Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài 2. Công thức lượng giác

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 17 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · HĐ1★★Trang 17— Xây dựng công thức cộng cos(a−b), cos(a+b), sin(a−b)

HĐ1 (trang 17). a) Cho

a = \frac{π}{4}

và

b = \frac{π}{6}

, hãy chứng tỏ

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

.
b) Bằng cách viết

a + b = a - (- b)

và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính

cos (a + b)

.
c) Bằng cách viết

sin (a - b) = cos [\frac{π}{2} - (a - b)] = cos [(\frac{π}{2} - a) + b]

và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính

sin (a - b)

Kiến thức cần nhớ

cos(π/2−x)=sin x và sin(π/2−x)=cos x (hai góc phụ nhau).
cos(−x)=cos x, sin(−x)=−sin x (hàm cos chẵn, hàm sin lẻ).

1Cách 1. Biến đổi góc rồi khai triển trực tiếp theo gợi ý đề bài

Định hướng. Từ đẳng thức riêng ở câu a) suy rộng thành công thức tổng quát, rồi lần lượt thay $b$ bởi $- b$ để ra $cos (a + b)$ , thay góc bởi $\frac{π}{2} - a$ để ra $sin (a - b)$ .

cos (a - b) = cos \frac{π}{12}

cos^{2} \frac{π}{12} = \frac{1 + cos \frac{π}{6}}{2} = \frac{1 + \frac{3}{2}}{2} = \frac{2 + 3}{4}

cos \frac{π}{12} = \frac{2 + 3}{2} = \frac{3 + 1}{2 2} = \frac{6 + 2}{4}

cos a cos b + sin a sin b = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4} = \frac{6 + 2}{4}

Hai vế cùng bằng

\frac{6 + 2}{4}

cos (a + b) = cos [a - (- b)] = cos a cos (- b) + sin a sin (- b)

= cos a cos b - sin a sin b

sin (a - b) = cos [(\frac{π}{2} - a) + b] = cos (\frac{π}{2} - a) cos b - sin (\frac{π}{2} - a) sin b

= sin a cos b - cos a sin b

Vậy a) hai vế cùng bằng $\frac{6 + 2}{4}$ , đẳng thức đúng; b) $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ ; c) $sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng góc phụ và công thức nửa góc (co-function)

Định hướng. Dùng $cos 75° = sin 15°$ và $sin 75° = cos 15°$ để tính độc lập từng giá trị rồi đối chiếu với kết quả khai triển ở Cách 1.

sin^{2} 15° = \frac{1 - cos 30°}{2} = \frac{2 - 3}{4}

sin 15° = \frac{6 - 2}{4}

cos 15° = \frac{6 + 2}{4}

(Cách 1) — đúng bằng

\frac{6 + 2}{4}

cos 75° = sin 15° = \frac{6 - 2}{4}

cos a cos b - sin a sin b = \frac{6}{4} - \frac{2}{4} = \frac{6 - 2}{4}

— trùng nhau
c)

sin 15° = \frac{6 - 2}{4}

sin a cos b - cos a sin b = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4}

— trùng nhau

Vậy cả ba kết quả đều khớp với Cách 1.

Nhận xét. Ba đẳng thức ở HĐ1 chính là ba công thức cộng cos(a−b), cos(a+b), sin(a−b) mà sách đóng khung ngay sau hoạt động này.

Đáp số. a) hai vế cùng bằng (√6+√2)/4 · b) cos(a+b)=cos a cos b − sin a sin b · c) sin(a−b)=sin a cos b − cos a sin b

Sai lầm thường gặp. Khi thay b bởi −b, quên đổi dấu sin(−b)=−sin b nên viết nhầm cos(a+b)=cos a cos b+sin a sin b (trùng công thức cos(a−b)).

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 17

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 18— Chứng minh đẳng thức lượng giác bằng công thức cộng

Luyện tập 1 (trang 18). Chứng minh rằng:
a)

sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})

;
b)

tan (\frac{π}{4} - x) = \frac{1 - tan x}{1 + tan x} (x \neq = \frac{π}{2} + k π, x \neq = \frac{3 π}{4} + k π, k \in Z)

Kiến thức cần nhớ

sin(x−y)=sin x cos y−cos x sin y; tan(x−y)=(tan x−tan y)/(1+tan x tan y).
cos(π/4)=sin(π/4)=√2/2, tan(π/4)=1.

1Cách 1. Khai triển trực tiếp vế phải theo công thức cộng

Định hướng. Khai triển vế chứa góc hiệu bằng công thức cộng rồi rút gọn để trở về đúng vế còn lại.

2 sin (x - \frac{π}{4}) = 2 (sin x cos \frac{π}{4} - cos x sin \frac{π}{4})

= 2 (sin x \cdot \frac{2}{2} - cos x \cdot \frac{2}{2}) = sin x - cos x

tan (\frac{π}{4} - x) = \frac{tan \frac{π}{4} - tan x}{1 + tan \frac{π}{4} tan x} = \frac{1 - tan x}{1 + tan x}

Vậy a) sin x − cos x = √2 sin(x − π/4); b) tan(π/4 − x) = (1 − tan x)/(1 + tan x), đúng như yêu cầu.

2Cách 2. Xác định biên độ - pha (câu a) và quy về sin, cos (câu b)

Định hướng. Câu a) giả sử sin x − cos x = R sin(x+φ) rồi đồng nhất hệ số để tìm R, φ; câu b) đưa tan về tỉ số sin/cos rồi chia cả tử và mẫu cho cos x.

R sin (x + φ) = R cos φ sin x + R sin φ cos x

Đồng nhất:

R cos φ = 1, R sin φ = - 1 \Rightarrow R^{2} = 1^{2} + (- 1)^{2} = 2 \Rightarrow R = 2

cos φ = \frac{1}{2} > 0, sin φ = - \frac{1}{2} \Rightarrow φ = - \frac{π}{4}

tan (\frac{π}{4} - x) = \frac{sin ( \frac{π}{4} - x )}{cos ( \frac{π}{4} - x )} = \frac{\frac{2}{2} ( cos x - sin x )}{\frac{2}{2} ( cos x + sin x )} = \frac{cos x - sin x}{cos x + sin x}

Chia tử và mẫu cho

cos x \neq = 0

= \frac{1 - tan x}{1 + tan x}

Vậy R=√2, φ=−π/4 nên sin x − cos x = √2 sin(x−π/4); và tan(π/4−x) = (1−tan x)/(1+tan x), trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách đồng nhất hệ số ở câu a) sẽ được dùng lại nhiều lần khi viết a sin x + b cos x về dạng R sin(x+φ).

