Chương VI. Phân số

Bài 25. Phép cộng và phép trừ phân số

Sách bài tập Toán 6 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán6 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang11–12 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.21★Trang 11— Tính tổng và hiệu nhiều cặp phân số cho trong bảng

Điền số thích hợp vào bảng sau (mỗi cột cho một cặp

a, b

, cần tính

a + b

và

a - b

): cột 1:

a = \frac{1}{5}

b = \frac{4}{5}

; cột 2:

a = \frac{12}{17}

b = \frac{- 21}{17}

; cột 3:

a = \frac{3}{4}

b = \frac{5}{12}

; cột 4:

a = \frac{- 7}{30}

b = \frac{8}{45}

; cột 5:

a = \frac{2}{3}

b = \frac{5}{4}

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng (trừ) hai phân số khác mẫu, quy đồng về cùng một mẫu số dương rồi cộng (trừ) hai tử số, giữ nguyên mẫu chung.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng cho liền năm cặp phân số khác mẫu đôi một, đó là dấu hiệu của dạng luyện tập cộng trừ phân số theo đúng quy tắc vừa học. Chọn hướng quy đồng mẫu số dương trước vì đây là quy tắc chuẩn, làm đến đâu chắc đến đó. Bẫy nằm ở những cột có

b

âm (cột 2, cột 4): phép trừ

a - b

dễ bị quên đổi dấu khi

b

đã âm sẵn.

1Cách 1. Quy đồng mẫu số dương rồi cộng, trừ tử số từng cột

Với mỗi cặp $a, b$ , quy đồng về cùng một mẫu số dương rồi cộng, trừ hai tử số để được $a + b$ và $a - b$ .

cột 1:

a + b = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1

a - b = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = \frac{- 3}{5}

cột 2:

a + b = \frac{12}{17} + \frac{- 21}{17} = \frac{- 9}{17}

a - b = \frac{12}{17} - \frac{- 21}{17} = \frac{33}{17}

cột 3:

a + b = \frac{3}{4} + \frac{5}{12} = \frac{9}{12} + \frac{5}{12} = \frac{7}{6}

a - b = \frac{3}{4} - \frac{5}{12} = \frac{9}{12} - \frac{5}{12} = \frac{1}{3}

cột 4:

a + b = \frac{- 7}{30} + \frac{8}{45} = \frac{- 21}{90} + \frac{16}{90} = \frac{- 1}{18}

a - b = \frac{- 7}{30} - \frac{8}{45} = \frac{- 21}{90} - \frac{16}{90} = \frac{- 37}{90}

cột 5:

a + b = \frac{2}{3} + \frac{5}{4} = \frac{8}{12} + \frac{15}{12} = \frac{23}{12}

a - b = \frac{2}{3} - \frac{5}{4} = \frac{8}{12} - \frac{15}{12} = \frac{- 7}{12}

Vậy: cột 1 $(1; \frac{- 3}{5})$ , cột 2 $(\frac{- 9}{17}; \frac{33}{17})$ , cột 3 $(\frac{7}{6}; \frac{1}{3})$ , cột 4 $(\frac{- 1}{18}; \frac{- 37}{90})$ , cột 5 $(\frac{23}{12}; \frac{- 7}{12})$ .

2Cách 2. Nhân chéo lấy tích hai mẫu làm mẫu chung, không cần tìm BCNN

Với $a = \frac{p}{m}$ , $b = \frac{q}{n}$ , dùng ngay công thức $a \pm b = \frac{p \cdot n \pm q \cdot m}{m \cdot n}$ rồi rút gọn, khỏi mất công tìm BCNN.

cột 1:

a + b = \frac{1 \cdot 5 + 4 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{25}{25} = 1

a - b = \frac{1 \cdot 5 - 4 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{- 15}{25} = \frac{- 3}{5}

cột 2:

a + b = \frac{12 \cdot 17 + ( - 21 ) \cdot 17}{17 \cdot 17} = \frac{- 153}{289} = \frac{- 9}{17}

a - b = \frac{12 \cdot 17 - ( - 21 ) \cdot 17}{17 \cdot 17} = \frac{561}{289} = \frac{33}{17}

cột 3:

