Chương III. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 8. Mẫu số liệu ghép nhóm

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Mở đầu★Trang 58— Chọn cách biểu diễn cho mẫu số liệu có cỡ rất lớn

Mở đầu (trang 58). Trong kì thi tốt nghiệp Trung học phổ thông năm 2021 đợt 1 có 344 752 thí sinh dự thi cả ba môn Toán, Vật lí, Hoá học (theo vietnamnet.vn, ngày 26/07/2021). Giả sử điểm thi của các thí sinh này được cho trong một bảng số liệu gồm 344 752 dòng: thí sinh thứ nhất có điểm Toán

8, 00

, Vật lí

7, 25

, Hoá học

7, 75

và tổng điểm

23, 00

; thí sinh thứ hai có tổng điểm

20, 25

; …; thí sinh thứ 344 752 có tổng điểm

16, 50

.
Các trường đại học, cao đẳng tuyển sinh theo tổ hợp A00 quan tâm đến tổng điểm ba môn của các thí sinh này. Biểu diễn dãy số liệu về tổng điểm ba môn của các thí sinh này thế nào để các trường thấy được bức tranh tổng thể về kết quả thi?

Kiến thức cần nhớ

Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu.
Nhóm số liệu thường viết dưới dạng nửa khoảng $[a; b)$ , trong đó $a$ là đầu mút trái, $b$ là đầu mút phải; giá trị $x$ thuộc nhóm này khi $a \leq x < b$ .
Độ dài của nhóm $[a; b)$ bằng $b - a$ . Tổng các tần số nhóm bằng cỡ mẫu: $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = N$ .
Nhóm cuối cùng có thể lấy cả đầu mút bên phải để chứa giá trị lớn nhất của mẫu.

🧠 Phân tích tư duy

Đề nhấn mạnh hai chữ “bức tranh tổng thể” trên một mẫu có tới 344 752 giá trị — dấu hiệu của bài toán chọn cách TÓM GỌN số liệu chứ không phải chép lại số liệu. Điểm mỗi môn nhảy theo bậc

0, 25

nên tổng điểm chỉ nhận

121

giá trị khác nhau; con số

121

tuy nhỏ hơn

344752

rất nhiều nhưng vẫn quá nhiều cho một bảng nhìn bằng mắt, vì vậy hướng đi đúng là gom các mức điểm sát nhau thành NHÓM. Bẫy nằm ở chỗ dễ hiểu “biểu diễn” thành “vẽ lại toàn bộ số liệu”, trong khi cái các trường cần chỉ là hình dạng phân bố và số thí sinh ở từng khoảng điểm.

1Cách 1. Giữ nguyên từng mức điểm — lập bảng tần số như ở lớp 10

Định hướng. Thử cách quen thuộc nhất: liệt kê mọi giá trị khác nhau của tổng điểm rồi đếm số thí sinh đạt đúng mỗi giá trị đó, sau đó đánh giá xem bảng thu được có nhìn được không.

Tổng điểm ba môn:

0 \leq T \leq 30

Điểm mỗi môn nhảy theo bậc

0, 25

nên

T

cũng nhảy theo bậc

0, 25

Số giá trị khác nhau của

T

\frac{30 - 0}{0 , 25} + 1 = 120 + 1 = 121

Số cột của bảng tần số:

121

Cỡ mẫu:

N = 344752

Vậy bảng tần số thông thường phải có $121$ cột ứng với $121$ mức điểm lẻ tới hàng phần tư; bảng dài như thế chỉ cho biết số thí sinh ở từng mức điểm rời rạc chứ không cho thấy bức tranh tổng thể về kết quả thi.

2Cách 2. Gom các mức điểm liền nhau thành nhóm — lập bảng tần số ghép nhóm

Định hướng. Chia miền giá trị $[0; 30]$ của tổng điểm thành các nhóm nửa khoảng rộng $1$ điểm rồi đếm số thí sinh rơi vào mỗi nhóm; số cột giảm hẳn mà hình dạng phân bố vẫn còn nguyên.

Các nhóm:

< 6

;

[6; 7)

;

[7; 8)

;

\dots

;

[28; 29)

;

[29; 30]

Số nhóm:

1 + 23 + 1 = 25

25

nhóm thay cho

121

mức điểm
Tần số mỗi nhóm là số thí sinh có tổng điểm thuộc nhóm đó

n_{1} + n_{2} + \dots + n_{25} = N = 344752

Tổng điểm	$< 6$	$[6; 7)$	$[7; 8)$	$\dots$	$[28; 29)$	$[29; 30]$
Số thí sinh	$23$	$69$	$192$	$\dots$	$216$	$12$

Vậy hãy biểu diễn dãy tổng điểm dưới dạng mẫu số liệu ghép nhóm gồm $25$ nhóm điểm như bảng trên: chỉ một bảng ngắn mà thấy ngay vùng điểm nào đông thí sinh, vùng điểm nào thưa.

