Bài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Định hướng. Chỉ cần đọc đúng tên các thành viên hiện trên hai màn hình Chuyên đề 1 và Chuyên đề 2 rồi xếp vào đúng tập hợp $A$ hoặc $B$.

Vậy a) Nam$\in A$, Ngân$\notin B$; b) A= = {Nam; Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi; Ngân}, B= = {Hương; Khánh; Hiền; Chi; Bình; Lam; Tú; Hân}.

Định hướng. Đếm số ô tên trên mỗi màn hình trước để biết số phần tử cần liệt kê, tránh sót hoặc thừa tên khi viết tập hợp.

Vậy A= = {Nam; Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi; Ngân} (7 phần tử), B= = {Hương; Khánh; Hiền; Chi; Bình; Lam; Tú; Hân} (8 phần tử); Nam$\in A$, Ngân$\notin B$.

Nhận xét. Đếm số phần tử trước là một cách tự kiểm tra nhanh để không bỏ sót tên khi liệt kê tập hợp từ hình vẽ.

Định hướng. Kẻ bảng gồm cột tên và hai cột đánh dấu ứng với Chuyên đề 1, Chuyên đề 2; duyệt hết danh sách một lượt là đọc ra ngay cả $A$ lẫn $B$ mà không sợ bỏ sót hay kể trùng.

Vậy a) Nam thuộc $A$, còn Ngân không thuộc $B$; b) $A$ gồm Nam, Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi, Ngân và $B$ gồm Hương, Khánh, Hiền, Chi, Bình, Lam, Tú, Hân.

Nhận xét. Bảng này còn dùng lại được ở HĐ7, HĐ8, HĐ9: giao là các dòng đánh dấu cả hai cột, hợp là các dòng có ít nhất một dấu, hiệu là các dòng chỉ đánh dấu cột thứ nhất.

Định hướng. Sáu phần tử được liệt kê đều có cùng một loại đối tượng địa lí, chỉ cần gọi tên đúng loại đối tượng đó.

Vậy a) $C$ là tập hợp các châu lục trên Trái Đất; b) $C$ có 6 phần tử.

Định hướng. Đánh số 1, 2, 3, … cho từng phần tử trong dấu ngoặc nhọn là cách đếm chắc chắn không bỏ sót, không đếm trùng.

Vậy $n(C)=6$ và $C$ là tập hợp các châu lục trên Trái Đất.

Nhận xét. Đánh số thứ tự là cách đếm an toàn khi danh sách phần tử dài, tránh đếm nhầm.

Định hướng. Đặt $C_1$ là tập các châu lục trên Trái Đất; muốn khẳng định tính chất đặc trưng nêu ra là đúng thì phải chỉ ra $C\subset C_1$ và $C_1\subset C$.

Vậy a) $C$ là tập hợp các châu lục trên Trái Đất; b) $n\left(C\right)=6$.

Nhận xét. Phép kiểm hai chiều chính là công cụ để bác bỏ những tính chất nêu quá hẹp hoặc quá rộng.

Định hướng. Giải phương trình bậc hai để tìm đúng tập nghiệm $S$, sau đó so từng số 13, 11 và đếm số phần tử để xét cả ba mệnh đề cùng lúc.

Vậy a) đúng; b) sai; c) đúng.

Định hướng. Nếu đoán được một nghiệm là 13 thì dùng tổng hai nghiệm theo Viète để suy ra ngay nghiệm còn lại, khỏi cần tính $\Delta$.

Vậy a) $13\in S$ đúng; b) "$11\notin S$" sai (vì $11\in S$); c) $n(S)=2$ đúng.

Nhận xét. Thử nghiệm rồi dùng Viète nhanh hơn tính $\Delta$ khi đoán được một nghiệm đẹp.

Định hướng. Muốn biết một số có thuộc tập nghiệm hay không thì thay thẳng vào phương trình; muốn biết $S$ có bao nhiêu phần tử thì chỉ cần dấu của $\Delta$, không cần tìm nghiệm.

