Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 22 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngI #SGK_Tập1 #trang6–16 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 6— Nhận biết chiều quay và số đo góc lượng giác qua kim đồng hồ

HĐ1 (trang 6). Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.
a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?

Kiến thức cần nhớ

Mặt đồng hồ chia thành 12 khoảng bằng nhau, mỗi khoảng ứng với 1/12 vòng tròn (30°).
Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, chiều cùng kim đồng hồ là chiều âm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi "mấy phần của một vòng tròn" chứ không hỏi số đo góc — dấu hiệu phải quy mọi thứ về đơn vị vòng, mà mặt đồng hồ đã chia sẵn

12

phần bằng nhau nên mỗi khoảng số là

\frac{1}{12}

vòng. Chiều quay quyết định đếm mấy khoảng: ngược chiều kim đồng hồ đi đường ngắn qua

2

khoảng, thuận chiều kim đồng hồ đi đường dài qua

10

khoảng. Bẫy nằm ở câu c): câu hỏi không đòi một số đo cụ thể mà đòi ĐẾM SỐ CÁCH, và vì quay thêm trọn vòng nào kim cũng dừng đúng chỗ cũ nên đáp án là vô số.

1Cách 1. Đếm trực tiếp số khoảng trên mặt đồng hồ

Định hướng. Mặt đồng hồ chia thành 12 khoảng bằng nhau, mỗi khoảng ứng với 1/12 vòng tròn, nên chỉ cần đếm số khoảng kim phút phải đi qua theo từng chiều.

a) Từ số 2 ngược chiều kim đồng hồ tới 12: đi qua 2 khoảng (2 → 1 → 12)
Mỗi khoảng ứng với

\frac{1}{12}

vòng tròn
Quãng quay

= 2 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{6}

(vòng)
b) Từ số 2 theo chiều kim đồng hồ tới 12: đi qua 10 khoảng (2 → 3 → … → 12)
Quãng quay

= 10 \times \frac{1}{12} = \frac{5}{6}

(vòng)
c) Với một chiều quay đã chọn, kim phút có thể quay thêm bất kì số vòng nguyên nào rồi mới dừng đúng ở số 12
Số cách quay theo một chiều xác định là vô số

Vậy a) kim phút phải quay $\frac{1}{6}$ vòng (ngược chiều kim đồng hồ); b) phải quay $\frac{5}{6}$ vòng (thuận chiều kim đồng hồ); c) có vô số cách quay.

2Cách 2. Đổi số khoảng sang số đo góc rồi suy ra phần vòng tròn

Định hướng. Góc giữa hai số liền kề trên mặt đồng hồ luôn bằng nhau, nên quy các khoảng đã đếm về số đo 360° trước khi chia tỉ lệ.

Góc giữa hai số liền kề

= 360° : 12 = 30°

a) Ngược chiều kim đồng hồ, từ 2 đến 12 lệch 2 khoảng: góc quay

= 2 \times 30° = 60°

Phần vòng tròn

= 60° : 360° = \frac{1}{6}

b) Thuận chiều kim đồng hồ, từ 2 đến 12 lệch 10 khoảng: góc quay

= 10 \times 30° = 300°

Phần vòng tròn

= 300° : 360° = \frac{5}{6}

c) Quay thêm đúng

k

vòng

(k \in N)

theo chiều đã chọn rồi dừng ở 12 vẫn là một cách hợp lệ, ứng với vô số giá trị

k

Vậy kết quả trùng Cách 1: $\frac{1}{6}$ vòng, $\frac{5}{6}$ vòng và vô số cách quay.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; Cách 2 thuận tiện hơn khi cần đổi tiếp số đo sang độ hoặc rađian ở các bài sau.

3Cách 3. Quy về thang thời gian mà kim phút chạy trên mặt đồng hồ

Định hướng. Mặt đồng hồ còn là một thang đo thời gian: kim phút chạy trọn một vòng hết $60$ phút, nên số phút chạy được chia cho $60$ chính là phần vòng đã quay.

Kim phút chỉ số

2

ứng với mốc

10

phút; kim phút chỉ số

12

ứng với mốc

0

phút (hay

60

phút)
a) Kim lùi từ mốc

10

phút về mốc

0

phút, tức

10

phút

\frac{10}{60} = \frac{1}{6}

(vòng)
b) Kim tiến từ mốc

10

phút tới mốc

60

phút, tức

50

phút

\frac{50}{60} = \frac{5}{6}

(vòng)
c) Cứ thêm

60

phút thì kim trở lại đúng vị trí cũ

\frac{1}{6} + k

(vòng) theo chiều ngược kim đồng hồ,

\frac{5}{6} + k

(vòng) theo chiều kim đồng hồ

Vậy a) $\frac{1}{6}$ vòng; b) $\frac{5}{6}$ vòng; c) có vô số cách quay, ứng với $k = 0; 1; 2; \dots$

Nhận xét. Thang thời gian cho kết quả nhanh vì khỏi đếm khoảng và khỏi đổi ra độ, đồng thời làm lộ ngay lí do câu c) có vô số đáp án.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đếm khoảng ngay trên mặt đồng hồ chỉ mất một dòng, không phải đổi qua số đo góc như Cách 2 nên không sợ nhầm dấu của chiều quay.

Đáp số. a) 1/6 vòng ; b) 5/6 vòng ; c) vô số cách

Sai lầm thường gặp. Nhầm rằng chỉ có đúng một cách quay (ứng với góc nhỏ nhất) mà quên rằng quay thêm số nguyên vòng theo cùng một chiều vẫn là một cách hợp lệ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, kim phút đang chỉ số

n

thì phải quay

\frac{n}{12}

vòng ngược chiều kim đồng hồ (hoặc

\frac{12 - n}{12}

vòng thuận chiều) để về số

12

, và họ đầy đủ các cách quay là

\frac{n}{12} + k

vòng với

k

nguyên không âm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★★Trang 7— Nhận biết hệ thức Chasles giữa các góc lượng giác

HĐ2 (trang 7). Cho ba tia

O u

O v

O w

với số đo của các góc hình học

u O v

và

v O w

lần lượt là

30°

và

45°

.
a) Xác định số đo của ba góc lượng giác

(O u, O v)

(O v, O w)

và

(O u, O w)

được chỉ ra ở Hình 1.5.
b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên

k

để sđ

(O u, O v) +

sđ

(O v, O w) =

sđ

(O u, O w) + k 360°

Kiến thức cần nhớ

Cả ba tia Ou, Ov, Ow đều quay theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) như Hình 1.5.
Hệ thức Chasles: sđ(Ou,Ov)+sđ(Ov,Ow)=sđ(Ou,Ow)+k360° (k∈ℤ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai góc hình học kề nhau rồi bắt kiểm tra một hệ thức cộng — đó đúng là dấu hiệu của hệ thức Chasles cho góc lượng giác. Điều phải để ý là số đo góc lượng giác chỉ xác định sai khác một bội của

360°

, nên đẳng thức cộng không thể đúng tuyệt đối mà phải kèm số hạng

k 360°

. Bẫy của câu b) là đi mò giá trị

k

, trong khi chỉ cần thay ba số đo đọc được ở câu a) rồi so hai vế là thấy ngay

k = 0

1Cách 1. Tính trực tiếp từ hình rồi thay vào hệ thức

Định hướng. Cả ba tia đều quay theo chiều dương như Hình 1.5 nên số đo mỗi góc lượng giác chính là số đo góc hình học tương ứng; cộng dồn hai góc liên tiếp sẽ ra góc còn lại.

a) sđ

(O u, O v) = 30°

sđ

(O v, O w) = 45°

sđ

(O u, O w) = 30° + 45° = 75°

b) sđ

(O u, O v) +

sđ

(O v, O w) = 30° + 45° = 75°

sđ

(O u, O w) + k 360° = 75° + k 360°

Với

k = 0

75° = 75° + 0°

Vậy có số nguyên $k = 0$ thoả mãn sđ $(O u, O v) +$ sđ $(O v, O w) =$ sđ $(O u, O w) + k 360°$ .

2Cách 2. Kiểm tra bằng cách quay trực tiếp tia Om

Định hướng. Cho tia $O m$ xuất phát từ $O u$ quay liên tiếp hai lần: lần một $30°$ đến $O v$ , lần hai $45°$ đến $O w$ ; tổng góc quay chính là góc lượng giác $(O u, O w)$ cộng thêm đúng $k$ vòng.

Tia

O m

quay từ

O u

đến

O v

: quay

30°

Tia

O m

quay tiếp từ

O v

đến

O w

: quay thêm

45°

Tổng góc đã quay từ

O u

đến

O w

30° + 45° = 75°

Đúng bằng sđ

(O u, O w) = 75°

nên

k = 0

Vậy sđ $(O u, O v) +$ sđ $(O v, O w) =$ sđ $(O u, O w) + 0 \cdot 360°$ , tức $k = 0$ .

Nhận xét. Nhìn theo chuyển động quay liên tục của tia $O m$ (Cách 2) giúp thấy ngay ý nghĩa hình học của hệ thức Chasles, còn Cách 1 chỉ cần thay số.

3Cách 3. Chiếu cả ba góc lên một tia gốc chung rồi cộng đại số

Định hướng. Thay vì đo từng cặp tia, chọn một tia gốc cố định rồi đo cả ba tia so với nó; khi đó mỗi góc lượng giác thành một HIỆU hai số đo và hệ thức Chasles rút gọn thành phép cộng trừ thông thường.

Chọn tia gốc

O x

trùng với tia

O u

sđ

(O x, O u) = 0°

; sđ

(O x, O v) = 30°

; sđ

(O x, O w) = 30° + 45° = 75°

sđ

(O u, O v) =

sđ

(O x, O v) -

sđ

(O x, O u) = 30° - 0° = 30°

sđ

(O v, O w) =

sđ

(O x, O w) -

sđ

(O x, O v) = 75° - 30° = 45°

sđ

(O u, O w) =

sđ

(O x, O w) -

sđ

(O x, O u) = 75° - 0° = 75°

30° + 45° - 75° = 0 = 0 \times 360°

Vậy sđ $(O u, O v) = 30°$ , sđ $(O v, O w) = 45°$ , sđ $(O u, O w) = 75°$ và hệ thức nghiệm đúng với $k = 0$ .

Nhận xét. Cách này cho thấy hệ thức Chasles thực chất là phép trừ khử số đo của tia trung gian, nên đúng với mọi vị trí ba tia chứ không riêng hình đã cho.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc thẳng ba số đo trên hình rồi thay vào hệ thức, chỉ hai dòng tính; Cách 2 phải mô tả lại quá trình quay nên dài hơn mà không chắc chắn hơn.

Đáp số. a) sđ(Ou,Ov)=30° ; sđ(Ov,Ow)=45° ; sđ(Ou,Ow)=75° · b) k=0

Sai lầm thường gặp. Cho rằng số đo góc lượng giác (Ou,Ow) luôn bằng đúng tổng hai góc kia mà không kèm số hạng k360°, trong khi hệ thức Chasles chỉ đúng SAI KHÁC một bội của 360°.

🚀 Mở rộng. Với ba tia bất kì, hệ thức sđ

(O u, O v) +

sđ

(O v, O w) =

sđ

(O u, O w) + k 360°

vẫn đúng, và

k

chính bằng số vòng trọn vẹn mà tia quay vượt thêm khi đi từ

O u

tới

O w

qua

O v

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★★Trang 7— Xác định số đo góc lượng giác ứng với các vòng quay khác nhau của cùng một góc hình học

Luyện tập 1 (trang 7). Cho góc hình học

u O v = 45°

. Xác định số đo của góc lượng giác

(O u, O v)

trong mỗi trường hợp sau:
a) Tia

O m

quay theo chiều dương đúng

45°

từ

O u

đến

O v

(Hình a);
b) Tia

O m

quay theo chiều dương thêm đúng

1

vòng rồi mới tới

O v

(Hình b).

Kiến thức cần nhớ

Với hai tia Ou, Ov cố định, có vô số góc lượng giác (Ou,Ov); các số đo của chúng sai khác nhau một bội nguyên của 360°.
Số đo góc lượng giác (Ou,Ov) có dạng α+k360° (k∈ℤ), trong đó α là một đại diện cùng chiều quay ban đầu.

🧠 Phân tích tư duy

Cùng một góc hình học

45°

nhưng hai hình mô tả hai quá trình quay khác nhau — dấu hiệu cho thấy câu hỏi nhằm vào số đo góc LƯỢNG GIÁC chứ không phải góc hình học. Mỗi vòng quay trọn vẹn cộng thêm

360°

vào số đo nhưng không làm đổi điểm cuối, nên hai đáp số chỉ khác nhau đúng một bội của

360°

. Bẫy là ghi cụt thành

45°

và

405°

mà quên phần

+ k 360°

với

k \in Z

1Cách 1. Đọc trực tiếp số vòng quay trên hình rồi cộng dồn

Định hướng. Góc hình học uOv=45° cho biết độ mở giữa hai tia; nhìn hình vẽ để biết tia Om đã quay thêm bao nhiêu vòng đủ (360°) trước khi dừng ở Ov.

a) Tia

O m

quay theo chiều dương đúng

45°

từ

O u

đến

O v

, không quay thêm vòng nào
sđ

(O u, O v) = 45° + k 360° (k \in Z)

b) Tia

O m

quay theo chiều dương thêm đúng

1

vòng (

360°

) rồi mới tới

O v

sđ

(O u, O v) = 45° + 360° + k 360° = 405° + k 360° (k \in Z)

Vậy a) sđ $(O u, O v) = 45° + k 360° (k \in Z)$ ; b) sđ $(O u, O v) = 405° + k 360° (k \in Z)$ .

2Cách 2. Dùng công thức tổng quát rồi xác định k theo hình

Định hướng. Mọi góc lượng giác gốc $O u$ , tia cuối $O v$ đều có số đo dạng $45° + k 360°$ ; chỉ cần xác định đúng giá trị $k$ ứng với mỗi hình vẽ.

Công thức tổng quát: sđ

(O u, O v) = 45° + k 360° (k \in Z)

a) Hình vẽ ứng với

k = 0

: sđ

(O u, O v) = 45°

b) Hình vẽ ứng với

k = 1

: sđ

(O u, O v) = 45° + 360° = 405°

Vậy a) đại diện $45°$ (k=0); b) đại diện $405°$ (k=1), cùng thuộc họ $45° + k 360°$ .

Nhận xét. Dù chọn cách nào, tập hợp số đo của $(O u, O v)$ trong hai trường hợp đều là ${45° + k 360° ∣ k \in Z}$ ; hình vẽ chỉ cho biết đại diện nào (ứng với k) đang được minh hoạ.

3Cách 3. Lấy trọn họ số đo từ điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

Định hướng. Đặt $O u$ làm tia gốc: mọi góc lượng giác $(O u, O v)$ đều có chung một điểm cuối, nên tập số đo của chúng là một họ sai khác bội của $360°$ ; việc còn lại chỉ là chọn đại diện ứng với số vòng đã quay.

