Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 2. Công thức lượng giác

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 17 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngI #SGK_Tập1 #trang17–21 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★★Trang 17— Xây dựng công thức cộng cos(a−b), cos(a+b), sin(a−b)

HĐ1 (trang 17). a) Cho

a = \frac{π}{4}

và

b = \frac{π}{6}

, hãy chứng tỏ

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

.
b) Bằng cách viết

a + b = a - (- b)

và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính

cos (a + b)

.
c) Bằng cách viết

sin (a - b) = cos [\frac{π}{2} - (a - b)] = cos [(\frac{π}{2} - a) + b]

và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính

sin (a - b)

Kiến thức cần nhớ

cos(π/2−x)=sin x và sin(π/2−x)=cos x (hai góc phụ nhau).
cos(−x)=cos x, sin(−x)=−sin x (hàm cos chẵn, hàm sin lẻ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề không bắt chứng minh công thức tổng quát ngay mà cho trước hai góc đặc biệt — dấu hiệu của lối xây dựng "kiểm nghiệm rồi suy rộng". Hai câu b), c) đều cho sẵn phép biến đổi góc

a + b = a - (- b)

và

sin (a - b) = cos [(\frac{π}{2} - a) + b]

, nghĩa là ý đồ của bài là suy các công thức còn lại từ MỘT công thức gốc chứ không chứng minh lại từ đầu. Bẫy là quên tính chẵn lẻ khi thay

b

bởi

- b

: phải dùng

cos (- b) = cos b

và

sin (- b) = - sin b

, chính chỗ này sinh ra dấu trừ trong công thức

cos (a + b)

1Cách 1. Biến đổi góc rồi khai triển trực tiếp theo gợi ý đề bài

Định hướng. Từ đẳng thức riêng ở câu a) suy rộng thành công thức tổng quát, rồi lần lượt thay $b$ bởi $- b$ để ra $cos (a + b)$ , thay góc bởi $\frac{π}{2} - a$ để ra $sin (a - b)$ .

cos (a - b) = cos \frac{π}{12}

cos^{2} \frac{π}{12} = \frac{1 + cos \frac{π}{6}}{2} = \frac{1 + \frac{3}{2}}{2} = \frac{2 + 3}{4}

cos \frac{π}{12} = \frac{2 + 3}{2} = \frac{3 + 1}{2 2} = \frac{6 + 2}{4}

cos a cos b + sin a sin b = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4} = \frac{6 + 2}{4}

Hai vế cùng bằng

\frac{6 + 2}{4}

cos (a + b) = cos [a - (- b)] = cos a cos (- b) + sin a sin (- b)

= cos a cos b - sin a sin b

sin (a - b) = cos [(\frac{π}{2} - a) + b] = cos (\frac{π}{2} - a) cos b - sin (\frac{π}{2} - a) sin b

= sin a cos b - cos a sin b

Vậy a) hai vế cùng bằng $\frac{6 + 2}{4}$ , đẳng thức đúng; b) $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ ; c) $sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng góc phụ và công thức nửa góc (co-function)

Định hướng. Dùng $cos 75° = sin 15°$ và $sin 75° = cos 15°$ để tính độc lập từng giá trị rồi đối chiếu với kết quả khai triển ở Cách 1.

sin^{2} 15° = \frac{1 - cos 30°}{2} = \frac{2 - 3}{4}

sin 15° = \frac{6 - 2}{4}

cos 15° = \frac{6 + 2}{4}

(Cách 1) — đúng bằng

\frac{6 + 2}{4}

cos 75° = sin 15° = \frac{6 - 2}{4}

cos a cos b - sin a sin b = \frac{6}{4} - \frac{2}{4} = \frac{6 - 2}{4}

— trùng nhau
c)

sin 15° = \frac{6 - 2}{4}

sin a cos b - cos a sin b = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4}

— trùng nhau

Vậy cả ba kết quả đều khớp với Cách 1.

Nhận xét. Ba đẳng thức ở HĐ1 chính là ba công thức cộng cos(a−b), cos(a+b), sin(a−b) mà sách đóng khung ngay sau hoạt động này.

3Cách 3. Chứng minh tổng quát bằng tích vô hướng hai vectơ đơn vị

Định hướng. Gắn mỗi góc với một vectơ đơn vị trên đường tròn lượng giác: tích vô hướng tính theo toạ độ cho vế phải, còn tính theo góc giữa hai vectơ cho vế trái, hai kết quả phải trùng nhau.

Đặt

u = (cos a; sin a)

và

v = (cos b; sin b)

, khi đó

u = v = 1

Theo toạ độ:

u \cdot v = cos a cos b + sin a sin b

Theo góc giữa hai vectơ:

u \cdot v = u v cos (a - b) = cos (a - b)

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

, thay

a = \frac{π}{4}

b = \frac{π}{6}

cho

cos \frac{π}{12} = \frac{6 + 2}{4}

b) Thay

b

bởi

- b

cos (a + b) = cos a cos (- b) + sin a sin (- b) = cos a cos b - sin a sin b

c) Thay

a

bởi

\frac{π}{2} - a

trong công thức ở câu b):

cos [(\frac{π}{2} - a) + b] = sin a cos b - cos a sin b

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b

Vậy cả ba công thức cộng đều được chứng minh cho MỌI $a$ , $b$ , và bộ số $\frac{π}{4}$ , $\frac{π}{6}$ của câu a) chỉ là một trường hợp riêng.

Nhận xét. Tích vô hướng là cách chứng minh chuẩn của công thức cộng: nó chỉ dùng $u = v = 1$ nên tự động đúng với góc lượng giác bất kì, kể cả góc tù hay góc âm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: tích vô hướng cho ngay công thức gốc

cos (a - b)

đúng với MỌI

a

b

chỉ trong ba dòng, trong khi Cách 1 và Cách 2 chỉ kiểm nghiệm được với bộ số cụ thể.

Đáp số. a) hai vế cùng bằng (√6+√2)/4 · b) cos(a+b)=cos a cos b − sin a sin b · c) sin(a−b)=sin a cos b − cos a sin b

Sai lầm thường gặp. Khi thay b bởi −b, quên đổi dấu sin(−b)=−sin b nên viết nhầm cos(a+b)=cos a cos b+sin a sin b (trùng công thức cos(a−b)).

🚀 Mở rộng. Từ công thức gốc còn suy tiếp được

tan (a \pm b) = \frac{tan a \pm tan b}{1 \mp tan a tan b}

bằng cách lập thương hai công thức vừa dựng, nên cả sáu công thức cộng đều bắt nguồn từ một đẳng thức duy nhất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 18— Chứng minh đẳng thức lượng giác bằng công thức cộng

Luyện tập 1 (trang 18). Chứng minh rằng:
a)

sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})

;
b)

tan (\frac{π}{4} - x) = \frac{1 - tan x}{1 + tan x} (x \neq = \frac{π}{2} + k π, x \neq = \frac{3 π}{4} + k π, k \in Z)

Kiến thức cần nhớ

sin(x−y)=sin x cos y−cos x sin y; tan(x−y)=(tan x−tan y)/(1+tan x tan y).
cos(π/4)=sin(π/4)=√2/2, tan(π/4)=1.

🧠 Phân tích tư duy

Vế phải câu a) là MỘT hàm sin có hệ số

2

còn vế trái là hiệu hai hàm — dấu hiệu của phép "gộp hai sóng cùng tần số thành một sóng", mà hệ số

2 = 1^{2} + (- 1)^{2}

chính là gợi ý. Câu b) có

\frac{π}{4}

mà

tan \frac{π}{4} = 1

, nên số

1

ở tử và mẫu vế phải thực ra là

tan \frac{π}{4}

trá hình. Bẫy là quên điều kiện xác định mà đề đã ghi sẵn: thiếu

1 + tan x \neq = 0

thì phép chia ở vế phải vô nghĩa.

1Cách 1. Khai triển trực tiếp vế phải theo công thức cộng

Định hướng. Khai triển vế chứa góc hiệu bằng công thức cộng rồi rút gọn để trở về đúng vế còn lại.

2 sin (x - \frac{π}{4}) = 2 (sin x cos \frac{π}{4} - cos x sin \frac{π}{4})

= 2 (sin x \cdot \frac{2}{2} - cos x \cdot \frac{2}{2}) = sin x - cos x

tan (\frac{π}{4} - x) = \frac{tan \frac{π}{4} - tan x}{1 + tan \frac{π}{4} tan x} = \frac{1 - tan x}{1 + tan x}

Vậy a) sin x − cos x = √2 sin(x − π/4); b) tan(π/4 − x) = (1 − tan x)/(1 + tan x), đúng như yêu cầu.

2Cách 2. Xác định biên độ - pha (câu a) và quy về sin, cos (câu b)

Định hướng. Câu a) giả sử sin x − cos x = R sin(x+φ) rồi đồng nhất hệ số để tìm R, φ; câu b) đưa tan về tỉ số sin/cos rồi chia cả tử và mẫu cho cos x.

R sin (x + φ) = R cos φ sin x + R sin φ cos x

Đồng nhất:

R cos φ = 1, R sin φ = - 1 \Rightarrow R^{2} = 1^{2} + (- 1)^{2} = 2 \Rightarrow R = 2

cos φ = \frac{1}{2} > 0, sin φ = - \frac{1}{2} \Rightarrow φ = - \frac{π}{4}

tan (\frac{π}{4} - x) = \frac{sin ( \frac{π}{4} - x )}{cos ( \frac{π}{4} - x )} = \frac{\frac{2}{2} ( cos x - sin x )}{\frac{2}{2} ( cos x + sin x )} = \frac{cos x - sin x}{cos x + sin x}

Chia tử và mẫu cho

cos x \neq = 0

= \frac{1 - tan x}{1 + tan x}

Vậy R=√2, φ=−π/4 nên sin x − cos x = √2 sin(x−π/4); và tan(π/4−x) = (1−tan x)/(1+tan x), trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách đồng nhất hệ số ở câu a) sẽ được dùng lại nhiều lần khi viết a sin x + b cos x về dạng R sin(x+φ).

3Cách 3. Biến đổi hiệu thành tích (câu a) và đi ngược từ vế phải (câu b)

Định hướng. Câu a) viết $cos x$ thành $sin (\frac{π}{2} - x)$ để hai số hạng cùng loại rồi dùng công thức hiệu hai sin thành tích; câu b) xuất phát từ vế phải, nhận ra số $1$ chính là $tan \frac{π}{4}$ .

cos x = sin (\frac{π}{2} - x)

sin x - cos x = sin x - sin (\frac{π}{2} - x)

= 2 cos \frac{x + ( \frac{π}{2} - x )}{2} sin \frac{x - ( \frac{π}{2} - x )}{2} = 2 cos \frac{π}{4} sin (x - \frac{π}{4})

= 2 \cdot \frac{2}{2} sin (x - \frac{π}{4}) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

\frac{1 - tan x}{1 + tan x} = \frac{tan \frac{π}{4} - tan x}{1 + tan \frac{π}{4} tan x} = tan (\frac{π}{4} - x)

Vậy a) $sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})$ ; b) $tan (\frac{π}{4} - x) = \frac{1 - tan x}{1 + tan x}$ , hai đẳng thức được chứng minh.

Nhận xét. Câu a) làm theo hướng "tổng thành tích" cho thấy hệ số $2$ sinh ra từ $2 cos \frac{π}{4}$ chứ không phải ngẫu nhiên; đó cũng là chìa khoá cho mọi bài gộp hai dao động cùng biên độ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai triển vế phải theo công thức cộng, mỗi câu một dòng và không phải đoán trước dạng biên độ - pha như Cách 2.

Đáp số. a) sin x − cos x = √2 sin(x − π/4) · b) tan(π/4 − x) = (1 − tan x)/(1 + tan x)

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) quên điều kiện xác định của tan x (cos x ≠ 0) và của tan(π/4−x) trước khi quy đồng, dẫn tới thiếu điều kiện x ≠ π/2+kπ, x ≠ 3π/4+kπ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát

a sin x + b cos x = a^{2} + b^{2} sin (x + φ)

với

cos φ = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}

và

sin φ = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}

, nên mọi tổng hai hàm sin - côsin cùng tần số đều gộp được thành một hàm sin.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Vận dụng 1★★★Trang 18— Đưa tổng a sin t + b cos t về dạng k sin(t+φ)

Vận dụng 1 (trang 18). Giải bài toán trong tình huống mở đầu: Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần

f_{1} (t) = 5 sin t

và phát lại được nốt thuần

f_{2} (t) = 5 cos t

thì âm kết hợp là

f (t) = f_{1} (t) + f_{2} (t)

, trong đó

t

là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng

f (t) = k sin (t + φ)

, tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm

k

và pha ban đầu

φ (- π \leq φ \leq π)

của sóng âm.