Vậy a) đúng; b) sai vì $11\in S$; c) đúng.

Nhận xét. Với câu hỏi dạng “$a$ có thuộc tập nghiệm không”, thay số bao giờ cũng nhanh và an toàn hơn giải phương trình rồi mới so sánh.

Định hướng. Trước hết lọc đúng những tên bắt đầu bằng chữ H trong $B$ để lập $H$, sau đó vì $H$ được lọc ra ngay từ $B$ nên chắc chắn từng phần tử của $H$ đều thuộc $B$.

Vậy mọi phần tử của $H$ đều là phần tử của $B$, tức $H\subset B$.

Định hướng. Không giả định trước, cứ liệt kê $H$ xong rồi thử TỪNG tên xem có mặt trong $B$ hay không, đúng theo định nghĩa tập con.

Vậy theo định nghĩa tập con, $H\subset B$: các phần tử của $H$ đều là phần tử của $B$.

Nhận xét. Đây là điều hiển nhiên vì $H$ vốn được lọc ra từ chính $B$, nên $H\subset B$ luôn đúng trong mọi cách lọc theo một điều kiện thêm vào.

Định hướng. Dùng đúng định nghĩa: $H\subset B$ nghĩa là mệnh đề “với mọi $x$, nếu $x\in H$ thì $x\in B$” đúng; mà cách lập $H$ đã bảo đảm điều đó.

Vậy mọi phần tử của $H$ đều là phần tử của $B$, tức $H\subset B$, với $H$ gồm Hương, Hiền, Hân.

Nhận xét. Lập luận này không phụ thuộc vào việc $B$ có bao nhiêu người: hễ tập được lọc ra từ tập nào thì nó là tập con của tập ấy.

Định hướng. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc chính là định nghĩa của hình thoi, nên quy bài toán về so sánh tập hình thoi với tập hình vuông — một quan hệ đã biết từ THCS.

Vậy a) sai; b) đúng; c) sai.

Định hướng. Với mỗi mệnh đề bao hàm, chỉ cần một hình cụ thể thuộc tập này mà không thuộc tập kia là đủ bác bỏ; còn chiều đúng thì lập luận bằng tính chất.

Vậy a) $C\subset D$ sai; b) $C\supset D$ đúng; c) $C=D$ sai.

Nhận xét. Chỉ cần đúng MỘT phản ví dụ (hình thoi không vuông) là đủ loại cả mệnh đề a) và c) cùng lúc.

Định hướng. Xếp ba tập hợp thành các vòng lồng nhau trên biểu đồ Ven; nhìn hình là đọc ra ngay chiều của mỗi bao hàm và chỗ nào còn thừa phần tử.

Vậy a) sai; b) đúng; c) sai.

Nhận xét. Biểu đồ Ven cho thấy quan hệ ở đây là bao hàm THỰC SỰ: $D$ nằm hẳn bên trong $C$ chứ không trùng $C$.

Định hướng. Liệt kê độc lập mọi số chính phương nhỏ hơn 100 bằng cách lấy bình phương $0^2,1^2,2^2,\dots$ đến khi vượt quá 100, rồi so với danh sách của Sơn.

Vậy Sơn viết đúng, và tính chất đặc trưng của Thu cũng mô tả đúng CÙNG tập hợp đó nên Thu cũng viết đúng: $S=T$.

Định hướng. Hai tập hợp bằng nhau khi mỗi phần tử của tập này cũng là phần tử của tập kia; kiểm tra cả hai chiều bao hàm giữa $S$ và $T$.

Vậy $S=T$: cả Sơn và Thu đều viết đúng, chỉ khác nhau ở CÁCH mô tả (liệt kê và tính chất đặc trưng).

Nhận xét. Một tập hợp hữu hạn luôn có thể viết theo cả hai cách; hai cách khác nhau vẫn cho cùng một tập hợp nếu diễn tả đúng cùng nội dung.

