Bài 5. Dãy số

Định hướng. Số chính phương thứ $n$ chính là $u_n=n^2$; thay lần lượt $n=1,\dots ,5$ để liệt kê.

Vậy năm số chính phương đầu là $1,4,9,16,25$ và số chính phương thứ $n$ là $u_n=n^2$.

Định hướng. Mỗi số chính phương tiếp theo bằng số chính phương liền trước cộng thêm một số lẻ tăng dần; dùng quy luật cộng dồn này để suy ra công thức tổng quát.

Vậy năm số chính phương đầu vẫn là $1,4,9,16,25$; vì tổng của $n$ số lẻ đầu tiên $1+3+5+\cdots +(2n-1)$ bằng $n^2$ nên số chính phương thứ $n$ là $u_n=n^2$.

Nhận xét. Cách cộng dồn số lẻ cho thấy vì sao công thức $u_n=n^2$ đúng, chứ không chỉ dừng lại ở việc quan sát bảng số.

Định hướng. Số chính phương mang đúng nghĩa hình học của tên gọi: đó là số chấm xếp kín một hình vuông. Đếm số chấm của hình vuông cạnh $n$ theo hai chiều là ra ngay công thức, khỏi cần dự đoán.

Vậy năm số chính phương đầu là $1,4,9,16,25$ và số chính phương thứ $n$ là $u_n=n^2$.

Nhận xét. Nhìn theo mô hình hình vuông còn giải thích luôn quy luật của Cách 2: mỗi lần tăng cạnh thêm $1$ ta viền thêm một chữ $L$ gồm $2n-1$ chấm, nên $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$.

Định hướng. Bình phương lần lượt các số tự nhiên $1,2,3,\dots$ cho tới khi vượt quá $50$ để liệt kê đủ và đếm số số hạng.

Vậy bảy số chính phương nhỏ hơn $50$ là $1,4,9,16,25,36,49$ và $u_n=n^2$ với $n\in \{1,2,\dots ,7\}$.

Định hướng. Đặt số hạng tổng quát $u_n=n^2$ rồi giải trực tiếp bất phương trình $n^2<50$ với $n$ nguyên dương để tìm giới hạn của $n$ mà khỏi thử từng số.

Vậy có $7$ số chính phương nhỏ hơn $50$, đó là $1,4,9,16,25,36,49$ với công thức $u_n=n^2$, $n\in \{1,2,\dots ,7\}$.

Nhận xét. Giải bất phương trình cho ngay số số hạng cần lấy mà không phải thử tăng dần từng số như cách 1, hữu ích khi cận trên lớn.

Định hướng. Hai số chính phương liên tiếp hơn kém nhau một số lẻ tăng dần, nên có thể sinh cả dãy chỉ bằng phép cộng và dừng ngay khi vượt qua $50$ — không phải bình phương, cũng không phải giải bất phương trình.

Vậy a) các số cần tìm là $1,4,9,16,25,36,49$; b) $u_n=n^2$ với $1\le n\le 7$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Nhận xét. Cách này cho thấy dãy dừng ở đúng bước cộng thứ bảy, tức số hạng cuối là $49$ chứ không phải $64$ — một cách tự kiểm tra rất nhanh.

Định hướng. Số tự nhiên chia cho $5$ dư $1$ xếp tăng dần có dạng $5k+1$ với $k=0,1,2,\dots$; đặt $n=k+1$ để đánh số từ $1$ như quy ước một dãy số, sau đó thay $n=1,\dots ,5$ để liệt kê.

Vậy a) $u_n=5n-4$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; b) dãy số hữu hạn là $1,6,11,16,21$ với số hạng đầu $u_1=1$ và số hạng cuối $u_5=21$.

Định hướng. Liệt kê vài số hạng đầu theo mô tả của đề, nhận xét hiệu hai số hạng liên tiếp luôn bằng $5$, từ đó suy ra hệ thức truy hồi rồi khai triển ngược lại thành công thức tổng quát.

Vậy kết quả trùng với cách 1: $u_n=5n-4$; dãy hữu hạn $1,6,11,16,21$ có $u_1=1$, $u_5=21$.

