Bài 1. Mệnh đề

Định hướng. Muốn biết An hay Khoa nói đúng thì chỉ cần đếm thật cẩn thận số con vật trong hình, rồi so số đó với 5 và với 6.

Vậy câu của An đúng, câu của Khoa sai, còn câu hỏi không xác định được tính đúng sai.

Định hướng. Một câu chỉ có thể xếp vào đúng một trong ba loại: khẳng định đúng, khẳng định sai, hoặc không phải khẳng định (như câu hỏi) — nên trước khi đếm, hãy xếp loại ba câu này.

Vậy trong hai khẳng định trái ngược nhau đó, câu của An (5 con vật) đúng, câu của Khoa (6 con vật) sai; câu hỏi của người dẫn chuyện không phải là mệnh đề.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy ngay TRƯỚC khi đếm là câu hỏi chắc chắn không phải mệnh đề, còn hai câu của An và Khoa thì chỉ có thể một đúng một sai.

Định hướng. Thay vì kiểm tra xuôi, ta giả sử câu của Khoa đúng và giả sử câu hỏi là một mệnh đề, rồi tìm mâu thuẫn cho từng giả sử.

Vậy câu của An đúng, câu của Khoa sai, câu hỏi của bạn dẫn chuyện không xác định được tính đúng sai.

Nhận xét. Phản chứng ở đây cho thấy rõ ranh giới: cái sai và cái không xác định được là hai chuyện hoàn toàn khác nhau.

Định hướng. Bốn câu thuộc hai loại khác nhau: hai câu đầu là khẳng định toán học, hai câu sau là câu hỏi và câu cảm thán — nên xếp loại xong mới cần kiểm tra đúng/sai của hai câu đầu.

Vậy mệnh đề đúng — câu 1; mệnh đề sai — câu 2; không là mệnh đề — câu 3 và câu 4.

Định hướng. Nhìn dấu câu và cấu trúc lời trước: câu có dấu “?” là câu hỏi, câu có dấu “!” là câu cảm thán — hai loại này bị loại ngay khỏi mệnh đề mà chưa cần xét nội dung.

Vậy mệnh đề đúng — câu 1; mệnh đề sai — câu 2; không là mệnh đề — câu 3 và câu 4.

Nhận xét. Cách 2 dùng dấu câu để loại nhanh hai câu không phải mệnh đề, khỏi phải bàn đến nội dung của chúng.

Định hướng. Mỗi câu chỉ cần trả lời hai tiêu chí: “có phải khẳng định” và “khẳng định đó đúng hay sai”; xếp cả bốn câu vào một bảng thì cột đáp án hiện ra ngay.

Vậy cột “mệnh đề đúng” đánh dấu câu 1, cột “mệnh đề sai” đánh dấu câu 2, cột “không là mệnh đề” đánh dấu câu 3 và câu 4.

Nhận xét. Bảng hai tiêu chí là khuôn dùng lại được cho mọi bài phân loại mệnh đề, kể cả khi đề cho mười câu.

Định hướng. Câu “$x>5$” là mệnh đề chứa biến; chỉ cần chọn $x$ nằm hai phía của mốc $5$ là được cả một mệnh đề đúng lẫn một mệnh đề sai.

Vậy $x=10$ cho một mệnh đề đúng, $x=3$ cho một mệnh đề sai.

Định hướng. Mốc $5$ trong câu “$x>5$” là ranh giới đúng-sai; thay đúng mốc đó cho ra mệnh đề sai (vì $5$ không lớn hơn chính nó), còn thay số lớn hơn mốc cho ra mệnh đề đúng.

Vậy $x=5$ cho một mệnh đề sai, $x=100$ cho một mệnh đề đúng.

Nhận xét. Có vô số cách chọn cặp giá trị như vậy; miễn một số lớn hơn 5 và một số không lớn hơn 5 là đủ.

Định hướng. Chia trục số bởi điểm $5$: bên phải là vùng cho mệnh đề đúng, phần còn lại kể cả chính điểm $5$ cho mệnh đề sai; chọn mỗi vùng một giá trị là xong.

Vậy với $x=6$ ta được mệnh đề đúng, với $x=-2$ ta được mệnh đề sai (còn vô số cách chọn khác).

