Chương VIII. Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản

Bài 26. Xác suất của biến cố liên quan tới phép thử

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 8.6★Trang 46— Tính xác suất của biến cố liên quan tới phép thử gieo đồng thời một xúc xắc và một đồng xu

Bài 8.6 (trang 46). Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu. Tính xác suất của các biến cố sau: a)

E

: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lẻ”; b)

F

: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chẵn và đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử gồm hai hành động đồng thời là tích của hai tập kết quả, $n (Ω) = 6 \times 2 = 12$ .
Biến cố chỉ ràng buộc một thành phần thì đếm bằng quy tắc nhân với thành phần còn lại tự do.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai hành động độc lập xảy ra đồng thời — dấu hiệu không gian mẫu là tích

6 \times 2 = 12

kết quả. Biến cố

E

chỉ ràng buộc xúc xắc nên đồng xu tự do, còn

F

ràng buộc ĐỒNG THỜI cả xúc xắc lẫn đồng xu. Bẫy của đề là quên nhân thêm số khả năng của thành phần "tự do" khi đếm

E

, dẫn tới đếm thiếu một nửa kết quả thuận lợi.

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp

Định hướng. Kí hiệu mặt sấp là $S$ , mặt ngửa là $N$ ; liệt kê đủ 12 kết quả (mặt, số chấm) rồi lọc theo từng biến cố.

Không gian mẫu

Ω = {S 1; S 2; S 3; S 4; S 5; S 6; N 1; N 2; N 3; N 4; N 5; N 6}

n (Ω) = 12

.
Kết quả thuận lợi cho

E

(số chấm lẻ) là

S 1; S 3; S 5; N 1; N 3; N 5

n (E) = 6

.
Kết quả thuận lợi cho

F

(số chấm chẵn và mặt ngửa) là

N 2; N 4; N 6

n (F) = 3

Vậy $P (E) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ ; $P (F) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ .

2Cách 2. Quy tắc nhân theo từng điều kiện

Định hướng. Đếm $n (E)$ , $n (F)$ trực tiếp bằng quy tắc nhân, không cần liệt kê hết 12 kết quả.

E

chỉ ràng buộc số chấm (lẻ: 1,3,5 có 3 khả năng), mặt đồng xu tự do (2 khả năng):

n (E) = 3 \times 2 = 6

F

ràng buộc cả hai: số chấm chẵn (2,4,6 có 3 khả năng) và mặt ngửa (1 khả năng):

n (F) = 3 \times 1 = 3

Vậy $P (E) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ ; $P (F) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ .

3Cách 3. Đếm phần bù cho E

Định hướng. Biến cố đối của $E$ (số chấm lẻ) là "số chấm chẵn" — cùng số kết quả do xúc xắc có đúng 3 mặt lẻ và 3 mặt chẵn, nên phần bù cũng cho ngay đáp số.

Biến cố đối

\overline{E}

: "số chấm xuất hiện là số chẵn", có

n (\overline{E}) = 3 \times 2 = 6

(giống cách đếm của

E

vì xúc xắc có đúng 3 mặt lẻ, 3 mặt chẵn).

P (\overline{E}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

, suy ra

P (E) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

.
Với

F

: trong 6 kết quả "số chấm chẵn" vừa đếm, chỉ một nửa có mặt ngửa:

n (F) = 6 \times \frac{1}{2} = 3

Vậy $P (E) = \frac{1}{2}$ ; $P (F) = \frac{1}{4}$ .

Nhận xét. $E$ có xác suất đúng $\frac{1}{2}$ vì xúc xắc chia đều 3 mặt lẻ và 3 mặt chẵn — một dấu hiệu nên nhận ra ngay để kiểm tra nhanh kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đếm thẳng bằng quy tắc nhân theo từng điều kiện, không cần liệt kê hết 12 kết quả.

Đáp số.

P (E) = \frac{1}{2}

;

P (F) = \frac{1}{4}

Sai lầm thường gặp. Quên nhân với 2 khả năng của đồng xu khi đếm

n (E)

, chỉ đếm

n (E) = 3

(bằng đúng số mặt lẻ của xúc xắc) rồi tính sai

P (E) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

— phải nhớ đồng xu vẫn tự do quay hai mặt cho mỗi số chấm.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

F

thành "số chấm chẵn và đồng xu bất kì mặt nào" thì

n (F) = 3 \times 2 = 6

P (F) = \frac{1}{2}

— gấp đôi so với khi ràng buộc thêm điều kiện "mặt ngửa".

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 8.7★★Trang 46— Tính xác suất của biến cố về tổng số chấm khi gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp

Bài 8.7 (trang 46). Gieo một con xúc xắc liên tiếp hai lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc trong hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 8.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử gieo hai lần liên tiếp là tập mọi cặp có thứ tự $(i, j)$ , $n (Ω) = 36$ .
Với tổng $s$ cố định ( $8 \leq s \leq 12$ ), số cặp $(i, j)$ với $i, j \in {1, \dots, 6}$ và $i + j = s$ là $13 - s$ khi $s \geq 7$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai lần gieo liên tiếp cùng một xúc xắc — không gian mẫu là tích

6 \times 6 = 36

cặp có thứ tự

(i, j)

. Vì điều kiện "tổng

\geq 8

" chỉ đúng với tổng lớn, số kết quả thuận lợi ít hơn một nửa Ω nên đếm trực tiếp theo từng giá trị tổng là hướng gọn nhất. Bẫy của đề là quên rằng

(i, j)

và

(j, i)

là hai kết quả khác nhau (trừ khi

i = j

), dễ đếm thiếu khi chỉ liệt kê các cặp không phân biệt thứ tự.

