Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản

Định hướng. Tầm xa là hoành độ dương của giao điểm quỹ đạo với mặt đất; bài toán "bay xa nhất" quy về việc làm cho $\sin 2\alpha$ đạt giá trị lớn nhất.

Vậy góc bắn $\alpha =\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$ thì quả đạn pháo bay xa nhất, tầm xa lớn nhất bằng $\frac{v_0^2}{g}$.

Định hướng. Viết tầm xa dưới dạng tích $\sin \alpha \cos \alpha$ rồi chặn tích đó bằng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân.

Vậy $\alpha =\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$.

Nhận xét. Cùng một bài toán thực tế nhưng cách thứ nhất quy về phương trình $\sin 2\alpha =1$ (hàm sin, hai họ nghiệm trùng nhau thành một), còn cách thứ hai quy về phương trình $\tan \alpha =1$ (hàm tang, một họ nghiệm).

Định hướng. Tầm xa chỉ phụ thuộc $\sin 2\alpha$, mà $\sin \left[2\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\right]=\sin (\pi -2\alpha )=\sin 2\alpha$. Hai góc bù nhau tới $\frac{\pi }{2}$ cho cùng một tầm xa, nên góc tốt nhất phải là góc trùng với ảnh đối xứng của chính nó.

Vậy góc bắn để quả đạn bay xa nhất là $\alpha =\frac{\pi }{4}$, tức $45^{\circ }$, khi đó tầm xa lớn nhất bằng $\frac{v_0^2}{g}$.

Nhận xét. Tính đối xứng còn cho biết mọi cặp góc bù nhau tới $90^{\circ }$ như $30^{\circ }$ và $60^{\circ }$ đều cho cùng một tầm xa — điều rất hay dùng ở bài 1.22 phía sau.

Định hướng. Giải tách bạch hai phương trình để có hai tập nghiệm rồi đối chiếu.

Vậy $S_1=S_2=\{2\}$, hai phương trình đã cho tương đương.

Định hướng. Không cần tìm nghiệm: chỉ cần nối hai phương trình bằng những phép biến đổi tương đương.

Vậy $(x-2)(x^2+1)=0\iff 2x-4=0$, hai phương trình đã cho tương đương.

Nhận xét. Chia hai vế cho $x^2+1$ và nhân hai vế với $2$ đều giữ nguyên tập nghiệm vì $x^2+1\ne 0$ và $2\ne 0$.

Định hướng. Theo định nghĩa, hai phương trình tương đương khi tập nghiệm của phương trình này chứa trong tập nghiệm của phương trình kia và ngược lại; chứng minh trực tiếp hai chiều bao hàm đó, khỏi cần biết nghiệm cụ thể là bao nhiêu.

Vậy $S_1=S_2$ nên hai phương trình đã cho tương đương; tập nghiệm chung là $S_1=S_2=\{2\}$.

Nhận xét. Lối chứng minh hai chiều dùng được cả khi phương trình không giải nổi — chẳng hạn $x^5+x=1$ và $\left(x^5+x-1\right)\left(x^2+3\right)=0$ vẫn khẳng định được là tương đương.

Định hướng. Giải từng phương trình, chú ý điều kiện xác định của phân thức, rồi đối chiếu hai tập nghiệm.

Vậy $S_1\ne S_2$, hai phương trình đã cho không tương đương.

Định hướng. Chỉ cần trưng ra một giá trị thoả phương trình này mà không thoả phương trình kia.

Vậy hai phương trình đã cho không tương đương.

Nhận xét. Phương trình $x^2-1=0$ nhận được từ $\frac{x-1}{x+1}=0$ bằng cách nhân hai vế với $x+1$; phép nhân này làm xuất hiện nghiệm lạ $x=-1$ vì biểu thức $x+1$ có thể bằng $0$.

Định hướng. Đưa cả hai về dạng nhân tử rồi đặt cạnh nhau: phương trình thứ hai có thêm nhân tử $x+1$, chính là nhân tử bị điều kiện xác định của phương trình thứ nhất loại bỏ, nên nó sinh ra một nghiệm dôi ra.

Vậy hai phương trình KHÔNG tương đương, vì $S_1=\{1\}$ còn $S_2=\{-1;1\}$.

Nhận xét. Nhân với biểu thức $x+1$ để khử mẫu là phép biến đổi làm XUẤT HIỆN nghiệm lạ — đó là lí do sau khi khử mẫu luôn phải đối chiếu lại điều kiện xác định.

