Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Định hướng. Số tiền thu được bằng đơn giá nhân số vé của từng loại cộng lại; đổi 20 triệu đồng sang đơn vị nghìn đồng để so sánh cùng đơn vị với biểu thức vừa lập.

Vậy số tiền bán vé là $50x+100y$ (nghìn đồng); a) $x$, $y$ thoả mãn $50x+100y\ge 20000$; b) $x$, $y$ thoả mãn $50x+100y<20000$.

Định hướng. Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho ước chung của các hệ số để đưa bất phương trình về dạng có hệ số nhỏ nhất, dễ vẽ miền nghiệm hơn ở các mục sau.

Vậy a) $x+2y\ge 400$; b) $x+2y<400$, cùng bản chất với cách 1 vì $50x+100y\ge 20000$ tương đương $x+2y\ge 400$.

Nhận xét. Bất phương trình $x+2y<400$ và $x+2y\ge 400$ chính là hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn được nhắc tới xuyên suốt các ví dụ và hoạt động tiếp theo của bài học.

Định hướng. Hai dạng $50x+100y\ge 20000$ và $x+2y\ge 400$ chỉ khác nhau một phép chia; thử vài cặp $\left(x;y\right)$ ở cả hai dạng để chắc chắn chúng cho cùng kết luận.

Vậy số tiền bán vé là $50x+100y$ (nghìn đồng); a) điều kiện là $50x+100y\ge 20000$, rút gọn thành $x+2y\ge 400$; b) điều kiện là $50x+100y<20000$, rút gọn thành $x+2y<400$.

Nhận xét. Chia hai vế cho số DƯƠNG $50$ nên chiều bất đẳng thức giữ nguyên — đó là lí do hai dạng luôn cho cùng câu trả lời.

Định hướng. Thay từng cặp số vào hai bất phương trình $x+2y\ge 400$ và $x+2y<400$ thu được ở HĐ1, cặp số làm bất phương trình nào đúng thì thoả mãn bất phương trình đó.

Vậy bán $100$ vé mỗi loại thì rạp phải bù lỗ; bán $150$ vé mỗi loại thì rạp không phải bù lỗ.

Định hướng. Không cần qua bất phương trình rút gọn, tính thẳng số tiền vé $50x+100y$ theo từng cặp số rồi so sánh trực tiếp với mốc $20$ triệu đồng.

Vậy kết quả khớp cách 1: bán $100$ vé mỗi loại phải bù lỗ, bán $150$ vé mỗi loại thì không phải bù lỗ.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết luận vì $x+2y<400$ chỉ là dạng rút gọn của $50x+100y<20000$ sau khi chia cả hai vế cho $50$.

Định hướng. Đường thẳng $x+2y=400$ chia mặt phẳng thành hai nửa: nửa chứa gốc toạ độ ứng với $x+2y<400$, tức phải bù lỗ; nửa kia ứng với $x+2y\ge 400$. Chỉ cần xem mỗi điểm nằm ở nửa nào.

Vậy cặp $\left(100;100\right)$ thoả $x+2y<400$ nên rạp phải bù lỗ; cặp $\left(150;150\right)$ thoả $x+2y\ge 400$ nên rạp không phải bù lỗ.

Nhận xét. Nhìn theo mặt phẳng toạ độ thì đường thẳng $x+2y=400$ chính là “ranh giới hoà vốn”, hai phía của nó là lỗ và lãi.

Định hướng. Chọn tuỳ ý một vài cặp số rồi thay vào vế trái, so sánh với $0$ để kiểm tra có thoả mãn bất phương trình hay không.

Vậy a) $(0;0)$ và $(2;1)$ là hai nghiệm của bất phương trình; b) mọi $x\ge 0$ đều thoả mãn nên có vô số giá trị của $x$.

Định hướng. Rút $x$ theo $y$ từ bất phương trình để thấy ứng với mỗi $y$ có cả một khoảng giá trị $x$ thoả mãn, từ đó chỉ ra nghiệm và đếm số giá trị $x$ khi $y=0$.

