Chương VIII. Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản

Bài 26. Xác suất của biến cố liên quan tới phép thử

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngVIII #SáchBàiTập_Tập2 #trang46–47 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 8.6★Trang 46— Tính xác suất của biến cố liên quan tới phép thử gieo đồng thời một xúc xắc và một đồng xu

Bài 8.6 (trang 46). Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu. Tính xác suất của các biến cố sau: a)

E

: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lẻ”; b)

F

: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chẵn và đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử gồm hai hành động đồng thời là tích của hai tập kết quả, $n (Ω) = 6 \times 2 = 12$ .
Biến cố chỉ ràng buộc một thành phần thì đếm bằng quy tắc nhân với thành phần còn lại tự do.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai hành động độc lập xảy ra đồng thời — dấu hiệu không gian mẫu là tích

6 \times 2 = 12

kết quả. Biến cố

E

chỉ ràng buộc xúc xắc nên đồng xu tự do, còn

F

ràng buộc ĐỒNG THỜI cả xúc xắc lẫn đồng xu. Bẫy của đề là quên nhân thêm số khả năng của thành phần "tự do" khi đếm

E

, dẫn tới đếm thiếu một nửa kết quả thuận lợi.

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp

Định hướng. Kí hiệu mặt sấp là $S$ , mặt ngửa là $N$ ; liệt kê đủ 12 kết quả (mặt, số chấm) rồi lọc theo từng biến cố.

Không gian mẫu

Ω = {S 1; S 2; S 3; S 4; S 5; S 6; N 1; N 2; N 3; N 4; N 5; N 6}

n (Ω) = 12

.
Kết quả thuận lợi cho

E

(số chấm lẻ) là

S 1; S 3; S 5; N 1; N 3; N 5

n (E) = 6

.
Kết quả thuận lợi cho

F

(số chấm chẵn và mặt ngửa) là

N 2; N 4; N 6

n (F) = 3

Vậy $P (E) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ ; $P (F) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ .

2Cách 2. Quy tắc nhân theo từng điều kiện

Định hướng. Đếm $n (E)$ , $n (F)$ trực tiếp bằng quy tắc nhân, không cần liệt kê hết 12 kết quả.

E

chỉ ràng buộc số chấm (lẻ: 1,3,5 có 3 khả năng), mặt đồng xu tự do (2 khả năng):

n (E) = 3 \times 2 = 6

F

ràng buộc cả hai: số chấm chẵn (2,4,6 có 3 khả năng) và mặt ngửa (1 khả năng):

n (F) = 3 \times 1 = 3

Vậy $P (E) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ ; $P (F) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ .

3Cách 3. Đếm phần bù cho E

Định hướng. Biến cố đối của $E$ (số chấm lẻ) là "số chấm chẵn" — cùng số kết quả do xúc xắc có đúng 3 mặt lẻ và 3 mặt chẵn, nên phần bù cũng cho ngay đáp số.

Biến cố đối

\overline{E}

: "số chấm xuất hiện là số chẵn", có

n (\overline{E}) = 3 \times 2 = 6

(giống cách đếm của

E

vì xúc xắc có đúng 3 mặt lẻ, 3 mặt chẵn).

P (\overline{E}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

, suy ra

P (E) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

.
Với

F

: trong 6 kết quả "số chấm chẵn" vừa đếm, chỉ một nửa có mặt ngửa:

n (F) = 6 \times \frac{1}{2} = 3

Vậy $P (E) = \frac{1}{2}$ ; $P (F) = \frac{1}{4}$ .

Nhận xét. $E$ có xác suất đúng $\frac{1}{2}$ vì xúc xắc chia đều 3 mặt lẻ và 3 mặt chẵn — một dấu hiệu nên nhận ra ngay để kiểm tra nhanh kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đếm thẳng bằng quy tắc nhân theo từng điều kiện, không cần liệt kê hết 12 kết quả.

Đáp số.

P (E) = \frac{1}{2}

;

P (F) = \frac{1}{4}

Sai lầm thường gặp. Quên nhân với 2 khả năng của đồng xu khi đếm

n (E)

, chỉ đếm

n (E) = 3

(bằng đúng số mặt lẻ của xúc xắc) rồi tính sai

P (E) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

— phải nhớ đồng xu vẫn tự do quay hai mặt cho mỗi số chấm.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

F

thành "số chấm chẵn và đồng xu bất kì mặt nào" thì

n (F) = 3 \times 2 = 6

P (F) = \frac{1}{2}

— gấp đôi so với khi ràng buộc thêm điều kiện "mặt ngửa".

