòng:

\frac{1}{5} = \frac{1}{6} + \frac{1}{30}

;

\frac{1}{6} = \frac{1}{7} + \frac{1}{42}

;

\frac{1}{7} = \frac{1}{8} + \frac{1}{56}

. Em hãy khôi phục lại ba dòng phía trên và ba dòng tiếp theo phía dưới của tài liệu theo đúng quy luật của ba dòng còn lại.

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , luôn có $\frac{1}{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n ( n + 1 )}$ (tách một phân số đơn vị thành tổng hai phân số đơn vị khác).

🧠 Phân tích tư duy

Ba dòng còn đọc được đều có mẫu số vế trái là

5, 6, 7

liên tiếp và vế phải luôn là (mẫu cộng 1) và (tích của mẫu với mẫu cộng 1) — dấu hiệu của một công thức tổng quát theo biến

n

chứ không phải quan sát rời rạc từng dòng. Chọn hướng khái quát hoá thành công thức rồi thay số vì làm được cho bất kỳ

n

nào, kể cả khi đề đổi số dòng cần khôi phục. Bẫy là đề hỏi cả hai phía (trên và dưới) chứ không chỉ một phía, rất dễ bỏ sót ba dòng phía trên.

1Cách 1. Nhận ra quy luật

n

tăng dần 1 đơn vị rồi viết tiếp hai phía

Ba dòng còn lại đều có dạng $\frac{1}{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n ( n + 1 )}$ với $n$ lần lượt là $5, 6, 7$ ; chỉ cần lùi $n$ về $2, 3, 4$ và tiến $n$ lên $8, 9, 10$ .

ba dòng phía trên (

n = 2, 3, 4

\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}

;

\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}

;

\frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20}

ba dòng đã cho (

n = 5, 6, 7

\frac{1}{5} = \frac{1}{6} + \frac{1}{30}

;

\frac{1}{6} = \frac{1}{7} + \frac{1}{42}

;

\frac{1}{7} = \frac{1}{8} + \frac{1}{56}

ba dòng phía dưới (

n = 8, 9, 10

\frac{1}{8} = \frac{1}{9} + \frac{1}{72}

;

\frac{1}{9} = \frac{1}{10} + \frac{1}{90}

;

\frac{1}{10} = \frac{1}{11} + \frac{1}{110}

Vậy tài liệu đầy đủ chín dòng đi theo đúng một quy luật, từ $n = 2$ đến $n = 10$ .

2Cách 2. Kiểm chứng quy luật bằng phép cộng phân số tổng quát trước khi viết tiếp

Trước khi suy rộng, chứng minh quy luật đúng với mọi $n$ bằng cách cộng hai phân số ở vế phải.

\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{n}{n ( n + 1 )} + \frac{1}{n ( n + 1 )}

= \frac{n + 1}{n ( n + 1 )}

= \frac{1}{n}

, đúng với mọi số tự nhiên

n \geq 1

áp dụng

n = 2, 3, 4

được ba dòng trên:

\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}

;

\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}

;

\frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20}

áp dụng

n = 8, 9, 10

được ba dòng dưới:

\frac{1}{8} = \frac{1}{9} + \frac{1}{72}

;

\frac{1}{9} = \frac{1}{10} + \frac{1}{90}

;

\frac{1}{10} = \frac{1}{11} + \frac{1}{110}

Chứng minh tổng quát rồi thay số cũng cho đúng sáu dòng cần khôi phục như Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng số thập phân cho từng dòng vừa khôi phục

Đổi mỗi vế ra số thập phân để kiểm tra nhanh dòng vừa viết có đúng quy luật hay không.

n = 2

\frac{1}{2} = 0, 5

và

\frac{1}{3} + \frac{1}{6} \approx 0, 333 + 0, 167 = 0, 5

— khớp

n = 4

\frac{1}{4} = 0, 25

và

\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = 0, 2 + 0, 05 = 0, 25

— khớp

n = 10

\frac{1}{10} = 0, 1

và

\frac{1}{11} + \frac{1}{110} \approx 0, 0909 + 0, 0091 = 0, 1

— khớp

Cả ba dòng thử lại đều khớp, xác nhận sáu dòng khôi phục ở Cách 1 là chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (chứng minh tổng quát bằng phép cộng phân số) vì vừa giải thích được VÌ SAO quy luật đúng, vừa áp dụng được cho bất kỳ giá trị

n

nào đề có thể hỏi thêm.

Đáp số. Ba dòng phía trên (

n = 2, 3, 4

\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}

;

\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}

;

\frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20}

. Ba dòng phía dưới (

n = 8, 9, 10

\frac{1}{8} = \frac{1}{9} + \frac{1}{72}

;

\frac{1}{9} = \frac{1}{10} + \frac{1}{90}

;

\frac{1}{10} = \frac{1}{11} + \frac{1}{110}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chỉ nhìn số

5, 6, 7

tăng dần liền viết tiếp

n = 8, 9, 10

ở phía dưới nhưng quên viết ba dòng phía trên với

n = 2, 3, 4

, làm mất một nửa yêu cầu đề bài. Đề hỏi khôi phục CẢ hai phía nên phải lùi

n

về nhỏ hơn lẫn tiến

n

lên lớn hơn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, đẳng thức

\frac{1}{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n ( n + 1 )}

là một trường hợp của phân số Ai Cập cổ đại (Egyptian fraction); lặp lại phép tách này nhiều lần,

\frac{1}{2}

có thể viết thành tổng của bất kỳ số phân số đơn vị khác nhau nào.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-6-ket-noi/bai-25-phep-cong-va-phep-tru-phan-so.jsp · https://loigiaihay.com/giai-bai-621-trang-11-sach-bai-tap-toan-6-ket-noi-tri-thuc-voi-cuoc-song-a97499.html