Bài 7. Cấp số nhân

Định hướng. Thay lần lượt $n=1,2,3,4,5$ vào công thức để có năm số hạng đầu, sau đó lập tỉ số của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.

Vậy năm số hạng đầu là $6;12;24;48;96$ và dự đoán $u_n=2u_{n-1}$ với $n\ge 2$.

Định hướng. Viết $2^n=2^{n-1}\cdot 2$ để trong biểu thức của $u_n$ hiện nguyên hình biểu thức của $u_{n-1}$, khi đó hệ thức truy hồi lộ ra ngay mà không phải thử số.

Vậy $u_n=2u_{n-1}$ đúng với mọi $n\ge 2$; thay $n=1;2;3;4;5$ được năm số hạng đầu $6;12;24;48;96$.

Định hướng. Chia mọi số hạng cho hằng số $3$ thì còn lại đúng dãy luỹ thừa $2^n$ quen thuộc; quy luật nhân đôi của $2^n$ kéo theo ngay quy luật của $(u_n)$.

Vậy a) $u_1;\dots ;u_5=6;12;24;48;96$; b) $u_n=2u_{n-1}$ với $n\ge 2$.

Nhận xét. Nhân mọi số hạng của một cấp số nhân với cùng một số khác $0$ thì được cấp số nhân mới có CÙNG công bội — đó là lí do hằng số $3$ không ảnh hưởng gì tới công bội $q=2$.

Định hướng. Thử tìm số $q$ không đổi sao cho $u_n=u_{n-1}\cdot q$ với mọi $n\ge 2$; số $q$ đó tồn tại và duy nhất thì dãy là cấp số nhân.

Vậy với $a\ne 0$ dãy là cấp số nhân công bội $q=1$; với $a=0$ dãy $0;0;0;\dots$ không phải là cấp số nhân.

Định hướng. Theo gợi ý của bài học, một dãy gồm các số khác $0$ là cấp số nhân khi tỉ số hai số hạng liên tiếp không đổi; chính điều kiện mẫu khác $0$ buộc ta phải tách trường hợp $a=0$.

Vậy dãy hằng $a;a;a;\dots$ là cấp số nhân với $u_1=a$, $q=1$ khi và chỉ khi $a\ne 0$.

Định hướng. Giả sử dãy là cấp số nhân rồi ép công thức tổng quát của nó phải trùng với dãy hằng đã cho; cách này cho thấy luôn vì sao trường hợp $a=0$ bị loại.

Vậy $a;a;a;\dots$ là cấp số nhân khi và chỉ khi $a\ne 0$, khi đó $u_1=a$ và $q=1$.

Nhận xét. Cũng dãy hằng đó luôn là một cấp số cộng với công sai $d=0$ dù $a$ bằng bao nhiêu — cấp số cộng không đòi hỏi số hạng khác $0$, còn cấp số nhân thì có.

Định hướng. Lập tỉ số hai số hạng liên tiếp với $n$ tổng quát; tỉ số ra một hằng số thì kết luận được ngay cả tính chất lẫn công bội.

Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=10$ và công bội $q=5$.

Định hướng. Tách $5^n=5^{n-1}\cdot 5$ để biểu thức của $u_{n-1}$ hiện ra trong $u_n$, khi đó dãy thoả đúng định nghĩa truy hồi của cấp số nhân.

Vậy dãy thoả hệ thức truy hồi của cấp số nhân với $q=5$, và $u_1=10$.

Định hướng. Cấp số nhân có số hạng tổng quát dạng $u_1{q}^{n-1}$; chỉ cần viết $2\cdot 5^n$ về đúng dạng đó là đọc được ngay cả $u_1$ lẫn $q$, khỏi phải lập tỉ số.

Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1=10$, $q=5$ và $u_n=10\cdot 5^{n-1}$.

Nhận xét. Dạng viết $u_n=u_1{q}^{n-1}$ là “chứng minh minh hoạ” gọn nhất: đã đưa được về dạng ấy với $u_1\ne 0$, $q\ne 0$ thì dãy chắc chắn là cấp số nhân.

Định hướng. Dùng $u_n=u_{n-1}q$ từng bậc một, mỗi lần thay kết quả vừa có vào bậc kế tiếp để mọi số hạng chỉ còn chứa $u_1$ và $q$.

Vậy a) $u_2=u_{1}q$, $u_3=u_1{q}^2$, $u_4=u_1{q}^3$, $u_5=u_1{q}^4$; b) dự đoán $u_n=u_1{q}^{n-1}$ với $n\ge 2$.

Định hướng. Viết đủ các đẳng thức truy hồi từ bậc $2$ tới bậc $n$ rồi nhân tất cả lại; hai vế có chung cụm $u_2{u}_3\cdots u_{n-1}$ nên giản ước được, chỉ còn $u_n$ theo $u_1$.

Vậy $u_n=u_1{q}^{n-1}$ với mọi $n\ge 2$; riêng $n=2;3;4;5$ cho $u_{1}q$, $u_1{q}^2$, $u_1{q}^3$, $u_1{q}^4$.

Định hướng. Sau khi đã dự đoán $u_n=u_1{q}^{n-1}$, kiểm tra công thức đúng ở bậc đầu rồi chứng minh nó tự truyền được từ bậc $k$ sang bậc $k+1$, khi đó công thức đúng với mọi $n$.

Vậy $u_n=u_1{q}^{n-1}$ với mọi $n\ge 2$ (công thức cũng đúng khi $n=1$ vì $q^0=1$).

Nhận xét. Cách 1 chỉ cho phép “dự đoán” như đề yêu cầu, còn Cách 2 và Cách 3 mới thật sự chứng minh công thức đúng với mọi $n$.

