Bài 3. Hàm số lượng giác

Định hướng. Chu kì hô hấp chính là chu kì của hàm số $v(t)=0,85\sin \frac{\pi t}{3}$; có chu kì rồi thì lấy $60$ giây chia cho chu kì là ra số nhịp thở trong một phút.

Vậy một chu kì hô hấp đầy đủ kéo dài $6$ giây và trong một phút người đó thực hiện $10$ chu kì hô hấp.

Định hướng. Tìm trực tiếp số $T>0$ nhỏ nhất sao cho $v(t+T)=v(t)$ với mọi $t$, thay vì mượn công thức có sẵn.

Vậy chu kì hô hấp là $6$ giây, trong một phút có $10$ chu kì hô hấp.

Nhận xét. Cách 2 giải thích vì sao công thức $T=\frac{2\pi }{\omega }$ dùng được: đồ thị của $v$ lặp lại đúng sau mỗi $6$ giây.

Định hướng. Một nhịp thở gồm đúng một lần hít vào ($v>0$) rồi một lần thở ra ($v<0$); tìm các mốc đổi dấu của $v$ là đo được trực tiếp độ dài một nhịp mà không cần công thức chu kì.

Vậy một chu kì hô hấp đầy đủ kéo dài $6$ giây và trong một phút người đó thở $10$ nhịp.

Nhận xét. Cách này gắn chu kì với ý nghĩa thực tế: nửa chu kì đầu hít vào, nửa sau thở ra — nên vừa ra đáp số vừa chuẩn bị sẵn cho câu b) của Vận dụng 1.

Định hướng. Có $\sin x$ và $\cos x$ thì $\tan x$, $\cot x$ chỉ còn là hai thương số; chỗ nào mẫu bằng $0$ thì giá trị đó không tồn tại.

Vậy với $x=\frac{\pi }{6}$ thì $\sin x=\frac{1}{2}$, $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot x=\sqrt{3}$; với $x=0$ thì $\sin x=0$, $\cos x=1$, $\tan x=0$, còn $\cot x$ không xác định; với $x=-\frac{\pi }{2}$ thì $\sin x=-1$, $\cos x=0$, $\cot x=0$, còn $\tan x$ không xác định.

Định hướng. Điểm $M$ biểu diễn góc $x$ trên đường tròn lượng giác có hoành độ là $\cos x$, tung độ là $\sin x$; nhìn toạ độ là ra ngay bốn giá trị lượng giác.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Nhìn trên đường tròn lượng giác thấy ngay lí do hai ô trong bảng bị bỏ trống: mẫu số của tỉ số tương ứng bằng $0$.

Định hướng. Đặt máy ở chế độ rađian rồi bấm trực tiếp từng giá trị: kết quả gần đúng dùng để đối chiếu với giá trị chính xác vừa tra bảng, còn thông báo lỗi của máy xác nhận đúng hai ô không xác định.

Vậy bảng đã điền khớp hoàn toàn với máy tính, và hai ô $\cot 0$, $\tan \left(-\frac{\pi }{2}\right)$ đúng là không xác định.

Nhận xét. Thông báo lỗi của máy là bằng chứng trực quan nhất cho học sinh thấy "không xác định" khác hẳn với "bằng $0$".

Định hướng. Biểu thức $\frac{1}{\sin x}$ có nghĩa đúng khi $\sin x\ne 0$, nên chỉ cần loại khỏi $\mathbb{R}$ những giá trị làm $\sin x$ triệt tiêu.

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

Định hướng. $\sin x$ là tung độ điểm biểu diễn $M$; tung độ bằng $0$ đúng khi $M$ nằm trên trục hoành, tức là $M$ trùng $A$ hoặc $A^{\prime }$.

Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

Nhận xét. Hàm số $y=\frac{1}{\cos x}$ làm hoàn toàn tương tự và cho $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$ như Ví dụ 1.

Định hướng. Mẫu thức triệt tiêu đúng tại những chỗ đồ thị $y=\sin x$ cắt trục hoành, nên chỉ cần nhìn đồ thị đọc ra các hoành độ giao điểm rồi loại chúng khỏi tập số thực.

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Nhận xét. Nhìn đồ thị cho thấy ngay các điểm phải loại rải đều trên trục hoành với khoảng cách $\pi$, đó là lí do nghiệm gộp được thành một họ duy nhất.