Kiến thức cần nhớ

a sin t + b cos t = k sin(t+φ) với k=√(a²+b²), cosφ=a/k, sinφ=b/k.
sin(t+π/4)=sin t cos(π/4)+cos t sin(π/4).

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu chứng tỏ tổng

5 sin t + 5 cos t

vẫn là một sóng hình sin — dấu hiệu của bài "gộp hai dao động cùng tần số", trong đó biên độ mới là

5^{2} + 5^{2}

chứ không phải

5 + 5

. Hai hệ số bằng nhau nên pha ban đầu rơi đúng vào góc đặc biệt

\frac{π}{4}

, đoán trước được kết quả trước khi tính. Bẫy là chọn

φ

chỉ từ một phương trình: phải dùng đồng thời dấu của

cos φ

và

sin φ

mới xác định đúng

φ

trong nửa khoảng đề cho.

1Cách 1. Đồng nhất hệ số với k sin(t+φ)

Định hướng. Khai triển k sin(t+φ) theo công thức cộng rồi đồng nhất hệ số của sin t, cos t với f(t)=5sin t+5cos t.

f (t) = 5 sin t + 5 cos t

k sin (t + φ) = k cos φ sin t + k sin φ cos t

Đồng nhất:

k cos φ = 5, k sin φ = 5

k^{2} = 5^{2} + 5^{2} = 50 \Rightarrow k = 52

(do

k > 0

)

cos φ = \frac{5}{5 2} = \frac{2}{2} > 0, sin φ = \frac{2}{2} > 0 \Rightarrow φ = \frac{π}{4}

Vậy f(t) = 5√2 sin(t+π/4), tức k = 5√2 và φ = π/4.

2Cách 2. Biến đổi qua cos(t−π/4) rồi đưa về dạng sin

Định hướng. Trước hết biến đổi 5sin t+5cos t về dạng k cos(t−π/4) bằng công thức cộng của cos, sau đó dùng cosθ=sin(θ+π/2) để chuyển hẳn về dạng k sin(t+φ) như đề yêu cầu.

52 cos (t - \frac{π}{4}) = 52 (cos t cos \frac{π}{4} + sin t sin \frac{π}{4}) = 5 cos t + 5 sin t

Đúng bằng

f (t)

, nên

f (t) = 52 cos (t - \frac{π}{4})

cos (t - \frac{π}{4}) = sin (t - \frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = sin (t + \frac{π}{4})

f (t) = 52 sin (t + \frac{π}{4})

Vậy k = 5√2, φ = π/4, trùng Cách 1.

Nhận xét. Vì π/4 ∈ [−π;π] nên φ=π/4 chính là pha ban đầu hợp lệ duy nhất theo điều kiện đề bài.

3Cách 3. Đưa về một hàm sin bằng công thức biến đổi tổng thành tích

Định hướng. Viết $cos t$ thành $sin (\frac{π}{2} - t)$ cho hai số hạng cùng loại, rồi dùng công thức tổng hai sin thành tích — biên độ và pha hiện ra ngay mà không phải đồng nhất hệ số.

f (t) = 5 sin t + 5 cos t = 5 [sin t + sin (\frac{π}{2} - t)]

= 5 \cdot 2 sin \frac{t + ( \frac{π}{2} - t )}{2} cos \frac{t - ( \frac{π}{2} - t )}{2} = 10 sin \frac{π}{4} cos (t - \frac{π}{4})

= 10 \cdot \frac{2}{2} cos (t - \frac{π}{4}) = 52 cos (t - \frac{π}{4})

cos (t - \frac{π}{4}) = sin (t - \frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = sin (t + \frac{π}{4})

f (t) = 52 sin (t + \frac{π}{4})

Vậy $f (t) = 52 sin (t + \frac{π}{4})$ , tức biên độ $k = 52$ và pha ban đầu $φ = \frac{π}{4}$ .

Nhận xét. Cách này không cần giả sử trước dạng kết quả: công thức tổng thành tích tự sinh ra biên độ $10 sin \frac{π}{4}$ và pha $- \frac{π}{4}$ của dạng côsin.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đồng nhất hệ số cho ngay

k

và

φ

theo đúng dạng đề yêu cầu, còn Cách 2 phải đi vòng qua dạng côsin rồi mới đổi về dạng sin.

Đáp số. k = 5√2 ; φ = π/4

Sai lầm thường gặp. Quên điều kiện k>0 nên có thể lấy nhầm k=−5√2 với φ khác, hoặc quên giới hạn φ∈[−π;π] nên chọn φ=π/4+2π (không thoả điều kiện).

🚀 Mở rộng. Nếu hai âm có biên độ khác nhau, chẳng hạn

f_{1} (t) = 3 sin t

và

f_{2} (t) = 4 cos t

, thì biên độ kết hợp là

3^{2} + 4^{2} = 5

còn pha ban đầu không còn là góc đặc biệt nữa mà phải tính gần đúng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★★Trang 18— Xây dựng công thức nhân đôi từ công thức cộng

HĐ2 (trang 18). Lấy

b = a

trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính:

sin 2 a

;

cos 2 a

;

tan 2 a

Kiến thức cần nhớ

Công thức cộng: sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b; cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b; tan(a+b)=(tan a+tan b)/(1−tan a tan b).
sin²a+cos²a=1.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ yêu cầu lấy

b = a

trong công thức cộng — dấu hiệu rằng công thức nhân đôi không phải một công thức mới mà là trường hợp riêng, nên không cần nhớ thêm nếu đã thuộc công thức cộng. Riêng

cos 2 a

có ba dạng vì còn dùng được

sin^{2} a + cos^{2} a = 1

để đổi qua lại giữa

sin^{2} a

và

cos^{2} a

; mỗi dạng tiện cho một loại bài khác nhau. Bẫy là dùng

tan 2 a = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}

mà quên điều kiện

tan a

xác định và

tan^{2} a \neq = 1

1Cách 1. Thay trực tiếp b = a vào công thức cộng

Định hướng. Thay b bởi a trong ba công thức cộng của sin, cos, tan, rồi dùng sin²a+cos²a=1 để nêu thêm hai dạng khác của cos2a.

sin 2 a = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a

cos 2 a = cos (a + a) = cos a cos a - sin a sin a = cos^{2} a - sin^{2} a

cos 2 a = (1 - sin^{2} a) - sin^{2} a = 1 - 2 sin^{2} a

cos 2 a = cos^{2} a - (1 - cos^{2} a) = 2 cos^{2} a - 1

tan 2 a = tan (a + a) = \frac{tan a + tan a}{1 - tan a tan a} = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}

Vậy sin2a=2sin a cos a; cos2a=cos²a−sin²a=2cos²a−1=1−2sin²a; tan2a=2tan a/(1−tan²a).

2Cách 2. Kiểm tra lại với a = π/6

Định hướng. Thay a=π/6 vào cả vế trái (tính trực tiếp giá trị lượng giác của 2a=π/3) và vế phải (theo công thức vừa tìm) để đối chiếu.

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

;

2 sin \frac{π}{6} cos \frac{π}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

— khớp

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

;

cos^{2} \frac{π}{6} - sin^{2} \frac{π}{6} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

— khớp

tan \frac{π}{3} = 3

;

\frac{2 tan \frac{π}{6}}{1 - tan ^{2} \frac{π}{6}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 3

— khớp

Vậy cả ba công thức đều đúng với a=π/6, phù hợp Cách 1.

Nhận xét. Ba dạng của cos2a (cos²a−sin²a, 2cos²a−1, 1−2sin²a) dùng thay nhau tuỳ theo đề bài cho biết sin a hay cos a.

3Cách 3. Viết cả ba công thức theo ẩn phụ t = tan a

Định hướng. Đặt $t = tan a$ rồi dùng $1 + tan^{2} a = \frac{1}{cos ^{2} a}$ để hạ mọi thứ về một biến duy nhất; ba công thức nhân đôi hiện ra dưới dạng phân thức theo $t$ , từ đó suy ngược về dạng quen thuộc.

Điều kiện

cos a \neq = 0

, đặt

t = tan a

1 + t^{2} = \frac{1}{cos ^{2} a}

nên

cos^{2} a = \frac{1}{1 + t ^{2}}

sin 2 a = 2 sin a cos a = 2 t cos^{2} a = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}

cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = cos^{2} a (1 - t^{2}) = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}

tan 2 a = \frac{sin 2 a}{cos 2 a} = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}

Thay ngược

2 t cos^{2} a = 2 sin a cos a

và

cos^{2} a (1 - t^{2}) = cos^{2} a - sin^{2} a

cos 2 a = 1 - 2 sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1

(dùng

sin^{2} a + cos^{2} a = 1

)

Vậy $sin 2 a = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ , $cos 2 a = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ , $tan 2 a = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}$ với $t = tan a$ , tương đương ba công thức nhân đôi quen thuộc.

Nhận xét. Bộ công thức theo $t$ này biến mọi biểu thức lượng giác của $2 a$ thành phân thức hữu tỉ của $t$ — đó là mẹo chuẩn để giải các phương trình lượng giác chứa đồng thời $sin 2 a$ và $cos 2 a$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay thẳng

b = a

vào công thức cộng rồi dùng hệ thức cơ bản để nêu ba dạng của

cos 2 a

, ngắn gọn và đầy đủ; Cách 2 chỉ để kiểm tra lại.

Đáp số. sin2a=2sin a cos a ; cos2a=cos²a−sin²a=2cos²a−1=1−2sin²a ; tan2a=2tan a/(1−tan²a)

Sai lầm thường gặp. Nhầm cos2a=2cos a (nhân đôi cả biểu thức thay vì bình phương/khai triển đúng công thức cộng).

🚀 Mở rộng. Lấy tiếp

b = 2 a

trong công thức cộng sẽ ra công thức nhân ba

sin 3 a = 3 sin a - 4 sin^{3} a

và

cos 3 a = 4 cos^{3} a - 3 cos a

, cùng một kĩ thuật nhưng cho bậc cao hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 19— Tính giá trị lượng giác bằng công thức hạ bậc

Luyện tập 2 (trang 19). Không dùng máy tính, tính

cos \frac{π}{8}

Kiến thức cần nhớ

Công thức hạ bậc: cos²a=(1+cos2a)/2, sin²a=(1−cos2a)/2.
π/8 ∈ (0; π/2) nên cos(π/8) > 0.

🧠 Phân tích tư duy

Góc

\frac{π}{8}

không có trong bảng nhưng gấp đôi nó là

\frac{π}{4}

lại có — dấu hiệu kinh điển phải dùng công thức hạ bậc hoặc công thức nhân đôi theo chiều ngược. Hạ bậc chỉ cho

cos^{2} \frac{π}{8}

nên bắt buộc phải lấy căn, và lúc đó vị trí của

\frac{π}{8}

trên đường tròn mới quyết định dấu. Bẫy là ghi cả hai dấu

\pm

: vì

0 < \frac{π}{8} < \frac{π}{2}

nên chỉ nhận giá trị dương.

1Cách 1. Dùng công thức hạ bậc của cos

Định hướng. Áp dụng công thức hạ bậc cos²a=(1+cos2a)/2 với a=π/8, 2a=π/4, rồi lấy căn bậc hai với dấu dương.

cos^{2} \frac{π}{8} = \frac{1 + cos \frac{π}{4}}{2} = \frac{1 + \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 + 2}{4}

\frac{π}{8} \in (0; \frac{π}{2}) \Rightarrow cos \frac{π}{8} > 0

cos \frac{π}{8} = \frac{2 + 2}{4} = \frac{2 + 2}{2}

Vậy cos(π/8) = √(2+√2)/2.

