Chương III. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 1 · 23 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · HĐ1★★Trang 38— Mô hình hoá đường đi bằng tam giác — hai cạnh và góc xen giữa

HĐ1 (trang 38). Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hoà) theo hướng đông với vận tốc

20

km/h. Sau khi đi được

1

giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.
a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong

1, 5

giờ kể từ khi xuất phát (

1

km trên thực tế ứng với

1

cm trên bản vẽ).
b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau

1, 5

giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilômét (số đo gần đúng).
c) Nếu sau khi đi được

2

giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Kiến thức cần nhớ

Hướng đông nam nằm chính giữa hướng đông và hướng nam, tạo với mỗi hướng đó một góc $4 5^{\circ}$ .
Quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian: $s = v \cdot t$ .
Góc trong của tam giác tại điểm chuyển hướng bằng $18 0^{\circ}$ trừ đi góc chuyển hướng (hai góc kề bù).
Định lí Pythagore chỉ dùng được cho tam giác vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai chặng đường thẳng nối tiếp nhau cùng góc chuyển hướng giữa chúng — đó đúng là bộ dữ kiện cạnh–góc–cạnh của một tam giác, nên khoảng cách phải tìm chính là cạnh thứ ba. Vì hai chặng nối tiếp nên góc trong tam giác tại chỗ chuyển hướng là góc kề bù với góc chuyển hướng: hướng đông và hướng đông nam lệch nhau

4 5^{\circ}

nhưng góc của tam giác tại đỉnh

B

lại là

13 5^{\circ}

— đây là bẫy lớn nhất của bài. Góc

13 5^{\circ}

là góc tù nên tam giác không vuông, Pythagore chưa dùng được, câu c chính là gợi ý rằng chỉ khi góc đó bằng

9 0^{\circ}

ta mới tính chính xác được bằng công cụ đã có.

1Cách 1. Dựng sơ đồ đúng tỉ lệ rồi đo trực tiếp (đúng yêu cầu của đề)

Định hướng. Chỉ cần xác định đúng độ dài hai chặng và góc chuyển hướng, phần còn lại là công việc của thước và thước đo góc.

Gọi

A

là cảng Vân Phong,

B

là chỗ tàu chuyển hướng,

C

là vị trí tàu sau

1, 5

giờ

A B = 20 \cdot 1 = 20

(km), ứng với

20

cm trên bản vẽ

B C = 20 \cdot 0, 5 = 10

(km), ứng với

10

cm trên bản vẽ

A B C = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}

(hai góc kề bù)
Đo đoạn

A C

trên bản vẽ được khoảng

28

Vậy sau $1, 5$ giờ tàu cách cảng Vân Phong khoảng $28$ km.

2Cách 2. Chiếu vuông góc — cắt hình thành tam giác vuông rồi dùng Pythagore

Định hướng. Chỉ thiếu một góc vuông là Pythagore dùng được ngay, nên hạ đường vuông góc từ $C$ xuống đường thẳng $A B$ .

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

C

trên đường thẳng

A B

C B H = 18 0^{\circ} - 13 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

(hai góc kề bù)

B H = B C cos 4 5^{\circ} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 52

(km)

C H = B C sin 4 5^{\circ} = 52

(km)

A H = A B + B H = 20 + 52

(km) (

B

nằm giữa

A

và

H

)

A C^{2} = A H^{2} + C H^{2}

(Pythagore trong tam giác

A C H

vuông tại

H

)

A C^{2} = (20 + 52)^{2} + (52)^{2} = 450 + 2002 + 50 = 500 + 2002

A C = 500 + 2002 \approx 27, 98

(km)

Vậy khoảng cách chính xác là $A C = 500 + 2002 \approx 27, 98$ km — khớp với số đo trên bản vẽ.

3Cách 3. Toạ độ hoá theo trục đông – bắc

Định hướng. Bài toán phương hướng rất hợp với hệ trục: cho $O x$ chỉ hướng đông, $O y$ chỉ hướng bắc thì mỗi chặng đi thành một cặp toạ độ.

Chọn hệ trục

O x y

gốc tại cảng

A

O x

hướng đông,

O y

hướng bắc

A (0; 0)

B (20; 0)

Hướng đông nam ứng với vectơ đơn vị

(\frac{2}{2}; - \frac{2}{2})

C (20 + 52; - 52)

A C^{2} = (20 + 52)^{2} + (- 52)^{2} = 500 + 2002

A C = 500 + 2002 \approx 27, 98

(km)

Vậy $A C \approx 27, 98$ km.

Nhận xét. Với câu c: nếu sau $2$ giờ tàu chuyển sang hướng nam thì chặng sau vuông góc với chặng trước, tam giác tạo thành vuông ngay tại điểm chuyển hướng nên Pythagore cho kết quả chính xác; chẳng hạn sau thêm $0, 5$ giờ thì khoảng cách là $4 0^{2} + 1 0^{2} = 1017 \approx 41, 23$ km.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ thêm một đường vuông góc là có ngay đáp số chính xác, không phụ thuộc độ chính xác của thước như Cách 1 và không phải làm việc với toạ độ âm như Cách 3.

Đáp số. a) Tam giác

A B C

có

A B = 20

km,

B C = 10

km,

A B C = 13 5^{\circ}

. b)

A C = 500 + 2002 \approx 27, 98

km (đo trên bản vẽ được khoảng

28

cm, ứng với

28

km). c) Có — khi tàu chuyển sang hướng nam thì hai chặng vuông góc nhau, tam giác vuông tại điểm chuyển hướng nên dùng được định lí Pythagore.

Sai lầm thường gặp. Lấy luôn góc chuyển hướng

4 5^{\circ}

làm góc trong của tam giác. Khi đó sẽ ra

A C^{2} = 2 0^{2} + 1 0^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 10 cos 4 5^{\circ} \approx 217, 2

, tức

A C \approx 14, 7

km — nhỏ hơn cả chặng đầu

20

km, một kết quả vô lí vì tàu không hề quay lại. Góc chuyển hướng

4 5^{\circ}

và góc trong tam giác tại đỉnh

B

là hai góc kề bù, phải lấy

13 5^{\circ}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đi

t_{1}

giờ rồi chuyển hướng một góc

α

và đi tiếp

t_{2}

giờ với cùng vận tốc

v

thì khoảng cách tới điểm xuất phát là

v t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + 2 t_{1} t_{2} cos α

— thay

α = 0^{\circ}

để kiểm tra, công thức trả về đúng

v (t_{1} + t_{2})

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 38

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★★★Trang 38— Chứng minh định lí côsin bằng đường vuông góc

HĐ2 (trang 38). Trong Hình 3.8 (tam giác

A B C

có góc

A

tù;

D

là điểm trên tia

C A

sao cho

B D ⊥ D C

; đặt

α = D A B

), hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính

a

theo

b

c

và giá trị lượng giác của góc

A

.
a) Tính

a^{2}

theo

B D^{2}

và

C D^{2}

.
b) Tính

a^{2}

theo

b

c

và

D A

.
c) Tính

D A

theo

c

và

cos A

.
d) Chứng minh

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore: tam giác vuông tại $D$ thì $B C^{2} = B D^{2} + D C^{2}$ .
Trong tam giác vuông có cạnh huyền $A B = c$ và góc nhọn $α$ tại $A$ : cạnh kề bằng $c cos α$ , cạnh đối bằng $c sin α$ .
Hai góc kề bù có côsin đối nhau: $cos (18 0^{\circ} - A) = - cos A$ .
Định lí côsin: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ , $b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B$ , $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm

D

được dựng cốt để có góc vuông — dấu hiệu rằng cả bài chỉ xoay quanh định lí Pythagore trong hai tam giác vuông

B D C

và

B D A

. Mắt xích duy nhất còn thiếu là đoạn

D A

, mà

D A B

kề bù với

B A C

nên

cos D A B = - cos A

: chính chỗ này sinh ra dấu trừ trong công thức côsin. Bẫy nằm ở chỗ góc

A

tù nên

D

ở ngoài đoạn

C A

, do đó

C D = b + D A

chứ không phải

b - D A

1Cách 1. Đi đúng bốn bước của đề — hai lần Pythagore và một góc kề bù

Định hướng. Hai tam giác vuông $B D C$ và $B D A$ chung cạnh $B D$ , nên khử $B D$ đi là còn lại quan hệ giữa $a$ , $b$ , $c$ và $D A$ .

a) Tam giác

B D C

vuông tại

D

(gt) nên

a^{2} = B C^{2} = B D^{2} + C D^{2}

(Pythagore)
b) Tam giác

B D A

vuông tại

D

(gt) nên

B D^{2} = A B^{2} - D A^{2} = c^{2} - D A^{2}

(Pythagore)

C D = C A + A D = b + D A

(vì

A

nằm giữa

C

và

D

)

a^{2} = (c^{2} - D A^{2}) + (b + D A)^{2} = c^{2} - D A^{2} + b^{2} + 2 b \cdot D A + D A^{2}

a^{2} = b^{2} + c^{2} + 2 b \cdot D A

α = D A B = 18 0^{\circ} - B A C

(hai góc kề bù)

D A = A B cos α = c cos (18 0^{\circ} - A) = - c cos A

a^{2} = b^{2} + c^{2} + 2 b (- c cos A)

Vậy $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá — đúng cho mọi dạng góc

A

, không phải chia trường hợp

Định hướng. Đặt $A$ ở gốc và $A C$ trên trục hoành thì toạ độ của $B$ đọc thẳng ra từ định nghĩa sin, côsin, nên chỉ còn một phép tính khoảng cách.

Chọn hệ trục

O x y

với

A

trùng gốc

O

, tia

A x

trùng tia

A C

A (0; 0)

C (b; 0)

B (c cos A; c sin A)

(định nghĩa giá trị lượng giác của góc

A

)

a^{2} = B C^{2} = (b - c cos A)^{2} + (0 - c sin A)^{2}

a^{2} = b^{2} - 2 b c cos A + c^{2} cos^{2} A + c^{2} sin^{2} A

a^{2} = b^{2} - 2 b c cos A + c^{2} (cos^{2} A + sin^{2} A)

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

Vậy công thức đúng với mọi tam giác, dù góc $A$ nhọn, vuông hay tù.

3Cách 3. Bình phương vô hướng của vectơ — hai dòng là xong

Định hướng. Cạnh $B C$ viết được qua hai cạnh kia bằng quy tắc hiệu, mà bình phương vô hướng biến độ dài thành tích vô hướng nên dấu trừ xuất hiện tự nhiên.

B C = A C - A B

(quy tắc hiệu)

a^{2} = B C^{2} = A C^{2} - 2 A C \cdot A B + A B^{2}

A C \cdot A B = A C \cdot A B cos A = b c cos A

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

Vậy $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .

Nhận xét. Cách 3 dùng tích vô hướng của Chương IV; các em sẽ gặp lại phép chứng minh gọn gàng này sau khi học vectơ. Nó cho thấy định lí côsin thực chất chỉ là hằng đẳng thức $(u - v)^{2} = u^{2} - 2 uv + v^{2}$ viết cho vectơ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ một phép tính khoảng cách, lại đúng luôn cho cả ba dạng góc

A

nên không phải xét trường hợp như Cách 1.

Đáp số. a)

a^{2} = B D^{2} + C D^{2}

. b)

a^{2} = b^{2} + c^{2} + 2 b \cdot D A

. c)

D A = - c cos A

. d)

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

Sai lầm thường gặp. Viết

C D = b - D A

vì quen hình có góc

A

nhọn. Khi đó sẽ ra

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b \cdot D A = b^{2} + c^{2} + 2 b c cos A

, sai dấu hoàn toàn: thử với

b = 3

c = 7

A = 12 0^{\circ}

thì công thức sai cho

a^{2} = 9 + 49 - 21 = 37

, trong khi giá trị đúng là

a^{2} = 9 + 49 + 21 = 79

. Góc

A

tù thì

D

nằm ngoài đoạn

C A

, phải lấy

C D = b + D A

🚀 Mở rộng. Cũng bằng cách dựng đường vuông góc ấy, với

A = 9 0^{\circ}

thì

D

trùng

A

D A = 0

và công thức thu về đúng định lí Pythagore

a^{2} = b^{2} + c^{2}

— nghĩa là định lí côsin là bản mở rộng của Pythagore cho mọi tam giác.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 38

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu hỏi★Trang 39— Nhận ra quan hệ giữa định lí côsin và định lí Pythagore

Câu hỏi (trang 39). Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của định lí côsin hay không?

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
$cos 9 0^{\circ} = 0$ ; với $0^{\circ} < A < 18 0^{\circ}$ thì $cos A = 0$ khi và chỉ khi $A = 9 0^{\circ}$ .
Hệ quả: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi so sánh hai công thức, nên chỉ cần đặt chúng cạnh nhau: định lí côsin có thừa số

cos A

, còn Pythagore thì không — vậy điều duy nhất phải xét là khi nào

cos A

biến mất. Đừng vội trả lời "có" rồi thôi: chỗ hay của câu này là định lí côsin còn chứa cả định lí đảo của Pythagore, vì

cos A = 0

khi và chỉ khi

A = 9 0^{\circ}

1Cách 1. Thay trực tiếp

A = 9 0^{\circ}

vào định lí côsin

Định hướng. Kiểm tra một trường hợp riêng thì cứ thay số vào công thức tổng quát.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

(định lí côsin)

A = 9 0^{\circ} \Rightarrow cos A = 0

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot 0 = b^{2} + c^{2}

Vậy định lí Pythagore đúng là trường hợp riêng của định lí côsin ứng với $A = 9 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Dùng hệ quả

cos A

để có luôn cả chiều đảo

Định hướng. Viết $cos A$ theo ba cạnh thì quan hệ giữa $a^{2}$ và $b^{2} + c^{2}$ hiện ra dưới dạng tương đương hai chiều.

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

(hệ quả của định lí côsin)

a^{2} = b^{2} + c^{2} \Leftrightarrow b^{2} + c^{2} - a^{2} = 0 \Leftrightarrow cos A = 0

0^{\circ} < A < 18 0^{\circ}

nên

cos A = 0 \Leftrightarrow A = 9 0^{\circ}

Vậy định lí côsin chứa cả định lí Pythagore lẫn định lí Pythagore đảo.

3Cách 3. Nhìn

b^{2} + c^{2} - a^{2}

như "cái cân" phân loại góc

A

Định hướng. Dấu của $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ cùng dấu với $cos A$ , nên chỉ cần so $a^{2}$ với $b^{2} + c^{2}$ là biết góc $A$ nhọn, vuông hay tù.

b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 b c cos A

và

2 b c > 0

nên

b^{2} + c^{2} - a^{2}

cùng dấu với

cos A

Với

b = 3

c = 4

a = 5

cho

b^{2} + c^{2} - a^{2} = 0

, suy ra

A = 9 0^{\circ}

a = 4

cho

b^{2} + c^{2} - a^{2} = 9 > 0

, suy ra

cos A = \frac{9}{24} = 0, 375

và

A \approx 6 8^{\circ}

(nhọn)

a = 6

cho

b^{2} + c^{2} - a^{2} = - 11 < 0

, suy ra

cos A = - \frac{11}{24}

và

A \approx 11 7^{\circ}

(tù)

Vậy Pythagore là vạch "cân bằng" $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ nằm giữa hai trường hợp nhọn và tù của định lí côsin.

Nhận xét. Cách 3 cho một mẹo kiểm tra rất nhanh khi biết ba cạnh: so $a^{2}$ với $b^{2} + c^{2}$ là biết ngay góc đối diện cạnh $a$ thuộc loại nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 để trả lời (một dòng là đủ), nhưng nên nhớ Cách 2 vì nó cho cả định lí đảo — thứ hay được hỏi ở câu nhận biết loại tam giác.

Đáp số. Có. Khi

A = 9 0^{\circ}

thì

cos A = 0

nên định lí côsin trở thành

a^{2} = b^{2} + c^{2}

, đúng là định lí Pythagore.

Sai lầm thường gặp. Hiểu ngược lại rằng định lí côsin là trường hợp riêng của Pythagore. Phản ví dụ: tam giác có

b = 3

c = 7

A = 12 0^{\circ}

có

a^{2} = 79

trong khi

b^{2} + c^{2} = 58

; Pythagore không nói được gì về tam giác này, còn định lí côsin thì vẫn đúng. Cái tổng quát là định lí côsin.