1Cách 1. Liệt kê theo từng giá trị tổng

Định hướng. Xét lần lượt tổng $s = 8, 9, 10, 11, 12$ và liệt kê các cặp $(i, j)$ tương ứng.

Không gian mẫu

Ω = {(1, 1); (1, 2); \dots; (6, 6)}

n (Ω) = 36

.
Tổng

= 8

(2, 6); (3, 5); (4, 4); (5, 3); (6, 2)

— 5 cặp.
Tổng

= 9

(3, 6); (4, 5); (5, 4); (6, 3)

— 4 cặp.
Tổng

= 10

(4, 6); (5, 5); (6, 4)

— 3 cặp.
Tổng

= 11

(5, 6); (6, 5)

— 2 cặp.
Tổng

= 12

(6, 6)

— 1 cặp.
Số kết quả thuận lợi:

n (A) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

Vậy $P (A) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ .

2Cách 2. Đếm phần bù (tổng nhỏ hơn hoặc bằng 7)

Định hướng. Biến cố đối là "tổng nhỏ hơn hoặc bằng 7" — với tổng nhỏ, số cặp nhiều hơn nhưng vẫn dễ liệt kê theo cùng quy luật.

Biến cố đối

\overline{A}

: "tổng hai lần gieo nhỏ hơn hoặc bằng 7".
Tổng

= 2

: 1 cặp. Tổng

= 3

: 2 cặp. Tổng

= 4

: 3 cặp. Tổng

= 5

: 4 cặp. Tổng

= 6

: 5 cặp. Tổng

= 7

: 6 cặp.

n (\overline{A}) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

P (\overline{A}) = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}

P (A) = 1 - P (\overline{A}) = 1 - \frac{7}{12}

Vậy $P (A) = \frac{5}{12}$ .

3Cách 3. Công thức số cặp theo tổng

Định hướng. Với $s \geq 7$ , số cặp $(i, j) \in {1, \dots, 6}^{2}$ có $i + j = s$ bằng $13 - s$ (vì $i$ chạy từ $s - 6$ đến $6$ ); áp trực tiếp công thức này cho $s = 8, \dots, 12$ mà không cần liệt kê từng cặp.

Với

s = 8

: số cặp

= 13 - 8 = 5

.
Với

s = 9

: số cặp

= 13 - 9 = 4

.
Với

s = 10

: số cặp

= 13 - 10 = 3

.
Với

s = 11

: số cặp

= 13 - 11 = 2

.
Với

s = 12

: số cặp

= 13 - 12 = 1

n (A) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

(tổng cấp số cộng công sai

- 1

, số hạng đầu

5

, số hạng cuối

1

Vậy $P (A) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ .

Nhận xét. Công thức $13 - s$ cho phép tính nhanh số cặp ứng với BẤT KÌ tổng nào từ $7$ đến $12$ mà không cần liệt kê.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đếm phần bù "tổng nhỏ hơn hoặc bằng 7" theo quy luật cấp số cộng

1, 2, 3, 4, 5, 6

, rồi lấy

1

trừ đi — không phải xét 5 giá trị tổng riêng lẻ.

Đáp số.

P (A) = \frac{5}{12}

Sai lầm thường gặp. Chỉ liệt kê các cặp KHÔNG phân biệt thứ tự (ví dụ chỉ ghi

(2, 6)

mà quên

(6, 2)

) khiến đếm thiếu một nửa số kết quả thuận lợi, dẫn tới

P (A)

tính ra chỉ bằng một nửa giá trị đúng.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi điều kiện thành "tổng lớn hơn hoặc bằng 10" thì theo công thức

13 - s

n = (13 - 10) + (13 - 11) + (13 - 12) = 3 + 2 + 1 = 6

P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 8.8★★Trang 46— Tính xác suất của biến cố liên quan tới phép thử gieo xúc xắc và rút thẻ đồng thời

Bài 8.8 (trang 46). Bạn Hạnh gieo một con xúc xắc và bạn Hằng rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ một hộp chứa 4 tấm thẻ ghi các chữ A, B, C, D. Tính xác suất của các biến cố sau: a)

E

: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 6”; b)

F

: “Rút được tấm thẻ ghi chữ A hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử gồm hai hành động đồng thời là tích của hai tập kết quả, $n (Ω) = 4 \times 6 = 24$ .
Công thức cộng cho hợp hai biến cố: $n (X \cup Y) = n (X) + n (Y) - n (X \cap Y)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai hành động độc lập đồng thời — không gian mẫu là tích

4 \times 6 = 24

kết quả (thẻ, số chấm). Biến cố

E

chỉ ràng buộc xúc xắc nên thẻ tự do, còn

F

là phép HỢP của hai điều kiện thuộc hai thành phần khác nhau nên phải dùng công thức cộng để không đếm trùng kết quả (A, 5). Bẫy của đề chính là kết quả (thẻ A, 5 chấm) thoả cả hai vế của

F

nhưng chỉ được tính một lần.