Nhận xét. Nhìn trục số thấy ngay vì sao câu trả lời KHÔNG duy nhất: mỗi vùng chứa vô số điểm.

Định hướng. An không đồng ý với Khoa nghĩa là An phát biểu đúng mệnh đề phủ định của câu Khoa vừa nói, nên chỉ cần thêm “không phải” vào trước vị ngữ.

Vậy ý kiến của An là mệnh đề: “Đây không phải là biển báo đường dành cho người đi bộ”.

Định hướng. Biển báo trong hình có hình người đi bộ đặt trong khung tam giác — đó là biển báo CẢNH BÁO đoạn đường có người đi bộ cắt ngang, khác với biển báo dành riêng cho người đi bộ; diễn đạt đúng loại biển báo cũng chính là câu phủ định ý Khoa.

Vậy An phát biểu: “Đây không phải là biển báo đường dành cho người đi bộ”.

Nhận xét. Cả hai cách đều đi đến cùng một mệnh đề $\overline{P}$ vì phủ định của một mệnh đề là DUY NHẤT về nội dung, chỉ khác nhau ở cách trình bày lí do.

Định hướng. Đặt tên mệnh đề của Khoa là $P$; việc An không đồng ý được hiểu là An khẳng định $P$ sai, mà $P$ sai đồng nghĩa với phủ định của $P$ đúng.

Vậy ý kiến của An phát biểu dưới dạng mệnh đề là “Đây không phải là biển báo đường dành cho người đi bộ”.

Nhận xét. Cách này cho thấy phủ định chỉ BÁC BỎ chứ không nói thêm điều gì mới — đó là lí do không được thay bằng “biển báo cấm người đi bộ”.

Định hướng. Biết $P$, $Q$ đúng hay sai thì suy ra ngay $\overline{P}$, $\overline{Q}$ đúng hay sai theo đúng quy tắc trái ngược.

Vậy $\overline{P}$: “2 022 không chia hết cho 5” là mệnh đề đúng; $\overline{Q}$: “Bất phương trình $2x+1>0$ vô nghiệm” là mệnh đề sai.

Định hướng. Không cần giải trọn bất phương trình, chỉ cần chỉ ra MỘT nghiệm cụ thể là đủ khẳng định $Q$ đúng; với $P$ thì chia thử là xong.

Vậy $\overline{P}$ đúng, $\overline{Q}$ sai.

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần MỘT ví dụ cụ thể ($x=1$) để khẳng định $Q$ đúng, nhanh hơn việc giải cả bất phương trình như Cách 1.

Định hướng. Mô tả trọn vẹn hai đối tượng: số dư của $2022$ khi chia cho $5$ và tập nghiệm của bất phương trình, rồi đọc kết quả từ hai mô tả đó.

Vậy phủ định của $P$ là “2 022 không chia hết cho 5” — mệnh đề đúng; phủ định của $Q$ là “Bất phương trình $2x+1>0$ vô nghiệm” — mệnh đề sai.

Nhận xét. Giải hẳn tập nghiệm tốn thêm một dòng nhưng cho biết luôn bất phương trình có VÔ SỐ nghiệm, mạnh hơn hẳn việc chỉ thử một số.

Định hướng. Chỉ cần thêm “không phải” vào trước vị ngữ của $Q$ để có $\overline{Q}$, sau đó dùng kiến thức thực tế về diện tích các châu lục để kết luận đúng sai.

Vậy $\overline{Q}$: “Châu Á không phải là châu lục có diện tích lớn nhất thế giới” và mệnh đề này sai, còn $Q$ đúng.

Định hướng. Chỉ cần chỉ ra một châu lục cụ thể có diện tích nhỏ hơn châu Á là đủ củng cố $Q$ đúng, từ đó suy luôn $\overline{Q}$ sai.

Vậy $Q$ đúng, còn $\overline{Q}$: “Châu Á không phải là châu lục có diện tích lớn nhất thế giới” là mệnh đề sai.

Nhận xét. Đây là mệnh đề mà tính đúng sai dựa vào kiến thức thực tế (địa lí) chứ không tính toán được bằng số học.

