Chương VI. Phân số

Ôn tập chương VI

SBT (Sách bài tập) Toán 6 — Kết nối tri thức, tập 2 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · TN1★Trang 21— Trắc nghiệm nhận biết quy tắc cộng, nhân, chia phân số

Khẳng định nào sau đây là sai? (A) Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu, ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu. (B) Muốn cộng hai phân số bất kì, ta cộng tử với tử và cộng mẫu với mẫu. (C) Muốn nhân hai phân số, ta nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu. (D) Muốn chia một phân số cho một phân số khác

0

, ta nhân phân số bị chia với phân số nghịch đảo của phân số chia.

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng hai phân số khác mẫu phải quy đồng về cùng mẫu rồi mới cộng tử, không được cộng mẫu với mẫu.
Quy tắc nhân hai phân số: nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu.
Quy tắc chia phân số: nhân với phân số nghịch đảo của số chia.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn khẳng định đều phát biểu quy tắc tính toán với phân số nên dấu hiệu nhận sai nằm ở chỗ có khẳng định nào bỏ qua bước quy đồng mẫu số hay không. Khẳng định (B) nói cộng mẫu với mẫu là dấu hiệu lộ rõ nhất vì phép cộng phân số không hoạt động như phép nhân. Chọn hướng đối chiếu từng khẳng định với quy tắc chuẩn đã học để phát hiện chỗ sai duy nhất.

1Cách 1. Đối chiếu từng khẳng định với quy tắc đã học

So từng khẳng định (A), (B), (C), (D) với đúng quy tắc cộng, nhân, chia phân số đã học trong chương.

(A) đúng vì cộng hai phân số cùng mẫu

\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m}

chỉ cộng tử, giữ nguyên mẫu.

(B) sai vì quy tắc cộng hai phân số khác mẫu là quy đồng mẫu rồi mới cộng tử, không có quy tắc cộng mẫu với mẫu.

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

(D) đúng vì

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

với

\frac{c}{d} \neq = 0

Chỉ có (B) sai, ba khẳng định còn lại đều đúng nên đáp án là (B).

2Cách 2. Dùng phản ví dụ bằng số cụ thể để kiểm chứng

Thay các phân số cụ thể vào từng khẳng định để kiểm tra nhanh, đặc biệt khẳng định (B) đáng ngờ nhất.

Xét

\frac{1}{2} + \frac{1}{3}

: theo (B) sẽ ra

\frac{1 + 1}{2 + 3} = \frac{2}{5}

Tính đúng theo quy tắc quy đồng:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Vì

\frac{2}{5} \neq = \frac{5}{6}

nên (B) sai; thử tương tự với (A), (C), (D) đều khớp đúng quy tắc.

Phản ví dụ số khẳng định lại (B) là khẳng định sai.

3Cách 3. Loại trừ các khẳng định chắc chắn đúng

Nhận ra ngay (A), (C), (D) là ba quy tắc đã học đúng nguyên văn trong sách, nên chỉ còn (B) là khả nghi.

(A) là định nghĩa cộng hai phân số cùng mẫu — chắc chắn đúng.

(D) là quy tắc chia phân số cho phân số khác

0

— chắc chắn đúng.

Loại hết ba khẳng định đúng, khẳng định sai duy nhất còn lại là (B).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì so trực tiếp với quy tắc đã học là nhanh nhất, không mất thời gian tính số cụ thể như Cách 2.

Đáp số. Đáp án đúng: (B).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhớ nhầm quy tắc cộng phân số giống quy tắc nhân nên cộng luôn cả mẫu với mẫu, ví dụ tính

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}

trong khi kết quả đúng là

\frac{5}{6}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, muốn cộng

\frac{a}{b} + \frac{c}{d}

với

b \neq = d

luôn phải quy đồng về mẫu chung trước khi cộng tử, chẳng hạn

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · TN2★Trang 21— Trắc nghiệm nhận biết hỗn số và phân số bằng nhau

Khẳng định nào sau đây là sai? (A)

2 \frac{6}{5}

là một hỗn số dương. (B)

6 \frac{4}{5} = \frac{34}{5}

. (C)

\frac{- 3}{4} = \frac{3}{- 4}

. (D) Phân số

\frac{7}{3}

biểu thị thương của phép chia

7

cho

3

Kiến thức cần nhớ

Phần phân số của một hỗn số luôn phải nhỏ hơn $1$ (tử nhỏ hơn mẫu).
Đổi hỗn số ra phân số: $a \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$ .
Nhân cả tử và mẫu với $- 1$ cho phân số bằng nó.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn khẳng định trộn lẫn kiến thức về hỗn số và phân số bằng nhau nên phải xét riêng từng loại. Dấu hiệu đáng ngờ nhất là phần phân số ở (A) có tử lớn hơn mẫu, trái với điều kiện của hỗn số. Kiểm tra thêm (B), (C), (D) bằng đúng công thức đổi hỗn số và tính chất phân số bằng nhau để chắc chắn khẳng định sai chỉ ở (A).

1Cách 1. Kiểm tra điều kiện phần phân số của hỗn số

Nhắc lại điều kiện: phần phân số của một hỗn số phải nhỏ hơn $1$ , tức tử nhỏ hơn mẫu.

Ở (A), phần phân số là

\frac{6}{5}

có

6 > 5

nên

\frac{6}{5} > 1

, không thỏa điều kiện của hỗn số.

Ở (B), đổi hỗn số:

6 \frac{4}{5} = \frac{6 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{34}{5}

, đúng như đề nêu.

Ở (C), nhân tử và mẫu của

\frac{- 3}{4}

với

- 1

\frac{- 3}{4} = \frac{3}{- 4}

, đúng.

Ở (D), theo định nghĩa phân số

\frac{a}{b}

là thương của phép chia

a

cho

b

nên (D) đúng.

Chỉ (A) sai vì phần phân số $\frac{6}{5}$ không nhỏ hơn $1$ .

2Cách 2. Đổi thử (A) về phân số rồi so sánh ngược lại

Giả sử (A) là hỗn số hợp lệ, đổi nó ra phân số rồi thử đổi ngược lại để phát hiện mâu thuẫn.

Nếu

2 \frac{6}{5}

là hỗn số thì đổi ra phân số:

2 \frac{6}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 6}{5} = \frac{16}{5}

Đổi ngược

\frac{16}{5}

ra hỗn số đúng chuẩn:

\frac{16}{5} = 3 \frac{1}{5}

(vì

16 = 3 \cdot 5 + 1

Kết quả đổi ngược là

3 \frac{1}{5}

chứ không phải

2 \frac{6}{5}

, mâu thuẫn với cách viết ban đầu.

Mâu thuẫn này khẳng định (A) không phải cách viết hỗn số chuẩn, tức (A) sai.

3Cách 3. Loại trừ các khẳng định đúng theo tính chất phân số

Kiểm tra riêng (B), (C), (D) bằng các phép tính cụ thể, khẳng định nào chưa kiểm được là khẳng định cần nghi ngờ.