Cung lượng giác đi từ tia

O u

tới tia

O v

có số đo

45°

Họ số đo của các góc lượng giác

(O u, O v)

45° + k 360°

với

k \in Z

a) Tia

O m

quay đúng

45°

, chưa trọn vòng nào nên đại diện ứng với

k = 0

sđ

(O u, O v) = 45° + k 360°

với

k \in Z

b) Tia

O m

quay thêm trọn

1

vòng nên đại diện ứng với

k = 1

45° + 1 \times 360° = 405°

sđ

(O u, O v) = 405° + k 360°

với

k \in Z

Vậy a) sđ $(O u, O v) = 45° + k 360°$ ; b) sđ $(O u, O v) = 405° + k 360°$ , với $k \in Z$ .

Nhận xét. Hai họ $45° + k 360°$ và $405° + k 360°$ thực ra là MỘT tập số đo, chỉ khác đại diện; đó là lí do hai hình cho cùng một điểm cuối.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn hình đếm số vòng rồi cộng dồn, mỗi câu đúng một dòng, còn Cách 2 phải lập luận thêm mới chốt được giá trị

k

Đáp số. a) sđ(Ou,Ov) = 45° + k360° (k ∈ ℤ) · b) sđ(Ou,Ov) = 405° + k360° (k ∈ ℤ)

Sai lầm thường gặp. Cho rằng hai hình a) và b) ứng với hai họ số đo khác nhau, trong khi thực chất chúng là cùng một tập hợp {45°+k360°}, chỉ khác đại diện k.

🚀 Mở rộng. Nếu tia

O m

quay theo chiều ÂM đúng

45°

thì sđ

(O u, O v) = - 45° + k 360°

; tổng quát, quay thêm

n

vòng theo chiều dương làm số đo tăng

n \times 360°

mà điểm cuối vẫn giữ nguyên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★★Trang 8— Tính số đo góc lượng giác bằng hệ thức Chasles

Luyện tập 2 (trang 8). Cho một góc lượng giác

(O x, O u)

có số đo

240°

và một góc lượng giác

(O x, O v)

có số đo

- 270°

. Tính số đo của các góc lượng giác

(O u, O v)

Kiến thức cần nhớ

Hệ thức Chasles: sđ(Ou,Ov) = sđ(Ox,Ov) − sđ(Ox,Ou) + k360° (k∈ℤ).
Kết quả cuối nên rút gọn về một đại diện gần 0° rồi cộng thêm k360°.

🧠 Phân tích tư duy

Hai góc đã cho đều đo từ cùng một tia

O x

còn câu hỏi lại về cặp tia

O u

O v

— dấu hiệu kinh điển của hệ thức Chasles ở dạng trừ. Trừ theo chiều sđ

(O u, O v) =

sđ

(O x, O v) -

sđ

(O x, O u)

là an toàn nhất vì cả hai số đo đã cho đều lấy

O x

làm gốc. Bẫy là bỏ mất phần

k 360°

: các số

- 510°

và

210°

chỉ là hai đại diện của cùng một họ, nên đáp án phải viết ở dạng họ.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp hệ thức Chasles

Định hướng. Ba tia Ox, Ou, Ov đã có sẵn số đo góc lượng giác gốc Ox nên chỉ cần trừ hai số đo đã cho theo đúng hệ thức Chasles.

sđ

(O u, O v) =

sđ

(O x, O v) -

sđ

(O x, O u) + k 360°

= - 270° - 240° + k 360°

= - 510° + k 360°

= - 510° + 2 \cdot 360° + m 360° (m = k - 2, m \in Z)

= 210° + m 360°

Vậy sđ $(O u, O v) = 210° + k 360° (k \in Z)$ .

2Cách 2. Quy hai góc đã cho về đại diện gần 0° trước khi trừ

Định hướng. Trước khi áp dụng Chasles, đưa sđ $(O x, O v) = - 270°$ về đại diện $90°$ (cùng một họ góc) để phép trừ cho ra số nhỏ gọn hơn.

- 270° + 360° = 90°

nên sđ

(O x, O v)

có đại diện

90°

sđ

(O u, O v) =

sđ

(O x, O v) -

sđ

(O x, O u) + k 360°

= 90° - 240° + k 360°

= - 150° + k 360°

= - 150° + 360° + m 360° = 210° + m 360° (m \in Z)

Vậy sđ $(O u, O v) = 210° + k 360° (k \in Z)$ , trùng Cách 1.

Nhận xét. Quy về đại diện gần $0°$ trước (Cách 2) giúp các phép cộng trừ về sau gọn hơn, tránh số quá lớn như $- 510°$ ở Cách 1.

3Cách 3. Dùng toạ độ hai vectơ đơn vị: tích vô hướng cho độ lớn, định thức cho chiều quay

Định hướng. Gắn mỗi tia với một vectơ đơn vị trên đường tròn lượng giác: tích vô hướng cho số đo góc hình học giữa hai tia, còn dấu của định thức cho biết phải quay theo chiều dương hay chiều âm.

u = (cos 240°; sin 240°) = (- \frac{1}{2}; - \frac{3}{2})

v = (cos (- 270°); sin (- 270°)) = (0; 1)

u \cdot v = - \frac{1}{2} \times 0 + (- \frac{3}{2}) \times 1 = - \frac{3}{2} = cos 150°

det (u, v) = (- \frac{1}{2}) \times 1 - (- \frac{3}{2}) \times 0 = - \frac{1}{2} < 0

Định thức âm nên đi từ

O u

tới

O v

theo chiều âm một góc

150°

sđ

(O u, O v) = - 150° + k 360° = 210° + k 360°

với

k \in Z

Vậy sđ $(O u, O v) = 210° + k 360°$ với $k \in Z$ , trùng kết quả hai cách trên.

Nhận xét. Cặp "tích vô hướng cho độ lớn, định thức cho dấu" là công cụ tổng quát để lấy góc CÓ HƯỚNG giữa hai tia bất kì, dùng lại được cả trong hình học toạ độ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng trừ theo Chasles rồi cộng

360°

để lấy đại diện đẹp, ngắn hơn hẳn Cách 2 vốn phải quy hai góc đã cho về gần

0°

trước.

Đáp số. sđ(Ou,Ov) = 210° + k360° (k ∈ ℤ)

Sai lầm thường gặp. Quên cộng thêm k360° sau khi trừ, hoặc trừ nhầm thứ tự thành sđ(Ox,Ou) − sđ(Ox,Ov).

🚀 Mở rộng. Tổng quát, biết sđ

(O x, O u) = α

và sđ

(O x, O v) = β

thì sđ

(O u, O v) = β - α + k 360°

, và kết quả không đổi dù chọn đại diện nào cho

α

hay

β

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ3★Trang 9— Xây dựng công thức tính độ dài cung tròn theo rađian

HĐ3 (trang 9). Cho đường tròn bán kính

R

.
a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng

1

rad là bao nhiêu?
b) Tính độ dài

l

của cung tròn có số đo

α

rad.

Kiến thức cần nhớ

Theo định nghĩa, cung có số đo 1 rad có độ dài đúng bằng bán kính R.
Độ dài cung tỉ lệ thuận với số đo (tính bằng rad) của nó.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) hỏi độ dài cung có số đo

1

rad — đây là câu kiểm tra ĐỊNH NGHĨA rađian chứ không phải câu tính toán. Khi đã có mốc "

1

rad ứng với cung dài

R

", câu b) chỉ còn là một phép nhân, vì trên cùng một đường tròn độ dài cung tỉ lệ thuận với số đo cung. Bẫy là lẫn

l = R α

với công thức độ dài cung theo độ đã học ở lớp

9

: công thức

l = R α

chỉ đúng khi

α

tính bằng rađian.

1Cách 1. Dùng trực tiếp định nghĩa rađian

Định hướng. Định nghĩa rađian đã cho ngay độ dài của cung ứng với số đo 1 rad; từ đó suy ra độ dài cung α rad bằng tỉ lệ thuận.

a) Theo định nghĩa, cung có số đo

1

rad có độ dài đúng bằng bán kính, tức bằng

R

b) Cung có số đo

α

rad gấp

α

lần cung có số đo

1

rad

l = α \cdot R = R α

Vậy a) độ dài cung $1$ rad bằng $R$ ; b) $l = R α$ .

2Cách 2. Dùng tỉ lệ với chu vi đường tròn

Định hướng. Toàn bộ đường tròn có độ dài $2 π R$ và số đo $2 π$ rad; lập tỉ lệ giữa cung cần tìm và cả đường tròn.

Đường tròn: độ dài

2 π R

ứng với số đo

2 π

rad
a) Cung

1

rad:

l_{1} = \frac{2 π R}{2 π} \cdot 1 = R

b) Cung

α

rad:

l = \frac{2 π R}{2 π} \cdot α = R α

Vậy $l = R α$ , trùng kết quả Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy rõ vì sao công thức $l = R α$ đúng với MỌI số đo $α$ (kể cả không nguyên), vì nó chỉ dựa trên tỉ lệ thuận với chu vi.

3Cách 3. Xuất phát từ công thức độ dài cung theo độ đã học ở lớp 9

Định hướng. Công thức $l = \frac{π R n}{180}$ của lớp $9$ vẫn dùng được: chỉ cần đổi số đo rađian ra số đo độ rồi thay vào, phần $π$ và $180$ sẽ tự khử nhau.

Cung có số đo

n °

trên đường tròn bán kính

R

có độ dài

l = \frac{π R n}{180}

a) Số đo

1

rad ứng với

n = \frac{180}{π}

l = \frac{π R}{180} \times \frac{180}{π} = R

b) Số đo

α

rad ứng với

n = α \times \frac{180}{π}

l = \frac{π R}{180} \times α \times \frac{180}{π} = R α

Vậy a) $l = R$ ; b) $l = R α$ , đúng bằng kết quả của hai cách trên.

Nhận xét. Việc hai công thức khớp nhau chính là lí do người ta chọn định nghĩa rađian như vậy: nó làm biến mất hệ số $\frac{π}{180}$ trong mọi công thức về cung và quạt tròn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng theo đúng định nghĩa là ra, còn Cách 2 (tỉ lệ với chu vi) nên để dành khi cần giải thích lại vì sao công thức đúng.

Đáp số. a) l = R · b) l = Rα

Sai lầm thường gặp. Nhầm công thức độ dài cung với công thức tính theo độ: dùng l = πRα/180 dù α đã cho theo rađian (công thức đó chỉ đúng khi α tính theo ĐỘ).

🚀 Mở rộng. Cùng ý tưởng tỉ lệ thuận đó, diện tích hình quạt ứng với cung số đo

α

rad là

S = \frac{1}{2} R^{2} α

, và thay

α = 2 π

thì được lại đúng diện tích hình tròn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 3★Trang 9— Đổi qua lại giữa số đo độ và số đo rađian

Luyện tập 3 (trang 9). a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau:

360°

;

- 450°

.
b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau:

3 π

;

- \frac{11 π}{5}

Kiến thức cần nhớ

1° = π/180 rad và 1 rad = (180/π)°.
Đổi độ sang rad: nhân với π/180; đổi rad sang độ: nhân với 180/π.

🧠 Phân tích tư duy

Toàn bài chỉ cần một mốc duy nhất:

180°

ứng với

π

rad, mọi phép đổi đều là nhân hoặc chia cho

\frac{180}{π}

. Dấu hiệu chọn chiều đổi nằm ở đơn vị của số đã cho: thấy kí hiệu độ thì nhân

\frac{π}{180}

, thấy số kèm

π

thì nhân

\frac{180}{π}

. Bẫy là đánh rơi dấu âm của

- 450°

và

- \frac{11 π}{5}

, hoặc nhân nhầm hệ số theo chiều ngược lại.

1Cách 1. Áp dụng công thức 1° = π/180 rad và 1 rad = (180/π)°

Định hướng. Nhân trực tiếp số đo đã cho với hệ số đổi đơn vị tương ứng.

360° = 360 \times \frac{π}{180} = 2 π

- 450° = - 450 \times \frac{π}{180} = - \frac{5 π}{2}

3 π = 3 π \times \frac{180}{π} = 540°

- \frac{11 π}{5} = - \frac{11 π}{5} \times \frac{180}{π} = - 396°

Vậy a) $360° = 2 π$ ; $- 450° = - \frac{5 π}{2}$ ; b) $3 π = 540°$ ; $- \frac{11 π}{5} = - 396°$ .

2Cách 2. Lập tỉ lệ trực tiếp với mốc 180° = π

Định hướng. Thay vì nhớ hệ số nhân, lập tỉ lệ với đúng một cặp mốc quen thuộc $180° \leftrightarrow π$ rồi tính theo quy tắc tam suất.

360°

gấp đôi

180°

nên ứng với

2 π

- 450° = - 2, 5 \times 180°

nên ứng với

- 2, 5 π = - \frac{5 π}{2}

3 π

gấp

3

lần

π

nên ứng với

3 \times 180° = 540°

- \frac{11 π}{5} = - 2, 2 π

nên ứng với

- 2, 2 \times 180° = - 396°

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (tỉ lệ với 180°=π) giúp tránh nhớ nhầm hệ số nhân là π/180 hay 180/π.

3Cách 3. Tách số đo thành "mấy vòng cộng phần dư" rồi ghép lại

Định hướng. Một vòng tròn vừa là $360°$ vừa là $2 π$ rad; tách số đo thành phần vòng trọn vẹn cộng phần dư thì phần vòng đổi được ngay bằng mắt, chỉ còn phần dư nhỏ phải đổi.

360°

là trọn

1

vòng nên

360° = 2 π

- 450° = - (360° + 90°) = - (2 π + \frac{π}{2}) = - \frac{5 π}{2}

3 π = 2 π + π = 360° + 180° = 540°

- \frac{11 π}{5} = - (\frac{10 π}{5} + \frac{π}{5}) = - (360° + 36°) = - 396°

Vậy a) $360° = 2 π$ và $- 450° = - \frac{5 π}{2}$ ; b) $3 π = 540°$ và $- \frac{11 π}{5} = - 396°$ .

Nhận xét. Tách theo vòng giúp nhẩm miệng được cả những số đo lớn, đồng thời cho biết ngay góc đó nằm ở vòng thứ mấy — điều mà phép nhân hệ số không nói ra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân thẳng với hệ số đổi, mỗi câu đúng một dòng; Cách 2 (lập tỉ lệ) chỉ lợi hơn khi cần nhẩm miệng những số đo tròn như

90°

hay

270°

Đáp số. a) 360° = 2π ; −450° = −5π/2 · b) 3π = 540° ; −11π/5 = −396°

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn chiều nhân: dùng 180/π khi đang đổi độ sang rađian (hoặc ngược lại).

