Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Định hướng. Mặt đồng hồ chia thành 12 khoảng bằng nhau, mỗi khoảng ứng với 1/12 vòng tròn, nên chỉ cần đếm số khoảng kim phút phải đi qua theo từng chiều.

Vậy a) kim phút phải quay $\frac{1}{6}$ vòng (ngược chiều kim đồng hồ); b) phải quay $\frac{5}{6}$ vòng (thuận chiều kim đồng hồ); c) có vô số cách quay.

Định hướng. Góc giữa hai số liền kề trên mặt đồng hồ luôn bằng nhau, nên quy các khoảng đã đếm về số đo 360° trước khi chia tỉ lệ.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $\frac{1}{6}$ vòng, $\frac{5}{6}$ vòng và vô số cách quay.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; Cách 2 thuận tiện hơn khi cần đổi tiếp số đo sang độ hoặc rađian ở các bài sau.

Định hướng. Cả ba tia đều quay theo chiều dương như Hình 1.5 nên số đo mỗi góc lượng giác chính là số đo góc hình học tương ứng; cộng dồn hai góc liên tiếp sẽ ra góc còn lại.

Vậy có số nguyên $k=0$ thoả mãn sđ$(Ou,Ov)+$sđ$(Ov,Ow)=$sđ$(Ou,Ow)+k360°$.

Định hướng. Cho tia $Om$ xuất phát từ $Ou$ quay liên tiếp hai lần: lần một $30°$ đến $Ov$, lần hai $45°$ đến $Ow$; tổng góc quay chính là góc lượng giác $(Ou,Ow)$ cộng thêm đúng $k$ vòng.

Vậy sđ$(Ou,Ov)+$sđ$(Ov,Ow)=$sđ$(Ou,Ow)+0\cdot 360°$, tức $k=0$.

Nhận xét. Nhìn theo chuyển động quay liên tục của tia $Om$ (Cách 2) giúp thấy ngay ý nghĩa hình học của hệ thức Chasles, còn Cách 1 chỉ cần thay số.

Định hướng. Góc hình học uOv=45° cho biết độ mở giữa hai tia; nhìn hình vẽ để biết tia Om đã quay thêm bao nhiêu vòng đủ (360°) trước khi dừng ở Ov.

Vậy a) sđ$(Ou,Ov)=45°+k360°(k\in \mathbb{Z})$; b) sđ$(Ou,Ov)=405°+k360°(k\in \mathbb{Z})$.

Định hướng. Mọi góc lượng giác gốc $Ou$, tia cuối $Ov$ đều có số đo dạng $45°+k360°$; chỉ cần xác định đúng giá trị $k$ ứng với mỗi hình vẽ.

Vậy a) đại diện $45°$ (k=0); b) đại diện $405°$ (k=1), cùng thuộc họ $45°+k360°$.

Nhận xét. Dù chọn cách nào, tập hợp số đo của $(Ou,Ov)$ trong hai trường hợp đều là $\{45°+k360°\mid k\in \mathbb{Z}\}$; hình vẽ chỉ cho biết đại diện nào (ứng với k) đang được minh hoạ.

Định hướng. Ba tia Ox, Ou, Ov đã có sẵn số đo góc lượng giác gốc Ox nên chỉ cần trừ hai số đo đã cho theo đúng hệ thức Chasles.

Vậy sđ$(Ou,Ov)=210°+k360°(k\in \mathbb{Z})$.

Định hướng. Trước khi áp dụng Chasles, đưa sđ$(Ox,Ov)=-270°$ về đại diện $90°$ (cùng một họ góc) để phép trừ cho ra số nhỏ gọn hơn.

Vậy sđ$(Ou,Ov)=210°+k360°(k\in \mathbb{Z})$, trùng Cách 1.

Nhận xét. Quy về đại diện gần $0°$ trước (Cách 2) giúp các phép cộng trừ về sau gọn hơn, tránh số quá lớn như $-510°$ ở Cách 1.

Định hướng. Định nghĩa rađian đã cho ngay độ dài của cung ứng với số đo 1 rad; từ đó suy ra độ dài cung α rad bằng tỉ lệ thuận.

Vậy a) độ dài cung $1$ rad bằng $R$; b) $l=R\alpha$.

Định hướng. Toàn bộ đường tròn có độ dài $2\pi R$ và số đo $2\pi$ rad; lập tỉ lệ giữa cung cần tìm và cả đường tròn.