3Cách 3. Cộng dồn tần số — bảng tần số tích luỹ phục vụ việc xác định điểm chuẩn

Định hướng. Cái các trường thật sự cần là “có bao nhiêu thí sinh đạt từ một mức điểm nào đó trở lên”, nên cộng dồn tần số của bảng ghép nhóm từ nhóm điểm cao xuống thay vì đọc từng nhóm rời rạc.

Số thí sinh có tổng điểm từ

29

trở lên:

12

Số thí sinh có tổng điểm từ

28

trở lên:

216 + 12 = 228

Số thí sinh có tổng điểm dưới

7

23 + 69 = 92

Số thí sinh có tổng điểm dưới

8

23 + 69 + 192 = 284

Tỉ lệ thí sinh đạt từ

28

điểm trở lên:

\frac{228}{344 752} \approx 0, 066%

Vậy từ bảng ghép nhóm, chỉ vài phép cộng là trả lời được câu hỏi tuyển sinh: đặt điểm chuẩn ở mức $28$ điểm thì có khoảng $228$ thí sinh đạt, chiếm chừng $0, 066%$ tổng số $344752$ thí sinh dự thi.

Nhận xét. Ba cách trên chính là ba mức tóm gọn số liệu: giữ nguyên từng giá trị (Cách 1) — gom thành nhóm (Cách 2) — cộng dồn theo nhóm (Cách 3); càng tóm gọn thì càng dễ nhìn tổng thể nhưng càng mất chi tiết, nên phải chọn mức phù hợp với câu hỏi cần trả lời.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trả lời theo Cách 2: đúng một câu “ghép nhóm tổng điểm rồi lập bảng tần số ghép nhóm” là trọn ý, vì Cách 1 chỉ dùng để bác bỏ hướng làm cũ còn Cách 3 thực chất là bước cộng dồn tiếp theo trên chính bảng của Cách 2.

Đáp số. Ghép các tổng điểm thành các nhóm nửa khoảng rộng

1

điểm rồi lập bảng tần số ghép nhóm gồm

25

nhóm: dưới

6

điểm có

23

thí sinh;

[6; 7)

có

69

thí sinh;

[7; 8)

có

192

thí sinh; …;

[28; 29)

có

216

thí sinh;

[29; 30]

có

12

thí sinh.

Sai lầm thường gặp. Hiểu

[6; 7)

là “từ

6

điểm đến

7

điểm” rồi xếp thí sinh được đúng

7, 00

điểm vào nhóm này. Phản ví dụ: một thí sinh

7, 00

điểm khi đó được đếm cả ở

[6; 7)

lẫn ở

[7; 8)

, tổng các tần số nhóm sẽ lớn hơn

344752

, mâu thuẫn với

n_{1} + n_{2} + \dots + n_{25} = N

. Quy ước đúng là nửa khoảng: đầu mút trái THUỘC nhóm, đầu mút phải KHÔNG thuộc nhóm, riêng nhóm cuối

[29; 30]

được lấy cả đầu mút phải để chứa thí sinh đạt điểm tối đa

30

🚀 Mở rộng. Cùng mẫu số liệu ấy, nếu ghép thành

5

nhóm rộng

6

điểm là

[0; 6)

[6; 12)

, …,

[24; 30]

thì bảng gọn hơn nữa nhưng không còn tách nổi vùng điểm chuẩn, ngược lại nếu chia nhóm rộng

0, 25

ở vùng

[22; 27)

thì lại quay về đúng bảng tần số của Cách 1 — hãy thử xem với độ rộng nhóm bằng bao nhiêu thì bảng vừa gọn vừa đủ chi tiết cho việc xét tuyển.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 58

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★Trang 59— Đọc và giải thích một mẫu số liệu ghép nhóm

HĐ1 (trang 59). Xét dữ liệu cho trong tình huống mở đầu.
a) Mẫu số liệu về tổng điểm, kí hiệu là

(T)

, có bao nhiêu giá trị?
b) Nếu lập bảng tần số cho mẫu số liệu

(T)

thì có dễ hình dung được bức tranh tổng thể về kết quả thi không? Vì sao?
c) Mẫu số liệu

(T)

được mô tả dưới dạng bảng thống kê sau:

Tổng điểm	$< 6$	$[6; 7)$	$[7; 8)$	$\dots$	$[28; 29)$	$[29; 30]$
Số thí sinh	$23$	$69$	$192$	$\dots$	$216$	$12$

Hãy đọc và giải thích số liệu được biểu diễn trong bảng thống kê.