🚀 Mở rộng. Tổng quát, số đo

n °

và số đo

α

rad của cùng một cung luôn thoả

\frac{n}{180} = \frac{α}{π}

, nên nhớ đúng một tỉ lệ thức là suy được cả hai chiều đổi mà không cần thuộc hai công thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Vận dụng 1★★★Trang 10— Ứng dụng độ dài cung tròn vào chuyển động lăn của bánh xe

Vận dụng 1 (trang 10). Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là

184

cm, bánh xe trước có đường kính là

92

cm; xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận tốc của bánh xe sau trong chuyển động này là

80

vòng/phút.
a) Tính quãng đường đi được của máy kéo trong

10

phút.
b) Tính vận tốc của máy kéo (theo đơn vị km/giờ).
c) Tính vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/phút).

Kiến thức cần nhớ

Khi bánh xe lăn không trượt, quãng đường xe đi được đúng bằng độ dài cung mà bánh xe đã quay, tức bằng số vòng nhân với chu vi bánh.
Hai bánh của cùng một xe luôn đi được cùng một quãng đường trong cùng một khoảng thời gian, dù bán kính khác nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số vòng quay trong một phút cùng đường kính hai bánh — dấu hiệu của bài "lăn không trượt", trong đó quãng đường xe đi bằng đúng độ dài cung mà bánh đã lăn. Vì hai bánh gắn trên cùng một xe nên chúng đi cùng quãng đường, từ đó số vòng quay tỉ lệ NGHỊCH với bán kính, khỏi phải tính lại từ đầu cho bánh trước. Bẫy lớn nhất là thay đường kính vào chỗ bán kính, khiến mọi kết quả gấp đôi.

1Cách 1. Tính theo chu vi bánh sau rồi suy vận tốc máy kéo và bánh trước

Định hướng. Quãng đường máy kéo đi được đúng bằng quãng đường mà bánh sau đã lăn; từ đó suy vận tốc máy kéo, rồi dùng chính quãng đường đó để tìm số vòng quay của bánh trước.

Bán kính bánh sau:

R = 92

= 0, 92

m; chu vi

C = 2 π R = 1, 84 π

m
Trong

10

phút, bánh sau quay

80 \times 10 = 800

(vòng)
a) Quãng đường:

l = 800 \times 1, 84 π = 1472 π \approx 4624, 42

(m)

\approx 4, 624

km
b) Thời gian

10

phút

= \frac{1}{6}

giờ
Vận tốc:

v = \frac{1472 π}{1000} : \frac{1}{6} = 8, 832 π \approx 27, 75

(km/giờ)
c) Quãng đường bánh sau đi trong

1

phút:

80 \times 1, 84 π = 147, 2 π

(m)
Chu vi bánh trước:

2 π \times 0, 46 = 0, 92 π

(m)
Vận tốc bánh trước:

\frac{147 , 2 π}{0 , 92 π} = 160

(vòng/phút)

Vậy a) quãng đường $\approx 4624, 42$ m; b) vận tốc máy kéo $\approx 27, 75$ km/giờ; c) vận tốc bánh trước là $160$ vòng/phút.

2Cách 2. Dùng tỉ số bán kính hai bánh để suy vận tốc bánh trước

Định hướng. Vì hai bánh lăn cùng quãng đường trong cùng thời gian, số vòng quay tỉ lệ NGHỊCH với bán kính, nên câu c) không cần tính lại quãng đường theo mét.

a), b) tính như Cách 1: quãng đường

10

phút

\approx 4624, 42

m, vận tốc

\approx 27, 75

km/giờ
c) Tỉ số bán kính bánh sau và bánh trước:

\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{92}{46} = 2

(với

R_{1}

là bán kính bánh sau,

R_{2}

là bán kính bánh trước)
Số vòng quay tỉ lệ nghịch với bán kính nên vận tốc bánh trước gấp đôi vận tốc bánh sau
Vận tốc bánh trước

= 2 \times 80 = 160

(vòng/phút)

Vậy vận tốc bánh trước là $160$ vòng/phút, trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tránh phải tính lại quãng đường theo mét cho câu c), chỉ cần dùng tỉ lệ bán kính nên nhanh hơn.

3Cách 3. Đổi sang vận tốc góc rồi áp thẳng công thức độ dài cung

Định hướng. Quy tốc độ quay ra vận tốc góc tính bằng rađian trên phút, khi đó quãng đường lăn được tính thẳng bằng $l = R α$ mà không phải đi qua chu vi bánh xe.

Bánh sau có

R = \frac{184}{2} = 92

(cm)

ω = 80 \times 2 π = 160 π

(rad/phút)
a)

α = 160 π \times 10 = 1600 π

(rad)

l = 92 \times 1600 π = 147200 π

(cm)

= 1472 π

(m)

\approx 4624, 42

(m)
b)

v = \frac{1 472 π}{10}

(m/phút)

= \frac{1 472 π \times 60}{10 \times 1 000} \approx 27, 75

(km/giờ)
c) Bánh trước có

R^{'} = \frac{92}{2} = 46

(cm)

ω^{'} = \frac{147 200 π}{10 \times 46} = 320 π

(rad/phút)

\frac{320 π}{2 π} = 160

(vòng/phút)

Vậy a) $l \approx 4624, 42$ m; b) $v \approx 27, 75$ km/giờ; c) bánh trước quay $160$ vòng/phút.

Nhận xét. Dùng vận tốc góc cho lời giải ngắn nhất ở câu c) vì $ω^{'} = \frac{v}{R ^{'}}$ chỉ là một phép chia, và cách này dùng lại nguyên vẹn cho mọi bài chuyển động tròn đều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân số vòng với chu vi bánh sau là ra ngay quãng đường, rồi câu c) chỉ còn một tỉ số bán kính; Cách 2 tuy gọn ở câu c) nhưng vẫn phải mượn kết quả của Cách 1 cho hai câu đầu.

Đáp số. a) l ≈ 4624,42 m (≈4,624 km) · b) v ≈ 27,75 km/giờ · c) 160 vòng/phút

Sai lầm thường gặp. Dùng nhầm bán kính bánh trước để tính quãng đường xe đi (thực ra phải tính theo BÁNH SAU vì đề cho vận tốc quay của bánh sau); hoặc quên đổi cm sang m trước khi tính vận tốc km/giờ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hai bánh bán kính

R_{1}

R_{2}

cùng lăn hết một quãng đường thì số vòng quay thoả

n_{1} R_{1} = n_{2} R_{2}

, nên bánh nhỏ hơn bao nhiêu lần sẽ quay nhanh hơn đúng bấy nhiêu lần.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ4★★Trang 10— Xác định điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác cho trước

HĐ4 (trang 10). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, vẽ đường tròn tâm

O

bán kính

R = 1

. Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm

A (1; 0)

của đường tròn với trục

O x

. Ta quy ước chiều dương của đường tròn là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.
a) Xác định điểm

M

trên đường tròn sao cho sđ

(O A, O M) = \frac{5 π}{4}

.
b) Xác định điểm

N

trên đường tròn sao cho sđ

(O A, O N) = - \frac{7 π}{4}

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O bán kính 1, gốc A(1;0), được định hướng dương ngược chiều kim đồng hồ.
Điểm M biểu diễn góc lượng giác số đo α là điểm trên đường tròn lượng giác sao cho sđ(OA,OM)=α.

🧠 Phân tích tư duy

Số đo

\frac{5 π}{4}

lớn hơn

π

còn

- \frac{7 π}{4}

lại âm — dấu hiệu phải xác định rõ chiều quay và số vòng trước khi đặt điểm. Vì

\frac{5 π}{4} = π + \frac{π}{4}

và

- \frac{7 π}{4} = - 2 π + \frac{π}{4}

nên cả hai điểm đều rơi đúng vào mốc chia tám của đường tròn, không phải ước lượng bằng mắt. Bẫy là thấy số âm liền đặt điểm ở góc phần tư thứ tư, trong khi

- \frac{7 π}{4}

đã gần trọn một vòng nên

N

nằm ở góc phần tư thứ nhất.

1Cách 1. Quay trực tiếp theo đúng số đo đã cho

Định hướng. Chỉ cần cho tia $O A$ quay đúng theo chiều và số đo đã cho là xác định được vị trí của $M$ , $N$ trên đường tròn.

\frac{5 π}{4} = π + \frac{π}{4}

, quay theo chiều dương

\frac{5 π}{4}

(tức

225°

) từ

A

Điểm dừng

M

ở góc phần tư III:

M (- \frac{2}{2}; - \frac{2}{2})

b) Quay theo chiều âm

\frac{7 π}{4}

(tức

315°

theo chiều kim đồng hồ) từ

A

Điểm dừng

N

ở góc phần tư I:

N (\frac{2}{2}; \frac{2}{2})

Vậy $M (- \frac{2}{2}; - \frac{2}{2})$ và $N (\frac{2}{2}; \frac{2}{2})$ .

2Cách 2. Quy các số đo về đại diện trong [0;2π) rồi mới xác định điểm

Định hướng. Vì các góc lượng giác sai khác nhau một bội của $2 π$ thì biểu diễn cùng một điểm, nên đưa mỗi số đo về đại diện quen thuộc trong $[0; 2 π)$ trước.

\frac{5 π}{4}

đã thuộc

[0; 2 π)

, giữ nguyên
b)

- \frac{7 π}{4} + 2 π = \frac{π}{4}

N

chính là điểm biểu diễn góc

\frac{π}{4}

M

ứng với

\frac{5 π}{4}

M (- \frac{2}{2}; - \frac{2}{2})

N

ứng với

\frac{π}{4}

N (\frac{2}{2}; \frac{2}{2})

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 đặc biệt hữu ích khi số đo góc quá lớn hoặc quá âm, vì đưa về đại diện quen thuộc trong $[0; 2 π)$ trước khi vẽ sẽ tránh nhầm số vòng.

3Cách 3. Tính thẳng toạ độ điểm bằng giá trị lượng giác của góc liên quan

Định hướng. Điểm biểu diễn của góc $α$ có toạ độ $(cos α; sin α)$ , nên thay vì quay hình có thể tính chính xác hai toạ độ rồi chấm điểm theo toạ độ.

\frac{5 π}{4} = π + \frac{π}{4}

cos \frac{5 π}{4} = - cos \frac{π}{4} = - \frac{2}{2}

;

sin \frac{5 π}{4} = - sin \frac{π}{4} = - \frac{2}{2}

M (- \frac{2}{2}; - \frac{2}{2})

- \frac{7 π}{4} = - 2 π + \frac{π}{4}

cos (- \frac{7 π}{4}) = cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

;

sin (- \frac{7 π}{4}) = sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

N (\frac{2}{2}; \frac{2}{2})

Vậy $M (- \frac{2}{2}; - \frac{2}{2})$ và $N (\frac{2}{2}; \frac{2}{2})$ , đúng như hai cách trên.

Nhận xét. Có toạ độ chính xác thì vẽ hình hay kiểm tra bằng máy tính đều được, và đây cũng là bước chuẩn bị cho việc tính bốn giá trị lượng giác ở phần sau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: quy số đo về đại diện trong nửa khoảng

[0; 2 π)

rồi mới đặt điểm, lúc đó chỉ còn việc tra mốc chia tám; Cách 1 quay trực tiếp dễ đếm nhầm số vòng.

Đáp số. M(−√2/2 ; −√2/2) ; N(√2/2 ; √2/2)

Sai lầm thường gặp. Nhầm chiều quay: quay 7π/4 theo chiều DƯƠNG thay vì chiều ÂM như đề cho (dấu trừ trước 7π/4 nghĩa là quay theo chiều âm).

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, mọi số đo dạng

\frac{mπ}{4}

đều rơi vào

8

mốc chia đều của đường tròn lượng giác, nên lấy

m

chia

8

rồi xét số dư là biết ngay điểm biểu diễn nằm ở đâu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 4 (trang 11)★★Trang 11— Xác định điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo lớn bằng cách đưa về đại diện trong một vòng

Luyện tập 4 (trang 11). Xác định các điểm

M

và

N

trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng

- \frac{15 π}{4}

và

420°

Kiến thức cần nhớ

Hai góc lượng giác cùng tia đầu OA, hơn kém nhau một bội của 360° (hay 2π) thì có chung điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai số đo đều vượt quá một vòng — dấu hiệu bắt buộc phải rút về đại diện trong

[0; 2 π)

hoặc

[0°; 360°)

trước khi vẽ. Giữ nguyên đơn vị của từng số, đừng đổi chéo, vì

- \frac{15 π}{4}

đo bằng rađian còn

420°

đo bằng độ. Bẫy ở số âm: phải CỘNG bội của

2 π

chứ không phải trừ, và cộng thiếu một vòng là ra ngay điểm đối xứng sai.

1Cách 1. Trừ dần bội của 2π (hay 360°) cho đến khi vào khoảng chuẩn

Định hướng. Số đo càng lớn (âm hoặc dương) thì càng cần trừ/cộng bớt các bội trọn vòng để đưa về một đại diện dễ vẽ trong $[0; 2 π)$ hay $[0°; 360°)$ .

- \frac{15 π}{4} + 2 π = - \frac{15 π}{4} + \frac{8 π}{4} = - \frac{7 π}{4}

- \frac{7 π}{4} + 2 π = \frac{π}{4}

Vậy

- \frac{15 π}{4}

và

\frac{π}{4}

biểu diễn cùng một điểm

M

420° - 360° = 60°

Vậy

420°

và

60°

biểu diễn cùng một điểm

N

Vậy $M$ là điểm ứng với góc $\frac{π}{4}$ , tức $M (\frac{2}{2}; \frac{2}{2})$ ; $N$ là điểm ứng với góc $60°$ , tức $N (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ .

2Cách 2. Chia lấy số dư để tìm đại diện chuẩn trong một bước

Định hướng. Đưa số đo về dạng $α + k 360°$ (hay $α + k 2 π$ ) với $α$ là phần dư (đại diện chuẩn), bằng một phép chia có dư thay vì trừ nhiều lần.

- \frac{15 π}{4} : 2 π = - 1, 875

, phần nguyên dưới gần nhất là

- 2

- \frac{15 π}{4} - (- 2) \cdot 2 π = - \frac{15 π}{4} + 4 π = \frac{π}{4}

420° : 360° = 1, 1 \overline{6}

, phần nguyên là

1

420° - 1 \cdot 360° = 60°

Vậy $M$ ứng với $\frac{π}{4}$ và $N$ ứng với $60°$ , trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (chia lấy phần dư) nhanh hơn khi số đo quá lớn, không phải trừ/cộng nhiều lần như Cách 1.

3Cách 3. Đếm bước trên lưới chia đều của đường tròn lượng giác

Định hướng. Chia đường tròn thành các cung bằng nhau đúng bằng đơn vị đang xét; khi đó tìm điểm biểu diễn chỉ còn là đếm bước, mà cứ đủ một vòng thì xoá đi.

a) Lưới

\frac{π}{4}

: trọn một vòng gồm

8

bước

- \frac{15 π}{4}

ứng với

15

bước theo chiều âm, mà

15 = 8 + 7

Bỏ trọn

8

bước, còn

7

bước theo chiều âm:

- \frac{7 π}{4}

- \frac{7 π}{4} + 2 π = \frac{π}{4}

b) Lưới

30°

: trọn một vòng gồm

12

bước

420°

ứng với

14

bước theo chiều dương, mà

14 = 12 + 2

Bỏ trọn

12

bước, còn

2

bước:

2 \times 30° = 60°

Vậy $M$ là điểm ứng với $\frac{π}{4}$ và $N$ là điểm ứng với $60°$ .