Định hướng. Đưa hết số liệu diện tích lên một dãy rồi so sánh, cách này không phụ thuộc trí nhớ về thứ hạng mà chỉ phụ thuộc số liệu.

Vậy phủ định của $Q$ là “Châu Á không phải là châu lục có diện tích lớn nhất thế giới”; $Q$ đúng còn phủ định của $Q$ sai.

Nhận xét. Cách liệt kê cho thấy muốn bác bỏ một mệnh đề dạng “lớn nhất” chỉ cần chỉ ra MỘT đối tượng lớn hơn.

Định hướng. Câu ghép nêu một điều kiện (sử dụng rượu bia khi tham gia giao thông) dẫn đến một hậu quả (bị xử phạt) — đây đúng là quan hệ nguyên nhân dẫn tới kết quả, không phải quan hệ tương phản.

Vậy đáp án đúng là phương án A: “Nếu … thì …”.

Định hướng. Thử lần lượt cả hai cặp từ vào chỗ trống, cặp nào cho câu có nghĩa hợp lí thì chọn.

Vậy phương án A: “Nếu … thì …” là phù hợp, loại phương án B.

Nhận xét. Cách 2 (thử trực tiếp) nhanh và trực quan hơn khi phải chọn giữa vài phương án có sẵn.

Định hướng. Tách câu ghép thành hai mệnh đề riêng, xét xem mệnh đề nào là điều kiện, mệnh đề nào là hệ quả; quan hệ điều kiện — hệ quả chỉ ứng với một cặp từ trong hai cặp đã cho.

Vậy cặp từ phù hợp là “Nếu … thì …”, tức phương án A.

Nhận xét. Đặt tên $P$, $Q$ rồi hỏi “cái nào kéo theo cái nào” là mẹo chung để chọn đúng cặp từ quan hệ trong mọi câu ghép.

Định hướng. Chỉ cần đặt đúng nội dung của $P$ vào sau “Nếu” và nội dung của $Q$ vào sau “thì”, giữ nguyên câu chữ.

Vậy câu ghép cần tìm là: “Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$”.

Định hướng. Nội dung của $P\Rightarrow Q$ chính là định lí Pythagore quen thuộc, nên có thể phát biểu lại đúng như dạng định lí đã học ở cấp dưới.

Vậy mệnh đề $P\Rightarrow Q$ chính là định lí Pythagore: “Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$”.

Nhận xét. Đây là một mệnh đề kéo theo ĐÚNG vì nó là một định lí đã được chứng minh.

Định hướng. Viết gọn quan hệ bằng kí hiệu $P\Rightarrow Q$ để thấy rõ chiều, rồi đọc lại thành lời theo ba mẫu tương đương nhau của mệnh đề kéo theo.

Vậy mệnh đề cần phát biểu là “Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$”.

Nhận xét. Ba câu trên nói cùng một điều; nắm cả ba mẫu thì đề hỏi kiểu nào cũng trả lời được ngay.

Định hướng. Ghép $P$ làm giả thiết, $Q$ làm kết luận để có chiều thứ nhất; đổi ngược vai trò để có chiều thứ hai — đây chính là công thức nghiệm quen thuộc theo hai chiều.

Vậy a) $P\Rightarrow Q$ và b) $Q\Rightarrow P$ như trên; cả hai mệnh đề này đều đúng.

Định hướng. Công thức nghiệm $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ chỉ cho hai giá trị $x$ PHÂN BIỆT đúng lúc căn thức có nghĩa và khác 0, tức $\Delta >0$ — từ đó suy ra được cả hai chiều kéo theo.

Vậy a) $P\Rightarrow Q$: “Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta >0$”; b) $Q\Rightarrow P$: “Nếu $\Delta >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt”.

Nhận xét. Vì cả $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng nên $P$ và $Q$ thực chất là hai mệnh đề tương đương.

Định hướng. Mỗi chiều kéo theo tương ứng với một mẫu điều kiện; viết đủ hai mẫu rồi thấy hai chiều cùng đúng nên gộp lại được thành một mệnh đề tương đương.