(B):

6 \cdot 5 + 4 = 34

nên

6 \frac{4}{5} = \frac{34}{5}

đúng.

(C):

\frac{- 3}{4} = \frac{( - 3 ) \cdot ( - 1 )}{4 \cdot ( - 1 )} = \frac{3}{- 4}

đúng.

(D): thương

7 : 3 = \frac{7}{3}

đúng theo định nghĩa phân số.

Ba khẳng định (B), (C), (D) đều đúng nên khẳng định sai còn lại là (A).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần nhớ đúng một điều kiện của hỗn số là bắt được ngay chỗ sai, nhanh hơn nhiều so với đổi qua đổi lại như Cách 2.

Đáp số. Đáp án đúng: (A).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chỉ nhìn hình thức số nguyên kèm phân số đã vội cho là hỗn số mà quên kiểm tra phần phân số phải nhỏ hơn

1

, ví dụ nhầm

2 \frac{6}{5}

là hỗn số hợp lệ trong khi

\frac{6}{5} > 1

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hỗn số

a \frac{b}{c}

chỉ có nghĩa khi

0 < b < c

; nếu tính ra phần phân số

\geq 1

thì phải rút gọn tiếp, chẳng hạn

\frac{16}{5}

viết đúng thành hỗn số là

3 \frac{1}{5}

chứ không phải

2 \frac{6}{5}

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · TN3★Trang 21— Trắc nghiệm nhận biết định nghĩa phân số và phân số bằng nhau

Khẳng định nào sau đây là sai? (A)

\frac{2}{0}

là một phân số. (B) Mọi số nguyên đều viết được dưới dạng phân số. (C) Mọi phân số khác

0

đều có phân số nghịch đảo. (D) Hai phân số

\frac{a}{b}

và

\frac{c}{d}

bằng nhau khi

a \cdot d = b \cdot c

Kiến thức cần nhớ

Phân số $\frac{a}{b}$ chỉ có nghĩa khi $b \neq = 0$ .
Mọi số nguyên $n$ đều viết được dưới dạng phân số $\frac{n}{1}$ .
Hai phân số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ khi và chỉ khi $a \cdot d = b \cdot c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn khẳng định đều nói về điều kiện tồn tại và tính chất của phân số nên phải soát lại định nghĩa gốc trước khi kết luận. Khẳng định (A) có mẫu bằng

0

là dấu hiệu vi phạm điều kiện cơ bản nhất của phân số. Các khẳng định (B), (C), (D) chỉ là phát biểu lại đúng nguyên các tính chất đã học nên không cần nghi ngờ.

1Cách 1. Kiểm tra điều kiện mẫu số khác 0 của định nghĩa phân số

Nhắc lại định nghĩa: $\frac{a}{b}$ là một phân số khi $a, b$ là số nguyên và $b \neq = 0$ .

Ở (A), mẫu số bằng

0

nên

\frac{2}{0}

không thỏa điều kiện

b \neq = 0

, do đó không phải là phân số.

Ở (B), số nguyên

n

viết được thành

\frac{n}{1}

với mẫu

1 \neq = 0

, nên (B) đúng.

Ở (C), phân số

\frac{a}{b} \neq = 0

luôn có nghịch đảo

\frac{b}{a}

, nên (C) đúng.

Ở (D), đây đúng là quy tắc so sánh hai phân số bằng nhau bằng tích chéo, nên (D) đúng.

Chỉ (A) sai vì vi phạm điều kiện mẫu số khác $0$ .

2Cách 2. Thử tính giá trị để phát hiện vô lí

Giả sử $\frac{2}{0}$ có nghĩa và thử nhân ngược lại theo định nghĩa phép chia để tìm mâu thuẫn.

Nếu

\frac{2}{0} = x

thì theo định nghĩa phép chia phải có

0 \cdot x = 2

Nhưng

0 \cdot x = 0

với mọi

x

, không thể bằng

2

Vậy không tồn tại số

x

nào thỏa mãn, nghĩa là

\frac{2}{0}

không xác định.

Do đó (A) sai vì $\frac{2}{0}$ không phải là một phân số.

3Cách 3. Loại trừ các khẳng định đúng theo tính chất đã học

Xác nhận từng khẳng định (B), (C), (D) bằng ví dụ cụ thể để chắc chắn chúng đúng, từ đó chỉ còn (A) khả nghi.

(B): số nguyên

- 5

viết được thành

\frac{- 5}{1}

, đúng như tính chất.

(C): phân số

\frac{3}{4}

có nghịch đảo

\frac{4}{3}

, đúng.

(D):

\frac{2}{3} = \frac{4}{6}

vì

2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 12

, đúng quy tắc tích chéo.

Ba khẳng định (B), (C), (D) đều kiểm chứng đúng nên khẳng định sai là (A).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần nhớ đúng điều kiện

b \neq = 0

trong định nghĩa là loại được (A) ngay lập tức.

Đáp số. Đáp án đúng: (A).

Sai lầm thường gặp. Một số bạn nghĩ số nào cũng viết được thành phân số kể cả khi mẫu bằng

0

, dẫn đến việc chấp nhận

\frac{2}{0}

là phân số; thực ra phép chia cho

0

không xác định nên

\frac{2}{0}

không tồn tại.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, biểu thức

\frac{a}{b}

chỉ được gọi là phân số khi

b

là số nguyên khác

0

; đây cũng là lí do khi giải phương trình có ẩn ở mẫu luôn phải đặt điều kiện mẫu khác

0

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · TN4★★Trang 21— Trắc nghiệm nhận biết định nghĩa phân số tối giản

Các khẳng định nào sau đây là đúng? (A) Phân số tối giản là phân số mà tử số và mẫu số chỉ có ước chung là

1

và

- 1

. (B) Phân số tối giản là phân số mà tử số và mẫu số chỉ có ước chung là

1

. (C) Phân số tối giản là phân số mà tử số và mẫu số chỉ có ước chung là

- 1

. (D) Mọi phân số đều rút gọn được về một phân số tối giản.

Kiến thức cần nhớ

Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu chỉ có ước chung là $1$ và $- 1$ .
Mọi phân số đều đưa được về dạng tối giản bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng.

🧠 Phân tích tư duy

Ba khẳng định (A), (B), (C) đều mô tả ước chung của tử và mẫu nhưng khác nhau ở việc liệt kê đủ hai số

1

- 1

hay chỉ một trong hai. Dấu hiệu nhận đúng là nhớ lại định nghĩa gốc: ước chung của một cặp số nguyên luôn gồm cả số dương và số âm tương ứng. Xét thêm (D) bằng tính chất luôn tồn tại ước chung lớn nhất của hai số nguyên để xác nhận nốt khẳng định còn lại.

1Cách 1. Đối chiếu từng khẳng định với định nghĩa phân số tối giản

Nhắc lại định nghĩa: phân số $\frac{a}{b}$ là tối giản khi ước chung của $a$ và $b$ chỉ gồm $1$ và $- 1$ .

(A) phát biểu đúng nguyên định nghĩa: ước chung chỉ gồm

1

và

- 1

(B) chỉ nêu ước chung là

1

, bỏ sót

- 1

nên chưa đầy đủ, coi là sai.