Kiến thức cần nhớ

Cỡ mẫu $N$ là SỐ GIÁ TRỊ của mẫu, tính cả các giá trị bằng nhau; nó khác với số giá trị đôi một khác nhau.
Trong bảng tần số ghép nhóm, tần số $n_{i}$ của nhóm là số giá trị của mẫu thuộc nhóm đó và $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = N$ .
Giá trị $x$ thuộc nhóm $[a; b)$ khi $a \leq x < b$ ; nhóm cuối có thể lấy cả đầu mút phải.
Tần số tương đối của nhóm thứ $i$ là $f_{i} = \frac{n _{i}}{N} \cdot 100%$ và $f_{1} + f_{2} + \dots + f_{k} = 100%$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba ý của đề đi theo đúng ba câu hỏi cần đặt ra trước mọi bảng thống kê: mẫu có bao nhiêu giá trị (cỡ mẫu), bảng cũ có dùng được không, bảng mới nói lên điều gì. Dấu hiệu để trả lời ý a) là mỗi thí sinh cho đúng MỘT tổng điểm, nên cỡ mẫu bằng số thí sinh chứ không bằng số giá trị khác nhau — đây chính là bẫy lớn nhất của bài. Ý b) phải so sánh hai con số

121

(số mức điểm khác nhau) và

25

(số nhóm) thì lập luận mới có sức nặng, nói suông “bảng dài quá” là chưa đủ.

1Cách 1. Bám định nghĩa cỡ mẫu và đọc bảng theo từng nhóm

Định hướng. Mỗi thí sinh ứng với đúng một giá trị của $(T)$ nên cỡ mẫu bằng số thí sinh; sau đó dịch từng cột của bảng sang lời theo đúng quy ước nửa khoảng.

a) Mỗi thí sinh cho đúng một tổng điểm

N = 344752

0 \leq T \leq 30

và

T

nhảy theo bậc

0, 25

Số mức điểm khác nhau:

\frac{30}{0 , 25} + 1 = 121

Bảng tần số thường có

121

cột
c)

< 6

có

23

;

[6; 7)

có

69

;

[7; 8)

có

192

;

[28; 29)

có

216

;

[29; 30]

có

12

Vậy a) mẫu $(T)$ có $344752$ giá trị; b) bảng tần số thường có tới $121$ cột nên KHÔNG dễ hình dung bức tranh tổng thể; c) có $23$ thí sinh đạt tổng điểm dưới $6$ điểm, $69$ thí sinh đạt từ $6$ điểm đến dưới $7$ điểm, $192$ thí sinh đạt từ $7$ điểm đến dưới $8$ điểm, …, $216$ thí sinh đạt từ $28$ điểm đến dưới $29$ điểm và $12$ thí sinh đạt từ $29$ điểm đến $30$ điểm.

2Cách 2. Đi ngược từ bảng ghép nhóm — dùng tổng tần số để lấy lại cỡ mẫu

Định hướng. Không cần nhìn dữ liệu gốc: tổng tần số của mọi nhóm luôn bằng cỡ mẫu, nên cộng hết các tần số trong bảng là ra ngay số giá trị của $(T)$ , đồng thời so số nhóm với số mức điểm để trả lời ý b).

n_{1} + n_{2} + \dots + n_{25} = N

23 + 69 + 192 + \dots + 216 + 12 = 344752

Số nhóm của bảng:

1 + 23 + 1 = 25

Số mức điểm khác nhau:

121

\frac{121}{25} \approx 4, 84

Vậy a) $N = 344752$ giá trị; b) bảng tần số thường dài gấp gần $5$ lần bảng ghép nhóm, mỗi cột chỉ ứng với một mức điểm lẻ tới hàng phần tư nên nhìn rất vụn, không thấy được tổng thể; c) bảng ghép nhóm chia thí sinh theo $25$ khoảng điểm, mỗi ô cho biết số thí sinh có tổng điểm thuộc khoảng đó.

3Cách 3. Đổi tần số sang tần số tương đối để đọc bức tranh tổng thể

Định hướng. Với cỡ mẫu hàng trăm nghìn thì con số tuyệt đối rất khó cảm nhận; chia mỗi tần số cho cỡ mẫu để có tỉ lệ phần trăm, khi đó bảng tự nói lên vùng điểm nào đông, vùng nào hiếm.

f_{i} = \frac{n _{i}}{N} \cdot 100%

với

N = 344752

f (< 6) = \frac{23}{344 752} \cdot 100% \approx 0, 0067%

f ([6; 7)) = \frac{69}{344 752} \cdot 100% \approx 0, 020%

f ([7; 8)) = \frac{192}{344 752} \cdot 100% \approx 0, 056%

f ([28; 29)) = \frac{216}{344 752} \cdot 100% \approx 0, 063%

f ([29; 30]) = \frac{12}{344 752} \cdot 100% \approx 0, 0035%

Vậy hai đầu của thang điểm đều rất thưa — chỉ khoảng $0, 0067%$ thí sinh dưới $6$ điểm và khoảng $0, 0035%$ thí sinh từ $29$ điểm trở lên, nghĩa là tuyệt đại đa số trong $344752$ thí sinh nằm ở vùng điểm giữa; đó chính là “bức tranh tổng thể” mà bảng tần số $121$ cột không cho thấy.