Vậy a) $P\Rightarrow Q$: “Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta =b^2-4ac>0$”; b) $Q\Rightarrow P$: “Nếu $\Delta =b^2-4ac>0$ thì phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt”.

Nhận xét. Hai chiều cùng đúng nên có thể viết gọn $P\iff Q$ — đây chính là dạng phát biểu quen thuộc của định lí về dấu biệt thức.

Định hướng. Ghép $P$, $Q$ vào khuôn “Nếu … thì …” để có định lí; muốn xét mệnh đề đảo $Q\Rightarrow P$ thì thử tìm một bộ số thoả $Q$ mà không thoả $P$.

Vậy a) định lí trên đúng; b) mệnh đề đảo sai, minh hoạ bởi phản ví dụ $a=2,b=3,c=5$.

Định hướng. Chiều thuận dùng ngay tính chất “tổng hai số chia hết cho $c$ khi từng số chia hết cho $c$”; chiều đảo thì chỉ cần MỘT bộ số phản chứng khác để chắc chắn không phải sự trùng hợp.

Vậy a) định lí $P\Rightarrow Q$ đúng; b) mệnh đề đảo $Q\Rightarrow P$ sai, minh hoạ bởi phản ví dụ $a=1,b=1,c=2$.

Nhận xét. Hai phản ví dụ khác nhau ở hai cách đều bác bỏ được mệnh đề đảo, cho thấy mệnh đề đảo sai không phụ thuộc vào việc chọn số nào.

Định hướng. Viết $a$, $b$ theo bội của $c$ để chứng minh chiều thuận bằng một phép đặt nhân tử chung; với chiều đảo, dựng hẳn một họ phản ví dụ đúng cho mọi $c$ chứ không chỉ một bộ số lẻ tẻ.

Vậy a) Định lí: “Nếu $a$ và $b$ chia hết cho $c$ thì $a+b$ chia hết cho $c$”; giả thiết là “$a$ và $b$ chia hết cho $c$”, kết luận là “$a+b$ chia hết cho $c$”; nói cách khác, “$a$ và $b$ chia hết cho $c$” là điều kiện đủ để “$a+b$ chia hết cho $c$”, còn “$a+b$ chia hết cho $c$” là điều kiện cần để “$a$ và $b$ chia hết cho $c$”. b) Mệnh đề đảo “Nếu $a+b$ chia hết cho $c$ thì $a$ và $b$ chia hết cho $c$” là mệnh đề sai.

Nhận xét. Dựng được phản ví dụ cho MỌI $c\ge 2$ mạnh hơn hẳn việc nêu một bộ số cụ thể — người chấm không thể bắt bẻ là “ăn may”.

Định hướng. Cụm “… nếu … và ngược lại” chính là mệnh đề tương đương $P\iff Q$ với $P$: “số chia hết cho 5”, $Q$: “chữ số tận cùng là 0 hoặc 5” — cần xét cả hai chiều đều đúng thì $P\iff Q$ mới đúng.

Vậy mệnh đề tương đương đã cho là mệnh đề đúng.

Định hướng. Kiểm tra nhanh bằng cách liệt kê vài số chia hết cho 5 và vài số không chia hết cho 5, xem chữ số tận cùng có khớp với quy tắc hay không.

Vậy mệnh đề “Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 và ngược lại” là mệnh đề đúng.

Nhận xét. Việc thử số chỉ mang tính minh hoạ; muốn chắc chắn tuyệt đối cần lập luận tổng quát như Cách 1.

Định hướng. Mọi số tự nhiên đều viết được thành $10q+r$ với $r$ là chữ số tận cùng; vì $10q$ luôn chia hết cho $5$ nên tính chia hết của $n$ hoàn toàn do $r$ quyết định, và điều đó cho cả hai chiều một lúc.

Vậy mệnh đề “Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 và ngược lại” là mệnh đề đúng.

Nhận xét. Một dòng $n=10q+r$ chứng minh trọn hai chiều, thay cho việc xét riêng từng chiều.

Định hướng. Chỉ cần chọn đúng dấu hiệu tương đương với “chia hết cho 2” rồi đặt vào khuôn câu “điều kiện cần và đủ để … là …”.

Vậy điều kiện cần và đủ để $n$ chia hết cho 2 là $n$ là số chẵn.