Nhận xét. Hai cách cho cùng một công thức vì dãy này chính là một cấp số cộng có công sai $5$, sẽ được học kĩ ở Bài 6.

Định hướng. Các số hạng cách đều nhau nên số hạng tổng quát có dạng bậc nhất $u_n=an+b$; chỉ cần hai số hạng đầu là đủ để tìm $a$ và $b$, rồi thử lại bằng số hạng thứ ba.

Vậy a) $u_n=5n-4$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; b) dãy hữu hạn $1,6,11,16,21$ có số hạng đầu $u_1=1$, số hạng cuối $u_5=21$.

Nhận xét. Mẹo đặt $u_n=an+b$ dùng được cho MỌI dãy có hiệu hai số hạng liên tiếp không đổi, kể cả khi đề không cho công thức chia dư.

Định hướng. Nhận xét số hạng thứ $n$ của dãy chính là $5$ nhân $n$; từ công thức tổng quát này trừ hai số hạng liên tiếp để tìm hệ thức truy hồi.

Vậy a) $u_n=5n$; b) $u_1=5$ và hệ thức truy hồi $u_n=u_{n-1}+5$, $n\ge 2$.

Định hướng. Quan sát trực tiếp trên dãy đã liệt kê để nêu số hạng đầu và quy luật số sau bằng số trước cộng thêm $5$, sau đó khai triển hệ thức truy hồi qua từng bước để kiểm tra lại công thức tổng quát.

Vậy hai cách cho cùng kết quả: $u_n=5n$; $u_1=5$, $u_n=u_{n-1}+5$ với $n\ge 2$.

Nhận xét. Đây chính là hai trong các cách cho một dãy số: cho bằng công thức số hạng tổng quát và cho bằng hệ thức truy hồi.

Định hướng. Quan sát vài số hạng để dự đoán $u_n=5n$, rồi khẳng định dự đoán bằng quy nạp: kiểm tra với $n=1$ và chứng minh nếu công thức đúng ở chỉ số $n-1$ thì cũng đúng ở chỉ số $n$.

Vậy a) $u_n=5n$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; b) hệ thức truy hồi $u_1=5$, $u_n=u_{n-1}+5$ với $n\ge 2$.

Nhận xét. Quy nạp là công cụ duy nhất cho phép nói “đúng với MỌI $n$”; liệt kê dù nhiều số hạng cũng chỉ là dự đoán.

Định hướng. Câu a) thay lần lượt $n=1,\dots ,5$ vào $u_n=n!$; câu b) áp dụng đúng hệ thức truy hồi đã cho, tính lần lượt từ $F_1,F_2$ trở đi.

Vậy a) $1,2,6,24,120$; b) $1,1,2,3,5$.

Định hướng. Câu a) dùng hệ thức truy hồi $u_n=n\cdot u_{n-1}$ với $u_1=1$; câu b) dùng công thức Binet $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right]$ để tính trực tiếp mà không cần đi qua các số hạng trước.

Vậy kết quả trùng với cách 1: a) $1,2,6,24,120$; b) $F_5=5$, khớp dãy $1,1,2,3,5$.

Nhận xét. Công thức Binet ở câu b) tuy phức tạp nhưng cho phép tính thẳng một số hạng Fibonacci bất kì mà không cần liệt kê hết các số hạng trước nó.

Định hướng. Cả hai dãy đều là dãy đếm: $n!$ là số cách xếp thứ tự $n$ vật khác nhau, còn $F_n$ là số cách leo $n-1$ bậc thang khi mỗi bước leo $1$ hoặc $2$ bậc. Đếm trực tiếp các trường hợp cho ra đúng các số hạng cần tìm.

Vậy a) năm số hạng đầu là $1,2,6,24,120$; b) năm số hạng đầu của dãy Fibonacci là $1,1,2,3,5$.

Nhận xét. Cách đếm giải thích luôn vì sao hai dãy mang đúng hệ thức truy hồi của chúng: bước leo đầu tiên chỉ có $1$ hoặc $2$ bậc nên số cách leo $k$ bậc bằng tổng số cách leo $k-1$ và $k-2$ bậc.