Định hướng. Thay vì dò danh sách, hãy mô tả điều kiện “$n$ chính phương và $n<100$” bằng một ràng buộc trên $k$; số giá trị của $k$ cho ngay số phần tử.

Vậy cả Sơn và Thu đều viết đúng, $S=T$ — đó chỉ là hai cách mô tả khác nhau của cùng một tập hợp gồm $10$ phần tử.

Nhận xét. Chuyển điều kiện từ $n$ sang $k$ vừa bảo đảm không sót vừa cho biết ngay số phần tử là $10$.

Định hướng. Xét lần lượt bốn phần tử $-4,0,1,2$ xem có thuộc $\mathbb{Z}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{R}$ hay không; chỉ cần một phần tử "trượt" là cả mệnh đề tập con đó sai.

Vậy a) đúng; b) sai (vì $-4\notin \mathbb{N}$); c) đúng.

Định hướng. Vì đã biết $C\subset \mathbb{Z}$ (bốn phần tử đều nguyên), có thể dùng ngay dây bao hàm $\mathbb{Z}\subset \mathbb{R}$ để suy ra $C\subset \mathbb{R}$ mà không cần xét lại từng phần tử.

Vậy a) đúng, b) sai, c) đúng — suy trực tiếp từ $C\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{R}$ và $-4\notin \mathbb{N}$.

Nhận xét. Một khi đã có $C\subset \mathbb{Z}$, tính bắc cầu của quan hệ tập con cho ngay $C\subset \mathbb{R}$ mà khỏi kiểm tra lại từng số.

Định hướng. Đặt bốn số của $C$ lên trục số; các số tự nhiên nằm ở các vạch nguyên từ gốc trở sang phải, nên nhìn vị trí là biết ngay phần tử nào lọt ra ngoài $\mathbb{N}$.

Vậy a) đúng; b) sai vì $-4\notin \mathbb{N}$; c) đúng.

Nhận xét. Trục số biến câu hỏi về bao hàm thành câu hỏi về vị trí — chỉ cần nhìn xem có điểm nào lọt ra ngoài vùng của tập số đang xét hay không.

Định hướng. Dùng ngay định nghĩa số hữu tỉ (viết được dạng phân số) và định nghĩa số thực (gồm số hữu tỉ và số vô tỉ) để xét lần lượt ba mệnh đề.

Vậy a) đúng; b) đúng; c) đúng.

Định hướng. Với mỗi mệnh đề khẳng định sự tồn tại hoặc bao hàm, việc đưa ra một ví dụ cụ thể thoả mãn là đủ để kết luận mệnh đề đúng.

Vậy cả ba mệnh đề a), b), c) đều đúng, với $\sqrt{2}$ là một ví dụ minh hoạ cho câu c).

Nhận xét. Câu c) chính là lí do vì sao $\mathbb{Q}⊊\mathbb{R}$ (bao hàm thực sự, không bằng nhau).

Định hướng. Viết mỗi mệnh đề thành một khẳng định về bao hàm hoặc về phần tử, rồi đối chiếu với dây $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$.

Vậy cả ba mệnh đề a), b), c) đều đúng.

Nhận xét. Ba câu gộp lại cho biết $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ và bao hàm thứ hai là THỰC SỰ, vì còn số vô tỉ nằm ngoài $\mathbb{Q}$.

Định hướng. Sự khác biệt duy nhất giữa $C$ và $D$ nằm ở điểm $x=3$ (dấu "$\ge$" so với "$>$"), nên chỉ cần xét đúng điểm này là trả lời được cả bốn ý.

Vậy a) đúng; b) sai; c) đúng; d) sai.

Định hướng. Vẽ $C=[3;+\infty )$ và $D=(3;+\infty )$ trên cùng trục số, khác nhau đúng ở việc có hay không có điểm đầu mút $3$.

Vậy a) đúng, b) sai (vì $x=3$ là phản ví dụ), c) đúng, d) sai — khớp với Cách 1.