Đáp số. a) sin x − cos x = √2 sin(x − π/4) · b) tan(π/4 − x) = (1 − tan x)/(1 + tan x)

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) quên điều kiện xác định của tan x (cos x ≠ 0) và của tan(π/4−x) trước khi quy đồng, dẫn tới thiếu điều kiện x ≠ π/2+kπ, x ≠ 3π/4+kπ.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Vận dụng 1★★★Trang 18— Đưa tổng a sin t + b cos t về dạng k sin(t+φ)

Vận dụng 1 (trang 18). Giải bài toán trong tình huống mở đầu: Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần

f_{1} (t) = 5 sin t

và phát lại được nốt thuần

f_{2} (t) = 5 cos t

thì âm kết hợp là

f (t) = f_{1} (t) + f_{2} (t)

, trong đó

t

là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng

f (t) = k sin (t + φ)

, tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm

k

và pha ban đầu

φ (- π \leq φ \leq π)

của sóng âm.

Kiến thức cần nhớ

a sin t + b cos t = k sin(t+φ) với k=√(a²+b²), cosφ=a/k, sinφ=b/k.
sin(t+π/4)=sin t cos(π/4)+cos t sin(π/4).

1Cách 1. Đồng nhất hệ số với k sin(t+φ)

Định hướng. Khai triển k sin(t+φ) theo công thức cộng rồi đồng nhất hệ số của sin t, cos t với f(t)=5sin t+5cos t.

f (t) = 5 sin t + 5 cos t

k sin (t + φ) = k cos φ sin t + k sin φ cos t

Đồng nhất:

k cos φ = 5, k sin φ = 5

k^{2} = 5^{2} + 5^{2} = 50 \Rightarrow k = 52

(do

k > 0

)

cos φ = \frac{5}{5 2} = \frac{2}{2} > 0, sin φ = \frac{2}{2} > 0 \Rightarrow φ = \frac{π}{4}

Vậy f(t) = 5√2 sin(t+π/4), tức k = 5√2 và φ = π/4.

2Cách 2. Biến đổi qua cos(t−π/4) rồi đưa về dạng sin

Định hướng. Trước hết biến đổi 5sin t+5cos t về dạng k cos(t−π/4) bằng công thức cộng của cos, sau đó dùng cosθ=sin(θ+π/2) để chuyển hẳn về dạng k sin(t+φ) như đề yêu cầu.

52 cos (t - \frac{π}{4}) = 52 (cos t cos \frac{π}{4} + sin t sin \frac{π}{4}) = 5 cos t + 5 sin t

Đúng bằng

f (t)

, nên

f (t) = 52 cos (t - \frac{π}{4})

cos (t - \frac{π}{4}) = sin (t - \frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = sin (t + \frac{π}{4})

f (t) = 52 sin (t + \frac{π}{4})

Vậy k = 5√2, φ = π/4, trùng Cách 1.

Nhận xét. Vì π/4 ∈ [−π;π] nên φ=π/4 chính là pha ban đầu hợp lệ duy nhất theo điều kiện đề bài.

Đáp số. k = 5√2 ; φ = π/4

Sai lầm thường gặp. Quên điều kiện k>0 nên có thể lấy nhầm k=−5√2 với φ khác, hoặc quên giới hạn φ∈[−π;π] nên chọn φ=π/4+2π (không thoả điều kiện).

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★★Trang 18— Xây dựng công thức nhân đôi từ công thức cộng

HĐ2 (trang 18). Lấy

b = a

trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính:

sin 2 a

;

cos 2 a

;

tan 2 a

Kiến thức cần nhớ

Công thức cộng: sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b; cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b; tan(a+b)=(tan a+tan b)/(1−tan a tan b).
sin²a+cos²a=1.

1Cách 1. Thay trực tiếp b = a vào công thức cộng

Định hướng. Thay b bởi a trong ba công thức cộng của sin, cos, tan, rồi dùng sin²a+cos²a=1 để nêu thêm hai dạng khác của cos2a.

sin 2 a = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a

cos 2 a = cos (a + a) = cos a cos a - sin a sin a = cos^{2} a - sin^{2} a

cos 2 a = (1 - sin^{2} a) - sin^{2} a = 1 - 2 sin^{2} a

cos 2 a = cos^{2} a - (1 - cos^{2} a) = 2 cos^{2} a - 1

tan 2 a = tan (a + a) = \frac{tan a + tan a}{1 - tan a tan a} = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a}

Vậy sin2a=2sin a cos a; cos2a=cos²a−sin²a=2cos²a−1=1−2sin²a; tan2a=2tan a/(1−tan²a).

2Cách 2. Kiểm tra lại với a = π/6

Định hướng. Thay a=π/6 vào cả vế trái (tính trực tiếp giá trị lượng giác của 2a=π/3) và vế phải (theo công thức vừa tìm) để đối chiếu.

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

;

2 sin \frac{π}{6} cos \frac{π}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

— khớp

cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

;

cos^{2} \frac{π}{6} - sin^{2} \frac{π}{6} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

— khớp

tan \frac{π}{3} = 3

;

\frac{2 tan \frac{π}{6}}{1 - tan ^{2} \frac{π}{6}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 3

— khớp

Vậy cả ba công thức đều đúng với a=π/6, phù hợp Cách 1.

Nhận xét. Ba dạng của cos2a (cos²a−sin²a, 2cos²a−1, 1−2sin²a) dùng thay nhau tuỳ theo đề bài cho biết sin a hay cos a.

Đáp số. sin2a=2sin a cos a ; cos2a=cos²a−sin²a=2cos²a−1=1−2sin²a ; tan2a=2tan a/(1−tan²a)

Sai lầm thường gặp. Nhầm cos2a=2cos a (nhân đôi cả biểu thức thay vì bình phương/khai triển đúng công thức cộng).

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 18

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 19— Tính giá trị lượng giác bằng công thức hạ bậc

Luyện tập 2 (trang 19). Không dùng máy tính, tính

cos \frac{π}{8}

Kiến thức cần nhớ

Công thức hạ bậc: cos²a=(1+cos2a)/2, sin²a=(1−cos2a)/2.
π/8 ∈ (0; π/2) nên cos(π/8) > 0.

1Cách 1. Dùng công thức hạ bậc của cos

Định hướng. Áp dụng công thức hạ bậc cos²a=(1+cos2a)/2 với a=π/8, 2a=π/4, rồi lấy căn bậc hai với dấu dương.

cos^{2} \frac{π}{8} = \frac{1 + cos \frac{π}{4}}{2} = \frac{1 + \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 + 2}{4}

\frac{π}{8} \in (0; \frac{π}{2}) \Rightarrow cos \frac{π}{8} > 0

cos \frac{π}{8} = \frac{2 + 2}{4} = \frac{2 + 2}{2}

Vậy cos(π/8) = √(2+√2)/2.