Định hướng. Tính $u_{n+1}$ bằng cách thay $n$ bởi $n+1$ trong công thức, rồi lập hiệu với $u_n$ (hoặc $v_n$) để xét dấu.

Vậy a) $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $(u_n)$ là dãy số tăng; b) $v_{n+1}<v_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $(v_n)$ là dãy số giảm.

Định hướng. Nhận xét $u_n=3n-1$ là hàm bậc nhất theo $n$ với hệ số góc dương nên đồng biến; $v_n=\frac{1}{n^2}$ có mẫu $n^2$ tăng dần nên $v_n$ giảm dần; kiểm tra lại bằng vài số hạng đầu.

Vậy kết luận không đổi: $(u_n)$ tăng, $(v_n)$ giảm, khớp với cách 1.

Nhận xét. Với dãy cho bởi công thức bậc nhất hoặc phân thức đơn giản, có thể đoán nhanh tính tăng giảm rồi dùng hiệu $u_{n+1}-u_n$ để chứng minh chặt chẽ.

Định hướng. Cả $u_n=3n-1$ và $v_n=\frac{1}{n^2}$ đều dương với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên có thể so sánh hai số hạng liên tiếp bằng cách đối chiếu tỉ số của chúng với $1$ thay vì xét dấu của hiệu.

Vậy a) $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n$ nên $(u_n)$ là dãy số tăng; b) $v_{n+1}<v_n$ với mọi $n$ nên $(v_n)$ là dãy số giảm.

Nhận xét. Chỉ được so sánh tỉ số với $1$ khi đã chắc chắn mọi số hạng cùng dấu dương; với dãy có số hạng âm, kết luận sẽ ngược lại.

Định hướng. Tính $u_{n+1}$ rồi quy đồng để xét dấu hiệu $u_{n+1}-u_n$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vậy $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, do đó $(u_n)$ là dãy số giảm.

Định hướng. Vì $u_n=\frac{1}{n+1}>0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên có thể so sánh $u_{n+1}$ với $u_n$ bằng cách xét tỉ số hai số hạng liên tiếp với $1$ thay vì xét hiệu.

Vậy $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, mà $u_n>0$ nên $u_{n+1}<u_n$, tức là $(u_n)$ là dãy số giảm.

Nhận xét. Xét tỉ số chỉ dùng được khi mọi số hạng của dãy cùng dấu; ở đây $u_n=\frac{1}{n+1}>0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên áp dụng được.

Định hướng. Hai số hạng liên tiếp là hai phân số cùng tử $1$ dương, nên phân số nào có mẫu lớn hơn thì nhỏ hơn — dùng thẳng tính chất này, khỏi lập hiệu hay lập tỉ số.

Vậy $(u_n)$ là dãy số giảm.

Nhận xét. Tính chất “cùng tử dương, mẫu lớn hơn thì phân số nhỏ hơn” chỉ đúng khi hai mẫu cùng dấu dương — với $u_n=\frac{1}{n-3}$ thì lập luận này sai ở các chỉ số quanh $n=3$.

Định hướng. Tách $u_n=\frac{n+1}{n}$ thành $1+\frac{1}{n}$; vì $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $\frac{1}{n}$ luôn dương và không vượt quá $1$, từ đó suy ra hai so sánh cần tìm.

Vậy a) $u_n>1$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; b) $u_n\le 2$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, dấu bằng xảy ra khi $n=1$.

Định hướng. Lập hiệu $u_n-1$ và $2-u_n$ rồi quy đồng để xét dấu, không cần tách $u_n$ thành $1+\frac{1}{n}$ trước.

Vậy a) $u_n-1>0$ nên $u_n>1$; b) $2-u_n\ge 0$ nên $u_n\le 2$; kết quả trùng với cách 1.

Nhận xét. Từ hai so sánh này suy ra $(u_n)$ bị chặn: $1<u_n\le 2$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Định hướng. Chứng minh $(u_n)$ giảm, khi đó mọi số hạng đều không vượt quá số hạng đầu $u_1$; còn cận dưới lấy từ nhận xét $\frac{1}{n}$ luôn dương.

