Bài 3. Hàm số lượng giác

Định hướng. Chu kì hô hấp chính là chu kì của hàm số $v(t)=0,85\sin \frac{\pi t}{3}$; có chu kì rồi thì lấy $60$ giây chia cho chu kì là ra số nhịp thở trong một phút.

Vậy một chu kì hô hấp đầy đủ kéo dài $6$ giây và trong một phút người đó thực hiện $10$ chu kì hô hấp.

Định hướng. Tìm trực tiếp số $T>0$ nhỏ nhất sao cho $v(t+T)=v(t)$ với mọi $t$, thay vì mượn công thức có sẵn.

Vậy chu kì hô hấp là $6$ giây, trong một phút có $10$ chu kì hô hấp.

Nhận xét. Cách 2 giải thích vì sao công thức $T=\frac{2\pi }{\omega }$ dùng được: đồ thị của $v$ lặp lại đúng sau mỗi $6$ giây.

Định hướng. Có $\sin x$ và $\cos x$ thì $\tan x$, $\cot x$ chỉ còn là hai thương số; chỗ nào mẫu bằng $0$ thì giá trị đó không tồn tại.

Vậy với $x=\frac{\pi }{6}$ thì $\sin x=\frac{1}{2}$, $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot x=\sqrt{3}$; với $x=0$ thì $\sin x=0$, $\cos x=1$, $\tan x=0$, còn $\cot x$ không xác định; với $x=-\frac{\pi }{2}$ thì $\sin x=-1$, $\cos x=0$, $\cot x=0$, còn $\tan x$ không xác định.

Định hướng. Điểm $M$ biểu diễn góc $x$ trên đường tròn lượng giác có hoành độ là $\cos x$, tung độ là $\sin x$; nhìn toạ độ là ra ngay bốn giá trị lượng giác.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Nhìn trên đường tròn lượng giác thấy ngay lí do hai ô trong bảng bị bỏ trống: mẫu số của tỉ số tương ứng bằng $0$.

Định hướng. Biểu thức $\frac{1}{\sin x}$ có nghĩa đúng khi $\sin x\ne 0$, nên chỉ cần loại khỏi $\mathbb{R}$ những giá trị làm $\sin x$ triệt tiêu.

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

Định hướng. $\sin x$ là tung độ điểm biểu diễn $M$; tung độ bằng $0$ đúng khi $M$ nằm trên trục hoành, tức là $M$ trùng $A$ hoặc $A^{\prime }$.

Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

Nhận xét. Hàm số $y=\frac{1}{\cos x}$ làm hoàn toàn tương tự và cho $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$ như Ví dụ 1.

Định hướng. Hai hàm đã cho là đa thức nên xác định trên toàn $\mathbb{R}$; chỉ việc thay $-x$ vào rồi so với $f(x)$, $g(x)$.

Vậy $D_f=D_g=\mathbb{R}$; $f(-x)=f(x)$ nên đồ thị hàm số $y=x^2$ nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng; $g(-x)=-g(x)$ nên đồ thị hàm số $y=x^3$ nhận gốc toạ độ $O$ làm tâm đối xứng.

Định hướng. Lấy một điểm bất kì của đồ thị rồi kiểm tra điểm đối xứng của nó (qua $Oy$, qua $O$) có thuộc đồ thị hay không; nếu luôn thuộc thì đồ thị có trục (tâm) đối xứng tương ứng.

Vậy đồ thị $y=x^2$ đối xứng qua $Oy$, đồ thị $y=x^3$ đối xứng qua $O$, đúng như kết quả đại số ở Cách 1.

Nhận xét. Nhờ tính đối xứng này, muốn vẽ đồ thị hàm chẵn (hoặc lẻ) ta chỉ cần vẽ phần ứng với $x$ dương rồi lấy đối xứng qua trục tung (hoặc qua gốc toạ độ).

Định hướng. Tập xác định của $g$ chỉ bỏ đi điểm $0$ nên đối xứng qua $0$; việc còn lại là so $g(-x)$ với $-g(x)$.

Vậy $g(x)=\frac{1}{x}$ là hàm số lẻ.

Định hướng. Nếu đồ thị nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng thì hàm số lẻ; lấy thêm một cặp giá trị đối nhau để đối chiếu cho chắc.

Vậy đồ thị nhận gốc toạ độ $O$ làm tâm đối xứng, tức $g(x)=\frac{1}{x}$ là hàm số lẻ.

Nhận xét. Chỉ thử vài giá trị thì chưa đủ để kết luận; phép thử ở đây chỉ để kiểm tra lại chứng minh tổng quát ở Cách 1.

Định hướng. Cộng thêm $2\pi$ là quay đúng một vòng nên điểm biểu diễn không đổi; cộng thêm $\pi$ là quay nửa vòng nên hai toạ độ cùng đổi dấu, tỉ số của chúng giữ nguyên.

Vậy $\sin (x+2\pi )=\sin x$; $\cos (x+2\pi )=\cos x$; $\tan (x+\pi )=\tan x$; $\cot (x+\pi )=\cot x$.