Định hướng. Hai hàm đã cho là đa thức nên xác định trên toàn $\mathbb{R}$; chỉ việc thay $-x$ vào rồi so với $f(x)$, $g(x)$.

Vậy $D_f=D_g=\mathbb{R}$; $f(-x)=f(x)$ nên đồ thị hàm số $y=x^2$ nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng; $g(-x)=-g(x)$ nên đồ thị hàm số $y=x^3$ nhận gốc toạ độ $O$ làm tâm đối xứng.

Định hướng. Lấy một điểm bất kì của đồ thị rồi kiểm tra điểm đối xứng của nó (qua $Oy$, qua $O$) có thuộc đồ thị hay không; nếu luôn thuộc thì đồ thị có trục (tâm) đối xứng tương ứng.

Vậy đồ thị $y=x^2$ đối xứng qua $Oy$, đồ thị $y=x^3$ đối xứng qua $O$, đúng như kết quả đại số ở Cách 1.

Nhận xét. Nhờ tính đối xứng này, muốn vẽ đồ thị hàm chẵn (hoặc lẻ) ta chỉ cần vẽ phần ứng với $x$ dương rồi lấy đối xứng qua trục tung (hoặc qua gốc toạ độ).

Định hướng. Chứng minh một lần cho hàm $y=x^n$ với $n$ nguyên dương, hai hàm của đề chỉ còn là hai trường hợp riêng ứng với $n=2$ và $n=3$.

Vậy $D_f=D_g=\mathbb{R}$; $y=x^2$ là hàm số chẵn (đồ thị đối xứng qua $Oy$) và $y=x^3$ là hàm số lẻ (đồ thị đối xứng qua $O$).

Nhận xét. Làm một lần cho $y=x^n$ rồi thay $n$ cụ thể là mẹo tiết kiệm sức rất đáng dùng, và nó giải thích luôn vì sao $y=x^4$ chẵn còn $y=x^5$ lẻ mà không phải tính lại.

Định hướng. Tập xác định của $g$ chỉ bỏ đi điểm $0$ nên đối xứng qua $0$; việc còn lại là so $g(-x)$ với $-g(x)$.

Vậy $g(x)=\frac{1}{x}$ là hàm số lẻ.

Định hướng. Nếu đồ thị nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng thì hàm số lẻ; lấy thêm một cặp giá trị đối nhau để đối chiếu cho chắc.

Vậy đồ thị nhận gốc toạ độ $O$ làm tâm đối xứng, tức $g(x)=\frac{1}{x}$ là hàm số lẻ.

Nhận xét. Chỉ thử vài giá trị thì chưa đủ để kết luận; phép thử ở đây chỉ để kiểm tra lại chứng minh tổng quát ở Cách 1.

Định hướng. Tách $g$ thành thương của một hàm hằng (hàm chẵn) và hàm $y=x$ (hàm lẻ), rồi dùng quy tắc: thương của một hàm chẵn với một hàm lẻ là hàm lẻ — khỏi phải tính $g(-x)$.

Vậy $g(x)=\frac{1}{x}$ là hàm số lẻ, trùng kết luận của hai cách trên.

Nhận xét. Ghi nhớ bộ quy tắc "chẵn nhân chẵn là chẵn, lẻ nhân lẻ là chẵn, chẵn nhân lẻ là lẻ" (đúng cho cả phép chia) sẽ rút ngắn rất nhiều bài xét tính chẵn lẻ của biểu thức phức tạp.

Định hướng. Cộng thêm $2\pi$ là quay đúng một vòng nên điểm biểu diễn không đổi; cộng thêm $\pi$ là quay nửa vòng nên hai toạ độ cùng đổi dấu, tỉ số của chúng giữ nguyên.

Vậy $\sin (x+2\pi )=\sin x$; $\cos (x+2\pi )=\cos x$; $\tan (x+\pi )=\tan x$; $\cot (x+\pi )=\cot x$.

Định hướng. Thay $2\pi$ và $\pi$ vào công thức cộng, các giá trị $\sin 2\pi =0$, $\cos 2\pi =1$, $\sin \pi =0$, $\cos \pi =-1$ làm biểu thức rút gọn hẳn.

Vậy bốn đẳng thức so sánh đều là dấu bằng.