Định hướng. Gọi $u_1$ là số vi khuẩn ban đầu, $u_{k+1}$ là số vi khuẩn sau $k$ giờ; dãy này là cấp số nhân công bội $1,08$ nên chỉ cần thay vào công thức tổng quát.

Vậy sau $5$ giờ trong lọ có khoảng $7347$ con vi khuẩn.

Định hướng. Mỗi giờ số vi khuẩn được nhân với $1,08$; nhân lần lượt năm lần để thấy rõ dãy số vi khuẩn tăng dần qua từng giờ.

Vậy sau $5$ giờ có $7346,640384$, tức khoảng $7347$ con vi khuẩn.

Định hướng. Tách kết quả thành “số ban đầu” cộng “tổng phần tăng thêm”; các phần tăng thêm của từng giờ cũng lập một cấp số nhân công bội $1,08$ nên cộng được bằng công thức $S_5$.

Vậy số vi khuẩn sau $5$ giờ là $7346,640384$, làm tròn khoảng $7347$ con.

Nhận xét. Hai con đường gặp nhau vì $5000\cdot 1,08^5=5000+5000\left(1,08^5-1\right)$ — “tổng cuối” và “ban đầu cộng phần tăng” luôn là một.

Định hướng. Viết $S_n$ chỉ theo $u_1$ và $q$, nhân hai vế với $q$ để các số hạng trượt một bậc, khi trừ hai đẳng thức thì gần như mọi thứ triệt tiêu.

Vậy $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$ với $q\ne 1$.

Định hướng. Sau khi đặt $u_1$ làm nhân tử chung, phần còn lại đúng bằng $1+q+\dots +q^{n-1}$ — một biểu thức đã có sẵn công thức thu gọn từ hằng đẳng thức quen thuộc.

Vậy $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$, trùng kết quả Cách 1.

Định hướng. Tổng $S_n$ có thể tách theo hai kiểu: bớt số hạng cuối, hoặc tách số hạng đầu rồi đặt $q$ làm nhân tử chung; cho hai cách tách bằng nhau sẽ ra phương trình bậc nhất với ẩn là $S_{n-1}$.

Vậy thay $n-1$ bởi $n$ được $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$ với $q\ne 1$.

Nhận xét. Cả ba cách đều phải dùng $q\ne 1$ đúng một lần, ở bước chia cho $1-q$ — đó là lí do công thức này không áp dụng được cho cấp số nhân có công bội bằng $1$.

Định hướng. Khi $q=1$ mọi số hạng của cấp số nhân đều bằng $u_1$, nên tổng $n$ số hạng chỉ là phép nhân chứ không cần công thức nào.

Vậy $S_n=n{u}_1$.

Định hướng. Trước khi thu gọn thành phân thức, tổng luôn viết được là $u_1\left(1+q+\dots +q^{n-1}\right)$ — dạng này không có mẫu nên thay $q=1$ hoàn toàn hợp lệ.

Vậy $S_n=n{u}_1$, và điều này giải thích vì sao công thức phân thức phải loại $q=1$.

Định hướng. Với $q=1$ dãy là dãy hằng, mà dãy hằng cũng là một cấp số cộng công sai $d=0$; công thức tổng của cấp số cộng không có mẫu chứa $q$ nên dùng được ngay.

Vậy $S_n=n{u}_1$ — ba con đường cho cùng một kết quả.

Nhận xét. Kiểm tra nhanh với $u_1=3$, $q=1$, $n=4$: tổng thật là $3+3+3+3=12$ và $n{u}_1=4\cdot 3=12$, khớp.

Định hướng. Gọi $a_k$, $b_k$ lần lượt là lương tháng ở quý thứ $k$ của phương án 1 và phương án 2; tổng lương ba năm bằng $3$ lần tổng $12$ số hạng đầu của mỗi dãy.

Vậy $T_1=279$ triệu đồng và $T_2\approx 238,76$ triệu đồng, nên phương án 1 cho tổng lương lớn hơn.

Định hướng. Hai phương án khởi điểm bằng nhau, nên chỉ cần chỉ ra mức tăng mỗi quý của phương án 1 luôn lớn hơn của phương án 2 là kết luận được ngay, khỏi phải tính con số nào.

Vậy phương án 1 cho tổng lương lớn hơn phương án 2.

Định hướng. Với cấp số cộng, trung bình cộng của tất cả các số hạng bằng trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối, nên tổng lương phương án 1 nhẩm được; phương án 2 chỉ cần một lần bấm $1,05^{12}$.

Vậy $279>238,76$ nên chọn phương án 1 thì tổng lương ba năm lớn hơn, hơn khoảng $40,24$ triệu đồng.

Nhận xét. Phương án 2 chỉ vượt lên nếu thời hạn làm việc dài hơn nhiều: mức tăng $0,05b_k$ chỉ vượt $0,5$ khi $b_k>10$, tức phải qua gần bốn chục quý — luỹ thừa cuối cùng bao giờ cũng thắng tuyến tính, nhưng không phải trong ba năm.

Định hướng. Lấy tỉ số hai số hạng liên tiếp để có $q$, kiểm lại bằng cặp thứ hai, sau đó mọi câu hỏi còn lại chỉ là thay số vào $u_n=u_1{q}^{n-1}$.

Vậy a) $q=4$, $u_5=256$, $u_n=4^{n-1}$, $u_{100}=4^{99}$; b) $q=-\frac{1}{4}$, $u_5=\frac{1}{128}$, $u_n=2{\left(-\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$, $u_{100}=-\frac{1}{2^{197}}$.