Nhận xét. Đếm bước trên lưới biến phép chia số thực thành phép chia số nguyên, nên nhẩm miệng được và hầu như không thể sai dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chia lấy dư cho

2 π

(hay cho

360°

) ra đại diện chỉ trong một bước, còn Cách 1 trừ dần rất dễ sót vòng khi số đo lớn.

Đáp số. M ≡ điểm ứng với π/4 ; N ≡ điểm ứng với 60°

Sai lầm thường gặp. Trừ sai số vòng, chẳng hạn chỉ trừ 2π một lần cho −15π/4 (một góc âm rất lớn) nên chưa đưa được về khoảng chuẩn [0;2π).

🚀 Mở rộng. Với số đo

\frac{mπ}{n}

bất kì, đại diện chuẩn là

\frac{r π}{n}

trong đó

r

là số dư của

m

khi chia cho

2 n

, nên việc xác định điểm biểu diễn luôn quy về một phép chia lấy dư.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Luyện tập 4 (trang 12)★★Trang 12— Xác định điểm trên đường tròn lượng giác và tính giá trị lượng giác

Luyện tập 4 (trang 12). Cho góc lượng giác có số đo bằng

\frac{5 π}{6}

.
a) Xác định điểm

M

trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.
b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.

Kiến thức cần nhớ

cosα = hoành độ của M, sinα = tung độ của M.
tanα = sinα/cosα (cosα≠0), cotα = cosα/sinα (sinα≠0).

🧠 Phân tích tư duy

Số đo

\frac{5 π}{6}

nằm giữa

\frac{π}{2}

và

π

— dấu hiệu điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ hai, nơi chỉ riêng sin mang dấu dương. Nhận ra

\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}

là chìa khoá: mọi giá trị đều lấy từ góc đặc biệt

\frac{π}{6}

, việc còn lại chỉ là gắn dấu. Bẫy là đọc ngược toạ độ điểm

M

thành

(\frac{1}{2}; - \frac{3}{2})

do lẫn giữa hoành độ (côsin) và tung độ (sin).

1Cách 1. Xác định toạ độ M rồi suy trực tiếp bốn giá trị lượng giác

Định hướng. Góc $\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}$ nên $M$ nằm ở góc phần tư II, đối xứng với điểm ứng với $\frac{π}{6}$ qua trục $O y$ ; từ đó đọc ngay toạ độ của $M$ .

\frac{5 π}{6} = 180° - 30° = 150°

, điểm

M

ở góc phần tư II

M (- \frac{3}{2}; \frac{1}{2})

cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

tan \frac{5 π}{6} = \frac{sin \frac{5 π}{6}}{cos \frac{5 π}{6}} = \frac{\frac{1}{2}}{- \frac{3}{2}} = - \frac{3}{3}

cot \frac{5 π}{6} = \frac{cos \frac{5 π}{6}}{sin \frac{5 π}{6}} = \frac{- \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = - 3

Vậy $M (- \frac{3}{2}; \frac{1}{2})$ và $cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}$ , $sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}$ , $tan \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{3}$ , $cot \frac{5 π}{6} = - 3$ .

2Cách 2. Dùng công thức góc bù với π/6

Định hướng. Vì $\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}$ là góc bù với $\frac{π}{6}$ , có thể suy các giá trị lượng giác từ bảng giá trị đặc biệt của $\frac{π}{6}$ mà không cần xác định toạ độ.

sin (π - \frac{π}{6}) = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

cos (π - \frac{π}{6}) = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}

tan (π - \frac{π}{6}) = - tan \frac{π}{6} = - \frac{3}{3}

cot (π - \frac{π}{6}) = - cot \frac{π}{6} = - 3

Vậy kết quả trùng Cách 1: $sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}$ , $cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}$ , $tan \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{3}$ , $cot \frac{5 π}{6} = - 3$ .

Nhận xét. Cách 2 tận dụng ngay công thức góc bù nên nhanh hơn nếu đã thuộc bảng giá trị đặc biệt, không cần xác định toạ độ điểm $M$ .

3Cách 3. Dùng phép đối xứng tâm O giữa hai góc hơn kém nhau pi

Định hướng. Hai số đo hơn kém nhau đúng $π$ cho hai điểm đối xứng nhau qua tâm $O$ , mà hai điểm đối xứng qua gốc toạ độ thì có toạ độ đối nhau; chỉ cần biết điểm ứng với góc đặc biệt $- \frac{π}{6}$ .

\frac{5 π}{6} - π = - \frac{π}{6}

Gọi

M_{1}

là điểm biểu diễn góc

- \frac{π}{6}

M_{1} (\frac{3}{2}; - \frac{1}{2})

M

và

M_{1}

đối xứng nhau qua

O

nên có toạ độ đối nhau

M (- \frac{3}{2}; \frac{1}{2})

cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

;

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

tan \frac{5 π}{6} = \frac{sin \frac{5 π}{6}}{cos \frac{5 π}{6}} = - \frac{1}{3} = - \frac{3}{3}

;

cot \frac{5 π}{6} = \frac{1}{tan \frac{5 π}{6}} = - 3

Vậy $M (- \frac{3}{2}; \frac{1}{2})$ , $cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}$ , $sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}$ , $tan \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{3}$ , $cot \frac{5 π}{6} = - 3$ .

Nhận xét. Ba phép đối xứng của đường tròn lượng giác (qua $O x$ , qua $O y$ , qua $O$ ) chính là ba nhóm công thức góc liên quan đặc biệt; nhớ hình là khỏi phải thuộc lòng công thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: công thức góc bù cho cả bốn giá trị chỉ trong hai dòng và không phải dựng hình như Cách 1.

Đáp số. M(−√3/2 ; 1/2) ; cos(5π/6)=−√3/2 ; sin(5π/6)=1/2 ; tan(5π/6)=−√3/3 ; cot(5π/6)=−√3

Sai lầm thường gặp. Nhớ nhầm dấu của côsin ở góc phần tư II, viết cos(5π/6) dương thay vì âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hai góc bù nhau luôn cho

sin (π - α) = sin α

còn ba giá trị kia đổi dấu, nên thuộc bảng giá trị của góc nhọn là suy được toàn bộ góc phần tư thứ hai.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · HĐ5★★Trang 13— Xây dựng các hệ thức lượng giác cơ bản từ định nghĩa

HĐ5 (trang 13). a) Dựa vào định nghĩa của

sin α

và

cos α

, hãy tính

sin^{2} α + cos^{2} α

.
b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của

tan α

, hãy tính

1 + tan^{2} α

Kiến thức cần nhớ

M(x;y) trên đường tròn lượng giác có x²+y²=1 (vì OM=R=1).
cosα=x, sinα=y, tanα=sinα/cosα (cosα≠0).

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) yêu cầu tính

sin^{2} α + cos^{2} α

từ ĐỊNH NGHĨA — dấu hiệu phải nhớ rằng

cos α

sin α

chính là hoành độ và tung độ của một điểm nằm trên đường tròn bán kính

1

. Hễ thấy tổng hai bình phương gắn với một điểm trên đường tròn là nghĩ ngay tới

x^{2} + y^{2} = R^{2}

hoặc định lí Pythagore. Bẫy ở câu b) là quên điều kiện

cos α \neq = 0

, trong khi

tan α

chỉ xác định khi

α \neq = \frac{π}{2} + k π

với

k \in Z

1Cách 1. Dùng trực tiếp phương trình đường tròn đơn vị

Định hướng. Điểm $M (cos α; sin α)$ luôn nằm trên đường tròn lượng giác bán kính $1$ , nên toạ độ của nó thoả mãn phương trình đường tròn.

M (x; y)

với

x = cos α

y = sin α

nằm trên đường tròn bán kính

1

tâm

O

x^{2} + y^{2} = 1

cos^{2} α + sin^{2} α = 1

b) Với

cos α \neq = 0

, chia hai vế của

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

cho

cos^{2} α

\frac{sin ^{2} α}{cos ^{2} α} + 1 = \frac{1}{cos ^{2} α}

tan^{2} α + 1 = \frac{1}{cos ^{2} α}

Vậy a) $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ ; b) $1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ (với $α \neq = \frac{π}{2} + k π$ ).

2Cách 2. Dùng định lí Pythagore trong tam giác vuông tạo bởi M và hình chiếu

Định hướng. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên trục $O x$ ; tam giác $O H M$ vuông tại $H$ nên áp dụng định lí Pythagore thay cho phương trình đường tròn.

Tam giác

O H M

vuông tại

H

O H = ∣ cos α ∣

H M = ∣ sin α ∣

, cạnh huyền

O M = 1

O H^{2} + H M^{2} = O M^{2}

cos^{2} α + sin^{2} α = 1

b) Chia hai vế cho

cos^{2} α

(cos α \neq = 0)

1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 nhìn theo tam giác vuông giúp dễ hình dung hơn, còn Cách 1 gọn hơn vì dùng thẳng phương trình đường tròn.

3Cách 3. Dùng công thức khoảng cách và điểm trên trục tang

Định hướng. Câu a) tính độ dài $O M$ bằng công thức khoảng cách trong mặt phẳng toạ độ; câu b) kéo dài $O M$ cắt trục tang tại $T (1; tan α)$ rồi tính $O T$ theo hai đường khác nhau.

O (0; 0)

và

M (cos α; sin α)

O M = (cos α - 0)^{2} + (sin α - 0)^{2} = cos^{2} α + sin^{2} α

O M = 1

nên

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

b) Điều kiện

cos α \neq = 0

; đường thẳng

O M

cắt trục tang tại

T (1; tan α)

O T^{2} = 1^{2} + tan^{2} α = 1 + tan^{2} α

Mặt khác

O T = \frac{O A}{∣ cos α ∣} = \frac{1}{∣ cos α ∣}

(tam giác

O A T

vuông tại

A

O A = 1

)

O T^{2} = \frac{1}{cos ^{2} α}

1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

Vậy a) $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ ; b) $1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ khi $cos α \neq = 0$ .

Nhận xét. Nhìn $1 + tan^{2} α$ là bình phương độ dài $O T$ giúp nhớ hệ thức mà không phải học thuộc: $O T$ luôn dài hơn bán kính, đúng với việc $\frac{1}{cos ^{2} α} \geq 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng từ phương trình đường tròn đơn vị là xong và đúng với mọi

α

, còn Cách 2 (Pythagore) chỉ vẽ được khi điểm

M

không nằm trên trục toạ độ.

Đáp số. a) sin²α + cos²α = 1 · b) 1 + tan²α = 1/cos²α

Sai lầm thường gặp. Quên điều kiện cosα≠0 khi chia hai vế cho cos²α, dẫn đến áp dụng công thức 1+tan²α=1/cos²α cả khi tanα không xác định.

🚀 Mở rộng. Cũng từ đường tròn đơn vị suy tiếp

1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}

khi

sin α \neq = 0

, và bộ ba hệ thức này là khung xương cho mọi bài rút gọn biểu thức lượng giác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Luyện tập 5★Trang 13— Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác và đổi đơn vị đo góc

Luyện tập 5 (trang 13). Sử dụng máy tính cầm tay để:
a) Tính:

cos \frac{3 π}{7}

;

tan (- 37°2 5^{'})

;
b) Đổi

179°2 3^{'} 3 0^{''}

sang rađian;
c) Đổi

\frac{7}{9}

(rad) sang độ.

Kiến thức cần nhớ

Trước khi bấm máy cần chuyển đúng chế độ: Rad khi tính theo rađian, Deg khi tính theo độ.
Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư như quy ước của Ví dụ 6.

🧠 Phân tích tư duy

Bài kiểm tra kĩ năng bấm máy nên thứ quan trọng nhất là ĐƠN VỊ: câu a) có

\frac{3 π}{7}

phải để máy ở chế độ rađian, còn

- 37°2 5^{'}

phải để chế độ độ. Hai câu đổi đơn vị dùng phím DRG, chọn chiều đổi là do đơn vị ĐÍCH cần tới chứ không do số đã cho. Bẫy là bấm nguyên

\frac{3 π}{7}

khi máy đang ở chế độ độ: khi đó máy hiểu đó là

\frac{3 π}{7}

độ và cho kết quả sai hoàn toàn.

1Cách 1. Bấm máy trực tiếp theo từng phép tính (như Ví dụ 6, Ví dụ 7)

Định hướng. Chuyển máy đúng chế độ Rad hoặc Deg tương ứng với đơn vị của số đo đã cho rồi bấm hàm lượng giác hoặc lệnh đổi đơn vị.

a) Chế độ Rad:

cos \frac{3 π}{7} \approx 0, 2225

Chế độ Deg:

tan (- 37°2 5^{'}) \approx - 0, 7650

b) Chế độ Deg, nhập

179°2 3^{'} 3 0^{''}

rồi đổi sang Rad:

179°2 3^{'} 3 0^{''} \approx 3, 1310

(rad)
c) Chế độ Rad, nhập

\frac{7}{9}

rồi đổi sang Deg:

\frac{7}{9}

rad

\approx 44, 5634°

Vậy a) $cos \frac{3 π}{7} \approx 0, 2225$ ; $tan (- 37°2 5^{'}) \approx - 0, 7650$ ; b) $179°2 3^{'} 3 0^{''} \approx 3, 1310$ rad; c) $\frac{7}{9}$ rad $\approx 44, 5634°$ .

2Cách 2. Đối chiếu hai câu đổi đơn vị bằng công thức đã học

Định hướng. Với hai câu đổi đơn vị (b, c), có thể tính tay theo công thức $1° = \frac{π}{180}$ rad để đối chiếu với kết quả máy tính.

179°2 3^{'} 3 0^{''} = 179 + \frac{23}{60} + \frac{30}{3600} \approx 179, 3917°

Đổi rađian:

179, 3917 \times \frac{π}{180} \approx 3, 1310

(rad)
c)

\frac{7}{9}

rad

= \frac{7}{9} \times \frac{180}{π} \approx 44, 5634°

Vậy kết quả trùng Cách 1: $\approx 3, 1310$ rad và $\approx 44, 5634°$ .

Nhận xét. Cách 2 chỉ dùng cho các phép đổi đơn vị (b, c); riêng giá trị lượng giác ở câu a) (của góc lẻ) bắt buộc phải dùng máy tính cầm tay vì không tra được bằng bảng giá trị đặc biệt.

3Cách 3. Chặn kết quả bằng các góc đặc biệt lân cận để tự kiểm tra

Định hướng. Mỗi số đo đều kẹp được giữa hai góc đặc biệt đã thuộc bảng, từ đó đoán trước khoảng giá trị của kết quả rồi đối chiếu với con số hiện trên màn hình máy tính.