2Cách 2. Hạ bậc qua sin rồi dùng sin²+cos²=1

Định hướng. Tính sin²(π/8) trước bằng công thức hạ bậc của sin, rồi suy cos²(π/8) qua hệ thức Pythagoras thay vì áp dụng trực tiếp công thức hạ bậc của cos.

sin^{2} \frac{π}{8} = \frac{1 - cos \frac{π}{4}}{2} = \frac{1 - \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 - 2}{4}

cos^{2} \frac{π}{8} = 1 - sin^{2} \frac{π}{8} = 1 - \frac{2 - 2}{4} = \frac{2 + 2}{4}

cos \frac{π}{8} = \frac{2 + 2}{2}

(do cos(π/8)>0)

Vậy cos(π/8) = √(2+√2)/2, trùng Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cho cùng một kết quả vì sin²a+cos²a=1 và hai công thức hạ bậc vốn suy ra từ cùng công thức nhân đôi cos2a=1−2sin²a=2cos²a−1.

3Cách 3. Đặt ẩn phụ t = tan(pi/8) rồi giải phương trình bậc hai

Định hướng. Đặt $t = tan \frac{π}{8}$ và dùng công thức nhân đôi của tang với $tan \frac{π}{4} = 1$ : bài toán trở thành một phương trình bậc hai theo $t$ , có $t$ rồi thì $cos \frac{π}{8}$ suy ra từ $1 + t^{2} = \frac{1}{cos ^{2} \frac{π}{8}}$ .

Đặt

t = tan \frac{π}{8}

, ta có

tan \frac{π}{4} = \frac{2 t}{1 - t ^{2}} = 1

2 t = 1 - t^{2}

hay

t^{2} + 2 t - 1 = 0

t = - 1 + 2

hoặc

t = - 1 - 2

0 < \frac{π}{8} < \frac{π}{2}

nên

t > 0

, suy ra

t = 2 - 1

1 + t^{2} = 1 + (2 - 1)^{2} = 4 - 22

cos^{2} \frac{π}{8} = \frac{1}{1 + t ^{2}} = \frac{1}{4 - 2 2} = \frac{2 + 2}{4}

cos \frac{π}{8} = \frac{2 + 2}{2}

(do

cos \frac{π}{8} > 0

)

Vậy $cos \frac{π}{8} = \frac{2 + 2}{2}$ , trùng kết quả hai cách trên; đồng thời có thêm $tan \frac{π}{8} = 2 - 1$ .

Nhận xét. Cách đặt ẩn phụ cho luôn $tan \frac{π}{8} = 2 - 1$ — một giá trị hay gặp mà hai cách hạ bậc không trực tiếp cho ra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hạ bậc thẳng cho

cos^{2} \frac{π}{8}

rồi lấy căn dương, đúng hai dòng; Cách 2 phải đi vòng qua

sin^{2} \frac{π}{8}

nên dài hơn một bước.

Đáp số. cos(π/8) = √(2+√2)/2

Sai lầm thường gặp. Quên biện luận dấu (π/8 thuộc góc phần tư nào) trước khi khai căn nên lấy nhầm cos(π/8) = −√(2+√2)/2.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật ấy cho

sin \frac{π}{8} = \frac{2 - 2}{2}

, rồi lặp lại một lần nữa sẽ tính được

cos \frac{π}{16}

— cứ mỗi lần chia đôi góc lại thêm một tầng căn thức lồng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★★Trang 19— Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng

HĐ3 (trang 19). a) Từ các công thức cộng

cos (a + b)

và

cos (a - b)

, hãy tìm:

cos a cos b

;

sin a sin b

.
b) Từ các công thức cộng

sin (a + b)

và

sin (a - b)

, hãy tìm:

sin a cos b

Kiến thức cần nhớ

cos(a−b)=cos a cos b+sin a sin b; cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b.
sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b; sin(a−b)=sin a cos b−cos a sin b.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu tìm TÍCH

cos a cos b

từ hai công thức cộng đã biết — nhìn vào hai công thức

cos (a - b)

và

cos (a + b)

thấy chúng chỉ khác nhau dấu của số hạng

sin a sin b

, đó là dấu hiệu phải cộng hoặc trừ để khử bớt một tích. Cộng thì mất

sin a sin b

, trừ thì mất

cos a cos b

, nên mỗi phép cho một công thức. Bẫy là quên chia đôi ở cuối, vì cộng hai vế trái cho ra

2 cos a cos b

chứ không phải

cos a cos b

1Cách 1. Cộng và trừ từng cặp công thức cộng

Định hướng. Cộng hai công thức cos(a−b), cos(a+b) sẽ triệt tiêu số hạng sin a sin b; trừ hai công thức đó sẽ triệt tiêu cos a cos b; làm tương tự với hai công thức sin để ra sin a cos b.

cos (a - b) + cos (a + b) = 2 cos a cos b \Rightarrow cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]

cos (a - b) - cos (a + b) = 2 sin a sin b \Rightarrow sin a sin b = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)]

sin (a + b) + sin (a - b) = 2 sin a cos b \Rightarrow sin a cos b = \frac{1}{2} [sin (a - b) + sin (a + b)]

Vậy a) cos a cos b = ½[cos(a−b)+cos(a+b)]; sin a sin b = ½[cos(a−b)−cos(a+b)]; b) sin a cos b = ½[sin(a−b)+sin(a+b)].

2Cách 2. Kiểm tra lại với a = π/3, b = π/6

Định hướng. Thay số cụ thể vào cả vế trái (tích) và vế phải (tổng chia đôi) của mỗi công thức để đối chiếu kết quả Cách 1.

cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

;

\frac{1}{2} [cos \frac{π}{6} + cos \frac{π}{2}] = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + 0] = \frac{3}{4}

— khớp

sin \frac{π}{3} sin \frac{π}{6} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}

;

\frac{1}{2} [cos \frac{π}{6} - cos \frac{π}{2}] = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} - 0] = \frac{3}{4}

— khớp

sin \frac{π}{3} cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

;

\frac{1}{2} [sin \frac{π}{6} + sin \frac{π}{2}] = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + 1] = \frac{3}{4}

— khớp

Vậy cả ba công thức nghiệm đúng với a=π/3, b=π/6, phù hợp Cách 1.

Nhận xét. Công thức cos a sin b (đổi vai trò a, b trong sin a cos b) suy ra tương tự bằng cách hoán đổi a và b: cos a sin b = ½[sin(a+b)−sin(a−b)].

3Cách 3. Đặt ẩn phụ rồi giải hệ hai phương trình bậc nhất

Định hướng. Coi mỗi tích cần tìm là một ẩn: hai công thức cộng trở thành một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, giải hệ là ra cả hai công thức cùng lúc mà không cần nghĩ nên cộng hay nên trừ.

a) Đặt

X = cos a cos b

và

Y = sin a sin b

X + Y = cos (a - b)

;

X - Y = cos (a + b)

X = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]

;

Y = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)]

b) Đặt

Z = sin a cos b

và

T = cos a sin b

Z + T = sin (a + b)

;

Z - T = sin (a - b)

Z = \frac{1}{2} [sin (a + b) + sin (a - b)]

;

T = \frac{1}{2} [sin (a + b) - sin (a - b)]

Vậy $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$ , $sin a sin b = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)]$ , $sin a cos b = \frac{1}{2} [sin (a - b) + sin (a + b)]$ và thêm $cos a sin b = \frac{1}{2} [sin (a + b) - sin (a - b)]$ .

Nhận xét. Nhìn theo hệ phương trình thì bốn công thức tích thành tổng chỉ là nghiệm của hai hệ đối xứng, nên không cần học thuộc mà vẫn dựng lại được ngay trong phòng thi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng rồi trừ từng cặp công thức cộng, mỗi công thức đúng một dòng và nhớ được ngay quy luật "cộng khử sin, trừ khử côsin".

Đáp số. cos a cos b = ½[cos(a−b)+cos(a+b)] ; sin a sin b = ½[cos(a−b)−cos(a+b)] ; sin a cos b = ½[sin(a−b)+sin(a+b)]

Sai lầm thường gặp. Nhầm dấu giữa công thức sin a sin b (có dấu trừ ở vế phải) và cos a cos b (dấu cộng), vì cả hai đều ghép từ cos(a−b) và cos(a+b).

🚀 Mở rộng. Làm thêm phép TRỪ hai công thức sin sẽ được công thức thứ tư

cos a sin b = \frac{1}{2} [sin (a + b) - sin (a - b)]

, đủ bộ bốn công thức biến đổi tích thành tổng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 3★★Trang 19— Tính giá trị biểu thức bằng công thức biến đổi tích thành tổng

Luyện tập 3 (trang 19). Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:

A = cos 75° cos 15°

;

B = sin \frac{5 π}{12} cos \frac{7 π}{12}

Kiến thức cần nhớ

cos a cos b = ½[cos(a−b)+cos(a+b)]; sin a cos b = ½[sin(a−b)+sin(a+b)].
cos75°=sin15°=(√6−√2)/4; cos15°=sin75°=(√6+√2)/4 (Bài tập 1.7).

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai biểu thức đều là TÍCH hai giá trị lượng giác của những góc không đẹp, nhưng tổng và hiệu của hai góc lại đẹp:

75° + 15° = 90°

75° - 15° = 60°

— đó chính là dấu hiệu dùng công thức biến đổi tích thành tổng. Với

B

, hai cung

\frac{5 π}{12}

và

\frac{7 π}{12}

có tổng bằng

π

và hiệu bằng

- \frac{π}{6}

, cũng đều là góc đặc biệt. Bẫy là đảo thứ tự hai góc trong công thức

sin a cos b

: thứ tự

a

b

ở đây KHÔNG hoán đổi được vì

sin

là hàm lẻ.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức biến đổi tích thành tổng

Định hướng. Đưa mỗi tích về nửa tổng hai cung góc đặc biệt (60°, 90° hoặc −π/6, π) rồi tính trực tiếp.

A = cos 75° cos 15° = \frac{1}{2} [cos (75° - 15°) + cos (75° + 15°)] = \frac{1}{2} [cos 60° + cos 90°]

= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + 0] = \frac{1}{4}

B = sin \frac{5 π}{12} cos \frac{7 π}{12} = \frac{1}{2} [sin (\frac{5 π}{12} - \frac{7 π}{12}) + sin (\frac{5 π}{12} + \frac{7 π}{12})]

= \frac{1}{2} [sin (- \frac{π}{6}) + sin π] = \frac{1}{2} [- \frac{1}{2} + 0] = - \frac{1}{4}

Vậy A = 1/4 và B = −1/4.

2Cách 2. Thay trực tiếp các giá trị lượng giác đặc biệt đã biết

Định hướng. Dùng cos75°, cos15° (đã tính ở Bài tập 1.7) và các góc phụ, góc bù để đưa 5π/12, 7π/12 về 75°, 15° rồi nhân trực tiếp.

A = cos 75° cos 15° = \frac{6 - 2}{4} \cdot \frac{6 + 2}{4} = \frac{6 - 2}{16} = \frac{1}{4}

\frac{5 π}{12} = 75°, sin 75° = cos 15° = \frac{6 + 2}{4}

\frac{7 π}{12} = 105°, cos 105° = - sin 15° = - \frac{6 - 2}{4}

B = \frac{6 + 2}{4} \cdot (- \frac{6 - 2}{4}) = - \frac{6 - 2}{16} = - \frac{1}{4}

Vậy A = 1/4, B = −1/4, trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (biến đổi tích thành tổng) nhanh hơn hẳn Cách 2 khi hai góc cộng hoặc trừ ra một giá trị đặc biệt như 60°, 90°.

3Cách 3. Quy về cùng một góc bằng công thức góc phụ, góc bù rồi nhân đôi

Định hướng. Dùng $cos 75° = sin 15°$ và $cos \frac{7 π}{12} = - cos \frac{5 π}{12}$ để hai thừa số trở về CÙNG một góc, khi đó mỗi biểu thức thành dạng $sin α cos α$ và rút gọn ngay bằng công thức nhân đôi.

cos 75° = sin 15°

(hai góc phụ nhau)

A = sin 15° cos 15° = \frac{1}{2} sin 30° = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

\frac{7 π}{12} = π - \frac{5 π}{12}

nên

cos \frac{7 π}{12} = - cos \frac{5 π}{12}

(hai góc bù nhau)

B = - sin \frac{5 π}{12} cos \frac{5 π}{12} = - \frac{1}{2} sin \frac{5 π}{6} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}

Vậy $A = \frac{1}{4}$ và $B = - \frac{1}{4}$ , trùng kết quả hai cách trên.