Định hướng. Nghiệm ứng với các điểm trên đường tròn lượng giác có tung độ bằng $\frac{1}{2}$; tính tuần hoàn cho phép cộng thêm bội nguyên của $2\pi$.

Vậy trên $[0;2\pi )$ phương trình có hai nghiệm $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$; công thức nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Định hướng. Đưa vế phải về dạng $\sin$ của một góc, viết ngay công thức nghiệm tổng quát, rồi chặn $k$ để lấy các nghiệm nằm trong $[0;2\pi )$.

Vậy $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$; trên $[0;2\pi )$ chỉ có hai nghiệm $\frac{\pi }{6}$ và $\frac{5\pi }{6}$.

Nhận xét. Phương trình sin luôn cho HAI họ nghiệm $\alpha +k2\pi$ và $\pi -\alpha +k2\pi$; nếu chỉ viết một họ là mất một nửa số nghiệm.

Định hướng. Nghiệm là hoành độ giao điểm của đồ thị $y=\sin x$ với đường thẳng $y=\frac{1}{2}$. Trên $[0;2\pi )$ đồ thị có một nhịp lên rồi xuống, đối xứng qua đường thẳng $x=\frac{\pi }{2}$, nên hai giao điểm cách đều đường thẳng đó.

Vậy a) hai nghiệm trong $[0;2\pi )$ là $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$; b) công thức nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Nhận xét. Trục đối xứng $x=\frac{\pi }{2}$ của đồ thị chính là lí do nghiệm thứ hai luôn có dạng $\pi$ trừ đi nghiệm thứ nhất — nhớ hình này thì không bao giờ quên họ nghiệm thứ hai.

Định hướng. Đưa hai vế về cùng dạng $\sin$ của một biểu thức rồi áp dụng công thức nghiệm; ở câu b) chú ý gộp hai họ nghiệm nếu họ này nằm trong họ kia.

Vậy a) $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$;   b) $x=\frac{k\pi }{4}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Định hướng. Câu a) đọc trực tiếp hai điểm ngọn trên đường tròn lượng giác; câu b) chuyển vế rồi biến tổng hai sin thành tích để đưa về phương trình tích.

Vậy b) $x=\frac{k\pi }{4}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Nhận xét. Họ $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ nằm trọn trong họ $x=\frac{k\pi }{4}$ (ứng với các $k$ chẵn mà không chia hết cho $4$), nên đáp số gộp lại chỉ còn một họ duy nhất.

Định hướng. Dùng $\sin u=\cos \left(\frac{\pi }{2}-u\right)$ để đổi mọi hàm sin thành côsin, rồi áp dụng công thức nghiệm của phương trình côsin. Cách này chỉ cần nhớ MỘT công thức nghiệm cho cả hai câu.

Vậy a) $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$; b) $x=\frac{k\pi }{4}$, với $k\in \mathbb{Z}$.

Nhận xét. Đổi hết về côsin có cái lợi là công thức nghiệm gọn ($u=\pm v+k2\pi$), nhưng phải cẩn thận đổi dấu bằng $-\cos t=\cos (\pi -t)$ chứ không được bỏ dấu trừ.

Định hướng. Nghiệm ứng với các điểm trên đường tròn lượng giác có hoành độ bằng $-\frac{1}{2}$; tính tuần hoàn cho phép cộng thêm bội nguyên của $2\pi$.

Vậy trên $[-\pi ;\pi )$ phương trình có hai nghiệm $x=\frac{2\pi }{3}$ và $x=-\frac{2\pi }{3}$; công thức nghiệm là $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Định hướng. Viết vế phải thành côsin của một góc, dùng ngay công thức nghiệm, rồi chặn $k$ để lấy các nghiệm thuộc $[-\pi ;\pi )$.

Vậy $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$; trên $[-\pi ;\pi )$ chỉ có hai nghiệm $\frac{2\pi }{3}$ và $-\frac{2\pi }{3}$.

Nhận xét. Hai họ nghiệm của phương trình côsin đối xứng nhau qua trục $Ox$ nên viết gọn được thành $x=\pm \alpha +k2\pi$; điều này khác hẳn phương trình sin (hai họ $\alpha$ và $\pi -\alpha$).