\frac{π}{3} < \frac{3 π}{7} < \frac{π}{2}

nên

0 < cos \frac{3 π}{7} < \frac{1}{2}

, phù hợp với

0, 2225

30° < 37°2 5^{'} < 45°

nên

\frac{3}{3} < tan 37°2 5^{'} < 1

- 1 < tan (- 37°2 5^{'}) < - \frac{3}{3}

, phù hợp với

- 0, 7650

179°2 3^{'} 3 0^{''} < 180°

nên kết quả phải nhỏ hơn

π \approx 3, 1416

, phù hợp với

3, 1310

\frac{7}{9} \approx 0, 7778 < \frac{π}{4} \approx 0, 7854

nên kết quả phải nhỏ hơn

45°

, phù hợp với

44, 5634°

Vậy cả bốn kết quả bấm máy đều nằm đúng trong khoảng chặn dự đoán, nên khẳng định máy đã ở đúng chế độ đơn vị.

Nhận xét. Thói quen chặn giá trị trước khi bấm máy là "van an toàn" rẻ nhất: nó bắt được cả lỗi sai chế độ đơn vị lẫn lỗi bấm nhầm phím.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 để có kết quả nhanh nhất, nhưng luôn kèm Cách 3 để chặn giá trị, vì chỉ cần nhìn khoảng chặn là phát hiện ngay nếu lỡ để sai chế độ đơn vị.

Đáp số. a) cos(3π/7) ≈ 0,2225 ; tan(−37°25') ≈ −0,7650 · b) 179°23'30'' ≈ 3,1310 rad · c) 7/9 rad ≈ 44,5634°

Sai lầm thường gặp. Quên chuyển máy về đúng chế độ Rad/Deg trước khi bấm, khiến kết quả sai hoàn toàn dù bấm đúng phím.

🚀 Mở rộng. Khi không có máy tính, vẫn đổi được

179°2 3^{'} 3 0^{''}

sang rađian bằng tỉ lệ

\frac{n}{180} = \frac{α}{π}

sau khi đưa phút và giây về phần thập phân của độ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Luyện tập 6★★Trang 14— Tính các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị và góc phần tư

Luyện tập 6 (trang 14). Tính các giá trị lượng giác của góc

α

, biết:

cos α = - \frac{2}{3}

và

π < α < \frac{3 π}{2}

Kiến thức cần nhớ

Dấu của sinα, cosα, tanα, cotα phụ thuộc vào góc phần tư chứa α (bảng dấu Hình 1.10).
Hệ thức cơ bản sin²α+cos²α=1 dùng để suy giá trị còn lại.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

cos α

kèm một khoảng chứa

α

— dấu hiệu bắt buộc của dạng "biết một giá trị, tìm ba giá trị còn lại", trong đó khoảng cho chỉ có mỗi nhiệm vụ CHỌN DẤU. Cần tìm

sin α

từ

cos α

thì nghĩ ngay tới

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

, còn

tan α

và

cot α

chỉ là phép chia. Bẫy là lấy luôn nghiệm dương của căn: khoảng

π < α < \frac{3 π}{2}

là góc phần tư thứ ba nên

sin α

phải âm.

1Cách 1. Dùng hệ thức cơ bản rồi xét dấu theo góc phần tư

Định hướng. Từ $cos α$ đã cho, dùng $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ để tìm $∣ sin α ∣$ , sau đó xét dấu theo góc phần tư chứa $α$ .

π < α < \frac{3 π}{2}

nên

α

thuộc góc phần tư III:

sin α < 0

sin^{2} α = 1 - cos^{2} α = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

sin α = - \frac{5}{9} = - \frac{5}{3}

tan α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{- \frac{5}{3}}{- \frac{2}{3}} = \frac{5}{2}

cot α = \frac{cos α}{sin α} = \frac{- \frac{2}{3}}{- \frac{5}{3}} = \frac{2 5}{5}

Vậy $sin α = - \frac{5}{3}$ , $tan α = \frac{5}{2}$ , $cot α = \frac{2 5}{5}$ .

2Cách 2. Dùng hệ thức 1+tan²α=1/cos²α để tìm tanα trước

Định hướng. Có thể đi từ $cos α$ tới $tan α$ trực tiếp bằng hệ thức $1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ , rồi suy $sin α$ qua $tan α \cdot cos α$ .

1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α} = \frac{1}{4/9} = \frac{9}{4}

tan^{2} α = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}

α

thuộc góc phần tư III nên

tan α > 0

tan α = \frac{5}{2}

sin α = tan α \cdot cos α = \frac{5}{2} \cdot (- \frac{2}{3}) = - \frac{5}{3}

cot α = \frac{1}{tan α} = \frac{2}{5} = \frac{2 5}{5}

Vậy kết quả trùng Cách 1: $sin α = - \frac{5}{3}$ , $tan α = \frac{5}{2}$ , $cot α = \frac{2 5}{5}$ .

Nhận xét. Cách 2 tiện khi cần $tan α$ trước (để dùng ngay trong công thức khác), tránh phải tính căn của sin trước.

3Cách 3. Đọc toạ độ điểm biểu diễn qua tam giác vuông OHM

Định hướng. Đặt $M$ là điểm biểu diễn góc $α$ trên đường tròn lượng giác, hạ $M H$ vuông góc với trục hoành: hai cạnh góc vuông tính được bằng Pythagore, còn dấu của toạ độ do góc phần tư quyết định.

π < α < \frac{3 π}{2}

nên

M

thuộc góc phần tư thứ ba

O M = 1

;

O H = ∣ cos α ∣ = \frac{2}{3}

H M = O M^{2} - O H^{2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{3}

(định lí Pythagore)

M

ở góc phần tư thứ ba nên cả hoành độ lẫn tung độ đều âm

M (- \frac{2}{3}; - \frac{5}{3})

sin α = - \frac{5}{3}

tan α = \frac{- \frac{5}{3}}{- \frac{2}{3}} = \frac{5}{2}

;

cot α = \frac{2}{5} = \frac{2 5}{5}

Vậy $sin α = - \frac{5}{3}$ , $tan α = \frac{5}{2}$ , $cot α = \frac{2 5}{5}$ , trùng kết quả hai cách trên.

Nhận xét. Hình vẽ làm việc xét dấu thành hiển nhiên: nhìn $M$ ở góc phần tư nào là biết ngay dấu hai toạ độ, khỏi phải nhớ bảng dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: từ

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

ra ngay

sin α

, hai giá trị còn lại chỉ là phép chia; Cách 2 phải đi vòng qua

tan^{2} α

rồi vẫn phải xét dấu thêm một lần nữa.

Đáp số. sinα = −√5/3 ; tanα = √5/2 ; cotα = 2√5/5 (với cosα = −2/3 theo đề)

Sai lầm thường gặp. Lấy sinα = +√5/3 vì quên xét dấu theo góc phần tư III, trong khi π<α<3π/2 buộc sinα phải âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, biết

cos α = m

với

∣ m ∣ \leq 1

thì

sin α = \pm 1 - m^{2}

, và mỗi góc phần tư ứng với đúng một trong hai dấu, nên đã cho khoảng chứa

α

là bài có nghiệm duy nhất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · HĐ6★★Trang 14— Nhận biết liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc đối nhau

HĐ6 (trang 14). Xét hai điểm

M

N

trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (Hình 1.12a).
a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm

M

N

đối với hệ trục

O x y

? Từ đó rút ra liên hệ giữa:

cos (- α)

và

cos α

;

sin (- α)

và

sin α

.
b) Từ kết quả HĐ6a, rút ra liên hệ giữa:

tan (- α)

và

tan α

;

cot (- α)

và

cot α

Kiến thức cần nhớ

Hai góc lượng giác đối nhau α và −α cho hai điểm biểu diễn đối xứng nhau qua trục hoành Ox.
Hai điểm đối xứng qua Ox có cùng hoành độ, tung độ đối nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề vẽ sẵn hai điểm ứng với hai góc đối nhau trên cùng một hình — dấu hiệu bài muốn ta dùng TÍNH ĐỐI XỨNG chứ không phải tính toán. Chỉ cần thấy

M

N

đối xứng nhau qua trục hoành là suy ra ngay hoành độ giữ nguyên còn tung độ đổi dấu, tức côsin không đổi còn sin đổi dấu. Bẫy là kết luận vội rằng "mọi giá trị lượng giác của góc đối đều đổi dấu", trong khi

cos (- α) = cos α

không hề đổi dấu.

1Cách 1. Dùng tính đối xứng qua trục Ox

Định hướng. Vì $- α$ chỉ đảo chiều quay so với $α$ (cùng độ lớn), hai điểm biểu diễn $M, N$ đối xứng nhau qua trục $O x$ ; từ vị trí đối xứng suy ra liên hệ toạ độ.

M

ứng với

α

N

ứng với

- α

đối xứng nhau qua trục

O x

Hai điểm đối xứng qua

O x

có cùng hoành độ, tung độ đối nhau

cos (- α) = cos α

sin (- α) = - sin α

tan (- α) = \frac{sin ( - α )}{cos ( - α )} = \frac{- sin α}{cos α} = - tan α

cot (- α) = \frac{cos ( - α )}{sin ( - α )} = \frac{cos α}{- sin α} = - cot α

Vậy $cos (- α) = cos α$ , $sin (- α) = - sin α$ , $tan (- α) = - tan α$ , $cot (- α) = - cot α$ .

2Cách 2. Thử với một góc cụ thể để kiểm chứng trước khi suy tổng quát

Định hướng. Trước khi khẳng định công thức tổng quát, thử ngay với một góc quen thuộc (ví dụ $α = \frac{π}{3}$ ) để kiểm tra chiều đúng của các dấu.

Chọn

α = \frac{π}{3}

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

cos (- \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} = cos \frac{π}{3}

(đúng như dự đoán)

sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{3}{2} = - sin \frac{π}{3}

(đúng như dự đoán)

tan (- \frac{π}{3}) = - 3 = - tan \frac{π}{3}

(đúng như dự đoán)

Vậy phép thử khẳng định đúng các công thức ở Cách 1: $cos (- α) = cos α$ , $sin (- α) = - sin α$ , $tan (- α) = - tan α$ , $cot (- α) = - cot α$ .

Nhận xét. Cách 2 chỉ mang tính kiểm chứng cho MỘT trường hợp cụ thể, không thay được lập luận đối xứng tổng quát ở Cách 1 (đúng cho MỌI α).

3Cách 3. Đọc trên trục tang và trục côtang cho hai công thức cuối

Định hướng. $tan α$ là tung độ giao điểm của đường thẳng $O M$ với trục tang, $cot α$ là hoành độ giao điểm của nó với trục côtang; hai đường thẳng $O M$ và $O N$ đối xứng nhau qua trục hoành nên hai giao điểm cũng đối xứng theo.

M (cos α; sin α)

và

N

đối xứng với

M

qua trục hoành

N (cos α; - sin α)

, mà

N

biểu diễn góc

- α

cos (- α) = cos α

;

sin (- α) = - sin α

b) Đường thẳng

O M

cắt trục tang tại

T (1; tan α)

Đường thẳng

O N

đối xứng với

O M

qua trục hoành nên cắt trục tang tại

T_{1} (1; - tan α)

tan (- α) = - tan α

Trên trục côtang, hai giao điểm tương ứng là

S (cot α; 1)

và

S_{1} (- cot α; 1)

cot (- α) = - cot α

Vậy $cos (- α) = cos α$ , $sin (- α) = - sin α$ , $tan (- α) = - tan α$ , $cot (- α) = - cot α$ .

Nhận xét. Đọc trên trục tang cho hai công thức cuối mà không cần lập thương $\frac{sin α}{cos α}$ , nên vẫn đúng ngay cả khi phải nói về điều kiện xác định của $tan$ và $cot$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập luận đối xứng qua trục hoành cho cả bốn công thức chỉ trong vài dòng; Cách 2 (thử một góc cụ thể) chỉ nên dùng để kiểm tra lại, không thay được chứng minh.

Đáp số. cos(−α)=cosα ; sin(−α)=−sinα ; tan(−α)=−tanα ; cot(−α)=−cotα

Sai lầm thường gặp. Nhầm rằng M, N đối xứng nhau qua GỐC O (thay vì qua trục Ox), dẫn tới suy sai cả côsin lẫn sin đều đổi dấu.

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu lập luận: đối xứng qua trục tung cho công thức góc bù, đối xứng qua tâm

O

cho công thức góc hơn kém

π

, nên nhớ ba phép đối xứng là nhớ được cả bảng công thức góc liên quan đặc biệt.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Luyện tập 7★★Trang 15— Tính giá trị lượng giác của góc có số đo lớn bằng công thức góc liên quan đặc biệt

Luyện tập 7 (trang 15). Tính: a)

sin (- 675°)

; b)

tan \frac{15 π}{4}

Kiến thức cần nhớ

sin, cos, tan, cot không đổi khi góc thay đổi một bội của 360° (hay 2π): sin(α+k360°)=sinα,…
Nên đưa góc đã cho về đại diện quen thuộc trước khi tính.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai số đo đều vượt xa một vòng — dấu hiệu phải dùng tính tuần hoàn để đưa về góc quen thuộc rồi mới tra bảng. Cộng hay trừ bội của

360°

(hay

2 π

) là tuỳ dấu: số âm thì cộng, số dương lớn thì trừ, cộng trừ cho tới khi rơi vào một vòng. Bẫy là dừng quá sớm, ví dụ

- 675° + 360° = - 315°

vẫn còn âm nên chưa phải đại diện chuẩn.

1Cách 1. Trừ (hoặc cộng) bội của 360°/2π rồi tính trực tiếp

Định hướng. Đưa mỗi góc về đại diện quen thuộc bằng cách cộng/trừ đúng số vòng, rồi tính giá trị lượng giác của đại diện đó.

- 675° + 2 \times 360° = 45°

sin (- 675°) = sin 45° = \frac{2}{2}

\frac{15 π}{4} - 2 π = \frac{15 π}{4} - \frac{8 π}{4} = \frac{7 π}{4}

tan \frac{15 π}{4} = tan \frac{7 π}{4} = tan (- \frac{π}{4}) = - 1

Vậy $sin (- 675°) = \frac{2}{2}$ và $tan \frac{15 π}{4} = - 1$ .

2Cách 2. Dùng tính chẵn lẻ của hàm số kết hợp góc liên quan

Định hướng. Với câu a), tách dấu trừ bằng tính chất hàm sin lẻ trước khi rút gọn phần số dương còn lại.

sin (- 675°) = - sin (675°)

(sin là hàm lẻ)

675° - 360° = 315°

sin (675°) = sin (315°) = sin (- 45°) = - sin 45° = - \frac{2}{2}

sin (- 675°) = - (- \frac{2}{2}) = \frac{2}{2}

\frac{15 π}{4} = 4 π - \frac{π}{4}

tan \frac{15 π}{4} = tan (- \frac{π}{4}) = - 1

Vậy kết quả trùng Cách 1: $sin (- 675°) = \frac{2}{2}$ ; $tan \frac{15 π}{4} = - 1$ .