2Cách 2. Hạ bậc qua sin rồi dùng sin²+cos²=1

Định hướng. Tính sin²(π/8) trước bằng công thức hạ bậc của sin, rồi suy cos²(π/8) qua hệ thức Pythagoras thay vì áp dụng trực tiếp công thức hạ bậc của cos.

sin^{2} \frac{π}{8} = \frac{1 - cos \frac{π}{4}}{2} = \frac{1 - \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 - 2}{4}

cos^{2} \frac{π}{8} = 1 - sin^{2} \frac{π}{8} = 1 - \frac{2 - 2}{4} = \frac{2 + 2}{4}

cos \frac{π}{8} = \frac{2 + 2}{2}

(do cos(π/8)>0)

Vậy cos(π/8) = √(2+√2)/2, trùng Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cho cùng một kết quả vì sin²a+cos²a=1 và hai công thức hạ bậc vốn suy ra từ cùng công thức nhân đôi cos2a=1−2sin²a=2cos²a−1.

Đáp số. cos(π/8) = √(2+√2)/2

Sai lầm thường gặp. Quên biện luận dấu (π/8 thuộc góc phần tư nào) trước khi khai căn nên lấy nhầm cos(π/8) = −√(2+√2)/2.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 19

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★★Trang 19— Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng

HĐ3 (trang 19). a) Từ các công thức cộng

cos (a + b)

và

cos (a - b)

, hãy tìm:

cos a cos b

;

sin a sin b

.
b) Từ các công thức cộng

sin (a + b)

và

sin (a - b)

, hãy tìm:

sin a cos b

Kiến thức cần nhớ

cos(a−b)=cos a cos b+sin a sin b; cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b.
sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b; sin(a−b)=sin a cos b−cos a sin b.

1Cách 1. Cộng và trừ từng cặp công thức cộng

Định hướng. Cộng hai công thức cos(a−b), cos(a+b) sẽ triệt tiêu số hạng sin a sin b; trừ hai công thức đó sẽ triệt tiêu cos a cos b; làm tương tự với hai công thức sin để ra sin a cos b.

cos (a - b) + cos (a + b) = 2 cos a cos b \Rightarrow cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]

cos (a - b) - cos (a + b) = 2 sin a sin b \Rightarrow sin a sin b = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)]

sin (a + b) + sin (a - b) = 2 sin a cos b \Rightarrow sin a cos b = \frac{1}{2} [sin (a - b) + sin (a + b)]

Vậy a) cos a cos b = ½[cos(a−b)+cos(a+b)]; sin a sin b = ½[cos(a−b)−cos(a+b)]; b) sin a cos b = ½[sin(a−b)+sin(a+b)].

2Cách 2. Kiểm tra lại với a = π/3, b = π/6

Định hướng. Thay số cụ thể vào cả vế trái (tích) và vế phải (tổng chia đôi) của mỗi công thức để đối chiếu kết quả Cách 1.

cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

;

\frac{1}{2} [cos \frac{π}{6} + cos \frac{π}{2}] = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + 0] = \frac{3}{4}

— khớp

sin \frac{π}{3} sin \frac{π}{6} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}

;

\frac{1}{2} [cos \frac{π}{6} - cos \frac{π}{2}] = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} - 0] = \frac{3}{4}

— khớp

sin \frac{π}{3} cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

;

\frac{1}{2} [sin \frac{π}{6} + sin \frac{π}{2}] = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + 1] = \frac{3}{4}

— khớp

Vậy cả ba công thức nghiệm đúng với a=π/3, b=π/6, phù hợp Cách 1.

Nhận xét. Công thức cos a sin b (đổi vai trò a, b trong sin a cos b) suy ra tương tự bằng cách hoán đổi a và b: cos a sin b = ½[sin(a+b)−sin(a−b)].

Đáp số. cos a cos b = ½[cos(a−b)+cos(a+b)] ; sin a sin b = ½[cos(a−b)−cos(a+b)] ; sin a cos b = ½[sin(a−b)+sin(a+b)]

Sai lầm thường gặp. Nhầm dấu giữa công thức sin a sin b (có dấu trừ ở vế phải) và cos a cos b (dấu cộng), vì cả hai đều ghép từ cos(a−b) và cos(a+b).

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 19

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 3★★Trang 19— Tính giá trị biểu thức bằng công thức biến đổi tích thành tổng

Luyện tập 3 (trang 19). Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:

A = cos 75° cos 15°

;

B = sin \frac{5 π}{12} cos \frac{7 π}{12}

Kiến thức cần nhớ

cos a cos b = ½[cos(a−b)+cos(a+b)]; sin a cos b = ½[sin(a−b)+sin(a+b)].
cos75°=sin15°=(√6−√2)/4; cos15°=sin75°=(√6+√2)/4 (Bài tập 1.7).

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức biến đổi tích thành tổng

Định hướng. Đưa mỗi tích về nửa tổng hai cung góc đặc biệt (60°, 90° hoặc −π/6, π) rồi tính trực tiếp.

A = cos 75° cos 15° = \frac{1}{2} [cos (75° - 15°) + cos (75° + 15°)] = \frac{1}{2} [cos 60° + cos 90°]

= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + 0] = \frac{1}{4}

B = sin \frac{5 π}{12} cos \frac{7 π}{12} = \frac{1}{2} [sin (\frac{5 π}{12} - \frac{7 π}{12}) + sin (\frac{5 π}{12} + \frac{7 π}{12})]

= \frac{1}{2} [sin (- \frac{π}{6}) + sin π] = \frac{1}{2} [- \frac{1}{2} + 0] = - \frac{1}{4}

Vậy A = 1/4 và B = −1/4.

2Cách 2. Thay trực tiếp các giá trị lượng giác đặc biệt đã biết

Định hướng. Dùng cos75°, cos15° (đã tính ở Bài tập 1.7) và các góc phụ, góc bù để đưa 5π/12, 7π/12 về 75°, 15° rồi nhân trực tiếp.

A = cos 75° cos 15° = \frac{6 - 2}{4} \cdot \frac{6 + 2}{4} = \frac{6 - 2}{16} = \frac{1}{4}

\frac{5 π}{12} = 75°, sin 75° = cos 15° = \frac{6 + 2}{4}

\frac{7 π}{12} = 105°, cos 105° = - sin 15° = - \frac{6 - 2}{4}

B = \frac{6 + 2}{4} \cdot (- \frac{6 - 2}{4}) = - \frac{6 - 2}{16} = - \frac{1}{4}

Vậy A = 1/4, B = −1/4, trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (biến đổi tích thành tổng) nhanh hơn hẳn Cách 2 khi hai góc cộng hoặc trừ ra một giá trị đặc biệt như 60°, 90°.