1Cách 1. Liệt kê Ω rút gọn rồi đếm trực tiếp

Định hướng. Không gian mẫu có 24 phần tử nên ghi đại diện rồi liệt kê đúng các kết quả thuận lợi của từng biến cố.

Không gian mẫu

Ω = {(A, 1); (A, 2); \dots; (D, 5); (D, 6)}

n (Ω) = 24

.
Kết quả thuận lợi cho

E

(số chấm là 6):

(A, 6); (B, 6); (C, 6); (D, 6)

n (E) = 4

.
Kết quả thuận lợi cho

F

(thẻ A hoặc số chấm là 5):

(A, 1); (A, 2); (A, 3); (A, 4); (A, 5); (A, 6)

(6 kết quả, thẻ A) cùng

(B, 5); (C, 5); (D, 5)

(3 kết quả, số chấm 5 mà thẻ khác A) —

n (F) = 6 + 3 = 9

Vậy $P (E) = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$ ; $P (F) = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ .

2Cách 2. Quy tắc nhân cho E, công thức cộng cho F

Định hướng. Đếm $n (E)$ trực tiếp bằng quy tắc nhân; đếm $n (F)$ bằng công thức cộng hai biến cố "thẻ A" và "số chấm 5" rồi trừ phần giao.

E

chỉ ràng buộc số chấm (6, có 1 khả năng), thẻ tự do (4 khả năng):

n (E) = 4 \times 1 = 4

.
Gọi

X

: "thẻ A" (

n (X) = 1 \times 6 = 6

Y

: "số chấm là 5" (

n (Y) = 4 \times 1 = 4

).
Giao

X \cap Y

: "thẻ A và số chấm 5" chỉ có 1 kết quả

(A, 5)

n (F) = n (X) + n (Y) - n (X \cap Y) = 6 + 4 - 1 = 9

Vậy $P (E) = \frac{1}{6}$ ; $P (F) = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ .

3Cách 3. Đếm phần bù cho F

Định hướng. Biến cố đối của $F$ là "không rút thẻ A VÀ số chấm khác 5" — phần bù chỉ còn ràng buộc trên 3 thẻ và 5 số chấm, đếm nhanh bằng quy tắc nhân.

\overline{F}

: "thẻ khác A (B, C hoặc D) và số chấm khác 5 (1,2,3,4,6)":

n (\overline{F}) = 3 \times 5 = 15

P (\overline{F}) = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}

P (F) = 1 - P (\overline{F}) = 1 - \frac{5}{8}

.
Với

E

: giữ nguyên cách đếm bằng quy tắc nhân,

n (E) = 4 \times 1 = 4

Vậy $P (F) = \frac{3}{8}$ ; $P (E) = \frac{1}{6}$ .

Nhận xét. Đếm phần bù cho $F$ tránh hẳn việc phải trừ phần giao, vì phần bù của "X hoặc Y" chính là "không X và không Y".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho

F

: lấy phần bù "không thẻ A và không số 5" rồi trừ cho 1 — tránh hẳn bẫy trừ phần giao.

Đáp số.

P (E) = \frac{1}{6}

;

P (F) = \frac{3}{8}

Sai lầm thường gặp. Tính

F

bằng cách cộng trực tiếp

n (X) + n (Y) = 6 + 4 = 10

mà quên trừ phần giao

(A, 5)

— đếm trùng kết quả này hai lần, ra sai

P (F) = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}

🚀 Mở rộng. Nếu hộp có 5 tấm thẻ (thêm chữ E) thì

n (Ω) = 30

; biến cố "thẻ A hoặc số chấm 5" khi đó có

n = 6 + 5 - 1 = 10

, xác suất là

\frac{10}{30} = \frac{1}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 8.9★★Trang 46— Tính xác suất của biến cố liên quan tới phép thử gieo đồng xu và xúc xắc đồng thời

Bài 8.9 (trang 46). Bạn Bình gieo một đồng xu cân đối và bạn Thịnh gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất của các biến cố sau: a)

E

: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc lớn hơn 3”; b)

F

: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc lớn hơn 3”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử gồm hai hành động đồng thời là tích của hai tập kết quả, $n (Ω) = 2 \times 6 = 12$ .
Công thức cộng cho hợp hai biến cố: $n (X \cup Y) = n (X) + n (Y) - n (X \cap Y)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai hành động độc lập đồng thời — không gian mẫu là tích

2 \times 6 = 12

kết quả. Biến cố

E

ràng buộc ĐỒNG THỜI cả hai thành phần (giao), còn

F

là phép HỢP của "mặt ngửa" và "số chấm lớn hơn 3" nên phải trừ phần giao khi đếm. Bẫy của đề là nhầm

E

và

F

vì cùng nhắc tới "số chấm lớn hơn 3", nhưng

E

dùng "và" (giao) còn

F

dùng "hoặc" (hợp) với điều kiện đồng xu khác hẳn nhau (sấp với

E

, ngửa với

F

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp

Định hướng. Kí hiệu mặt sấp là $S$ , mặt ngửa là $N$ ; liệt kê đủ 12 kết quả (mặt, số chấm) rồi lọc theo từng biến cố.