- 1

, bỏ sót

1

nên cũng chưa đầy đủ, coi là sai.

(D) đúng vì luôn tồn tại ước chung lớn nhất của

a, b

, chia tử và mẫu cho ước đó sẽ được phân số tối giản.

Vậy các khẳng định đúng là (A) và (D).

2Cách 2. Thử với ví dụ số cụ thể

Lấy phân số $\frac{2}{3}$ đã tối giản, liệt kê hết ước chung của $2$ và $3$ để so khớp với từng khẳng định.

Ước của

2

là

\pm 1, \pm 2

; ước của

3

là

\pm 1, \pm 3

Ước chung của

2

và

3

chỉ gồm

1

và

- 1

, khớp đúng với (A), không khớp riêng lẻ với (B) hay (C).

Lấy tiếp phân số

\frac{12}{18}

, chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất là

6

được

\frac{2}{3}

tối giản, minh hoạ cho (D).

Ví dụ số xác nhận (A) và (D) đúng, còn (B), (C) thiếu vế nên sai.

3Cách 3. Loại trừ bằng cách xét tính đối xứng dấu của ước chung

Chú ý mọi ước chung dương $k$ của $a, b$ luôn kéo theo $- k$ cũng là ước chung, nên không thể chỉ có một mình $1$ hoặc một mình $- 1$ .

Nếu

1

là ước chung của

a, b

thì

- 1

cũng là ước chung, vì

- 1

chia hết mọi số nguyên như

1

Do đó khẳng định chỉ nêu mỗi

1

(khẳng định (B)) hoặc chỉ nêu mỗi

- 1

(khẳng định (C)) đều không đầy đủ.

Chỉ có (A) nêu đủ cả

1

và

- 1

nên đúng, cùng với (D) đúng vì luôn rút gọn được về tối giản.

Suy luận về dấu của ước chung khẳng định lại đáp án đúng là (A) và (D).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bám sát định nghĩa gốc, chỉ cần nhớ đúng gồm cả

1

và

- 1

là loại ngay (B) và (C).

Đáp số. Các khẳng định đúng: (A) và (D).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn học vắn tắt chỉ nhớ ước chung là

1

(khẳng định (B)) mà quên số nguyên

- 1

cũng là ước của mọi số nguyên, dẫn đến chọn thiếu hoặc chọn sai đáp án.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, để đưa một phân số

\frac{a}{b}

bất kì về dạng tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của

∣ a ∣

và

∣ b ∣

, chẳng hạn

\frac{- 18}{24}

có ước chung lớn nhất là

6

nên rút gọn thành

\frac{- 3}{4}

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · TN5★★Trang 21— Trắc nghiệm nhận biết tính chất cơ bản của phân số

Các khẳng định nào sau đây là đúng? (A)

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot m}{b \cdot m}

với

m

là số nguyên khác

0

. (B)

\frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n}

với

n

là ước chung của

a

và

b

. (C)

\frac{5}{7} = \frac{- 25}{- 34}

. (D) Phân số có mẫu âm luôn viết được thành phân số bằng nó có mẫu dương.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cơ bản của phân số: nhân hoặc chia cả tử và mẫu cho cùng một số nguyên khác $0$ (khi chia thì số đó phải là ước chung) sẽ được phân số bằng phân số đã cho.
Có thể đổi phân số có mẫu âm thành phân số bằng nó có mẫu dương bằng cách nhân cả tử và mẫu với $- 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba khẳng định (A), (B), (D) đều là tính chất cơ bản của phân số đã học nên chỉ cần nhớ đúng công thức là xác nhận được. Khẳng định (C) đưa ra một phân số cụ thể nên cách chắc chắn nhất là tính tích chéo hoặc quy đồng để kiểm tra bằng số. Việc thử đúng một khẳng định cụ thể như vậy giúp phát hiện ngay chỗ sai duy nhất trong bốn phương án.

1Cách 1. Kiểm tra tích chéo cho khẳng định (C), đối chiếu định nghĩa cho (A), (B), (D)

Dùng tính chất cơ bản của phân số cho (A), (B), (D) và dùng tích chéo để kiểm tra riêng (C).

(A) đúng vì đó là tính chất cơ bản: nhân cả tử và mẫu với

m \neq = 0

được phân số bằng nó.

(B) đúng vì chia cả tử và mẫu cho ước chung

n

cũng được phân số bằng nó.

(D) đúng vì nhân cả tử và mẫu với

- 1

đổi mẫu âm thành mẫu dương mà phân số không đổi.

Kiểm tra (C) bằng tích chéo:

5 \cdot (- 34) = - 170

còn

7 \cdot (- 25) = - 175

; vì

- 170 \neq = - 175

nên

\frac{5}{7} \neq = \frac{- 25}{- 34}

Vậy (C) sai, các khẳng định đúng là (A), (B), (D).

2Cách 2. Quy đồng để so sánh trực tiếp khẳng định (C)

Đưa $\frac{- 25}{- 34}$ về dạng tối giản rồi so sánh trực tiếp với $\frac{5}{7}$ bằng tích chéo.

Rút gọn

\frac{- 25}{- 34} = \frac{25}{34}

(nhân cả tử và mẫu với

- 1

\frac{5}{7}

với

\frac{25}{34}

: nếu bằng nhau thì

5 \cdot 34 = 7 \cdot 25

Tính hai vế:

5 \cdot 34 = 170

và

7 \cdot 25 = 175

, hai kết quả khác nhau.

Vì $170 \neq = 175$ nên $\frac{5}{7} \neq = \frac{25}{34}$ , khẳng định (C) sai; ba khẳng định còn lại đúng.

3Cách 3. Tìm phân số đúng thay cho (C) để đối chiếu

Tự tìm phân số bằng $\frac{5}{7}$ có mẫu là số âm gần $- 34$ để thấy đề (C) đã ghi sai một chữ số ở mẫu.

Nhân cả tử và mẫu của

\frac{5}{7}

với

- 5

\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot ( - 5 )}{7 \cdot ( - 5 )} = \frac{- 25}{- 35}

So với đề (C) ghi

\frac{- 25}{- 34}

, mẫu đúng phải là

- 35

chứ không phải

- 34

Vậy khẳng định (C) trong đề là sai do lệch mẫu số.

Đối chiếu trực tiếp cho thấy (C) sai; (A), (B), (D) là ba khẳng định đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì tích chéo là công cụ nhanh nhất để kiểm tra hai phân số có bằng nhau hay không, không cần rút gọn dài dòng.

Đáp số. Các khẳng định đúng: (A), (B), (D).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy hai phân số ở (C) đều có dấu âm ở cả tử và mẫu nên vội cho là bằng nhau mà không kiểm tra tích chéo, trong khi

5 \cdot 34 \neq = 7 \cdot 25

nên hai phân số đó không bằng nhau.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hai phân số

\frac{a}{b}

và

\frac{c}{d}

(với

b, d \neq = 0

) bằng nhau khi và chỉ khi

a \cdot d = b \cdot c

; đây là công cụ kiểm tra nhanh mọi đẳng thức phân số mà không cần quy đồng.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.48★Trang 22— Đổi đơn vị thời gian sang giờ dưới dạng phân số tối giản

Viết các số đo thời gian sau đây theo đơn vị giờ, dưới dạng phân số tối giản:

36

phút;

18

phút;

150

phút.