Đáp số. A = 1/4 ; B = −1/4

Sai lầm thường gặp. Nhầm công thức: dùng sin a cos b = ½[cos(a−b)−cos(a+b)] (công thức của sin a sin b) thay vì ½[sin(a−b)+sin(a+b)].

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 19

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ4★★★Trang 20— Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích

HĐ4 (trang 20). Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt

u = a - b

v = a + b

và viết các công thức nhận được.

Kiến thức cần nhớ

u=a−b, v=a+b ⇒ a=(u+v)/2, b=(v−u)/2, và (v−u)/2=−(u−v)/2.
cos là hàm chẵn: cos[−(u−v)/2]=cos[(u−v)/2]; sin là hàm lẻ: sin[−(u−v)/2]=−sin[(u−v)/2].

1Cách 1. Thế a, b theo u, v vào ba công thức ở Mục 3

Định hướng. Từ u=a−b, v=a+b suy ra a=(u+v)/2, b=(v−u)/2, rồi thế vào cos a cos b, sin a sin b, sin a cos b (và cos a sin b suy ra bằng cách đổi vai trò a, b) để đưa các công thức Mục 3 về đúng dạng tổng theo tích.

a = \frac{u + v}{2}, b = \frac{v - u}{2} = - \frac{u - v}{2}

cos a cos b = \frac{1}{2} (cos u + cos v) \Rightarrow cos u + cos v = 2 cos \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}

sin a sin b = \frac{1}{2} (cos u - cos v) \Rightarrow cos u - cos v = 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{v - u}{2} = - 2 sin \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}

sin a cos b = \frac{1}{2} (sin u + sin v) \Rightarrow sin u + sin v = 2 sin \frac{u + v}{2} cos \frac{u - v}{2}

cos a sin b = \frac{1}{2} (sin v - sin u) \Rightarrow sin u - sin v = 2 cos \frac{u + v}{2} sin \frac{u - v}{2}

Vậy cos u+cos v=2cos((u+v)/2)cos((u−v)/2); cos u−cos v=−2sin((u+v)/2)sin((u−v)/2); sin u+sin v=2sin((u+v)/2)cos((u−v)/2); sin u−sin v=2cos((u+v)/2)sin((u−v)/2).

2Cách 2. Kiểm tra lại với u = π/6, v = π/2

Định hướng. Ứng với a=π/3, b=π/6 (cho u=a−b=π/6, v=a+b=π/2), thay số vào cả bốn công thức để đối chiếu với Cách 1.

cos \frac{π}{6} + cos \frac{π}{2} = \frac{3}{2}

;

2 cos \frac{π}{3} cos \frac{π}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

— khớp

cos \frac{π}{6} - cos \frac{π}{2} = \frac{3}{2}

;

- 2 sin \frac{π}{3} sin \frac{π}{6} = - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Đổi lại vai trò u, v (u=π/2, v=π/6) để đúng thứ tự đề đã đặt:

cos \frac{π}{2} - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}

— khớp

sin \frac{π}{6} + sin \frac{π}{2} = \frac{3}{2}

;

2 sin \frac{π}{3} cos \frac{π}{6} = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

— khớp

Vậy các công thức ở Cách 1 đều nghiệm đúng với số liệu cụ thể.

Nhận xét. Bốn công thức biến đổi tổng thành tích luôn xuất hiện theo cặp cos–cos và sin–sin đối xứng, dễ nhớ nếu nhớ đúng công thức tích thành tổng ở Mục 3.

Đáp số. cos u+cos v=2cos((u+v)/2)cos((u−v)/2) ; cos u−cos v=−2sin((u+v)/2)sin((u−v)/2) ; sin u+sin v=2sin((u+v)/2)cos((u−v)/2) ; sin u−sin v=2cos((u+v)/2)sin((u−v)/2)

Sai lầm thường gặp. Quên dấu trừ trong công thức cos u − cos v = −2sin((u+v)/2)sin((u−v)/2), viết nhầm thành +2sin((u+v)/2)sin((u−v)/2).

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 4★★★Trang 20— Tính tổng các giá trị lượng giác bằng công thức biến đổi tổng thành tích

Luyện tập 4 (trang 20). Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức

B = cos \frac{π}{9} + cos \frac{5 π}{9} + cos \frac{11 π}{9}

Kiến thức cần nhớ

cos u+cos v=2cos((u+v)/2)cos((u−v)/2).
cos(π−x)=−cos x (hai góc bù nhau).

1Cách 1. Gộp hai số hạng đầu trước

Định hướng. Gộp cos(π/9)+cos(5π/9) thành tích bằng công thức biến đổi tổng thành tích, rồi gộp tiếp kết quả với cos(11π/9).

cos \frac{π}{9} + cos \frac{5 π}{9} = 2 cos \frac{\frac{π}{9} + \frac{5 π}{9}}{2} cos \frac{\frac{5 π}{9} - \frac{π}{9}}{2} = 2 cos \frac{π}{3} cos \frac{2 π}{9} = 2 \cdot \frac{1}{2} cos \frac{2 π}{9} = cos \frac{2 π}{9}

B = cos \frac{2 π}{9} + cos \frac{11 π}{9} = 2 cos \frac{\frac{2 π}{9} + \frac{11 π}{9}}{2} cos \frac{\frac{11 π}{9} - \frac{2 π}{9}}{2} = 2 cos \frac{13 π}{18} cos \frac{π}{2}

= 2 cos \frac{13 π}{18} \cdot 0 = 0

Vậy B = 0.

2Cách 2. Gộp hai số hạng cuối trước

Định hướng. Gộp cos(5π/9)+cos(11π/9) trước, rồi dùng góc bù π−π/9=8π/9 để rút gọn với cos(π/9) còn lại.

cos \frac{5 π}{9} + cos \frac{11 π}{9} = 2 cos \frac{\frac{5 π}{9} + \frac{11 π}{9}}{2} cos \frac{\frac{11 π}{9} - \frac{5 π}{9}}{2} = 2 cos \frac{8 π}{9} cos \frac{π}{3} = 2 cos \frac{8 π}{9} \cdot \frac{1}{2} = cos \frac{8 π}{9}

cos \frac{8 π}{9} = cos (π - \frac{π}{9}) = - cos \frac{π}{9}

B = cos \frac{π}{9} + (- cos \frac{π}{9}) = 0

Vậy B = 0, trùng Cách 1.

Nhận xét. Dù gộp cặp số hạng nào trước, kết quả cuối cùng vẫn là 0 vì ba góc π/9, 5π/9, 11π/9 đối xứng qua các bội của π/3.