Định hướng. Thay $2\pi$ và $\pi$ vào công thức cộng, các giá trị $\sin 2\pi =0$, $\cos 2\pi =1$, $\sin \pi =0$, $\cos \pi =-1$ làm biểu thức rút gọn hẳn.

Vậy bốn đẳng thức so sánh đều là dấu bằng.

Nhận xét. Đây chính là lí do $y=\sin x$, $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$, còn $y=\tan x$, $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.

Định hướng. Hàm hằng nhận cùng một giá trị ở mọi điểm nên điều kiện $f(x+T)=f(x)$ hiển nhiên đúng; vấn đề chỉ nằm ở chỗ có tồn tại số $T$ dương nhỏ nhất hay không.

Vậy hàm số hằng $f(x)=c$ là hàm số tuần hoàn (mọi số $T\ne 0$ đều thoả mãn định nghĩa), nhưng nó không có chu kì vì trong các số dương thoả mãn không có số nhỏ nhất.

Định hướng. Giả sử hàm hằng có chu kì rồi chỉ ra một số dương nhỏ hơn vẫn thoả mãn, mâu thuẫn với tính nhỏ nhất.

Vậy không tồn tại chu kì của hàm số hằng: nó tuần hoàn nhưng không có chu kì.

Nhận xét. Đây là ví dụ cho thấy tuần hoàn và có chu kì là hai chuyện khác nhau; các hàm $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$ thì vừa tuần hoàn vừa có chu kì.

Định hướng. Dùng ngay tính chất $\tan (u+\pi )=\tan u$ với $u=2x$: cộng $\frac{\pi }{2}$ vào $x$ chính là cộng $\pi$ vào $u$.

Vậy $y=\tan 2x$ là hàm số tuần hoàn.

Định hướng. Đặt $u=2x$ để mượn chu kì $\pi$ của hàm tang, sau đó phản chứng để loại mọi số dương nhỏ hơn $\frac{\pi }{2}$.

Vậy $y=\tan 2x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{2}$.

Nhận xét. Tổng quát, $y=\tan (\omega x)$ với $\omega >0$ tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{\omega }$, khác với $y=\sin (\omega x)$ có chu kì $\frac{2\pi }{\omega }$.

Định hướng. Tính phần $x$ không âm trước, phần $x$ âm suy ra nhờ tính lẻ; có bảng giá trị rồi thì nối điểm được đồ thị và đọc luôn tập giá trị cùng các khoảng biến thiên.

Vậy $y=\sin x$ là hàm số lẻ; tập giá trị là $[-1;1]$; hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Định hướng. $\sin x$ là tung độ điểm $M$ biểu diễn góc $x$; cho $M$ chạy trên đường tròn lượng giác thì tung độ của nó cho biết ngay tập giá trị và chiều biến thiên.

Vậy tập giá trị của hàm số là $[-1;1]$; hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$, nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$.

Nhận xét. Vì hàm số lẻ nên đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ; chỉ cần vẽ trên $[0;\pi ]$ rồi lấy đối xứng và tịnh tiến theo chu kì $2\pi$ là được toàn bộ đường hình sin.

Định hướng. Nhân bất đẳng thức $-1\le \sin x\le 1$ với số dương $2$ để chặn $y$, sau đó tìm $x$ làm cho $y$ nhận đúng hai đầu mút.

Vậy tập giá trị của hàm số $y=2\sin x$ là đoạn $[-2;2]$.

Định hướng. Đồ thị $y=2\sin x$ có được từ đường hình sin bằng cách nhân đôi mọi tung độ, nên hai đường biên $y=\pm 1$ trở thành $y=\pm 2$.

Vậy tập giá trị của hàm số là $[-2;2]$.

Nhận xét. Cùng cách làm này, hàm số $y=a\sin x$ với $a>0$ có tập giá trị $[-a;a]$.

Định hướng. Vẽ đồ thị $v=0,85\sin \frac{\pi t}{3}$ rồi nhìn phần nằm trên trục hoành (hít vào) và phần nằm dưới trục hoành (thở ra) trong $5$ giây đầu.

Vậy a) một chu kì hô hấp dài $6$ giây và một phút có $10$ chu kì; b) trong $5$ giây đầu, người đó hít vào khi $0<t<3$ và thở ra khi $3<t<5$.

Định hướng. Đặt $u=\frac{\pi t}{3}$ để đưa về xét dấu của $\sin u$ trên đoạn tương ứng, rồi trả lại biến $t$.

Vậy người đó hít vào trong khoảng thời gian $0<t<3$ (giây) và thở ra trong khoảng $3<t\le 5$ (giây); nếu chỉ xét bên trong khoảng khảo sát thì thở ra khi $3<t<5$.

Nhận xét. Chu kì $6$ giây gồm $3$ giây hít vào và $3$ giây thở ra, khớp với nhịp thở thực tế khi nghỉ ngơi.

Định hướng. Tính phần $x$ không âm, phần $x$ âm suy ra nhờ tính chẵn; sau đó nối điểm được đồ thị và đọc tập giá trị cùng các khoảng biến thiên.