Không gian mẫu

Ω = {(S, 1); (S, 2); \dots; (N, 5); (N, 6)}

n (Ω) = 12

.
Kết quả thuận lợi cho

E

(mặt sấp và số chấm lớn hơn 3) là

(S, 4); (S, 5); (S, 6)

n (E) = 3

.
Kết quả thuận lợi cho

F

(mặt ngửa hoặc số chấm lớn hơn 3) là

(N, 1); (N, 2); (N, 3); (N, 4); (N, 5); (N, 6); (S, 4); (S, 5); (S, 6)

n (F) = 9

Vậy $P (E) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ ; $P (F) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ .

2Cách 2. Quy tắc nhân cho E, công thức cộng cho F

Định hướng. Đếm $n (E)$ trực tiếp bằng quy tắc nhân; đếm $n (F)$ bằng công thức cộng hai biến cố "mặt ngửa" và "số chấm lớn hơn 3" rồi trừ phần giao.

E

ràng buộc cả hai: mặt sấp (1 khả năng) và số chấm lớn hơn 3 (4,5,6 có 3 khả năng):

n (E) = 1 \times 3 = 3

.
Gọi

X

: "mặt ngửa" (

n (X) = 1 \times 6 = 6

Y

: "số chấm lớn hơn 3" (

n (Y) = 2 \times 3 = 6

).
Giao

X \cap Y

: "mặt ngửa và số chấm lớn hơn 3" có

1 \times 3 = 3

kết quả.

n (F) = n (X) + n (Y) - n (X \cap Y) = 6 + 6 - 3 = 9

Vậy $P (E) = \frac{1}{4}$ ; $P (F) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ .

3Cách 3. Đếm phần bù cho F

Định hướng. Biến cố đối của $F$ là "mặt sấp VÀ số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 3" — chính là phần bù của $E$ mở rộng, đếm nhanh bằng quy tắc nhân.

\overline{F}

: "mặt sấp và số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 3":

n (\overline{F}) = 1 \times 3 = 3

(ứng với

(S, 1); (S, 2); (S, 3)

P (\overline{F}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

P (F) = 1 - P (\overline{F}) = 1 - \frac{1}{4}

.
Với

E

: giữ nguyên cách đếm ở Cách 2,

n (E) = 1 \times 3 = 3

Vậy $P (F) = \frac{3}{4}$ ; $P (E) = \frac{1}{4}$ .

Nhận xét. Phần bù của $F$ ("mặt ngửa hoặc chấm lớn hơn 3") chính là "mặt sấp và chấm nhỏ hơn hoặc bằng 3" — ngắn hơn hẳn cộng trừ phần giao.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho

F

: lấy phần bù "mặt sấp và số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 3" rồi trừ cho 1, không cần cộng trừ phần giao.

Đáp số.

P (E) = \frac{1}{4}

;

P (F) = \frac{3}{4}

Sai lầm thường gặp. Nhầm

E

và phần giao của

F

là một nên tính

P (F) = P (X) + P (Y) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

— sai vì quên trừ phần giao

X \cap Y

(mặt ngửa và số chấm lớn hơn 3), dẫn tới xác suất vượt quá 1 mà không nhận ra vô lý.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi điều kiện của

E

thành "số chấm lớn hơn hoặc bằng 3" (thay vì lớn hơn 3) thì

n (E) = 1 \times 4 = 4

P (E) = \frac{1}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 8.10★★★Trang 46— Tính xác suất của biến cố liên quan tới hiệu hai số ghi trên hai viên bi rút từ hai túi khác cỡ

Bài 8.10 (trang 46). Hai túi I và II chứa các viên bi có cùng kích thước. Túi I chứa 4 viên bi được ghi các số 1, 2, 3, 4. Túi II chứa 5 viên bi được ghi các số 1, 2, 3, 4, 5. Bạn Mai lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi I và bạn Tuấn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi II. Tính xác suất của các biến cố sau: a)

A

: “Hai số ghi trên hai viên bi khác nhau”; b)

B

: “Hai số ghi trên hai viên bi chênh nhau 1 đơn vị”; c)

C

: “Hai số ghi trên hai viên bi chênh nhau 3 đơn vị”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử lấy từ hai túi cỡ khác nhau là tích của hai tập, $n (Ω) = 4 \times 5 = 20$ .
"Chênh nhau $k$ đơn vị" nghĩa là $∣ a - b ∣ = k$ ; phải xét đủ cả hai chiều $b - a = k$ và $a - b = k$ trong phạm vi hai túi.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai túi có SỐ LƯỢNG BI KHÁC NHAU (4 và 5 viên) — không gian mẫu là tích

4 \times 5 = 20

cặp

(a, b)

với

a \in {1, 2, 3, 4}

b \in {1, \dots, 5}

, không phải hình vuông

5 \times 5

hay

4 \times 4

. Biến cố

A

(khác nhau) nên tính bằng phần bù "bằng nhau" vì số cặp bằng nhau rất ít; biến cố

B

C

cần xét từng giá trị

a

để không bỏ sót cặp nào do hai túi không đối xứng. Bẫy của đề là quên túi II có tới 5 viên (số

5

không có bên túi I), khiến cặp như

(2, 5)

hay

(4, 1)

dễ bị tính nhầm phạm vi.