Nhận xét. Khi hai góc trong một tích phụ nhau hoặc bù nhau, đưa về cùng một góc rồi nhân đôi thường ngắn hơn cả công thức tích thành tổng — chỉ tốn một dòng biến đổi góc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhận ra hai góc phụ nhau hoặc bù nhau rồi dùng công thức nhân đôi, chỉ hai dòng cho mỗi biểu thức và không phải nhớ công thức tích thành tổng.

Đáp số. A = 1/4 ; B = −1/4

Sai lầm thường gặp. Nhầm công thức: dùng sin a cos b = ½[cos(a−b)−cos(a+b)] (công thức của sin a sin b) thay vì ½[sin(a−b)+sin(a+b)].

🚀 Mở rộng. Cũng kiểu ấy, mọi tích dạng

sin α cos α

đều rút gọn thành

\frac{1}{2} sin 2 α

, nên bài tính

cos \frac{π}{7} cos \frac{2 π}{7} cos \frac{4 π}{7}

cũng giải được bằng đúng ý tưởng nhân đôi liên tiếp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ4★★★Trang 20— Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích

HĐ4 (trang 20). Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt

u = a - b

v = a + b

và viết các công thức nhận được.

Kiến thức cần nhớ

u=a−b, v=a+b ⇒ a=(u+v)/2, b=(v−u)/2, và (v−u)/2=−(u−v)/2.
cos là hàm chẵn: cos[−(u−v)/2]=cos[(u−v)/2]; sin là hàm lẻ: sin[−(u−v)/2]=−sin[(u−v)/2].

🧠 Phân tích tư duy

Phép đặt

u = a - b

v = a + b

là phép đổi biến để ĐẢO NGƯỢC chiều của các công thức ở Mục

3

: vế phải vốn là tổng nay thành vế trái, còn tích lại nằm ở vế phải. Dấu hiệu nhớ công thức: nửa tổng

\frac{u + v}{2}

luôn đóng vai trò "góc chính"

a

, còn nửa hiệu

\frac{u - v}{2}

là "góc phụ"

b

. Bẫy nằm ở dấu của công thức

cos u - cos v

: vì

b = \frac{v - u}{2} = - \frac{u - v}{2}

và

sin

là hàm lẻ nên sinh thêm dấu trừ, đây là công thức duy nhất trong bốn công thức mang dấu âm.

1Cách 1. Thế a, b theo u, v vào ba công thức ở Mục 3

Định hướng. Từ u=a−b, v=a+b suy ra a=(u+v)/2, b=(v−u)/2, rồi thế vào cos a cos b, sin a sin b, sin a cos b (và cos a sin b suy ra bằng cách đổi vai trò a, b) để đưa các công thức Mục 3 về đúng dạng tổng theo tích.

a = \frac{u + v}{2}, b = \frac{v - u}{2} = - \frac{u - v}{2}

cos a cos b = \frac{1}{2} (cos u + cos v) \Rightarrow cos u + cos v = 2 cos \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}

sin a sin b = \frac{1}{2} (cos u - cos v) \Rightarrow cos u - cos v = 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{v - u}{2} = - 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}

sin a cos b = \frac{1}{2} (sin u + sin v) \Rightarrow sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}

cos a sin b = \frac{1}{2} (sin v - sin u) \Rightarrow sin u - sin v = 2 cos \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}

Vậy cos u+cos v=2cos((u+v)/2)cos((u−v)/2); cos u−cos v=−2sin((u+v)/2)sin((u−v)/2); sin u+sin v=2sin((u+v)/2)cos((u−v)/2); sin u−sin v=2cos((u+v)/2)sin((u−v)/2).

2Cách 2. Kiểm tra lại với u = π/6, v = π/2

Định hướng. Ứng với a=π/3, b=π/6 (cho u=a−b=π/6, v=a+b=π/2), thay số vào cả bốn công thức để đối chiếu với Cách 1.

cos \frac{π}{6} + cos \frac{π}{2} = \frac{3}{2}

;

2 cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

— khớp

cos \frac{π}{6} - cos \frac{π}{2} = \frac{3}{2}

;

- 2 sin \frac{π}{3} sin \frac{π}{6} = - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Đổi lại vai trò u, v (u=π/2, v=π/6) để đúng thứ tự đề đã đặt:

cos \frac{π}{2} - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}

— khớp

sin \frac{π}{6} + sin \frac{π}{2} = \frac{3}{2}

;

2 sin \frac{π}{3} cos \frac{π}{6} = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

— khớp

Vậy các công thức ở Cách 1 đều nghiệm đúng với số liệu cụ thể.

Nhận xét. Bốn công thức biến đổi tổng thành tích luôn xuất hiện theo cặp cos–cos và sin–sin đối xứng, dễ nhớ nếu nhớ đúng công thức tích thành tổng ở Mục 3.

3Cách 3. Đi ngược: khai triển vế phải bằng công thức cộng

Định hướng. Thay vì đổi biến, xuất phát thẳng từ vế phải: đặt $p = \frac{u + v}{2}$ , $q = \frac{u - v}{2}$ thì $p + q = u$ và $p - q = v$ , nên khai triển tích bằng công thức cộng sẽ trở về đúng tổng ở vế trái.

Đặt

p = \frac{u + v}{2}

và

q = \frac{u - v}{2}

, khi đó

p + q = u

và

p - q = v

2 cos p cos q = cos (p + q) + cos (p - q) = cos u + cos v

- 2 sin p sin q = cos (p + q) - cos (p - q) = cos u - cos v

2 sin p cos q = sin (p + q) + sin (p - q) = sin u + sin v

2 cos p sin q = sin (p + q) - sin (p - q) = sin u - sin v

Vậy $cos u + cos v = 2 cos \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ , $cos u - cos v = - 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ , $sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}$ , $sin u - sin v = 2 cos \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}$ .

Nhận xét. Đi từ vế phải chỉ dùng công thức cộng nên không phải nhớ công thức nào của Mục $3$ ; cũng vì thế mà bốn công thức này dựng lại được ngay cả khi quên sạch bảng công thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi biến một lần rồi đọc thẳng cả bốn công thức, nhanh hơn Cách 2 vốn chỉ kiểm tra được với một bộ số cụ thể.

Đáp số. cos u+cos v=2cos((u+v)/2)cos((u−v)/2) ; cos u−cos v=−2sin((u+v)/2)sin((u−v)/2) ; sin u+sin v=2sin((u+v)/2)cos((u−v)/2) ; sin u−sin v=2cos((u+v)/2)sin((u−v)/2)

Sai lầm thường gặp. Quên dấu trừ trong công thức cos u − cos v = −2sin((u+v)/2)sin((u−v)/2), viết nhầm thành +2sin((u+v)/2)sin((u−v)/2).

🚀 Mở rộng. Đảo ngược tương tự cho công thức

cos a sin b

(công thức thứ tư của Mục

3

) sẽ ra lại đúng công thức

sin u - sin v

, nên bốn công thức tổng thành tích và bốn công thức tích thành tổng là hai mặt của cùng một phép đổi biến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 4★★★Trang 20— Tính tổng các giá trị lượng giác bằng công thức biến đổi tổng thành tích

Luyện tập 4 (trang 20). Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức

B = cos \frac{π}{9} + cos \frac{5 π}{9} + cos \frac{11 π}{9}

Kiến thức cần nhớ

cos u+cos v=2cos((u+v)/2)cos((u−v)/2).
cos(π−x)=−cos x (hai góc bù nhau).

🧠 Phân tích tư duy

Ba cung

\frac{π}{9}

\frac{5 π}{9}

\frac{11 π}{9}

đều có mẫu

9

nên tổng và hiệu từng cặp lại ra những cung đẹp như

\frac{π}{3}

hay

\frac{π}{2}

— dấu hiệu phải ghép cặp rồi dùng công thức tổng thành tích. Trong ba cặp có thể ghép, chỉ cần một cặp cho ra thừa số

cos \frac{π}{2} = 0

hoặc khử được nhau là xong. Bẫy là cố tính từng số hạng: cả ba giá trị đều không tính được chính xác, chỉ tổng của chúng mới đẹp.

1Cách 1. Gộp hai số hạng đầu trước

Định hướng. Gộp cos(π/9)+cos(5π/9) thành tích bằng công thức biến đổi tổng thành tích, rồi gộp tiếp kết quả với cos(11π/9).

cos \frac{π}{9} + cos \frac{5 π}{9} = 2 cos \frac{\frac{π}{9} + \frac{5 π}{9}}{2} cos \frac{\frac{5 π}{9} - \frac{π}{9}}{2} = 2 cos \frac{π}{3} cos \frac{2 π}{9} = 2 \cdot \frac{1}{2} cos \frac{2 π}{9} = cos \frac{2 π}{9}

B = cos \frac{2 π}{9} + cos \frac{11 π}{9} = 2 cos \frac{\frac{2 π}{9} + \frac{11 π}{9}}{2} cos \frac{\frac{11 π}{9} - \frac{2 π}{9}}{2} = 2 cos \frac{13 π}{18} cos \frac{π}{2}

= 2 cos \frac{13 π}{18} \cdot 0 = 0

Vậy B = 0.

2Cách 2. Gộp hai số hạng cuối trước

Định hướng. Gộp cos(5π/9)+cos(11π/9) trước, rồi dùng góc bù π−π/9=8π/9 để rút gọn với cos(π/9) còn lại.

cos \frac{5 π}{9} + cos \frac{11 π}{9} = 2 cos \frac{\frac{5 π}{9} + \frac{11 π}{9}}{2} cos \frac{\frac{11 π}{9} - \frac{5 π}{9}}{2} = 2 cos \frac{8 π}{9} cos \frac{π}{3} = 2 cos \frac{8 π}{9} \cdot \frac{1}{2} = cos \frac{8 π}{9}

cos \frac{8 π}{9} = cos (π - \frac{π}{9}) = - cos \frac{π}{9}

B = cos \frac{π}{9} + (- cos \frac{π}{9}) = 0

Vậy B = 0, trùng Cách 1.

Nhận xét. Dù gộp cặp số hạng nào trước, kết quả cuối cùng vẫn là 0 vì ba góc π/9, 5π/9, 11π/9 đối xứng qua các bội của π/3.

3Cách 3. Quy cả ba cung về góc nhọn rồi mới ghép cặp

Định hướng. Trước hết dùng tính tuần hoàn và công thức góc bù để đưa cả ba cung về góc nhọn cùng mẫu $9$ ; lúc đó hai số hạng mới lộ ra tổng bằng $\frac{2 π}{3}$ nên ghép cặp là ra ngay số hạng còn lại.

\frac{11 π}{9} - 2 π = - \frac{7 π}{9}

nên

cos \frac{11 π}{9} = cos \frac{7 π}{9}

cos \frac{5 π}{9} = cos (π - \frac{4 π}{9}) = - cos \frac{4 π}{9}

cos \frac{7 π}{9} = cos (π - \frac{2 π}{9}) = - cos \frac{2 π}{9}

B = cos \frac{π}{9} - cos \frac{4 π}{9} - cos \frac{2 π}{9}

cos \frac{2 π}{9} + cos \frac{4 π}{9} = 2 cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{9} = cos \frac{π}{9}

B = cos \frac{π}{9} - cos \frac{π}{9} = 0

Vậy $B = 0$ , trùng kết quả hai cách trên.

Nhận xét. Đưa hết về góc nhọn trước giúp thấy rõ bản chất: ba số hạng thực ra là $cos \frac{π}{9}$ , $- cos \frac{4 π}{9}$ , $- cos \frac{2 π}{9}$ và hai số hạng sau vừa vặn cộng lại thành số hạng đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp hai số hạng đầu rồi gộp tiếp, thừa số

cos \frac{π}{2} = 0

xuất hiện ngay ở dòng thứ hai nên kết thúc nhanh nhất.

Đáp số. B = 0

Sai lầm thường gặp. Tính sai trung bình cộng hoặc nửa hiệu hai góc khi lập công thức, ví dụ lấy (5π/9−π/9) thay vì chia đôi kết quả đó.