Nhận xét. $D\subset C$ đúng (vì $D$ chỉ thiếu đúng điểm $3$ so với $C$), nhưng chiều ngược $C\subset D$ thì sai.

Định hướng. Viết $C$, $D$ dưới dạng khoảng rồi tính hiệu $C\setminus D$: hiệu khác rỗng là bằng chứng gọn nhất cho việc $C$ không nằm trong $D$ và $C\ne D$.

Vậy a) đúng; b) sai; c) đúng; d) sai.

Nhận xét. Muốn chứng minh hai tập KHÁC nhau, tính hiệu của chúng là cách ngắn nhất: hiệu khác rỗng thì lập tức có kết luận.

Định hướng. Mỗi loại ngoặc ứng với đúng một loại dấu bất đẳng thức ở đầu mút đó: ngoặc vuông "[", "]" $\leftrightarrow$ dấu $\le ,\ge$; ngoặc tròn "(", ")" $\leftrightarrow$ dấu $<,>$.

Vậy 1—d), 2—a), 3—b), 4—c) (dòng e) không được dùng).

Định hướng. Sau khi ghép, thử giá trị đúng bằng đầu mút (như $x=2$ hoặc $x=5$) để kiểm tra xem có được nhận vào tập hay không, khớp với cả kí hiệu khoảng lẫn bất đẳng thức.

Vậy các cặp ghép đúng là 1—d), 2—a), 3—b), 4—c), còn e) $2\le x<5$ (ứng với nửa khoảng $[2;5)$) không xuất hiện ở cột trái nên không dùng.

Nhận xét. Thử giá trị đúng bằng đầu mút là cách kiểm tra chắc chắn để phân biệt "vuông" (nhận) và "tròn" (loại).

Định hướng. Đọc năm dòng cột phải thành năm kí hiệu tập hợp, so với bốn kí hiệu ở cột trái; dòng nào không có kí hiệu tương ứng chính là dòng dư, các cặp còn lại ghép theo thứ tự là xong.

Vậy 1 ghép với d); 2 ghép với a); 3 ghép với b); 4 ghép với c); dòng e) là dòng dư.

Nhận xét. Đổi hết cột phải sang kí hiệu khoảng rồi mới ghép là mẹo chung cho mọi bài nối cột: hai bên cùng một ngôn ngữ thì không thể lẫn.

Định hướng. "Tham gia cả hai chuyên đề" nghĩa là tên đó phải có mặt ĐỒNG THỜI trong cả hai danh sách $A$ và $B$; duyệt từng tên của $A$ và kiểm tra có mặt trong $B$ không.

Vậy X= = {Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi}; vì mọi phần tử của $X$ đều lấy từ $A$ nên $X\subset A$, và đều được xác nhận thuộc $B$ nên $X\subset B$.

Định hướng. "Tham gia cả hai chuyên đề" đúng là định nghĩa của phép giao $A\cap B$; một khi đã nhận ra điều đó, quan hệ $X\subset A$ và $X\subset B$ suy ra ngay từ tính chất chung của phép giao, khỏi cần liệt kê lại.

Vậy $X=A\cap B\subset A$ và $X=A\cap B\subset B$ — đây là tính chất đúng với MỌI cặp tập hợp $A,B$, không riêng gì bài toán này.

Nhận xét. Cách 2 cho một quy luật tổng quát ($A\cap B$ luôn là tập con của cả $A$ lẫn $B$), còn Cách 1 chỉ kiểm chứng đúng cho ví dụ cụ thể.

Định hướng. Dùng lại bảng đánh dấu đã lập ở HĐ1: giao của hai tập chính là những dòng được đánh dấu ở CẢ HAI cột, còn quan hệ tập con thì suy thẳng từ định nghĩa phép giao.

Vậy $X$ gồm Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi; đồng thời $X\subset A$ và $X\subset B$.

Nhận xét. Hai quan hệ $X\subset A$ và $X\subset B$ đúng cho MỌI cặp tập hợp, không phụ thuộc danh sách cụ thể.