1Cách 1. Liệt kê Ω rút gọn rồi đếm phần bù cho A, liệt kê trực tiếp cho B, C

Định hướng. Không gian mẫu có 20 phần tử; với $A$ nên đếm phần bù "hai số bằng nhau"; với $B$ , $C$ liệt kê trực tiếp theo từng cặp thoả điều kiện chênh lệch.

Không gian mẫu

Ω = {(1, 1); (1, 2); \dots; (4, 5)}

n (Ω) = 20

.
a) Biến cố đối của

A

là "hai số bằng nhau":

(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4)

, có 4 kết quả (vì

a \leq 4

nên không có

(a, 5)

bằng nhau).

n (A) = 20 - 4 = 16

.
b) Kết quả thuận lợi cho

B

(chênh 1 đơn vị):

(1, 2); (2, 1); (2, 3); (3, 2); (3, 4); (4, 3); (4, 5)

n (B) = 7

.
c) Kết quả thuận lợi cho

C

(chênh 3 đơn vị):

(1, 4); (2, 5); (4, 1)

n (C) = 3

Vậy $P (A) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$ ; $P (B) = \frac{7}{20}$ ; $P (C) = \frac{3}{20}$ .

2Cách 2. Liệt kê theo sơ đồ cây (cố định số từ túi I)

Định hướng. Cố định lần lượt số rút từ túi I là 1, 2, 3, 4 rồi liệt kê các số từ túi II thoả từng điều kiện — cách nhìn theo nhánh giúp không bỏ sót phần bên túi II có tới 5 viên.

a = 1

: ghép với

b = 1, \dots, 5

; chênh

1

đơn vị khi

b = 2

; chênh

3

đơn vị khi

b = 4

a = 2

: chênh

1

đơn vị khi

b = 1

hoặc

b = 3

; chênh

3

đơn vị khi

b = 5

a = 3

: chênh

1

đơn vị khi

b = 2

hoặc

b = 4

; không có

b

nào chênh

3

đơn vị trong

{1, \dots, 5}

hợp lệ với

a = 3

(vì

b = 6

hoặc

b = 0

đều không tồn tại).

a = 4

: chênh

1

đơn vị khi

b = 3

hoặc

b = 5

; chênh

3

đơn vị khi

b = 1

.
Gộp lại:

n (B) = 1 + 2 + 2 + 2 = 7

;

n (C) = 1 + 1 + 0 + 1 = 3

.
Với

A

: mỗi nhánh

a

có đúng 1 giá trị

b = a

bị loại (vì bằng nhau), còn lại 4 giá trị thoả —

n (A) = 4 \times 4 = 16

Vậy $P (A) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$ ; $P (B) = \frac{7}{20}$ ; $P (C) = \frac{3}{20}$ .

3Cách 3. Quy tắc nhân cho A, phương trình hiệu cho B và C

Định hướng. Với $A$ dùng ngay quy tắc nhân: mỗi $a$ có đúng 4 trong 5 giá trị $b$ khác $a$ . Với $B$ , $C$ đưa về phương trình $∣ a - b ∣ = k$ rồi đếm nghiệm với $a \in {1, \dots, 4}$ , $b \in {1, \dots, 5}$ .

n (A)

: với mỗi

a \in {1, 2, 3, 4}

có đúng

5 - 1 = 4

giá trị

b \neq = a

(vì

b

chạy trên 5 giá trị, chỉ loại

b = a

n (A) = 4 \times 4 = 16

∣ a - b ∣ = 1

: xét

b = a + 1

(

a = 1, 2, 3, 4

đều hợp lệ vì

b \leq 5

, cho 4 nghiệm) và

b = a - 1

(

a = 2, 3, 4

hợp lệ vì

b \geq 1

, cho 3 nghiệm,

a = 1

loại vì

b = 0

n (B) = 4 + 3 = 7

∣ a - b ∣ = 3

: xét

b = a + 3

(

a = 1, 2

hợp lệ vì

b \leq 5

, cho 2 nghiệm) và

b = a - 3

(

a = 4

hợp lệ vì

b \geq 1

, cho 1 nghiệm):

n (C) = 2 + 1 = 3

Vậy $P (A) = \frac{4}{5}$ ; $P (B) = \frac{7}{20}$ ; $P (C) = \frac{3}{20}$ .