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu ghép cặp, chứng minh được

cos \frac{2 π}{7} + cos \frac{4 π}{7} + cos \frac{6 π}{7} = - \frac{1}{2}

— tổng côsin của các cung chia đều đường tròn luôn cho kết quả gọn như vậy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Vận dụng 2★★★Trang 20— Ứng dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho sóng âm bàn phím

Vận dụng 2 (trang 20). Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp

f_{1}

và tần số cao

f_{2}

liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm

y = sin (2 π f_{1} t) + sin (2 π f_{2} t)

, ở đó

t

là biến thời gian (tính bằng giây).
a) Tìm hàm số mô hình hoá âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

Kiến thức cần nhớ

Phím 4 ứng với tần số thấp f1=770 Hz (hàng) và tần số cao f2=1209 Hz (cột) theo Hình 1.13.
sin u+sin v=2sin((u+v)/2)cos((u−v)/2).

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình

y = sin (2 π f_{1} t) + sin (2 π f_{2} t)

là TỔNG hai sóng hình sin khác tần số, còn câu b) đòi dạng TÍCH — dấu hiệu bắt buộc dùng công thức

sin u + sin v

thành tích. Khi đó nửa tổng hai tần số cho sóng mang, còn nửa hiệu cho sóng bao biên độ; hai số này quyết định toàn bộ hình dạng âm thanh. Bẫy là đọc nhầm hàng và cột ở Hình 1.13: phím

4

nằm ở hàng

770

Hz và cột

1209

Hz, đổi chỗ hai số là ra âm của phím khác hẳn.

1Cách 1. Đọc tần số từ hình rồi áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Định hướng. Xác định f1, f2 của phím 4 theo Hình 1.13, lập hàm y, rồi dùng công thức sin u+sin v=2sin((u+v)/2)cos((u−v)/2) với u=2πf1t, v=2πf2t.

f_{1} = 770, f_{2} = 1209

(Hz)

y = sin (1540 π t) + sin (2418 π t)

u = 1540 π t, v = 2418 π t

\frac{u + v}{2} = 1979 π t, \frac{v - u}{2} = 439 π t

y = 2 sin (1979 π t) cos (439 π t)

Vậy a) y = sin(1540πt) + sin(2418πt); b) y = 2sin(1979πt)cos(439πt).

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách khai triển ngược tích về tổng

Định hướng. Dùng công thức biến đổi tích thành tổng 2sin A cos B=sin(A+B)+sin(A−B) để khai triển ngược kết quả câu b) và đối chiếu với hàm y ở câu a).

2 sin (1979 π t) cos (439 π t) = sin (1979 π t + 439 π t) + sin (1979 π t - 439 π t)

= sin (2418 π t) + sin (1540 π t)

Vậy kết quả trùng đúng hàm y=sin(1540πt)+sin(2418πt) ở câu a), khẳng định phép biến đổi ở Cách 1 đúng.

Nhận xét. Dạng tích 2sin(1979πt)cos(439πt) cho thấy âm thanh phím 4 dao động với tần số trung bình 1979π (rad/s) và biên độ biến thiên chậm theo 439πt — đây chính là hiện tượng phách trong Vật lí.

3Cách 3. Làm việc trực tiếp trên tần số: sóng mang và sóng bao

Định hướng. Thay vì biến đổi biểu thức chứa $t$ , tính ngay hai tần số đặc trưng của âm kết hợp: tần số trung bình $\frac{f _{1} + f _{2}}{2}$ của sóng mang và nửa hiệu $\frac{f _{2} - f _{1}}{2}$ của sóng bao, rồi viết thẳng dạng tích.

a) Phím

4

ứng với

f_{1} = 770

Hz (hàng) và

f_{2} = 1209

Hz (cột)

y = sin (2 π \cdot 770 t) + sin (2 π \cdot 1209 t) = sin (1540 π t) + sin (2418 π t)

b) Tần số sóng mang:

\frac{f _{1} + f _{2}}{2} = \frac{770 + 1209}{2} = 989, 5

(Hz)
Tần số sóng bao:

\frac{f _{2} - f _{1}}{2} = \frac{1209 - 770}{2} = 219, 5

(Hz)

2 π \cdot 989, 5 = 1979 π

;

2 π \cdot 219, 5 = 439 π

y = 2 sin (1979 π t) cos (439 π t)

Vậy a) $y = sin (1540 π t) + sin (2418 π t)$ ; b) $y = 2 sin (1979 π t) cos (439 π t)$ .

Nhận xét. Nhìn theo tần số thì kết quả đọc được ngay từ hai số $770$ và $1209$ : tai người nghe thấy một âm cao $989, 5$ Hz có độ to "rung" $219, 5$ lần mỗi giây — đúng hiện tượng phách.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc đúng hai tần số rồi áp thẳng công thức tổng thành tích, ba dòng là xong; Cách 2 chỉ là bước kiểm tra lại.

Đáp số. a) y = sin(1540πt) + sin(2418πt) · b) y = 2sin(1979πt)cos(439πt)

Sai lầm thường gặp. Đọc nhầm hàng/cột trong Hình 1.13 nên lấy f1, f2 của phím 4 sai thành tần số của một phím khác (ví dụ phím 1 hoặc phím 5).

🚀 Mở rộng. Cùng công thức ấy, âm của phím

5

(hàng

770

Hz, cột

1336

Hz) viết được thành

y = 2 sin (2106 π t) cos (566 π t)

— mỗi phím cho một cặp "sóng mang - sóng bao" riêng, đó chính là cách máy nhận ra phím nào vừa được nhấn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 1.7★Trang 21— Tính giá trị lượng giác của góc 15° bằng công thức cộng

Bài 1.7 (trang 21). Sử dụng

15° = 45° - 30°

, hãy tính các giá trị lượng giác của góc

15°

Kiến thức cần nhớ

Công thức cộng cho sin, cos, tan của hiệu hai góc.
cos15°=45°−30°, các giá trị lượng giác đặc biệt của 45° và 30° đã biết.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn phép tách

15° = 45° - 30°

— dấu hiệu rõ ràng của công thức cộng cho hiệu hai góc đặc biệt. Chỉ cần thuộc bảng giá trị của

45°

và

30°

là bốn giá trị của

15°

đều tính được, không cần máy tính. Bẫy là nhớ nhầm dấu trong công thức

cos (a - b)

: công thức của côsin đổi dấu so với của sin, tức

cos (a - b)

mang dấu CỘNG còn

sin (a - b)

mang dấu TRỪ.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức cộng cho sin, cos, tan

Định hướng. Thay a=45°, b=30° vào các công thức cộng sin(a−b), cos(a−b), tan(a−b), rồi tính cot15°=cos15°/sin15°.

sin 15° = sin 45° cos 30° - cos 45° sin 30° = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4}

cos 15° = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}

tan 15° = \frac{tan 45° - tan 30°}{1 + tan 45° tan 30°} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{2} = 2 - 3

cot 15° = \frac{1}{tan 15°} = \frac{1}{2 - 3} = 2 + 3

Vậy sin15°=(√6−√2)/4; cos15°=(√6+√2)/4; tan15°=2−√3; cot15°=2+√3.

2Cách 2. Suy tan15°, cot15° từ tỉ số sin15°/cos15°

Định hướng. Sau khi có sin15°, cos15° từ Cách 1, tính tan15°=sin15°/cos15° và cot15°=cos15°/sin15° bằng cách nhân liên hợp, không dùng công thức cộng của tan.

tan 15° = \frac{sin 15°}{cos 15°} = \frac{6 - 2}{6 + 2} = \frac{( 6 - 2 ) ^{2}}{6 - 2} = \frac{8 - 4 3}{4} = 2 - 3

cot 15° = \frac{cos 15°}{sin 15°} = \frac{6 + 2}{6 - 2} = \frac{( 6 + 2 ) ^{2}}{6 - 2} = \frac{8 + 4 3}{4} = 2 + 3

Vậy tan15°=2−√3, cot15°=2+√3, trùng Cách 1.

Nhận xét. tan15° và cot15° là hai số nghịch đảo của nhau và cũng thoả (2−√3)(2+√3)=4−3=1, khớp với kết quả.

3Cách 3. Hạ bậc từ góc 30 độ bằng công thức nhân đôi

Định hướng. Vì $30°$ gấp đôi $15°$ nên dùng công thức hạ bậc $sin^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2}$ và $cos^{2} α = \frac{1 + cos 2 α}{2}$ với $α = 15°$ , rồi lấy căn dương vì $15°$ là góc nhọn.

sin^{2} 15° = \frac{1 - cos 30°}{2} = \frac{1 - \frac{3}{2}}{2} = \frac{2 - 3}{4}

sin 15° = \frac{2 - 3}{2} = \frac{6 - 2}{4}

(do

sin 15° > 0

)

cos^{2} 15° = \frac{1 + cos 30°}{2} = \frac{2 + 3}{4}

cos 15° = \frac{2 + 3}{2} = \frac{6 + 2}{4}

(do

cos 15° > 0

)

tan 15° = \frac{sin 30°}{1 + cos 30°} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3

cot 15° = \frac{1}{tan 15°} = 2 + 3

Vậy $sin 15° = \frac{6 - 2}{4}$ , $cos 15° = \frac{6 + 2}{4}$ , $tan 15° = 2 - 3$ , $cot 15° = 2 + 3$ , trùng kết quả hai cách trên.

Nhận xét. Công thức $tan \frac{α}{2} = \frac{sin α}{1 + cos α}$ cho $tan 15°$ chỉ trong một dòng, khỏi phải trục căn thức — nên nhớ thêm công thức này bên cạnh bộ hạ bậc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dùng thẳng công thức cộng cho cả ba giá trị, nhanh và không phải trục căn thức ở mẫu như Cách 2.

Đáp số. sin15° = (√6−√2)/4 ; cos15° = (√6+√2)/4 ; tan15° = 2−√3 ; cot15° = 2+√3

Sai lầm thường gặp. Nhân sai (√3−1)²=3−2√3+1=4−2√3 rồi quên chia 2, dẫn tới tan15°=4−2√3 (sai) thay vì 2−√3.

🚀 Mở rộng. Đổi sang rađian thì

15° = \frac{π}{12}

, nên đồng thời có luôn

sin \frac{π}{12} = \frac{6 - 2}{4}

; tách

75° = 45° + 30°

theo đúng cách ấy sẽ cho bộ giá trị của

75°

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 1.8★★Trang 21— Tính giá trị lượng giác của tổng/hiệu góc khi biết một tỉ số lượng giác

Bài 1.8 (trang 21). Tính:
a)

cos (a + \frac{π}{6})

, biết

sin a = \frac{1}{3}

và

\frac{π}{2} < a < π

;
b)

tan (a - \frac{π}{4})

, biết

cos a = - \frac{1}{3}

và

π < a < \frac{3 π}{2}

Kiến thức cần nhớ

sin²a+cos²a=1, dấu của sin a, cos a phụ thuộc góc phần tư chứa a.
Công thức cộng cos(a+b) và tan(a−b).

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi câu cho một giá trị lượng giác kèm khoảng chứa

a

rồi hỏi giá trị lượng giác của

a

cộng thêm một góc đặc biệt — dấu hiệu ghép hai dạng: tìm giá trị còn thiếu bằng hệ thức cơ bản, rồi áp công thức cộng. Khoảng chứa

a

chỉ phục vụ việc chọn dấu, nên đọc nó TRƯỚC khi lấy căn. Bẫy ở câu b) là đi tính

tan a

rồi mới dùng công thức cộng: khi

cos a

là số lẻ thì

tan a

rất xấu, trong khi chỉ cần

sin a

và

cos a

là đủ.

1Cách 1. Tìm cos a (hoặc sin a, tan a) qua sin²a+cos²a=1 rồi thay vào công thức cộng

Định hướng. Xác định dấu của giá trị lượng giác còn thiếu theo góc phần tư chứa a, rồi thay trực tiếp vào công thức cộng tương ứng.

\frac{π}{2} < a < π \Rightarrow cos a < 0

cos a = - 1 - sin^{2} a = - 1 - \frac{1}{3} = - \frac{6}{3}

cos (a + \frac{π}{6}) = cos a cos \frac{π}{6} - sin a sin \frac{π}{6} = - \frac{6}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}

= - \frac{2}{2} - \frac{3}{6} = - \frac{3 2 + 3}{6}

π < a < \frac{3 π}{2} \Rightarrow sin a < 0

sin a = - 1 - cos^{2} a = - 1 - \frac{1}{9} = - \frac{2 2}{3}

tan a = \frac{sin a}{cos a} = \frac{- \frac{2 2}{3}}{- \frac{1}{3}} = 22

tan (a - \frac{π}{4}) = \frac{tan a - 1}{1 + tan a} = \frac{2 2 - 1}{1 + 2 2} = \frac{( 2 2 - 1 ) ^{2}}{7} = \frac{9 - 4 2}{7}

Vậy a) cos(a+π/6) = −(3√2+√3)/6; b) tan(a−π/4) = (9−4√2)/7.