Định hướng. Nghiệm là hoành độ giao điểm của đồ thị $y=\cos x$ với đường thẳng $y=-\frac{1}{2}$. Đồ thị hàm côsin đối xứng qua trục tung, nên trên $[-\pi ;\pi )$ hai giao điểm là hai số đối nhau.

Vậy a) hai nghiệm trong $[-\pi ;\pi )$ là $x=\frac{2\pi }{3}$ và $x=-\frac{2\pi }{3}$; b) công thức nghiệm là $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Nhận xét. Đối chiếu hai bài: đồ thị sin đối xứng qua ĐƯỜNG THẲNG $x=\frac{\pi }{2}$ nên cho nghiệm $\pi -\alpha$, còn đồ thị côsin đối xứng qua TRỤC TUNG nên cho nghiệm $-\alpha$.

Định hướng. Câu a) chia hai vế cho $2$ để được dạng cơ bản; câu b) đổi $\sin 5x$ thành côsin của góc phụ rồi dùng công thức nghiệm của côsin.

Vậy a) $x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$;   b) $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}$ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Định hướng. Câu a) đọc hai điểm ngọn trên đường tròn lượng giác; câu b) đổi $\cos 3x$ thành sin của góc phụ để nhận cùng đáp số bằng một lối đi khác.

Vậy b) $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}$ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Nhận xét. Hai họ $\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}$ và $\frac{\pi }{16}-\frac{k\pi }{4}$ là một, vì $k$ chạy khắp $\mathbb{Z}$ thì $-k$ cũng vậy. Hai họ nghiệm cuối cùng KHÔNG gộp được vì $\frac{\pi }{4}=\frac{4\pi }{16}$ không có dạng $\frac{(1+4k)\pi }{16}$.

Định hướng. Chuyển hết về một vế dưới dạng hiệu hai côsin rồi dùng $\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$; phương trình thành một tích bằng $0$, mỗi nhân tử cho một họ nghiệm và không thể sót họ nào.

Vậy a) $x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi$; b) $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}$ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$.

Nhận xét. Khi đã thành tích bằng $0$ thì mỗi nhân tử là một phương trình $\sin (\cdot )=0$ rất gọn, và số họ nghiệm đúng bằng số nhân tử — đây là cách chống sót nghiệm hiệu quả nhất.

Định hướng. Từ tỉ lệ $F$ rút ra $\cos \alpha$, giải phương trình côsin cơ bản, cuối cùng chặn $k$ để giữ lại các góc thuộc $[0^{\circ };360^{\circ }]$.

Vậy a) $\alpha =0^{\circ }$ hoặc $\alpha =360^{\circ }$;   b) $\alpha =60^{\circ }$ hoặc $\alpha =300^{\circ }$;   c) $\alpha =90^{\circ }$ hoặc $\alpha =270^{\circ }$;   d) $\alpha =180^{\circ }$.

Định hướng. Vẽ đồ thị hàm số $y=\cos \alpha$ trên $[0^{\circ };360^{\circ }]$ rồi tìm hoành độ giao điểm với các đường thẳng nằm ngang $y=1-2F$.

Vậy kết quả trùng khớp với cách thứ nhất.

Nhận xét. Vì đồ thị đối xứng qua $\alpha =180^{\circ }$ nên hễ ${\alpha }_0$ là một nghiệm thì $360^{\circ }-{\alpha }_0$ cũng là nghiệm; đó chính là ý nghĩa hình học của hai họ $\pm \alpha +k360^{\circ }$.

Định hướng. Vì $\cos \left(360^{\circ }-\alpha \right)=\cos \alpha$ nên $F\left(360^{\circ }-\alpha \right)=F(\alpha )$: các pha của Mặt Trăng xuất hiện theo cặp đối xứng qua $180^{\circ }$. Chỉ cần tìm góc trong nửa đầu $\left[0^{\circ };180^{\circ }\right]$ rồi lấy đối xứng để có góc còn lại.

Vậy a) $\alpha =0^{\circ }$ hoặc $\alpha =360^{\circ }$; b) $\alpha =60^{\circ }$ hoặc $\alpha =300^{\circ }$; c) $\alpha =90^{\circ }$ hoặc $\alpha =270^{\circ }$; d) $\alpha =180^{\circ }$.

Nhận xét. Ý nghĩa thiên văn của tính đối xứng: pha trăng lưỡi liềm đầu tháng và cuối tháng cho cùng một tỉ lệ sáng, chỉ khác nhau ở phía nào của Mặt Trăng được chiếu.