Nhận xét. Cỡ mẫu $N = 344752$ và số giá trị khác nhau $121$ là hai đại lượng hoàn toàn khác nhau: rất nhiều thí sinh cùng chung một mức tổng điểm, nên chỉ riêng nhóm $[28; 29)$ đã có $216$ thí sinh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bám thẳng định nghĩa cỡ mẫu và quy ước nửa khoảng nên trả lời gọn cả ba ý mà không phải tính tỉ lệ; Cách 3 chỉ nên dùng thêm khi đề yêu cầu bình luận về phân bố.

Đáp số. a) Mẫu

(T)

có

344752

giá trị. b) Không dễ hình dung, vì tổng điểm nhận tới

121

mức khác nhau nên bảng tần số thường có

121

cột, mỗi cột chỉ ứng với một mức điểm lẻ tới hàng phần tư. c) Có

23

thí sinh đạt dưới

6

điểm;

69

thí sinh đạt từ

6

đến dưới

7

điểm;

192

thí sinh đạt từ

7

đến dưới

8

điểm; …;

216

thí sinh đạt từ

28

đến dưới

29

điểm;

12

thí sinh đạt từ

29

đến

30

điểm.

Sai lầm thường gặp. Trả lời ý a) là “

121

giá trị” vì lẫn cỡ mẫu với số giá trị đôi một khác nhau. Phản ví dụ ngay trong bảng: riêng nhóm

[28; 29)

đã chứa

216

thí sinh, mà nhóm này chỉ gồm

4

mức điểm

28, 00

;

28, 25

;

28, 50

;

28, 75

— nếu mẫu chỉ có

121

giá trị thì không thể xếp nổi

216

thí sinh vào

4

mức điểm đó. Mỗi thí sinh đóng góp một giá trị, nên

N

bằng số thí sinh là

344752

🚀 Mở rộng. Vẫn bảng ghép nhóm này, hãy thử tính tỉ lệ thí sinh đạt từ

28

điểm trở lên là

\frac{216 + 12}{344 752} \approx 0, 066%

rồi trả lời: nếu một trường lấy

500

chỉ tiêu theo tổ hợp A00 thì điểm chuẩn nên đặt ở khoảng nào?

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 59

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★★Trang 59— Đọc mẫu số liệu ghép nhóm, tần số tích luỹ và tần số tương đối

Luyện tập 1 (trang 59). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:

Thời gian	$[15; 20)$	$[20; 25)$	$[25; 30)$	$[30; 35)$	$[35; 40)$	$[40; 45)$	$[45; 50)$
Số nhân viên	$6$	$14$	$25$	$37$	$21$	$13$	$9$

Đọc và giải thích mẫu số liệu này.

Kiến thức cần nhớ

Bảng tần số ghép nhóm cho biết: các nhóm, tần số của mỗi nhóm và cỡ mẫu $N = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k}$ .
Độ dài của nhóm $[a; b)$ bằng $b - a$ ; các nhóm không giao nhau và thường có độ dài bằng nhau.
Tần số tích luỹ của một nhóm là tổng các tần số của nhóm đó và mọi nhóm đứng trước nó.
Tần số tương đối: $f_{i} = \frac{n _{i}}{N} \cdot 100%$ , tổng các $f_{i}$ bằng $100%$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ nói “đọc và giải thích” nên thứ phải nêu là: mẫu gồm mấy nhóm, độ dài mỗi nhóm, cỡ mẫu, nhóm nào đông nhất và ý nghĩa thực tế của các con số — chứ không phải chép lại bảng. Bảy nhóm đều rộng

5

phút và nối tiếp nhau phủ kín

[15; 50)

, đó là dấu hiệu cho phép cộng dồn tần số để trả lời mọi câu hỏi dạng “bao nhiêu nhân viên đi dưới

30

phút”. Bẫy của đề nằm ở đơn vị: mọi kết luận phải kèm chữ “phút”, và mốc

30

phút thuộc nhóm

[30; 35)

chứ không thuộc nhóm

[25; 30)

1Cách 1. Đọc trực tiếp từng nhóm rồi cộng các tần số để có cỡ mẫu

Định hướng. Dịch từng cột của bảng sang lời theo quy ước nửa khoảng, rồi cộng toàn bộ tần số để biết công ty có bao nhiêu nhân viên và nhóm nào đông nhất.

Số nhóm:

7

; độ dài mỗi nhóm:

20 - 15 = 5

(phút)

N = 6 + 14 + 25 + 37 + 21 + 13 + 9

N = 125

Tần số lớn nhất:

37

ứng với nhóm

[30; 35)

Tần số nhỏ nhất:

6

ứng với nhóm

[15; 20)

Vậy mẫu gồm $7$ nhóm độ dài $5$ phút, cỡ mẫu $N = 125$ nhân viên: có $6$ nhân viên đi từ $15$ phút đến dưới $20$ phút, $14$ nhân viên đi từ $20$ phút đến dưới $25$ phút, $25$ nhân viên đi từ $25$ phút đến dưới $30$ phút, $37$ nhân viên đi từ $30$ phút đến dưới $35$ phút, $21$ nhân viên đi từ $35$ phút đến dưới $40$ phút, $13$ nhân viên đi từ $40$ phút đến dưới $45$ phút và $9$ nhân viên đi từ $45$ phút đến dưới $50$ phút; đông nhất là nhóm $[30; 35)$ phút.