🚀 Mở rộng. Từ so sánh

a^{2}

với

b^{2} + c^{2}

ta có ngay tiêu chuẩn phân loại: tam giác có ba cạnh

a \geq b \geq c

là tam giác nhọn khi

a^{2} < b^{2} + c^{2}

, vuông khi

a^{2} = b^{2} + c^{2}

, tù khi

a^{2} > b^{2} + c^{2}

— thử với bộ

(6; 5; 8)

để tự kiểm tra.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 39

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Khám phá★Trang 39— Hệ quả của định lí côsin — tính côsin các góc theo ba cạnh

Khám phá (trang 39). Từ định lí côsin, hãy viết các công thức tính

cos A

cos B

cos C

theo độ dài các cạnh

a

b

c

của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ , $b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B$ , $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ .
Hệ quả: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , $cos B = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a}$ , $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba hệ thức côsin đều có dạng "bình phương một cạnh bằng tổng hai bình phương kia trừ đi

2 \cdot

tích

\cdot cos

", trong đó

cos

đứng một mình ở một số hạng — vậy chỉ việc rút nó ra như rút ẩn khỏi phương trình bậc nhất. Điều cần nhớ là quy tắc ghép: ở tử số, cạnh bị trừ luôn là cạnh đối diện góc đang xét, còn mẫu số là

2

lần tích hai cạnh kề góc đó.

1Cách 1. Rút thẳng

cos

ra khỏi từng hệ thức côsin

Định hướng. Mỗi hệ thức là một phương trình bậc nhất đối với $cos$ của góc tương ứng, chuyển vế rồi chia là xong.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

2 b c cos A = b^{2} + c^{2} - a^{2}

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B \Rightarrow cos B = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a}

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C \Rightarrow cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

Vậy $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ , $cos B = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a}$ , $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ .

2Cách 2. Dựng lại công thức từ đầu bằng đường cao và Pythagore

Định hướng. Không cần dùng định lí côsin: hạ một đường cao rồi so hai lần Pythagore là ra ngay hình chiếu, mà $cos A$ chính là tỉ số hình chiếu trên cạnh huyền.

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

B

trên đường thẳng

A C

, đặt

A H = x

(đo trên tia

A C

B H = h

x^{2} + h^{2} = c^{2}

(Pythagore trong tam giác

A B H

)

(b - x)^{2} + h^{2} = a^{2}

(Pythagore trong tam giác

C B H

)

x^{2} - (b - x)^{2} = c^{2} - a^{2}

2 b x - b^{2} = c^{2} - a^{2}

x = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b}

cos A = \frac{x}{c} = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

Vậy công thức đúng và hoàn toàn độc lập với định lí côsin; hai công thức còn lại có được bằng cách đổi vai trò các đỉnh.

3Cách 3. Toạ độ hoá rồi dùng công thức khoảng cách

Định hướng. Đặt góc $A$ vào gốc toạ độ thì $cos A$ nằm ngay ở hoành độ của $B$ , chỉ cần một phép tính khoảng cách để nối với $a$ .

Chọn hệ trục

O x y

với

A

trùng gốc

O

, tia

A x

trùng tia

A C

A (0; 0)

C (b; 0)

B (c cos A; c sin A)

a^{2} = (b - c cos A)^{2} + c^{2} sin^{2} A = b^{2} - 2 b c cos A + c^{2}

2 b c cos A = b^{2} + c^{2} - a^{2}

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

Vậy ba công thức thu được bằng phép hoán vị vòng quanh $a \to b \to c \to a$ và $A \to B \to C \to A$ .

Nhận xét. Nhớ công thức theo vị trí chứ đừng nhớ theo chữ: tử số là tổng bình phương hai cạnh kề trừ bình phương cạnh đối, mẫu số là $2$ lần tích hai cạnh kề.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép chuyển vế là xong. Cách 2 nên biết vì nó chứng minh được công thức khi không nhớ định lí côsin.

Đáp số.

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

;

cos B = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a}

;

cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

Sai lầm thường gặp. Ghép nhầm cạnh đối vào mẫu số, kiểu viết

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 ab}

. Kiểm bằng tam giác đều cạnh

1

: công thức đúng cho

cos A = \frac{1 + 1 - 1}{2} = \frac{1}{2}

, hợp với

A = 6 0^{\circ}

; công thức sai cũng cho

\frac{1}{2}

nên tam giác đều không phát hiện được lỗi — phải thử tam giác lệch, ví dụ

a = 6

b = 5

c = 8

: giá trị đúng là

\frac{53}{80} = 0, 6625

, còn công thức sai cho

\frac{53}{60} \approx 0, 8833

🚀 Mở rộng. Từ ba công thức này suy ra ngay hệ thức hình chiếu

a = b cos C + c cos B

— hãy thử cộng

b cos C

với

c cos B

rồi rút gọn để tự kiểm chứng.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 39

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 1★★Trang 39— Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa (c-g-c)

Luyện tập 1 (trang 39). Cho tam giác

A B C

có

A B = 5

A C = 8

và

A = 4 5^{\circ}

. Tính độ dài cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
Hệ quả: $cos B = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a}$ ; $cos B < 0$ thì góc $B$ tù.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Trong một tam giác, cạnh lớn hơn đối diện góc lớn hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai cạnh

A B

A C

và góc xen giữa chúng — đúng trường hợp cạnh–góc–cạnh, nên cạnh thứ ba phải tính bằng định lí côsin chứ không phải định lí sin (định lí sin cần một cặp cạnh–góc đối diện, ở đây chưa có). Sau khi có đủ ba cạnh, dùng tiếp hệ quả côsin cho các góc là an toàn nhất vì côsin phân biệt được góc nhọn với góc tù; nếu dùng định lí sin thì phải cân nhắc hai khả năng của góc. Ở bài này góc

B

hoá ra là góc tù — đúng chỗ mà lời giải dùng sin dễ sai.

1Cách 1. Định lí côsin cho cạnh, rồi hệ quả côsin cho hai góc

Định hướng. Có hai cạnh và góc xen giữa thì định lí côsin cho ngay cạnh thứ ba; đủ ba cạnh rồi thì hệ quả côsin cho hai góc còn lại.

Đặt

b = A C = 8

c = A B = 5

A = 4 5^{\circ}

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 8^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot cos 4 5^{\circ}

a^{2} = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{2}{2} = 89 - 402

a = 89 - 402 \approx 5, 69

cos B = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a} = \frac{25 + ( 89 - 40 2 ) - 64}{2 \cdot 5 \cdot a} = \frac{50 - 40 2}{10 a} \approx - 0, 1153

B \approx 96, 6^{\circ}

(

cos B < 0

nên

B

là góc tù)

C = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 96, 6^{\circ} = 38, 4^{\circ}

Vậy $B C \approx 5, 69$ ; $B \approx 96, 6^{\circ}$ ; $C \approx 38, 4^{\circ}$ .

2Cách 2. Định lí côsin cho cạnh, rồi định lí sin cho góc nhỏ nhất

Định hướng. Khi đã có cặp cạnh–góc đối diện $(a; A)$ thì định lí sin tính góc rất nhanh; chỉ cần chọn góc đối diện cạnh nhỏ nhất để chắc chắn nó nhọn.

a = 89 - 402 \approx 5, 69

(như Cách 1)

c = 5

là cạnh nhỏ nhất nên

C

là góc nhỏ nhất, do đó

C

nhọn

\frac{a}{sin A} = \frac{c}{sin C}

(định lí sin)

sin C = \frac{c sin A}{a} = \frac{5 \cdot \frac{2}{2}}{5 , 69} \approx 0, 6208

C \approx 38, 4^{\circ}

B = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 38, 4^{\circ} = 96, 6^{\circ}

Vậy $B C \approx 5, 69$ ; $C \approx 38, 4^{\circ}$ ; $B \approx 96, 6^{\circ}$ .

3Cách 3. Hạ đường cao — đưa về hai tam giác vuông

Định hướng. Góc $4 5^{\circ}$ rất dễ tính nên hạ đường cao từ $B$ xuống $A C$ là có ngay hai tam giác vuông, chỉ cần Pythagore và tang.

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

B

trên

A C

A H = A B cos 4 5^{\circ} = \frac{5 2}{2} \approx 3, 536

;

B H = A B sin 4 5^{\circ} = \frac{5 2}{2} \approx 3, 536

H C = A C - A H = 8 - \frac{5 2}{2} \approx 4, 464

(

H

nằm giữa

A

và

C

)

B C^{2} = B H^{2} + H C^{2} \approx 12, 5 + 19, 93 = 32, 43

(Pythagore)

B C \approx 5, 69

tan C = \frac{B H}{H C} \approx \frac{3 , 536}{4 , 464} \approx 0, 7919 \Rightarrow C \approx 38, 4^{\circ}

B = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 38, 4^{\circ} = 96, 6^{\circ}

Vậy $B C \approx 5, 69$ ; $B \approx 96, 6^{\circ}$ ; $C \approx 38, 4^{\circ}$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết quả; giá trị đúng của cạnh là $B C = 89 - 402$ , nên giữ dạng căn tới bước cuối rồi mới làm tròn sẽ chính xác hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: sau khi có

a

, định lí sin cho góc nhanh hơn hệ quả côsin, và chỉ cần nhớ mẹo chọn góc đối diện cạnh nhỏ nhất là không bao giờ nhầm nhọn với tù.

Đáp số.

B C = 89 - 402 \approx 5, 69

;

B \approx 96, 6^{\circ}

;

C \approx 38, 4^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Dùng định lí sin để tính góc

B

rồi lấy luôn nghiệm nhọn:

sin B = \frac{b sin A}{a} \approx 0, 9933

cho

B \approx 83, 4^{\circ}

, và khi đó

C = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 83, 4^{\circ} = 51, 6^{\circ}

— sai. Giá trị đúng là góc tù

B \approx 96, 6^{\circ}

(đúng bằng

18 0^{\circ} - 83, 4^{\circ}

), vì

b = 8

là cạnh lớn nhất nên

B

phải là góc lớn nhất. Muốn dùng sin thì chỉ dùng cho góc đối diện cạnh nhỏ nhất.

🚀 Mở rộng. Cùng dữ kiện nhưng cho

A = 12 0^{\circ}

thì

a^{2} = 64 + 25 + 40 = 129

, cạnh

B C = 129

dài hơn hẳn — hãy thử tính lại hai góc còn lại để thấy khi góc

A

tù thì cả

B

và

C

đều buộc phải nhọn.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 39

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Trải nghiệm★Trang 39— Kiểm chứng định lí côsin bằng thực nghiệm

Trải nghiệm (trang 39). Vẽ một tam giác

A B C

, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc

A

và kiểm tra tính đúng đắn của định lí côsin tại đỉnh

A

đối với tam giác đó.

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin tại đỉnh $A$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
Vẽ tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa: dựng góc $A$ trước, đặt hai cạnh lên hai tia của góc.
Sai số của phép đo bằng thước thẳng và thước đo góc thường vào khoảng $1$ mm và $1^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Yêu cầu là kiểm chứng chứ không phải chứng minh, nên phải so hai số: vế trái

a^{2}

lấy từ phép đo, vế phải

b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

lấy từ phép tính. Chỗ cần chú ý là sai số dụng cụ: thước chỉ đọc tới milimét, thước đo góc tới độ, nên đừng đòi hai vế bằng nhau tuyệt đối mà hãy xem chúng lệch nhau bao nhiêu phần trăm. Muốn sai số nhỏ, nên vẽ tam giác có cạnh đủ lớn và góc

A

không quá nhỏ.

1Cách 1. Vẽ theo dữ kiện chọn trước rồi đo cạnh còn lại để đối chiếu

Định hướng. Chủ động chọn $b$ , $c$ và góc $A$ thì vế phải tính được chính xác, chỉ còn một đại lượng phải đo nên sai số gọn nhất.

Vẽ

x A y = 6 0^{\circ}

, lấy

B

trên tia

A x

với

A B = c = 5

cm, lấy

C

trên tia

A y

với

A C = b = 6

b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 36 + 25 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 31

a = 31 \approx 5, 57

(cm)
Đo trực tiếp đoạn

B C

trên hình được khoảng

5, 6

cm
Chênh lệch khoảng

0, 03

cm, nhỏ hơn sai số của thước

Vậy định lí côsin được nghiệm đúng trên tam giác vừa vẽ.

2Cách 2. Vẽ một tam giác tuỳ ý rồi đo cả ba cạnh và góc

A

Định hướng. Cách này kiểm chứng khách quan hơn vì không đặt trước dữ kiện nào, nhưng phải đo bốn đại lượng nên sai số cộng dồn.

Vẽ một tam giác

A B C

bất kì, đo được chẳng hạn

a = 7, 0

cm,

b = 6, 0

cm,

c = 5, 0

cm và

A = 7 8^{\circ}

Vế trái:

a^{2} = 49

Vế phải:

b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 36 + 25 - 60 cos 7 8^{\circ} \approx 61 - 12, 48 = 48, 52

Hai vế lệch nhau khoảng

1%

Đối chiếu: giá trị lí thuyết của góc là

cos A = \frac{36 + 25 - 49}{60} = 0, 2

, tức

A \approx 78, 5^{\circ}

Vậy phần lệch nằm trong sai số đọc thước đo góc, định lí côsin vẫn đúng.

3Cách 3. Kiểm bằng tam giác đặc biệt — sai số bằng không về mặt lí thuyết

Định hướng. Với tam giác đều và tam giác vuông, mọi số đo đều biết chính xác nên hai vế so được tuyệt đối, không lệ thuộc dụng cụ.

Tam giác đều cạnh

6

cm:

a = b = c = 6

A = 6 0^{\circ}

b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 36 + 36 - 2 \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} = 36 = a^{2}

Tam giác vuông tại

A

có

b = 3

cm,

c = 4

cm:

cos A = cos 9 0^{\circ} = 0

b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 9 + 16 = 25 = a^{2}

, tức

a = 5

Vậy trên hai tam giác đặc biệt, hai vế trùng nhau hoàn toàn.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy khi kiểm chứng bằng đo đạc thì sai số là của dụng cụ, không phải của định lí; muốn giảm sai số hãy vẽ hình to và tránh góc quá nhỏ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi (và khi làm thực hành) dùng Cách 1: chỉ phải đo một đại lượng nên sai số nhỏ nhất và dễ trình bày thành bảng đối chiếu.

Đáp số. Với tam giác vẽ theo

b = 6

cm,

c = 5

cm,

A = 6 0^{\circ}

: giá trị tính được là

a = 31 \approx 5, 57

cm, giá trị đo được khoảng

5, 6

cm — hai giá trị khớp nhau trong phạm vi sai số của thước.

Sai lầm thường gặp. Đặt máy tính ở đơn vị rađian rồi bấm

cos 60

, máy trả về

- 0, 952

thay vì

0, 5

, dẫn tới

a^{2} \approx 36 + 25 + 57, 1 = 118, 1

và

a \approx 10, 9

cm — dài hơn cả tổng hai cạnh kia, một kết quả không thể có. Luôn chuyển máy về chế độ độ trước khi bấm giá trị lượng giác.

🚀 Mở rộng. Làm lại phép kiểm chứng với góc

A = 12 0^{\circ}

(giữ nguyên

b = 6

cm,

c = 5

cm) sẽ được

a = 91 \approx 9, 54

cm: cùng hai cạnh ấy nhưng góc tù cho cạnh đối diện dài hơn hẳn — đó chính là ý nghĩa hình học của số hạng

- 2 b c cos A

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 39

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Vận dụng 1★★Trang 39— Ứng dụng định lí côsin vào bài toán đo đạc

Vận dụng 1 (trang 39). Dùng định lí côsin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ1b.

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin viết tại đỉnh $B$ : $b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B$ .
$cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ .
Trừ một số âm nghĩa là cộng thêm giá trị tuyệt đối của nó.

🧠 Phân tích tư duy

HĐ1b đã cho sẵn tam giác với

A B = 20

km,

B C = 10

km và góc xen giữa

A B C = 13 5^{\circ}

, nên đây đúng là trường hợp cạnh–góc–cạnh và định lí côsin dùng được ngay. Điều phải cẩn thận là

cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

mang dấu âm, nên số hạng

- 2 a c cos B

trở thành số cộng — khoảng cách vì thế lớn hơn cả khi hai chặng thẳng hàng vuông góc, hợp với trực giác vì tàu vẫn đi ra xa cảng.

1Cách 1. Áp dụng thẳng định lí côsin tại đỉnh

B

Định hướng. Đủ hai cạnh và góc xen giữa nên chỉ việc thay số vào công thức côsin viết tại đỉnh chuyển hướng.