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 8.7★★Trang 46— Tính xác suất của biến cố về tổng số chấm khi gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp

Bài 8.7 (trang 46). Gieo một con xúc xắc liên tiếp hai lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc trong hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 8.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử gieo hai lần liên tiếp là tập mọi cặp có thứ tự $(i, j)$ , $n (Ω) = 36$ .
Với tổng $s$ cố định ( $8 \leq s \leq 12$ ), số cặp $(i, j)$ với $i, j \in {1, \dots, 6}$ và $i + j = s$ là $13 - s$ khi $s \geq 7$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai lần gieo liên tiếp cùng một xúc xắc — không gian mẫu là tích

6 \times 6 = 36

cặp có thứ tự

(i, j)

. Vì điều kiện "tổng

\geq 8

" chỉ đúng với tổng lớn, số kết quả thuận lợi ít hơn một nửa Ω nên đếm trực tiếp theo từng giá trị tổng là hướng gọn nhất. Bẫy của đề là quên rằng

(i, j)

và

(j, i)

là hai kết quả khác nhau (trừ khi

i = j

), dễ đếm thiếu khi chỉ liệt kê các cặp không phân biệt thứ tự.

1Cách 1. Liệt kê theo từng giá trị tổng

Định hướng. Xét lần lượt tổng $s = 8, 9, 10, 11, 12$ và liệt kê các cặp $(i, j)$ tương ứng.

Không gian mẫu

Ω = {(1, 1); (1, 2); \dots; (6, 6)}

n (Ω) = 36

.
Tổng

= 8

(2, 6); (3, 5); (4, 4); (5, 3); (6, 2)

— 5 cặp.
Tổng

= 9

(3, 6); (4, 5); (5, 4); (6, 3)

— 4 cặp.
Tổng

= 10

(4, 6); (5, 5); (6, 4)

— 3 cặp.
Tổng

= 11

(5, 6); (6, 5)

— 2 cặp.
Tổng

= 12

(6, 6)

— 1 cặp.
Số kết quả thuận lợi:

n (A) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

Vậy $P (A) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ .

2Cách 2. Đếm phần bù (tổng nhỏ hơn hoặc bằng 7)

Định hướng. Biến cố đối là "tổng nhỏ hơn hoặc bằng 7" — với tổng nhỏ, số cặp nhiều hơn nhưng vẫn dễ liệt kê theo cùng quy luật.

Biến cố đối

\overline{A}

: "tổng hai lần gieo nhỏ hơn hoặc bằng 7".
Tổng

= 2

: 1 cặp. Tổng

= 3

: 2 cặp. Tổng

= 4

: 3 cặp. Tổng

= 5

: 4 cặp. Tổng

= 6

: 5 cặp. Tổng

= 7

: 6 cặp.

n (\overline{A}) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

P (\overline{A}) = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}

P (A) = 1 - P (\overline{A}) = 1 - \frac{7}{12}

Vậy $P (A) = \frac{5}{12}$ .

3Cách 3. Công thức số cặp theo tổng

Định hướng. Với $s \geq 7$ , số cặp $(i, j) \in {1, \dots, 6}^{2}$ có $i + j = s$ bằng $13 - s$ (vì $i$ chạy từ $s - 6$ đến $6$ ); áp trực tiếp công thức này cho $s = 8, \dots, 12$ mà không cần liệt kê từng cặp.

Với

s = 8

: số cặp

= 13 - 8 = 5

.
Với

s = 9

: số cặp

= 13 - 9 = 4

.
Với

s = 10

: số cặp

= 13 - 10 = 3

.
Với

s = 11

: số cặp

= 13 - 11 = 2

.
Với

s = 12

: số cặp

= 13 - 12 = 1

n (A) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

(tổng cấp số cộng công sai

- 1

, số hạng đầu

5

, số hạng cuối

1

Vậy $P (A) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ .

Nhận xét. Công thức $13 - s$ cho phép tính nhanh số cặp ứng với BẤT KÌ tổng nào từ $7$ đến $12$ mà không cần liệt kê.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đếm phần bù "tổng nhỏ hơn hoặc bằng 7" theo quy luật cấp số cộng

1, 2, 3, 4, 5, 6

, rồi lấy

1

trừ đi — không phải xét 5 giá trị tổng riêng lẻ.

Đáp số.