Vậy $(-2;1)$ và $(2;-1)$ cũng là hai nghiệm khác của bất phương trình; với $y=0$ vẫn có vô số giá trị $x$ (mọi $x\ge 0$), khớp với cách 1.

Nhận xét. Ứng với mỗi giá trị $y$ cho trước, tập giá trị $x$ thoả mãn $x\ge -2y$ luôn là một khoảng vô hạn, nên bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Định hướng. Vẽ đường thẳng $x+2y=0$ rồi xác định nửa mặt phẳng nghiệm; nghiệm của câu a) là điểm bất kì trong miền, còn câu b) là phần giao của miền với trục hoành.

Vậy a) chẳng hạn $\left(0;0\right)$ và $\left(2;1\right)$ đều là nghiệm; b) có vô số giá trị $x$ thoả mãn, đó là mọi $x\ge 0$.

Nhận xét. Nhìn trên hình thì “vô số nghiệm” không còn trừu tượng: đó chính là một tia trên trục hoành.

Định hướng. Thay toạ độ từng điểm vào biểu thức $2x-y$, so sánh kết quả với $4$; các điểm cho cùng chiều so sánh (cùng nhỏ hơn hoặc cùng lớn hơn $4$) thì thuộc cùng một nửa mặt phẳng.

Vậy $O$, $A$, $B$ cùng thuộc một nửa mặt phẳng ($2x-y<4$); $C$, $D$ cùng thuộc nửa mặt phẳng còn lại ($2x-y>4$).

Định hướng. Vẽ đường thẳng $d$ rồi đánh dấu các điểm lên mặt phẳng toạ độ; các điểm nằm về cùng một phía của $d$ (không bị $d$ tách rời) thuộc cùng một nửa mặt phẳng, sau đó kiểm tra lại bằng phép tính.

Vậy quan sát hình vẽ cho cùng kết luận với cách 1: $O$, $A$, $B$ chung một nửa mặt phẳng, $C$, $D$ chung nửa mặt phẳng còn lại.

Nhận xét. Không cần tính toán vẫn có thể đoán nhanh hai điểm có cùng phía hay không bằng cách nhìn hình, nhưng phép tính $2x-y$ so với $4$ mới là căn cứ chắc chắn.

Định hướng. Đặt $f\left(x;y\right)=2x-y-4$ thì $d$ chính là tập các điểm có $f=0$; hai điểm nằm cùng một nửa mặt phẳng khi và chỉ khi $f$ tại chúng CÙNG DẤU, tức đoạn nối chúng không cắt $d$.

Vậy a) $O$, $A$, $B$ cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ $d$, tại đó $2x-y<4$; b) $C$, $D$ cùng thuộc nửa mặt phẳng còn lại, tại đó $2x-y>4$.

Nhận xét. Dấu của $f$ là tiêu chuẩn đại số thay cho việc nhìn hình — chính tiêu chuẩn này về sau cho phép xác định miền nghiệm chỉ bằng MỘT điểm thử.

Định hướng. Vẽ đường thẳng $d:2x+y=200$ bằng nét đứt (vì bất phương trình không có dấu bằng), rồi dùng một điểm không thuộc $d$ để xác định nửa mặt phẳng là miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của $2x+y<200$ là nửa mặt phẳng bờ $d:2x+y=200$ chứa $O$, biên vẽ nét đứt (miền không bị gạch trên hình).

Định hướng. Chọn thêm một điểm ở phía đối diện với $O$ qua đường thẳng $d$, kiểm tra điểm đó không thoả mãn bất phương trình để khẳng định chiều gạch bỏ.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $O$, không kể đường thẳng $d$, khớp với cách 1.

Nhận xét. Thử thêm một điểm ở phía đối diện là cách kiểm tra chéo rất hữu ích để chắc chắn không gạch nhầm miền.