Tam giác

A B C

có

A B = 20

km,

B C = 10

km,

A B C = 13 5^{\circ}

(kết quả HĐ1a)

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos A B C

(định lí côsin)

A C^{2} = 2 0^{2} + 1 0^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 10 \cdot (- \frac{2}{2})

A C^{2} = 400 + 100 + 2002 = 500 + 2002

A C = 500 + 2002 \approx 27, 98

(km)

Vậy sau $1, 5$ giờ tàu cách cảng Vân Phong khoảng $27, 98$ km, tức gần $28$ km — khớp với số đo trên bản vẽ ở HĐ1b.

2Cách 2. Chia thành hai tam giác vuông rồi dùng Pythagore

Định hướng. Kẻ đường vuông góc từ $C$ xuống đường thẳng $A B$ là biến bài toán thành một tam giác vuông duy nhất.

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

C

trên đường thẳng

A B

C B H = 18 0^{\circ} - 13 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

(hai góc kề bù)

B H = 10 cos 4 5^{\circ} = 52

;

C H = 10 sin 4 5^{\circ} = 52

A H = 20 + 52

(

B

nằm giữa

A

và

H

)

A C^{2} = (20 + 52)^{2} + (52)^{2} = 500 + 2002

A C \approx 27, 98

(km)

Vậy $A C \approx 27, 98$ km.

3Cách 3. Toạ độ hoá rồi dùng công thức khoảng cách

Định hướng. Đặt cảng ở gốc toạ độ với trục hoành chỉ hướng đông thì mỗi chặng đi thành một cặp toạ độ, khoảng cách tính bằng công thức có sẵn.

Chọn hệ trục

O x y

gốc tại

A

O x

hướng đông,

O y

hướng bắc

A (0; 0)

B (20; 0)

C (20 + 52; - 52)

A C = (20 + 52 - 0)^{2} + (- 52 - 0)^{2}

A C = 500 + 2002 \approx 27, 98

(km)

Vậy ba cách đều cho $A C = 500 + 2002 \approx 27, 98$ km.

Nhận xét. Bấm máy nên nhập trọn biểu thức $2 0^{2} + 1 0^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 10 cos 13 5^{\circ}$ một lần rồi mới làm tròn; làm tròn giữa chừng ở bước $cos 13 5^{\circ} \approx - 0, 71$ sẽ lệch tới hàng phần trăm kilômét.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng công cụ đề yêu cầu, chỉ một dòng thay số, không phải dựng thêm điểm phụ như Cách 2 hay hệ trục như Cách 3.

Đáp số.

A C = 500 + 2002 \approx 27, 98

km.

Sai lầm thường gặp. Quên dấu âm của

cos 13 5^{\circ}

mà viết

A C^{2} = 400 + 100 - 2002 \approx 217, 2

, ra

A C \approx 14, 7

km. Kết quả này nhỏ hơn chặng đầu

20

km nên chắc chắn sai: tàu đi tiếp về phía đông nam thì không thể lại gần cảng hơn. Góc tù luôn cho

cos

âm, số hạng cuối trở thành cộng.

🚀 Mở rộng. Nếu tàu giữ nguyên vận tốc mà chuyển hướng một góc

α

thì khoảng cách sau

1, 5

giờ là

500 + 200 cos α

; khoảng cách này lớn nhất khi

α = 0^{\circ}

(đi thẳng, bằng

30

km) và nhỏ nhất khi

α = 18 0^{\circ}

(quay lại, bằng

10

km) — hãy kiểm tra hai giá trị đó bằng công thức.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 39

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ3★★★Trang 39— Thiết lập định lí sin bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp

HĐ3 (trang 39). Trong mỗi hình dưới đây (Hình 3.10), hãy tính

R

theo

a

và

sin A

. Ở cả hai hình, tam giác

A B C

nội tiếp đường tròn tâm

O

bán kính

R

B M

là đường kính và

B C = a

; hình a) ứng với góc

A

nhọn, hình b) ứng với góc

A

tù.

Kiến thức cần nhớ

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Trong tứ giác nội tiếp, hai góc đối bù nhau.
$sin (18 0^{\circ} - A) = sin A$ .
Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trong cả hai hình,

B M

được vẽ là đường kính — dấu hiệu để dùng ngay tính chất "góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông", tức tam giác

B C M

vuông tại

C

và có cạnh huyền

B M = 2 R

. Việc còn lại chỉ là nối

B M C

với

B A C

: hình a) hai góc này bằng nhau vì cùng chắn cung

B C

, hình b) hai góc bù nhau vì

A B M C

là tứ giác nội tiếp. Bẫy nằm ở chỗ hai quan hệ khác nhau nhưng

sin

của chúng lại như nhau, nhờ

sin (18 0^{\circ} - A) = sin A

— đó là lí do định lí sin phát biểu được chung cho mọi tam giác.

1Cách 1. Dùng góc nội tiếp (hình a) và tứ giác nội tiếp (hình b)

Định hướng. Đường kính $B M$ tạo sẵn tam giác vuông có cạnh huyền $2 R$ ; chỉ cần thay $B M C$ bằng góc $A$ là ra công thức.

Hình a)

B C M = 9 0^{\circ}

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên tam giác

B C M

vuông tại

C

sin B M C = \frac{B C}{B M} = \frac{a}{2 R}

B M C = B A C

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

B C

)

sin A = \frac{a}{2 R}

, suy ra

R = \frac{a}{2 sin A}

Hình b)

B C M = 9 0^{\circ}

nên vẫn có

sin B M C = \frac{a}{2 R}

A B M C

nội tiếp đường tròn

(O)

nên

B M C = 18 0^{\circ} - B A C

(hai góc đối)

sin B M C = sin (18 0^{\circ} - A) = sin A

sin A = \frac{a}{2 R}

, suy ra

R = \frac{a}{2 sin A}

Vậy trong cả hai trường hợp đều có $R = \frac{a}{2 sin A}$ , tức $\frac{a}{sin A} = 2 R$ .

2Cách 2. Dùng góc ở tâm và đường trung trực của dây

B C

Định hướng. Bán kính nối tâm với hai đầu dây tạo tam giác cân; hạ đường cao từ tâm là có ngay nửa dây theo $R$ và nửa góc ở tâm.

Gọi

I

là trung điểm

B C

, khi đó

O I ⊥ B C

(

O B = O C = R

nên tam giác

O B C

cân tại

O

)

B I = \frac{a}{2}

và

B O I = \frac{1}{2} B O C

(

O I

là phân giác của góc ở đỉnh tam giác cân)

B I = O B sin B O I = R sin B O I

Góc

A

nhọn:

B O C = 2 A

(góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn cung

B C

), nên

B O I = A

Góc

A

tù:

B O C = 36 0^{\circ} - 2 A

, nên

B O I = 18 0^{\circ} - A

và

sin B O I = sin A

\frac{a}{2} = R sin A

Vậy $R = \frac{a}{2 sin A}$ trong mọi trường hợp.

3Cách 3. Dùng hai tam giác vuông đồng dạng (đường cao và đường kính)

Định hướng. Đường cao hạ từ $B$ và đường kính $B M$ tạo hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn bằng nhau, nên tỉ số cạnh cho ngay quan hệ cần tìm.

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

B

trên đường thẳng

A C

B H = A B sin B A H = c sin A

(

B A H

bằng

A

hoặc bù với

A

, hai trường hợp cùng

sin

)
Tam giác

A B H

và tam giác

M B C

có

A H B = M C B = 9 0^{\circ}

và

B A H = B M C

nên tam giác

A B H

đồng dạng với tam giác

M B C

(g-g)

\frac{A B}{M B} = \frac{B H}{B C}

, tức

\frac{c}{2 R} = \frac{c sin A}{a}

\frac{1}{2 R} = \frac{sin A}{a}

Vậy $R = \frac{a}{2 sin A}$ , tức $\frac{a}{sin A} = 2 R$ — đó chính là định lí sin.

Nhận xét. Làm y hệt với hai đỉnh còn lại sẽ được $\frac{b}{sin B} = 2 R$ và $\frac{c}{sin C} = 2 R$ , nên ba tỉ số ấy bằng nhau và cùng bằng $2 R$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đường kính đã vẽ sẵn trong hình, chỉ cần hai tính chất quen thuộc về góc nội tiếp là xong; Cách 2 và Cách 3 phải dựng thêm điểm phụ.

Đáp số. Cả hai hình đều cho

sin A = \frac{a}{2 R}

, tức

R = \frac{a}{2 sin A}

hay

\frac{a}{sin A} = 2 R

Sai lầm thường gặp. Ở hình b) vẫn viết

B M C = B A C

như hình a). Điều đó vô lí vì

B A C

tù mà

B M C

là góc nhọn của tam giác vuông

B C M

; chẳng hạn

B A C = 11 0^{\circ}

thì

B M C = 7 0^{\circ}

chứ không phải

11 0^{\circ}

. Hai góc ấy bù nhau, và may mắn là

sin

của chúng bằng nhau nên kết quả cuối vẫn như hình a).

🚀 Mở rộng. Từ

\frac{a}{sin A} = 2 R

suy ra ngay: trong mọi tam giác, cạnh lớn hơn đối diện góc có sin lớn hơn, và dây cung

a

lớn nhất bằng

2 R

đúng khi

A = 9 0^{\circ}

— hãy giải thích vì sao đó lại là trường hợp

B C

trở thành đường kính.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 39

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 2★★Trang 40— Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc đối diện một trong hai cạnh

Luyện tập 2 (trang 40). Cho tam giác

A B C

có

b = 8

c = 5

và

B = 8 0^{\circ}

. Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
Trong một tam giác, cạnh nhỏ hơn đối diện góc nhỏ hơn.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Định lí côsin: $b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho cặp cạnh–góc đối diện

(b; B)

— đó là dấu hiệu của định lí sin, vì tỉ số

\frac{b}{sin B}

tính được ngay và bằng

2 R

. Góc

B

không xen giữa hai cạnh đã cho nên định lí côsin phải giải phương trình bậc hai, dài hơn. Bẫy quen thuộc của định lí sin là một giá trị

sin

ứng với hai góc bù nhau; ở đây

c = 5 < b = 8

nên

C < B = 8 0^{\circ}

, chắc chắn

C

nhọn, loại được nghiệm tù.

1Cách 1. Định lí sin — tìm

C

trước rồi lần lượt ra hết

Định hướng. Có sẵn cặp cạnh–góc đối diện nên tỉ số $2 R$ tính được ngay, mọi yếu tố còn lại chỉ là thay vào.

\frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}

(định lí sin)

sin C = \frac{c sin B}{b} = \frac{5 sin 8 0 ^{\circ}}{8} \approx 0, 6155

c < b

nên

C < B = 8 0^{\circ}

, do đó

C

nhọn

C \approx 3 8^{\circ}

A = 18 0^{\circ} - 8 0^{\circ} - 3 8^{\circ} = 6 2^{\circ}

2 R = \frac{b}{sin B} = \frac{8}{sin 8 0 ^{\circ}} \approx 8, 12

, suy ra

R \approx 4, 06

a = 2 R sin A \approx 8, 12 \cdot sin 6 2^{\circ} \approx 7, 17

Vậy $C \approx 3 8^{\circ}$ ; $A \approx 6 2^{\circ}$ ; $R \approx 4, 06$ ; $a \approx 7, 17$ .

2Cách 2. Định lí côsin — coi

a

là ẩn của một phương trình bậc hai

Định hướng. Viết định lí côsin tại đỉnh $B$ thì mọi thứ đã biết trừ $a$ , nên $a$ là nghiệm của một phương trình bậc hai.

b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B

(định lí côsin)

64 = 25 + a^{2} - 10 a cos 8 0^{\circ}

a^{2} - (10 cos 8 0^{\circ}) a - 39 = 0

a^{2} - 1, 7365 a - 39 = 0

a = \frac{1 , 7365 + 1 , 736 5 ^{2} + 156}{2} \approx 7, 17

(loại nghiệm âm vì

a > 0

)

cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab} \approx \frac{51 , 45 + 64 - 25}{2 \cdot 7 , 17 \cdot 8} \approx 0, 7880 \Rightarrow C \approx 3 8^{\circ}

A = 18 0^{\circ} - 8 0^{\circ} - 3 8^{\circ} = 6 2^{\circ}

;

R = \frac{b}{2 sin B} \approx 4, 06

Vậy $a \approx 7, 17$ ; $C \approx 3 8^{\circ}$ ; $A \approx 6 2^{\circ}$ ; $R \approx 4, 06$ .

3Cách 3. Hạ đường cao từ

A

— chỉ dùng Pythagore và tam giác vuông

Định hướng. Đường cao từ $A$ cắt $B C$ thành hai đoạn tính được trực tiếp, nên cạnh $a$ là tổng hai đoạn ấy.

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

A

trên

B C

A H = c sin B = 5 sin 8 0^{\circ} \approx 4, 924

;

B H = c cos B = 5 cos 8 0^{\circ} \approx 0, 868

H C = b^{2} - A H^{2} \approx 64 - 24, 246 = 39, 754 \approx 6, 305

(Pythagore trong tam giác

A H C

)

a = B H + H C \approx 0, 868 + 6, 305 = 7, 17

(

H

nằm giữa

B

và

C

vì

B

và

C

đều nhọn)

sin C = \frac{A H}{b} \approx \frac{4 , 924}{8} = 0, 6155 \Rightarrow C \approx 3 8^{\circ}

A \approx 6 2^{\circ}

;

R = \frac{a}{2 sin A} \approx \frac{7 , 17}{2 sin 6 2 ^{\circ}} \approx 4, 06

Vậy $a \approx 7, 17$ ; $A \approx 6 2^{\circ}$ ; $C \approx 3 8^{\circ}$ ; $R \approx 4, 06$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả. Giá trị chính xác hơn là $C \approx 3 7^{\circ} 5 9^{'}$ , $A \approx 6 2^{\circ} 0 1^{'}$ , $a \approx 7, 173$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai lần bấm máy là có cả ba góc lẫn

R

, trong khi Cách 2 phải giải phương trình bậc hai và Cách 3 phải dựng thêm đường cao.

Đáp số.

C \approx 3 8^{\circ}

;

A \approx 6 2^{\circ}

;

R \approx 4, 06

;

a \approx 7, 17

Sai lầm thường gặp. Lấy nghiệm tù của

sin C \approx 0, 6155

, tức

C \approx 14 2^{\circ}

. Khi đó

B + C \approx 8 0^{\circ} + 14 2^{\circ} = 22 2^{\circ} > 18 0^{\circ}

— không thể là tam giác. Mẹo loại nhanh: cạnh

c = 5

nhỏ hơn cạnh

b = 8

nên góc

C

bắt buộc nhỏ hơn góc

B

, chỉ có nghiệm nhọn.

🚀 Mở rộng. Đổi đề thành

b = 4

c = 5

B = 3 0^{\circ}

thì

sin C = 0, 625

và cả hai nghiệm

C \approx 3 8^{\circ} 4 1^{'}

lẫn

C \approx 14 1^{\circ} 1 9^{'}

đều dùng được — bài toán có hai tam giác thoả mãn. Hãy chỉ ra điều kiện của

b

c

B

để xảy ra tình huống hai nghiệm này.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 40

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Luyện tập 3★★Trang 40— Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa (c-g-c)

Luyện tập 3 (trang 40). Giải tam giác

A B C

, biết

b = 32

c = 45

A = 8 7^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ .
Giải tam giác là tính tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác đó.
Góc đối diện cạnh nhỏ nhất luôn là góc nhọn.

🧠 Phân tích tư duy

Góc

8 7^{\circ}

nằm giữa hai cạnh

b

và

c

nên đây là trường hợp cạnh–góc–cạnh: định lí sin chưa dùng được (chưa có cặp cạnh–góc đối diện), phải bắt đầu bằng định lí côsin để có

a

. Có

a

rồi thì

A

và

a

thành cặp đối diện nên định lí sin dùng được cho góc còn lại. Chú ý

cos 8 7^{\circ}

rất nhỏ nhưng dương, nên

a

chỉ hơi nhỏ hơn cạnh huyền của tam giác vuông tương ứng — giữ đủ chữ số khi bấm máy để không sai ở hàng phần mười.

1Cách 1. Định lí côsin cho cạnh

a

, rồi hệ quả côsin cho hai góc

Định hướng. Chỉ dùng một công cụ duy nhất cho cả bài nên không phải lo chọn nghiệm nhọn hay tù.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 3 2^{2} + 4 5^{2} - 2 \cdot 32 \cdot 45 \cdot cos 8 7^{\circ}

a^{2} = 1024 + 2025 - 2880 cos 8 7^{\circ} \approx 3049 - 150, 73 = 2898, 27

a \approx 53, 84

cos B = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{2 c a} \approx \frac{2025 + 2898 , 27 - 1024}{2 \cdot 45 \cdot 53 , 84} \approx 0, 8048

B \approx 36, 4^{\circ}

C = 18 0^{\circ} - 8 7^{\circ} - 36, 4^{\circ} = 56, 6^{\circ}

Vậy $a \approx 53, 8$ ; $B \approx 36, 4^{\circ}$ ; $C \approx 56, 6^{\circ}$ .