Nhận xét. Vì $a$ chỉ chạy tới 4 còn $b$ chạy tới 5, hai chiều $b = a + k$ và $b = a - k$ không đối xứng nhau — phải đếm riêng từng chiều, không được nhân đôi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: đưa

B

C

về phương trình

∣ a - b ∣ = k

rồi đếm nghiệm theo từng chiều

b = a + k

b = a - k

— tránh sót cặp do hai túi không cùng cỡ.

Đáp số.

P (A) = \frac{4}{5}

;

P (B) = \frac{7}{20}

;

P (C) = \frac{3}{20}

Sai lầm thường gặp. Tính

P (B)

và

P (C)

với mẫu số

12

hoặc nhầm liệt kê cặp

(5, 2)

(không hợp lệ vì túi I chỉ có các số

1

đến

4

, không có số

5

) — phải luôn nhớ mẫu số là

n (Ω) = 20

và toạ độ đầu

a

chỉ chạy trong

{1, 2, 3, 4}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi túi I thành 5 viên (1 đến 5) và túi II vẫn 5 viên thì

n (Ω) = 25

; khi đó hai chiều

b = a + k

b = a - k

đối xứng nhau, số kết quả thuận lợi cho "chênh

k

đơn vị" sẽ là

2 (5 - k)

với

k = 1, \dots, 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 8.11★★★Trang 46— Tính xác suất của biến cố liên quan tới phép thử quay tấm bìa và gieo xúc xắc đồng thời

Bài 8.11 (trang 46). Một tấm bìa hình tròn được chia làm bốn phần có diện tích bằng nhau; ghi các số 1, 2, 3, 4 và được gắn vào trục quay có mũi tên cố định ở tâm. Bạn Nam quay tấm bìa, bạn Bình gieo một con xúc xắc cân đối. Giả sử mũi tên dừng ở hình quạt ghi số

m

và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là

n

. Tính xác suất của các biến cố sau: a)

E

: “Trong hai số

m

và

n

, chỉ có một số nguyên tố”; b)

F

: “Tổng của hai số

m

và

n

lớn hơn 6”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử gồm hai hành động đồng thời với hai phạm vi khác nhau là tích của hai tập, $n (Ω) = 4 \times 6 = 24$ .
"Chỉ một trong hai" là phép hoặc loại trừ (XOR): gồm hai trường hợp không giao nhau, cộng số kết quả của từng trường hợp.
Số nguyên tố trong ${1, 2, 3, 4}$ là ${2, 3}$ ; số nguyên tố trong ${1, \dots, 6}$ là ${2, 3, 5}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai hành động độc lập đồng thời với hai phạm vi khác nhau (

m \in {1, 2, 3, 4}

n \in {1, \dots, 6}

) — không gian mẫu là tích

4 \times 6 = 24

cặp

(m, n)

. Biến cố

E

đòi hỏi "chỉ MỘT trong hai số là nguyên tố" — phải xét riêng hai trường hợp loại trừ nhau (

m

nguyên tố mà

n

không, hoặc ngược lại) rồi cộng lại. Bẫy của đề là quên phân biệt phạm vi số nguyên tố của

m

(trong

{1, 2, 3, 4}

: nguyên tố là

2, 3

) và của

n

(trong

{1, \dots, 6}

: nguyên tố là

2, 3, 5

) — hai tập này không giống nhau.

1Cách 1. Liệt kê Ω rút gọn rồi đếm trực tiếp

Định hướng. Không gian mẫu có 24 phần tử; chia biến cố $E$ thành hai trường hợp loại trừ nhau rồi cộng lại, biến cố $F$ liệt kê theo từng giá trị $m$ .

Không gian mẫu

Ω = {(1, 1); (1, 2); \dots; (4, 6)}

n (Ω) = 24

.
a) Trường hợp "

m

nguyên tố,

n

không nguyên tố":

m \in {2, 3}

(2 khả năng),

n \in {1, 4, 6}

(3 khả năng, không nguyên tố trong

1..6

) —

2 \times 3 = 6

kết quả.
Trường hợp "

m

không nguyên tố,

n

nguyên tố":

m \in {1, 4}

(2 khả năng),

n \in {2, 3, 5}

(3 khả năng) —

2 \times 3 = 6

kết quả.

n (E) = 6 + 6 = 12

.
b) Xét tổng

m + n > 6

theo từng

m

m = 1

cần

n > 5

n = 6

(1);

m = 2

cần

n > 4

n = 5, 6

(2);

m = 3

cần

n > 3

n = 4, 5, 6

(3);

m = 4

cần

n > 2

n = 3, 4, 5, 6

(4).

n (F) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Vậy $P (E) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ ; $P (F) = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ .

2Cách 2. Sơ đồ cây theo giá trị m

Định hướng. Cố định lần lượt $m = 1, 2, 3, 4$ rồi xét sáu giá trị $n$ cho từng nhánh — nhìn theo nhánh giúp phân biệt rõ ràng $m$ nguyên tố hay không.

m = 1

(không nguyên tố):

E

cần

n

nguyên tố,

n \in {2, 3, 5}

— 3 kết quả.