Đáp số. B = 0

Sai lầm thường gặp. Tính sai trung bình cộng hoặc nửa hiệu hai góc khi lập công thức, ví dụ lấy (5π/9−π/9) thay vì chia đôi kết quả đó.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Vận dụng 2★★★Trang 20— Ứng dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho sóng âm bàn phím

Vận dụng 2 (trang 20). Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp

f_{1}

và tần số cao

f_{2}

liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm

y = sin (2 π f_{1} t) + sin (2 π f_{2} t)

, ở đó

t

là biến thời gian (tính bằng giây).
a) Tìm hàm số mô hình hoá âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

Kiến thức cần nhớ

Phím 4 ứng với tần số thấp f1=770 Hz (hàng) và tần số cao f2=1209 Hz (cột) theo Hình 1.13.
sin u+sin v=2sin((u+v)/2)cos((u−v)/2).

1Cách 1. Đọc tần số từ hình rồi áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Định hướng. Xác định f1, f2 của phím 4 theo Hình 1.13, lập hàm y, rồi dùng công thức sin u+sin v=2sin((u+v)/2)cos((u−v)/2) với u=2πf1t, v=2πf2t.

f_{1} = 770, f_{2} = 1209

(Hz)

y = sin (1540 π t) + sin (2418 π t)

u = 1540 π t, v = 2418 π t

\frac{u + v}{2} = 1979 π t, \frac{v - u}{2} = 439 π t

y = 2 sin (1979 π t) cos (439 π t)

Vậy a) y = sin(1540πt) + sin(2418πt); b) y = 2sin(1979πt)cos(439πt).

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách khai triển ngược tích về tổng

Định hướng. Dùng công thức biến đổi tích thành tổng 2sin A cos B=sin(A+B)+sin(A−B) để khai triển ngược kết quả câu b) và đối chiếu với hàm y ở câu a).

2 sin (1979 π t) cos (439 π t) = sin (1979 π t + 439 π t) + sin (1979 π t - 439 π t)

= sin (2418 π t) + sin (1540 π t)

Vậy kết quả trùng đúng hàm y=sin(1540πt)+sin(2418πt) ở câu a), khẳng định phép biến đổi ở Cách 1 đúng.

Nhận xét. Dạng tích 2sin(1979πt)cos(439πt) cho thấy âm thanh phím 4 dao động với tần số trung bình 1979π (rad/s) và biên độ biến thiên chậm theo 439πt — đây chính là hiện tượng phách trong Vật lí.

Đáp số. a) y = sin(1540πt) + sin(2418πt) · b) y = 2sin(1979πt)cos(439πt)

Sai lầm thường gặp. Đọc nhầm hàng/cột trong Hình 1.13 nên lấy f1, f2 của phím 4 sai thành tần số của một phím khác (ví dụ phím 1 hoặc phím 5).

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 1.7★Trang 21— Tính giá trị lượng giác của góc 15° bằng công thức cộng

Bài 1.7 (trang 21). Sử dụng

15° = 45° - 30°

, hãy tính các giá trị lượng giác của góc

15°

Kiến thức cần nhớ

Công thức cộng cho sin, cos, tan của hiệu hai góc.
cos15°=45°−30°, các giá trị lượng giác đặc biệt của 45° và 30° đã biết.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức cộng cho sin, cos, tan

Định hướng. Thay a=45°, b=30° vào các công thức cộng sin(a−b), cos(a−b), tan(a−b), rồi tính cot15°=cos15°/sin15°.

sin 15° = sin 45° cos 30° - cos 45° sin 30° = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4}

cos 15° = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}

tan 15° = \frac{tan 45° - tan 30°}{1 + tan 45° tan 30°} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{2} = 2 - 3

cot 15° = \frac{1}{tan 15°} = \frac{1}{2 - 3} = 2 + 3

Vậy sin15°=(√6−√2)/4; cos15°=(√6+√2)/4; tan15°=2−√3; cot15°=2+√3.

2Cách 2. Suy tan15°, cot15° từ tỉ số sin15°/cos15°

Định hướng. Sau khi có sin15°, cos15° từ Cách 1, tính tan15°=sin15°/cos15° và cot15°=cos15°/sin15° bằng cách nhân liên hợp, không dùng công thức cộng của tan.

tan 15° = \frac{sin 15°}{cos 15°} = \frac{6 - 2}{6 + 2} = \frac{( 6 - 2 ) ^{2}}{6 - 2} = \frac{8 - 4 3}{4} = 2 - 3

cot 15° = \frac{cos 15°}{sin 15°} = \frac{6 + 2}{6 - 2} = \frac{( 6 + 2 ) ^{2}}{6 - 2} = \frac{8 + 4 3}{4} = 2 + 3

Vậy tan15°=2−√3, cot15°=2+√3, trùng Cách 1.

Nhận xét. tan15° và cot15° là hai số nghịch đảo của nhau và cũng thoả (2−√3)(2+√3)=4−3=1, khớp với kết quả.

Đáp số. sin15° = (√6−√2)/4 ; cos15° = (√6+√2)/4 ; tan15° = 2−√3 ; cot15° = 2+√3

Sai lầm thường gặp. Nhân sai (√3−1)²=3−2√3+1=4−2√3 rồi quên chia 2, dẫn tới tan15°=4−2√3 (sai) thay vì 2−√3.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 1.8★★Trang 21— Tính giá trị lượng giác của tổng/hiệu góc khi biết một tỉ số lượng giác

Bài 1.8 (trang 21). Tính:
a)

cos (a + \frac{π}{6})

, biết

sin a = \frac{1}{3}

và

\frac{π}{2} < a < π

;
b)

tan (a - \frac{π}{4})

, biết

cos a = - \frac{1}{3}

và

π < a < \frac{3 π}{2}

Kiến thức cần nhớ

sin²a+cos²a=1, dấu của sin a, cos a phụ thuộc góc phần tư chứa a.
Công thức cộng cos(a+b) và tan(a−b).

1Cách 1. Tìm cos a (hoặc sin a, tan a) qua sin²a+cos²a=1 rồi thay vào công thức cộng

Định hướng. Xác định dấu của giá trị lượng giác còn thiếu theo góc phần tư chứa a, rồi thay trực tiếp vào công thức cộng tương ứng.