Vậy a) $u_n>1$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; b) $u_n\le 2$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, dấu bằng xảy ra khi $n=1$.

Nhận xét. Cận trên tìm theo lối này là cận CHẶT NHẤT vì nó được đạt tại $n=1$; các cận như $3$ hay $10$ cũng đúng nhưng ít giá trị sử dụng.

Định hướng. Vì $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $n\ge 1$, từ đó tìm một chặn dưới cho $u_n$; sau đó giả sử có chặn trên $M$ và chỉ ra một số hạng vượt quá $M$ để dẫn tới mâu thuẫn.

Vậy $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $1$ nhưng không bị chặn trên, do đó $(u_n)$ không bị chặn.

Định hướng. Liệt kê vài số hạng đầu và xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ để thấy dãy tăng đều đặn, từ đó suy ra $u_n$ vượt qua mọi giá trị cho trước khi $n$ đủ lớn.

Vậy $(u_n)$ là dãy số tăng với công sai $2$, tăng vô hạn khi $n\to \infty$ nên không bị chặn trên; vẫn bị chặn dưới bởi $u_1=1$.

Nhận xét. Một dãy số tăng và không có giới hạn hữu hạn khi $n\to \infty$ thì chắc chắn không bị chặn trên.

Định hướng. Thay vì phản chứng, hãy dựng thẳng một chỉ số làm số hạng vượt quá số $M$ tuỳ ý: giải bất phương trình $u_n>M$ theo $n$ rồi chọn một số nguyên dương thoả mãn.

Vậy $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $1$, không bị chặn trên, do đó $(u_n)$ không bị chặn.

Nhận xét. Ví dụ với $M=1000$ thì $n_0=501$ cho $u_{501}=1001>1000$ — cách dựng này cho luôn một phản ví dụ cụ thể chứ không chỉ nói suông.

Định hướng. Áp dụng đúng hệ thức truy hồi đã cho, cộng thêm $25$ vào mỗi năm để tính tới năm thứ $5$; sau đó xét hiệu $s_{n+1}-s_n$ để chứng minh dãy tăng.

Vậy a) lương năm thứ $5$ của anh Thanh là $300$ triệu đồng; b) $s_{n+1}>s_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $(s_n)$ là dãy số tăng, nghĩa là lương của anh Thanh tăng đều đặn qua từng năm làm việc, năm sau luôn cao hơn năm trước $25$ triệu đồng.

Định hướng. Từ hệ thức truy hồi $s_n=s_{n-1}+25$ suy ra số hạng sau hơn số hạng trước một lượng không đổi; khai triển liên tiếp để có công thức tổng quát rồi thay số tính thẳng $s_5$ và xét dấu hiệu tổng quát.

Vậy kết quả trùng với cách 1: $s_5=300$ triệu đồng và $(s_n)$ là dãy số tăng.

Nhận xét. Công thức tổng quát $s_n=200+25(n-1)$ tiện hơn khi cần tính lương ở một năm xa mà không muốn cộng dồn từng năm một.

Định hướng. Mỗi năm lương cộng thêm đúng $25$ triệu, nên các điểm $(n;s_n)$ nằm trên đường thẳng đi qua $(1;200)$ và có hệ số góc $25$. Đọc lương năm thứ $5$ trên đường thẳng đó, còn dấu của hệ số góc trả lời luôn câu b).

Vậy a) lương năm thứ $5$ là $s_5=300$ triệu đồng; b) $(s_n)$ là dãy số tăng, nghĩa là lương của anh Thanh năm sau luôn cao hơn năm trước đúng $25$ triệu đồng.

Nhận xét. Đường thẳng còn cho thấy lương tăng đều tuyệt đối chứ không tăng theo tỉ lệ phần trăm: tới năm thứ $9$ lương là $400$ triệu, gấp đôi năm đầu.

Định hướng. Thay lần lượt $n=1,2,3,4,5$ và $n=100$ vào mỗi công thức đã cho.