F

cần

n > 5

n = 6

— 1 kết quả.

m = 2

(nguyên tố):

E

cần

n

không nguyên tố,

n \in {1, 4, 6}

— 3 kết quả.

F

cần

n > 4

n = 5, 6

— 2 kết quả.

m = 3

(nguyên tố):

E

cần

n

không nguyên tố,

n \in {1, 4, 6}

— 3 kết quả.

F

cần

n > 3

n = 4, 5, 6

— 3 kết quả.

m = 4

(không nguyên tố):

E

cần

n

nguyên tố,

n \in {2, 3, 5}

— 3 kết quả.

F

cần

n > 2

n = 3, 4, 5, 6

— 4 kết quả.

n (E) = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

;

n (F) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Vậy $P (E) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ ; $P (F) = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ .

3Cách 3. Đếm phần bù cho F

Định hướng. Biến cố đối của $F$ là "tổng nhỏ hơn hoặc bằng 6" — với tổng nhỏ, số cặp ít hơn nên đếm phần bù có thể nhanh hơn hoặc để kiểm chéo kết quả Cách 1.

\overline{F}

: "

m + n \leq 6

m = 1

cho

n \leq 5

(5 kết quả);

m = 2

cho

n \leq 4

(4);

m = 3

cho

n \leq 3

(3);

m = 4

cho

n \leq 2

(2).

n (\overline{F}) = 5 + 4 + 3 + 2 = 14

P (\overline{F}) = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}

, suy ra

P (F) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}

.
Với

E

: giữ cách đếm ở Cách 1,

n (E) = 12

Vậy $P (F) = \frac{5}{12}$ ; $P (E) = \frac{1}{2}$ .

Nhận xét. $n (F) + n (\overline{F}) = 10 + 14 = 24 = n (Ω)$ , kiểm chéo khớp với Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: cố định từng giá trị

m

rồi đếm

n

thoả điều kiện — tránh nhầm lẫn phạm vi số nguyên tố giữa

m

(1 đến 4) và

n

(1 đến 6).

Đáp số.

P (E) = \frac{1}{2}

;

P (F) = \frac{5}{12}

Sai lầm thường gặp. Lấy chung một tập số nguyên tố

{2, 3, 5}

cho cả

m

và

n

mà quên

m

chỉ chạy trong

{1, 2, 3, 4}

(không có số

5

) — khi liệt kê

m

nguyên tố phải dùng

{2, 3}

, dùng nhầm

{2, 3, 5}

sẽ đếm thừa.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi điều kiện

F

thành "tổng lớn hơn hoặc bằng 6" (thay vì lớn hơn) thì cộng thêm các cặp có tổng đúng bằng 6:

(2, 4); (3, 3); (4, 2)

— 3 kết quả,

n (F^{'}) = 10 + 3 = 13

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 8.12★★★Trang 47— Tính xác suất của biến cố liên quan tới phép thử rút đồng thời từ ba hộp có số lượng khác nhau

Bài 8.12 (trang 47). Có ba chiếc hộp. Hộp A chứa 2 tấm thẻ ghi các số 1, 2. Hộp B chứa 3 tấm thẻ ghi các số 1, 2, 3. Hộp C chứa 4 quả cầu ghi các số 1, 2, 3, 4. Bạn Lan rút ngẫu nhiên đồng thời một tấm thẻ từ mỗi hộp A và B. Bạn Linh lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp C. Tính xác suất của các biến cố sau: a)

E

: “Ba số ghi trên hai tấm thẻ và quả cầu là khác nhau”; b)

F

: “Tổng ba số ghi trên hai tấm thẻ và quả cầu bằng 5”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử gồm ba hành động đồng thời là tích của ba tập, $n (Ω) = 2 \times 3 \times 4 = 24$ .
"Ba số khác nhau" là phần bù của "có ít nhất hai số bằng nhau"; nên đếm phần bù khi số cách trùng ít hơn số cách khác nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba hành động độc lập đồng thời với ba phạm vi khác nhau (

a \in {1, 2}

b \in {1, 2, 3}

c \in {1, 2, 3, 4}

) — không gian mẫu là tích

2 \times 3 \times 4 = 24

bộ ba

(a, b, c)

. Biến cố

E

(ba số đôi một khác nhau) nên đếm bằng phần bù "có ít nhất hai số trùng nhau" hoặc đếm trực tiếp theo từng giá trị

a

; biến cố

F

(tổng bằng 5) phải liệt kê theo phương trình

a + b + c = 5

với từng biến bị chặn phạm vi riêng. Bẫy của đề là quên

a

chỉ có 2 giá trị (1 hoặc 2), khiến dễ tính thừa khi liệt kê nghiệm của

a + b + c = 5

1Cách 1. Liệt kê theo sơ đồ cây (cố định a, b) rồi lọc trực tiếp

Định hướng. Cố định lần lượt $(a, b)$ trong 6 cặp có thể của hộp A, B, rồi xét $c$ chạy trong ${1, 2, 3, 4}$ cho từng biến cố.