P (A) = \frac{5}{12}

Sai lầm thường gặp. Chỉ liệt kê các cặp KHÔNG phân biệt thứ tự (ví dụ chỉ ghi

(2, 6)

mà quên

(6, 2)

) khiến đếm thiếu một nửa số kết quả thuận lợi, dẫn tới

P (A)

tính ra chỉ bằng một nửa giá trị đúng.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi điều kiện thành "tổng lớn hơn hoặc bằng 10" thì theo công thức

13 - s

n = (13 - 10) + (13 - 11) + (13 - 12) = 3 + 2 + 1 = 6

P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 8.8★★Trang 46— Tính xác suất của biến cố liên quan tới phép thử gieo xúc xắc và rút thẻ đồng thời

Bài 8.8 (trang 46). Bạn Hạnh gieo một con xúc xắc và bạn Hằng rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ một hộp chứa 4 tấm thẻ ghi các chữ A, B, C, D. Tính xác suất của các biến cố sau: a)

E

: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 6”; b)

F

: “Rút được tấm thẻ ghi chữ A hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử gồm hai hành động đồng thời là tích của hai tập kết quả, $n (Ω) = 4 \times 6 = 24$ .
Công thức cộng cho hợp hai biến cố: $n (X \cup Y) = n (X) + n (Y) - n (X \cap Y)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 8.9★★Trang 46— Tính xác suất của biến cố liên quan tới phép thử gieo đồng xu và xúc xắc đồng thời

Bài 8.9 (trang 46). Bạn Bình gieo một đồng xu cân đối và bạn Thịnh gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất của các biến cố sau: a)

E

: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc lớn hơn 3”; b)

F

: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc lớn hơn 3”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử gồm hai hành động đồng thời là tích của hai tập kết quả, $n (Ω) = 2 \times 6 = 12$ .
Công thức cộng cho hợp hai biến cố: $n (X \cup Y) = n (X) + n (Y) - n (X \cap Y)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 8.10★★★Trang 46— Tính xác suất của biến cố liên quan tới hiệu hai số ghi trên hai viên bi rút từ hai túi khác cỡ

Bài 8.10 (trang 46). Hai túi I và II chứa các viên bi có cùng kích thước. Túi I chứa 4 viên bi được ghi các số 1, 2, 3, 4. Túi II chứa 5 viên bi được ghi các số 1, 2, 3, 4, 5. Bạn Mai lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi I và bạn Tuấn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi II. Tính xác suất của các biến cố sau: a)

A

: “Hai số ghi trên hai viên bi khác nhau”; b)

B

: “Hai số ghi trên hai viên bi chênh nhau 1 đơn vị”; c)

C

: “Hai số ghi trên hai viên bi chênh nhau 3 đơn vị”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử lấy từ hai túi cỡ khác nhau là tích của hai tập, $n (Ω) = 4 \times 5 = 20$ .
"Chênh nhau $k$ đơn vị" nghĩa là $∣ a - b ∣ = k$ ; phải xét đủ cả hai chiều $b - a = k$ và $a - b = k$ trong phạm vi hai túi.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 8.11★★★Trang 46— Tính xác suất của biến cố liên quan tới phép thử quay tấm bìa và gieo xúc xắc đồng thời

Bài 8.11 (trang 46). Một tấm bìa hình tròn được chia làm bốn phần có diện tích bằng nhau; ghi các số 1, 2, 3, 4 và được gắn vào trục quay có mũi tên cố định ở tâm. Bạn Nam quay tấm bìa, bạn Bình gieo một con xúc xắc cân đối. Giả sử mũi tên dừng ở hình quạt ghi số

m

và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là

n

. Tính xác suất của các biến cố sau: a)

E

: “Trong hai số

m

và

n

, chỉ có một số nguyên tố”; b)

F

: “Tổng của hai số

m

và

n

lớn hơn 6”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử gồm hai hành động đồng thời với hai phạm vi khác nhau là tích của hai tập, $n (Ω) = 4 \times 6 = 24$ .
"Chỉ một trong hai" là phép hoặc loại trừ (XOR): gồm hai trường hợp không giao nhau, cộng số kết quả của từng trường hợp.
Số nguyên tố trong ${1, 2, 3, 4}$ là ${2, 3}$ ; số nguyên tố trong ${1, \dots, 6}$ là ${2, 3, 5}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 8.12★★★Trang 47— Tính xác suất của biến cố liên quan tới phép thử rút đồng thời từ ba hộp có số lượng khác nhau

Bài 8.12 (trang 47). Có ba chiếc hộp. Hộp A chứa 2 tấm thẻ ghi các số 1, 2. Hộp B chứa 3 tấm thẻ ghi các số 1, 2, 3. Hộp C chứa 4 quả cầu ghi các số 1, 2, 3, 4. Bạn Lan rút ngẫu nhiên đồng thời một tấm thẻ từ mỗi hộp A và B. Bạn Linh lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp C. Tính xác suất của các biến cố sau: a)

E

: “Ba số ghi trên hai tấm thẻ và quả cầu là khác nhau”; b)

F

: “Tổng ba số ghi trên hai tấm thẻ và quả cầu bằng 5”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của phép thử gồm ba hành động đồng thời là tích của ba tập, $n (Ω) = 2 \times 3 \times 4 = 24$ .
"Ba số khác nhau" là phần bù của "có ít nhất hai số bằng nhau"; nên đếm phần bù khi số cách trùng ít hơn số cách khác nhau.