2Cách 2. Lập bảng tần số tích luỹ để trả lời các câu hỏi dạng “dưới bao nhiêu phút”

Định hướng. Cộng dồn tần số từ nhóm đầu tiên trở đi; mỗi con số cộng dồn cho biết ngay số nhân viên có thời gian đi làm nhỏ hơn đầu mút phải của nhóm tương ứng.

Dưới

20

phút:

6

Dưới

25

phút:

6 + 14 = 20

Dưới

30

phút:

20 + 25 = 45

Dưới

35

phút:

45 + 37 = 82

Dưới

40

phút:

82 + 21 = 103

Dưới

45

phút:

103 + 13 = 116

Dưới

50

phút:

116 + 9 = 125 = N

Từ

40

phút trở lên:

125 - 103 = 22

Thời gian đi làm	dưới $20$	dưới $25$	dưới $30$	dưới $35$	dưới $40$	dưới $45$	dưới $50$
Số nhân viên	$6$	$20$	$45$	$82$	$103$	$116$	$125$

Vậy có $45$ nhân viên đi làm mất dưới $30$ phút, $82$ nhân viên mất dưới $35$ phút và $22$ nhân viên phải đi từ $40$ phút trở lên; toàn bộ $125$ nhân viên đều đi làm mất từ $15$ phút đến dưới $50$ phút.

3Cách 3. Đổi sang tần số tương đối và đọc dáng phân bố trên biểu đồ

Định hướng. Chia mỗi tần số cho cỡ mẫu $125$ để có tỉ lệ phần trăm, rồi đối chiếu với chiều cao các cột của biểu đồ tần số ghép nhóm: cột cao nhất chỉ ra vùng thời gian đi làm phổ biến nhất.

f ([15; 20)) = \frac{6}{125} \cdot 100% = 4, 8%

f ([20; 25)) = \frac{14}{125} \cdot 100% = 11, 2%

f ([25; 30)) = \frac{25}{125} \cdot 100% = 20%

f ([30; 35)) = \frac{37}{125} \cdot 100% = 29, 6%

f ([35; 40)) = \frac{21}{125} \cdot 100% = 16, 8%

f ([40; 45)) = \frac{13}{125} \cdot 100% = 10, 4%

f ([45; 50)) = \frac{9}{125} \cdot 100% = 7, 2%

4, 8 + 11, 2 + 20 + 29, 6 + 16, 8 + 10, 4 + 7, 2 = 100

Vậy gần $30%$ nhân viên mất từ $30$ phút đến dưới $35$ phút để tới công ty; biểu đồ có một đỉnh duy nhất tại nhóm $[30; 35)$ rồi thấp dần về hai phía, chứng tỏ thời gian đi làm tập trung quanh khoảng nửa giờ và chỉ một số ít nhân viên ở rất gần hoặc rất xa công ty.

Nhận xét. Tổng các tần số tương đối đúng bằng $100%$ — đây là phép kiểm tra chéo nhanh nhất cho thấy ta không bỏ sót hay đếm trùng nhóm nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 để trả lời phần “đọc”, rồi thêm hai dòng tần số tích luỹ của Cách 2 cho phần “giải thích”: Cách 3 tuy cho hình ảnh đẹp nhưng phải chia

7

lần nên mất thời gian mà đề không đòi tỉ lệ.

Đáp số. Mẫu gồm

7

nhóm, mỗi nhóm dài

5

phút, cỡ mẫu

N = 125

nhân viên. Số nhân viên theo thứ tự các nhóm là

6

;

14

;

25

;

37

;

21

;

13

;

9

. Nhóm đông nhất là

[30; 35)

phút với

37

nhân viên, chiếm

29, 6%

; có

45

nhân viên (chiếm

36%

) đi làm mất dưới

30

phút và

22

nhân viên (chiếm

17, 6%

) mất từ

40

phút trở lên.

