Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Định hướng. Số tiền vốn (hay tiền lãi) bằng đơn giá mua (hay lợi nhuận) nhân số máy của từng loại cộng lại; đổi $1,2$ tỉ đồng sang đơn vị triệu đồng để lập bất phương trình cùng đơn vị.

Vậy số tiền vốn là $20x+10y$ (triệu đồng); a) $x+y\le 100$; b) $20x+10y\le 1200$; c) số tiền lãi dự kiến $F=3,5x+2y$ (triệu đồng).

Định hướng. Chia cả hai vế của bất phương trình về vốn cho ước chung của các hệ số để đưa về dạng gọn hơn, thuận tiện khi lập hệ và vẽ miền nghiệm ở các mục sau.

Vậy b) $2x+y\le 120$, tương đương $20x+10y\le 1200$ ở cách 1; a) $x+y\le 100$; c) $F=3,5x+2y$ (triệu đồng), khớp với cách 1.

Nhận xét. Hệ bất phương trình gọn $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 100$, $2x+y\le 120$ và biểu thức $F=3,5x+2y$ chính là dữ liệu được dùng lại xuyên suốt Ví dụ 3 của bài học để tìm phương án lợi nhuận lớn nhất.

Định hướng. Chọn một phương án nhập hàng cụ thể rồi tính tay số máy, số vốn, số lãi; đối chiếu với các biểu thức vừa lập để chắc chắn không gán nhầm ẩn hay nhầm đơn vị.

Vậy số tiền vốn là $20x+10y$ (triệu đồng); a) $x+y\le 100$; b) $20x+10y\le 1200$, rút gọn thành $2x+y\le 120$; c) $F=3,5x+2y$ (triệu đồng).

Nhận xét. Phương án $\left(40;40\right)$ dùng vừa hết vốn mà chưa hết nhu cầu — dấu hiệu cho thấy hai ràng buộc không thay thế được cho nhau.

Định hướng. Bổ sung điều kiện không âm $x\ge 0$, $y\ge 0$ vào hai bất phương trình đã lập ở HĐ1 để được hệ đầy đủ, sau đó thử một cặp số đơn giản để kiểm tra.

Vậy hệ bất phương trình là $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 100$, $2x+y\le 120$; cặp số $(0;0)$ là một nghiệm của hệ.

Định hướng. Cho $y=0$ (chỉ nhập máy hai chiều), thay vào hệ để tìm khoảng giá trị của $x$ rồi chọn một giá trị cụ thể làm nghiệm khác với nghiệm tầm thường $(0;0)$.

Vậy $(50;0)$ cũng là một nghiệm của hệ, khác với nghiệm $(0;0)$ ở cách 1.

Nhận xét. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm; nghiệm được chọn ở đây có ý nghĩa thực tế là một phương án nhập hàng, không nhất thiết đạt lợi nhuận lớn nhất.

Định hướng. Miền nghiệm của hệ là giao của bốn nửa mặt phẳng; chọn một điểm nằm hẳn bên trong miền đó rồi kiểm lại bằng phép tính thì có ngay một nghiệm khác các nghiệm tầm thường.

Vậy hệ bất phương trình là $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 100$, $2x+y\le 120$; chẳng hạn $\left(30;40\right)$ là một nghiệm, nghĩa là nhập $30$ máy hai chiều và $40$ máy một chiều thì thoả mọi điều kiện.

Nhận xét. Chọn điểm nằm HẲN bên trong miền (không nằm trên biên) thì cả bốn bất đẳng thức đều đúng ở dạng chặt, nên kiểm tra rất dễ.

Định hướng. Xác định từng miền $D_1$, $D_2$, $D_3$ theo đúng định nghĩa nửa mặt phẳng, chỉ ra tam giác $OAB$ chính là phần chung của ba miền, sau đó thay trực tiếp toạ độ hai điểm đã cho vào ba bất phương trình của hệ.

Vậy tam giác $OAB$ là giao của $D_1$, $D_2$, $D_3$; cả hai điểm $(1;2)$ và $(1;149)$ đều là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Định hướng. Đối chiếu vị trí hai điểm với miền tam giác $OAB$ đã tô trên hình: điểm nằm hẳn bên trong hay nằm trên cạnh của tam giác đều thuộc miền nghiệm, sau đó kiểm tra lại bằng phép tính để chắc chắn.

Vậy quan sát hình vẽ cho cùng kết luận với cách 1: cả hai điểm đều là nghiệm của hệ, trong đó $(1;149)$ là nghiệm nằm trên biên.