2Cách 2. Định lí côsin cho cạnh

a

, rồi định lí sin cho góc

B

Định hướng. Sau khi có $a$ thì cặp $(a; A)$ đối diện nhau, định lí sin cho góc nhanh hơn hệ quả côsin.

a = 3049 - 2880 cos 8 7^{\circ} \approx 53, 84

(như Cách 1)

b = 32

là cạnh nhỏ nhất nên

B

là góc nhỏ nhất, do đó

B

nhọn

sin B = \frac{b sin A}{a} \approx \frac{32 sin 8 7 ^{\circ}}{53 , 84} \approx 0, 5936

B \approx 36, 4^{\circ}

C = 18 0^{\circ} - 8 7^{\circ} - 36, 4^{\circ} = 56, 6^{\circ}

Vậy $a \approx 53, 8$ ; $B \approx 36, 4^{\circ}$ ; $C \approx 56, 6^{\circ}$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá — đọc góc bằng tang, không cần hệ quả côsin

Định hướng. Đặt góc $8 7^{\circ}$ tại gốc toạ độ thì toạ độ ba đỉnh đều biết, khoảng cách và góc đều đọc được trực tiếp.

Chọn hệ trục

O x y

với

A

trùng gốc

O

, tia

A x

trùng tia

A C

A (0; 0)

C (32; 0)

B (45 cos 8 7^{\circ}; 45 sin 8 7^{\circ}) \approx B (2, 355; 44, 938)

a = B C \approx (32 - 2, 355)^{2} + 44, 93 8^{2} = 878, 8 + 2019, 4 \approx 53, 84

tan C = \frac{44 , 938}{32 - 2 , 355} \approx \frac{44 , 938}{29 , 645} \approx 1, 5159

C \approx 56, 6^{\circ}

B = 18 0^{\circ} - 8 7^{\circ} - 56, 6^{\circ} = 36, 4^{\circ}

Vậy $a \approx 53, 8$ ; $B \approx 36, 4^{\circ}$ ; $C \approx 56, 6^{\circ}$ .

Nhận xét. Nếu cần chính xác hơn: $a \approx 53, 836$ , $B \approx 3 6^{\circ} 2 5^{'}$ , $C \approx 5 6^{\circ} 3 5^{'}$ . Kiểm tra chéo bằng định lí sin: $\frac{a}{sin A} \approx \frac{b}{sin B} \approx \frac{c}{sin C} \approx 53, 9$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một lần định lí côsin, một lần định lí sin cho góc đối diện cạnh nhỏ nhất, tổng cộng ít phép bấm máy nhất và không phải xét nghiệm tù.

Đáp số.

a \approx 53, 8

;

B \approx 36, 4^{\circ}

;

C \approx 56, 6^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Dùng định lí sin cho góc

C

(đối diện cạnh lớn

c = 45

) và lấy nghiệm nhọn:

sin C = \frac{45 sin 8 7 ^{\circ}}{53 , 84} \approx 0, 8347

cho

C \approx 56, 6^{\circ}

— ở bài này may mà đúng, nhưng nếu

A

nhỏ thì nghiệm tù mới là nghiệm đúng. Quy tắc an toàn: chỉ dùng định lí sin cho góc đối diện cạnh nhỏ nhất, còn lại suy ra từ tổng ba góc.

🚀 Mở rộng. Giữ nguyên

b = 32

c = 45

mà cho

A = 9 3^{\circ}

thì

cos A

đổi dấu và

a^{2} \approx 3049 + 150, 7 = 3199, 7

, tức

a \approx 56, 6

— hãy so hai kết quả để thấy chỉ lệch

6^{\circ}

ở góc xen giữa mà cạnh đối diện đã đổi gần

3

đơn vị.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 40

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Vận dụng 2★★★Trang 40— Thiết kế phương án đo khoảng cách hai điểm không tới được

Vận dụng 2 (trang 40). Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $\frac{A C}{sin A B C} = \frac{A B}{sin A C B}$ .
Định lí côsin: $C D^{2} = A C^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot cos C A D$ .
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Muốn giảm sai số của phép đo gián tiếp thì cạnh đáy phải đủ dài so với khoảng cách cần đo.

🧠 Phân tích tư duy

Hai đỉnh núi

C

D

đều không tới được nên không đo trực tiếp

C D

; thứ duy nhất đo được là những gì nằm trong tầm tay: một đoạn thẳng trên mặt đất và các góc ngắm. Vì vậy phương án phải tạo ra tam giác có ít nhất một cạnh đo được rồi dùng định lí sin để "leo" tới các cạnh chưa biết, cuối cùng dùng định lí côsin cho tam giác

A C D

. Chỗ dễ hỏng là chọn

A

B

quá gần nhau: khi ấy các góc ngắm gần bằng nhau, sai số vài phút cũng làm kết quả lệch hàng trăm mét.

1Cách 1. Đặt một cạnh đáy trên mặt đất, ngắm bốn góc (phương án cơ bản)

Định hướng. Tạo hai tam giác $A B C$ và $A B D$ dùng chung cạnh đáy đo được, tính $A C$ và $A D$ bằng định lí sin, rồi ghép lại bằng định lí côsin.

① Chọn hai vị trí

A

B

trên mặt đất sao cho từ mỗi vị trí đều nhìn thấy cả hai đỉnh núi

C

D

; đo đoạn

A B

② Đứng tại

A

, đo

B A C

B A D

và suy ra

C A D

③ Đứng tại

B

, đo

A B C

A B D

④ Trong tam giác

A B C

A C B = 18 0^{\circ} - B A C - A B C

A C = \frac{A B \cdot sin A B C}{sin A C B}

(định lí sin)
⑤ Trong tam giác

A B D

A D B = 18 0^{\circ} - B A D - A B D

A D = \frac{A B \cdot sin A B D}{sin A D B}

(định lí sin)
⑥ Trong tam giác

A C D

C D = A C^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot cos C A D

(định lí côsin)

Vậy chỉ với một đoạn đo được trên mặt đất và bốn góc ngắm, ta tính được khoảng cách giữa hai đỉnh núi.

2Cách 2. Dùng máy đo xa — chỉ cần một trạm ngắm

Định hướng. Nếu có máy đo khoảng cách bằng tia laze thì $A C$ và $A D$ đo trực tiếp, bài toán rút gọn còn đúng một lần định lí côsin.

① Chọn một vị trí

A

nhìn thấy cả hai đỉnh

C

D

② Dùng máy đo xa, đo

A C

và

A D

③ Đo góc

C A D

giữa hai hướng ngắm
④

C D^{2} = A C^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot cos C A D

(định lí côsin)
Chẳng hạn

A C = 3200

A D = 2500

C A D = 4 7^{\circ}

cho

C D^{2} = 320 0^{2} + 250 0^{2} - 2 \cdot 3200 \cdot 2500 cos 4 7^{\circ} \approx 16490000 - 10912000 = 5578000

C D \approx 2362

(m)

Vậy chỉ cần một trạm ngắm, hai phép đo dài và một phép đo góc.

3Cách 3. Toạ độ hoá hiện trường theo hướng bắc

Định hướng. Nếu dùng địa bàn để đọc góc phương vị thì mỗi đỉnh núi có ngay một cặp toạ độ, khoảng cách tính bằng công thức có sẵn.

① Chọn trạm

A

, dựng hệ trục

O x y

gốc tại

A

O x

hướng đông,

O y

hướng bắc
② Đo khoảng cách

A C

A D

và góc phương vị

α

β

của hai hướng ngắm (kể từ hướng bắc, theo chiều kim đồng hồ)
③

C (A C sin α; A C cos α)

và

D (A D sin β; A D cos β)

④

C D = (A D sin β - A C sin α)^{2} + (A D cos β - A C cos α)^{2}

Vậy phương án toạ độ cho kết quả như nhau và còn tiện khi phải đo nhiều đỉnh núi cùng lúc.

Nhận xét. Trong ba phương án, Cách 1 là phương án duy nhất chỉ cần thước dây và thước ngắm góc — đúng tinh thần của Ví dụ 4 khi đo khoảng cách tới Tháp Rùa. Nên chọn $A B$ dài cỡ một phần mười khoảng cách cần đo trở lên để sai số góc không bị khuếch đại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi (và khi thực hành ngoài trời) dùng Cách 1: chỉ cần dụng cụ đơn giản, không phụ thuộc máy đo xa như Cách 2 hay địa bàn như Cách 3.

Đáp số. Chọn hai vị trí

A

B

nhìn thấy cả hai đỉnh núi, đo

A B

và các góc ngắm; dùng định lí sin trong tam giác

A B C

và

A B D

để tính

A C

A D

; cuối cùng dùng định lí côsin trong tam giác

A C D

C D = A C^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot cos C A D

Sai lầm thường gặp. Lấy

C A D = B A D - B A C

trong khi hai đỉnh núi nằm về hai phía của tia

A B

. Ví dụ

B A C = 3 5^{\circ}

về bên trái và

B A D = 2 0^{\circ}

về bên phải thì góc thật là

C A D = 5 5^{\circ}

chứ không phải

1 5^{\circ}

; lấy nhầm

1 5^{\circ}

với

A C = A D = 3000

m sẽ ra

C D \approx 783

m thay vì

\approx 2769

m, sai gần bốn lần. Phải vẽ sơ đồ vị trí trước khi cộng trừ góc.

🚀 Mở rộng. Cùng ý tưởng ấy, muốn đo chiều cao của một đỉnh núi thì thay góc ngắm ngang bằng góc ngắm chếch lên: đo

A B

trên mặt đất cùng hai góc nâng tại

A

và

B

rồi giải tam giác đứng — đó chính là dạng của Bài 3.9.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 40

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · HĐ4★★Trang 41— Thiết lập công thức diện tích tam giác theo nửa chu vi và bán kính nội tiếp

HĐ4 (trang 41). Cho tam giác

A B C

với

I

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 3.13).
a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác

A B C

và diện tích các tam giác

I B C

I C A

I A B

.
b) Tính diện tích tam giác

A B C

theo

r

a

b

c

Kiến thức cần nhớ

Tâm đường tròn nội tiếp cách đều ba cạnh, khoảng cách đó bằng bán kính $r$ .
Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với đường cao ứng với cạnh đó.
Nửa chu vi: $p = \frac{a + b + c}{2}$ .
Công thức diện tích: $S = p r = \frac{( a + b + c ) r}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm

I

là tâm đường tròn nội tiếp nên khoảng cách từ

I

tới cả ba cạnh đều bằng

r

— đó là dữ kiện then chốt: ba tam giác con

I B C

I C A

I A B

có đáy là ba cạnh của tam giác và chung một chiều cao bằng

r

. Vì

I

nằm trong tam giác nên ba tam giác con phủ kín và không chồng lên nhau, diện tích cộng được. Bẫy là quên mất

p

là nửa chu vi, dẫn tới viết nhầm

S = (a + b + c) r

1Cách 1. Nối

I

với ba đỉnh — chia tam giác thành ba mảnh chung chiều cao

r

Định hướng. Ba đoạn $I A$ , $I B$ , $I C$ cắt tam giác thành ba mảnh rời nhau, mỗi mảnh có đáy là một cạnh và chiều cao đúng bằng $r$ .

I

nằm trong tam giác

A B C

nên ba tam giác

I B C

I C A

I A B

phủ kín và rời nhau

S = S_{I B C} + S_{I C A} + S_{I A B}

b) Khoảng cách từ

I

tới mỗi cạnh đều bằng

r

(

I

là tâm đường tròn nội tiếp)

S_{I B C} = \frac{1}{2} a r

;

S_{I C A} = \frac{1}{2} b r

;

S_{I A B} = \frac{1}{2} cr

S = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} cr = \frac{( a + b + c ) r}{2}

Vậy $S = \frac{( a + b + c ) r}{2} = p r$ .

2Cách 2. Nối

I

với ba tiếp điểm — sáu tam giác vuông và độ dài tiếp tuyến

Định hướng. Bán kính kẻ tới tiếp điểm thì vuông góc với cạnh, chia hình thành sáu tam giác vuông từng đôi bằng nhau; các độ dài tiếp tuyến lại chính là $p - a$ , $p - b$ , $p - c$ .

Gọi

M

N

P

lần lượt là tiếp điểm trên

B C

C A

A B

; đặt

A N = A P = x

B P = B M = y

C M = C N = z

x + y = c

;

y + z = a

;

z + x = b

2 (x + y + z) = a + b + c = 2 p

, suy ra

x + y + z = p

I M ⊥ B C

I N ⊥ C A

I P ⊥ A B

và

I M = I N = I P = r

(bán kính kẻ tới tiếp điểm)

S_{A I N} = S_{A I P} = \frac{1}{2} r x

;

S_{B I P} = S_{B I M} = \frac{1}{2} r y

;

S_{C I M} = S_{C I N} = \frac{1}{2} r z

S = 2 \cdot \frac{1}{2} r x + 2 \cdot \frac{1}{2} r y + 2 \cdot \frac{1}{2} r z = r (x + y + z)

Vậy $S = p r$ ; đồng thời $x = p - a$ , $y = p - b$ , $z = p - c$ — ba độ dài tiếp tuyến rất hay dùng về sau.

3Cách 3. So tỉ số diện tích với ba đường cao

Định hướng. Mỗi tam giác con chung đáy với tam giác lớn nên tỉ số diện tích bằng tỉ số chiều cao; cộng ba tỉ số ấy lại phải được $1$ .

Gọi

h_{a}

h_{b}

h_{c}

là các đường cao ứng với

a

b

c

, khi đó

h_{a} = \frac{2 S}{a}

h_{b} = \frac{2 S}{b}

h_{c} = \frac{2 S}{c}

\frac{S _{I B C}}{S} = \frac{r}{h _{a}}

;

\frac{S _{I C A}}{S} = \frac{r}{h _{b}}

;

\frac{S _{I A B}}{S} = \frac{r}{h _{c}}

(chung đáy)

\frac{r}{h _{a}} + \frac{r}{h _{b}} + \frac{r}{h _{c}} = 1

\frac{r a}{2 S} + \frac{r b}{2 S} + \frac{r c}{2 S} = 1

r (a + b + c) = 2 S

Vậy $S = \frac{( a + b + c ) r}{2} = p r$ .

Nhận xét. Cách 3 còn tặng thêm một hệ thức đẹp: $\frac{1}{h _{a}} + \frac{1}{h _{b}} + \frac{1}{h _{c}} = \frac{1}{r}$ . Kiểm nhanh trên tam giác vuông có $a = 5$ , $b = 4$ , $c = 3$ : $S = 6$ , $p = 6$ nên $r = 1$ ; ba đường cao là $h_{a} = \frac{12}{5} = 2, 4$ , $h_{b} = 3$ , $h_{c} = 4$ và quả nhiên $\frac{1}{2 , 4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = 1 = \frac{1}{r}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba dòng là xong và không cần dựng thêm điểm nào; Cách 2 chỉ nên dùng khi bài hỏi tới độ dài tiếp tuyến.

Đáp số. a)

S = S_{I B C} + S_{I C A} + S_{I A B}

. b)

S = \frac{( a + b + c ) r}{2} = p r

Sai lầm thường gặp. Nhầm

p

là chu vi mà viết

S = (a + b + c) r

. Kiểm bằng tam giác vuông

3

–

4

–

5

: diện tích thật là

S = 6

và

r = 1

; công thức đúng cho

p r = 6 \cdot 1 = 6

, còn công thức sai cho

(3 + 4 + 5) \cdot 1 = 12

, gấp đôi. Trong mọi công thức của bài này,

p

luôn là nửa chu vi.