Định hướng. Phần chung của hai đoạn bắt đầu từ điểm mà CẢ HAI đoạn cùng đã "vào", tức là lấy đầu trái lớn hơn trong hai đầu trái và đầu phải nhỏ hơn trong hai đầu phải.

Vậy $C\cap D=[1;3]$.

Định hướng. Vẽ $C$ và $D$ trên cùng một trục số, đoạn nào có cả hai màu tô chồng lên nhau chính là $C\cap D$.

Vậy $C\cap D=[1;3]$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Vì cả $C$ và $D$ đều là đoạn đóng (ngoặc vuông) nên giao của chúng cũng là đoạn đóng ở cả hai đầu.

Định hướng. Bốn đầu mút $-2$, $1$, $3$, $5$ chia trục số thành các phần; lấy mỗi phần một điểm rồi hỏi điểm ấy có thuộc cả $C$ lẫn $D$ hay không, phần nào trả lời có thì thuộc giao.

Vậy $C\cap D=\left[1;3\right]$.

Nhận xét. Việc xét riêng bốn đầu mút là bước không được bỏ: chính chúng quyết định giao dùng ngoặc vuông hay ngoặc tròn.

Định hướng. Viết tất cả tên của $A$ trước, sau đó thêm những tên của $B$ mà CHƯA có trong $A$, để mỗi tên chỉ xuất hiện đúng một lần trong $A\cup B$.

Vậy tập hợp thành viên tham gia Chuyên đề 1 hoặc Chuyên đề 2 là A ∪ B= = {Nam; Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi; Ngân; Hiền; Lam; Hân}, gồm 10 người.

Định hướng. Trước khi liệt kê, có thể kiểm tra số lượng bằng công thức $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ để biết chắc $A\cup B$ có bao nhiêu phần tử, tránh đếm nhầm khi liệt kê.

Vậy $A\cup B$ có đúng 10 phần tử: = {Nam; Tú; Khánh; Hương; Bình; Chi; Ngân; Hiền; Lam; Hân}.

Nhận xét. Công thức $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ giúp tự kiểm tra xem đã liệt kê đủ và không trùng hay chưa.

Định hướng. Tách hợp thành hai phần rời nhau: $A\cup B=A\cup \left(B\setminus A\right)$; cách tách này khiến không thể kể trùng vì phần thêm vào đã loại sẵn những tên đã có.

Vậy tập các thành viên tham gia Chuyên đề 1 hoặc Chuyên đề 2 gồm Nam, Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi, Ngân, Hiền, Lam, Hân — tất cả $10$ bạn.

Nhận xét. Cách tách thành hai phần RỜI NHAU cho phép cộng thẳng số phần tử mà không cần công thức bù trừ.

Định hướng. Biểu đồ Ven của hai tập hợp giao nhau luôn có ba vùng: riêng $A$, riêng $B$, và giao $A\cap B$; xếp đúng mỗi tên vào một trong ba vùng theo dữ kiện đã có ở HĐ7.

Vậy biểu đồ Ven của $A\cup B$ gồm hai hình elip $A,B$ chồng lấp, toàn bộ phần diện tích của cả hai hình được tô đậm, chứa đủ 10 tên đã liệt kê ở HĐ8.

Định hướng. Có thể vẽ theo thứ tự ngược lại: tô đậm nền hai hình elip $A$, $B$ trước (thể hiện đây là biểu đồ của phép hợp), sau đó mới điền tên vào ba vùng cho khớp.

Vậy biểu đồ Ven thu được có đúng $2+5+3=10$ tên, khớp với $n(A\cup B)=10$ đã tính ở HĐ8.

Nhận xét. Biểu đồ Ven của $A\cup B$ khác biểu đồ Ven của $A\cap B$ (ở HĐ7) đúng ở chỗ: hợp tô đậm CẢ BA vùng, còn giao chỉ tô đậm vùng CHỒNG LẤP ở giữa.