\frac{π}{2} < a < π \Rightarrow cos a < 0

cos a = - 1 - sin^{2} a = - 1 - \frac{1}{3} = - \frac{6}{3}

cos (a + \frac{π}{6}) = cos a cos \frac{π}{6} - sin a sin \frac{π}{6} = - \frac{6}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}

= - \frac{2}{2} - \frac{3}{6} = - \frac{3 2 + 3}{6}

π < a < \frac{3 π}{2} \Rightarrow sin a < 0

sin a = - 1 - cos^{2} a = - 1 - \frac{1}{9} = - \frac{2 2}{3}

tan a = \frac{sin a}{cos a} = \frac{- \frac{2 2}{3}}{- \frac{1}{3}} = 22

tan (a - \frac{π}{4}) = \frac{tan a - 1}{1 + tan a} = \frac{2 2 - 1}{1 + 2 2} = \frac{( 2 2 - 1 ) ^{2}}{7} = \frac{9 - 4 2}{7}

Vậy a) cos(a+π/6) = −(3√2+√3)/6; b) tan(a−π/4) = (9−4√2)/7.

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng giá trị gần đúng

Định hướng. Đổi các số đo về gần đúng theo độ, tính trực tiếp bằng máy tính giá trị hai vế để đối chiếu với kết quả chính xác ở Cách 1.

sin a = \frac{1}{3} \approx 0, 5774, a \in (\frac{π}{2}; π) \Rightarrow a \approx 144, 74°

cos (a + 30°) \approx cos 174, 74° \approx - 0, 9954

- \frac{3 2 + 3}{6} \approx - \frac{4 , 2426 + 1 , 7321}{6} \approx - 0, 9958

— xấp xỉ khớp
b)

cos a = - \frac{1}{3}, a \in (π; \frac{3 π}{2}) \Rightarrow a \approx 250, 53°

tan (a - 45°) \approx tan 205, 53° \approx 0, 4776

\frac{9 - 4 2}{7} \approx \frac{9 - 5 , 657}{7} \approx 0, 4776

— khớp

Vậy hai kết quả gần đúng đều khớp với Cách 1.

Nhận xét. Bước tính gần đúng chỉ dùng để kiểm tra lại; đáp số chính thức vẫn phải là giá trị chính xác dạng căn thức ở Cách 1.

Đáp số. a) cos(a+π/6) = −(3√2+√3)/6 · b) tan(a−π/4) = (9−4√2)/7

Sai lầm thường gặp. Không xét khoảng của a nên lấy nhầm dấu dương cho cos a (câu a) hoặc sin a (câu b), dẫn tới kết quả sai dấu.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 1.9★★Trang 21— Tính giá trị lượng giác góc nhân đôi bằng công thức nhân đôi

Bài 1.9 (trang 21). Tính

sin 2 a

cos 2 a

tan 2 a

, biết:
a)

sin a = \frac{1}{3}

và

\frac{π}{2} < a < π

;
b)

sin a + cos a = \frac{1}{2}

và

\frac{π}{2} < a < \frac{3 π}{4}

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân đôi sin2a=2sin a cos a, cos2a=2cos²a−1=1−2sin²a, tan2a=2tan a/(1−tan²a).
(sin a+cos a)²=1+sin2a; (cos a−sin a)²=1−sin2a.

1Cách 1. Dùng công thức nhân đôi trực tiếp (câu a) và bình phương tổng (câu b)

Định hướng. Câu a) tìm cos a rồi thay vào công thức nhân đôi; câu b) bình phương sin a+cos a để ra sin2a, rồi xét dấu của cos a−sin a theo khoảng của a để ra cos2a.

\frac{π}{2} < a < π \Rightarrow cos a = - 1 - \frac{1}{9} = - \frac{2 2}{3}

sin 2 a = 2 sin a cos a = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 2}{3}) = - \frac{4 2}{9}

cos 2 a = 1 - 2 sin^{2} a = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}

tan 2 a = \frac{sin 2 a}{cos 2 a} = - \frac{4 2}{7}

(sin a + cos a)^{2} = 1 + sin 2 a \Rightarrow sin 2 a = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}

(cos a - sin a)^{2} = 1 - sin 2 a = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}

Với

\frac{π}{2} < a < \frac{3 π}{4}

thì

sin a > cos a

nên

cos a - sin a = - \frac{7}{2}

cos 2 a = (cos a - sin a) (cos a + sin a) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{7}{4}

tan 2 a = \frac{sin 2 a}{cos 2 a} = \frac{- 3/4}{- 7 /4} = \frac{3}{7} = \frac{3 7}{7}

Vậy a) sin2a=−4√2/9, cos2a=7/9, tan2a=−4√2/7; b) sin2a=−3/4, cos2a=−√7/4, tan2a=3√7/7.

2Cách 2. Dùng dạng khác của công thức nhân đôi (câu a) và giải hệ tìm sin a, cos a (câu b)

Định hướng. Câu a) kiểm tra lại bằng dạng cos2a=2cos²a−1 và công thức tan2a=2tan a/(1−tan²a); câu b) tìm riêng sin a, cos a bằng cách giải hệ sin a+cos a=1/2 và sin²a+cos²a=1.

cos 2 a = 2 cos^{2} a - 1 = 2 \cdot \frac{8}{9} - 1 = \frac{7}{9}

— khớp Cách 1

tan a = \frac{sin a}{cos a} = - \frac{2}{4}

tan 2 a = \frac{2 tan a}{1 - tan ^{2} a} = \frac{- \frac{2}{2}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{- \frac{2}{2}}{\frac{7}{8}} = - \frac{4 2}{7}

— khớp
b)

sin a cos a = \frac{( sin a + cos a ) ^{2} - 1}{2} = \frac{\frac{1}{4} - 1}{2} = - \frac{3}{8}

sin a, cos a là nghiệm của

x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{8} = 0

, tức

8 x^{2} - 4 x - 3 = 0

x = \frac{4 \pm 16 + 96}{16} = \frac{1 \pm 7}{4}

sin a > cos a

sin a = \frac{1 + 7}{4}, cos a = \frac{1 - 7}{4}

sin 2 a = 2 sin a cos a = 2 \cdot (- \frac{3}{8}) = - \frac{3}{4}

— khớp Cách 1

Vậy hai cách cho cùng đáp số như Cách 1.

Nhận xét. Cách giải hệ ở câu b) còn cho biết chính xác sin a, cos a chứ không chỉ sin2a, cos2a.

Đáp số. a) sin2a=−4√2/9, cos2a=7/9, tan2a=−4√2/7 · b) sin2a=−3/4, cos2a=−√7/4, tan2a=3√7/7

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), quên xét dấu của cos a−sin a theo khoảng đã cho, có thể lấy nhầm cos a−sin a=+√7/2 dẫn tới cos2a sai dấu.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 1.10★★★Trang 21— Rút gọn biểu thức lượng giác bằng công thức cộng và công thức nhân đôi

Bài 1.10 (trang 21). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

A = \frac{sin \frac{π}{15} cos \frac{π}{10} + sin \frac{π}{10} cos \frac{π}{15}}{cos \frac{2 π}{15} cos \frac{π}{5} - sin \frac{2 π}{15} sin \frac{π}{5}}

;
b)

B = sin \frac{π}{32} cos \frac{π}{32} cos \frac{π}{16} cos \frac{π}{8}

Kiến thức cần nhớ

sin X cos Y+cos X sin Y=sin(X+Y); cos X cos Y−sin X sin Y=cos(X+Y).
sin a cos a=½sin2a; công thức nhân đôi có thể áp dụng liên tiếp.