Sai lầm thường gặp. Nói “có

25

nhân viên đi làm mất từ

25

đến

30

phút” rồi lại nói “có

37

nhân viên mất từ

30

đến

35

phút” — người đi đúng

30

phút bị kể ở cả hai câu. Phản ví dụ: nếu

30

phút vừa thuộc

[25; 30)

vừa thuộc

[30; 35)

thì tổng số nhân viên đọc được sẽ vượt quá

125

, trong khi

6 + 14 + 25 + 37 + 21 + 13 + 9 = 125

đã dùng hết cỡ mẫu. Phải đọc là “từ

25

phút đến DƯỚI

30

phút”, người đi đúng

30

phút thuộc nhóm

[30; 35)

🚀 Mở rộng. Nếu công ty gộp lại chỉ còn hai nhóm

[15; 30)

và

[30; 50)

thì tần số mới là

45

và

80

— bảng gọn hơn nhưng biến mất đỉnh tại

[30; 35)

; hãy thử ghép nhóm với độ dài

10

phút để xem đỉnh phân bố còn nhận ra được nữa không.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 59

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★★Trang 60— Ghép nhóm mẫu số liệu theo tiêu chí cho trước

HĐ2 (trang 60). Chỉ số BMI (đo bằng

\frac{w}{h ^{2}}

, trong đó

w

là cân nặng đơn vị là kilôgam,

h

là chiều cao đơn vị là mét) của các học sinh trong một tổ được cho như sau:

19, 221, 116, 823, 520, 625, 218, 719, 1

Một người có chỉ số BMI nhỏ hơn

18, 5

được xem là thiếu cân; từ

18, 5

đến dưới

23

là có cân nặng lí tưởng so với chiều cao; từ

23

trở lên là thừa cân. Hãy lập mẫu số liệu ghép nhóm cho mẫu số liệu trên để biểu diễn tình trạng cân nặng so với chiều cao của các học sinh trong tổ.

Kiến thức cần nhớ

Chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm sang mẫu ghép nhóm: chia miền giá trị thành các nhóm theo tiêu chí cho trước, rồi đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm và lập bảng thống kê.
Các nhóm phải đôi một không giao nhau và phủ hết miền giá trị của mẫu.
Cụm “nhỏ hơn $a$ ” ứng với nhóm có đầu mút phải là $a$ ; cụm “từ $a$ đến dưới $b$ ” ứng đúng với nửa khoảng $[a; b)$ ; cụm “từ $b$ trở lên” ứng với nhóm có đầu mút trái là $b$ .
Kiểm tra chéo bằng tổng tần số: $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = N$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn tiêu chí phân loại với hai mốc

18, 5

và

23

— dấu hiệu của bài ghép nhóm theo TIÊU CHÍ, khác hẳn dạng ghép nhóm theo số nhóm cho trước, nên ở đây các nhóm KHÔNG cần có độ dài bằng nhau. Việc duy nhất phải làm là chọn đầu mút trái của nhóm đầu không lớn hơn giá trị nhỏ nhất

16, 8

và đầu mút phải của nhóm cuối lớn hơn giá trị lớn nhất

25, 2

, rồi đếm. Bẫy nằm ở học sinh có BMI

18, 7

và ở mốc

23

: “từ

18, 5

đến dưới

23

” tương ứng đúng nửa khoảng

[18, 5; 23)

nên

18, 7

là cân nặng lí tưởng chứ không phải thiếu cân.

1Cách 1. Kiểm đếm trực tiếp theo ba tiêu chí của đề

Định hướng. Đọc lần lượt tám chỉ số BMI, mỗi số so với hai mốc $18, 5$ và $23$ để xếp vào đúng một trong ba nhóm, rồi lập bảng thống kê.

Giá trị nhỏ nhất:

16, 8

; giá trị lớn nhất:

25, 2

Ba nhóm:

[16; 18, 5)

;

[18, 5; 23)

;

[23; 26)

16, 8 < 18, 5

nên

16, 8

thuộc nhóm thứ nhất

18, 5 \leq 19, 2; 21, 1; 20, 6; 18, 7; 19, 1 < 23

nên năm số này thuộc nhóm thứ hai

23, 5 \geq 23

và

25, 2 \geq 23

nên hai số này thuộc nhóm thứ ba

1 + 5 + 2 = 8 = N

Chỉ số BMI	$[16; 18, 5)$	$[18, 5; 23)$	$[23; 26)$
Số học sinh	$1$	$5$	$2$

Vậy mẫu số liệu ghép nhóm gồm ba nhóm như bảng trên: tổ có $1$ học sinh thiếu cân, $5$ học sinh có cân nặng lí tưởng so với chiều cao và $2$ học sinh thừa cân.

2Cách 2. Sắp xếp mẫu theo thứ tự tăng dần rồi cắt tại hai mốc

Định hướng. Xếp tám chỉ số BMI từ bé đến lớn, khi ấy mỗi nhóm là một đoạn liên tiếp trong dãy đã xếp nên chỉ cần tìm chỗ cắt tại $18, 5$ và tại $23$ là đếm được ngay, không sợ bỏ sót số nào.

Dãy xếp tăng dần:

16, 8; 18, 7; 19, 1; 19, 2; 20, 6; 21, 1; 23, 5; 25, 2

Chỗ cắt thứ nhất ở mốc

18, 5

: giữa

16, 8

và

18, 7

Chỗ cắt thứ hai ở mốc

23

: giữa

21, 1

và

23, 5

Đoạn thứ nhất có

1

số ; đoạn thứ hai có

5

số ; đoạn thứ ba có

2

số

Vậy nhóm $[16; 18, 5)$ có $1$ học sinh, nhóm $[18, 5; 23)$ có $5$ học sinh và nhóm $[23; 26)$ có $2$ học sinh.

