Bài tập cuối chương I

Định hướng. Một câu là mệnh đề khi và chỉ khi câu đó khẳng định một điều xác định chắc chắn là đúng hoặc sai.

Vậy câu ở phương án D không là mệnh đề. Chọn D.

Định hướng. Giả sử câu D là mệnh đề rồi chỉ ra mâu thuẫn với định nghĩa mệnh đề.

Vậy D không là mệnh đề, các phương án A, B, C đều là mệnh đề. Chọn D.

Nhận xét. Một mệnh đề có thể đúng (như A) hoặc sai (như B, C), miễn xác định được chân trị; câu cảm thán, câu hỏi, câu cầu khiến không bao giờ là mệnh đề.

Định hướng. Chỉ câu trần thuật mới có thể mang giá trị đúng sai; nhìn dấu kết câu và cấu trúc lời là phân loại xong bốn phương án mà chưa cần tính toán gì.

Vậy chọn phương án D.

Nhận xét. Câu sai và câu không phải mệnh đề là hai chuyện khác nhau: B và C đều SAI nhưng vẫn là mệnh đề.

Định hướng. Định lí có dạng $P\Rightarrow Q$ với $P$: hai tam giác bằng nhau, $Q$: diện tích bằng nhau; đối chiếu đúng vai trò cần - đủ của $P$, $Q$.

Vậy “hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau” là mệnh đề đúng. Chọn D.

Định hướng. Xét phản ví dụ hai tam giác có diện tích bằng nhau nhưng không bằng nhau để loại các phương án phát biểu sai chiều.

Vậy chọn D.

Nhận xét. Định lí thuận không kéo theo định lí đảo; “cần” ứng với chiều kéo theo tới giả thiết, “đủ” ứng với chiều kéo theo tới kết luận.

Định hướng. Đổi mỗi phương án thành một mệnh đề kéo theo bằng kí hiệu: “$P$ là điều kiện đủ để có $Q$” nghĩa là $P\Rightarrow Q$, còn “$P$ là điều kiện cần để có $Q$” nghĩa là $Q\Rightarrow P$; sau đó chỉ việc so với định lí đã cho.

Vậy chọn phương án D.

Nhận xét. Quy tắc dịch cần nhớ gọn: điều kiện ĐỦ đứng ở vế TRƯỚC dấu kéo theo, điều kiện CẦN đứng ở vế SAU.

Định hướng. Với mỗi mệnh đề kéo theo, tìm một giá trị $x$ làm giả thiết đúng mà kết luận sai để bác bỏ; riêng phương án đúng phải chứng minh cho mọi $x$.

Vậy chọn D.

Định hướng. Mệnh đề $\forall x,P(x)\Rightarrow Q(x)$ đúng khi và chỉ khi tập nghiệm của $P(x)$ là tập con của tập nghiệm $Q(x)$; lập tập nghiệm rồi so sánh bằng bao hàm thức.

Vậy chọn D.

Nhận xét. Mệnh đề kéo theo đúng khi tập nghiệm vế trái nằm trong tập nghiệm vế phải; đây là cách kiểm tra nhanh không cần thử từng số.

Định hướng. Thay vì kiểm bốn phương án, hãy chứng minh thẳng phương án D bằng biến đổi đại số, rồi dùng đúng một giá trị $x=-2$ để loại A và B, một giá trị $x=0$ để loại C.

Vậy chọn phương án D.

Nhận xét. Phép nhân hai vế với một số DƯƠNG giữ nguyên chiều bất đẳng thức — đó là điều làm chiều $x>1\Rightarrow x^2>1$ luôn đúng, còn chiều ngược lại thì không.

Định hướng. Tập hợp có $n$ phần tử thì có $2^n$ tập con vì mỗi phần tử độc lập được chọn có mặt hay không có mặt.

Vậy $A$ có $8$ tập con. Chọn C.

Định hướng. Liệt kê đầy đủ mọi tập con theo số phần tử từ $0$ đến $3$ rồi đếm trực tiếp để kiểm tra công thức.

Vậy $A$ có $8$ tập con. Chọn C.

Nhận xét. Dãy số lượng tập con theo từng cỡ $1;3;3;1$ khớp với $2^3=8$.

Định hướng. Phân loại các tập con của $A$ theo số phần tử: $0$, $1$, $2$ hay $3$ phần tử; đếm từng nhóm rồi cộng lại, không nhóm nào chồng lên nhóm nào.

Vậy chọn phương án C, tập $A$ có $8$ tập con.

Nhận xét. Dãy $1;3;3;1$ chính là một dòng của tam giác Pascal — cộng cả dòng lại luôn được một luỹ thừa của $2$.

Định hướng. Đối chiếu vị trí vùng tô xám với định nghĩa từng phép toán tập hợp trên biểu đồ Ven.

Vậy phần tô xám biểu diễn $A\cap B$. Chọn A.