Vậy $l=R\alpha$, trùng kết quả Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy rõ vì sao công thức $l=R\alpha$ đúng với MỌI số đo $\alpha$ (kể cả không nguyên), vì nó chỉ dựa trên tỉ lệ thuận với chu vi.

Định hướng. Nhân trực tiếp số đo đã cho với hệ số đổi đơn vị tương ứng.

Vậy a) $360°=2\pi$ ; $-450°=-\frac{5\pi }{2}$; b) $3\pi =540°$ ; $-\frac{11\pi }{5}=-396°$.

Định hướng. Thay vì nhớ hệ số nhân, lập tỉ lệ với đúng một cặp mốc quen thuộc $180°\leftrightarrow \pi$ rồi tính theo quy tắc tam suất.

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (tỉ lệ với 180°=π) giúp tránh nhớ nhầm hệ số nhân là π/180 hay 180/π.

Định hướng. Quãng đường máy kéo đi được đúng bằng quãng đường mà bánh sau đã lăn; từ đó suy vận tốc máy kéo, rồi dùng chính quãng đường đó để tìm số vòng quay của bánh trước.

Vậy a) quãng đường $\approx 4624,42$ m; b) vận tốc máy kéo $\approx 27,75$ km/giờ; c) vận tốc bánh trước là $160$ vòng/phút.

Định hướng. Vì hai bánh lăn cùng quãng đường trong cùng thời gian, số vòng quay tỉ lệ NGHỊCH với bán kính, nên câu c) không cần tính lại quãng đường theo mét.

Vậy vận tốc bánh trước là $160$ vòng/phút, trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tránh phải tính lại quãng đường theo mét cho câu c), chỉ cần dùng tỉ lệ bán kính nên nhanh hơn.

Định hướng. Chỉ cần cho tia $OA$ quay đúng theo chiều và số đo đã cho là xác định được vị trí của $M$, $N$ trên đường tròn.

Vậy $M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ và $N\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Định hướng. Vì các góc lượng giác sai khác nhau một bội của $2\pi$ thì biểu diễn cùng một điểm, nên đưa mỗi số đo về đại diện quen thuộc trong $[0;2\pi )$ trước.

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 đặc biệt hữu ích khi số đo góc quá lớn hoặc quá âm, vì đưa về đại diện quen thuộc trong $[0;2\pi )$ trước khi vẽ sẽ tránh nhầm số vòng.

Định hướng. Số đo càng lớn (âm hoặc dương) thì càng cần trừ/cộng bớt các bội trọn vòng để đưa về một đại diện dễ vẽ trong $[0;2\pi )$ hay $[0°;360°)$.

Vậy $M$ là điểm ứng với góc $\frac{\pi }{4}$, tức $M\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$; $N$ là điểm ứng với góc $60°$, tức $N\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Định hướng. Đưa số đo về dạng $\alpha +k360°$ (hay $\alpha +k2\pi$) với $\alpha$ là phần dư (đại diện chuẩn), bằng một phép chia có dư thay vì trừ nhiều lần.

Vậy $M$ ứng với $\frac{\pi }{4}$ và $N$ ứng với $60°$, trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (chia lấy phần dư) nhanh hơn khi số đo quá lớn, không phải trừ/cộng nhiều lần như Cách 1.

Định hướng. Góc $\frac{5\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}$ nên $M$ nằm ở góc phần tư II, đối xứng với điểm ứng với $\frac{\pi }{6}$ qua trục $Oy$; từ đó đọc ngay toạ độ của $M$.

Vậy $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$ và $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $\tan \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot \frac{5\pi }{6}=-\sqrt{3}$.

Định hướng. Vì $\frac{5\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}$ là góc bù với $\frac{\pi }{6}$, có thể suy các giá trị lượng giác từ bảng giá trị đặc biệt của $\frac{\pi }{6}$ mà không cần xác định toạ độ.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot \frac{5\pi }{6}=-\sqrt{3}$.

Nhận xét. Cách 2 tận dụng ngay công thức góc bù nên nhanh hơn nếu đã thuộc bảng giá trị đặc biệt, không cần xác định toạ độ điểm $M$.

Định hướng. Điểm $M(\cos \alpha ;\sin \alpha )$ luôn nằm trên đường tròn lượng giác bán kính $1$, nên toạ độ của nó thoả mãn phương trình đường tròn.

Vậy a) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$; b) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (với $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$).