Kiến thức cần nhớ

$1$ giờ $= 60$ phút nên $x$ phút $= \frac{x}{60}$ giờ.
Rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba số đo bằng phút và yêu cầu đổi sang giờ, dấu hiệu là mọi phép đổi phút sang giờ đều dựa trên hệ thức

1

giờ

= 60

phút. Sau khi lập phân số

\frac{x}{60}

cho từng số, việc còn lại chỉ là tìm ước chung lớn nhất của tử và mẫu để rút gọn về tối giản. Ba số

36, 18, 150

có ước chung lớn nhất với

60

khác nhau nên phải rút gọn riêng từng trường hợp.

1Cách 1. Lập phân số

\frac{x}{60}

rồi rút gọn bằng ước chung lớn nhất

Mỗi số phút $x$ đổi thành phân số giờ $\frac{x}{60}$ , sau đó chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của $x$ và $60$ .

36

phút

= \frac{36}{60}

giờ; ước chung lớn nhất của

36

và

60

là

12

nên

\frac{36}{60} = \frac{36 : 12}{60 : 12} = \frac{3}{5}

giờ.

18

phút

= \frac{18}{60}

giờ; ước chung lớn nhất của

18

và

60

là

6

nên

\frac{18}{60} = \frac{18 : 6}{60 : 6} = \frac{3}{10}

giờ.

150

phút

= \frac{150}{60}

giờ; ước chung lớn nhất của

150

và

60

là

30

nên

\frac{150}{60} = \frac{150 : 30}{60 : 30} = \frac{5}{2}

giờ.

Vậy $36$ phút $= \frac{3}{5}$ giờ, $18$ phút $= \frac{3}{10}$ giờ, $150$ phút $= \frac{5}{2}$ giờ.

2Cách 2. Rút gọn dần qua từng ước chung nhỏ

Thay vì tìm ngay ước chung lớn nhất, rút gọn phân số $\frac{x}{60}$ nhiều lần liên tiếp qua các ước chung nhỏ như $2, 3, 5$ cho đến khi tối giản.

\frac{36}{60} = \frac{36 : 2}{60 : 2} = \frac{18}{30} = \frac{18 : 6}{30 : 6} = \frac{3}{5}

\frac{18}{60} = \frac{18 : 2}{60 : 2} = \frac{9}{30} = \frac{9 : 3}{30 : 3} = \frac{3}{10}

\frac{150}{60} = \frac{150 : 2}{60 : 2} = \frac{75}{30} = \frac{75 : 15}{30 : 15} = \frac{5}{2}

Rút gọn dần cũng cho đúng ba kết quả $\frac{3}{5}$ giờ, $\frac{3}{10}$ giờ, $\frac{5}{2}$ giờ.

3Cách 3. Đưa về các mốc quen thuộc của giờ rồi suy ra phân số

Nhận xét $60$ phút chia hết cho $5, 10, 2$ để gắn từng số phút với một phần quen thuộc của giờ.

36

phút: vì

60 : 5 = 12

phút ứng với

\frac{1}{5}

giờ mà

36 = 3 \cdot 12

nên

36

phút

= 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}

giờ.

18

phút: vì

60 : 10 = 6

phút ứng với

\frac{1}{10}

giờ mà

18 = 3 \cdot 6

nên

18

phút

= 3 \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{10}

giờ.

150

phút

= 60 + 60 + 30 = 2

giờ và thêm

\frac{1}{2}

giờ, tức

\frac{5}{2}

giờ.

Cách quy về các mốc quen thuộc cũng khẳng định lại $\frac{3}{5}$ giờ, $\frac{3}{10}$ giờ, $\frac{5}{2}$ giờ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì tìm ngay ước chung lớn nhất rồi rút gọn một lần là nhanh và chắc chắn tối giản, tránh sót bước rút gọn như Cách 2.

Đáp số.

36

phút

= \frac{3}{5}

giờ;

18

phút

= \frac{3}{10}

giờ;

150

phút

= \frac{5}{2}

giờ.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên rút gọn về tối giản, để nguyên

\frac{36}{60}

hoặc chỉ rút gọn được một nửa như

\frac{18}{30}

mà chưa chia tiếp cho

6

để ra

\frac{3}{5}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, đổi

x

giây sang phút là

\frac{x}{60}

phút, đổi

x

phút sang giờ là

\frac{x}{60}

giờ; cùng một kĩ thuật rút gọn bằng ước chung lớn nhất áp dụng được cho mọi đơn vị đo thời gian có hệ số

60

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.49★★Trang 22— Tính hợp lí bằng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng phân số

Tính một cách hợp lí:

A = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} - \frac{10}{7} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{7}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất phân phối: $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{7} = (\frac{2}{5} + \frac{3}{5}) \cdot \frac{3}{7}$ .
Cộng hai phân số cùng mẫu: cộng tử, giữ nguyên mẫu.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có hai tích cùng chứa thừa số

\frac{3}{7}

là dấu hiệu nên nhóm chúng lại bằng tính chất phân phối thay vì nhân riêng từng tích rồi cộng trừ. Sau khi nhóm, hai phân số

\frac{2}{5}

và

\frac{3}{5}

cộng lại vừa tròn

1

, làm biểu thức gọn hẳn. Đây chính là bẫy tính lần lượt theo thứ tự viết khiến bài toán trở nên dài dòng không cần thiết.

1Cách 1. Nhóm hai tích có chung thừa số

\frac{3}{7}

bằng tính chất phân phối

Nhận thấy số hạng thứ nhất và thứ ba đều có thừa số chung $\frac{3}{7}$ nên đặt thừa số chung ra ngoài trước khi cộng trừ.

A = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{7} - \frac{10}{7} = (\frac{2}{5} + \frac{3}{5}) \cdot \frac{3}{7} - \frac{10}{7}

= 1 \cdot \frac{3}{7} - \frac{10}{7}

= \frac{3}{7} - \frac{10}{7}

= \frac{3 - 10}{7} = \frac{- 7}{7} = - 1

Vậy $A = - 1$ .

2Cách 2. Tính từng tích rồi quy đồng cộng trừ theo thứ tự

Nhân trực tiếp từng cặp phân số trước, sau đó quy đồng mẫu số chung để cộng trừ ba phân số theo đúng thứ tự đề cho.

\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{35}

và

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{35}

A = \frac{6}{35} - \frac{10}{7} + \frac{9}{35} = \frac{6}{35} - \frac{50}{35} + \frac{9}{35}

= \frac{6 - 50 + 9}{35}

= \frac{- 35}{35} = - 1

Tính lần lượt cũng cho $A = - 1$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Gộp một tích với số hạng có mẫu

7

trước, để lại tích còn lại

Đưa số hạng thứ hai $\frac{10}{7}$ và một trong hai tích về cùng mẫu $7$ trước, tách phần còn lại tính sau.