Nhận xét. Cách 2 tách qua tính chẵn lẻ giúp kiểm tra chéo kết quả, tránh nhầm dấu khi trừ nhiều vòng liên tiếp như Cách 1.

3Cách 3. Đọc toạ độ điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

Định hướng. Đặt điểm biểu diễn của mỗi góc lên đường tròn lượng giác rồi đọc thẳng toạ độ: sin là tung độ, còn tang là thương của tung độ trên hoành độ.

- 675° + 2 \times 360° = 45°

nên điểm biểu diễn là

M

ứng với

45°

M (\frac{2}{2}; \frac{2}{2})

sin (- 675°) = \frac{2}{2}

(tung độ của

M

)
b)

\frac{15 π}{4} - 2 π = \frac{7 π}{4}

nên điểm biểu diễn là

N

ứng với

\frac{7 π}{4}

N (\frac{2}{2}; - \frac{2}{2})

tan \frac{15 π}{4} = \frac{- \frac{2}{2}}{\frac{2}{2}} = - 1

Vậy $sin (- 675°) = \frac{2}{2}$ và $tan \frac{15 π}{4} = - 1$ , đúng như hình vẽ của bài.

Nhận xét. Đọc toạ độ cho phép kiểm tra chéo ngay trên hình: $M$ ở góc phần tư thứ nhất nên sin dương, $N$ ở góc phần tư thứ tư nên tang âm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng trừ bội của một vòng rồi tra bảng góc đặc biệt, mỗi câu đúng hai dòng; Cách 2 phải thêm bước tách dấu nên dài hơn.

Đáp số. sin(−675°) = √2/2 ; tan(15π/4) = −1

Sai lầm thường gặp. Trừ thiếu hoặc thừa một vòng 360° (hay 2π), ví dụ chỉ trừ đúng 1 lần 360° cho −675° (vẫn ra góc âm ngoài khoảng chuẩn) rồi tính sai giá trị.

🚀 Mở rộng. Chu kì của

tan

và

cot

chỉ là

π

chứ không phải

2 π

, nên

tan \frac{15 π}{4}

còn rút gọn nhanh hơn nữa:

\frac{15 π}{4} - 3 π = \frac{3 π}{4}

và

tan \frac{3 π}{4} = - 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Vận dụng 2★★★Trang 16— Ứng dụng hàm số lượng giác vào bài toán thực tế (huyết áp theo giờ)

Vận dụng 2 (trang 16). Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm

t

được cho bởi công thức:

B (t) = 80 + 7 sin \frac{π t}{12}

, trong đó

t

là số giờ tính từ lúc nửa đêm và

B (t)

tính bằng mmHg (milimét thuỷ ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau:
a)

6

giờ sáng; b)

10

giờ

30

phút sáng; c)

12

giờ trưa; d)

8

giờ tối.

Kiến thức cần nhớ

Thay đúng giá trị t (giờ tính từ nửa đêm) vào công thức B(t)=80+7 sin(πt/12).
Đổi phút ra phần thập phân của giờ trước khi thay số (10 giờ 30 phút = 10,5 giờ); 8 giờ tối = 20 giờ tính từ nửa đêm.

🧠 Phân tích tư duy

Công thức

B (t) = 80 + 7 sin \frac{π t}{12}

có dạng

A + a sin (ω t)

— dấu hiệu của một đại lượng dao động quanh mức

80

với biên độ

7

và chu kì

\frac{2 π}{ω} = 24

giờ. Nhìn ra chu kì

24

giờ là đoán được trước: huyết áp cao nhất lúc

6

giờ, thấp nhất lúc

18

giờ, và mọi kết quả đều phải nằm giữa

73

và

87

. Bẫy là đổi "

10

giờ

30

phút" thành

t = 10, 3

thay vì

t = 10, 5

1Cách 1. Thay trực tiếp t vào công thức

Định hướng. Chỉ cần xác định đúng $t$ (số giờ kể từ nửa đêm) của từng thời điểm trong ngày rồi thay vào công thức đã cho.

6

giờ sáng:

t = 6

B (6) = 80 + 7 sin \frac{6 π}{12} = 80 + 7 sin \frac{π}{2} = 80 + 7 \times 1 = 87

(mmHg)
b)

10

giờ

30

phút sáng:

t = 10, 5

B (10, 5) = 80 + 7 sin \frac{10 , 5 π}{12} = 80 + 7 sin \frac{7 π}{8} \approx 80 + 7 \times 0, 3827 \approx 82, 68

(mmHg)
c)

12

giờ trưa:

t = 12

B (12) = 80 + 7 sin \frac{12 π}{12} = 80 + 7 sin π = 80 + 7 \times 0 = 80

(mmHg)
d)

8

giờ tối, tức

20

giờ kể từ nửa đêm:

t = 20

B (20) = 80 + 7 sin \frac{20 π}{12} = 80 + 7 sin \frac{5 π}{3} \approx 80 + 7 \times (- 0, 8660) \approx 73, 94

(mmHg)

Vậy huyết áp tâm trương lần lượt là a) $87$ mmHg; b) $\approx 82, 68$ mmHg; c) $80$ mmHg; d) $\approx 73, 94$ mmHg.

2Cách 2. Dùng giá trị lượng giác của góc đặc biệt/góc liên quan để tính chính xác a), c), d)

Định hướng. Với các thời điểm cho ra góc đặc biệt (a, c, d), tính $sin$ bằng bảng giá trị đặc biệt hoặc công thức góc liên quan thay vì bấm máy; chỉ câu b) mới thật sự cần máy tính.

sin \frac{π}{2} = 1

(giá trị đặc biệt)

\Rightarrow B (6) = 80 + 7 = 87

sin π = 0

(giá trị đặc biệt)

\Rightarrow B (12) = 80

sin \frac{5 π}{3} = sin (2 π - \frac{π}{3}) = - sin \frac{π}{3} = - \frac{3}{2}

B (20) = 80 + 7 \times (- \frac{3}{2}) = 80 - \frac{7 3}{2} \approx 73, 94

Vậy $B (6) = 87$ , $B (12) = 80$ , $B (20) = 80 - \frac{7 3}{2} \approx 73, 94$ (mmHg), khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho kết quả CHÍNH XÁC (dạng căn thức) ở những thời điểm ứng với góc đặc biệt; riêng câu b) ứng với góc $\frac{7 π}{8}$ không đặc biệt nên vẫn phải dùng máy tính cầm tay như Cách 1.

3Cách 3. Khai thác tính đối xứng của công thức và miền giá trị

Định hướng. Công thức có sẵn hai tính chất đối xứng $B (12 - t) = B (t)$ và $B (12 + t) = 160 - B (t)$ ; nhờ đó mọi mốc trong ngày đều quy được về một mốc nhỏ của buổi sáng, đồng thời miền giá trị cho ngay khoảng chặn để tự kiểm tra.

B (12 - t) = 80 + 7 sin (π - \frac{π t}{12}) = 80 + 7 sin \frac{π t}{12} = B (t)

B (12 + t) = 80 + 7 sin (π + \frac{π t}{12}) = 80 - 7 sin \frac{π t}{12} = 160 - B (t)

- 1 \leq sin \frac{π t}{12} \leq 1

nên

73 \leq B (t) \leq 87

B (6) = 80 + 7 sin \frac{π}{2} = 87

(giá trị lớn nhất)
b)

B (10, 5) = B (12 - 1, 5) = B (1, 5) = 80 + 7 sin \frac{π}{8} \approx 82, 68

B (12) = 160 - B (0) = 160 - 80 = 80

B (20) = 160 - B (8) = 160 - (80 + 7 \times \frac{3}{2}) = 80 - \frac{7 3}{2} \approx 73, 94

Vậy a) $87$ mmHg; b) $\approx 82, 68$ mmHg; c) $80$ mmHg; d) $\approx 73, 94$ mmHg, cả bốn đều nằm trong đoạn $[73; 87]$ .

Nhận xét. Hai tính chất đối xứng biến bốn phép tính rời rạc thành một hệ thống: biết huyết áp buổi sáng là suy được buổi chiều, đúng với ý nghĩa "nhịp ngày đêm" của bài toán.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: ba trong bốn mốc rơi đúng vào góc đặc biệt nên cho kết quả CHÍNH XÁC không cần máy tính, chỉ mốc

10

giờ

30

phút mới phải bấm máy.

Đáp số. a) 87 mmHg · b) ≈82,68 mmHg · c) 80 mmHg · d) ≈73,94 mmHg

Sai lầm thường gặp. Quên đổi 8 giờ tối thành t=20 (tính từ nửa đêm), lại thay nhầm t=8 vào công thức.

🚀 Mở rộng. Tổng quát với

B (t) = A + a sin \frac{2 π t}{T}

, giá trị luôn nằm trong đoạn

[A - a; A + a]

và lặp lại sau mỗi

T

đơn vị thời gian, nên khảo sát một chu kì là biết toàn bộ diễn biến trong ngày.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 1.1★Trang 16— Đổi qua lại giữa số đo độ và số đo rađian

Bài 1.1 (trang 16). Hoàn thành bảng sau:
Số đo độ:

15°

; ? ;

0°

;

900°

; ? ; ?
Số đo rađian: ? ;

\frac{3 π}{8}

; ? ; ? ;

- \frac{7 π}{12}

;

- \frac{11 π}{8}

Kiến thức cần nhớ

1° = π/180 rad và 1 rad = (180/π)°.
Đổi độ sang rad: nhân với π/180; đổi rad sang độ: nhân với 180/π.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng có ô trống ở cả hai hàng nên phải xác định chiều đổi theo từng cột — dấu hiệu nhắc phải đọc kĩ ô nào đang thiếu số đo độ, ô nào đang thiếu số đo rađian. Các số

15°

900°

\frac{3 π}{8}

đều là bội hoặc ước đẹp của

180°

nên kết quả luôn ra phân số của

π

hoặc số độ có phần lẻ dạng

3 0^{'}

. Bẫy là ghi

67, 5°

mà quên đổi phần thập phân sang phút thành

67°3 0^{'}

như bảng đòi hỏi.

1Cách 1. Áp dụng công thức đổi đơn vị cho từng ô còn thiếu

Định hướng. Với mỗi cột, biết một trong hai số đo thì nhân đúng hệ số $\frac{π}{180}$ (đổi sang rađian) hoặc $\frac{180}{π}$ (đổi sang độ) để tìm số còn lại.

15° = 15 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{12}

\frac{3 π}{8} = \frac{3 π}{8} \times \frac{180}{π} = 67, 5° = 67°3 0^{'}

0° = 0 \times \frac{π}{180} = 0

900° = 900 \times \frac{π}{180} = 5 π

- \frac{7 π}{12} = - \frac{7 π}{12} \times \frac{180}{π} = - 105°

- \frac{11 π}{8} = - \frac{11 π}{8} \times \frac{180}{π} = - 247, 5° = - 247°3 0^{'}

Vậy bảng hoàn chỉnh — Độ: $15°$ ; $67°3 0^{'}$ ; $0°$ ; $900°$ ; $- 105°$ ; $- 247°3 0^{'}$ ; Rađian: $\frac{π}{12}$ ; $\frac{3 π}{8}$ ; $0$ ; $5 π$ ; $- \frac{7 π}{12}$ ; $- \frac{11 π}{8}$ .

2Cách 2. Lập tỉ lệ với cặp mốc quen thuộc 180° = π

Định hướng. Thay vì nhớ hệ số nhân, lập tỉ lệ trực tiếp với cặp mốc quen thuộc $180° \leftrightarrow π$ rồi tính theo quy tắc tam suất.

180°

ứng

π

nên

15°

ứng

\frac{15}{180} π = \frac{π}{12}

\frac{3 π}{8}

ứng với

\frac{3/8}{1} \times 180° = 67, 5°

900°

ứng

\frac{900}{180} π = 5 π

- \frac{7 π}{12}

ứng với

- \frac{7/12}{1} \times 180° = - 105°

- \frac{11 π}{8}

ứng với

- \frac{11/8}{1} \times 180° = - 247, 5°

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (tỉ lệ với 180°=π) giúp không cần nhớ công thức, chỉ cần nhớ đúng MỘT cặp mốc.

3Cách 3. Dùng máy tính cầm tay với phím đổi đơn vị DRG rồi đối chiếu

Định hướng. Đặt máy ở chế độ ứng với đơn vị ĐÍCH rồi nhập số đo nguồn, phím DRG trả về ngay số đo cần điền; con số bấm máy dùng để đối chiếu với giá trị chính xác đã tính bằng công thức.

Đổi độ sang rađian (máy ở chế độ rađian)

15° \to 0, 2618

, đối chiếu

\frac{π}{12} \approx 0, 2618

900° \to 15, 7080

, đối chiếu

5 π \approx 15, 7080

Đổi rađian sang độ (máy ở chế độ độ)

\frac{3 π}{8} \to 67°3 0^{'} 0^{''}

- \frac{7 π}{12} \to - 105° 0^{'} 0^{''}

- \frac{11 π}{8} \to - 247°3 0^{'} 0^{''}

0° \to 0

(không phụ thuộc chế độ máy)

Vậy $15° = \frac{π}{12}$ ; $\frac{3 π}{8} = 67°3 0^{'}$ ; $0° = 0$ ; $900° = 5 π$ ; $- \frac{7 π}{12} = - 105°$ ; $- \frac{11 π}{8} = - 247°3 0^{'}$ .

Nhận xét. Máy tính trả thẳng ra dạng độ - phút - giây nên tránh được đúng cái bẫy $67, 5°$ ; tuy vậy vẫn phải ghi kết quả chính xác dạng phân số của $π$ chứ không ghi số thập phân.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân trực tiếp với hệ số đổi cho từng ô, không phải lập tỉ lệ thức như Cách 2 nên nhanh hơn hẳn khi phải điền một lúc sáu ô.

Đáp số. 15°=π/12 ; 3π/8=67°30' ; 0°=0 ; 900°=5π ; −7π/12=−105° ; −11π/8=−247°30'

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn giữa nhân với π/180 và 180/π, ví dụ lấy 15×180/π thay vì 15×π/180.