Định hướng. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên trục $Ox$; tam giác $OHM$ vuông tại $H$ nên áp dụng định lí Pythagore thay cho phương trình đường tròn.

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 nhìn theo tam giác vuông giúp dễ hình dung hơn, còn Cách 1 gọn hơn vì dùng thẳng phương trình đường tròn.

Định hướng. Chuyển máy đúng chế độ Rad hoặc Deg tương ứng với đơn vị của số đo đã cho rồi bấm hàm lượng giác hoặc lệnh đổi đơn vị.

Vậy a) $\cos \frac{3\pi }{7}\approx 0,2225$; $\tan (-37°25^{\prime })\approx -0,7650$; b) $179°23^{\prime }30^{\prime \prime }\approx 3,1310$ rad; c) $\frac{7}{9}$ rad $\approx 44,5634°$.

Định hướng. Với hai câu đổi đơn vị (b, c), có thể tính tay theo công thức $1°=\frac{\pi }{180}$ rad để đối chiếu với kết quả máy tính.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $\approx 3,1310$ rad và $\approx 44,5634°$.

Nhận xét. Cách 2 chỉ dùng cho các phép đổi đơn vị (b, c); riêng giá trị lượng giác ở câu a) (của góc lẻ) bắt buộc phải dùng máy tính cầm tay vì không tra được bằng bảng giá trị đặc biệt.

Định hướng. Từ $\cos \alpha$ đã cho, dùng ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ để tìm $|\sin \alpha |$, sau đó xét dấu theo góc phần tư chứa $\alpha$.

Vậy $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}$, $\cot \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Định hướng. Có thể đi từ $\cos \alpha$ tới $\tan \alpha$ trực tiếp bằng hệ thức $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, rồi suy $\sin \alpha$ qua $\tan \alpha \cdot \cos \alpha$.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}$, $\cot \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Nhận xét. Cách 2 tiện khi cần $\tan \alpha$ trước (để dùng ngay trong công thức khác), tránh phải tính căn của sin trước.

Định hướng. Vì $-\alpha$ chỉ đảo chiều quay so với $\alpha$ (cùng độ lớn), hai điểm biểu diễn $M,N$ đối xứng nhau qua trục $Ox$; từ vị trí đối xứng suy ra liên hệ toạ độ.

Vậy $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$, $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$, $\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$, $\cot (-\alpha )=-\cot \alpha$.

Định hướng. Trước khi khẳng định công thức tổng quát, thử ngay với một góc quen thuộc (ví dụ $\alpha =\frac{\pi }{3}$) để kiểm tra chiều đúng của các dấu.

Vậy phép thử khẳng định đúng các công thức ở Cách 1: $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$, $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$, $\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$, $\cot (-\alpha )=-\cot \alpha$.

Nhận xét. Cách 2 chỉ mang tính kiểm chứng cho MỘT trường hợp cụ thể, không thay được lập luận đối xứng tổng quát ở Cách 1 (đúng cho MỌI α).

Định hướng. Đưa mỗi góc về đại diện quen thuộc bằng cách cộng/trừ đúng số vòng, rồi tính giá trị lượng giác của đại diện đó.

Vậy $\sin (-675°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\tan \frac{15\pi }{4}=-1$.

Định hướng. Với câu a), tách dấu trừ bằng tính chất hàm sin lẻ trước khi rút gọn phần số dương còn lại.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $\sin (-675°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\tan \frac{15\pi }{4}=-1$.

Nhận xét. Cách 2 tách qua tính chẵn lẻ giúp kiểm tra chéo kết quả, tránh nhầm dấu khi trừ nhiều vòng liên tiếp như Cách 1.

Định hướng. Chỉ cần xác định đúng $t$ (số giờ kể từ nửa đêm) của từng thời điểm trong ngày rồi thay vào công thức đã cho.

Vậy huyết áp tâm trương lần lượt là a) $87$ mmHg; b) $\approx 82,68$ mmHg; c) $80$ mmHg; d) $\approx 73,94$ mmHg.

Định hướng. Với các thời điểm cho ra góc đặc biệt (a, c, d), tính $\sin$ bằng bảng giá trị đặc biệt hoặc công thức góc liên quan thay vì bấm máy; chỉ câu b) mới thật sự cần máy tính.