Viết

A = (\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{7} - \frac{10}{7}) + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7}

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{35}

, còn

\frac{10}{7} = \frac{50}{35}

, nên

\frac{9}{35} - \frac{50}{35} = \frac{- 41}{35}

A = \frac{- 41}{35} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{- 41}{35} + \frac{6}{35}

= \frac{- 41 + 6}{35} = \frac{- 35}{35} = - 1

Nhóm theo cách khác vẫn ra cùng kết quả $A = - 1$ , xác nhận đáp số đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nhóm được thừa số chung

\frac{3}{7}

ngay từ đầu giúp bài toán chỉ còn vài dòng, đúng tinh thần tính một cách hợp lí mà đề yêu cầu.

Đáp số.

A = - 1

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhân hết ba số hạng rồi quy đồng mẫu

35

nhưng cộng nhầm dấu, viết

\frac{6}{35} - \frac{50}{35} + \frac{9}{35} = \frac{6 - 50 - 9}{35}

, dẫn tới kết quả sai

\frac{- 53}{35}

thay vì đáp số đúng

- 1

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi biểu thức dạng

\frac{a}{b} \cdot \frac{p}{q} + \frac{c}{b} \cdot \frac{p}{q}

đều nhóm được thành

(\frac{a}{b} + \frac{c}{b}) \cdot \frac{p}{q}

; chẳng hạn

\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9} = 1 \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{9}

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.50★★Trang 22— Toán tìm cả khi biết giá trị một phân số của nó

\frac{2}{3}

quả dưa hấu nặng

2 \frac{1}{2}

kg. Hỏi quả dưa hấu đó nặng bao nhiêu ki-lô-gam?

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm một số khi biết giá trị $\frac{a}{b}$ của nó, ta lấy giá trị đó chia cho $\frac{a}{b}$ .
Đổi hỗn số ra phân số trước khi tính: $2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho biết một phân số

\frac{2}{3}

của quả dưa ứng với một khối lượng cụ thể là

2 \frac{1}{2}

kg, đây là dấu hiệu của dạng toán tìm cả khi biết giá trị một phần. Việc đầu tiên phải làm là đổi hỗn số

2 \frac{1}{2}

về phân số

\frac{5}{2}

để tính toán thuận tiện. Sau đó chỉ cần lấy khối lượng đã biết chia cho phân số

\frac{2}{3}

để ra khối lượng cả quả dưa.

1Cách 1. Lấy giá trị đã biết chia cho phân số tương ứng

Đổi hỗn số ra phân số, sau đó áp dụng quy tắc: biết $\frac{2}{3}$ quả dưa nặng $\frac{5}{2}$ kg thì cả quả dưa nặng $\frac{5}{2} : \frac{2}{3}$ kg.

2 \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}

kg.

Khối lượng cả quả dưa:

\frac{5}{2} : \frac{2}{3} = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2}

= \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{15}{4}

= 3 \frac{3}{4}

kg.

Vậy quả dưa hấu nặng $\frac{15}{4}$ kg, tức $3 \frac{3}{4}$ kg.

2Cách 2. Tìm khối lượng

\frac{1}{3}

quả dưa rồi nhân lên cả quả

Từ $\frac{2}{3}$ quả dưa nặng $\frac{5}{2}$ kg, suy ra $\frac{1}{3}$ quả dưa nặng bằng một nửa số đó, rồi nhân ba để ra cả quả.

\frac{1}{3}

quả dưa nặng:

\frac{5}{2} : 2 = \frac{5}{4}

kg.

Cả quả dưa gồm

3

phần

\frac{1}{3}

như vậy, nặng:

\frac{5}{4} \cdot 3

= \frac{15}{4}

= 3 \frac{3}{4}

kg.

Tính qua từng phần ba cũng cho quả dưa nặng $\frac{15}{4}$ kg.

3Cách 3. Lập phương trình với ẩn là khối lượng cả quả dưa

Gọi $x$ (kg) là khối lượng cả quả dưa hấu, khi đó $\frac{2}{3}$ khối lượng đó bằng $\frac{5}{2}$ kg.

\frac{2}{3} \cdot x = \frac{5}{2}

x = \frac{5}{2} : \frac{2}{3} = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2}

x = \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4}

Giải theo phương trình cũng ra $x = \frac{15}{4}$ kg, tức quả dưa nặng $3 \frac{3}{4}$ kg.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì áp dụng thẳng công thức chia cho phân số đã biết chỉ mất hai bước, nhanh hơn tính từng phần như Cách 2.

Đáp số. Quả dưa hấu nặng

\frac{15}{4}

= 3 \frac{3}{4}

kg.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn lấy

\frac{5}{2}

nhân với

\frac{2}{3}

thay vì chia, cho kết quả sai

\frac{5}{3}

kg; phải nhớ tìm cả khi biết một phần thì lấy phần đã biết chia cho phân số tương ứng, chứ không nhân.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu biết

\frac{a}{b}

của một đại lượng bằng

m

thì đại lượng đó bằng

m : \frac{a}{b}

; chẳng hạn biết

\frac{3}{4}

số học sinh một lớp là

30

bạn thì cả lớp có

30 : \frac{3}{4} = 40

bạn.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 6.51★★Trang 22— Tính giá trị biểu thức chứa chữ bằng cách nhóm hệ số của cùng một biến

Tính giá trị của biểu thức

B = \frac{2}{5} \cdot a - \frac{3}{4} \cdot a + b : 2

với

a = \frac{10}{7}

và

b = \frac{5}{2}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất phân phối: $\frac{2}{5} a - \frac{3}{4} a = (\frac{2}{5} - \frac{3}{4}) a$ .
Chia phân số cho $2$ tức là nhân với $\frac{1}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có hai số hạng cùng chứa biến

a

nên dấu hiệu là nên nhóm hệ số của

a

lại trước khi thay số, tránh tính riêng từng tích rồi trừ phân số khác mẫu hai lần. Số hạng còn lại

b : 2

độc lập với

a

nên tính riêng rồi cộng vào sau cùng. Cách nhóm này giúp chỉ phải quy đồng mẫu số một lần thay vì nhiều lần.

1Cách 1. Nhóm hệ số của

a

bằng tính chất phân phối trước khi thay số

Đặt $a$ làm thừa số chung ở hai số hạng đầu, rút gọn hệ số rồi mới thay giá trị của $a, b$ .

B = (\frac{2}{5} - \frac{3}{4}) a + \frac{b}{2} = (\frac{8}{20} - \frac{15}{20}) a + \frac{b}{2}

= \frac{- 7}{20} a + \frac{b}{2}

Thay

a = \frac{10}{7}

\frac{- 7}{20} \cdot \frac{10}{7} = \frac{- 7 \cdot 10}{20 \cdot 7} = \frac{- 1}{2}

Thay

b = \frac{5}{2}

\frac{b}{2} = \frac{5}{4}

, nên

B = \frac{- 1}{2} + \frac{5}{4} = \frac{- 2}{4} + \frac{5}{4} = \frac{3}{4}

Vậy $B = \frac{3}{4}$ .