3Cách 3. Đếm phần bù bằng tần số tích luỹ

Định hướng. Chỉ đếm số học sinh có BMI nhỏ hơn từng mốc, rồi lấy hiệu hai số đếm liên tiếp; cách này nhanh khi mẫu lớn vì mỗi lần chỉ phải so sánh với một mốc duy nhất.

Số học sinh có BMI nhỏ hơn

18, 5

1

Số học sinh có BMI nhỏ hơn

23

6

Số học sinh có BMI nhỏ hơn

26

8 = N

Nhóm

[16; 18, 5)

1

Nhóm

[18, 5; 23)

6 - 1 = 5

Nhóm

[23; 26)

8 - 6 = 2

Vậy bảng ghép nhóm là $1$ ; $5$ ; $2$ học sinh, tổng $1 + 5 + 2 = 8$ đúng bằng sĩ số của tổ.

Nhận xét. Ba nhóm ở đây có độ dài $2, 5$ ; $4, 5$ và $3$ nên KHÔNG bằng nhau — điều đó hoàn toàn hợp lệ vì đề ghép nhóm theo tiêu chí sức khoẻ cho sẵn; đầu mút trái $16$ và đầu mút phải $26$ chỉ cần chọn sao cho chứa hết mẫu, nên lấy $[16, 5; 18, 5)$ và $[23; 25, 5]$ cũng được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ mất một dòng sắp xếp mà sau đó việc đếm trở nên hiển nhiên, gần như không thể sót số hay xếp nhầm nhóm — Cách 1 dễ nghĩ nhưng với mẫu nhiều số thì rất dễ đếm lặp.

Đáp số. Mẫu số liệu ghép nhóm: nhóm

[16; 18, 5)

có

1

học sinh (thiếu cân); nhóm

[18, 5; 23)

có

5

học sinh (cân nặng lí tưởng); nhóm

[23; 26)

có

2

học sinh (thừa cân); tổng cộng

8

học sinh.

Sai lầm thường gặp. Xếp học sinh có BMI

18, 7

vào nhóm thiếu cân vì thấy

18, 7

“gần

18, 5

”, hoặc xếp học sinh có BMI

23, 5

vào nhóm lí tưởng vì đọc “từ

18, 5

đến

23

” thành khoảng đóng. Phản ví dụ: nếu

23, 5

thuộc

[18, 5; 23)

thì phải có

23, 5 < 23

, điều này sai; còn nếu

18, 7

là thiếu cân thì bảng cho

2

;

4

;

2

và một học sinh cân nặng bình thường bị xếp nhầm sang nhóm cần tăng cân. Mốc chuẩn:

18, 5

THUỘC nhóm lí tưởng,

23

THUỘC nhóm thừa cân.

🚀 Mở rộng. Vẫn tổ học sinh này, nếu ngành y tế tách nhóm thừa cân thành

[23; 25)

(thừa cân) và

[25; 30)

(béo phì) thì bảng có

4

nhóm với tần số

1

;

5

;

1

;

1

— hãy thử xem việc tách thêm nhóm giúp thông tin chi tiết hơn ở chỗ nào.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 60

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 60— Chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với độ dài nhóm cho trước

Luyện tập 2 (trang 60). Cân nặng (kg) của

35

người trưởng thành tại một khu dân cư được cho như sau:

4351476248405062535640485653504255

524846455452504744545560635855605853

Chuyển mẫu số liệu trên thành dạng ghép nhóm, các nhóm có độ dài bằng nhau, trong đó có nhóm

[40; 45)

Kiến thức cần nhớ

Chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm: chia miền giá trị thành các nhóm rồi đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm để lập bảng thống kê.
Khoảng biến thiên $R$ bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất; tổng độ dài các nhóm phải lớn hơn $R$ .
Các nhóm không giao nhau và nên có độ dài bằng nhau; giá trị $x$ thuộc $[a; b)$ khi $a \leq x < b$ .
Kiểm tra chéo: $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = N$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn một nhóm cụ thể là

[40; 45)

— đó chính là dữ kiện chốt: độ dài mỗi nhóm bằng

45 - 40 = 5

và mốc chia phải là

40; 45; 50; \dots

, nên ta không được tự chọn độ dài khác. Việc còn lại chỉ là xem cần bao nhiêu nhóm để phủ hết mẫu, muốn vậy phải tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trước khi đếm. Bẫy ở chỗ giá trị lớn nhất là

63

nên nhóm cuối phải là

[60; 65)

chứ không dừng ở

[55; 60)

, và người nặng đúng

45

kg thuộc nhóm

[45; 50)

chứ không thuộc

[40; 45)

1Cách 1. Xác định khoảng biến thiên rồi kiểm đếm trực tiếp từng nhóm

Định hướng. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất để biết cần bao nhiêu nhóm rộng $5$ kg xuất phát từ $40$ , sau đó lướt qua mẫu một lượt và gạch mỗi số vào đúng nhóm của nó.