Nhận xét. Điểm nằm trên cạnh $AB$ vẫn là nghiệm của hệ vì bất phương trình $x+y\le 150$ có dấu bằng nên đường thẳng $d$ được lấy trọn vào miền nghiệm.

Định hướng. Đặt $D=D_1\cap D_2\cap D_3$; chứng minh mọi điểm của miền tam giác $OAB$ đều thuộc $D$ và ngược lại, rồi kiểm lại bằng hai điểm cụ thể của đề.

Vậy a) $D_1$ ứng với $x\ge 0$, $D_2$ ứng với $y\ge 0$, $D_3$ ứng với $x+y\le 150$ là nửa mặt phẳng chứa $O$; b) miền tam giác $OAB$ đúng là giao của $D_1$, $D_2$, $D_3$; c) cả $\left(1;2\right)$ và $\left(1;149\right)$ đều là nghiệm của hệ.

Nhận xét. Điểm $\left(1;149\right)$ nằm ĐÚNG trên cạnh $AB$ và vẫn là nghiệm — vì cả ba bất phương trình đều có dấu bằng nên biên thuộc miền nghiệm.

Định hướng. Vẽ bốn đường biên tương ứng với bốn bất phương trình của hệ (hai trục toạ độ và hai đường thẳng xiên), dùng điểm thử để xác định miền nghiệm của từng bất phương trình, chú ý nét liền cho dấu bằng và nét đứt cho dấu chặt.

Vậy miền nghiệm là tứ giác $OABC$ như trên, chỉ kể hai cạnh $OA$ và $AB$, không kể hai cạnh $BC$, $OC$ cùng đỉnh $O$.

Định hướng. Rút $y$ theo $x$ từ hai bất phương trình xiên để thấy ngay miền nghiệm nằm phía trên hay dưới mỗi đường thẳng, sau đó đối chiếu với cách 1 bằng một điểm thử khác.

Vậy cách viết theo $y$ theo $x$ cho cùng miền nghiệm với cách 1, và cho thấy rõ vì sao điểm nằm trên cạnh $BC$ (như $(30;60)$) bị loại khỏi miền nghiệm.

Nhận xét. Khi hệ có cả dấu bằng lẫn dấu chặt, cần thử điểm cẩn thận ở gần biên để tránh nhầm điểm biên nét đứt là nghiệm.

Định hướng. Mỗi đỉnh của miền là giao của hai đường biên; giải bốn cặp phương trình để có toạ độ chính xác, sau đó dùng dấu của từng bất phương trình để quyết định cạnh nào thuộc miền.

Vậy miền nghiệm là phần trong tứ giác có bốn đỉnh $O\left(0;0\right)$, $A\left(0;100\right)$, $B\left(20;80\right)$, $C\left(60;0\right)$, kể cả hai cạnh $OA$ và $AB$, không kể hai cạnh $OC$ và $BC$.

Nhận xét. Đỉnh $B\left(20;80\right)$ chỉ tìm được bằng cách giải hệ hai phương trình — nhìn hình mà đọc toạ độ thì rất dễ lệch.

Định hướng. Trước hết xét dấu $x$, $y$ để chặn dưới $F$, sau đó xét tổng $x+y\le 150$ để chặn trên $F$, rồi so khớp với giá trị tại ba đỉnh đã tính ở câu a).

Vậy $F(0;0)=0$, $F(150;0)=300$, $F(0;150)=450$; giá trị nhỏ nhất của $F$ trên miền tam giác $OAB$ là $0$ tại $O$, giá trị lớn nhất là $450$ tại $B$.

Định hướng. Chọn thêm vài điểm cụ thể nằm trong hoặc trên cạnh của tam giác $OAB$, tính giá trị $F$ tại đó rồi so sánh với khoảng từ $0$ đến $450$ vừa tìm được ở cách 1.

Vậy các giá trị thử thêm đều nằm trong đoạn từ $0$ đến $450$, khớp với kết luận giá trị nhỏ nhất bằng $0$ tại $O$ và giá trị lớn nhất bằng $450$ tại $B$ ở cách 1.

Nhận xét. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $F(x;y)=ax+by$ trên một miền đa giác luôn đạt được tại một đỉnh của đa giác, không đạt tại điểm nằm hẳn bên trong miền.

Định hướng. Với biểu thức bậc nhất trên một miền đa giác, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất luôn đạt tại một ĐỈNH; vì vậy chỉ cần lập bảng giá trị tại ba đỉnh rồi chọn số lớn nhất và nhỏ nhất.

Vậy $F\left(0;0\right)=0$, $F\left(150;0\right)=300$, $F\left(0;150\right)=450$; giá trị nhỏ nhất của $F$ trên miền tam giác $OAB$ bằng $0$ tại $O\left(0;0\right)$, giá trị lớn nhất bằng $450$ tại $B\left(0;150\right)$.