1Cách 1. Nhận diện công thức cộng và gấp đôi góc liên tiếp

Định hướng. Tử và mẫu của A đúng dạng khai triển của sin(X+Y) và cos(X+Y); còn B là tích một hàm sin với ba hàm côsin có góc gấp đôi liên tiếp nên áp dụng liên tiếp sin a cos a=½sin2a.

a) Tử

= sin (\frac{π}{15} + \frac{π}{10}) = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

Mẫu

= cos (\frac{2 π}{15} + \frac{π}{5}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

A = \frac{1/2}{1/2} = 1

sin \frac{π}{32} cos \frac{π}{32} = \frac{1}{2} sin \frac{π}{16}

B = \frac{1}{2} sin \frac{π}{16} cos \frac{π}{16} cos \frac{π}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} sin \frac{π}{8} cos \frac{π}{8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} sin \frac{π}{4} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{16}

Vậy A = 1 và B = √2/16.

2Cách 2. Liên hệ tử-mẫu qua góc nhân đôi (câu a) và công thức tích cosin liên tiếp gấp đôi góc (câu b)

Định hướng. Câu a) nhận ra góc ở mẫu (π/3) đúng bằng hai lần góc ở tử (π/6) nên dùng công thức nhân đôi cos2θ=1−2sin²θ để suy mẫu từ tử; câu b) dùng công thức tích $cos θ cos 2 θ cos 4 θ = \frac{sin 8 θ}{8 sin θ}$ với $θ = π /32$ .

a) Đặt

N = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

; mẫu

= cos \frac{π}{3} = cos (2 \cdot \frac{π}{6}) = 1 - 2 N^{2} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

A = \frac{N}{1 - 2 N ^{2}} = \frac{1/2}{1/2} = 1

— khớp Cách 1
b)

cos \frac{π}{32} cos \frac{π}{16} cos \frac{π}{8} = \frac{sin ( 8 \cdot \frac{π}{32} )}{8 sin \frac{π}{32}} = \frac{sin \frac{π}{4}}{8 sin \frac{π}{32}}

B = sin \frac{π}{32} \cdot \frac{sin \frac{π}{4}}{8 sin \frac{π}{32}} = \frac{sin \frac{π}{4}}{8} = \frac{2 /2}{8} = \frac{2}{16}

Vậy A = 1, B = √2/16, trùng Cách 1.

Nhận xét. Công thức tích các côsin có góc gấp đôi liên tiếp ở Cách 2 (câu b) rất hữu ích khi số thừa số côsin lớn, tránh phải gấp đôi từng bước như Cách 1.

Đáp số. A = 1 ; B = √2/16

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhân thiếu hệ số ½ ở một trong ba lần áp dụng công thức sin a cos a=½sin2a, dẫn tới kết quả gấp đôi hoặc gấp bốn giá trị đúng.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 1.11★★★Trang 21— Chứng minh đẳng thức lượng giác bằng công thức cộng hoặc công thức tích thành tổng

Bài 1.11 (trang 21). Chứng minh đẳng thức sau:

sin (a + b) sin (a - b) = sin^{2} a - sin^{2} b = cos^{2} b - cos^{2} a

Kiến thức cần nhớ

sin(a+b)sin(a−b) là tích của tổng và hiệu nên khai triển sẽ xuất hiện dạng bình phương.
sin²x+cos²x=1 dùng để chuyển giữa sin²a−sin²b và cos²b−cos²a.

1Cách 1. Khai triển trực tiếp theo công thức cộng

Định hướng. Khai triển sin(a+b) và sin(a−b) theo công thức cộng, nhân theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, rồi thay sin²=1−cos² để rút gọn.

sin (a + b) sin (a - b) = (sin a cos b + cos a sin b) (sin a cos b - cos a sin b)

= sin^{2} a cos^{2} b - cos^{2} a sin^{2} b

= sin^{2} a (1 - sin^{2} b) - (1 - sin^{2} a) sin^{2} b

= sin^{2} a - sin^{2} a sin^{2} b - sin^{2} b + sin^{2} a sin^{2} b = sin^{2} a - sin^{2} b

sin^{2} a - sin^{2} b = (1 - cos^{2} a) - (1 - cos^{2} b) = cos^{2} b - cos^{2} a

Vậy sin(a+b)sin(a−b) = sin²a−sin²b = cos²b−cos²a, đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Dùng công thức biến đổi tích thành tổng

Định hướng. Xem sin(a+b) và sin(a−b) là hai thừa số dạng sin X sin Y với X=a+b, Y=a−b, rồi áp dụng trực tiếp công thức biến đổi tích thành tổng thay vì khai triển từng thừa số.

sin (a + b) sin (a - b) = \frac{1}{2} [cos ((a + b) - (a - b)) - cos ((a + b) + (a - b))]

= \frac{1}{2} [cos 2 b - cos 2 a]

= \frac{1}{2} [(1 - 2 sin^{2} b) - (1 - 2 sin^{2} a)] = \frac{1}{2} [2 sin^{2} a - 2 sin^{2} b] = sin^{2} a - sin^{2} b

sin^{2} a - sin^{2} b = cos^{2} b - cos^{2} a

(do

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

)

Vậy kết quả trùng Cách 1: sin(a+b)sin(a−b) = sin²a−sin²b = cos²b−cos²a.

Nhận xét. Cách 2 dùng trực tiếp công thức tích thành tổng sin X sin Y=½[cos(X−Y)−cos(X+Y)] nên gọn hơn Cách 1, không cần khai triển hết bốn số hạng.

Đáp số. sin(a+b)sin(a−b) = sin²a − sin²b = cos²b − cos²a (đẳng thức đúng với mọi a, b)

Sai lầm thường gặp. Nhầm hiệu hai bình phương: khai triển (sin a cos b+cos a sin b)(sin a cos b−cos a sin b) thành sin²a cos²b+cos²a sin²b (quên dấu trừ ở số hạng thứ hai).

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 1.12★★★★Trang 21— Tính diện tích tam giác qua định lí sin và công thức biến đổi tích thành tổng

Bài 1.12 (trang 21). Cho tam giác

A B C

có

B = 75°

;

C = 45°

và

a = B C = 12

cm.
a) Sử dụng công thức

S = \frac{1}{2} ab sin C

và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác

A B C

cho bởi công thức

S = \frac{a ^{2} sin B sin C}{2 sin A}

.
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích

S

của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Định lí sin: a/sin A = b/sin B = c/sin C.
sin X sin Y = ½[cos(X−Y)−cos(X+Y)]; tổng ba góc trong tam giác bằng 180°.