🚀 Mở rộng. Cùng cách chia ấy áp dụng được cho mọi đa giác ngoại tiếp một đường tròn bán kính

r

: nối tâm với các đỉnh sẽ được

S = p r

với

p

là nửa chu vi đa giác — hãy thử với hình vuông cạnh

2

để kiểm tra.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · HĐ5★★Trang 41— Thiết lập công thức diện tích tam giác theo hai cạnh và sin góc xen giữa

HĐ5 (trang 41). Cho tam giác

A B C

với đường cao

B D

(Hình 3.14: hình a) ứng với góc

A

nhọn, hình b) ứng với góc

A

tù).
a) Biểu thị

B D

theo

A B

và

sin A

.
b) Viết công thức tính diện tích

S

của tam giác

A B C

theo

b

c

sin A

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối diện.
$sin (18 0^{\circ} - A) = sin A$ với mọi $0^{\circ} < A < 18 0^{\circ}$ .
Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với đường cao ứng với cạnh đó.
Công thức diện tích: $S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} c a sin B = \frac{1}{2} ab sin C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường cao

B D

nằm trong tam giác vuông

A B D

có cạnh huyền

A B = c

, nên

B D

chỉ có thể là

c

nhân với sin của góc tại

A

của tam giác vuông đó. Điểm tinh tế: khi

A

tù thì

D

rơi ra ngoài đoạn

A C

và góc trong tam giác vuông là

18 0^{\circ} - A

, nhưng

sin (18 0^{\circ} - A) = sin A

nên hai hình cho cùng một công thức. Bẫy là dùng

cos

thay cho

sin

B D

là cạnh đối góc

A

trong tam giác vuông

A B D

1Cách 1. Xét tam giác vuông

A B D

trong cả hai hình

Định hướng. Chỉ cần đọc quan hệ cạnh–góc trong một tam giác vuông, rồi ghép vào công thức diện tích quen thuộc.

a) Hình a) góc

A

nhọn:

D

thuộc đoạn

A C

nên

B A D = A

Tam giác

A B D

vuông tại

D

nên

B D = A B sin B A D = c sin A

Hình b) góc

A

tù:

D

nằm ngoài đoạn

A C

B A D = 18 0^{\circ} - A

(hai góc kề bù)

B D = A B sin (18 0^{\circ} - A) = c sin A

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D

(

B D

là đường cao ứng với cạnh

A C

)

S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c sin A

Vậy $B D = c sin A$ trong cả hai trường hợp và $S = \frac{1}{2} b c sin A$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá — chiều cao chính là tung độ của

B

Định hướng. Cho $A C$ nằm trên trục hoành thì chiều cao hạ từ $B$ đọc thẳng ra từ tung độ, không phải chia trường hợp nhọn hay tù.

Chọn hệ trục

O x y

với

A

trùng gốc

O

, tia

A x

trùng tia

A C

A (0; 0)

C (b; 0)

B (c cos A; c sin A)

0^{\circ} < A < 18 0^{\circ}

nên

sin A > 0

, khoảng cách từ

B

tới trục hoành bằng

c sin A

B D = c sin A

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D = \frac{1}{2} b c sin A

Vậy $S = \frac{1}{2} b c sin A$ , đúng cho mọi dạng của góc $A$ .

3Cách 3. Ghép thành hình bình hành

Định hướng. Tam giác là một nửa hình bình hành dựng trên hai cạnh của nó, mà diện tích hình bình hành bằng đáy nhân chiều cao.

Dựng hình bình hành

A B E C

nhận

A B

và

A C

làm hai cạnh
Đường chéo

B C

chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau nên

S = \frac{1}{2} S_{A B E C}

Chiều cao của hình bình hành ứng với đáy

A C

chính là

B D = c sin A

S_{A B E C} = A C \cdot B D = b c sin A

S = \frac{1}{2} b c sin A

Vậy $S = \frac{1}{2} b c sin A$ ; đổi vai trò các đỉnh được thêm $S = \frac{1}{2} c a sin B = \frac{1}{2} ab sin C$ .

Nhận xét. Công thức này giải thích vì sao trong hai tam giác có chung một góc, tỉ số diện tích bằng tỉ số tích hai cạnh kề góc đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bám sát hình đã cho, hai dòng cho câu a và một dòng cho câu b.

Đáp số. a)

B D = A B sin A = c sin A

(đúng cho cả góc

A

nhọn và góc

A

tù). b)

S = \frac{1}{2} b c sin A

Sai lầm thường gặp. Ở hình b) viết

B D = c sin (A - 9 0^{\circ})

vì thấy

D

nằm ngoài. Thử với

c = 4

A = 12 0^{\circ}

: công thức sai cho

B D = 4 sin 3 0^{\circ} = 2

, còn giá trị đúng là

B D = 4 sin 12 0^{\circ} = 23 \approx 3, 46

. Góc trong tam giác vuông

A B D

là góc kề bù

18 0^{\circ} - A

, và

sin

của nó bằng

sin A

🚀 Mở rộng. Kết hợp

S = \frac{1}{2} b c sin A

với

sin A = \frac{a}{2 R}

ta được ngay

S = \frac{ab c}{4 R}

; thử với tam giác đều cạnh

a

(khi đó

R = \frac{a 3}{3}

) để kiểm tra công thức trả về

S = \frac{a ^{2} 3}{4}

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Luyện tập 4★★Trang 41— Tính diện tích khi biết một cạnh và hai góc

Luyện tập 4 (trang 41). Tính diện tích của tam giác

A B C

có

b = 2

B = 3 0^{\circ}

C = 4 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
$sin 10 5^{\circ} = sin (6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}) = \frac{6 + 2}{4}$ .
Công thức diện tích: $S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{ab c}{4 R} = 2 R^{2} sin A sin B sin C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một cạnh cùng hai góc, trong đó

B

đối diện cạnh

b

— đúng bộ dữ kiện của định lí sin. Mọi công thức diện tích đều cần hai cạnh và góc xen giữa, nên việc đầu tiên là dùng định lí sin lấy thêm một cạnh nữa. Chọn cặp cho phép dùng ngay số liệu đề bài: có

b

và

C

thì chỉ cần thêm

a

là dùng được

S = \frac{1}{2} ab sin C

. Kết quả ra số vô tỉ đẹp nên nên giữ dạng căn tới cuối.

1Cách 1. Định lí sin lấy thêm cạnh

a

, rồi dùng

S = \frac{1}{2} ab sin C

Định hướng. Chỉ thiếu một cạnh là công thức diện tích dùng được, mà định lí sin cho cạnh ấy ngay từ cặp $(b; B)$ .

A = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 10 5^{\circ}

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}

(định lí sin)

a = \frac{b sin A}{sin B} = \frac{2 sin 10 5 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = 4 sin 10 5^{\circ} = 4 \cdot \frac{6 + 2}{4} = 6 + 2

S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} (6 + 2) \cdot 2 \cdot \frac{2}{2}

S = \frac{12 + 2}{2} = \frac{2 3 + 2}{2} = 3 + 1

Vậy $S = 1 + 3 \approx 2, 73$ (đơn vị diện tích).

2Cách 2. Hạ đường cao — chia tam giác thành hai tam giác vuông

Định hướng. Hai góc $3 0^{\circ}$ và $4 5^{\circ}$ đều là góc đặc biệt nên đường cao và hai đoạn hình chiếu đều tính được bằng căn thức gọn.

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

A

trên

B C

;

B

và

C

đều nhọn nên

H

nằm giữa

B

và

C

A H = b sin C = 2 sin 4 5^{\circ} = 2

H C = b cos C = 2 cos 4 5^{\circ} = 2

B H = \frac{A H}{tan 3 0 ^{\circ}} = 2 \cdot 3 = 6

a = B C = B H + H C = 6 + 2

S = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot A H = \frac{1}{2} (6 + 2) 2 = \frac{12 + 2}{2} = 3 + 1

Vậy $S = 1 + 3 \approx 2, 73$ .

3Cách 3. Qua bán kính đường tròn ngoại tiếp:

S = 2 R^{2} sin A sin B sin C

Định hướng. Khi biết cả ba góc và một cạnh thì $R$ tính được ngay, mà mọi cạnh đều viết được theo $R$ nên diện tích chỉ còn phụ thuộc $R$ và ba góc.

A = 10 5^{\circ}

;

2 R = \frac{b}{sin B} = \frac{2}{sin 3 0 ^{\circ}} = 4

, suy ra

R = 2

a = 2 R sin A

b = 2 R sin B

nên

S = \frac{1}{2} ab sin C = 2 R^{2} sin A sin B sin C

S = 2 \cdot 2^{2} \cdot sin 10 5^{\circ} \cdot sin 3 0^{\circ} \cdot sin 4 5^{\circ}

S = 8 \cdot \frac{6 + 2}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{12 + 2}{2} = 3 + 1

Vậy ba cách đều cho $S = 1 + 3 \approx 2, 73$ .

Nhận xét. Công thức $S = 2 R^{2} sin A sin B sin C$ rất tiện khi đề chỉ cho các góc và bán kính $R$ : khi ấy không cần tính cạnh nào cả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một lần định lí sin rồi thay vào công thức diện tích, ít bước nhất và không phải nhớ công thức phụ như Cách 3.

Đáp số.

S = 1 + 3 \approx 2, 73

(đơn vị diện tích).

Sai lầm thường gặp. Dùng luôn

S = \frac{1}{2} b^{2} sin A

vì tưởng hai cạnh kề góc

A

đều bằng

2

. Khi đó

S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot sin 10 5^{\circ} \approx 1, 93

, khác hẳn giá trị đúng

2, 73

. Chỉ có

b = A C = 2

, còn

c = A B = 22 \approx 2, 83

— hai cạnh này không bằng nhau vì

B \neq = C

🚀 Mở rộng. Tổng quát: tam giác có một cạnh

b

và hai góc

B

C

thì

S = \frac{b ^{2} sin A sin C}{2 sin B}

— hãy thay

b = 2

B = 3 0^{\circ}

C = 4 5^{\circ}

để kiểm tra công thức trả về

1 + 3

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Thảo luận★★★★Trang 41— Thiết lập công thức Heron

Thảo luận (trang 41). Ta đã biết tính

cos A

theo độ dài các cạnh của tam giác

A B C

. Liệu

sin A

và diện tích

S

có tính được theo độ dài các cạnh của tam giác

A B C

hay không?

Kiến thức cần nhớ

Hệ quả côsin: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ .
$sin^{2} A + cos^{2} A = 1$ và $sin A > 0$ với $0^{\circ} < A < 18 0^{\circ}$ .
Hiệu hai bình phương: $X^{2} - Y^{2} = (X - Y) (X + Y)$ .
Công thức Heron: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ với $p = \frac{a + b + c}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đã có

cos A

theo ba cạnh, mà

sin^{2} A = 1 - cos^{2} A

và

sin A > 0

trong tam giác, nên

sin A

chắc chắn tính được — câu hỏi chỉ còn là biểu thức ấy có gọn hay không. Chìa khoá là nhận ra

1 - cos^{2} A

đưa về hiệu hai bình phương

4 b^{2} c^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2}

, phân tích được thành bốn thừa số dạng

(b + c)^{2} - a^{2}

và

a^{2} - (b - c)^{2}

— và cả bốn thừa số ấy đều viết được qua nửa chu vi

p

. Đây chính là con đường dẫn tới công thức Heron.

1Cách 1. Từ

cos A

sang

sin A

rồi phân tích thành nhân tử

Định hướng. Bình phương của $sin A$ hiện ra dưới dạng hiệu hai bình phương, phân tích ra là bốn thừa số đều quy được về nửa chu vi.

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

sin^{2} A = 1 - cos^{2} A = \frac{4 b ^{2} c ^{2} - ( b ^{2} + c ^{2} - a ^{2} ) ^{2}}{4 b ^{2} c ^{2}}

4 b^{2} c^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2} = [2 b c + b^{2} + c^{2} - a^{2}] [2 b c - b^{2} - c^{2} + a^{2}]

= [(b + c)^{2} - a^{2}] [a^{2} - (b - c)^{2}]

= (b + c - a) (a + b + c) (a - b + c) (a + b - c)

= 2 (p - a) \cdot 2 p \cdot 2 (p - b) \cdot 2 (p - c) = 16 p (p - a) (p - b) (p - c)

sin A = \frac{2}{b c} p (p - a) (p - b) (p - c)

(vì

sin A > 0

)

S = \frac{1}{2} b c sin A = p (p - a) (p - b) (p - c)

Vậy cả $sin A$ lẫn $S$ đều tính được theo ba cạnh, và $S$ có dạng rất gọn — đó là công thức Heron.

2Cách 2. Hạ đường cao rồi dùng Pythagore hai lần

Định hướng. Không cần tới lượng giác: đường cao và hai đoạn hình chiếu liên hệ với ba cạnh chỉ bằng Pythagore, mà diện tích lại là nửa tích đáy với đường cao.

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

A

trên đường thẳng

B C

, đặt

B H = x

(đo trên tia

B C

A H = h

x^{2} + h^{2} = c^{2}

và

(a - x)^{2} + h^{2} = b^{2}

(Pythagore)

x^{2} - (a - x)^{2} = c^{2} - b^{2}

2 a x - a^{2} = c^{2} - b^{2}

, suy ra

x = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a}

h^{2} = c^{2} - x^{2} = \frac{4 a ^{2} c ^{2} - ( a ^{2} + c ^{2} - b ^{2} ) ^{2}}{4 a ^{2}}

S = \frac{1}{2} ah = \frac{1}{4} 4 a^{2} c^{2} - (a^{2} + c^{2} - b^{2})^{2}

4 a^{2} c^{2} - (a^{2} + c^{2} - b^{2})^{2} = 16 p (p - a) (p - b) (p - c)

(phân tích như Cách 1)

S = p (p - a) (p - b) (p - c)

Vậy $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ , không dùng một giá trị lượng giác nào.

3Cách 3. Toạ độ hoá — diện tích là nửa đáy nhân tung độ đỉnh

Định hướng. Đặt cạnh $a$ trên trục hoành thì tung độ của đỉnh còn lại chính là đường cao, và toạ độ ấy giải được từ hai phương trình khoảng cách.

Chọn hệ trục

O x y

với

B

trùng gốc

O

, tia

B x

trùng tia

B C

B (0; 0)

C (a; 0)

A (x; y)

với

y > 0

x^{2} + y^{2} = c^{2}

và

(x - a)^{2} + y^{2} = b^{2}

x = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a}

;

y^{2} = c^{2} - x^{2}

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot y = \frac{1}{2} a c^{2} - (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a})^{2}

S = \frac{1}{4} 4 a^{2} c^{2} - (a^{2} + c^{2} - b^{2})^{2} = p (p - a) (p - b) (p - c)

Vậy ba cách đều dẫn tới công thức Heron $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ .

Nhận xét. Kiểm nhanh trên tam giác $13$ – $14$ – $15$ của Ví dụ 6: $p = 21$ và $S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 84$ , đúng bằng kết quả tính theo $\frac{1}{2} b c sin A$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xuất phát từ hệ quả côsin đã có sẵn, chỉ một lần phân tích hiệu hai bình phương là ra Heron; Cách 2 và Cách 3 dài hơn vì phải tự dựng đường cao hoặc hệ trục.

Đáp số. Có.

sin A = \frac{2}{b c} p (p - a) (p - b) (p - c)

và

S = p (p - a) (p - b) (p - c)

với

p = \frac{a + b + c}{2}

Sai lầm thường gặp. Lấy

sin A = \pm 1 - cos^{2} A

rồi phân vân dấu, hoặc tệ hơn là chọn dấu âm khi

cos A < 0

. Ví dụ tam giác

a = 6

b = 5

c = 8

có

cos A = 0, 6625

và

sin A = 0, 749

; còn tam giác

a = 8

b = 5

c = 6

có

cos A = - 0, 05

nhưng

sin A

vẫn dương, bằng

\approx 0, 9987

. Trong tam giác luôn

0^{\circ} < A < 18 0^{\circ}

nên

sin A > 0

🚀 Mở rộng. Từ Heron và

S = p r

suy ra ngay

r = \frac{( p - a ) ( p - b ) ( p - c )}{p}

, còn từ Heron và

S = \frac{ab c}{4 R}

suy ra

R = \frac{ab c}{4 p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c )}

— nghĩa là chỉ với ba cạnh ta tính được toàn bộ các yếu tố của tam giác.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Vận dụng 3★★★Trang 42— Tính diện tích đa giác bằng cách chia thành tam giác

Vận dụng 3 (trang 42). Công viên Hoà Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác

A B C D E

như Hình 3.17. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ:

A B = 256

B C = 575

C D = 441

D E = 217

E A = 401

B D = 538

B E = 476

m. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hoà Bình.