Vậy $y=\cos x$ là hàm số chẵn; tập giá trị là $[-1;1]$; hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\pi +k2\pi ;k2\pi )$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k2\pi ;\pi +k2\pi )$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Định hướng. Viết $\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ để mượn nguyên các tính chất vừa có của hàm số $y=\sin x$, chỉ cần dịch chuyển các khoảng đi $\frac{\pi }{2}$.

Vậy tập giá trị là $[-1;1]$; hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\pi +k2\pi ;k2\pi )$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k2\pi ;\pi +k2\pi )$, $k\in \mathbb{Z}$.

Nhận xét. Đồ thị $y=\cos x$ chính là đồ thị $y=\sin x$ tịnh tiến sang trái $\frac{\pi }{2}$ đơn vị, nên hai đồ thị cùng là đường hình sin.

Định hướng. Nhân bất đẳng thức $-1\le \cos x\le 1$ với $-3$ và đổi chiều, rồi chỉ ra hai giá trị của $x$ làm $y$ đạt hai đầu mút.

Vậy tập giá trị của hàm số $y=-3\cos x$ là đoạn $[-3;3]$.

Định hướng. Đặt $u=\cos x$ thì $u$ chạy khắp đoạn $[-1;1]$, bài toán trở thành tìm tập giá trị của hàm bậc nhất $y=-3u$ trên đoạn đó.

Vậy tập giá trị của hàm số là $[-3;3]$.

Nhận xét. Đồ thị $y=-3\cos x$ là đường hình sin nằm giữa hai đường thẳng $y=-3$ và $y=3$; dấu trừ chỉ lật ngược đồ thị qua trục hoành chứ không đổi tập giá trị so với $y=3\cos x$.

Định hướng. Biên độ phải dương nên phải chuyển dấu trừ vào trong bằng $-\cos u=\cos (u+\pi )$, khi đó pha ban đầu hiện ra ngay.

Vậy a) biên độ dao động là $A=5$ cm và pha ban đầu là $\phi =\pi$; b) pha của dao động tại thời điểm $t=2$ giây là $9\pi$ và trong $2$ giây vật thực hiện được $4$ dao động toàn phần.

Định hướng. Biên độ là giá trị lớn nhất của $|x(t)|$; còn mỗi dao động toàn phần ứng với pha quét thêm đúng $2\pi$, nên chỉ cần đếm số $2\pi$ trong độ tăng của pha.

Vậy $A=5$ cm, $\phi =\pi$, pha tại $t=2$ giây bằng $9\pi$ và vật thực hiện $4$ dao động toàn phần.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy vì sao pha ban đầu bằng $\pi$: tại thời điểm $t=0$ vật đang ở vị trí biên âm $x=-5$ cm.

Định hướng. Tính $\tan x$ ở các góc đặc biệt dương, phần âm suy ra nhờ tính lẻ; nối điểm được một nhánh, rồi tịnh tiến theo chu kì $\pi$ thành toàn bộ đồ thị.

Vậy $y=\tan x$ là hàm số lẻ; tập giá trị là $\mathbb{R}$; hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Định hướng. $\tan x$ là tung độ giao điểm của đường thẳng $OM$ với trục tang (tiếp tuyến tại $A$); cho $M$ chạy trên nửa đường tròn là thấy ngay tập giá trị và chiều biến thiên.

Vậy tập giá trị của hàm số là $\mathbb{R}$ và hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$.

Nhận xét. Đồ thị gồm các nhánh rời nhau, không được nối liền hai nhánh qua đường tiệm cận; vì thế không nói hàm tang đồng biến trên toàn bộ tập xác định.

Định hướng. Chia đoạn $\left[-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$ theo các đường tiệm cận rồi trên mỗi nhánh xem phần nào của đồ thị nằm dưới trục hoành.

Vậy trên đoạn $\left[-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$ thì $y<0$ khi $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)\cup \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$.

Định hướng. $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ nên $\tan x<0$ đúng khi $\sin x$ và $\cos x$ trái dấu, tức là điểm biểu diễn nằm ở góc phần tư thứ hai hoặc thứ tư.

Vậy $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)\cup \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$.

Nhận xét. Hai đầu mút $x=-\frac{\pi }{2}$ và $x=\frac{\pi }{2}$ bị loại vì hàm số không xác định, còn $x=0$ và $x=\pi$ bị loại vì tại đó $y=0$ chứ không âm.

Định hướng. Tính $\cot x$ theo tỉ số $\frac{\cos x}{\sin x}$ tại các góc đặc biệt trong $(0;\pi )$, nối điểm được một nhánh rồi tịnh tiến theo chu kì $\pi$.

Vậy $y=\cot x$ là hàm số lẻ; tập giá trị là $\mathbb{R}$; hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi ;\pi +k\pi )$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Định hướng. Viết $\cot x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$; hàm $\tan$ đồng biến còn phép thay $x$ bởi $\frac{\pi }{2}-x$ làm đảo chiều, nên $\cot$ nghịch biến.

Vậy tập giá trị của hàm số là $\mathbb{R}$ và hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi ;\pi +k\pi )$, $k\in \mathbb{Z}$.