1Cách 1. Thế định lí sin vào công thức diện tích rồi dùng công thức tích thành tổng

Định hướng. Từ định lí sin rút b theo a, A, B rồi thế vào S=½ab sinC để được công thức tổng quát; sau đó tính góc A=180°−B−C và dùng công thức tích thành tổng để ra số cụ thể.

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} \Rightarrow b = \frac{a sin B}{sin A}

S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} a \cdot \frac{a sin B}{sin A} \cdot sin C = \frac{a ^{2} sin B sin C}{2 sin A}

A = 180° - 75° - 45° = 60°

sin 75° sin 45° = \frac{1}{2} [cos (75° - 45°) - cos (75° + 45°)] = \frac{1}{2} [cos 30° - cos 120°]

= \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \frac{1}{2}] = \frac{3 + 1}{4}

S = \frac{1 2 ^{2} sin 75° sin 45°}{2 sin 60°} = \frac{144 \cdot \frac{3 + 1}{4}}{2 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{36 ( 3 + 1 )}{3} = 123 (3 + 1) = 36 + 123

Vậy a) S = a²sinB sinC/(2sinA) (đúng với mọi tam giác); b) S = 36 + 12√3 (cm²).

2Cách 2. Tính hai cạnh b, c bằng định lí sin rồi thay trực tiếp vào S=½bc sinA

Định hướng. Dùng bán kính đường tròn ngoại tiếp 2R=a/sinA để tính đủ ba cạnh a, b, c theo giá trị lượng giác đặc biệt của 75°, 45° (Bài 1.7), rồi tính diện tích trực tiếp bằng S=½bc sinA, không cần công thức biến đổi tích thành tổng.

2 R = \frac{a}{sin A} = \frac{12}{sin 60°} = \frac{24}{3} = 83

c = 2 R sin C = 83 sin 45° = 83 \cdot \frac{2}{2} = 46

b = 2 R sin B = 83 sin 75° = 83 \cdot \frac{6 + 2}{4} = 23 (6 + 2) = 62 + 26

b c = (62 + 26) (46) = 2412 + 8 \cdot 6 = 483 + 48

S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} (483 + 48) \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{4} (144 + 483) = 36 + 123

Vậy S = 36+12√3 (cm²), trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 kiểm tra chéo được cả hai cạnh b, c của tam giác chứ không chỉ diện tích, nhưng tính toán dài hơn Cách 1.

Đáp số. a) S = a²sinB sinC/(2sinA) · b) S = 36 + 12√3 (cm²) ≈ 56,78 cm²

Sai lầm thường gặp. Quên tính lại góc A=180°−B−C trước khi thế vào công thức, hoặc nhầm vai trò cạnh a với cạnh b, c trong công thức S=a²sinB sinC/(2sinA).

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 1.13★★★Trang 21— Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng tần số bằng công thức biến đổi tổng thành tích

Bài 1.13 (trang 21). Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức

x (t) = A cos (ω t + φ)

, trong đó

t

là thời điểm (tính bằng giây),

x (t)

là li độ của vật tại thời điểm

t

A

là biên độ dao động

(A > 0)

và

φ \in [- π; π]

là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hoà có phương trình:

x_{1} (t) = 2 cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})

(cm),

x_{2} (t) = 2 cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{3})

(cm).
Tìm dao động tổng hợp

x (t) = x_{1} (t) + x_{2} (t)

và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Kiến thức cần nhớ

cos U+cos V=2cos((U+V)/2)cos((U−V)/2).
Dạng chuẩn x(t)=Acos(ωt+φ) với A>0 và φ∈[−π;π].

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức biến đổi tổng thành tích

Định hướng. Đặt U, V là hai góc trong x1, x2 rồi dùng công thức cos U+cos V=2cos((U+V)/2)cos((U−V)/2) để đưa tổng về dạng tích đúng chuẩn Acos(ωt+φ).

U = \frac{π}{3} t + \frac{π}{6}, V = \frac{π}{3} t - \frac{π}{3}

\frac{U + V}{2} = \frac{π}{3} t - \frac{π}{12}, \frac{U - V}{2} = \frac{π}{4}

x (t) = 2 cos U + 2 cos V = 4 cos \frac{π}{4} cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{12})

= 4 \cdot \frac{2}{2} cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{12}) = 22 cos (\frac{π}{3} t - \frac{π}{12})

Vậy x(t) = 2√2 cos(πt/3 − π/12) (cm), nên biên độ A = 2√2 cm và pha ban đầu φ = −π/12.

2Cách 2. Khai triển từng số hạng theo công thức cộng rồi đồng nhất hệ số

Định hướng. Khai triển x1, x2 theo công thức cộng thành tổ hợp của cos(πt/3) và sin(πt/3), cộng lại, rồi đồng nhất với A cos(πt/3+φ) để tìm A, φ.

x_{1} = 2 (cos \frac{π}{3} t cos \frac{π}{6} - sin \frac{π}{3} t sin \frac{π}{6}) = 3 cos \frac{π}{3} t - sin \frac{π}{3} t

x_{2} = 2 (cos \frac{π}{3} t cos \frac{π}{3} + sin \frac{π}{3} t sin \frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} t + 3 sin \frac{π}{3} t

x (t) = (3 + 1) cos \frac{π}{3} t + (3 - 1) sin \frac{π}{3} t

A cos φ = 3 + 1, - A sin φ = 3 - 1 \Rightarrow A^{2} = (3 + 1)^{2} + (3 - 1)^{2} = 8 \Rightarrow A = 22

cos φ = \frac{3 + 1}{2 2} \approx 0, 9659 > 0, sin φ = - \frac{3 - 1}{2 2} \approx - 0, 2588 < 0 \Rightarrow φ = - \frac{π}{12}

Vậy A = 2√2 cm, φ = −π/12, trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dài hơn nhưng cho thấy rõ vì sao A²=(√3+1)²+(√3−1)²=8 — chính là hệ quả của công thức A²=A1²+A2²+2A1A2cos(Δφ) trong tổng hợp dao động ở Vật lí.

Đáp số. x(t) = 2√2 cos(πt/3 − π/12) (cm) ; biên độ A = 2√2 cm, pha ban đầu φ = −π/12

Sai lầm thường gặp. Tính nhầm (U−V)/2 thành U−V (quên chia 2), hoặc quên rằng cos là hàm chẵn nên viết sai dấu góc (U−V)/2 = π/4 thành −π/4.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