🚀 Mở rộng. Có thể thêm một cột kiểm tra cho bảng: mọi cặp số đo tương ứng đều phải thoả

\frac{n}{α} = \frac{180}{π}

, nên chỉ một phép chia là phát hiện ngay ô điền sai.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 1.2★★Trang 16— Tính độ dài cung tròn khi biết bán kính và số đo (độ hoặc rađian)

Bài 1.2 (trang 16). Một đường tròn có bán kính

20

cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau: a)

\frac{π}{12}

; b)

1, 5

; c)

35°

; d)

315°

Kiến thức cần nhớ

Công thức l=Rα CHỈ áp dụng khi α tính theo rađian.
Nếu số đo cho theo độ, phải đổi sang rađian trước khi thay vào công thức l=Rα.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn số đo cho theo hai đơn vị khác nhau — việc đầu tiên phải làm là thống nhất đơn vị, vì

l = R α

chỉ đúng khi

α

tính bằng rađian. Nhận ra

315° = 9 \times 35°

giúp câu d) lấy luôn kết quả câu c) nhân

9

, khỏi tính lại từ đầu. Bẫy là thay thẳng

35

hay

315

vào công thức: khi đó độ dài cung vượt cả chu vi đường tròn, một kết quả vô lí thấy ngay bằng mắt.

1Cách 1. Đổi các số đo theo độ sang rađian rồi áp dụng chung công thức l=Rα

Định hướng. Công thức $l = R α$ chỉ dùng được khi $α$ đã tính theo rađian, nên đổi hai câu c), d) sang rađian trước khi thay số.

α = \frac{π}{12}

đã là rađian:

l = 20 \times \frac{π}{12} = \frac{5 π}{3} \approx 5, 24

(cm)
b)

α = 1, 5

đã là rađian:

l = 20 \times 1, 5 = 30

(cm)
c)

35° = 35 \times \frac{π}{180} = \frac{7 π}{36}

(rad)

l = 20 \times \frac{7 π}{36} = \frac{35 π}{9} \approx 12, 22

(cm)
d)

315° = 315 \times \frac{π}{180} = \frac{7 π}{4}

(rad)

l = 20 \times \frac{7 π}{4} = 35 π \approx 109, 96

(cm)

Vậy a) $l = \frac{5 π}{3} \approx 5, 24$ cm; b) $l = 30$ cm; c) $l = \frac{35 π}{9} \approx 12, 22$ cm; d) $l = 35 π \approx 109, 96$ cm.

2Cách 2. Dùng tỉ lệ với chu vi cho các số đo tính theo độ

Định hướng. Với số đo cho theo độ, có thể tính thẳng bằng tỉ lệ $\frac{α °}{360°}$ của chu vi đường tròn mà không cần đổi qua rađian.

Chu vi đường tròn:

C = 2 π R = 40 π

(cm)
c)

l = \frac{35°}{360°} \times 40 π = \frac{35 π}{9} \approx 12, 22

(cm)
d)

l = \frac{315°}{360°} \times 40 π = 35 π \approx 109, 96

(cm)
Hai câu a), b) đã cho theo rađian nên vẫn dùng

l = R α

\frac{5 π}{3} \approx 5, 24

cm và

30

Vậy kết quả cả bốn câu trùng với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tránh phải đổi độ sang rađian ở hai câu cuối, nhưng Cách 1 (đổi hết về rađian rồi dùng chung một công thức) mạch lạc và ít nhầm lẫn hơn khi làm cả bốn câu liên tiếp.

3Cách 3. Dùng tính tỉ lệ thuận giữa các cung của cùng một đường tròn

Định hướng. Trên cùng một đường tròn, độ dài cung tỉ lệ thuận với số đo cung; vì vậy chỉ cần tính trực tiếp vài cung gốc rồi nhân tỉ số là ra các cung còn lại.

l_{1} = 20 \times \frac{π}{12} = \frac{5 π}{3} \approx 5, 24

(cm)
b) Tỉ số hai số đo:

\frac{1 , 5}{\frac{π}{12}} = \frac{18}{π}

l_{2} = \frac{5 π}{3} \times \frac{18}{π} = 30

(cm)
c)

35° = \frac{7 π}{36}

(rad)

l_{3} = 20 \times \frac{7 π}{36} = \frac{35 π}{9} \approx 12, 22

(cm)
d)

315° = 9 \times 35°

nên

l_{4} = 9 l_{3}

l_{4} = 9 \times \frac{35 π}{9} = 35 π \approx 109, 96

(cm)

Vậy a) $\frac{5 π}{3} \approx 5, 24$ cm; b) $30$ cm; c) $\frac{35 π}{9} \approx 12, 22$ cm; d) $35 π \approx 109, 96$ cm.

Nhận xét. Khai thác quan hệ giữa các câu (ở đây là $315° = 9 \times 35°$ ) giúp giảm hẳn số phép tính — một thói quen rất đáng có khi đề gồm nhiều ý cùng dạng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi hết về rađian rồi dùng chung một công thức cho cả bốn câu, mạch lạc và khó nhầm hơn Cách 2 vốn phải nhớ thêm công thức tỉ lệ với chu vi.

Đáp số. a) l=5π/3≈5,24 cm ; b) l=30 cm ; c) l=35π/9≈12,22 cm ; d) l=35π≈109,96 cm

Sai lầm thường gặp. Thay thẳng số đo độ (ví dụ 35 hoặc 315) vào công thức l=Rα mà quên đổi sang rađian trước.

🚀 Mở rộng. Vẫn bán kính ấy, diện tích hình quạt ứng với mỗi cung là

S = \frac{1}{2} R l

, nên bốn độ dài vừa tìm cho ngay bốn diện tích mà không phải quay lại với số đo góc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 1.3★★Trang 16— Xác định điểm biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác

Bài 1.3 (trang 16). Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm

M

biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau: a)

\frac{2 π}{3}

; b)

- \frac{11 π}{4}

; c)

150°

; d)

- 225°

Kiến thức cần nhớ

Chỉ cần đưa số đo về đại diện trong [0°;360°) hoặc [0;2π) là xác định được vị trí điểm trên đường tròn.
Góc âm ứng với chiều quay theo chiều kim đồng hồ.

🧠 Phân tích tư duy

Hai trong bốn số đo vượt quá một vòng hoặc mang dấu âm — dấu hiệu phải rút về đại diện trong

[0; 2 π)

trước khi đặt điểm. Mọi số đo của bài đều là bội của

\frac{π}{4}

hoặc

\frac{π}{6}

, nghĩa là điểm biểu diễn luôn rơi đúng mốc chia của đường tròn lượng giác chứ không phải điểm bất kì. Bẫy là đánh rơi dấu trừ khi cộng bội

2 π

, chẳng hạn viết

- \frac{11 π}{4} + 2 π = \frac{3 π}{4}

khiến điểm nhảy sang góc phần tư thứ hai.

1Cách 1. Xác định trực tiếp theo số đo đã cho (kể cả khi phải quay hơn 1 vòng)

Định hướng. Với mỗi góc, cho tia OA quay đúng chiều và đúng số đo đã cho (âm thì quay theo chiều kim đồng hồ, lớn hơn 360° hay 2π thì quay thêm vòng) để xác định điểm dừng.

\frac{2 π}{3} = 120°

M

ở góc phần tư II,

M (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})

- \frac{11 π}{4} + 2 \times 2 π = - \frac{11 π}{4} + \frac{16 π}{4} = \frac{5 π}{4} = 225°

M

ở góc phần tư III,

M (- \frac{2}{2}; - \frac{2}{2})

150°

M

ở góc phần tư II,

M (- \frac{3}{2}; \frac{1}{2})

- 225° + 360° = 135°

M

ở góc phần tư II,

M (- \frac{2}{2}; \frac{2}{2})

Vậy bốn điểm $M$ tương ứng có toạ độ như trên.

2Cách 2. Quy mỗi số đo về đại diện dương nhỏ nhất rồi tra bảng giá trị đặc biệt

Định hướng. Đưa mỗi số đo về một đại diện dương thuộc $[0°; 360°)$ (hoặc $[0; 2 π)$ ), rồi tra trực tiếp bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã học.

\frac{2 π}{3}

đã thuộc

[0; 2 π)

, đại diện

120°

- \frac{11 π}{4} \to

đại diện

225°

(cộng

4 π

)
c)

150°

đã thuộc

[0°; 360°)

- 225° \to

đại diện

135°

(cộng

360°

)
Tra bảng:

M_{120°} (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})

M_{225°} (- \frac{2}{2}; - \frac{2}{2})

M_{150°} (- \frac{3}{2}; \frac{1}{2})

M_{135°} (- \frac{2}{2}; \frac{2}{2})

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Cả bốn điểm đều rơi vào góc phần tư I, II hoặc III với các góc "đẹp" (bội của 15°), nên tra bảng giá trị đặc biệt (Cách 2) nhanh hơn vẽ hình quay trực tiếp (Cách 1).

3Cách 3. Tính toạ độ điểm rồi chấm theo toạ độ

Định hướng. Điểm biểu diễn góc $α$ có toạ độ $(cos α; sin α)$ ; tính hai toạ độ bằng bảng giá trị đặc biệt rồi chấm điểm, cách này cho vị trí chính xác chứ không phụ thuộc vào việc chia cung bằng mắt.

M (cos \frac{2 π}{3}; sin \frac{2 π}{3}) = (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})

cos (- \frac{11 π}{4}) = cos \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2}

;

sin (- \frac{11 π}{4}) = sin \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2}

M (- \frac{2}{2}; - \frac{2}{2})

M (cos 150°; sin 150°) = (- \frac{3}{2}; \frac{1}{2})

cos (- 225°) = cos 135° = - \frac{2}{2}

;

sin (- 225°) = sin 135° = \frac{2}{2}

M (- \frac{2}{2}; \frac{2}{2})

Vậy a) $(- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ ; b) $(- \frac{2}{2}; - \frac{2}{2})$ ; c) $(- \frac{3}{2}; \frac{1}{2})$ ; d) $(- \frac{2}{2}; \frac{2}{2})$ .

Nhận xét. Cả bốn điểm đều thoả $x^{2} + y^{2} = 1$ — một phép thử nhanh cho biết toạ độ đã tính đúng trước khi chấm lên hình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: quy mỗi số đo về đại diện dương nhỏ nhất rồi tra mốc chia, vì khi đó cả bốn câu đều rơi về bảng góc đặc biệt đã thuộc.

Đáp số. a) M(−1/2;√3/2) ; b) M(−√2/2;−√2/2) ; c) M(−√3/2;1/2) ; d) M(−√2/2;√2/2)

Sai lầm thường gặp. Cộng/trừ sai số vòng 2π (hoặc 360°) khi rút gọn góc âm lớn như −11π/4, dẫn tới xác định nhầm góc phần tư của M.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hai số đo cùng biểu diễn một điểm khi và chỉ khi chúng hơn kém nhau một bội nguyên của

2 π

, nên tập số đo của mỗi điểm là một họ

α + k 2 π

với

k \in Z

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 1.4★★★Trang 16— Tính các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị và góc phần tư chứa α

Bài 1.4 (trang 16). Tính các giá trị lượng giác của góc

α

, biết: a)

cos α = \frac{1}{5}

và

0 < α < \frac{π}{2}

; b)

sin α = \frac{2}{3}

và

\frac{π}{2} < α < π

; c)

tan α = 5

và

π < α < \frac{3 π}{2}

; d)

cot α = - \frac{1}{2}

và

\frac{3 π}{2} < α < 2 π

Kiến thức cần nhớ

Bảng dấu theo góc phần tư: QI mọi giá trị dương; QII chỉ sin dương; QIII chỉ tan, cot dương; QIV chỉ cos dương.
Hệ thức cơ bản: sin²α+cos²α=1; 1+tan²α=1/cos²α; 1+cot²α=1/sin²α; tanα·cotα=1.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi câu cho đúng MỘT giá trị lượng giác kèm một khoảng chứa

α

, mà khoảng ấy chỉ có mỗi nhiệm vụ chọn dấu, còn độ lớn hoàn toàn do hệ thức cơ bản quyết định. Dấu hiệu chọn hệ thức rất rõ: cho

sin

hoặc

cos

thì dùng

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

, cho

tan

thì dùng

1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

, cho

cot

thì dùng

1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}

. Bẫy ở câu c) và d) là chỉ xét dấu cho đại lượng vừa tìm rồi quên kiểm tra dấu của đại lượng suy ra tiếp sau đó.

1Cách 1. Dùng hệ thức cơ bản tương ứng, rồi xét dấu theo góc phần tư

Định hướng. Ứng với mỗi câu, chọn đúng hệ thức cơ bản liên kết trực tiếp với đại lượng đã cho, rồi dùng góc phần tư của α để chọn đúng dấu căn bậc hai.

0 < α < \frac{π}{2}

(QI): mọi giá trị dương

sin α = 1 - cos^{2} α = 1 - \frac{1}{25} = \frac{2 6}{5}

tan α = \frac{sin α}{cos α} = 26

;

cot α = \frac{1}{tan α} = \frac{6}{12}

\frac{π}{2} < α < π

(QII):

cos α < 0

cos α = - 1 - sin^{2} α = - 1 - \frac{4}{9} = - \frac{5}{3}

tan α = \frac{sin α}{cos α} = - \frac{2 5}{5}

;

cot α = \frac{1}{tan α} = - \frac{5}{2}

π < α < \frac{3 π}{2}

(QIII):

cos α < 0

sin α < 0

1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α} \Rightarrow cos^{2} α = \frac{1}{1 + 5} = \frac{1}{6} \Rightarrow cos α = - \frac{6}{6}

sin α = tan α \cdot cos α = - \frac{30}{6}

;

cot α = \frac{1}{tan α} = \frac{5}{5}

\frac{3 π}{2} < α < 2 π

(QIV):

cos α > 0

sin α < 0

1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α} \Rightarrow sin^{2} α = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \Rightarrow sin α = - \frac{6}{3}

cos α = cot α \cdot sin α = \frac{3}{3}

;

tan α = \frac{1}{cot α} = - 2

Vậy bốn bộ giá trị lượng giác như trên (xem đáp số).

2Cách 2. Dựng tam giác vuông tham khảo rồi gắn dấu theo góc phần tư

Định hướng. Coi số đã cho là tỉ số cạnh của một tam giác vuông tham khảo (bỏ qua dấu), tính cạnh còn lại bằng Pythagore, sau đó gắn đúng dấu theo góc phần tư chứa α.

cos α = \frac{1}{5} \Rightarrow

cạnh kề

1

, huyền

5

, cạnh đối

5^{2} - 1^{2} = 26

QI (mọi giá trị dương):

sin α = \frac{2 6}{5}

tan α = 26

cot α = \frac{6}{12}

sin α = \frac{2}{3} \Rightarrow

cạnh đối

2

, huyền

3

, cạnh kề

3^{2} - 2^{2} = 5

QII:

cos α = - \frac{5}{3}

tan α = - \frac{2 5}{5}

cot α = - \frac{5}{2}

tan α = 5 \Rightarrow

cạnh đối

5

, cạnh kề

1

, huyền

6

QIII:

cos α = - \frac{6}{6}

sin α = - \frac{30}{6}

cot α = \frac{5}{5}

cot α = - \frac{1}{2} \Rightarrow ∣ tan α ∣ = 2

, cạnh đối

2

, cạnh kề

1

, huyền

3

QIV:

sin α = - \frac{6}{3}

cos α = \frac{3}{3}

tan α = - 2

Vậy kết quả trùng hoàn toàn với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (tam giác tham khảo) trực quan hơn, nhưng Cách 1 (hệ thức cơ bản) tổng quát và nhanh hơn khi tỉ số cho không phải số đẹp.