Nhận xét. Tính chất “cực trị đạt tại đỉnh” biến bài toán trên một miền VÔ SỐ điểm thành phép so sánh vài con số — đây là công cụ chính cho mọi bài tối ưu ở chương này.

Định hướng. Lập đủ bốn bất phương trình từ dữ kiện đề bài, xác định các đỉnh của miền nghiệm bằng cách giải hệ hai đường thẳng biên cắt nhau, rồi lập bảng giá trị của $F$ tại từng đỉnh để so sánh và tìm giá trị lớn nhất.

Vậy a) hệ bất phương trình là $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 250$, $x+2y\le 400$, miền nghiệm là tứ giác $O(0;0)$, $C(250;0)$, $B(100;150)$, $A(0;200)$; b) $F(x;y)=2,5x+4y$ (triệu đồng); c) cửa hàng cần nhập $100$ máy tính loại $A$ và $150$ máy tính loại $B$ để lợi nhuận lớn nhất, đạt $850$ triệu đồng.

Định hướng. Trước hết xét hai trường hợp cực đoan là chỉ nhập máy $A$ hoặc chỉ nhập máy $B$ để tìm hai mốc lợi nhuận riêng lẻ, sau đó xét trường hợp dùng hết đồng thời cả vốn lẫn nhu cầu rồi so sánh các mốc đó với nhau.

Vậy kết quả khớp cách 1: lợi nhuận lớn nhất là $850$ triệu đồng, đạt khi nhập $100$ máy loại $A$ và $150$ máy loại $B$.

Nhận xét. Hai trường hợp chỉ nhập một loại máy ứng với hai đỉnh $C(250;0)$ và $A(0;200)$ của tứ giác, còn trường hợp dùng hết cả vốn lẫn nhu cầu ứng với đỉnh $B(100;150)$; đây chính là ba trong bốn đỉnh của miền nghiệm.

Định hướng. Mỗi giá trị $m$ cho một đường thẳng $2,5x+4y=m$; các đường này song song với nhau và càng xa gốc thì $m$ càng lớn. Trượt đường mức ra xa cho tới lúc sắp rời khỏi miền nghiệm, điểm chạm cuối cùng chính là nơi đạt lợi nhuận lớn nhất.

Vậy a) hệ là $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 250$, $x+2y\le 400$ với miền nghiệm là tứ giác $O\left(0;0\right)$, $C\left(250;0\right)$, $B\left(100;150\right)$, $A\left(0;200\right)$; b) $F\left(x;y\right)=2,5x+4y$ (triệu đồng); c) cửa hàng nên nhập $100$ máy loại $A$ và $150$ máy loại $B$, lợi nhuận lớn nhất là $850$ triệu đồng.

Nhận xét. So sánh hệ số góc của đường mức với hệ số góc các cạnh cho biết TRƯỚC đỉnh nào là đỉnh tối ưu, khỏi phải tính $F$ ở cả bốn đỉnh.

Định hướng. Kiểm tra từng hệ xem có đúng hai ẩn $x$, $y$ hay không, và ẩn có xuất hiện ở luỹ thừa bậc nhất hay không, hệ số có phải hằng số hay không.

Vậy hệ a) và hệ d) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn; hệ b) và hệ c) không phải.

Định hướng. Quét nhanh để loại các hệ có ẩn bậc cao hoặc có hơn hai ẩn, sau đó mới kiểm tra kỹ hệ số của các hệ còn lại có phải hằng số hay không.

Vậy kết quả khớp cách 1: hệ a) và hệ d) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn; hệ b) và hệ c) không phải.

Nhận xét. Cần phân biệt luỹ thừa của ẩn làm tăng bậc (như $y^2$ ở hệ b) với luỹ thừa của hằng số chỉ là một con số cụ thể (như $3^2$, $4^2$ ở hệ d).

Định hướng. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có miền nghiệm là GIAO của các nửa mặt phẳng trong mặt phẳng $Oxy$; xem miền nghiệm của mỗi hệ có đúng dạng đó không.

Vậy hệ a) và hệ d) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn; hệ b) và hệ c) không phải.

Nhận xét. Tính lại các luỹ thừa của HẰNG SỐ trước khi kết luận là thao tác bắt buộc — $3^2$ và $4^2$ chỉ là $9$ và $16$.

Định hướng. Với mỗi hệ, vẽ các đường thẳng biên tương ứng (nét liền cho bất phương trình có dấu bằng, nét đứt cho bất phương trình chặt), sau đó dùng một điểm không nằm trên biên để xác định phần mặt phẳng thoả mãn từng bất phương trình rồi lấy giao.