Định hướng. Giải bất phương trình theo $y$: khi $y$ bị chặn TRÊN thì miền nghiệm nằm phía DƯỚI đường thẳng, khỏi cần điểm thử.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng $2x+y=200$ (vẽ bằng nét đứt) chứa gốc toạ độ $O$, không kể đường biên.

Nhận xét. Đưa về dạng $y$ theo $x$ cho biết ngay phía trên hay phía dưới, nên không phải nhớ mẹo nào về dấu của hệ số.

Định hướng. Gọi $x$, $y$ lần lượt là số phút gọi nội mạng và ngoại mạng, lập bất phương trình biểu thị số tiền phải trả ít hơn $200$ nghìn đồng rồi biểu diễn miền nghiệm với điều kiện $x\ge 0$, $y\ge 0$.

Vậy em có thể chọn số phút gọi nội mạng $x$ và số phút gọi ngoại mạng $y$ (với $x\ge 0$, $y\ge 0$) sao cho $x+2y<200$, tức điểm $(x;y)$ nằm trong miền tam giác $OAB$ (không kể cạnh $AB$); chẳng hạn $x=100$, $y=40$ vì $100+2\cdot 40=180<200$.

Định hướng. Trước tiên xét hai trường hợp riêng biệt (chỉ gọi nội mạng, chỉ gọi ngoại mạng) để tìm hai mốc chặn, sau đó suy ra điều kiện chung cho cả hai loại cuộc gọi.

Vậy hai trường hợp riêng khớp với hai đỉnh $A$, $B$ của miền tam giác $OAB$ ở cách 1, xác nhận kết quả: $(x;y)$ thoả mãn khi và chỉ khi nằm trong tam giác $OAB$, không kể cạnh $AB$.

Nhận xét. Câu trả lời không phải một cặp số duy nhất mà là cả một vùng vô số cặp $(x;y)$ thoả mãn, đây chính là ý nghĩa thực tế của miền nghiệm.

Định hướng. Cố định số phút ngoại mạng $y$ rồi tính số phút nội mạng $x$ nhiều nhất có thể; bảng thu được cho ngay nhiều phương án cụ thể và cho thấy quan hệ đánh đổi giữa hai loại cuộc gọi.

Vậy mọi cặp số phút $\left(x;y\right)$ với $x\ge 0$, $y\ge 0$ và $x+2y<200$ đều dùng được — chẳng hạn $100$ phút nội mạng và $40$ phút ngoại mạng, hết $180$ nghìn đồng.

Nhận xét. Bảng cho thấy tỉ lệ đánh đổi $1$ phút ngoại mạng đổi $2$ phút nội mạng chính là tỉ số hai đơn giá.

Định hướng. So sánh từng bất phương trình với dạng tổng quát $ax+by\le c$, kiểm tra hệ số đứng trước $x$ có phải hằng số không đồng thời bằng $0$ và ẩn $x$, $y$ có bậc nhất hay không.

Vậy a) và b) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn; c) không phải.

Định hướng. Trước tiên loại ngay các phương án có ẩn bậc từ hai trở lên, sau đó chỉ cần kiểm tra hệ số của các phương án còn lại có phải hằng số hay không.

Vậy kết quả khớp cách 1: a), b) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn; c) không phải.

Nhận xét. Cần phân biệt luỹ thừa của hằng số (như $2^2$ trong phương án b) với luỹ thừa của ẩn (như $x^2$ trong phương án c); chỉ luỹ thừa của ẩn mới quyết định bậc của bất phương trình.

Định hướng. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có đường biên là một ĐƯỜNG THẲNG và miền nghiệm là một nửa mặt phẳng; xem đường biên của mỗi câu là đường gì thì kết luận ngay.

Vậy a) và b) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn; c) không phải.

Nhận xét. Tiêu chuẩn “miền nghiệm là nửa mặt phẳng” là cách hiểu bản chất nhất: bậc nhất về đại số tương ứng với đường thẳng về hình học.