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng giá trị gần đúng

Định hướng. Đổi các số đo về gần đúng theo độ, tính trực tiếp bằng máy tính giá trị hai vế để đối chiếu với kết quả chính xác ở Cách 1.

sin a = \frac{1}{3} \approx 0, 5774, a \in (\frac{π}{2}; π) \Rightarrow a \approx 144, 74°

cos (a + 30°) \approx cos 174, 74° \approx - 0, 9954

- \frac{3 2 + 3}{6} \approx - \frac{4 , 2426 + 1 , 7321}{6} \approx - 0, 9958

— xấp xỉ khớp
b)

cos a = - \frac{1}{3}, a \in (π; \frac{3 π}{2}) \Rightarrow a \approx 250, 53°

tan (a - 45°) \approx tan 205, 53° \approx 0, 4776

\frac{9 - 4 2}{7} \approx \frac{9 - 5 , 657}{7} \approx 0, 4776

— khớp

Vậy hai kết quả gần đúng đều khớp với Cách 1.

Nhận xét. Bước tính gần đúng chỉ dùng để kiểm tra lại; đáp số chính thức vẫn phải là giá trị chính xác dạng căn thức ở Cách 1.

3Cách 3. Dùng phép quay điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

Định hướng. Điểm biểu diễn của $a$ có toạ độ $(cos a; sin a)$ ; cộng thêm một góc chính là QUAY điểm đó quanh $O$ , nên chỉ cần dùng công thức toạ độ của phép quay là có ngay giá trị lượng giác của góc mới.

\frac{π}{2} < a < π

nên

cos a < 0

cos a = - 1 - \frac{1}{3} = - \frac{6}{3}

Quay điểm

M (cos a; sin a)

một góc

\frac{π}{6}

được điểm biểu diễn của

a + \frac{π}{6}

cos (a + \frac{π}{6}) = cos a cos \frac{π}{6} - sin a sin \frac{π}{6} = - \frac{6}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}

= - \frac{2}{2} - \frac{3}{6} = - \frac{3 2 + 3}{6}

π < a < \frac{3 π}{2}

nên

sin a < 0

sin a = - 1 - \frac{1}{9} = - \frac{2 2}{3}

Quay điểm

M

một góc

- \frac{π}{4}

cho toạ độ

(\frac{2}{2} (cos a + sin a); \frac{2}{2} (sin a - cos a))

tan (a - \frac{π}{4}) = \frac{sin a - cos a}{sin a + cos a} = \frac{- \frac{2 2}{3} + \frac{1}{3}}{- \frac{2 2}{3} - \frac{1}{3}} = \frac{2 2 - 1}{2 2 + 1}

= \frac{( 2 2 - 1 ) ^{2}}{8 - 1} = \frac{9 - 4 2}{7}

Vậy a) $cos (a + \frac{π}{6}) = - \frac{3 2 + 3}{6}$ ; b) $tan (a - \frac{π}{4}) = \frac{9 - 4 2}{7}$ .

Nhận xét. Nhìn công thức cộng như một phép quay giúp nhớ đúng dấu: hoành độ mới luôn là $x cos θ - y sin θ$ , và ở câu b) hệ số $\frac{2}{2}$ tự triệt tiêu khi lập thương nên khỏi phải tính $tan a$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xác định dấu rồi thay ngay vào công thức cộng tương ứng, cho kết quả CHÍNH XÁC; Cách 2 chỉ cho giá trị gần đúng nên chỉ dùng để kiểm tra.

Đáp số. a) cos(a+π/6) = −(3√2+√3)/6 · b) tan(a−π/4) = (9−4√2)/7

Sai lầm thường gặp. Không xét khoảng của a nên lấy nhầm dấu dương cho cos a (câu a) hoặc sin a (câu b), dẫn tới kết quả sai dấu.

🚀 Mở rộng. Với mọi góc

α

cố định,

tan (a - α)

luôn viết được thành

\frac{sin a cos α - cos a sin α}{cos a cos α + sin a sin α}

, nên bài dạng này không bao giờ cần tính

tan a

ở bước trung gian.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 1.9★★Trang 21— Tính giá trị lượng giác góc nhân đôi bằng công thức nhân đôi

Bài 1.9 (trang 21). Tính

sin 2 a

cos 2 a

tan 2 a

, biết:
a)

sin a = \frac{1}{3}

và

\frac{π}{2} < a < π

;
b)

sin a + cos a = \frac{1}{2}

và

\frac{π}{2} < a < \frac{3 π}{4}

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân đôi sin2a=2sin a cos a, cos2a=2cos²a−1=1−2sin²a, tan2a=2tan a/(1−tan²a).
(sin a+cos a)²=1+sin2a; (cos a−sin a)²=1−sin2a.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) cho thẳng

sin a

nên chỉ cần tìm

cos a

là đủ dữ kiện cho cả ba công thức nhân đôi. Câu b) cho TỔNG

sin a + cos a

— dấu hiệu phải bình phương, vì

(sin a + cos a)^{2} = 1 + sin 2 a

biến ngay dữ kiện thành

sin 2 a

mà không cần biết riêng từng giá trị. Bẫy ở câu b) là lấy

cos a - sin a

với dấu dương: khoảng

\frac{π}{2} < a < \frac{3 π}{4}

cho

sin a > cos a

nên hiệu đó phải âm.

1Cách 1. Dùng công thức nhân đôi trực tiếp (câu a) và bình phương tổng (câu b)

Định hướng. Câu a) tìm cos a rồi thay vào công thức nhân đôi; câu b) bình phương sin a+cos a để ra sin2a, rồi xét dấu của cos a−sin a theo khoảng của a để ra cos2a.

\frac{π}{2} < a < π \Rightarrow cos a = - 1 - \frac{1}{9} = - \frac{2 2}{3}

sin 2 a = 2 sin a cos a = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 2}{3}) = - \frac{4 2}{9}

cos 2 a = 1 - 2 sin^{2} a = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}

tan 2 a = \frac{sin 2 a}{cos 2 a} = - \frac{4 2}{7}

(sin a + cos a)^{2} = 1 + sin 2 a \Rightarrow sin 2 a = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}

(cos a - sin a)^{2} = 1 - sin 2 a = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}

Với

\frac{π}{2} < a < \frac{3 π}{4}

thì

sin a > cos a

nên

cos a - sin a = - \frac{7}{2}

cos 2 a = (cos a - sin a) (cos a + sin a) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{7}{4}

tan 2 a = \frac{sin 2 a}{cos 2 a} = \frac{- 3/4}{- 7 /4} = \frac{3}{7} = \frac{3 7}{7}

Vậy a) sin2a=−4√2/9, cos2a=7/9, tan2a=−4√2/7; b) sin2a=−3/4, cos2a=−√7/4, tan2a=3√7/7.

2Cách 2. Dùng dạng khác của công thức nhân đôi (câu a) và giải hệ tìm sin a, cos a (câu b)

Định hướng. Câu a) kiểm tra lại bằng dạng cos2a=2cos²a−1 và công thức tan2a=2tan a/(1−tan²a); câu b) tìm riêng sin a, cos a bằng cách giải hệ sin a+cos a=1/2 và sin²a+cos²a=1.

cos 2 a = 2 cos^{2} a - 1 = 2 \cdot \frac{8}{9} - 1 = \frac{7}{9}

— khớp Cách 1

tan a = \frac{sin a}{cos a} = - \frac{2}{4}

tan 2 a = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a} = \frac{- \frac{2}{2}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{- \frac{2}{2}}{\frac{7}{8}} = - \frac{4 2}{7}

— khớp
b)

sin a cos a = \frac{( sin a + cos a ) ^{2} - 1}{2} = \frac{\frac{1}{4} - 1}{2} = - \frac{3}{8}

sin a, cos a là nghiệm của

x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{8} = 0

, tức

8 x^{2} - 4 x - 3 = 0

x = \frac{4 \pm 16 + 96}{16} = \frac{1 \pm 7}{4}

sin a > cos a

sin a = \frac{1 + 7}{4}, cos a = \frac{1 - 7}{4}

sin 2 a = 2 sin a cos a = 2 \cdot (- \frac{3}{8}) = - \frac{3}{4}

— khớp Cách 1

Vậy hai cách cho cùng đáp số như Cách 1.

Nhận xét. Cách giải hệ ở câu b) còn cho biết chính xác sin a, cos a chứ không chỉ sin2a, cos2a.

3Cách 3. Quy về t = tan a (câu a) và về cặp tổng - hiệu (câu b)

Định hướng. Câu a) dùng bộ công thức nhân đôi viết theo $t = tan a$ nên chỉ cần một đại lượng duy nhất; câu b) đặt $S = sin a + cos a$ , $D = cos a - sin a$ rồi khai thác hai đồng nhất thức $sin 2 a = S^{2} - 1$ và $cos 2 a = S D$ .

\frac{π}{2} < a < π

nên

cos a = - 1 - \frac{1}{9} = - \frac{2 2}{3}

t = tan a = \frac{\frac{1}{3}}{- \frac{2 2}{3}} = - \frac{2}{4}

;

t^{2} = \frac{1}{8}

sin 2 a = \frac{2 t}{1 + t ^{2}} = \frac{- \frac{2}{2}}{\frac{9}{8}} = - \frac{4 2}{9}

cos 2 a = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{9}{8}} = \frac{7}{9}

;

tan 2 a = \frac{2 t}{1 - t ^{2}} = \frac{- \frac{2}{2}}{\frac{7}{8}} = - \frac{4 2}{7}

b) Đặt

S = sin a + cos a = \frac{1}{2}

và

D = cos a - sin a

S^{2} + D^{2} = 2

nên

D^{2} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}

\frac{π}{2} < a < \frac{3 π}{4}

nên

cos a < sin a

, suy ra

D = - \frac{7}{2}

sin 2 a = S^{2} - 1 = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}

cos 2 a = (cos a - sin a) (cos a + sin a) = S D = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{7}{2}) = - \frac{7}{4}

tan 2 a = \frac{sin 2 a}{cos 2 a} = \frac{- \frac{3}{4}}{- \frac{7}{4}} = \frac{3 7}{7}

Vậy a) $sin 2 a = - \frac{4 2}{9}$ , $cos 2 a = \frac{7}{9}$ , $tan 2 a = - \frac{4 2}{7}$ ; b) $sin 2 a = - \frac{3}{4}$ , $cos 2 a = - \frac{7}{4}$ , $tan 2 a = \frac{3 7}{7}$ .

Nhận xét. Cặp $S$ , $D$ rất đáng nhớ: $S^{2} + D^{2} = 2$ , $sin 2 a = S^{2} - 1$ và $cos 2 a = S D$ — ba đẳng thức này giải gọn mọi bài cho tổng hoặc hiệu của $sin a$ và $cos a$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu a) thay thẳng vào công thức nhân đôi, câu b) bình phương tổng là ra ngay

sin 2 a

, ngắn hơn hẳn Cách 2 phải giải phương trình bậc hai tìm riêng

sin a

cos a

Đáp số. a) sin2a=−4√2/9, cos2a=7/9, tan2a=−4√2/7 · b) sin2a=−3/4, cos2a=−√7/4, tan2a=3√7/7

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), quên xét dấu của cos a−sin a theo khoảng đã cho, có thể lấy nhầm cos a−sin a=+√7/2 dẫn tới cos2a sai dấu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu biết

sin a + cos a = m

thì luôn có

sin 2 a = m^{2} - 1

và

cos 2 a = \pm m 2 - m^{2}

, nên mọi bài cho tổng (hoặc hiệu)

sin a

và

cos a

đều giải được mà không cần tách riêng hai giá trị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 1.10★★★Trang 21— Rút gọn biểu thức lượng giác bằng công thức cộng và công thức nhân đôi

Bài 1.10 (trang 21). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

A = \frac{sin \frac{π}{15} cos \frac{π}{10} + sin \frac{π}{10} cos \frac{π}{15}}{cos \frac{2 π}{15} cos \frac{π}{5} - sin \frac{2 π}{15} sin \frac{π}{5}}

;
b)

B = sin \frac{π}{32} cos \frac{π}{32} cos \frac{π}{16} cos \frac{π}{8}

Kiến thức cần nhớ

sin X cos Y+cos X sin Y=sin(X+Y); cos X cos Y−sin X sin Y=cos(X+Y).
sin a cos a=½sin2a; công thức nhân đôi có thể áp dụng liên tiếp.

