Bài 6. Cấp số cộng

Định hướng. Viết ra năm số tự nhiên lẻ đầu tiên theo thứ tự tăng dần, sau đó so sánh mỗi số với số đứng ngay trước nó để dự đoán quy luật.

Vậy năm số hạng đầu là $1,3,5,7,9$ và dự đoán $u_n=u_{n-1}+2$ với $n\ge 2$.

Định hướng. Số tự nhiên lẻ thứ $n$ có công thức tổng quát $u_n=2n-1$; lấy hiệu $u_n-u_{n-1}$ theo công thức này để chứng minh chặt chẽ quy luật vừa dự đoán.

Vậy $u_n=u_{n-1}+2$ với mọi $n\ge 2$, khớp với dự đoán ở cách 1; năm số hạng đầu vẫn là $1,3,5,7,9$.

Nhận xét. Cách 2 chứng minh quy luật đúng với mọi $n$ chứ không chỉ dừng ở vài số hạng đầu như cách 1.

Định hướng. Mọi số tự nhiên lẻ đều viết được dạng $2k+1$ với $k\in \mathbb{N}$; xếp tăng dần thì $k$ tăng thêm $1$ đơn vị mỗi lần, so sánh hai số lẻ ứng với $k-1$ và $k$ là ra ngay quy luật, khỏi cần công thức tổng quát theo $n$.

Vậy a) năm số hạng đầu là $1,3,5,7,9$; b) $u_n=u_{n-1}+2$ với $n\ge 2$.

Nhận xét. Giữa hai số lẻ liên tiếp luôn xen đúng một số chẵn, đó là lí do số học của việc hiệu bằng $2$ chứ không phải bằng $1$.

Định hướng. Thay $n$ bởi $n-1$ vào công thức đã cho rồi lập hiệu $u_n-u_{n-1}$; nếu hiệu này không đổi thì $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai bằng giá trị đó.

Vậy $u_n-u_{n-1}=-2$ không đổi với mọi $n\ge 2$ nên $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-2$; số hạng đầu $u_1=-2\cdot 1+3=1$.

Định hướng. Biến đổi biểu thức $-2n+3$ thành dạng $u_1+(n-1)d$ bằng phép tách $n=(n-1)+1$; nhận diện đúng $u_1$ và $d$ mà không cần tính hiệu.

Vậy $u_n$ có đúng dạng $u_1+(n-1)d$ với $u_1=1$, $d=-2$; do đó $(u_n)$ là cấp số cộng, kết quả trùng với cách 1.

Nhận xét. Mọi dãy số cho bởi công thức bậc nhất $u_n=an+b$ ($a\ne 0$) đều là cấp số cộng với công sai $d=a$.

Định hướng. Một dãy là cấp số cộng khi và chỉ khi mỗi số hạng ở giữa bằng trung bình cộng của hai số hạng kề nó, tức $u_{n-1}+u_{n+1}=2u_n$. Kiểm tra đẳng thức này bằng đại số là đủ để kết luận, không cần lập hiệu.

Vậy $(u_n)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=1$ và công sai $d=-2$.

Nhận xét. Tính chất trung bình cộng còn dùng để tìm ẩn: nếu $3$ số $a$, $b$, $c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì $a+c=2b$ — một phương trình cho ngay ẩn cần tìm.

Định hướng. Áp dụng liên tiếp hệ thức truy hồi $u_n=u_{n-1}+d$ để tính $u_2,u_3,u_4,u_5$ theo $u_1$ và $d$, từ đó nhận ra quy luật của số hạng tổng quát.

Vậy a) $u_2=u_1+d$, $u_3=u_1+2d$, $u_4=u_1+3d$, $u_5=u_1+4d$; b) dự đoán $u_n=u_1+(n-1)d$.

Định hướng. Dùng phương pháp quy nạp theo $n$ để chứng minh chặt chẽ công thức $u_n=u_1+(n-1)d$ đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, thay vì chỉ tính vài số hạng đầu.

Vậy công thức $u_n=u_1+(n-1)d$ đúng với $n=1$ và đúng với $n=k+1$ khi đúng với $n=k$, nên theo nguyên lí quy nạp nó đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, khớp với dự đoán ở cách 1.

Nhận xét. Quy nạp cho một chứng minh đầy đủ, trong khi tính tuần tự ở cách 1 chỉ giúp phát hiện ra quy luật.

Định hướng. Viết hệ thức truy hồi dưới dạng hiệu cho mọi chỉ số từ $2$ tới $n$ rồi cộng vế theo vế; các số hạng trung gian tự triệt tiêu, chỉ còn $u_n-u_1$ ở vế trái và $n-1$ lần $d$ ở vế phải.