Nhận xét. Đây chính là lí do $y=\sin x$, $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$, còn $y=\tan x$, $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.

Định hướng. Muốn so sánh hai biểu thức thì lập hiệu của chúng: công thức biến đổi hiệu thành tích luôn làm xuất hiện thừa số $\sin \pi =0$, nên hiệu bằng $0$ và hai vế bằng nhau.

Vậy $\sin (x+2\pi )=\sin x$, $\cos (x+2\pi )=\cos x$, $\tan (x+\pi )=\tan x$, $\cot (x+\pi )=\cot x$.

Nhận xét. Hai công thức $\tan A-\tan B=\frac{\sin (A-B)}{\cos A\cos B}$ và $\cot A-\cot B=\frac{\sin (B-A)}{\sin A\sin B}$ rất đáng nhớ: chúng biến mọi bài so sánh hai tang (hay hai côtang) thành việc xét dấu một sin duy nhất.

Định hướng. Hàm hằng nhận cùng một giá trị ở mọi điểm nên điều kiện $f(x+T)=f(x)$ hiển nhiên đúng; vấn đề chỉ nằm ở chỗ có tồn tại số $T$ dương nhỏ nhất hay không.

Vậy hàm số hằng $f(x)=c$ là hàm số tuần hoàn (mọi số $T\ne 0$ đều thoả mãn định nghĩa), nhưng nó không có chu kì vì trong các số dương thoả mãn không có số nhỏ nhất.

Định hướng. Giả sử hàm hằng có chu kì rồi chỉ ra một số dương nhỏ hơn vẫn thoả mãn, mâu thuẫn với tính nhỏ nhất.

Vậy không tồn tại chu kì của hàm số hằng: nó tuần hoàn nhưng không có chu kì.

Nhận xét. Đây là ví dụ cho thấy tuần hoàn và có chu kì là hai chuyện khác nhau; các hàm $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$ thì vừa tuần hoàn vừa có chu kì.

Định hướng. Đồ thị hàm hằng là một đường thẳng nằm ngang; tịnh tiến nó theo phương ngang một đoạn bất kì thì hình ảnh không đổi, nên tính tuần hoàn và việc không có chu kì đều đọc được ngay từ hình.

Vậy hàm số hằng $f(x)=c$ là hàm số tuần hoàn nhưng KHÔNG có chu kì.

Nhận xét. Nhìn bằng đồ thị thấy rõ sự khác biệt: đường hình sin chỉ trùng chính nó sau mỗi bước $2\pi$, còn đường thẳng nằm ngang trùng chính nó sau bước tịnh tiến ngang bao nhiêu cũng được.

Định hướng. Dùng ngay tính chất $\tan (u+\pi )=\tan u$ với $u=2x$: cộng $\frac{\pi }{2}$ vào $x$ chính là cộng $\pi$ vào $u$.

Vậy $y=\tan 2x$ là hàm số tuần hoàn.

Định hướng. Đặt $u=2x$ để mượn chu kì $\pi$ của hàm tang, sau đó phản chứng để loại mọi số dương nhỏ hơn $\frac{\pi }{2}$.

Vậy $y=\tan 2x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{2}$.

Nhận xét. Tổng quát, $y=\tan (\omega x)$ với $\omega >0$ tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{\omega }$, khác với $y=\sin (\omega x)$ có chu kì $\frac{2\pi }{\omega }$.

Định hướng. Đồ thị $y=\tan 2x$ nhận được từ đồ thị $y=\tan x$ bằng phép co theo trục hoành với hệ số $\frac{1}{2}$: mọi hoành độ bị chia đôi, nên các đường tiệm cận và cả chu kì cũng chia đôi theo.

Vậy hàm số $y=\tan 2x$ tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{2}$.

Nhận xét. Nhìn theo phép co giãn đồ thị thì kết quả đọc được ngay bằng mắt và vẫn đúng cho mọi hệ số: nhân biến với $\omega$ thì chu kì chia cho $\left|\omega \right|$.

Định hướng. Tính phần $x$ không âm trước, phần $x$ âm suy ra nhờ tính lẻ; có bảng giá trị rồi thì nối điểm được đồ thị và đọc luôn tập giá trị cùng các khoảng biến thiên.