2Cách 2. Thay số trực tiếp vào từng số hạng rồi quy đồng cộng trừ

Thay ngay $a = \frac{10}{7}$ , $b = \frac{5}{2}$ vào từng số hạng của $B$ rồi quy đồng mẫu chung để cộng trừ.

\frac{2}{5} \cdot \frac{10}{7} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}

và

\frac{3}{4} \cdot \frac{10}{7} = \frac{30}{28} = \frac{15}{14}

B = \frac{4}{7} - \frac{15}{14} + \frac{5}{2} : 2 = \frac{8}{14} - \frac{15}{14} + \frac{5}{4}

= \frac{- 7}{14} + \frac{5}{4} = \frac{- 1}{2} + \frac{5}{4}

= \frac{- 2}{4} + \frac{5}{4} = \frac{3}{4}

Thay số trực tiếp cũng cho $B = \frac{3}{4}$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Tính riêng từng cụm rồi cộng kết quả cuối cùng

Tách $B$ thành hai cụm độc lập: cụm chứa $a$ và cụm chứa $b$ , tính xong mỗi cụm mới cộng lại.

Cụm chứa

a

\frac{2}{5} a - \frac{3}{4} a

với

a = \frac{10}{7}

; tính

\frac{2}{5} \cdot \frac{10}{7} - \frac{3}{4} \cdot \frac{10}{7} = \frac{4}{7} - \frac{15}{14} = \frac{- 1}{2}

Cụm chứa

b

b : 2 = \frac{5}{2} : 2 = \frac{5}{4}

Cộng hai kết quả:

B = \frac{- 1}{2} + \frac{5}{4}

= \frac{3}{4}

Tính tách cụm cũng cho cùng kết quả $B = \frac{3}{4}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nhóm hệ số của

a

trước giúp chỉ quy đồng một lần duy nhất, ít bước tính hơn hẳn so với thay số trực tiếp ở Cách 2.

Đáp số.

B = \frac{3}{4}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quy đồng nhầm khi trừ

\frac{2}{5} - \frac{3}{4}

, viết mẫu chung là

9

(cộng

5

với

4

) thay vì

20

(nhân

5

với

4

), dẫn đến hệ số của

a

bị sai ngay từ đầu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với biểu thức

m x + n x

luôn có thể viết gọn thành

(m + n) x

trước khi thay số, giúp giảm số lần quy đồng; chẳng hạn

\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} x = \frac{5}{6} x

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 6.52★★★Trang 22— Toán tìm cả khi biết một phần và phần còn lại theo nhiều bước

Bạn Hà đọc một cuốn sách trong ba ngày. Ngày thứ nhất, Hà đọc được

\frac{1}{4}

số trang sách. Ngày thứ hai, Hà đọc

\frac{2}{5}

số trang còn lại. Ngày thứ ba, Hà đọc nốt

90

trang. Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang?

Kiến thức cần nhớ

Coi cả cuốn sách là $1$ đơn vị, tính phân số ứng với mỗi ngày rồi trừ dần để tìm phân số ứng với ngày cuối.
Muốn tìm cả khi biết giá trị một phân số của nó, lấy giá trị đó chia cho phân số tương ứng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chia cuốn sách thành ba phần đọc trong ba ngày, trong đó ngày thứ hai lại tính theo phần còn lại chứ không phải theo cả cuốn, đây là dấu hiệu phải quy mọi phân số về cùng một đơn vị là cả cuốn sách. Sau khi đổi phân số ngày thứ hai về đơn vị cả cuốn, cộng dồn hai ngày đầu rồi lấy

1

trừ đi sẽ ra đúng phân số ứng với

90

trang ngày thứ ba. Từ đó áp dụng quy tắc tìm cả khi biết giá trị một phân số để ra tổng số trang.

1Cách 1. Quy các ngày về phân số của cả cuốn sách rồi trừ dần

Coi cả cuốn sách là $1$ , đổi phân số ngày thứ hai về đơn vị cả cuốn, cộng dồn hai ngày đầu để tìm phân số còn lại của ngày thứ ba.

Ngày thứ hai đọc

\frac{2}{5}

của phần còn lại sau ngày thứ nhất là

1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

cuốn, nên đọc được

\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10}

cuốn.

Hai ngày đầu đọc tổng cộng:

\frac{1}{4} + \frac{3}{10} = \frac{5}{20} + \frac{6}{20} = \frac{11}{20}

cuốn.

Ngày thứ ba đọc nốt:

1 - \frac{11}{20} = \frac{9}{20}

cuốn, ứng với

90

trang.

Số trang cả cuốn:

90 : \frac{9}{20} = 90 \cdot \frac{20}{9} = 200

trang.

Vậy cuốn sách có $200$ trang.

2Cách 2. Tính trực tiếp phần còn lại sau ngày thứ hai bằng tích các phần chưa đọc

Sau ngày thứ nhất còn $\frac{3}{4}$ cuốn; ngày thứ hai đọc $\frac{2}{5}$ của phần đó nên phần chưa đọc còn lại bằng $\frac{3}{5}$ của $\frac{3}{4}$ cuốn.

Phần còn lại sau ngày thứ hai:

\frac{3}{4} \cdot (1 - \frac{2}{5}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{20}

cuốn.

Phần này ứng đúng với

90

trang đọc ngày thứ ba, vì ngày thứ ba đọc nốt phần còn lại.

Số trang cả cuốn:

90 : \frac{9}{20} = 200

trang.

Tính theo phần còn lại liên tiếp cũng cho cuốn sách có $200$ trang.

3Cách 3. Đặt tổng số trang là

x

rồi lập biểu thức theo

x

Gọi $x$ là tổng số trang cuốn sách, biểu diễn số trang đọc mỗi ngày theo $x$ rồi cho tổng ba ngày bằng $x$ .

Ngày thứ nhất đọc

\frac{1}{4} x

trang; sau đó còn

\frac{3}{4} x

trang.

Ngày thứ hai đọc

\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} x = \frac{3}{10} x

trang.

Ngày thứ ba đọc nốt:

x - \frac{1}{4} x - \frac{3}{10} x = \frac{9}{20} x = 90

x = 90 : \frac{9}{20} = 200

Giải theo ẩn $x$ cũng cho cuốn sách có $200$ trang.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đi tuần tự đúng theo diễn biến ba ngày trong đề, dễ trình bày và dễ đối chiếu với dữ kiện

90

trang.