Vậy miền nghiệm của mỗi hệ được xác định như trên, thể hiện trên hình là vùng không bị gạch.

Định hướng. Biến đổi các bất phương trình chứa cả $x$ và $y$ về dạng $y<\dots$ hoặc $y>\dots$, kết hợp với các bất phương trình chỉ có một ẩn để mô tả lại miền nghiệm, rồi đối chiếu với cách 1.

Vậy viết lại theo dạng $y$ theo $x$ cho cùng miền nghiệm với cách 1 ở cả ba câu.

Nhận xét. Cách viết $y$ theo $x$ giúp thấy ngay miền nghiệm nằm phía trên hay phía dưới mỗi đường thẳng mà không cần thử điểm, nhưng khi có từ hai đường thẳng xiên trở lên như câu c) vẫn nên thử lại một điểm cụ thể để chắc chắn không nhầm miền.

Định hướng. Giải các cặp phương trình đường biên để có toạ độ đỉnh chính xác, sau đó lấy một điểm nằm trong miền để xác nhận mình đã chọn đúng phía cho từng nửa mặt phẳng.

Vậy a) miền nghiệm gồm các điểm có $x>0$, $y<0$ và $y<x-1$, không kể ba đường biên; b) miền nghiệm là tam giác có ba đỉnh $\left(0;0\right)$, $\left(2;0\right)$, $\left(0;4\right)$ kể cả các cạnh; c) miền nghiệm gồm các điểm có $x\ge 0$, $y>5-x$ và $y>x$, không kể hai đường biên xiên.

Nhận xét. Chỉ câu b) cho miền BỊ CHẶN nên mới mô tả được bằng một tam giác; hai câu còn lại phải mô tả bằng hệ điều kiện vì miền kéo dài vô hạn.

Định hướng. Lập hai bất phương trình chặn trên khối lượng, hai bất phương trình bảo đảm đủ dinh dưỡng và hai điều kiện không âm, rút gọn về hệ số nhỏ nhất, xác định các đỉnh của miền nghiệm rồi lập bảng giá trị của $F$ để tìm giá trị nhỏ nhất.

Vậy a) hệ bất phương trình là $0\le x\le 1,6$, $0\le y\le 1,1$, $8x+6y\ge 9$, $x+2y\ge 2$, miền nghiệm là tứ giác $P(0,6;0,7)$, $Q(0,3;1,1)$, $R(1,6;1,1)$, $S(1,6;0,2)$; b) $F(x;y)=250x+160y$ (nghìn đồng); c) gia đình cần mua $0,3$ kg thịt bò và $1,1$ kg thịt lợn để chi phí ít nhất, bằng $251$ nghìn đồng.

Định hướng. Vì thịt lợn rẻ hơn nên thử phương án mua tối đa thịt lợn ($y=1,1$) rồi tìm lượng thịt bò tối thiểu cần thêm để đủ cả protein lẫn lipid, so sánh với giá trị nhỏ nhất đã tìm ở cách 1.

Vậy phương án mua $0,3$ kg thịt bò và $1,1$ kg thịt lợn cho chi phí nhỏ nhất là $251$ nghìn đồng, khớp với cách 1.

Nhận xét. Vì thịt lợn rẻ hơn thịt bò tính trên mỗi đơn vị chi phí protein, phương án tối ưu nghiêng về mua tối đa thịt lợn được phép rồi chỉ bù đúng lượng thịt bò còn thiếu cho đủ protein.

Định hướng. Các đường $250x+160y=m$ song song với nhau, càng gần gốc thì $m$ càng nhỏ; trượt đường mức về phía gốc cho tới lúc sắp rời khỏi miền nghiệm thì điểm chạm cuối cùng cho chi phí nhỏ nhất.

Vậy a) hệ là $0\le x\le 1,6$, $0\le y\le 1,1$, $8x+6y\ge 9$, $x+2y\ge 2$ với miền nghiệm là tứ giác $PQRS$; b) $F\left(x;y\right)=250x+160y$ (nghìn đồng); c) nên mua $0,3$ kg thịt bò và $1,1$ kg thịt lợn, chi phí nhỏ nhất là $251$ nghìn đồng.

Nhận xét. Tại điểm tối ưu $Q$ thì ràng buộc protein đạt ĐÚNG mức tối thiểu ($9$ đơn vị) còn lượng thịt lợn đạt ĐÚNG mức tối đa — hai ràng buộc này chính là hai cạnh cắt nhau tạo ra đỉnh $Q$.