Không gian mẫu

Ω

gồm mọi bộ

(a, b, c)

với

a \in {1, 2}

b \in {1, 2, 3}

c \in {1, 2, 3, 4}

n (Ω) = 24

.
a) Xét từng cặp

(a, b)

(1, 1)

trùng nhau nên không cặp

c

nào cho ba số khác nhau đủ điều kiện

a \neq = b

; bỏ qua các cặp

a = b

.
Với

(a, b)

mà

a \neq = b

(có

2 \times 3 - 2 = 4

cặp:

(1, 2); (1, 3); (2, 1); (2, 3)

), số

c

khác cả

a

và

b

là

4 - 2 = 2

giá trị mỗi cặp:

n (E) = 4 \times 2 = 8

.
Với

(a, b)

mà

a = b

(2 cặp:

(1, 1); (2, 2)

), không bộ nào có ba số khác nhau vì

a = b

đã trùng: đóng góp

0

.
b) Liệt kê nghiệm

a + b + c = 5

a = 1, b = 1, c = 3

;

a = 1, b = 2, c = 2

;

a = 1, b = 3, c = 1

;

a = 2, b = 1, c = 2

;

a = 2, b = 2, c = 1

—

n (F) = 5

Vậy $P (E) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ ; $P (F) = \frac{5}{24}$ .

2Cách 2. Đếm phần bù cho E

Định hướng. Biến cố đối của $E$ là "có ít nhất hai trong ba số bằng nhau" — vì $a \in {1, 2}$ chỉ trùng được với $b$ hoặc $c$ , đếm phần bù theo từng kiểu trùng rồi trừ phần đếm hai lần.

\overline{E}

xảy ra khi

a = b

, hoặc

a = c

, hoặc

b = c

(có thể xảy ra đồng thời).

a = b

a \in {1, 2}

(vì

b

cũng nhận được các giá trị này),

c

tự do (4 khả năng):

2 \times 4 = 8

bộ.

a = c

a \in {1, 2}

b

tự do (3 khả năng):

2 \times 3 = 6

bộ.

b = c

b \in {1, 2, 3} \cap {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3}

a

tự do (2 khả năng):

3 \times 2 = 6

bộ.
Phần giao

a = b = c

: chỉ

a, b, c

cùng bằng

1

hoặc cùng bằng

2

(vì

a \leq 2

): 2 bộ, được đếm trong cả ba nhóm trên.
Theo nguyên lí bù trừ:

n (\overline{E}) = 8 + 6 + 6 - 2 - 2 - 2 + 2 = 16

(trừ ba lần giao đôi, cộng lại giao ba).

n (E) = 24 - 16 = 8

Vậy $P (E) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ (khớp Cách 1); $P (F) = \frac{5}{24}$ (tính như Cách 1).

3Cách 3. Phương trình a+b+c=5 xét theo từng giá trị a

Định hướng. Với $F$ , cố định $a$ rồi đưa về phương trình $b + c = 5 - a$ với $b \in {1, 2, 3}$ , $c \in {1, 2, 3, 4}$ — liệt kê nghiệm theo từng $a$ để chắc chắn không sót.

a = 1

: cần

b + c = 4

với

b \in {1, 2, 3}, c \in {1, 2, 3, 4}

(b, c) = (1, 3); (2, 2); (3, 1)

— 3 nghiệm.

a = 2

: cần

b + c = 3

(b, c) = (1, 2); (2, 1)

— 2 nghiệm (

b = 3

cho

c = 0

không hợp lệ).

n (F) = 3 + 2 = 5

.
Với

E

: đếm trực tiếp theo

a

a = 1

cần

b \neq = 1

và

c \in / {1, b}

;

b \in {2, 3}

, mỗi

b

có

4 - 2 = 2

giá trị

c

hợp lệ —

2 \times 2 = 4

bộ. Tương tự

a = 2

cho

4

bộ.

n (E) = 4 + 4 = 8

Vậy $P (F) = \frac{5}{24}$ ; $P (E) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ .

Nhận xét. Ba cách đều cho $n (E) = 8$ , $n (F) = 5$ — số liệu trên trang gốc từng ghi nhầm mẫu số $F$ (24) khớp đúng, không có sai lệch ở câu này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho

F

: cố định

a

rồi giải phương trình

b + c = 5 - a

theo từng giá trị

a \in {1, 2}

, không cần liệt kê hết 24 bộ ba.

Đáp số.

P (E) = \frac{1}{3}

;

P (F) = \frac{5}{24}

Sai lầm thường gặp. Khi đếm

E

, quên loại các bộ có

a = b

(ví dụ vẫn tính

(1, 1, 3)

là "ba số khác nhau") — phải kiểm đủ CẢ BA cặp so sánh

a \neq = b

a \neq = c

b \neq = c

chứ không chỉ kiểm

a \neq = c

hay

b \neq = c

riêng lẻ.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hộp C thành 5 quả cầu (1 đến 5) thì

n (Ω) = 2 \times 3 \times 5 = 30

; phương trình

a + b + c = 5

khi đó có thêm nghiệm với

c

lớn hơn nếu

a, b

nhỏ, cần liệt kê lại theo đúng phạm vi mới.

Mở bài này trong app ↗