Vậy $y=\sin x$ là hàm số lẻ; tập giá trị là $[-1;1]$; hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Định hướng. $\sin x$ là tung độ điểm $M$ biểu diễn góc $x$; cho $M$ chạy trên đường tròn lượng giác thì tung độ của nó cho biết ngay tập giá trị và chiều biến thiên.

Vậy tập giá trị của hàm số là $[-1;1]$; hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$, nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$.

Nhận xét. Vì hàm số lẻ nên đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ; chỉ cần vẽ trên $[0;\pi ]$ rồi lấy đối xứng và tịnh tiến theo chu kì $2\pi$ là được toàn bộ đường hình sin.

Định hướng. Thay vì "nhìn đồ thị thấy đi lên", lập hiệu $\sin x_2-\sin x_1$ rồi biến đổi thành tích: dấu của tích quyết định chiều biến thiên, cho một chứng minh chặt chẽ chứ không phải quan sát.

Vậy $y=\sin x$ là hàm số lẻ, tập giá trị $\left[-1;1\right]$, đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Nhận xét. Chứng minh bằng hiệu thành tích là cách duy nhất trong ba cách KHÔNG dựa vào việc nhìn hình, nên dùng được cả khi đề không cho sẵn đồ thị.

Định hướng. Nhân bất đẳng thức $-1\le \sin x\le 1$ với số dương $2$ để chặn $y$, sau đó tìm $x$ làm cho $y$ nhận đúng hai đầu mút.

Vậy tập giá trị của hàm số $y=2\sin x$ là đoạn $[-2;2]$.

Định hướng. Đồ thị $y=2\sin x$ có được từ đường hình sin bằng cách nhân đôi mọi tung độ, nên hai đường biên $y=\pm 1$ trở thành $y=\pm 2$.

Vậy tập giá trị của hàm số là $[-2;2]$.

Nhận xét. Cùng cách làm này, hàm số $y=a\sin x$ với $a>0$ có tập giá trị $[-a;a]$.

Định hướng. Một số $y_0$ thuộc tập giá trị khi và chỉ khi phương trình $2\sin x=y_0$ CÓ NGHIỆM; điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản cho ngay đáp số mà không phải xét riêng hai chiều.

Vậy tập giá trị của hàm số $y=2\sin x$ là đoạn $\left[-2;2\right]$.

Nhận xét. Cách này gói cả hai chiều "chặn" và "đạt được" vào một điều kiện tương đương duy nhất, nên rất tiện cho những hàm phức tạp mà việc chỉ ra $x$ đạt đầu mút không dễ.

Định hướng. Vẽ đồ thị $v=0,85\sin \frac{\pi t}{3}$ rồi nhìn phần nằm trên trục hoành (hít vào) và phần nằm dưới trục hoành (thở ra) trong $5$ giây đầu.

Vậy a) một chu kì hô hấp dài $6$ giây và một phút có $10$ chu kì; b) trong $5$ giây đầu, người đó hít vào khi $0<t<3$ và thở ra khi $3<t<5$.

Định hướng. Đặt $u=\frac{\pi t}{3}$ để đưa về xét dấu của $\sin u$ trên đoạn tương ứng, rồi trả lại biến $t$.

Vậy người đó hít vào trong khoảng thời gian $0<t<3$ (giây) và thở ra trong khoảng $3<t\le 5$ (giây); nếu chỉ xét bên trong khoảng khảo sát thì thở ra khi $3<t<5$.

Nhận xét. Chu kì $6$ giây gồm $3$ giây hít vào và $3$ giây thở ra, khớp với nhịp thở thực tế khi nghỉ ngơi.

Định hướng. Viết $\sin \frac{\pi t}{3}$ thành tích hai thừa số nhờ công thức nhân đôi: trên đoạn đang xét một thừa số luôn dương, nên dấu của cả biểu thức chỉ còn do thừa số kia quyết định.

Vậy a) chu kì hô hấp $6$ giây, mỗi phút $10$ chu kì; b) người đó hít vào khi $0<t<3$ và thở ra khi $3<t<5$ (giây).

Nhận xét. Tách thành tích biến bài xét dấu của một sin có hệ số lạ thành bài xét dấu của một côsin quen thuộc, và cho thấy $t=3$ là mốc đổi dấu duy nhất trong năm giây đầu.