Định hướng. Kiểm tra hình dạng vùng mà mỗi phương án mô tả rồi loại các phương án không khớp.

Vậy chọn A.

Nhận xét. Trên biểu đồ Ven, cần xác định rõ ranh giới từng vùng trước khi so sánh để tránh nhầm giao với hợp.

Định hướng. Lấy một điểm trong vùng tô và một điểm ở mỗi vùng không tô, rồi hỏi từng điểm hai câu: có thuộc $A$ không, có thuộc $B$ không — bộ câu trả lời sẽ chỉ đúng một phép toán.

Vậy chọn phương án A, phần tô màu xám biểu diễn tập $A\cap B$.

Nhận xét. Phép thử điểm biến câu hỏi nhìn hình thành câu hỏi lô-gic, nên không phụ thuộc vào việc hình vẽ tô đậm hay nhạt.

Định hướng. Vẽ một đường cong kín cho mỗi tập hợp, ghi đúng và đủ các phần tử đã cho vào bên trong.

Vậy hai biểu đồ Ven biểu diễn đúng hai tập hợp $A$ và $B$ đã cho (xem hình).

Định hướng. Đọc ngược hình vừa vẽ để liệt kê phần tử, đối chiếu với đề bài nhằm kiểm tra không thừa không thiếu.

Vậy hai hình vẽ khớp hoàn toàn với $A$ và B, không thừa không thiếu phần tử nào.

Nhận xét. Biểu đồ Ven chỉ cần một đường cong kín cho mỗi tập hợp; hình dạng đường cong không quan trọng, quan trọng là liệt kê đúng phần tử bên trong.

Định hướng. Vẽ xong thì kiểm lại bằng hai phép: đếm số phần tử ghi bên trong đường cong, và thử hỏi với vài đối tượng không thuộc tập xem chúng có bị lọt vào trong hay không.

Vậy mỗi tập được biểu diễn bởi một đường cong khép kín mang tên tập đó, bên trong ghi đúng và đủ các phần tử: $A$ chứa $0$, $1$, $2$, $3$; $B$ chứa Lan, Huệ, Trang.

Nhận xét. Phép đếm lại số phần tử là cách tự chấm bài nhanh nhất cho mọi hình biểu đồ Ven.

Định hướng. Xác định tập hợp bị gạch theo loại ngoặc ở từng đầu mút, sau đó phần không bị gạch chính là phần bù của nó trong $\mathbb{R}$.

Vậy phần không bị gạch biểu diễn tập hợp $(-\infty ;-2]\cup (5;+\infty )$.

Định hướng. Chọn điểm đại diện trong mỗi khoảng nghi vấn và tại hai đầu mút, kiểm tra trực tiếp trên hình xem điểm đó thuộc phần gạch hay không.

Vậy tập hợp cần tìm gồm $x\le -2$ hoặc $x>5$, tức $(-\infty ;-2]\cup (5;+\infty )$, khớp với cách 1.

Nhận xét. Thử điểm đại diện là cách kiểm tra nhanh, hữu ích khi chưa chắc chắn về loại ngoặc tại đầu mút.

Định hướng. Xử lí lần lượt hai mốc trên trục số: mỗi mốc cho biết mảnh nào kết thúc hoặc bắt đầu ở đó và điểm mốc có được lấy hay không; ghép hai mảnh rời lại bằng dấu hợp.

Vậy phần không bị gạch biểu diễn tập $\left(-\infty ;-2\right]\cup \left(5;+\infty \right)$.

Nhận xét. Hai điểm mút của cùng một hình lại mang hai loại ngoặc khác nhau — đó là chi tiết đề cố tình đặt ra để phân loại thí sinh.

Định hướng. Liệt kê đầy đủ phần tử của $A$ theo điều kiện đã cho rồi áp dụng trực tiếp định nghĩa từng phép toán.

Vậy $A\cup B=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\}$, $A\cap B=\{1;2;3;6\}$, $A\setminus B=\{0;4;5\}$.

Định hướng. Đặt từng phần tử vào đúng miền của biểu đồ Ven (chỉ $A$, miền chung, chỉ $B$) rồi đọc kết quả từng phép toán từ hình.

Vậy kết quả khớp cách 1: $A\cup B=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\}$, $A\cap B=\{1;2;3;6\}$, $A\setminus B=\{0;4;5\}$.

Nhận xét. Biểu đồ Ven giúp kiểm tra nhanh không bỏ sót hay đếm lặp phần tử chung.

Định hướng. Liệt kê mọi số có thể xuất hiện, đánh dấu số đó thuộc $A$ hay thuộc $B$; hợp là các số có ít nhất một dấu, giao là các số có cả hai dấu, hiệu là các số chỉ có dấu ở cột $A$.