a + b = \frac{3 \cdot 12 + 5 \cdot 4}{4 \cdot 12} = \frac{56}{48} = \frac{7}{6}

a - b = \frac{3 \cdot 12 - 5 \cdot 4}{4 \cdot 12} = \frac{16}{48} = \frac{1}{3}

cột 4:

a + b = \frac{( - 7 ) \cdot 45 + 8 \cdot 30}{30 \cdot 45} = \frac{- 75}{1350} = \frac{- 1}{18}

a - b = \frac{( - 7 ) \cdot 45 - 8 \cdot 30}{30 \cdot 45} = \frac{- 555}{1350} = \frac{- 37}{90}

cột 5:

a + b = \frac{2 \cdot 4 + 5 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{23}{12} = \frac{23}{12}

a - b = \frac{2 \cdot 4 - 5 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{- 7}{12} = \frac{- 7}{12}

Rút gọn xong, cả 5 cột đều khớp đúng kết quả của Cách 1.

3Cách 3. Đổi ra số thập phân để kiểm tra lại kết quả

Đổi từng phân số ra số thập phân gần đúng rồi cộng trừ, dùng để đối chiếu lại kết quả đã quy đồng.

cột 1:

\frac{1}{5} \approx 0.200

\frac{4}{5} \approx 0.800

nên

a + b \approx 1.000

a - b \approx - 0.600

cột 2:

\frac{12}{17} \approx 0.706

\frac{- 21}{17} \approx - 1.235

nên

a + b \approx - 0.529

a - b \approx 1.941

cột 3:

\frac{3}{4} \approx 0.750

\frac{5}{12} \approx 0.417

nên

a + b \approx 1.167

a - b \approx 0.333

cột 4:

\frac{- 7}{30} \approx - 0.233

\frac{8}{45} \approx 0.178

nên

a + b \approx - 0.056

a - b \approx - 0.411

cột 5:

\frac{2}{3} \approx 0.667

\frac{5}{4} \approx 1.250

nên

a + b \approx 1.917

a - b \approx - 0.583

Giá trị thập phân của cả 5 cột đều khớp với kết quả quy đồng ở Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (quy đồng BCNN) vì mẫu số ra gọn nhất, ít phải rút gọn lại; Cách 2 tiện khi mẫu số nhỏ và không kịp nhẩm BCNN.

Đáp số. Cột 1:

(1; \frac{- 3}{5})

; cột 2:

(\frac{- 9}{17}; \frac{33}{17})

; cột 3:

(\frac{7}{6}; \frac{1}{3})

; cột 4:

(\frac{- 1}{18}; \frac{- 37}{90})

; cột 5:

(\frac{23}{12}; \frac{- 7}{12})

Sai lầm thường gặp. Ở cột 2, nhiều bạn quên

b = \frac{- 21}{17}

mang dấu âm nên tính nhầm

a - b = \frac{12}{17} - \frac{21}{17} = \frac{- 9}{17}

. Trừ một số âm là cộng số đối của nó nên phải viết

a - b = \frac{12}{17} - (\frac{- 21}{17}) = \frac{12 + 21}{17} = \frac{33}{17}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

a = \frac{p}{m}

và

b = \frac{q}{n}

luôn có

a \pm b = \frac{p \cdot n \pm q \cdot m}{m \cdot n}

, đây chính là công thức dùng ở Cách 2 cho mọi cặp phân số bất kỳ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.22★Trang 11— Cộng trừ nhiều phân số khác mẫu liên tiếp

Thực hiện phép tính: a)

\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{- 3}{32}

; b)

\frac{- 5}{7} - \frac{3}{8} + \frac{1}{28}

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng, trừ nhiều phân số khác mẫu, quy đồng chúng về cùng một mẫu số dương rồi cộng, trừ các tử số theo đúng thứ tự.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi câu có ba phân số với ba mẫu số khác nhau, nhưng để ý mẫu lớn nhất (

32

ở câu a,

28

ở câu b) đều là bội của các mẫu còn lại — dấu hiệu quy đồng sẽ rất gọn nếu biết nhóm đúng. Chọn hướng quy đồng cả ba cùng lúc vì không phải làm đi làm lại nhiều lần. Bẫy là dấu âm của các tử số dễ cộng nhầm khi có tới ba số hạng.