Kiến thức cần nhớ

Công thức Heron: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ .
Hai đường chéo cùng xuất phát từ một đỉnh chia ngũ giác lồi thành ba tam giác rời nhau.
$1$ ha $= 10000$ m $^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ngũ giác không có công thức diện tích riêng, nhưng người đo đã cho sẵn hai đường chéo

B D

và

B E

— dấu hiệu rõ ràng rằng phải chia ngũ giác thành ba tam giác bằng hai đường chéo cùng xuất phát từ

B

. Mỗi tam giác con đều biết đủ ba cạnh nên công thức Heron là lựa chọn thẳng nhất, không phải tính góc nào. Bẫy là chia sai: nếu vẽ đường chéo từ đỉnh khác thì các đoạn cần thiết lại không có số liệu.

1Cách 1. Chia bởi hai đường chéo

B D

B E

rồi dùng công thức Heron

Định hướng. Hai đường chéo đã được đo sẵn nên ba tam giác con đều biết đủ ba cạnh, Heron cho diện tích ngay mà không cần một góc nào.

S_{A B C D E} = S_{B C D} + S_{B D E} + S_{A B E}

(hai đường chéo

B D

B E

chia ngũ giác thành ba tam giác rời nhau)
Tam giác

B C D

có

B C = 575

C D = 441

D B = 538

;

p_{1} = \frac{575 + 441 + 538}{2} = 777

S_{B C D} = 777 \cdot 202 \cdot 336 \cdot 239 \approx 112267, 7

^{2}

)
Tam giác

B D E

có

D B = 538

D E = 217

E B = 476

;

p_{2} = \frac{538 + 217 + 476}{2} = 615, 5

S_{B D E} = 615, 5 \cdot 77, 5 \cdot 398, 5 \cdot 139, 5 \approx 51495, 1

^{2}

)
Tam giác

A B E

có

A B = 256

E A = 401

B E = 476

;

p_{3} = \frac{256 + 401 + 476}{2} = 566, 5

S_{A B E} = 566, 5 \cdot 310, 5 \cdot 165, 5 \cdot 90, 5 \approx 51328, 0

^{2}

)

S_{A B C D E} \approx 112267, 7 + 51495, 1 + 51328, 0 = 215090, 8

^{2}

)

Vậy diện tích công viên Hoà Bình khoảng $215091$ m $^{2}$ , tức gần $21, 5$ ha.

2Cách 2. Tính một góc của mỗi tam giác rồi dùng

S = \frac{1}{2} ab sin C

Định hướng. Biết ba cạnh thì hệ quả côsin cho góc, có góc rồi thì công thức diện tích theo hai cạnh và góc xen giữa dùng được ngay.

Tam giác

B C D

cos C = \frac{57 5 ^{2} + 44 1 ^{2} - 53 8 ^{2}}{2 \cdot 575 \cdot 441} \approx 0, 3231

, suy ra

sin C \approx 0, 9464

S_{B C D} = \frac{1}{2} \cdot 575 \cdot 441 \cdot 0, 9464 \approx 112267, 7

^{2}

)
Tam giác

B D E

cos E = \frac{21 7 ^{2} + 47 6 ^{2} - 53 8 ^{2}}{2 \cdot 217 \cdot 476} \approx - 0, 0764

, suy ra

sin E \approx 0, 9971

S_{B D E} = \frac{1}{2} \cdot 217 \cdot 476 \cdot 0, 9971 \approx 51495, 1

^{2}

)
Tam giác

A B E

cos A = \frac{25 6 ^{2} + 40 1 ^{2} - 47 6 ^{2}}{2 \cdot 256 \cdot 401} \approx 0, 8431

, suy ra

sin A \approx 0, 5378

S_{A B E} = \frac{1}{2} \cdot 256 \cdot 401 \cdot 0, 5378 \approx 51328, 0

^{2}

)

S_{A B C D E} \approx 215090, 8

^{2}

)

Vậy $S_{A B C D E} \approx 215091$ m $^{2}$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Toạ độ hoá — dựng lại toạ độ năm đỉnh từ các khoảng cách

Định hướng. Bảy khoảng cách đã đủ để định vị cả năm đỉnh trên mặt phẳng toạ độ; khi có toạ độ thì mọi diện tích đều tính bằng công thức khoảng cách và đường cao.

Chọn hệ trục

O x y

với

D

trùng gốc

O

, tia

D x

trùng tia

D B

D (0; 0)

B (538; 0)

C

thoả

D C = 441

B C = 575

x_{C} = \frac{44 1 ^{2} + 53 8 ^{2} - 57 5 ^{2}}{2 \cdot 538} \approx 142, 47

;

y_{C} = 44 1^{2} - x_{C}^{2} \approx 417, 35

E

thoả

D E = 217

B E = 476

x_{E} = \frac{21 7 ^{2} + 53 8 ^{2} - 47 6 ^{2}}{2 \cdot 538} \approx 102, 19

;

y_{E} \approx - 191, 43

S_{B C D} = \frac{1}{2} \cdot D B \cdot y_{C} \approx \frac{1}{2} \cdot 538 \cdot 417, 35 \approx 112267

^{2}

)

S_{B D E} = \frac{1}{2} \cdot D B \cdot ∣ y_{E} ∣ \approx \frac{1}{2} \cdot 538 \cdot 191, 43 \approx 51495

^{2}

)

S_{A B E}

tính bằng Heron với

A B = 256

E A = 401

B E = 476

\approx 51328

^{2}

)

S_{A B C D E} \approx 215090

^{2}

)

Vậy ba cách cho cùng một kết quả (sai lệch vài mét vuông là do làm tròn): diện tích công viên khoảng $215000$ m $^{2}$ .

Nhận xét. Chỉ nên làm tròn ở dòng cuối. Nếu làm tròn từng tam giác về hàng nghìn rồi mới cộng, kết quả có thể lệch tới cả nghìn mét vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba lần Heron, không phải tính góc và không phải dựng hệ trục — cũng chính là cách mà số liệu Google Maps được cho sẵn để phục vụ.

Đáp số.

S_{A B C D E} \approx 215091

^{2} \approx 21, 5

ha.

Sai lầm thường gặp. Coi ngũ giác như hình thang hay tứ giác rồi lấy tích "chiều dài nhân chiều rộng". Chẳng hạn lấy

575 \cdot 441 \approx 253575

^{2}

làm diện tích thì thừa hơn

38000

^{2}

so với giá trị đúng

215091

^{2}

. Đa giác bất kì chỉ tính được diện tích bằng cách chia thành tam giác.

🚀 Mở rộng. Cùng cách chia ấy, một đa giác

n

đỉnh luôn cắt được thành

n - 2

tam giác bởi các đường chéo cùng xuất phát từ một đỉnh; vậy muốn tính diện tích một khu đất

6

cạnh thì cần đo tối thiểu bao nhiêu đoạn thẳng?

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 3.5★★Trang 42— Giải tam giác khi biết ba cạnh (c-c-c)

Bài 3.5 (trang 42). Cho tam giác

A B C

có

a = 6

b = 5

c = 8

. Tính

cos A

S

r

Kiến thức cần nhớ

Hệ quả côsin: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ .
$sin A = 1 - cos^{2} A$ vì $sin A > 0$ trong tam giác.
$S = \frac{1}{2} b c sin A$ và $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ .
$S = p r$ , suy ra $r = \frac{S}{p}$ với $p = \frac{a + b + c}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba cạnh — dấu hiệu của hệ quả côsin cho góc và của công thức Heron cho diện tích. Ba yêu cầu nối với nhau thành một dây chuyền: có

cos A

thì có

sin A

, có

sin A

thì có

S

, có

S

và

p

thì có

r

. Nên kiểm tra chéo

S

bằng Heron để chắc chắn không sai ở bước lấy căn. Chú ý

r

tính từ

S = p r

, tức

r = \frac{S}{p}

với

p

là nửa chu vi.

1Cách 1. Dây chuyền

cos A \to sin A \to S \to r

Định hướng. Ba yêu cầu nối tiếp nhau nên đi thẳng theo thứ tự đề hỏi là ngắn nhất.

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{5 ^{2} + 8 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{53}{80} = 0, 6625

sin A = 1 - (\frac{53}{80})^{2} = \frac{6400 - 2809}{80} = \frac{3591}{80} = \frac{3 399}{80}

S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{3 399}{80} = \frac{3 399}{4} \approx 14, 98

p = \frac{6 + 5 + 8}{2} = \frac{19}{2}

r = \frac{S}{p} = \frac{3 399}{4} \cdot \frac{2}{19} = \frac{3 399}{38} \approx 1, 58

Vậy $cos A = \frac{53}{80} = 0, 6625$ ; $S = \frac{3 399}{4} \approx 14, 98$ ; $r = \frac{3 399}{38} \approx 1, 58$ .

2Cách 2. Dùng công thức Heron cho

S

rồi suy ngược ra

sin A

Định hướng. Biết ba cạnh thì Heron cho diện tích không cần qua lượng giác, và từ $S$ suy ngược lại $sin A$ để kiểm tra chéo Cách 1.

p = \frac{6 + 5 + 8}{2} = \frac{19}{2} = 9, 5

S = p (p - a) (p - b) (p - c) = 9, 5 \cdot 3, 5 \cdot 4, 5 \cdot 1, 5

S = 224, 4375 = \frac{3 399}{4} \approx 14, 98

r = \frac{S}{p} = \frac{14 , 98}{9 , 5} \approx 1, 58

sin A = \frac{2 S}{b c} = \frac{2 \cdot 14 , 98}{40} \approx 0, 7491

cos A = 1 - 0, 749 1^{2} \approx 0, 6625

(lấy dấu dương vì

a

không phải cạnh lớn nhất nên

A

nhọn)

Vậy $cos A = 0, 6625$ ; $S \approx 14, 98$ ; $r \approx 1, 58$ — khớp với Cách 1.

3Cách 3. Toạ độ hoá rồi tính diện tích theo đường cao

Định hướng. Đặt cạnh lớn nhất trên trục hoành thì tung độ đỉnh còn lại là đường cao, diện tích và $cos A$ đều đọc ra được từ toạ độ.

Chọn hệ trục

O x y

với

A

trùng gốc

O

, tia

A x

trùng tia

A C

A (0; 0)

C (5; 0)

B (x; y)

với

A B = 8

B C = 6

x^{2} + y^{2} = 64

và

(x - 5)^{2} + y^{2} = 36

10 x - 25 = 28

, suy ra

x = 5, 3

y = 64 - 28, 09 = 35, 91 \approx 5, 9925

cos A = \frac{x}{A B} = \frac{5 , 3}{8} = 0, 6625

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot y = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5, 9925 \approx 14, 98

r = \frac{S}{p} \approx \frac{14 , 98}{9 , 5} \approx 1, 58

Vậy $cos A = 0, 6625$ ; $S \approx 14, 98$ ; $r \approx 1, 58$ .

Nhận xét. Giá trị chính xác: $S = \frac{3 399}{4}$ và $r = \frac{3 399}{38}$ ; nên giữ dạng căn tới bước cuối rồi mới làm tròn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: Heron cho

S

chỉ bằng một phép bấm máy trên bốn số nguyên và nửa số, ngắn hơn hẳn dây chuyền qua

sin A

của Cách 1.

Đáp số.

cos A = \frac{53}{80} = 0, 6625

;

S = \frac{3 399}{4} \approx 14, 98

;

r = \frac{3 399}{38} \approx 1, 58

Sai lầm thường gặp. Lấy

p

là chu vi

19

rồi tính

r = \frac{S}{19} \approx 0, 79

, chỉ bằng nửa giá trị đúng

1, 58

. Kiểm tra nhanh: đường tròn nội tiếp phải chạm cả ba cạnh nên

r

không thể quá nhỏ so với đường cao nhỏ nhất

h_{c} = \frac{2 S}{8} \approx 3, 75

; với

r \approx 0, 79

thì đường tròn hụt hẳn. Luôn nhớ

p = \frac{a + b + c}{2}

🚀 Mở rộng. Với chính tam giác này, hãy tính thêm

R = \frac{ab c}{4 S} = \frac{240}{3 399} \approx 4, 01

và so với

r \approx 1, 58

để kiểm nghiệm bất đẳng thức Euler

R \geq 2 r

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 3.6★★Trang 42— Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc (g-c-g)

Bài 3.6 (trang 42). Cho tam giác

A B C

có

a = 10

A = 4 5^{\circ}

B = 7 0^{\circ}

. Tính

R

b

c

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
Từ đó $R = \frac{a}{2 sin A}$ và $b = 2 R sin B$ , $c = 2 R sin C$ .
$sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cạnh

a

và góc

A

đối diện nhau nên tỉ số

\frac{a}{sin A}

tính được ngay và bằng

2 R

— đây là dấu hiệu kinh điển của định lí sin, không cần đụng tới định lí côsin. Có

2 R

rồi thì mỗi cạnh chỉ là

2 R

nhân sin góc đối diện, nên phải nhớ tính

C

trước khi tìm

c

. Chỗ dễ quên nhất chính là bước tính

C = 18 0^{\circ} - A - B

1Cách 1. Định lí sin — tính

2 R

một lần rồi nhân cho từng góc

Định hướng. Tỉ số chung $2 R$ tính được ngay từ cặp $(a; A)$ , sau đó mọi cạnh chỉ còn một phép nhân.

C = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 7 0^{\circ} = 6 5^{\circ}

2 R = \frac{a}{sin A} = \frac{10}{sin 4 5 ^{\circ}} = \frac{10}{\frac{2}{2}} = 102

R = 52 \approx 7, 07

b = 2 R sin B = 102 \cdot sin 7 0^{\circ} \approx 14, 1421 \cdot 0, 9397 \approx 13, 29

c = 2 R sin C = 102 \cdot sin 6 5^{\circ} \approx 14, 1421 \cdot 0, 9063 \approx 12, 82

Vậy $R = 52 \approx 7, 07$ ; $b \approx 13, 29$ ; $c \approx 12, 82$ .

2Cách 2. Định lí sin cho

b

, rồi định lí côsin cho

c

Định hướng. Sau khi có hai cạnh $a$ , $b$ và góc xen giữa $C$ thì định lí côsin cho cạnh còn lại, đồng thời kiểm chứng chéo kết quả.

C = 6 5^{\circ}

;

b = \frac{a sin B}{sin A} = \frac{10 sin 7 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ}} \approx 13, 29

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C \approx 100 + 176, 59 - 2 \cdot 10 \cdot 13, 29 \cdot cos 6 5^{\circ}

c^{2} \approx 276, 59 - 112, 31 = 164, 28

c \approx 12, 82

R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{10}{2 \cdot \frac{2}{2}} = 52 \approx 7, 07

Vậy $R \approx 7, 07$ ; $b \approx 13, 29$ ; $c \approx 12, 82$ — khớp với Cách 1.

3Cách 3. Hạ đường cao từ

A

— chia cạnh

a

thành hai đoạn theo côtang

Định hướng. Cả hai góc kề cạnh $a$ đều nhọn nên chân đường cao nằm trong đoạn $B C$ , và mỗi đoạn hình chiếu tỉ lệ với chiều cao theo tang góc kề.

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

A

trên

B C

, đặt

A H = h

B H = \frac{h}{tan 7 0 ^{\circ}}

;

H C = \frac{h}{tan 6 5 ^{\circ}}

(hai tam giác vuông

A B H

A C H

)

B H + H C = a = 10

h (\frac{1}{tan 7 0 ^{\circ}} + \frac{1}{tan 6 5 ^{\circ}}) = 10

h (0, 3640 + 0, 4663) = 10

, suy ra

h \approx 12, 0442

c = A B = \frac{h}{sin 7 0 ^{\circ}} \approx \frac{12 , 0442}{0 , 9397} \approx 12, 82

b = A C = \frac{h}{sin 6 5 ^{\circ}} \approx \frac{12 , 0442}{0 , 9063} \approx 13, 29

R = \frac{a}{2 sin A} = 52 \approx 7, 07

Vậy $R = 52 \approx 7, 07$ ; $b \approx 13, 29$ ; $c \approx 12, 82$ .

Nhận xét. Đáng chú ý là $b > c$ đúng với $B = 7 0^{\circ} > C = 6 5^{\circ}$ — luôn dùng quan hệ "cạnh lớn đối diện góc lớn" để kiểm tra nhanh kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính

2 R

một lần rồi dùng lại cho cả hai cạnh, tổng cộng ba phép bấm máy, ít nhất trong ba cách.

Đáp số.

C = 6 5^{\circ}

;

R = 52 \approx 7, 07

;

b \approx 13, 29

;

c \approx 12, 82

Sai lầm thường gặp. Nhầm

R

với

2 R

mà trả lời

R = 102 \approx 14, 14

. Kiểm tra nhanh: đường kính đường tròn ngoại tiếp phải lớn hơn hoặc bằng mọi cạnh, ở đây

2 R \approx 14, 14 > b \approx 13, 29

là hợp lí; nhưng nếu lấy

R = 14, 14

thì

2 R \approx 28, 28

, gấp hơn hai lần cạnh lớn nhất — dấu hiệu chắc chắn đã quên chia đôi.