Vậy a) $u_2=u_1+d$, $u_3=u_1+2d$, $u_4=u_1+3d$, $u_5=u_1+4d$; b) $u_n=u_1+(n-1)d$ với mọi $n\ge 2$.

Nhận xét. Đếm số đẳng thức được cộng chính là chỗ khẳng định hệ số $n-1$: từ chỉ số $2$ tới chỉ số $n$ có đúng $n-1$ đẳng thức.

Định hướng. Lập hiệu $u_n-u_{n-1}$ theo công thức đã cho; hiệu không đổi thì $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai bằng giá trị đó.

Vậy $u_n-u_{n-1}=4$ không đổi với mọi $n\ge 2$ nên $(u_n)$ là cấp số cộng với $d=4$; $u_1=4\cdot 1-3=1$.

Định hướng. Tách $4n$ thành $4(n-1)+4$ để đưa $u_n$ về đúng dạng $u_1+(n-1)d$, từ đó đọc ra $u_1$ và $d$ mà không cần lập hiệu.

Vậy $u_n$ có dạng $u_1+(n-1)d$ với $u_1=1$, $d=4$, khớp với cách 1; công thức tổng quát là $u_n=1+(n-1)\cdot 4$.

Nhận xét. Với dãy cho bởi $u_n=an+b$, luôn có $u_1=a+b$ và $d=a$ mà không cần tính hiệu.

Định hướng. Các điểm $(n;u_n)$ nằm trên đường thẳng $y=4x-3$; đường thẳng có hệ số góc $4$ nên khi hoành độ tăng $1$ đơn vị thì tung độ tăng đúng $4$ đơn vị, đó chính là công sai.

Vậy $(u_n)$ là một cấp số cộng với $u_1=1$, $d=4$ và $u_n=1+(n-1)\cdot 4$.

Nhận xét. Ngược lại cũng đúng: một dãy là cấp số cộng khi và chỉ khi các điểm $(n;u_n)$ của nó nằm trên cùng một đường thẳng — hình ảnh này giúp nhớ rằng công sai chính là hệ số góc.

Định hướng. Viết $S_n$ theo chiều thuận (mỗi số hạng qua $u_1,d$), viết lại theo chiều ngược (mỗi số hạng qua $u_n,d$), rồi cộng từng vế hai đẳng thức để triệt tiêu phần chứa $d$ dưới dạng tổng đối xứng.

Vậy $S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+(n-1)d\right]$.

Định hướng. Thay vì cộng thuận-ngược, kiểm tra công thức đúng với $n=1$ rồi chứng minh nếu đúng với $n=k$ thì cũng đúng với $n=k+1$.

Vậy công thức đúng với $n=1$ và được bảo toàn khi $n$ tăng thêm $1$, nên theo nguyên lí quy nạp $S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+(n-1)d\right]$ đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, khớp với cách 1.

Nhận xét. Quy nạp xác nhận công thức đúng với mọi $n$ mà không cần thao tác cộng thuận-ngược như gợi ý của SGK.

Định hướng. Thay mỗi số hạng bởi $u_1+(k-1)d$ rồi tách tổng thành hai phần: một phần gồm $n$ lần $u_1$, phần còn lại là $d$ nhân với tổng các số tự nhiên từ $0$ tới $n-1$ đã biết công thức.

Vậy $S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+(n-1)d\right]=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}$.

Nhận xét. Dạng $S_n=n{u}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ cho thấy $S_n$ là một tam thức bậc hai theo $n$ không có hệ số tự do — đó là lí do các bài “tìm $n$ biết $S_n$” luôn quy về phương trình bậc hai.

Định hướng. Lương mỗi năm lập thành cấp số cộng với $u_1=100$, $d=20$; áp dụng trực tiếp công thức tổng $n$ số hạng đầu với $n=10$.

Vậy sau $10$ năm làm việc, anh Nam nhận được tổng cộng $1900$ triệu đồng tiền lương.

Định hướng. Liệt kê lương của cả $10$ năm rồi ghép mỗi số hạng đầu dãy với một số hạng cuối dãy tương ứng; vì các cặp cách đều hai đầu của cấp số cộng luôn có tổng bằng nhau nên chỉ cần nhân giá trị một cặp với số cặp.

Vậy tổng lương sau $10$ năm vẫn là $1900$ triệu đồng, khớp với cách 1.

Nhận xét. Ghép cặp đầu-cuối chính là cách chứng minh trực quan cho công thức $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$ đã học ở HĐ3.

Định hướng. Coi lương mỗi năm gồm $100$ triệu cố định cộng thêm phần tăng: năm thứ nhất thêm $0$, năm thứ hai thêm $20$, năm thứ ba thêm $40$… Tổng chia làm hai khoản, mỗi khoản tính nhẩm được.