Đáp số. Cuốn sách có

200

trang.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tính

\frac{2}{5}

số trang còn lại nhưng lại lấy

\frac{2}{5}

của cả cuốn sách thay vì của phần còn lại sau ngày thứ nhất, dẫn đến sai ngay từ bước tính ngày thứ hai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, dạng toán đọc hoặc làm dần theo phần còn lại luôn nên coi đại lượng ban đầu là

1

đơn vị, quy mỗi bước về phân số của đơn vị đó rồi mới cộng trừ; đây là kĩ thuật dùng lại được cho các bài toán chia bánh, chia tiền nhiều đợt.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 6.53★★★Trang 22— Tính tích nhiều phân số bằng cách rút gọn kiểu domino

Tính giá trị của biểu thức

A = \frac{2 ^{2}}{1 \cdot 3} \cdot \frac{3 ^{2}}{2 \cdot 4} \cdot \frac{4 ^{2}}{3 \cdot 5} \cdot \frac{5 ^{2}}{4 \cdot 6}

Kiến thức cần nhớ

Viết $n^{2} = n \cdot n$ để tách mỗi phân số $\frac{n ^{2}}{( n - 1 ) ( n + 1 )}$ thành hai thừa số $\frac{n}{n - 1}$ và $\frac{n}{n + 1}$ .
Trong tích nhiều phân số, thừa số ở tử của phân số này có thể giống thừa số ở mẫu của phân số khác nên rút gọn được cho nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức là tích bốn phân số có dạng

\frac{n ^{2}}{( n - 1 ) ( n + 1 )}

với

n = 2, 3, 4, 5

, dấu hiệu đặc trưng là mỗi tử số đều bằng bình phương của số nằm giữa hai thừa số mẫu. Tách mỗi phân số thành

\frac{n}{n - 1} \cdot \frac{n}{n + 1}

sẽ thấy các thừa số giữa chừng lần lượt triệt tiêu với thừa số của phân số liền trước, liền sau. Nhờ vậy chỉ còn thừa số đầu và thừa số cuối là không bị rút gọn hết.

1Cách 1. Tách mỗi phân số thành hai thừa số rồi rút gọn domino

Viết $\frac{n ^{2}}{( n - 1 ) ( n + 1 )} = \frac{n}{n - 1} \cdot \frac{n}{n + 1}$ cho từng phân số rồi nhóm các thừa số liên tiếp để rút gọn.

A = (\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}) \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}) \cdot (\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{6})

= \frac{2}{1} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}) \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}) \cdot (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}) \cdot \frac{5}{6}

= \frac{2}{1} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{6}

= \frac{2}{1} \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}

Vậy $A = \frac{5}{3}$ .

2Cách 2. Nhân trực tiếp tử với tử, mẫu với mẫu rồi rút gọn

Nhân toàn bộ tử số với nhau, toàn bộ mẫu số với nhau, sau đó rút gọn phân số lớn thu được.

Tử số:

2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 4^{2} \cdot 5^{2} = (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5)^{2} = 12 0^{2} = 14400

Mẫu số:

(1 \cdot 3) (2 \cdot 4) (3 \cdot 5) (4 \cdot 6) = 3 \cdot 8 \cdot 15 \cdot 24 = 8640

A = \frac{14400}{8640}

= \frac{5}{3}

(chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất là

2880

)

Nhân trực tiếp rồi rút gọn cũng cho $A = \frac{5}{3}$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Tính tích dần từng phân số một theo thứ tự

Nhân lần lượt từ phân số đầu tiên, rút gọn ngay sau mỗi bước nhân để giữ số nhỏ, dễ tính.

\frac{4}{1 \cdot 3} \cdot \frac{9}{2 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}

\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{3 \cdot 5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{15} = \frac{48}{30} = \frac{8}{5}

\frac{8}{5} \cdot \frac{25}{4 \cdot 6} = \frac{8}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{200}{120} = \frac{5}{3}

Nhân tuần tự từng bước cũng cho kết quả cuối cùng $A = \frac{5}{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì tách domino cho thấy ngay các thừa số triệt tiêu theo cặp, chỉ còn lại thừa số đầu và cuối, nhanh hơn hẳn nhân số lớn như Cách 2.

Đáp số.

A = \frac{5}{3}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên bình phương ở tử số, chỉ viết

\frac{n}{( n - 1 ) ( n + 1 )}

thay vì

\frac{n ^{2}}{( n - 1 ) ( n + 1 )}

nên khi tách thừa số bị thiếu mất một lần

n

, dẫn đến rút gọn sai và ra kết quả khác

\frac{5}{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, tích

\frac{2 ^{2}}{1 \cdot 3} \cdot \frac{3 ^{2}}{2 \cdot 4} \dots \frac{k ^{2}}{( k - 1 ) ( k + 1 )} = \frac{2}{1} \cdot \frac{k}{k + 1} = \frac{2 k}{k + 1}

; với

k = 5

cho đúng

\frac{2 \cdot 5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 6.54★Trang 22— Toán tìm cả khi biết giá trị một phân số của nó (đơn vị tiền)

Nhân dịp Tết Trung thu, Hải xin phép mẹ mua một món đồ chơi hết

50000

đồng. Số tiền này bằng

\frac{2}{5}

số tiền Hải đã tiết kiệm được. Hỏi Hải đã tiết kiệm được bao nhiêu tiền?

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm một số khi biết giá trị $\frac{a}{b}$ của nó, lấy giá trị đó chia cho $\frac{a}{b}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho biết

50000

đồng ứng đúng với

\frac{2}{5}

số tiền tiết kiệm, đây là dấu hiệu quen thuộc của dạng toán tìm cả khi biết giá trị một phần. Chỉ cần lấy số tiền đã biết chia cho phân số

\frac{2}{5}

là ra ngay số tiền tiết kiệm ban đầu. Đây là bài toán một bước, không cần biến đổi phức tạp.

1Cách 1. Lấy số tiền đã biết chia cho phân số tương ứng

Áp dụng trực tiếp quy tắc: biết $\frac{2}{5}$ số tiền tiết kiệm là $50000$ đồng thì số tiền tiết kiệm là $50000 : \frac{2}{5}$ .

Số tiền tiết kiệm:

50000 : \frac{2}{5} = 50000 \cdot \frac{5}{2}

= \frac{50 000 \cdot 5}{2}

= \frac{250 000}{2} = 125000

Vậy Hải đã tiết kiệm được $125000$ đồng.

2Cách 2. Tìm giá trị

\frac{1}{5}

rồi nhân lên cả số tiền

Từ $\frac{2}{5}$ số tiền bằng $50000$ đồng, suy ra $\frac{1}{5}$ số tiền bằng một nửa số đó, rồi nhân $5$ để ra cả số tiền tiết kiệm.

\frac{1}{5}

số tiền:

50000 : 2 = 25000

đồng.

Cả số tiền tiết kiệm gồm

5

phần

\frac{1}{5}

như vậy:

25000 \cdot 5

= 125000

đồng

Tính qua từng phần năm cũng cho số tiền tiết kiệm là $125000$ đồng.

3Cách 3. Lập phương trình với ẩn là số tiền tiết kiệm

Gọi $x$ (đồng) là số tiền Hải đã tiết kiệm, theo đề $\frac{2}{5} x = 50000$ .

\frac{2}{5} x = 50000

x = 50000 : \frac{2}{5} = 50000 \cdot \frac{5}{2}

x = 125000

Giải theo phương trình cũng cho $x = 125000$ đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đây là bài một bước, áp dụng thẳng công thức chia cho phân số là nhanh và chắc chắn nhất.