1Cách 1. Quy đồng mẫu chung nhỏ nhất rồi cộng trừ tử số

Tìm BCNN của các mẫu để quy đồng một lần, rồi cộng trừ các tử số theo đúng thứ tự.

a) BCNN

(4, 2, 32) = 32

\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{- 3}{32} = \frac{24}{32} + \frac{16}{32} + \frac{- 3}{32}

= \frac{24 + 16 - 3}{32}

= \frac{37}{32}

b) BCNN

(7, 8, 28) = 56

\frac{- 5}{7} - \frac{3}{8} + \frac{1}{28} = \frac{- 40}{56} - \frac{21}{56} + \frac{2}{56}

= \frac{- 40 - 21 + 2}{56}

= \frac{- 59}{56}

Vậy $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{- 3}{32} = \frac{37}{32}$ và $\frac{- 5}{7} - \frac{3}{8} + \frac{1}{28} = \frac{- 59}{56}$ .

2Cách 2. Nhóm hai phân số cùng mẫu (hoặc mẫu là bội của nhau) trước

Nhóm trước hai phân số có mẫu chia hết cho nhau để quy đồng gọn hơn, rồi mới cộng phân số còn lại.

\frac{3}{4}

và

\frac{- 3}{32}

có mẫu

32

chia hết cho

4

\frac{3}{4} + \frac{- 3}{32} = \frac{24}{32} + \frac{- 3}{32} = \frac{21}{32}

\frac{21}{32} + \frac{1}{2} = \frac{21}{32} + \frac{16}{32}

= \frac{37}{32}

\frac{- 5}{7}

và

\frac{1}{28}

có mẫu

28

chia hết cho

7

\frac{- 5}{7} + \frac{1}{28} = \frac{- 20}{28} + \frac{1}{28} = \frac{- 19}{28}

\frac{- 19}{28} - \frac{3}{8} = \frac{- 38}{56} - \frac{21}{56}

= \frac{- 59}{56}

Nhóm theo mẫu bội của nhau cũng cho đúng $\frac{37}{32}$ và $\frac{- 59}{56}$ như Cách 1.

3Cách 3. Đổi ra số thập phân để thử lại

Đổi từng phân số ra số thập phân, cộng trừ rồi so khớp với kết quả đã quy đồng.

\frac{3}{4} \approx 0.7500

; tổng

\approx 1.1562

, mà

\frac{37}{32} \approx 1.1562

— khớp

\frac{- 5}{7} \approx - 0.7143

; tổng

\approx - 1.0536

, mà

\frac{- 59}{56} \approx - 1.0536

— khớp

Cả hai kết quả thập phân đều khớp với Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (nhóm mẫu bội của nhau trước) vì mẫu chung ở mỗi bước đều có sẵn, không cần tính BCNN của cả ba số cùng lúc.

Đáp số. a)

\frac{37}{32}

; b)

\frac{- 59}{56}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn quy đồng đúng nhưng cộng nhầm dấu của

\frac{- 40}{56}

và

\frac{- 21}{56}

, viết thành

- 40 - 21 = - 19

thay vì

- 61

hoặc quên cộng thêm

2

. Phải cộng đại số đủ ba tử số:

- 40 - 21 + 2 = - 59

, kết quả đúng là

\frac{- 59}{56}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi các mẫu số trong một dãy phép tính có quan hệ chia hết với nhau, luôn ưu tiên nhóm các số hạng có mẫu nhỏ vào mẫu lớn nhất trước để rút ngắn phép quy đồng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.23★Trang 11— Toán thực tế — trừ hai phân số khác mẫu

Hà dự định làm một cái bánh nhỏ. Bạn ấy cần

\frac{3}{4}

cốc bột mì. Hiện trong túi chỉ còn khoảng

\frac{1}{8}

cốc bột mì. Hỏi cần thêm bao nhiêu phần cốc bột mì để làm cái bánh đó?