Định hướng. Có thể phát biểu cùng nội dung đó theo dấu hiệu chia hết cho 2 đã học ở cấp dưới, dùng chữ số tận cùng thay vì từ “số chẵn”.

Vậy điều kiện cần và đủ để $n$ chia hết cho 2 là chữ số tận cùng của $n$ là $0,2,4,6$ hoặc $8$.

Nhận xét. Hai cách phát biểu tương đương nhau về nội dung, chỉ khác cách diễn đạt dấu hiệu chia hết cho 2.

Định hướng. Quay về đúng định nghĩa chia hết thì điều kiện cần và đủ hiện ra ngay, không phải kể ra danh sách chữ số tận cùng.

Vậy điều kiện cần và đủ để số tự nhiên $n$ chia hết cho 2 là tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $n=2k$, tức $n$ là số chẵn.

Nhận xét. Dạng $n=2k$ là dạng dùng được ngay khi đi chứng minh, còn dạng “chữ số tận cùng” thì tiện khi chỉ cần nhìn số mà trả lời.

Định hướng. Với $P$ (mệnh đề $\forall$), cần chỉ ra bình phương của MỌI số thực đều không âm; với $Q$ (mệnh đề $\exists$), cần biết $\sqrt{2}$ có phải số hữu tỉ hay không.

Vậy $P$ đúng, $Q$ sai.

Định hướng. Thử vài số thực bất kì cho $P$ để không thấy phản ví dụ, và thử tìm một số hữu tỉ có bình phương bằng 2 cho $Q$ để thấy không thể tìm được.

Vậy $P$ đúng vì đúng với mọi số thực thử được, còn $Q$ sai vì không tồn tại số hữu tỉ nào thoả mãn.

Nhận xét. Với mệnh đề $\exists$, thử nhiều số cũng chỉ mang tính gợi ý; phải lập luận $\sqrt{2}$ vô tỉ như Cách 1 mới chắc chắn $Q$ sai.

Định hướng. Giả sử $Q$ đúng, tức có số hữu tỉ mà bình phương bằng $2$; viết số đó dưới dạng phân số tối giản rồi tìm mâu thuẫn về tính chẵn lẻ.

Vậy $P$ là mệnh đề đúng, còn $Q$ là mệnh đề sai.

Nhận xét. Phản chứng là cách DUY NHẤT chứng minh được $Q$ sai, vì thử bao nhiêu số hữu tỉ cũng không thể kiểm hết tập $\mathbb{Q}$.

Định hướng. Dịch trực tiếp kí hiệu sang lời, sau đó dùng tính chất $x^2\ge 0$ để đánh giá dấu của $x^2+1$ với MỌI $x$.

Vậy mệnh đề đã cho là mệnh đề sai.

Định hướng. Với mệnh đề $\forall$, chỉ cần đúng MỘT phản ví dụ (một giá trị $x$ làm câu sai) là đủ kết luận cả mệnh đề sai, không cần xét hết mọi số thực.

Vậy với $x=0$ câu “$x^2+1\le 0$” sai, nên mệnh đề $\forall x\in \mathbb{R},x^2+1\le 0$ là mệnh đề sai.

Nhận xét. Cách 2 nhanh gọn hơn hẳn vì chỉ cần một phản ví dụ, trong khi Cách 1 phải lập luận cho TOÀN BỘ tập số thực.

Định hướng. Phủ định của mệnh đề với $\forall$ là mệnh đề với $\exists$; chứng minh phủ định ĐÚNG thì mệnh đề ban đầu SAI, đây là đường đi ngắn nhất về mặt lô-gic.

Vậy mệnh đề “$\forall x\in \mathbb{R},x^2+1\le 0$” đọc là “Với mọi số thực $x$, $x^2+1$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$” và đây là mệnh đề SAI.

Nhận xét. Thực ra phủ định còn đúng mạnh hơn: $x^2+1\ge 1>0$ với MỌI $x$, nên mệnh đề đã cho sai ở mọi giá trị chứ không chỉ sai ở một điểm.

Định hướng. Chuyển hai câu sang kí hiệu $\forall$, $\exists$ theo đúng cấu trúc câu, sau đó tìm một số thực cụ thể để kiểm tra.