Vậy sau $10$ năm làm việc, anh Nam nhận được tổng cộng $1900$ triệu đồng tiền lương.

Nhận xét. Cách tách này cho biết ngay phần thưởng do chính sách tăng lương mang lại là $900$ triệu đồng, gần bằng phần lương khởi điểm — con số mà công thức $S_n$ không nói ra.

Định hướng. Lấy hiệu giữa số hạng thứ hai và số hạng đầu để tìm công sai $d$, rồi thay vào công thức $u_n=u_1+(n-1)d$ để tính số hạng thứ $5$, số hạng tổng quát và số hạng thứ $100$.

Vậy a) $d=5$, $u_5=24$, $u_n=5n-1$, $u_{100}=499$; b) $d=-2$, $u_5=-7$, $u_n=-2n+3$, $u_{100}=-197$.

Định hướng. Dùng số hạng thứ nhất và số hạng thứ tư đã cho trong đề ($u_4=u_1+3d$) để tính lại công sai $d$ theo một cặp số hạng khác, rồi tính $u_5,u_{100}$ để đối chiếu với cách 1.

Vậy kết quả trùng với cách 1: a) $d=5$, $u_5=24$, $u_{100}=499$; b) $d=-2$, $u_5=-7$, $u_{100}=-197$.

Nhận xét. Dùng cặp số hạng cách xa nhau ($u_1$ và $u_4$) để tính lại $d$ là một cách kiểm tra chéo hữu ích khi đề cho sẵn nhiều số hạng.

Định hướng. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là hàm bậc nhất của $n$, nên nhập các cặp $(n;u_n)$ đã cho vào chức năng thống kê dạng $A+BX$ của máy tính cầm tay sẽ đọc ra ngay hệ số góc $B$ chính là công sai.

Vậy a) $d=5$, $u_5=24$, $u_n=5n-1$, $u_{100}=499$; b) $d=-2$, $u_5=-7$, $u_n=-2n+3$, $u_{100}=-197$.

Nhận xét. Máy chỉ cho kết quả đúng khi bốn điểm thực sự thẳng hàng; nếu máy trả về $B$ lẻ thì dãy đã cho KHÔNG phải cấp số cộng — đây là một phép thử rất nhanh.

Định hướng. Với dãy cho bởi công thức tường minh (a, b) thì lập hiệu $u_n-u_{n-1}$ tổng quát; với dãy cho bởi hệ thức truy hồi (c, d) thì hiệu này chính là biểu thức cộng thêm đã cho, chỉ cần xét nó có phụ thuộc $n$ hay không.

Vậy a), b), d) là cấp số cộng với $d=5,6,3$; riêng c) không phải cấp số cộng vì hiệu $u_n-u_{n-1}=n$ thay đổi theo $n$.

Định hướng. Tính cụ thể năm số hạng đầu của mỗi dãy (thay $n=1,\dots ,5$ hoặc áp dụng hệ thức truy hồi), rồi nhìn vào các số đã liệt kê để kiểm tra hiệu hai số hạng liên tiếp có bằng nhau không.

Vậy kết luận trùng với cách 1: a) CSC với $u_1=8$, $d=5$, $u_n=8+(n-1)\cdot 5$; b) CSC với $u_1=2$, $d=6$, $u_n=2+(n-1)\cdot 6$; c) không phải CSC; d) CSC với $u_1=2$, $d=3$, $u_n=2+(n-1)\cdot 3$.

Nhận xét. Quan sát số liệu cụ thể ở câu c) cho thấy ngay các hiệu $2,3,4,5$ không bằng nhau, trực quan hơn việc chỉ nhìn công thức truy hồi $u_n=u_{n-1}+n$.

Định hướng. Một dãy là cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{n-1}+u_{n+1}=2u_n$ với mọi $n\ge 2$; chỉ cần kiểm tra đẳng thức này, nếu nó hỏng ở một chỉ số cụ thể thì dãy bị loại ngay.

Vậy a), b), d) là cấp số cộng với $u_n=8+(n-1)\cdot 5$, $u_n=2+(n-1)\cdot 6$, $u_n=2+(n-1)\cdot 3$; riêng c) không phải cấp số cộng.

Nhận xét. Để BÁC BỎ thì một chỉ số cụ thể là đủ, còn để KHẲNG ĐỊNH thì phải kiểm tra bằng đại số cho mọi $n$ — câu c) chỉ cần ba số hạng đầu là xong.

Định hướng. Viết $u_5$ và $u_{12}$ theo $u_1,d$ để được một hệ hai phương trình hai ẩn, giải hệ tìm $u_1,d$ rồi tính $u_{50}$.