Vậy $A\cup B=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\right\}$; $A\cap B=\left\{1;2;3;6\right\}$; $A\setminus B=\left\{0;4;5\right\}$.

Nhận xét. Ba vùng của bảng ứng đúng ba tập $A\setminus B$, $A\cap B$, $B\setminus A$, và tổng số phần tử ba vùng luôn bằng $n\left(A\cup B\right)$.

Định hướng. Viết điều kiện $x\in A$, $x\in B$ dưới dạng bất đẳng thức rồi kết hợp theo từng phép toán.

Vậy $A\cap B=(1;3]$, $B\setminus A=(3;+\infty )$, ${\mathrm{C}}_{\mathbb{R}}B=(-\infty ;1]$.

Định hướng. Vẽ $A$ và $B$ trên cùng một trục số rồi đọc trực tiếp phần chồng lấn (giao), phần dư ra (hiệu) và phần còn lại của trục (phần bù).

Vậy kết quả khớp cách 1: $A\cap B=(1;3]$, $B\setminus A=(3;+\infty )$, ${\mathrm{C}}_{\mathbb{R}}B=(-\infty ;1]$.

Nhận xét. Khi tính $B\setminus A$ cần bỏ toàn bộ $A$, kể cả đầu mút $x=3$ vì $3\in A$.

Định hướng. Dùng đẳng thức $B\setminus A=B\cap {\mathrm{C}}_{\mathbb{R}}A$: tính phần bù của $A$ trước rồi giao với $B$, nhờ đó cả ba yêu cầu của đề quy về đúng một loại thao tác.

Vậy $A\cap B=\left(1;3\right]$; $B\setminus A=\left(3;+\infty \right)$; ${\mathrm{C}}_{\mathbb{R}}B=\left(-\infty ;1\right]$.

Nhận xét. Đẳng thức $B\setminus A=B\cap {\mathrm{C}}_{\mathbb{R}}A$ biến mọi phép hiệu thành phép giao — rất tiện khi tập $A$ được cho bằng nhiều điều kiện.

Định hướng. Viết điều kiện của từng khoảng dưới dạng bất đẳng thức rồi kết hợp theo đúng phép toán, chú ý loại ngoặc tại từng đầu mút.

Vậy a) $(0;1)$; b) $(-1;7]$; c) $(5;7]$.

Định hướng. Vẽ từng khoảng lên trục số; phần giao là chỗ hai nét tô đè nhau, phần hợp là toàn bộ nét tô, phần hiệu là nét tô của tập trước sau khi xoá đoạn trùng với tập sau.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $(0;1)$; b) $(-1;7]$; c) $(5;7]$.

Nhận xét. Ở câu b), tuy $5\notin (-1;5)$ nhưng $5\in (4;7]$ nên $5$ vẫn thuộc hợp; đây là lỗi rất dễ mắc nếu chỉ nhìn một khoảng mà quên khoảng còn lại.

Định hướng. Viết mỗi tập thành bất đẳng thức: giao là phải thoả CẢ HAI điều kiện, hợp là thoả ÍT NHẤT MỘT, còn hiệu là thoả điều kiện thứ nhất và KHÔNG thoả điều kiện thứ hai.

Vậy a) $\left(0;1\right)$; b) $\left(-1;7\right]$; c) $\left(5;7\right]$.

Nhận xét. Chính bước phủ định ở câu c) giải thích vì sao mốc $5$ bị loại khỏi kết quả: $5$ vẫn thuộc tập bị trừ nên phải bỏ đi.

Định hướng. Gọi $A$ là tập khách đến Thiên Cung, $B$ là tập khách đến Titop; do mọi khách đều đến ít nhất một nơi nên $|A\cup B|$ bằng tổng số khách được phỏng vấn, áp dụng công thức bù trừ để tìm $|A\cap B|$.

Vậy có $69$ khách du lịch vừa đến thăm động Thiên Cung vừa đến thăm đảo Titop.

Định hướng. Gọi $x$ là số khách đến cả hai nơi, biểu diễn ba miền của biểu đồ Ven theo $x$ rồi cho tổng ba miền bằng tổng số khách được phỏng vấn.

Vậy có $69$ khách du lịch vừa đến thăm động Thiên Cung vừa đến thăm đảo Titop, khớp với cách 1.

Nhận xét. Hai cách tuy trình bày khác nhau nhưng cùng bản chất công thức bù trừ $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

Định hướng. Đếm theo LƯỢT: mỗi khách chỉ đến một nơi góp một lượt, mỗi khách đến cả hai nơi góp hai lượt; hiệu giữa tổng lượt và tổng khách chính là số khách đã bị đếm thêm một lần.

Vậy có $69$ khách du lịch vừa đến thăm động Thiên Cung vừa đến thăm đảo Titop.

Nhận xét. Phép kiểm tra ba vùng cộng lại đúng bằng $1410$ là cách chắc chắn nhất để biết đáp số không sai.