Vậy a) Mai phát biểu đúng, Nam phát biểu sai; b) Nam: $\forall x\in \mathbb{R},x^2\ne 1$ (mệnh đề sai); Mai: $\exists x\in \mathbb{R},x^2=1$ (mệnh đề đúng).

Định hướng. Câu của Mai chính là mệnh đề phủ định của câu Nam ($\exists$ đối lại $\forall$, “bằng” đối lại “khác”), nên chỉ cần xác định đúng sai một câu là suy ra ngay câu còn lại.

Vậy a) Mai đúng, Nam sai; b) Nam: $\forall x\in \mathbb{R},x^2\ne 1$; Mai: $\exists x\in \mathbb{R},x^2=1$.

Nhận xét. Nhận ra ngay hai câu phủ định nhau giúp khỏi phải xét riêng lẻ từng câu như Cách 1.

Định hướng. Mô tả trọn vẹn tập các số thực có bình phương bằng $1$; tập đó rỗng hay khác rỗng sẽ quyết định ngay ai đúng ai sai.

Vậy a) Mai phát biểu đúng, Nam phát biểu sai. b) Nam: “$\forall x\in \mathbb{R},x^2\ne 1$”; Mai: “$\exists x\in \mathbb{R},x^2=1$”.

Nhận xét. Giải phương trình cho biết có ĐÚNG HAI số thoả mãn — nhiều thông tin hơn hẳn việc chỉ tìm một phản ví dụ.

Định hướng. Xếp bốn câu vào đúng kiểu (khẳng định / câu hỏi / câu cầu khiến / khẳng định chưa xác định) để nhận ra câu nào có tính đúng sai rõ ràng.

Vậy chỉ có câu a) là mệnh đề.

Định hướng. Với mỗi câu, tự hỏi: nếu phải trả lời NGAY BÂY GIỜ là “đúng” hay “sai” thì có làm được không — làm được thì đó là mệnh đề.

Vậy trong bốn câu, duy nhất câu a) là mệnh đề.

Nhận xét. Câu d) dễ gây nhầm vì có dạng khẳng định (“Tôi sẽ…”), nhưng nội dung là dự đoán về tương lai chưa xảy ra nên không gán được đúng/sai tại thời điểm phát biểu.

Định hướng. Một câu là mệnh đề thì phải lập được phủ định của nó và trong hai câu ấy có đúng một câu đúng; câu nào không qua được phép thử này thì không phải mệnh đề.

Vậy chỉ có câu a) là mệnh đề.

Nhận xét. Phép thử phủ định bắt được cả câu d) — trường hợp mà việc chỉ nhìn dấu câu sẽ bỏ sót.

Định hướng. Mỗi câu đều kiểm chứng được bằng một phép tính hoặc một ví dụ cụ thể, nên xử lí lần lượt theo đúng thứ tự đề.

Vậy a) sai; b) đúng; c) đúng; d) đúng.

Định hướng. Có thể kiểm tra lại bằng một hướng khác: so sánh $\pi$ với các số quen thuộc, thử trực tiếp nghiệm vào phương trình, xét tính chất số 0, và thử chia 2 022 cho một số nguyên tố nhỏ.

Vậy a) sai; b) đúng; c) đúng; d) đúng.

Nhận xét. Chỉ cần một phép chia hết cho 2 là đủ khẳng định 2 022 là hợp số, không cần phân tích ra thừa số nguyên tố đầy đủ.

Định hướng. Với mỗi ý, viết mệnh đề phủ định rồi xác định tính đúng sai của phủ định; mệnh đề gốc và phủ định luôn trái nhau nên đọc ngược ra kết quả.

Vậy a) sai; b) đúng; c) đúng; d) đúng.

Nhận xét. Nhân hai vế với $3$ biến phép so sánh $\pi$ với $\frac{10}{3}$ thành phép so sánh $3\pi$ với $10$ — hết sạch phân số, khỏi lo sai số làm tròn.

Định hướng. Gọi ba góc của tam giác là $\hat{A},\hat{B},\hat{C}$ với tổng luôn bằng $180^{\circ }$; xét lần lượt chiều thuận và chiều đảo dựa vào đẳng thức này.