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm phần còn thiếu, lấy số lượng cần dùng trừ đi số lượng đã có (hai phân số khác mẫu thì quy đồng trước khi trừ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.24★★Trang 12— Tính hợp lí tổng nhiều phân số bằng cách nhóm cùng mẫu

Tính một cách hợp lí: a)

A = \frac{- 5}{7} + \frac{8}{11} + \frac{- 2}{7} + \frac{1}{2} + \frac{3}{11}

; b)

B = \frac{11}{17} + \frac{- 8}{19} + \frac{- 3}{4} + \frac{6}{17} - \frac{30}{19}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng phân số cho phép nhóm các phân số cùng mẫu số lại với nhau để cộng trừ nhanh hơn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.25★★Trang 12— Tìm thành phần chưa biết x trong phép cộng, phép trừ phân số

Tìm

x

, biết: a)

\frac{5}{9} - x = \frac{- 3}{9}

; b)

x + \frac{- 7}{13} = \frac{- 21}{13}

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu; muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.26★★Trang 12— Toán thực tế — cộng các phân số biểu diễn năng suất công việc

Ba người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất mất

6

giờ, người thứ hai mất

5

giờ và người thứ ba mất

7

giờ mới làm xong việc đó. Hỏi nếu ba người cùng làm thì sau một giờ làm được bao nhiêu phần công việc?

Kiến thức cần nhớ

Nếu một người làm riêng xong công việc trong $n$ giờ thì một giờ người đó làm được $\frac{1}{n}$ công việc; năng suất chung bằng tổng các năng suất riêng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.27★★Trang 12— Toán thực tế — cộng hai hỗn số

Nhân dịp nghỉ lễ, Việt cùng gia đình đi nghỉ mát ở Đà Nẵng. Họ đi bằng xe khách từ Hà Nội đến thành phố Đồng Hới (Quảng Bình) hết

9 \frac{1}{4}

giờ, sau đó, họ nghỉ ngơi một lúc, rồi tiếp tục hành trình đi từ thành phố Đồng Hới đến Đà Nẵng hết

5 \frac{1}{8}

giờ. Hỏi gia đình Việt đi hết bao nhiêu thời gian từ Hà Nội đến Đà Nẵng?

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng hai hỗn số, có thể cộng riêng phần nguyên với phần nguyên, phần phân số với phần phân số, hoặc đổi cả hai hỗn số sang phân số rồi cộng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.28★★Trang 12— Toán thực tế — cộng ba hỗn số để tính chu vi

Tính chu vi của một tam giác biết độ dài các cạnh của tam giác là

2 \frac{1}{2}

3 \frac{3}{5}

4 \frac{1}{6}

(cm).

Kiến thức cần nhớ

Chu vi tam giác bằng tổng độ dài ba cạnh; cộng nhiều hỗn số bằng cách cộng riêng phần nguyên và phần phân số rồi gộp lại.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 6.29★★★Trang 12— Điền phân số vào sơ đồ hình tháp theo quy luật tổng hai ô kề nhau

Em hãy điền phân số thích hợp vào các ô trống trong sơ đồ hình tháp

5

tầng sau (xem hình), biết số trong mỗi ô ở hàng trên bằng tổng của hai số kề nó ở hàng dưới. Đề cho sẵn: hàng đáy có

\frac{3}{11}

\frac{- 5}{11}

\frac{6}{11}

(ở ô thứ nhất, thứ hai, thứ tư); hàng kề trên có

\frac{- 12}{11}

(ở ô thứ hai); hàng thứ ba từ đáy đếm lên có

\frac{3}{11}

(ở ô cuối).

Kiến thức cần nhớ

Nếu một ô ở hàng trên bằng tổng hai ô kề nó ở hàng dưới thì từ hai ô đã biết (một ở hàng trên, một ở hàng dưới) suy ra được ô hàng dưới còn lại bằng phép trừ.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 6.30★★★Trang 12— Tìm quy luật một dãy đẳng thức phân số rồi viết tiếp hai phía

Đây là mẩu giấy duy nhất còn sót lại của một tài liệu, trên đó chỉ còn đọc được ba dòng:

\frac{1}{5} = \frac{1}{6} + \frac{1}{30}

;

\frac{1}{6} = \frac{1}{7} + \frac{1}{42}

;

\frac{1}{7} = \frac{1}{8} + \frac{1}{56}

. Em hãy khôi phục lại ba dòng phía trên và ba dòng tiếp theo phía dưới của tài liệu theo đúng quy luật của ba dòng còn lại.

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , luôn có $\frac{1}{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n ( n + 1 )}$ (tách một phân số đơn vị thành tổng hai phân số đơn vị khác).