Đáp số. Hải đã tiết kiệm được

125000

đồng.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn lấy

50000

nhân với

\frac{2}{5}

thay vì chia, ra kết quả sai

20000

đồng; cần nhớ tìm cả khi biết một phần phải chia giá trị đã biết cho phân số tương ứng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu biết

\frac{a}{b}

của một số tiền hoặc đại lượng bằng

m

thì đại lượng đó bằng

m : \frac{a}{b}

; chẳng hạn biết

\frac{3}{8}

số tiền là

90000

đồng thì tổng số tiền là

90000 : \frac{3}{8} = 240000

đồng.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 6.55★★★Trang 22— Toán vòi nước: tính năng suất chung rồi tách năng suất riêng từng vòi

Cả ba vòi nước cùng chảy vào một bể cạn. Nếu hai vòi I và II cùng chảy thì sau

60

phút đầy bể. Nếu hai vòi II và III cùng chảy thì sau

75

phút đầy bể. Nếu hai vòi III và I cùng chảy thì sau

50

phút đầy bể. a) Nếu cả ba vòi cùng chảy thì sau bao lâu đầy bể? b) Nếu mỗi vòi chảy riêng một mình thì sau bao lâu đầy bể?

Kiến thức cần nhớ

Coi bể là $1$ đơn vị công việc, năng suất mỗi vòi (phần bể chảy được trong $1$ phút) bằng $1$ chia cho thời gian chảy một mình.
Cộng năng suất các vòi chảy cùng lúc để được năng suất chung; lấy năng suất tổng ba vòi trừ năng suất hai vòi để ra năng suất vòi còn lại.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba thời gian ứng với từng cặp vòi chảy chung, dấu hiệu là phải cộng năng suất theo cặp trước rồi mới tách ra năng suất từng vòi riêng lẻ. Cộng cả ba cặp lại thì mỗi vòi được tính đúng hai lần, nên tổng ba năng suất cặp chia đôi sẽ ra năng suất của cả ba vòi cùng chảy. Từ năng suất chung đó, lấy trừ đi năng suất từng cặp còn lại sẽ tách được năng suất của vòi tương ứng.

1Cách 1. Cộng ba năng suất cặp rồi chia đôi để ra năng suất chung

Đổi mỗi thời gian thành năng suất (phần bể trong $1$ phút), cộng ba năng suất cặp lại thì mỗi vòi xuất hiện đúng hai lần nên chia đôi sẽ ra năng suất cả ba vòi.

Năng suất từng cặp: vòi I và II là

\frac{1}{60}

; vòi II và III là

\frac{1}{75}

; vòi III và I là

\frac{1}{50}

(bể/phút).

Tổng ba năng suất cặp:

\frac{1}{60} + \frac{1}{75} + \frac{1}{50} = \frac{5}{300} + \frac{4}{300} + \frac{6}{300} = \frac{15}{300} = \frac{1}{20}

Năng suất cả ba vòi cùng chảy:

\frac{1}{20} : 2 = \frac{1}{40}

bể/phút, nên đầy bể sau

40

phút.

Năng suất vòi III:

\frac{1}{40} - \frac{1}{60} = \frac{3}{120} - \frac{2}{120} = \frac{1}{120}

, nên vòi III một mình chảy đầy bể sau

120

phút.

Vậy cả ba vòi cùng chảy đầy bể sau $40$ phút, riêng vòi III chảy một mình mất $120$ phút.

2Cách 2. Tách tiếp năng suất vòi I và vòi II từ năng suất chung

Dùng lại năng suất chung $\frac{1}{40}$ vừa tìm được ở Cách 1, trừ tiếp cho từng cặp còn lại để tách năng suất vòi I và vòi II.

Năng suất vòi I:

\frac{1}{40} - \frac{1}{75}

(lấy năng suất chung trừ năng suất cặp II và III).

\frac{1}{40} - \frac{1}{75} = \frac{15}{600} - \frac{8}{600} = \frac{7}{600}

, nên vòi I một mình chảy đầy bể sau

\frac{600}{7}

phút.

Năng suất vòi II:

\frac{1}{40} - \frac{1}{50} = \frac{5}{200} - \frac{4}{200} = \frac{1}{200}

, nên vòi II một mình chảy đầy bể sau

200

phút.

Vậy vòi I chảy một mình mất $\frac{600}{7}$ phút (khoảng $85, 7$ phút), vòi II một mình mất $200$ phút, vòi III một mình mất $120$ phút.

3Cách 3. Lập hệ ba ẩn là năng suất từng vòi rồi cộng đại số

Gọi $x, y, z$ lần lượt là năng suất (bể/phút) của vòi I, II, III; lập hệ ba phương trình theo đề rồi cộng cả ba vế để tìm $x + y + z$ .

Hệ:

x + y = \frac{1}{60}

;

y + z = \frac{1}{75}

;

z + x = \frac{1}{50}

Cộng ba phương trình:

2 (x + y + z) = \frac{1}{60} + \frac{1}{75} + \frac{1}{50} = \frac{1}{20}

, suy ra

x + y + z = \frac{1}{40}

z = (x + y + z) - (x + y) = \frac{1}{40} - \frac{1}{60} = \frac{1}{120}

; tương tự

x = \frac{1}{40} - \frac{1}{75} = \frac{7}{600}

và

y = \frac{1}{40} - \frac{1}{50} = \frac{1}{200}

Giải hệ ba ẩn cũng cho đúng ba năng suất, dẫn tới thời gian chảy riêng: vòi I $\frac{600}{7}$ phút, vòi II $200$ phút, vòi III $120$ phút.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì tìm năng suất chung trước rồi tách dần từng vòi là hướng đi tự nhiên nhất, dễ trình bày và kiểm tra chéo bằng Cách 2.

Đáp số. a) Cả ba vòi cùng chảy đầy bể sau

40

phút. b) Vòi I chảy một mình đầy bể sau

\frac{600}{7}

phút (khoảng

85, 7

phút), vòi II sau

200

phút, vòi III sau

120

phút.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên chia đôi sau khi cộng ba năng suất cặp, nhầm tưởng

\frac{1}{60} + \frac{1}{75} + \frac{1}{50} = \frac{1}{20}

chính là năng suất của cả ba vòi, dẫn đến kết luận sai là ba vòi cùng chảy đầy bể sau

20

phút thay vì

40

phút.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi biết năng suất của từng cặp trong ba đối tượng làm chung, luôn cộng ba năng suất cặp rồi chia đôi để ra năng suất của cả ba, sau đó trừ lần lượt cho từng cặp để tách năng suất từng đối tượng; kĩ thuật này dùng được cho cả bài toán ba người làm chung một công việc.

Nguồn: SBT Toán 6 KNTT tập 2

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-6-ket-noi/on-tap-chuong-6.jsp · https://loigiaihay.com/on-tap-chuong-6-trang-21-sbt-toan-6-ket-noi-tri-thuc-a136267.html