Định hướng. Dùng bảng đánh dấu ở HĐ1 để quyết định vùng cho từng tên một cách máy móc, sau đó cộng số tên ba vùng và đối chiếu với $n\left(A\cup B\right)=10$.

Vậy biểu đồ Ven gồm hai elip $A$ và $B$ cắt nhau, tô kín cả ba vùng; vùng riêng của $A$ ghi Nam, Ngân; vùng giao ghi Tú, Khánh, Hương, Bình, Chi; vùng riêng của $B$ ghi Hiền, Lam, Hân.

Nhận xét. Phép cộng ba vùng là cách tự kiểm tra hình vẽ: lệch một đơn vị nghĩa là có tên bị xếp sai hoặc bị bỏ quên.

Định hướng. Duyệt từng tên trong $A$, tên nào CŨNG có trong $B$ thì loại (vì họ có tham gia cả Chuyên đề 2), tên nào không có trong $B$ thì giữ lại.

Vậy tập hợp thành viên chỉ tham gia Chuyên đề 1 là A \ B= = {Nam; Ngân}.

Định hướng. Vì $A\cap B\subset A$ nên $A\setminus B$ chính là phần bù của $A\cap B$ trong $A$: lấy $A$ rồi bỏ đi đúng những phần tử đã nằm trong giao.

Vậy A \ B= = {Nam; Ngân}, đúng $2$ phần tử như đã tính bằng phép trừ số lượng.

Nhận xét. Cách tính $n(A\setminus B)=n(A)-n(A\cap B)$ là một cách tự kiểm tra nhanh trước khi liệt kê chi tiết.

Định hướng. Trên biểu đồ Ven đã vẽ ở Luyện tập 6, hiệu $A\setminus B$ chính là vùng nằm trong elip $A$ nhưng ngoài elip $B$ — đọc tên trong vùng đó là xong.

Vậy tập các thành viên chỉ tham gia Chuyên đề 1 gồm Nam và Ngân.

Nhận xét. Ba vùng của biểu đồ Ven ứng đúng với ba tập $A\setminus B$, $A\cap B$, $B\setminus A$ — vẽ một lần dùng được cho cả ba phép toán.

Định hướng. Phần bù của $T$ trong $\mathbb{R}$ gồm tất cả các số thực KHÔNG thuộc $T$; hình dung trên trục số, đó là phần còn lại sau khi bỏ đi đoạn/khoảng đã tô của $T$.

Vậy a) phần bù là $[-2;+\infty )$; b) phần bù là $(-\infty ;-5)$.

Định hướng. Có quy tắc nhanh: phần bù trong $\mathbb{R}$ của một khoảng/nửa khoảng vô hạn là khoảng/nửa khoảng vô hạn CÒN LẠI, đổi chiều bất đẳng thức và đổi ngoặc tròn thành vuông (hoặc ngược lại) tại điểm mút chung.

Vậy a) $C_{\mathbb{R}}(-\infty ;-2)=[-2;+\infty )$; b) $C_{\mathbb{R}}[-5;+\infty )=(-\infty ;-5)$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Điểm mút chung ($-2$ hoặc $-5$) luôn thuộc ĐÚNG MỘT trong hai tập (tập đã cho hoặc phần bù của nó), không bao giờ thuộc cả hai hay không thuộc tập nào.

Định hướng. Viết điều kiện thuộc tập đã cho dưới dạng bất đẳng thức, rồi lấy phủ định của bất đẳng thức đó — phủ định của $x<a$ là $x\ge a$, phủ định của $x\ge a$ là $x<a$.

Vậy a) phần bù của $\left(-\infty ;-2\right)$ trong $\mathbb{R}$ là $\left[-2;+\infty \right)$; b) phần bù của $\left[-5;+\infty \right)$ trong $\mathbb{R}$ là $\left(-\infty ;-5\right)$.