Vậy $B(6)=87$, $B(12)=80$, $B(20)=80-\frac{7\sqrt{3}}{2}\approx 73,94$ (mmHg), khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho kết quả CHÍNH XÁC (dạng căn thức) ở những thời điểm ứng với góc đặc biệt; riêng câu b) ứng với góc $\frac{7\pi }{8}$ không đặc biệt nên vẫn phải dùng máy tính cầm tay như Cách 1.

Định hướng. Với mỗi cột, biết một trong hai số đo thì nhân đúng hệ số $\frac{\pi }{180}$ (đổi sang rađian) hoặc $\frac{180}{\pi }$ (đổi sang độ) để tìm số còn lại.

Vậy bảng hoàn chỉnh — Độ: $15°$; $67°30^{\prime }$; $0°$; $900°$; $-105°$; $-247°30^{\prime }$; Rađian: $\frac{\pi }{12}$; $\frac{3\pi }{8}$; $0$; $5\pi$; $-\frac{7\pi }{12}$; $-\frac{11\pi }{8}$.

Định hướng. Thay vì nhớ hệ số nhân, lập tỉ lệ trực tiếp với cặp mốc quen thuộc $180°\leftrightarrow \pi$ rồi tính theo quy tắc tam suất.

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (tỉ lệ với 180°=π) giúp không cần nhớ công thức, chỉ cần nhớ đúng MỘT cặp mốc.

Định hướng. Công thức $l=R\alpha$ chỉ dùng được khi $\alpha$ đã tính theo rađian, nên đổi hai câu c), d) sang rađian trước khi thay số.

Vậy a) $l=\frac{5\pi }{3}\approx 10,47$ cm; b) $l=30$ cm; c) $l=\frac{35\pi }{9}\approx 12,22$ cm; d) $l=35\pi \approx 109,96$ cm.

Định hướng. Với số đo cho theo độ, có thể tính thẳng bằng tỉ lệ $\frac{\alpha °}{360°}$ của chu vi đường tròn mà không cần đổi qua rađian.

Vậy kết quả cả bốn câu trùng với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tránh phải đổi độ sang rađian ở hai câu cuối, nhưng Cách 1 (đổi hết về rađian rồi dùng chung một công thức) mạch lạc và ít nhầm lẫn hơn khi làm cả bốn câu liên tiếp.

Định hướng. Với mỗi góc, cho tia OA quay đúng chiều và đúng số đo đã cho (âm thì quay theo chiều kim đồng hồ, lớn hơn 360° hay 2π thì quay thêm vòng) để xác định điểm dừng.

Vậy bốn điểm $M$ tương ứng có toạ độ như trên.

Định hướng. Đưa mỗi số đo về một đại diện dương thuộc $[0°;360°)$ (hoặc $[0;2\pi )$), rồi tra trực tiếp bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã học.

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Cả bốn điểm đều rơi vào góc phần tư I, II hoặc III với các góc "đẹp" (bội của 15°), nên tra bảng giá trị đặc biệt (Cách 2) nhanh hơn vẽ hình quay trực tiếp (Cách 1).

Định hướng. Ứng với mỗi câu, chọn đúng hệ thức cơ bản liên kết trực tiếp với đại lượng đã cho, rồi dùng góc phần tư của α để chọn đúng dấu căn bậc hai.

Vậy bốn bộ giá trị lượng giác như trên (xem đáp số).

Định hướng. Coi số đã cho là tỉ số cạnh của một tam giác vuông tham khảo (bỏ qua dấu), tính cạnh còn lại bằng Pythagore, sau đó gắn đúng dấu theo góc phần tư chứa α.

Vậy kết quả trùng hoàn toàn với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (tam giác tham khảo) trực quan hơn, nhưng Cách 1 (hệ thức cơ bản) tổng quát và nhanh hơn khi tỉ số cho không phải số đẹp.

Định hướng. Câu a) đưa về dạng hiệu hai bình phương rồi thay ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$; câu b) tách số hạng $-1$ rồi dùng hệ thức $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$.

Vậy a) ${\cos }^4\alpha -{\sin }^4\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$; b) $\frac{{\cos }^2\alpha +{\tan }^2\alpha -1}{{\sin }^2\alpha }={\tan }^2\alpha$ (đpcm).

Định hướng. Đặt $c={\cos }^2\alpha$, thay ${\sin }^2\alpha =1-c$ và ${\tan }^2\alpha =\frac{1-c}{c}$ trực tiếp vào hai vế rồi rút gọn thuần đại số, không cần phân tích nhân tử.