Vậy $P\iff Q$: “Tam giác $ABC$ là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác $ABC$ có một góc bằng tổng hai góc còn lại” là mệnh đề đúng.

Định hướng. Kiểm tra lại chiều đảo bằng cách giải trực tiếp phương trình góc, xem góc tìm được có đúng bằng $90^{\circ }$ hay không.

Vậy chiều đảo cũng đúng, khẳng định lại $P\iff Q$ là mệnh đề đúng.

Nhận xét. Cách 2 giải trực tiếp bằng đại số cho ra đúng $90^{\circ }$, xác nhận lại kết quả hình học của Cách 1 mà không cần vẽ hình.

Định hướng. Với tam giác $ABC$ luôn có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }$; ta so sánh $\hat{A}$ với $\hat{B}+\hat{C}$ trong ba trường hợp về độ lớn của $\hat{A}$, thấy đẳng thức chỉ xảy ra đúng lúc $\hat{A}=90^{\circ }$.

Vậy mệnh đề $P\iff Q$ phát biểu là “Tam giác $ABC$ là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác $ABC$ có một góc bằng tổng hai góc còn lại”, và đây là mệnh đề đúng.

Nhận xét. Cách so sánh này cho luôn kết quả phụ: góc lớn hơn tổng hai góc kia thì tam giác tù, nhỏ hơn thì góc đó nhọn.

Định hướng. Đổi vai trò giả thiết — kết luận để có hai mệnh đề đảo, sau đó thử tìm một trường hợp cụ thể làm mệnh đề đảo sai (nếu có).

Vậy cả hai mệnh đề đảo đều sai, vì mỗi mệnh đề đều có một phản ví dụ cụ thể.

Định hướng. Với mỗi mệnh đề đảo, liệt kê một vài đối tượng thoả mãn “kết luận đảo” rồi xem chúng có thoả “giả thiết đảo” hay không — chỉ cần một trường hợp không thoả là đủ.

Vậy mệnh đề đảo của P sai (ví dụ n=20), mệnh đề đảo của Q sai (ví dụ hình thang cân).

Nhận xét. Cả P và Q ban đầu đều là mệnh đề đúng, nhưng mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết đúng — đây là minh hoạ điển hình cho nhận xét đó.

Định hướng. Mỗi mệnh đề $P\Rightarrow Q$ đúng tương ứng với bao hàm thức tập $P$ nằm trong tập $Q$; mệnh đề đảo đúng khi và chỉ khi hai tập TRÙNG NHAU, nên chỉ cần chỉ ra một phần tử của tập lớn nằm ngoài tập nhỏ.

Vậy mệnh đề đảo của $P$ là “Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho 5 thì $n$ có chữ số tận cùng là 5” — SAI; mệnh đề đảo của $Q$ là “Nếu tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau thì $ABCD$ là hình chữ nhật” — SAI.

Nhận xét. Nhìn bằng tập hợp cho thấy mệnh đề đảo sai chính là vì bao hàm thức là THỰC SỰ, tức tập lớn còn thừa phần tử.

Định hướng. Phát biểu đúng nội dung $P\Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo $Q\Rightarrow P$ trước, sau đó thử một bộ $a,b$ để kiểm tra từng chiều.

Vậy c) mệnh đề ở câu a) sai (phản ví dụ a=-1, b=2), còn mệnh đề đảo ở câu b) đúng.

Định hướng. Với chiều a), chỉ ra $a$ có thể âm nên $P$ không buộc phải kéo theo $Q$; với chiều b), biến đổi trực tiếp $b^2-a^2$ thành tích để thấy dấu dương ngay khi $0<a<b$.

Vậy mệnh đề đảo ở câu b) đúng với mọi $a,b$ thoả $0<a<b$, còn mệnh đề ở câu a) sai.

Nhận xét. Mấu chốt là $P$ chỉ so sánh BÌNH PHƯƠNG nên không phân biệt được dấu của $a$, còn $Q$ đòi hỏi cả $a$ dương — đó là lí do chiều a) sai còn chiều b) đúng.