Nhận xét. Nhìn theo phủ định thì việc “ngoặc tròn đổi thành ngoặc vuông” không còn là mẹo học thuộc mà là hệ quả của phủ định dấu $<$ thành dấu $\ge$.

Định hướng. Đặt $x=n(A\cap B)$ là số bạn thi đấu cả hai môn, thay trực tiếp vào công thức $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ với các số liệu đã cho rồi giải phương trình bậc nhất một ẩn $x$.

Vậy có $3$ bạn lớp 10A tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông.

Định hướng. Trên biểu đồ Ven, chia 24 bạn thành ba vùng: chỉ bóng đá ($16-x$), cả hai môn ($x$), chỉ cầu lông ($11-x$); tổng ba vùng đúng bằng tổng số bạn 24.

Vậy $x=3$: có 3 bạn tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông (khớp với Cách 1).

Nhận xét. Sau khi tìm $x=3$, có thể kiểm tra lại: chỉ bóng đá $16-3=13$ bạn, chỉ cầu lông $11-3=8$ bạn, cộng với 3 bạn cả hai môn: $13+3+8=24$ — khớp đề bài.

Định hướng. Đếm theo LƯỢT thay vì theo người: mỗi bạn chơi một môn góp một lượt, mỗi bạn chơi cả hai môn góp hai lượt, nên phần dôi giữa tổng lượt và tổng người chính là số bạn chơi cả hai môn.

Vậy có $3$ bạn lớp 10A tham gia thi đấu cả bóng đá và cầu lông.

Nhận xét. Cách đếm lượt cho thấy công thức $n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right)$ chỉ là phép “trả lại” đúng phần đã đếm thừa.

Định hướng. Xét bản đồ Việt Nam theo ba hướng có đường biên giới trên bộ: phía bắc, phía tây và tây nam, mỗi hướng ứng với một quốc gia tiếp giáp.

Vậy X= = {Trung Quốc; Lào; Campuchia}.

Định hướng. Xét thêm các quốc gia lân cận trong khu vực rồi loại những nước chỉ giáp Việt Nam qua biển (không tiếp giáp trên đất liền) để khẳng định lại danh sách.

Vậy X= = {Trung Quốc; Lào; Campuchia}, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cần phân biệt "tiếp giáp" (có chung đường biên giới trên đất liền) với việc chỉ gần nhau về vị trí địa lí qua biển.

Định hướng. Thay vì cố nhớ ra ba cái tên, hãy duyệt hết các quốc gia trong và quanh khu vực rồi đặt cho từng nước một câu hỏi duy nhất: nước đó có chung đường biên giới trên đất liền với Việt Nam hay không.

Vậy $X$ gồm Trung Quốc, Lào, Campuchia; biểu đồ Ven là một đường cong khép kín mang tên $X$, bên trong ghi ba tên nước đó.

Nhận xét. Cách duyệt toàn bộ rồi loại bảo đảm không sót: mỗi ứng viên đều được xét, chứ không phụ thuộc vào việc có nhớ ra hay không.

Định hướng. Kể tên vài quốc gia quen thuộc trong và ngoài khu vực Đông Nam Á cho câu a), b); sau đó liệt kê đầy đủ 11 quốc gia của khu vực này cho câu c).

Vậy a) chẳng hạn Việt Nam, Thái Lan; b) chẳng hạn Trung Quốc, Nhật Bản; c) $E$ gồm 11 quốc gia kể trên, $n(E)=11$.

Định hướng. Đông Nam Á chia thành hai nhóm: Đông Nam Á lục địa và Đông Nam Á hải đảo; liệt kê theo từng nhóm để không bỏ sót quốc gia nào.

Vậy E= = {Việt Nam; Lào; Campuchia; Thái Lan; Myanmar; Malaysia; Singapore; Indonesia; Philippines; Brunei; Đông Timor}, $n(E)=11$.

Nhận xét. Chia nhóm lục địa/hải đảo giúp kiểm đếm không bỏ sót quốc gia nào trong khu vực.