🧠 Phân tích tư duy

Tử của

A

có dạng

sin X cos Y + sin Y cos X

còn mẫu có dạng

cos X^{'} cos Y^{'} - sin X^{'} sin Y^{'}

— đúng khuôn của

sin (X + Y)

và

cos (X^{'} + Y^{'})

, nên phải nhìn ra TỔNG hai cung chứ đừng tính từng giá trị. Biểu thức

B

có bốn thừa số với các cung gấp đôi liên tiếp

\frac{π}{32}

\frac{π}{16}

\frac{π}{8}

— dấu hiệu dùng

sin α cos α = \frac{1}{2} sin 2 α

nhiều lần. Bẫy là quy đồng hoặc bấm máy từng thừa số: các cung ấy đều không có trong bảng, chỉ khi gộp lại mới ra góc đẹp.

1Cách 1. Nhận diện công thức cộng và gấp đôi góc liên tiếp

Định hướng. Tử và mẫu của A đúng dạng khai triển của sin(X+Y) và cos(X+Y); còn B là tích một hàm sin với ba hàm côsin có góc gấp đôi liên tiếp nên áp dụng liên tiếp sin a cos a=½sin2a.

a) Tử

= sin (\frac{π}{15} + \frac{π}{10}) = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

Mẫu

= cos (\frac{2 π}{15} + \frac{π}{5}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

A = \frac{1/2}{1/2} = 1

sin \frac{π}{32} cos \frac{π}{32} = \frac{1}{2} sin \frac{π}{16}

B = \frac{1}{2} sin \frac{π}{16} cos \frac{π}{16} cos \frac{π}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} sin \frac{π}{8} cos \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} sin \frac{π}{4} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{16}

Vậy A = 1 và B = √2/16.

2Cách 2. Liên hệ tử-mẫu qua góc nhân đôi (câu a) và công thức tích cosin liên tiếp gấp đôi góc (câu b)

Định hướng. Câu a) nhận ra góc ở mẫu (π/3) đúng bằng hai lần góc ở tử (π/6) nên dùng công thức nhân đôi cos2θ=1−2sin²θ để suy mẫu từ tử; câu b) dùng công thức tích $cos θ cos 2 θ cos 4 θ = \frac{sin 8 θ}{8 sin θ}$ với $θ = π /32$ .

a) Đặt

N = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

; mẫu

= cos \frac{π}{3} = cos (2 \cdot \frac{π}{6}) = 1 - 2 N^{2} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

A = \frac{N}{1 - 2 N ^{2}} = \frac{1/2}{1/2} = 1

— khớp Cách 1
b)

cos \frac{π}{32} cos \frac{π}{16} cos \frac{π}{8} = \frac{sin ( 8 \cdot \frac{π}{32} )}{8 sin \frac{π}{32}} = \frac{sin \frac{π}{4}}{8 sin \frac{π}{32}}

B = sin \frac{π}{32} \cdot \frac{sin \frac{π}{4}}{8 sin \frac{π}{32}} = \frac{sin \frac{π}{4}}{8} = \frac{2 /2}{8} = \frac{2}{16}

Vậy A = 1, B = √2/16, trùng Cách 1.

Nhận xét. Công thức tích các côsin có góc gấp đôi liên tiếp ở Cách 2 (câu b) rất hữu ích khi số thừa số côsin lớn, tránh phải gấp đôi từng bước như Cách 1.

3Cách 3. Biến đổi tích thành tổng (câu a) và nhân thêm hệ số 8 (câu b)

Định hướng. Câu a) khai triển từng tích thành tổng, các số hạng thừa sẽ tự khử nhau và chỉ còn giá trị ở cung tổng; câu b) nhân cả biểu thức với $8$ rồi gộp một lượt bằng công thức nhân đôi, tránh phải theo dõi hệ số $\frac{1}{2}$ qua từng bước.

a) Tử

= \frac{1}{2} [sin (\frac{π}{15} - \frac{π}{10}) + sin \frac{π}{6}] + \frac{1}{2} [sin (\frac{π}{10} - \frac{π}{15}) + sin \frac{π}{6}]

Hai số hạng đầu đối nhau nên tử

= sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

Mẫu

= \frac{1}{2} [cos (- \frac{π}{15}) + cos \frac{π}{3}] - \frac{1}{2} [cos (- \frac{π}{15}) - cos \frac{π}{3}] = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

A = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1

8 B = 8 sin \frac{π}{32} cos \frac{π}{32} cos \frac{π}{16} cos \frac{π}{8} = 4 sin \frac{π}{16} cos \frac{π}{16} cos \frac{π}{8}

= 2 sin \frac{π}{8} cos \frac{π}{8} = sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

B = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{16}

Vậy $A = 1$ và $B = \frac{2}{16}$ , trùng kết quả hai cách trên.

Nhận xét. Nhân sẵn hệ số $8$ ở câu b) làm mọi hệ số $\frac{1}{2}$ biến mất trong lúc biến đổi, nên chuỗi nhân đôi chạy liền một mạch tới $sin \frac{π}{4}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận diện ngay khuôn công thức cộng ở câu a) và nhân đôi liên tiếp ở câu b), mỗi câu ba dòng; Cách 2 phải nhớ thêm công thức tích các côsin gấp đôi góc.

Đáp số. A = 1 ; B = √2/16

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhân thiếu hệ số ½ ở một trong ba lần áp dụng công thức sin a cos a=½sin2a, dẫn tới kết quả gấp đôi hoặc gấp bốn giá trị đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát

cos α cos 2 α cos 4 α = \frac{sin 8 α}{8 sin α}

, và mở rộng cho

n

thừa số thì

cos α cos 2 α \dots cos 2^{n - 1} α = \frac{sin 2 ^{n} α}{2 ^{n} sin α}

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 1.11★★★Trang 21— Chứng minh đẳng thức lượng giác bằng công thức cộng hoặc công thức tích thành tổng

Bài 1.11 (trang 21). Chứng minh đẳng thức sau:

sin (a + b) sin (a - b) = sin^{2} a - sin^{2} b = cos^{2} b - cos^{2} a

Kiến thức cần nhớ

sin(a+b)sin(a−b) là tích của tổng và hiệu nên khai triển sẽ xuất hiện dạng bình phương.
sin²x+cos²x=1 dùng để chuyển giữa sin²a−sin²b và cos²b−cos²a.

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái là tích của một TỔNG và một HIỆU cùng hai góc

a

b

— dấu hiệu của hằng đẳng thức

(X + Y) (X - Y) = X^{2} - Y^{2}

sau khi khai triển. Vế phải lại chỉ chứa bình phương của một hàm duy nhất, nên hướng đi là làm mất hết các tích chéo. Bẫy là dừng ở

sin^{2} a cos^{2} b - cos^{2} a sin^{2} b

và tưởng đã xong: phải thay tiếp

cos^{2} = 1 - sin^{2}

mới rút gọn về đúng

sin^{2} a - sin^{2} b

1Cách 1. Khai triển trực tiếp theo công thức cộng

Định hướng. Khai triển sin(a+b) và sin(a−b) theo công thức cộng, nhân theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, rồi thay sin²=1−cos² để rút gọn.

sin (a + b) sin (a - b) = (sin a cos b + cos a sin b) (sin a cos b - cos a sin b)

= sin^{2} a cos^{2} b - cos^{2} a sin^{2} b

= sin^{2} a (1 - sin^{2} b) - (1 - sin^{2} a) sin^{2} b

= sin^{2} a - sin^{2} a sin^{2} b - sin^{2} b + sin^{2} a sin^{2} b = sin^{2} a - sin^{2} b

sin^{2} a - sin^{2} b = (1 - cos^{2} a) - (1 - cos^{2} b) = cos^{2} b - cos^{2} a

Vậy sin(a+b)sin(a−b) = sin²a−sin²b = cos²b−cos²a, đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Dùng công thức biến đổi tích thành tổng

Định hướng. Xem sin(a+b) và sin(a−b) là hai thừa số dạng sin X sin Y với X=a+b, Y=a−b, rồi áp dụng trực tiếp công thức biến đổi tích thành tổng thay vì khai triển từng thừa số.

sin (a + b) sin (a - b) = \frac{1}{2} [cos ((a + b) - (a - b)) - cos ((a + b) + (a - b))]

= \frac{1}{2} [cos 2 b - cos 2 a]

= \frac{1}{2} [(1 - 2 sin^{2} b) - (1 - 2 sin^{2} a)] = \frac{1}{2} [2 sin^{2} a - 2 sin^{2} b] = sin^{2} a - sin^{2} b

sin^{2} a - sin^{2} b = cos^{2} b - cos^{2} a

(do

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

)

Vậy kết quả trùng Cách 1: sin(a+b)sin(a−b) = sin²a−sin²b = cos²b−cos²a.

Nhận xét. Cách 2 dùng trực tiếp công thức tích thành tổng sin X sin Y=½[cos(X−Y)−cos(X+Y)] nên gọn hơn Cách 1, không cần khai triển hết bốn số hạng.

3Cách 3. Đi ngược từ vế giữa: hạ bậc rồi biến đổi hiệu thành tích

Định hướng. Xuất phát từ $sin^{2} a - sin^{2} b$ : hạ bậc cả hai số hạng để đưa về hiệu hai côsin cùng bậc nhất, rồi dùng công thức hiệu thành tích là gặp lại đúng vế trái.

sin^{2} a - sin^{2} b = \frac{1 - cos 2 a}{2} - \frac{1 - cos 2 b}{2} = \frac{cos 2 b - cos 2 a}{2}

cos 2 b - cos 2 a = - 2 sin \frac{2 b + 2 a}{2} sin \frac{2 b - 2 a}{2} = - 2 sin (a + b) sin (b - a)

= 2 sin (a + b) sin (a - b)

sin^{2} a - sin^{2} b = \frac{2 sin ( a + b ) sin ( a - b )}{2} = sin (a + b) sin (a - b)

sin^{2} a - sin^{2} b = (1 - cos^{2} a) - (1 - cos^{2} b) = cos^{2} b - cos^{2} a

Vậy $sin (a + b) sin (a - b) = sin^{2} a - sin^{2} b = cos^{2} b - cos^{2} a$ , đẳng thức được chứng minh.

Nhận xét. Đi từ vế giữa cho thấy vì sao đẳng thức đúng: hạ bậc biến hai bình phương thành hiệu hai côsin, mà hiệu hai côsin luôn quay về tích hai sin của nửa tổng và nửa hiệu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: công thức tích thành tổng cho ngay

\frac{1}{2} (cos 2 b - cos 2 a)

chỉ trong một dòng, còn Cách 1 phải khai triển bốn số hạng rồi mới rút gọn.

Đáp số. sin(a+b)sin(a−b) = sin²a − sin²b = cos²b − cos²a (đẳng thức đúng với mọi a, b)

Sai lầm thường gặp. Nhầm hiệu hai bình phương: khai triển (sin a cos b+cos a sin b)(sin a cos b−cos a sin b) thành sin²a cos²b+cos²a sin²b (quên dấu trừ ở số hạng thứ hai).

🚀 Mở rộng. Đổi vai trò của sin và côsin theo đúng cách ấy sẽ được đẳng thức anh em

cos (a + b) cos (a - b) = cos^{2} a - sin^{2} b

, rất hay dùng để rút gọn biểu thức có tích hai cung đối xứng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 1.12★★★★Trang 21— Tính diện tích tam giác qua định lí sin và công thức biến đổi tích thành tổng

Bài 1.12 (trang 21). Cho tam giác

A B C

có

B = 75°

;

C = 45°

và

a = B C = 12

cm.
a) Sử dụng công thức

S = \frac{1}{2} ab sin C

và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác

A B C

cho bởi công thức

S = \frac{a ^{2} sin B sin C}{2 sin A}

.
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích

S

của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: a/sin A = b/sin B = c/sin C.
sin X sin Y = ½[cos(X−Y)−cos(X+Y)]; tổng ba góc trong tam giác bằng 180°.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một cạnh cùng hai góc kề nó — dấu hiệu của bộ "góc - cạnh - góc", trong đó định lí sin là cầu nối duy nhất để chuyển từ góc sang cạnh. Câu a) đòi công thức chỉ chứa

a

và ba góc, nên phải khử hết cạnh

b

bằng

b = \frac{a sin B}{sin A}

. Bẫy ở câu b) là tính

sin 75°

bằng máy rồi làm tròn giữa chừng: đề muốn giá trị CHÍNH XÁC nên phải giữ căn thức suốt quá trình.