Định hướng. Với câu a, đường thẳng không đi qua gốc toạ độ nên dùng ngay $O(0;0)$ làm điểm thử; với câu b, đường thẳng đi qua gốc toạ độ ($c=0$) nên phải chọn điểm thử khác, chẳng hạn $M_0(1;0)$.

Vậy a) miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $3x+2y=300$ (nét liền) không chứa gốc toạ độ; b) miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $7x+20y=0$ (nét đứt) không chứa điểm $(1;0)$.

Định hướng. Rút $y$ theo $x$ từ mỗi bất phương trình; nếu bất phương trình tương đương với $y\ge$ (biểu thức) thì miền nghiệm nằm phía trên đường thẳng, còn $y\le$ (biểu thức) thì miền nghiệm nằm phía dưới.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) miền phía trên $d_1$ (không chứa $O$); b) miền phía dưới $d_2$ (không chứa $(1;0)$).

Nhận xét. Đưa về dạng $y$ theo $x$ giúp nhận ra ngay miền nghiệm nằm phía trên hay phía dưới đường thẳng mà không cần thử điểm, nhưng vẫn nên thử lại một điểm để chắc chắn không nhầm chiều bất đẳng thức.

Định hướng. Với $f\left(x;y\right)=ax+by$, khi đi từ một điểm trên đường biên theo hướng vectơ $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ thì giá trị của $f$ TĂNG; vậy miền $f\ge c$ nằm về phía $\overrightarrow{n}$, còn miền $f<c$ nằm về phía ngược lại.

Vậy a) miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $3x+2y=300$ vẽ nét liền, không chứa gốc toạ độ; b) miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $7x+20y=0$ vẽ nét đứt, không chứa điểm $\left(1;0\right)$.

Nhận xét. Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ luôn chỉ về phía giá trị TĂNG của $ax+by$, nên nhìn hệ số là biết hướng của miền nghiệm mà không cần thử điểm.

Định hướng. Tính tổng phí cố định cả tuần (không đổi), cộng thêm phí theo quãng đường của từng nhóm ngày theo $x$, $y$, rồi cho tổng không vượt quá 14 triệu đồng để lập bất phương trình; từ đó vẽ đường thẳng biên và xác định miền nghiệm bằng điểm thử.

Vậy a) bất phương trình cần lập là $4x+5y\le 3250$ (tương đương $8x+10y\le 6500$); b) miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d:4x+5y=3250$ (nét liền) chứa gốc toạ độ.

Định hướng. Đổi toàn bộ dữ liệu sang đơn vị triệu đồng ngay từ đầu để bất phương trình có hệ số nhỏ gọn hơn khi tính toán, sau đó kiểm tra lại kết quả cuối cùng có khớp với cách 1 hay không.

Vậy kết quả khớp cách 1: $4x+5y\le 3250$, miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ (nét liền) chứa gốc toạ độ.

Nhận xét. Trong thực tế $x\ge 0$ và $y\ge 0$ (số kilômét không âm), nên miền nghiệm có ý nghĩa thực tế chỉ là phần tam giác của nửa mặt phẳng trên nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Định hướng. Sau khi lập được bất phương trình, tìm hai giao điểm của đường biên với hai trục để vẽ miền nghiệm cho chuẩn, rồi kiểm lại bằng hai tình huống chỉ đi ngày thường hoặc chỉ đi cuối tuần.

Vậy a) bất phương trình là $8x+10y\le 6500$, rút gọn thành $4x+5y\le 3250$; b) miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d:4x+5y=3250$ vẽ nét liền, chứa gốc toạ độ (trong thực tế chỉ lấy phần có $x\ge 0$, $y\ge 0$).

Nhận xét. Hai giao điểm với hai trục vừa để vẽ hình vừa mang ý nghĩa thực tế: đó là quãng đường tối đa khi ông An chỉ đi vào một trong hai nhóm ngày.