Định hướng. Lấy danh sách $10$ quốc gia đã cùng nằm trong ASEAN từ năm $1999$ làm khung, rồi kiểm xem khu vực Đông Nam Á còn quốc gia nào chưa có trong khung đó.

Vậy a) chẳng hạn Việt Nam và Thái Lan thuộc $E$; b) chẳng hạn Trung Quốc và Nhật Bản không thuộc $E$; c) $E$ gồm $11$ quốc gia đã kể trên nên $n\left(E\right)=11$.

Nhận xét. Tựa vào một danh sách có số lượng xác định rồi bổ sung là mẹo đếm an toàn cho mọi bài liệt kê thực tế.

Định hướng. Quan sát thấy các số cách đều nhau đúng $4$ đơn vị và số đầu là $0$: đây là các bội của $4$ từ $0$ đến $16$, nên chỉ cần nêu điều kiện chia hết cho $4$ và giới hạn trong đoạn $[0;16]$.

Vậy $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x⋮4,x\le 16\}$.

Định hướng. Thay vì nói "chia hết cho 4", có thể biểu diễn trực tiếp từng phần tử theo công thức $x=4k$ với $k$ là số tự nhiên chạy từ $0$ đến $4$, cho ra đúng năm giá trị đã cho.

Vậy $A=\{x\mid x=4k,k\in \mathbb{N},k\le 4\}$, cách viết này tương đương với Cách 1.

Nhận xét. Cả hai cách viết tính chất đặc trưng đều hợp lệ vì cùng mô tả đúng năm phần tử $0,4,8,12,16$, không hơn không kém.

Định hướng. Dãy cách đều với khoảng cách $4$, số đầu $0$, số cuối $16$ hoàn toàn xác định bởi chỉ số $k$; mô tả theo $k$ rồi đếm lại số giá trị của $k$ để kiểm tra mô tả có đúng $5$ phần tử hay không.

Vậy $A=\left\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ chia het cho }4,x\le 16\right\}$, hay viết gọn $A=\left\{4k\mid k\in \mathbb{N},k\le 4\right\}$.

Nhận xét. Phép đếm $4-0+1=5$ là cách tự kiểm tra: nếu số phần tử tính ra không khớp danh sách thì mô tả chắc chắn sai ở chặn trên hoặc chặn dưới.

Định hướng. Giải $x^2-6=0$ trên $\mathbb{R}$ để có tập $A$, sau đó kiểm tra các nghiệm đó có phải số nguyên hay không để xác định tập $B$.

Vậy $A\ne \varnothing$ (có 2 phần tử), còn $B=\varnothing$ là tập rỗng.

Định hướng. Không cần tính $\sqrt{6}$ chính xác, chỉ cần thử các số nguyên có bình phương gần $6$ để thấy không số nguyên nào cho bình phương đúng bằng $6$.

Vậy tập rỗng trong hai tập đã cho là $B$; còn $A=\{-\sqrt{6};\sqrt{6}\}\ne \varnothing$.

Nhận xét. Cùng một phương trình có thể có nghiệm trên $\mathbb{R}$ nhưng vô nghiệm trên $\mathbb{Z}$, vì tập nghiệm phụ thuộc vào tập số đang xét.

Định hướng. Muốn khẳng định không có số nguyên nào thoả $x^2=6$, hãy chặn: mọi số nguyên $x$ đều rơi vào một trong hai vùng $\left|x\right|\le 2$ hoặc $\left|x\right|\ge 3$, và cả hai vùng đều cho $x^2\ne 6$.

Vậy $B$ là tập rỗng, tức $B=\varnothing$; còn $A=\left\{-\sqrt{6};\sqrt{6}\right\}\ne \varnothing$.

Nhận xét. Phép chặn hai phía là lập luận chặt chẽ nhất cho câu “không tồn tại số nguyên nào”, vì nó phủ kín MỌI số nguyên chứ không chỉ vài số gần đúng.