🚀 Mở rộng. Giữ nguyên

a = 10

mà cho

A = 9 0^{\circ}

thì

2 R = 10

, tức cạnh

a

trở thành đường kính — hãy giải thích vì sao trong mọi tam giác luôn có

a \leq 2 R

và dấu bằng chỉ xảy ra khi

A = 9 0^{\circ}

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 3.7★★Trang 42— Giải tam giác biết hai góc và cạnh xen giữa, kèm tính diện tích

Bài 3.7 (trang 42). Giải tam giác

A B C

và tính diện tích của tam giác đó, biết

A = 1 5^{\circ}

B = 13 0^{\circ}

c = 6

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Định lí sin: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ .
Công thức diện tích: $S = \frac{1}{2} a c sin B = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} b c sin A$ .
Trong một tam giác, cạnh lớn nhất đối diện góc lớn nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Hai góc đã cho nên góc thứ ba suy ra ngay, và khi ấy cạnh

c

cùng góc

C

trở thành cặp đối diện — định lí sin dùng được cho cả hai cạnh còn lại. Vì đã có ba cạnh và ba góc nên diện tích tính được bằng bất cứ công thức nào; chọn công thức dùng đúng dữ kiện gốc

(c; B)

sẽ ít sai số làm tròn nhất. Chú ý

B = 13 0^{\circ}

tù nên

b

phải là cạnh lớn nhất — một chốt kiểm tra rất nhanh.

1Cách 1. Định lí sin cho hai cạnh, rồi

S = \frac{1}{2} a c sin B

Định hướng. Có ngay góc thứ ba nên cặp $(c; C)$ đối diện dùng được, và công thức diện tích chọn theo hai cạnh kề góc $B$ đã cho sẵn.

C = 18 0^{\circ} - 1 5^{\circ} - 13 0^{\circ} = 3 5^{\circ}

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}

(định lí sin)

a = \frac{c sin A}{sin C} = \frac{6 sin 1 5 ^{\circ}}{sin 3 5 ^{\circ}} \approx \frac{1 , 5529}{0 , 5736} \approx 2, 71

b = \frac{c sin B}{sin C} = \frac{6 sin 13 0 ^{\circ}}{sin 3 5 ^{\circ}} \approx \frac{4 , 5963}{0 , 5736} \approx 8, 01

S = \frac{1}{2} a c sin B \approx \frac{1}{2} \cdot 2, 7074 \cdot 6 \cdot sin 13 0^{\circ} \approx 6, 22

Vậy $C = 3 5^{\circ}$ ; $a \approx 2, 71$ ; $b \approx 8, 01$ ; $S \approx 6, 22$ .

2Cách 2. Qua bán kính

R

và công thức

S = 2 R^{2} sin A sin B sin C

Định hướng. Biết cả ba góc và một cạnh thì $R$ tính được ngay, và diện tích viết trọn theo $R$ cùng ba góc, không cần cạnh nào khác.

C = 3 5^{\circ}

;

2 R = \frac{c}{sin C} = \frac{6}{sin 3 5 ^{\circ}} \approx 10, 4607

, suy ra

R \approx 5, 2303

a = 2 R sin A \approx 10, 4607 \cdot 0, 2588 \approx 2, 71

b = 2 R sin B \approx 10, 4607 \cdot 0, 7660 \approx 8, 01

S = 2 R^{2} sin A sin B sin C \approx 2 \cdot 27, 356 \cdot 0, 2588 \cdot 0, 7660 \cdot 0, 5736 \approx 6, 22

Vậy $C = 3 5^{\circ}$ ; $a \approx 2, 71$ ; $b \approx 8, 01$ ; $R \approx 5, 23$ ; $S \approx 6, 22$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá — diện tích bằng nửa đáy nhân chiều cao

Định hướng. Đặt cạnh $c$ đã biết lên trục hoành thì đỉnh còn lại là giao của hai tia có góc cho sẵn, toạ độ của nó cho luôn cả cạnh lẫn chiều cao.

Chọn hệ trục

O x y

với

A

trùng gốc

O

B (6; 0)

C = 3 5^{\circ}

;

b = A C = \frac{6 sin 13 0 ^{\circ}}{sin 3 5 ^{\circ}} \approx 8, 0133

C (b cos 1 5^{\circ}; b sin 1 5^{\circ}) \approx C (7, 7402; 2, 0740)

a = B C \approx (7, 7402 - 6)^{2} + 2, 074 0^{2} = 3, 0276 + 4, 3015 \approx 2, 71

S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot y_{C} \approx \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2, 0740 \approx 6, 22

Vậy $C = 3 5^{\circ}$ ; $a \approx 2, 71$ ; $b \approx 8, 01$ ; $S \approx 6, 22$ .

Nhận xét. Kiểm tra nhanh: $B = 13 0^{\circ}$ là góc lớn nhất và quả nhiên $b \approx 8, 01$ là cạnh lớn nhất, còn $A = 1 5^{\circ}$ nhỏ nhất ứng với $a \approx 2, 71$ nhỏ nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai lần định lí sin và một lần công thức diện tích, tất cả đều dùng trực tiếp số liệu của đề nên ít sai số làm tròn nhất.

Đáp số.

C = 3 5^{\circ}

;

a \approx 2, 71

;

b \approx 8, 01

;

S \approx 6, 22

(đơn vị diện tích).

Sai lầm thường gặp. Tính

C = 18 0^{\circ} - 1 5^{\circ} = 16 5^{\circ}

vì quên trừ góc

B

. Khi đó tổng ba góc thành

1 5^{\circ} + 13 0^{\circ} + 16 5^{\circ} = 31 0^{\circ}

, vô lí ngay. Một lỗi khác là dùng

S = \frac{1}{2} a c sin B

với

sin 13 0^{\circ}

bị bấm thành

sin (- 13 0^{\circ})

khi máy ở chế độ rađian, cho diện tích âm — diện tích luôn dương nên gặp số âm là phải kiểm tra lại chế độ máy.

🚀 Mở rộng. Giữ

c = 6

và

B = 13 0^{\circ}

mà tăng dần

A

thì

C

giảm, cạnh

a

tăng còn

b

giảm; hãy tìm giá trị của

A

làm cho diện tích tam giác lớn nhất (gợi ý: viết

S

theo

A

rồi khảo sát).

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 3.8★★★Trang 42— Bài toán hàng hải — định lí côsin và định lí sin

Bài 3.8 (trang 42). Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng

A

, đi theo hướng S

7 0^{\circ}

E với vận tốc

70

km/h. Đi được

90

phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc

8

km/h. Sau

2

giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
a) Tính khoảng cách từ cảng

A

tới đảo nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng

A

tới đảo nơi tàu neo đậu.
(Hướng S

α^{\circ}

E là hướng tạo với hướng nam góc

α^{\circ}

và tạo với hướng đông góc

9 0^{\circ} - α^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Hướng S $α^{\circ}$ E tạo với hướng nam một góc $α^{\circ}$ , lệch về phía đông.
Quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian; $90$ phút $= 1, 5$ giờ.
Định lí côsin: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos A B C$ .
Định lí sin: $\frac{B C}{sin B A C} = \frac{A C}{sin A B C}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai chặng đi nối tiếp nhau tạo thành tam giác, nên câu a là bài cạnh–góc–cạnh và câu b là bài tìm góc — đúng bộ đôi côsin rồi sin. Việc khó nhất là đọc góc từ tên hướng: chặng đầu theo hướng S

7 0^{\circ}

E, chặng sau theo hướng nam, hai hướng ấy lệch nhau

7 0^{\circ}

, nên góc trong tam giác tại điểm hỏng máy là góc kề bù, bằng

11 0^{\circ}

. Sau khi có góc lệch

B A C

, hướng cần tìm là S

(7 0^{\circ} - B A C)

E vì tàu trôi về phía nam nên lệch dần về phía nam so với hướng ban đầu.

1Cách 1. Định lí côsin cho khoảng cách, định lí sin cho hướng

Định hướng. Dựng tam giác gồm hai chặng đi rồi đọc góc giữa chúng; côsin cho cạnh thứ ba, sin cho góc lệch so với hướng ban đầu.

Gọi

B

là vị trí tàu lúc hỏng máy,

C

là vị trí hòn đảo

A B = 70 \cdot 1, 5 = 105

(km);

B C = 8 \cdot 2 = 16

(km)
Hướng

A B

là S

7 0^{\circ}

E, hướng

B C

là hướng nam nên hai hướng lệch nhau

7 0^{\circ}

A B C = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}

(hai góc kề bù)

A C^{2} = 10 5^{2} + 1 6^{2} - 2 \cdot 105 \cdot 16 \cdot cos 11 0^{\circ} \approx 11025 + 256 + 1149, 19 = 12430, 19

A C \approx 111, 49

(km)

sin B A C = \frac{B C sin A B C}{A C} \approx \frac{16 sin 11 0 ^{\circ}}{111 , 49} \approx 0, 1349

B A C \approx 7^{\circ} 4 5^{'}

(góc nhọn vì đối diện cạnh nhỏ nhất)
Tàu trôi về phía nam nên

C

lệch về phía nam so với hướng

A B

: hướng

A C

là S

(7 0^{\circ} - 7^{\circ} 4 5^{'})

Vậy khoảng cách từ cảng $A$ tới đảo khoảng $111, 5$ km và hướng từ $A$ tới đảo là S $6 2^{\circ} 1 5^{'}$ E, tức xấp xỉ S $6 2^{\circ}$ E.

2Cách 2. Toạ độ hoá theo trục đông – bắc

Định hướng. Hướng đi cho sẵn dưới dạng góc so với hướng nam nên toạ độ mỗi chặng viết ngay được, khoảng cách và hướng đều đọc từ toạ độ.

Chọn hệ trục

O x y

gốc tại

A

O x

hướng đông,

O y

hướng bắc
Hướng S

7 0^{\circ}

E ứng với vectơ đơn vị

(sin 7 0^{\circ}; - cos 7 0^{\circ})

B (105 sin 7 0^{\circ}; - 105 cos 7 0^{\circ}) \approx B (98, 67; - 35, 91)

C (98, 67; - 35, 91 - 16) = C (98, 67; - 51, 91)

A C = 98, 6 7^{2} + 51, 9 1^{2} = 9735, 3 + 2694, 8 \approx 111, 49

(km)

tan α = \frac{98 , 67}{51 , 91} \approx 1, 9007

(

α

là góc giữa

A C

và hướng nam)

α \approx 6 2^{\circ} 1 5^{'}

Vậy $A C \approx 111, 5$ km và hướng từ $A$ tới đảo là S $6 2^{\circ} 1 5^{'}$ E.

3Cách 3. Phân tích quãng đường thành thành phần đông và nam

Định hướng. Mỗi chặng đi tách được thành một đoạn về phía đông và một đoạn về phía nam; cộng riêng từng phía rồi dùng Pythagore.

Chặng

A B

: đi về phía đông

105 sin 7 0^{\circ} \approx 98, 67

km và về phía nam

105 cos 7 0^{\circ} \approx 35, 91

km
Chặng

B C

: đi về phía đông

0

km và về phía nam

16

km
Tổng cộng: về phía đông

98, 67

km, về phía nam

35, 91 + 16 = 51, 91

A C = 98, 6 7^{2} + 51, 9 1^{2} \approx 111, 49

(km) (Pythagore)

tan α = \frac{98 , 67}{51 , 91} \approx 1, 9007

, suy ra

α \approx 6 2^{\circ} 1 5^{'}

Vậy $A C \approx 111, 5$ km, hướng từ $A$ tới đảo là S $6 2^{\circ} 1 5^{'}$ E.

Nhận xét. Cách 3 chính là Cách 2 nhưng nói bằng ngôn ngữ "đi về phía nào, bao nhiêu" nên rất dễ kiểm tra bằng trực giác: tàu lệch về phía đông gần gấp đôi phía nam, đúng với việc hướng cuối cùng vẫn gần hướng ban đầu S $7 0^{\circ}$ E.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng công cụ của bài học và chỉ hai lần bấm máy; Cách 3 nên dùng để kiểm tra chéo vì nó cho ngay hình dung về vị trí hòn đảo.

Đáp số. a)

A C \approx 111, 5

km. b) Hướng từ cảng

A

tới đảo là S

6 2^{\circ} 1 5^{'}

E (xấp xỉ S

6 2^{\circ}

E).

Sai lầm thường gặp. Lấy

A B C = 7 0^{\circ}

vì thấy hai hướng lệch nhau

7 0^{\circ}

. Khi đó

A C^{2} \approx 11025 + 256 - 1149, 19 = 10131, 81

, tức

A C \approx 100, 7

km — nhỏ hơn cả chặng đầu

105

km, trong khi tàu chỉ trôi ra xa thêm chứ không quay lại. Góc lệch hướng và góc trong của tam giác là hai góc kề bù, phải lấy

11 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Nếu tàu trôi thêm

t

giờ nữa theo hướng nam thì khoảng cách tới cảng là

98, 6 7^{2} + (35, 91 + 8 t + 16)^{2}

; hãy tìm

t

để tàu cách cảng đúng

150

km và cho biết khi đó hướng từ cảng tới tàu là hướng nào.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 42

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 3.9★★★Trang 43— Đo chiều cao gián tiếp bằng hai góc nâng

Bài 3.9 (trang 43). Trên nóc một toà nhà có một cột ăng-ten cao

5

m. Từ một vị trí quan sát

A

cao

7

m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh

B

và chân

C

của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là

5 0^{\circ}

và

4 0^{\circ}

so với phương nằm ngang (Hình 3.18).
a) Tính các góc của tam giác

A B C

.
b) Tính chiều cao của toà nhà.

Kiến thức cần nhớ

Góc nâng của một tia ngắm là góc giữa tia đó và phương nằm ngang.
Hai đường thẳng song song (hai phương nằm ngang) tạo với một cát tuyến các góc so le trong bằng nhau.
Định lí sin: $\frac{B C}{sin B A C} = \frac{A C}{sin A B C}$ .
Trong tam giác vuông, cạnh đối bằng cạnh huyền nhân sin góc đối.

🧠 Phân tích tư duy

Hai tia ngắm cùng xuất phát từ

A

nên góc ở đỉnh

A

của tam giác

A B C

là hiệu hai góc nâng:

5 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 1 0^{\circ}

. Cột ăng-ten dựng thẳng đứng, mà tia

C A

chếch xuống

4 0^{\circ}

so với phương ngang, nên góc tại

C

là

9 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 13 0^{\circ}

— đây là chỗ dễ nhầm nhất, nhiều bạn lấy

9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

. Có đủ ba góc và cạnh

B C = 5

m thì định lí sin cho

A C

, rồi chiều cao của

C

so với

A

là

A C sin 4 0^{\circ}

, cuối cùng cộng thêm

7

m vì

A

ở trên mặt đất

7

1Cách 1. Tính ba góc rồi dùng định lí sin trong tam giác

A B C

Định hướng. Ba góc đọc được trực tiếp từ hình, mà cạnh $B C$ đã cho nên định lí sin cho $A C$ ; chiều cao chỉ còn là một phép chiếu.

B A C = 5 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 1 0^{\circ}

(hiệu hai góc nâng cùng đo từ phương nằm ngang tại

A

)
Tia

C B

hướng thẳng đứng lên trên, tia

C A

chếch xuống, hợp với phương nằm ngang góc

4 0^{\circ}

(so le trong)

A C B = 9 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 13 0^{\circ}

A B C = 18 0^{\circ} - 1 0^{\circ} - 13 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

\frac{A C}{sin A B C} = \frac{B C}{sin B A C}

(định lí sin)

A C = \frac{5 sin 4 0 ^{\circ}}{sin 1 0 ^{\circ}} \approx \frac{3 , 2139}{0 , 1736} \approx 18, 51

(m)
Chiều cao của

C

so với

A

A C sin 4 0^{\circ} \approx 18, 51 \cdot 0, 6428 \approx 11, 90

(m)
Chiều cao toà nhà

= 11, 90 + 7 = 18, 90

(m)

Vậy $A = 1 0^{\circ}$ , $B = 4 0^{\circ}$ , $C = 13 0^{\circ}$ và toà nhà cao khoảng $18, 9$ m.