3Cách 3. Đặt toạ độ điểm biểu diễn rồi giải hệ với phương trình đường tròn đơn vị

Định hướng. Gọi $M (x; y)$ là điểm biểu diễn góc $α$ : luôn có $x^{2} + y^{2} = 1$ , còn dữ kiện của đề cho thêm một phương trình nữa; giải hệ rồi chọn nghiệm theo dấu của góc phần tư.

M (x; y)

với

x = cos α

y = sin α

và

x^{2} + y^{2} = 1

x = \frac{1}{5}

, góc phần tư thứ nhất nên

y > 0

y = 1 - \frac{1}{25} = \frac{2 6}{5}

;

tan α = \frac{y}{x} = 26

;

cot α = \frac{x}{y} = \frac{6}{12}

y = \frac{2}{3}

, góc phần tư thứ hai nên

x < 0

x = - 1 - \frac{4}{9} = - \frac{5}{3}

;

tan α = - \frac{2 5}{5}

;

cot α = - \frac{5}{2}

y = 5 x

và

x^{2} + y^{2} = 1

cho

6 x^{2} = 1

, góc phần tư thứ ba nên

x < 0

x = - \frac{6}{6}

;

y = - \frac{30}{6}

;

cot α = \frac{x}{y} = \frac{5}{5}

x = - \frac{y}{2}

và

x^{2} + y^{2} = 1

cho

\frac{3}{2} y^{2} = 1

, góc phần tư thứ tư nên

y < 0

y = - \frac{6}{3}

;

x = \frac{3}{3}

;

tan α = \frac{y}{x} = - 2

Vậy bốn bộ giá trị trùng khớp với hai cách trên (xem đáp số).

Nhận xét. Quy về hệ phương trình toạ độ cho một quy trình duy nhất dùng được cho cả bốn câu, và điều kiện $x^{2} + y^{2} = 1$ đóng luôn vai trò phép thử lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chọn đúng hệ thức liên kết thẳng với dữ kiện rồi xét dấu một lần, ngắn và luôn dùng được kể cả khi tỉ số cho không phải số đẹp như Cách 2 đòi hỏi.

Đáp số. a) sinα=2√6/5, tanα=2√6, cotα=√6/12 · b) cosα=−√5/3, tanα=−2√5/5, cotα=−√5/2 · c) cosα=−√6/6, sinα=−√30/6, cotα=√5/5 · d) sinα=−√6/3, cosα=√3/3, tanα=−√2

Sai lầm thường gặp. Chọn sai dấu căn bậc hai vì không xét đúng góc phần tư (dễ sai nhất ở câu b), c) khi cả sin lẫn cos đều phải âm ở góc phần tư III).

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ cho

tan α = t

mà không cho khoảng chứa

α

thì bài có ĐÚNG HAI bộ giá trị đối nhau, ứng với hai điểm biểu diễn đối xứng qua tâm

O

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 1.5★★★Trang 16— Chứng minh đẳng thức lượng giác bằng hệ thức cơ bản

Bài 1.5 (trang 16). Chứng minh các đẳng thức: a)

cos^{4} α - sin^{4} α = 2 cos^{2} α - 1

; b)

\frac{cos ^{2} α + tan ^{2} α - 1}{sin ^{2} α} = tan^{2} α

Kiến thức cần nhớ

sin²α+cos²α=1 dùng để phân tích hiệu hai bình phương hoặc thay thế số 1.
1+tan²α=1/cos²α (cosα≠0) rất hữu ích khi vế còn tan²α.

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái câu a) là hiệu hai bình phương của

cos^{2} α

và

sin^{2} α

— hễ thấy dạng

A^{2} - B^{2}

là nghĩ ngay tới hằng đẳng thức, và thừa số

cos^{2} α + sin^{2} α

tách ra được sẽ bằng

1

. Câu b) có đủ cả

cos^{2} α

tan^{2} α

lẫn

sin^{2} α

nên hướng an toàn là quy hết về

sin α

và

cos α

rồi rút gọn. Bẫy là quên điều kiện xác định: câu b) đòi

sin α \neq = 0

và

cos α \neq = 0

, tức

α \neq = \frac{k π}{2}

với

k \in Z

1Cách 1. Biến đổi trực tiếp vế trái về vế phải bằng phân tích và hệ thức cơ bản

Định hướng. Câu a) đưa về dạng hiệu hai bình phương rồi thay $sin^{2} α = 1 - cos^{2} α$ ; câu b) tách số hạng $- 1$ rồi dùng hệ thức $1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ .

cos^{4} α - sin^{4} α = (cos^{2} α - sin^{2} α) (cos^{2} α + sin^{2} α)

= (cos^{2} α - sin^{2} α) \times 1 = cos^{2} α - sin^{2} α

= cos^{2} α - (1 - cos^{2} α) = 2 cos^{2} α - 1

\frac{cos ^{2} α + tan ^{2} α - 1}{sin ^{2} α} = \frac{- ( 1 - cos ^{2} α ) + tan ^{2} α}{sin ^{2} α} = \frac{- sin ^{2} α + tan ^{2} α}{sin ^{2} α}

= - 1 + \frac{tan ^{2} α}{sin ^{2} α} = - 1 + \frac{1}{cos ^{2} α} = (1 + tan^{2} α) - 1 = tan^{2} α

Vậy a) $cos^{4} α - sin^{4} α = 2 cos^{2} α - 1$ ; b) $\frac{cos ^{2} α + tan ^{2} α - 1}{sin ^{2} α} = tan^{2} α$ (đpcm).

2Cách 2. Quy mọi biểu thức về một biến cos²α rồi rút gọn đại số

Định hướng. Đặt $c = cos^{2} α$ , thay $sin^{2} α = 1 - c$ và $tan^{2} α = \frac{1 - c}{c}$ trực tiếp vào hai vế rồi rút gọn thuần đại số, không cần phân tích nhân tử.

cos^{4} α - sin^{4} α = cos^{4} α - (1 - cos^{2} α)^{2}

= cos^{4} α - (1 - 2 cos^{2} α + cos^{4} α) = 2 cos^{2} α - 1

b) Đặt

c = cos^{2} α

sin^{2} α = 1 - c

tan^{2} α = \frac{1 - c}{c}

cos^{2} α + tan^{2} α - 1 = c + \frac{1 - c}{c} - 1 = \frac{c ^{2} + ( 1 - c ) - c}{c} = \frac{( 1 - c ) ^{2}}{c}

\frac{cos ^{2} α + tan ^{2} α - 1}{sin ^{2} α} = \frac{( 1 - c ) ^{2} / c}{1 - c} = \frac{1 - c}{c} = tan^{2} α

Vậy kết quả trùng Cách 1, cả hai đẳng thức đều được chứng minh.

Nhận xét. Cách 2 quy mọi thứ về một biến $cos^{2} α$ nên phù hợp khi cần kiểm tra bằng đại số thuần tuý, còn Cách 1 (phân tích nhân tử, dùng hệ thức 1+tan²) ngắn gọn và tự nhiên hơn khi làm tay.

3Cách 3. Xét hiệu hai vế và chứng minh hiệu đó bằng 0

Định hướng. Thay vì đi từ vế trái sang vế phải, lập hiệu vế trái trừ vế phải rồi rút gọn: hiệu bằng $0$ với mọi $α$ thoả điều kiện thì đẳng thức đúng.

(cos^{4} α - sin^{4} α) - (2 cos^{2} α - 1)

= (cos^{2} α - sin^{2} α) (cos^{2} α + sin^{2} α) - 2 cos^{2} α + 1

= cos^{2} α - sin^{2} α - 2 cos^{2} α + 1

= 1 - sin^{2} α - cos^{2} α = 0

b) Điều kiện

sin α \neq = 0

và

cos α \neq = 0

\frac{cos ^{2} α + tan ^{2} α - 1}{sin ^{2} α} - tan^{2} α = \frac{cos ^{2} α - 1 + tan ^{2} α ( 1 - sin ^{2} α )}{sin ^{2} α}

= \frac{- sin ^{2} α + tan ^{2} α cos ^{2} α}{sin ^{2} α} = \frac{- sin ^{2} α + sin ^{2} α}{sin ^{2} α} = 0

Vậy hiệu hai vế bằng $0$ trong cả hai câu nên hai đẳng thức đều đúng.

Nhận xét. Xét hiệu là cách an toàn khi hai vế đều cồng kềnh: không phải đoán trước nên biến đổi vế nào, chỉ cần rút gọn tới khi ra $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: biến đổi thẳng vế trái, mỗi câu ba dòng và giữ đúng mạch "vế trái bằng ... bằng vế phải" của một bài chứng minh đẳng thức.

Đáp số. a) và b) đều là đẳng thức đúng (đã chứng minh với mọi α thoả điều kiện xác định)

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), quên điều kiện sinα≠0 (tức α≠kπ) để biểu thức xác định, hoặc quy đồng sai dấu khi tách cos²α−1=−sin²α.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật hằng đẳng thức, thử chứng minh tiếp

sin^{4} α + cos^{4} α = 1 - 2 sin^{2} α cos^{2} α

rồi từ đó suy ra

sin^{6} α + cos^{6} α = 1 - 3 sin^{2} α cos^{2} α

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 1.6★★Trang 16— Tính vận tốc góc và quãng đường lăn của bánh xe

Bài 1.6 (trang 16). Bánh xe của người đi xe đạp quay được

11

vòng trong

5

giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong

1

giây.
b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong

1

phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là

680

mm.

Kiến thức cần nhớ

Vận tốc góc (vòng/giây) = số vòng : thời gian; đổi sang độ (nhân 360°) hoặc rađian (nhân 2π).
Quãng đường lăn được = số vòng quay × chu vi bánh xe (πd).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số vòng quay trong một khoảng thời gian — dấu hiệu của bài tốc độ quay, trong đó mọi đại lượng đều tỉ lệ thuận với thời gian. Một vòng ứng với

360°

hay

2 π

rad, còn quãng đường xe lăn được bằng đúng độ dài cung mà bánh vạch ra, nên chỉ việc nhân đúng hệ số. Bẫy là dùng đường kính

680

mm thay cho bán kính

340

mm, và quên đổi

1

phút thành

60

giây trước khi tính câu b).

1Cách 1. Tính tốc độ quay theo vòng/giây rồi đổi đơn vị góc và nhân chu vi

Định hướng. Từ tốc độ quay $11$ vòng trong $5$ giây, suy ra số vòng quay trong $1$ giây rồi $1$ phút, sau đó đổi sang góc hoặc nhân với chu vi để ra quãng đường.

Tốc độ quay:

\frac{11}{5} = 2, 2

(vòng/giây)
a) Góc quay trong

1

giây theo độ:

2, 2 \times 360° = 792°

Theo rađian:

2, 2 \times 2 π = 4, 4 π \approx 13, 82

(rad)
b) Số vòng quay trong

1

phút (

60

giây):

2, 2 \times 60 = 132

(vòng)
Chu vi bánh xe:

C = π d = 0, 68 π

(m)
Quãng đường:

l = 132 \times 0, 68 π = 89, 76 π \approx 281, 99

(m)

Vậy a) góc quay trong $1$ giây là $792°$ (hay $4, 4 π$ rad); b) quãng đường đi được trong $1$ phút là $\approx 281, 99$ m.

2Cách 2. Dùng quy tắc tam suất trực tiếp cho khoảng thời gian cần tìm

Định hướng. Lập tỉ lệ trực tiếp "11 vòng ứng 5 giây" với "bao nhiêu vòng ứng 60 giây" bằng quy tắc tam suất, tránh phải tính tốc độ trung gian $2, 2$ vòng/giây rồi làm tròn.

Tam suất:

11

vòng ứng

5

giây,

x

vòng ứng

60

giây

x = \frac{11 \times 60}{5} = 132

(vòng trong

1

phút)
a) Trong

1

giây:

\frac{132}{60} = 2, 2

(vòng)

\to 792°

hay

4, 4 π

rad
b) Chu vi bánh xe:

π \times 0, 68 = 0, 68 π

(m)
Quãng đường

1

phút:

132 \times 0, 68 π = 89, 76 π \approx 281, 99

(m)

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (tam suất trực tiếp cho 60 giây) tránh làm tròn tốc độ trung gian, nên chính xác hơn khi số vòng và thời gian không chia hết đẹp.

3Cách 3. Tính vận tốc góc rồi áp thẳng công thức độ dài cung

Định hướng. Đưa tốc độ quay về vận tốc góc tính bằng rađian trên giây; khi đó câu a) chỉ là đọc lại chính $ω$ , còn câu b) là một lần dùng $l = R α$ .

ω = \frac{11 \times 2 π}{5} = \frac{22 π}{5}

(rad/giây)
a) Góc quay trong

1

giây:

\frac{22 π}{5} \approx 13, 82

(rad)

\frac{22 π}{5} = \frac{22}{5} \times 180° = 792°

R = \frac{680}{2} = 340

(mm)

= 0, 34

(m)
Góc quay trong

60

giây:

α = \frac{22 π}{5} \times 60 = 264 π

(rad)

l = R α = 0, 34 \times 264 π = 89, 76 π \approx 281, 99

(m)

Vậy a) bánh xe quay $792°$ (tức $\frac{22 π}{5} \approx 13, 82$ rad) trong $1$ giây; b) quãng đường đi trong $1$ phút $\approx 281, 99$ m.

Nhận xét. Dùng vận tốc góc thì câu a) gần như không phải tính, và công thức $l = R α$ tránh được việc nhân chu vi rồi nhân số vòng, bớt một phép nhân so với Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy về số vòng trong một giây rồi nhân, vì hai câu dùng chung một kết quả trung gian nên tiết kiệm phép tính hơn Cách 2 vốn làm tam suất riêng cho từng câu.

Đáp số. a) 792° (≈4,4π rad ≈13,82 rad) · b) ≈281,99 m

Sai lầm thường gặp. Nhầm đơn vị đường kính (mm) và quãng đường (m), quên đổi 680 mm = 0,68 m trước khi nhân với số vòng quay.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bánh xe bán kính

R

quay

n

vòng mỗi giây có vận tốc góc

ω = 2 π n

và vận tốc dài

v = R ω

; hai công thức này dùng lại được cho mọi bài chuyển động tròn đều.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

Bài tiếp theo ›Bài 2. Công thức lượng giác

📚 Cùng chương: Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

▶ Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Bài 2. Công thức lượng giác
Bài 3. Hàm số lượng giác
Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản
Bài tập cuối chương I

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Hàm số lượng giác & GTLN – GTNN — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

GTLN – GTNN hàm số lượng giác — Toán 11 (14 dạng)

Sổ tay Toán học THPT 10–12

Đại số & Giải tích 11

Toán 11 Toàn diện — cả năm