Định hướng. Đưa $a^2<b^2$ về $\left(b-a\right)\left(b+a\right)>0$; tích này chỉ cho biết $\left|a\right|<\left|b\right|$ chứ không cho biết dấu của $a$, từ đó thấy ngay chiều nào đúng chiều nào sai.

Vậy a) $P\Rightarrow Q$: “Nếu $a^2<b^2$ thì $0<a<b$”; b) mệnh đề đảo $Q\Rightarrow P$: “Nếu $0<a<b$ thì $a^2<b^2$”; c) mệnh đề ở câu a) SAI (phản ví dụ $a=-1$, $b=2$), mệnh đề ở câu b) ĐÚNG.

Nhận xét. Viết được $a^2<b^2\iff \left|a\right|<\left|b\right|$ là nắm trọn bản chất: bình phương chỉ so được ĐỘ LỚN, không so được dấu.

Định hướng. Với mệnh đề $\exists$, chỉ cần tìm ĐƯỢC một giá trị $n$ thoả điều kiện “n chia hết cho n+1” là đủ kết luận Q đúng.

Vậy $Q$ là mệnh đề đúng (với $n=0$); mệnh đề phủ định $\overline{Q}$: “$\forall n\in \mathbb{N},n$ không chia hết cho $n+1$” là mệnh đề sai.

Định hướng. Vì $n+1>n\ge 0$ với mọi $n$ tự nhiên, số lớn hơn ($n+1$) không thể là ước của số nhỏ hơn ($n$) trừ khi số nhỏ hơn bằng 0 — từ đó xác định NGAY giá trị $n$ duy nhất có thể thoả mãn.

Vậy $Q$ đúng với đúng một giá trị $n=0$; mệnh đề phủ định $\overline{Q}$: “$\forall n\in \mathbb{N},n$ không chia hết cho $n+1$” sai.

Nhận xét. Cách 2 còn cho biết THÊM rằng $n=0$ là giá trị DUY NHẤT thoả mãn, chặt chẽ hơn Cách 1 vốn chỉ cần chỉ ra một giá trị.

Định hướng. Nếu $n$ chia hết cho $n+1$ thì hiệu của $n+1$ và $n$ cũng phải chia hết cho $n+1$; hiệu đó bằng $1$ nên $n+1$ bị ép rất chặt, từ đó tìm được trọn vẹn tập các $n$ thoả mãn.

Vậy $Q$ là mệnh đề ĐÚNG (chỉ với $n=0$); mệnh đề phủ định là “$\forall n\in \mathbb{N}$, $n$ không chia hết cho $n+1$” và mệnh đề phủ định này SAI.

Nhận xét. Cách này không chỉ trả lời đúng sai mà còn chứng minh $n=0$ là giá trị DUY NHẤT, điều mà việc thử số không làm được.

Định hướng. Nhận diện từ khoá “mọi” ứng với $\forall$ và “có một” ứng với $\exists$, rồi viết đúng biến, tập hợp và điều kiện theo sau.

Vậy $P$: $\forall n\in \mathbb{N},n^2\ge n$ và $Q$: $\exists x\in \mathbb{R},x+x=0$.

Định hướng. Sau khi viết kí hiệu, đọc lại thành lời xem có khớp đúng ý đề bài hay không — đây là cách tự kiểm tra không cần công cụ nào khác.

Vậy $P$: $\forall n\in \mathbb{N},n^2\ge n$ và $Q$: $\exists x\in \mathbb{R},x+x=0$ đều viết đúng và đều là mệnh đề đúng.

Nhận xét. Việc thử lại bằng số cụ thể (n=3, x=0) giúp chắc chắn kí hiệu đã viết đúng đúng nghĩa với câu lời gốc.

Định hướng. Mỗi mệnh đề với lượng từ tương ứng với một khẳng định về tập nghiệm: $\forall$ nghĩa là tập nghiệm trùng cả tập nền, $\exists$ nghĩa là tập nghiệm khác rỗng; kiểm chứng hai điều đó là biết mình dịch có đúng không.

Vậy $P$: “$\forall n\in \mathbb{N},n^2\ge n$”; $Q$: “$\exists x\in \mathbb{R},x+x=0$”.