2Cách 2. Đặt ẩn là khoảng cách ngang rồi lập hệ hai phương trình tang

Định hướng. Hai tia ngắm cùng xuất phát từ $A$ nên có chung khoảng cách ngang tới toà nhà; đặt khoảng cách ấy làm ẩn là ra ngay hệ.

Gọi

d

(m) là khoảng cách ngang từ

A

tới toà nhà,

d > 0

Chiều cao của

C

so với

A

bằng

d tan 4 0^{\circ}

; chiều cao của

B

so với

A

bằng

d tan 5 0^{\circ}

d tan 5 0^{\circ} - d tan 4 0^{\circ} = B C = 5

d (1, 1918 - 0, 8391) = 5

d \approx \frac{5}{0 , 3527} \approx 14, 18

(m)
Chiều cao của

C

so với

A

14, 18 \cdot tan 4 0^{\circ} \approx 11, 90

(m)
Chiều cao toà nhà

= 11, 90 + 7 = 18, 90

(m)

Vậy toà nhà cao khoảng $18, 9$ m; cách này còn cho biết $A$ cách toà nhà khoảng $14, 2$ m theo phương ngang.

3Cách 3. Toạ độ hoá mặt cắt đứng

Định hướng. Cả bài nằm trong một mặt phẳng thẳng đứng, nên đặt hệ trục lên đó thì mọi điểm đều có toạ độ và mọi góc đều đọc bằng tang.

Chọn hệ trục

O x y

trong mặt phẳng thẳng đứng, gốc

O

ở chân toà nhà,

O x

nằm ngang,

O y

thẳng đứng

A (d; 7)

C (0; h)

B (0; h + 5)

với

h

là chiều cao toà nhà

tan 4 0^{\circ} = \frac{h - 7}{d}

và

tan 5 0^{\circ} = \frac{h + 5 - 7}{d}

\frac{h - 2}{h - 7} = \frac{tan 5 0 ^{\circ}}{tan 4 0 ^{\circ}} \approx 1, 4204

h - 2 = 1, 4204 h - 9, 9428

0, 4204 h = 7, 9428

, suy ra

h \approx 18, 90

(m)

Vậy chiều cao toà nhà khoảng $18, 9$ m.

Nhận xét. Kiểm tra chéo: với $h \approx 18, 90$ thì $d = \frac{h - 7}{tan 4 0 ^{\circ}} \approx 14, 18$ m, đúng bằng kết quả Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ một phương trình bậc nhất một ẩn, không phải xác định góc tù

13 0^{\circ}

như Cách 1 nên tránh được lỗi hay gặp nhất của bài này.

Đáp số. a)

A = 1 0^{\circ}

;

B = 4 0^{\circ}

;

C = 13 0^{\circ}

. b) Toà nhà cao khoảng

18, 9

Sai lầm thường gặp. Lấy

A C B = 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

. Khi đó tổng ba góc cho

A B C = 18 0^{\circ} - 1 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

, và

A C = \frac{5 sin 12 0 ^{\circ}}{sin 1 0 ^{\circ}} \approx 24, 93

m, dẫn tới chiều cao toà nhà

\approx 23, 0

m — sai hơn

4

m. Điểm

A

thấp hơn

C

nên tia

C A

chếch xuống, góc

A C B

giữa tia

C B

hướng lên và tia

C A

hướng xuống phải là góc tù

13 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Nếu đứng xa hơn, hai góc nâng đều giảm và hiệu của chúng cũng giảm theo, khiến sai số phép đo tăng lên. Hãy tính lại bài này khi hai góc đo được là

3 0^{\circ}

và

2 6^{\circ}

để thấy chỉ lệch

1^{\circ}

ở phép đo góc đã làm chiều cao đổi bao nhiêu mét.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 43

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 3.10★★★Trang 43— Thiết kế phương án đo bề rộng vật thể ở xa

Bài 3.10 (trang 43). Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Trị, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: $\frac{A C}{sin A B C} = \frac{A B}{sin A C B}$ .
Định lí côsin: $C D^{2} = A C^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot cos C A D$ .
Trong tam giác cân, đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến và đường phân giác.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bề rộng cần đo là đoạn

C D

nối hai mép đảo, mà cả

C

lẫn

D

đều ở ngoài biển — không tới được. Vì vậy phải làm y như bài đo khoảng cách tới Tháp Rùa: tạo một cạnh đáy đo được ngay trên bãi biển rồi ngắm góc. Điểm khác duy nhất so với bài Tháp Rùa là ở đây có hai điểm đích nên phải giải hai tam giác rồi ghép lại bằng định lí côsin. Bẫy là chọn cạnh đáy quá ngắn hoặc chọn hướng ngắm không vuông với đảo, khiến sai số góc bị khuếch đại thành hàng chục mét.

1Cách 1. Cạnh đáy trên bãi biển và bốn góc ngắm (phương án cơ bản)

Định hướng. Đặt hai cọc tiêu trên bãi biển để có một đoạn đo được, rồi ngắm hai mép đảo từ cả hai cọc; định lí sin cho hai cạnh, định lí côsin ghép lại thành bề rộng.

① Chọn hai vị trí

A

B

trên bãi biển, từ mỗi vị trí đều nhìn rõ hai mép đảo

C

và

D

; đo đoạn

A B

② Tại

A

, đo

B A C

B A D

rồi tính

C A D

③ Tại

B

, đo

A B C

A B D

④ Trong tam giác

A B C

A C B = 18 0^{\circ} - B A C - A B C

và

A C = \frac{A B sin A B C}{sin A C B}

⑤ Trong tam giác

A B D

A D B = 18 0^{\circ} - B A D - A B D

và

A D = \frac{A B sin A B D}{sin A D B}

⑥ Trong tam giác

A C D

C D = A C^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot cos C A D

Số liệu minh hoạ:

A B = 500

B A C = 7 8^{\circ}

A B C = 6 5^{\circ}

B A D = 4 0^{\circ}

A B D = 11 2^{\circ}

A C B = 3 7^{\circ}

nên

A C = \frac{500 sin 6 5 ^{\circ}}{sin 3 7 ^{\circ}} \approx 753

(m)

A D B = 2 8^{\circ}

nên

A D = \frac{500 sin 11 2 ^{\circ}}{sin 2 8 ^{\circ}} \approx 988

(m)

C A D = 7 8^{\circ} - 4 0^{\circ} = 3 8^{\circ}

C D \approx 75 3^{2} + 98 8^{2} - 2 \cdot 753 \cdot 988 cos 3 8^{\circ} \approx 619

(m)

Vậy chỉ với một đoạn thẳng đo được trên bãi biển và bốn góc ngắm, ta xác định được bề rộng của hòn đảo.

2Cách 2. Một trạm ngắm kèm máy đo xa

Định hướng. Nếu đo trực tiếp được $A C$ , $A D$ bằng máy đo khoảng cách thì bài toán rút gọn còn đúng một lần định lí côsin.

① Chọn một vị trí

A

trên bãi biển nhìn rõ hai mép đảo
② Dùng máy đo xa, đo

A C

và

A D

③ Đo góc

C A D

giữa hai hướng ngắm
④

C D = A C^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot cos C A D

(định lí côsin)
Số liệu minh hoạ:

A C = 753

A D = 988

C A D = 3 8^{\circ}

cho

C D \approx 619

Vậy chỉ cần một trạm, hai phép đo dài và một phép đo góc.

3Cách 3. Đứng ở vị trí cân — đưa về tam giác cân

Định hướng. Nếu chọn được chỗ đứng sao cho hai mép đảo cách đều mình thì tam giác thành cân và bề rộng tính bằng một công thức duy nhất, khỏi cần định lí côsin.

① Di chuyển dọc bãi biển tới vị trí

A

mà

A C = A D = m

(nhận ra nhờ máy đo xa hoặc nhờ hai mép đảo đối xứng qua hướng ngắm giữa)
② Đo góc

C A D = φ

③ Tam giác

A C D

cân tại

A

, đường cao hạ từ

A

cũng là trung tuyến nên

C D = 2 m sin \frac{φ}{2}

Số liệu minh hoạ:

m = 870

φ = 4 1^{\circ}

cho

C D = 2 \cdot 870 \cdot sin 20, 5^{\circ} \approx 609

(m)

Vậy trong trường hợp cân, bề rộng đảo tính được chỉ bằng một phép nhân.

Nhận xét. Muốn kết quả tin cậy, cạnh đáy $A B$ nên dài ít nhất bằng một phần mười khoảng cách tới đảo, và nên đo lặp lại vài lần rồi lấy trung bình. Đây cũng chính là cách người ta đo bề rộng của một dãy núi hay một con sông không sang bờ bên kia được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần thước dây và thước ngắm góc, không phụ thuộc máy đo xa như Cách 2 và cũng không phải may mắn tìm được vị trí cân như Cách 3.

Đáp số. Chọn hai vị trí

A

B

trên bãi biển nhìn rõ hai mép đảo

C

D

; đo

A B

và bốn góc ngắm; dùng định lí sin trong hai tam giác

A B C

A B D

để tính

A C

A D

; cuối cùng

C D = A C^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot cos C A D

Sai lầm thường gặp. Lấy luôn

C D = A D - A C

vì tưởng ba điểm

A

C

D

thẳng hàng. Với số liệu minh hoạ ở Cách 1 thì cách làm ấy cho

988 - 753 = 235

m, trong khi bề rộng thật là khoảng

619

m — hụt gần ba lần. Chỉ khi

C A D = 0^{\circ}

ba điểm mới thẳng hàng, còn ở đây góc ngắm là

3 8^{\circ}

🚀 Mở rộng. Cùng phương án đó, nếu đo thêm góc nâng tới đỉnh đảo thì tính được cả chiều cao của đảo; hãy thử mô tả các phép đo cần thiết để xác định đồng thời bề rộng và chiều cao của Đảo Yến.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 43

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 3.11★★★★Trang 43— Rút ngắn quãng đường — giải hai tam giác liên tiếp

Bài 3.11 (trang 43). Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19: từ

D

tới

C

dài

12

km, từ

C

tới

B

dài

6

km, từ

B

tới

A

dài

8

km, với

D C B = 13 5^{\circ}

và

C B A = 10 5^{\circ}

. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ

A

tới

D

. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $C A^{2} = C B^{2} + B A^{2} - 2 \cdot C B \cdot B A \cdot cos C B A$ .
Hệ quả côsin: $cos B C A = \frac{C A ^{2} + C B ^{2} - B A ^{2}}{2 \cdot C A \cdot C B}$ .
$cos 10 5^{\circ} < 0$ và $cos 13 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ .
Độ dài đường gấp khúc bằng tổng độ dài các đoạn thành phần.

🧠 Phân tích tư duy

Đường cũ là đường gấp khúc

D \to C \to B \to A

nên độ dài của nó cộng ngay được; đường mới là đoạn thẳng

A D

phải tính. Bốn điểm không tạo thành một tam giác nên không thể áp một lần định lí côsin — phải bắc cầu: kẻ đoạn

C A

để chia tứ giác thành hai tam giác, giải tam giác

A B C

trước (biết

B C

B A

và góc xen giữa), rồi tam giác

A C D

sau. Bẫy lớn nhất là quên trừ góc:

D C A = D C B - B C A

chứ không phải

13 5^{\circ}

1Cách 1. Kẻ đoạn

C A

— giải hai tam giác liên tiếp

Định hướng. Nối $C$ với $A$ thì tứ giác tách thành hai tam giác, mỗi tam giác đều đủ dữ kiện cạnh–góc–cạnh nên định lí côsin dùng được hai lần.

Đường cũ dài

D C + C B + B A = 12 + 6 + 8 = 26

(km)

C A^{2} = C B^{2} + B A^{2} - 2 \cdot C B \cdot B A \cdot cos C B A = 36 + 64 - 96 cos 10 5^{\circ}

C A^{2} \approx 100 + 24, 85 = 124, 85

, suy ra

C A \approx 11, 17

(km)

cos B C A = \frac{C A ^{2} + C B ^{2} - B A ^{2}}{2 \cdot C A \cdot C B} \approx \frac{124 , 85 + 36 - 64}{2 \cdot 11 , 17 \cdot 6} \approx 0, 7223

B C A \approx 4 3^{\circ} 4 5^{'}

D C A = D C B - B C A \approx 13 5^{\circ} - 4 3^{\circ} 4 5^{'} = 9 1^{\circ} 1 5^{'}

A D^{2} = C D^{2} + C A^{2} - 2 \cdot C D \cdot C A \cdot cos D C A \approx 144 + 124, 85 + 5, 85 = 274, 70

A D \approx 16, 57

(km)

26 - 16, 57 = 9, 43

(km)

Vậy đường hầm làm quãng đường giảm khoảng $9, 43$ km so với đường cũ.

2Cách 2. Toạ độ hoá — đặt hệ trục lên đoạn

C B

Định hướng. Đường gấp khúc cho sẵn độ dài và góc quay ở mỗi khúc, nên toạ độ từng điểm dựng được lần lượt, khoảng cách $A D$ tính bằng công thức có sẵn.

Chọn hệ trục

O x y

với

C

trùng gốc

O

, tia

C x

trùng tia

C B

C (0; 0)

B (6; 0)

D C B = 13 5^{\circ}

nên

D (12 cos 13 5^{\circ}; 12 sin 13 5^{\circ}) \approx D (- 8, 485; 8, 485)

C B A = 10 5^{\circ}

nên tia

B A

hợp với tia

B x

góc

18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}

A (6 + 8 cos 7 5^{\circ}; 8 sin 7 5^{\circ}) \approx A (8, 071; 7, 727)

A D \approx (8, 071 + 8, 485)^{2} + (7, 727 - 8, 485)^{2} = 274, 10 + 0, 57 \approx 16, 57

(km)

26 - 16, 57 = 9, 43

(km)

Vậy quãng đường giảm khoảng $9, 43$ km.

3Cách 3. Bình phương vô hướng của tổng ba vectơ

Định hướng. Đường gấp khúc chính là tổng ba vectơ; bình phương vô hướng của tổng ấy chỉ cần các độ dài và các góc giữa từng cặp vectơ, đều đọc được từ hình.

D A = D C + C B + B A

(quy tắc ba điểm)
Góc giữa

D C

và

C B

bằng

18 0^{\circ} - 13 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

Góc giữa

C B

và

B A

bằng

18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}

Góc giữa

D C

và

B A

bằng

4 5^{\circ} + 7 5^{\circ} = 12 0^{\circ}

A D^{2} = 1 2^{2} + 6^{2} + 8^{2} + 2 (12 \cdot 6 cos 4 5^{\circ} + 6 \cdot 8 cos 7 5^{\circ} + 12 \cdot 8 cos 12 0^{\circ})

A D^{2} \approx 244 + 2 (50, 91 + 12, 42 - 48) = 244 + 30, 66 = 274, 66

A D \approx 16, 57

(km)

26 - 16, 57 = 9, 43

(km)

Vậy ba cách cho cùng kết quả: đường mới ngắn hơn đường cũ khoảng $9, 43$ km.

Nhận xét. Giá trị chính xác hơn là $A D \approx 16, 573$ km và phần rút ngắn $\approx 9, 427$ km, tức giảm hơn $36%$ chiều dài. Cách 3 dùng tích vô hướng của Chương IV; nó gọn vì không phải tính góc trung gian nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ dùng đúng hai định lí của bài học, mọi bước đều kiểm tra được trên hình; Cách 2 và Cách 3 nhanh hơn nhưng cần thao tác với toạ độ hoặc vectơ.

Đáp số.

A D \approx 16, 57

km, đường mới ngắn hơn đường cũ khoảng

26 - 16, 57 = 9, 43

km.

Sai lầm thường gặp. Dùng luôn

D C A = 13 5^{\circ}

mà quên trừ

B C A

. Khi đó

A D^{2} \approx 144 + 124, 85 + 2 \cdot 12 \cdot 11, 17 \cdot 0, 7071 = 458, 4

, tức

A D \approx 21, 4

km và phần rút ngắn chỉ còn

4, 6

km — sai hơn một nửa. Góc

13 5^{\circ}

là góc giữa

C D

và

C B

, còn góc cần dùng là góc giữa

C D

và

C A

🚀 Mở rộng. Nếu đường hầm không nối thẳng

A

với

D

mà chỉ nối

A

với

C

rồi đi tiếp theo đường cũ

C D

, quãng đường sẽ là

11, 17 + 12 = 23, 17

km, chỉ giảm

2, 83

km — hãy so hai phương án để thấy chi phí đào hầm dài hơn được đền bù bằng bao nhiêu kilômét đường.

Nguồn: SGK Toán 10 — KNTT, tập 1, trang 43

Mở bài này trong app ↗