1Cách 1. Thế định lí sin vào công thức diện tích rồi dùng công thức tích thành tổng

Định hướng. Từ định lí sin rút b theo a, A, B rồi thế vào S=½ab sinC để được công thức tổng quát; sau đó tính góc A=180°−B−C và dùng công thức tích thành tổng để ra số cụ thể.

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} \Rightarrow b = \frac{a sin B}{sin A}

S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a sin B}{sin A} \cdot sin C = \frac{a ^{2} sin B sin C}{2 sin A}

A = 180° - 75° - 45° = 60°

sin 75° sin 45° = \frac{1}{2} [cos (75° - 45°) - cos (75° + 45°)] = \frac{1}{2} [cos 30° - cos 120°]

= \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \frac{1}{2}] = \frac{3 + 1}{4}

S = \frac{1 2 ^{2} sin 75° sin 45°}{2 sin 60°} = \frac{144 \cdot \frac{3 + 1}{4}}{2 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{36 ( 3 + 1 )}{3} = 123 (3 + 1) = 36 + 123

Vậy a) S = a²sinB sinC/(2sinA) (đúng với mọi tam giác); b) S = 36 + 12√3 (cm²).

2Cách 2. Tính hai cạnh b, c bằng định lí sin rồi thay trực tiếp vào S=½bc sinA

Định hướng. Dùng bán kính đường tròn ngoại tiếp 2R=a/sinA để tính đủ ba cạnh a, b, c theo giá trị lượng giác đặc biệt của 75°, 45° (Bài 1.7), rồi tính diện tích trực tiếp bằng S=½bc sinA, không cần công thức biến đổi tích thành tổng.

2 R = \frac{a}{sin A} = \frac{12}{sin 60°} = \frac{24}{3} = 83

c = 2 R sin C = 83 sin 45° = 83 \cdot \frac{2}{2} = 46

b = 2 R sin B = 83 sin 75° = 83 \cdot \frac{6 + 2}{4} = 23 (6 + 2) = 62 + 26

b c = (62 + 26) (46) = 2412 + 8 \cdot 6 = 483 + 48

S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} (483 + 48) \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{4} (144 + 483) = 36 + 123

Vậy S = 36+12√3 (cm²), trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 kiểm tra chéo được cả hai cạnh b, c của tam giác chứ không chỉ diện tích, nhưng tính toán dài hơn Cách 1.

3Cách 3. Dùng đường cao và hai côtang của hai góc kề đáy

Định hướng. Kẻ đường cao từ đỉnh đối diện cạnh $a$ : hai đoạn hình chiếu trên $B C$ biểu diễn được qua chính đường cao và côtang hai góc kề, tổng của chúng bằng $a$ nên tính được đường cao mà không cần biết cạnh nào khác.

a) Kẻ

A H ⊥ B C

tại

H

, đặt

A H = h

B H = h cot B

;

C H = h cot C

(hai tam giác vuông

A B H

và

A C H

)

B H + C H = a

nên

h (cot B + cot C) = a

hay

h = \frac{a}{cot B + cot C}

S = \frac{1}{2} a h = \frac{a ^{2}}{2 ( cot B + cot C )}

cot B + cot C = \frac{cos B sin C + cos C sin B}{sin B sin C} = \frac{sin ( B + C )}{sin B sin C} = \frac{sin A}{sin B sin C}

S = \frac{a ^{2} sin B sin C}{2 sin A}

cot 75° = tan 15° = 2 - 3

;

cot 45° = 1

cot B + cot C = (2 - 3) + 1 = 3 - 3

S = \frac{1 2 ^{2}}{2 ( 3 - 3 )} = \frac{72}{3 - 3} = \frac{72 ( 3 + 3 )}{6} = 12 (3 + 3) = 36 + 123

Vậy a) $S = \frac{a ^{2} sin B sin C}{2 sin A}$ ; b) $S = 36 + 123 \approx 56, 78$ (cm²), trùng hai cách trên.

Nhận xét. Dạng $S = \frac{a ^{2}}{2 ( cot B + cot C )}$ thuần hình học, không cần định lí sin lẫn công thức tích thành tổng, và với hai góc $75°$ , $45°$ thì côtang đều là số đẹp nên tính rất nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: công thức

S = \frac{a ^{2} sin B sin C}{2 sin A}

vừa chứng minh xong dùng lại được ngay, và công thức tích thành tổng biến

sin 75° sin 45°

thành số đẹp mà không cần biết riêng

sin 75°

Đáp số. a) S = a²sinB sinC/(2sinA) · b) S = 36 + 12√3 (cm²) ≈ 56,78 cm²

Sai lầm thường gặp. Quên tính lại góc A=180°−B−C trước khi thế vào công thức, hoặc nhầm vai trò cạnh a với cạnh b, c trong công thức S=a²sinB sinC/(2sinA).

🚀 Mở rộng. Công thức

S = \frac{a ^{2}}{2 ( cot B + cot C )}

là một dạng tương đương rất gọn, suy ra từ

cot B + cot C = \frac{sin A}{sin B sin C}

và dùng được cho mọi tam giác biết một cạnh cùng hai góc kề.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 1.13★★★Trang 21— Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng tần số bằng công thức biến đổi tổng thành tích

Bài 1.13 (trang 21). Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức

x (t) = A cos (ω t + φ)

, trong đó

t

là thời điểm (tính bằng giây),

x (t)

là li độ của vật tại thời điểm

t

A

là biên độ dao động

(A > 0)

và

φ \in [- π; π]

là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hoà có phương trình:

x_{1} (t) = 2 cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})

(cm),

x_{2} (t) = 2 cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})

(cm).
Tìm dao động tổng hợp

x (t) = x_{1} (t) + x_{2} (t)

và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Kiến thức cần nhớ

cos U+cos V=2cos((U+V)/2)cos((U−V)/2).
Dạng chuẩn x(t)=Acos(ωt+φ) với A>0 và φ∈[−π;π].

🧠 Phân tích tư duy

Hai dao động có CÙNG

ω = \frac{π}{3}

và cùng biên độ

2

, chỉ khác pha ban đầu — dấu hiệu tổng của chúng vẫn là một dao động điều hoà cùng tần số, nên chỉ phải đi tìm biên độ và pha mới. Hai pha

\frac{π}{6}

và

- \frac{π}{3}

lệch nhau đúng

\frac{π}{2}

, đó là lí do biên độ tổng hợp ra số đẹp

22

. Bẫy là ghi pha ban đầu ngoài nửa khoảng

[- π; π]

mà đề quy định, hoặc để biên độ mang dấu âm.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức biến đổi tổng thành tích

Định hướng. Đặt U, V là hai góc trong x1, x2 rồi dùng công thức cos U+cos V=2cos((U+V)/2)cos((U−V)/2) để đưa tổng về dạng tích đúng chuẩn Acos(ωt+φ).

U = \frac{π}{3} t + \frac{π}{6}, V = \frac{π}{3} t - \frac{π}{3}

\frac{U + V}{2} = \frac{π}{3} t - \frac{π}{12}, \frac{U - V}{2} = \frac{π}{4}

x (t) = 2 cos U + 2 cos V = 4 cos \frac{π}{4} cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{12})

= 4 \cdot \frac{2}{2} cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{12}) = 22 cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{12})

Vậy x(t) = 2√2 cos(πt/3 − π/12) (cm), nên biên độ A = 2√2 cm và pha ban đầu φ = −π/12.

2Cách 2. Khai triển từng số hạng theo công thức cộng rồi đồng nhất hệ số

Định hướng. Khai triển x1, x2 theo công thức cộng thành tổ hợp của cos(πt/3) và sin(πt/3), cộng lại, rồi đồng nhất với A cos(πt/3+φ) để tìm A, φ.

x_{1} = 2 (cos \frac{π}{3} t cos \frac{π}{6} - sin \frac{π}{3} t sin \frac{π}{6}) = 3 cos \frac{π}{3} t - sin \frac{π}{3} t

x_{2} = 2 (cos \frac{π}{3} t cos \frac{π}{3} + sin \frac{π}{3} t sin \frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} t + 3 sin \frac{π}{3} t

x (t) = (3 + 1) cos \frac{π}{3} t + (3 - 1) sin \frac{π}{3} t

A cos φ = 3 + 1, - A sin φ = 3 - 1 \Rightarrow A^{2} = (3 + 1)^{2} + (3 - 1)^{2} = 8 \Rightarrow A = 22

cos φ = \frac{3 + 1}{2 2} \approx 0, 9659 > 0, sin φ = - \frac{3 - 1}{2 2} \approx - 0, 2588 < 0 \Rightarrow φ = - \frac{π}{12}

Vậy A = 2√2 cm, φ = −π/12, trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dài hơn nhưng cho thấy rõ vì sao A²=(√3+1)²+(√3−1)²=8 — chính là hệ quả của công thức A²=A1²+A2²+2A1A2cos(Δφ) trong tổng hợp dao động ở Vật lí.

3Cách 3. Dùng giản đồ vectơ quay (giản đồ Fre-nen)

Định hướng. Biểu diễn mỗi dao động bằng một vectơ có độ dài đúng bằng biên độ và hợp với trục hoành một góc đúng bằng pha ban đầu; dao động tổng hợp ứng với vectơ tổng, nên bài toán thành phép cộng hai vectơ.

x_{1}

ứng với

u

có

u = 2

, góc

\frac{π}{6}

;

x_{2}

ứng với

v

có

v = 2

, góc

- \frac{π}{3}

\frac{π}{6} - (- \frac{π}{3}) = \frac{π}{2}

nên

u ⊥ v

u + v = 2^{2} + 2^{2} = 22

(định lí Pythagore)
Hai vectơ cùng độ dài nên

u + v

nằm trên tia phân giác của góc giữa chúng
Pha của vectơ tổng:

\frac{1}{2} [\frac{π}{6} + (- \frac{π}{3})] = - \frac{π}{12}

x (t) = 22 cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{12})

Vậy $x (t) = 22 cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{12})$ (cm), biên độ $A = 22$ cm và pha ban đầu $φ = - \frac{π}{12}$ thuộc $[- π; π]$ .

Nhận xét. Giản đồ vectơ biến bài lượng giác thành bài cộng vectơ: thấy ngay vì sao hai dao động lệch pha $\frac{π}{2}$ cho biên độ $2$ lần, và vì sao pha tổng hợp rơi đúng giữa hai pha thành phần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: công thức tổng thành tích cho ngay cả biên độ lẫn pha trong ba dòng, còn Cách 2 phải khai triển rồi đồng nhất bốn hệ số.

Đáp số. x(t) = 2√2 cos(πt/3 − π/12) (cm) ; biên độ A = 2√2 cm, pha ban đầu φ = −π/12

Sai lầm thường gặp. Tính nhầm (U−V)/2 thành U−V (quên chia 2), hoặc quên rằng cos là hàm chẵn nên viết sai dấu góc (U−V)/2 = π/4 thành −π/4.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hai dao động cùng biên độ

A

và cùng tần số, lệch pha

Δ φ

, cho dao động tổng hợp biên độ

2 A cos \frac{Δ φ}{2}

với pha bằng trung bình cộng hai pha ban đầu — nên lệch pha

π

thì hai dao động triệt tiêu nhau hoàn toàn.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác Bài tiếp theo ›Bài 3. Hàm số lượng giác

📚 Cùng chương: Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
▶ Bài 2. Công thức lượng giác
Bài 3. Hàm số lượng giác
Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản
Bài tập cuối chương I

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Hàm số lượng giác & GTLN – GTNN — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 2. Công thức lượng giác

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

GTLN – GTNN hàm số lượng giác — Toán 11 (14 dạng)

Sổ tay Toán học THPT 10–12

Đại số & Giải tích 11

Toán 11 Toàn diện — cả năm