Giá trị nhỏ nhất:

40

; giá trị lớn nhất:

63

R = 63 - 40 = 23

Độ dài mỗi nhóm:

45 - 40 = 5

Số nhóm cần dùng:

5

vì

5 \cdot 5 = 25 > 23

Các nhóm:

[40; 45)

;

[45; 50)

;

[50; 55)

;

[55; 60)

;

[60; 65)

n_{1} = 5; n_{2} = 7; n_{3} = 11; n_{4} = 7; n_{5} = 5

5 + 7 + 11 + 7 + 5 = 35 = N

Cân nặng (kg)	$[40; 45)$	$[45; 50)$	$[50; 55)$	$[55; 60)$	$[60; 65)$
Số người	$5$	$7$	$11$	$7$	$5$

Vậy mẫu số liệu ghép nhóm gồm $5$ nhóm độ dài $5$ kg với tần số lần lượt là $5$ ; $7$ ; $11$ ; $7$ ; $5$ người, tổng cộng $35$ người trưởng thành.

2Cách 2. Sắp xếp mẫu tăng dần rồi cắt theo các mốc

45

50

55

60

Định hướng. Khi mẫu đã xếp tăng dần thì mỗi nhóm là một đoạn liên tiếp, chỉ cần định vị bốn chỗ cắt là đọc được tần số bằng cách đếm số hạng của từng đoạn — không phải rà lại toàn bộ mẫu năm lần như kiểm đếm.

Dãy xếp tăng dần:

4040424344

45464747484848

5050505152525353535454

55555556565858

6060626263

Đoạn 1 có

5

số ; đoạn 2 có

7

số ; đoạn 3 có

11

số ; đoạn 4 có

7

số ; đoạn 5 có

5

số

5 + 7 + 11 + 7 + 5 = 35

Vậy tần số của các nhóm $[40; 45)$ ; $[45; 50)$ ; $[50; 55)$ ; $[55; 60)$ ; $[60; 65)$ lần lượt là $5$ ; $7$ ; $11$ ; $7$ ; $5$ người.

3Cách 3. Đếm theo tần số tích luỹ rồi lấy hiệu

Định hướng. Mỗi lần chỉ hỏi một câu duy nhất “có bao nhiêu người nhẹ hơn mốc này”, rồi hiệu của hai kết quả liên tiếp chính là tần số của nhóm nằm giữa hai mốc — cách kiểm tra rất khó sai vì mỗi số chỉ so sánh với một ngưỡng.

Số người nặng dưới

45

kg:

5

Số người nặng dưới

50

kg:

12

Số người nặng dưới

55

kg:

23

Số người nặng dưới

60

kg:

30

Số người nặng dưới

65

kg:

35 = N

n_{1} = 5

n_{2} = 12 - 5 = 7

n_{3} = 23 - 12 = 11

n_{4} = 30 - 23 = 7

n_{5} = 35 - 30 = 5

Vậy bảng ghép nhóm là $5$ ; $7$ ; $11$ ; $7$ ; $5$ người, khớp với hai cách trên; hơn nửa khu dân cư (cụ thể $23$ người trong $35$ người) có cân nặng dưới $55$ kg.

Nhận xét. Bảng thu được đối xứng đẹp quanh nhóm giữa $[50; 55)$ — dấu hiệu cân nặng của khu dân cư phân bố khá cân đối quanh mức $52$ kg; biểu đồ tần số ghép nhóm cho thấy rõ điều đó bằng một đỉnh duy nhất ở giữa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ phải quét mẫu theo bốn ngưỡng và mỗi số so sánh một lần, nên gần như không thể đếm sót; Cách 2 cũng an toàn nhưng viết lại cả

35

số đã xếp thì tốn giấy, còn Cách 1 dễ đếm lặp khi mẫu dài.

Đáp số. Bảng tần số ghép nhóm với

5

nhóm độ dài

5

kg:

[40; 45)

có

5

người;

[45; 50)

có

7

người;

[50; 55)

có

11

người;

[55; 60)

có

7

người;

[60; 65)

có

5

người. Tổng

5 + 7 + 11 + 7 + 5 = 35

người.

Sai lầm thường gặp. Dừng ở nhóm

[55; 60)

vì tưởng bốn nhóm là đủ, hoặc xếp hai người nặng

45

kg và

50

kg vào nhóm đứng trước. Phản ví dụ: nếu chỉ lấy bốn nhóm tới

[55; 60)

thì

5

người nặng

60

;

60

;

62

;

62

;

63

kg không thuộc nhóm nào, tổng tần số chỉ còn

30 \neq = 35

; còn nếu xếp

45

vào

[40; 45)

thì phải có

45 < 45

, vô lí. Nhóm cuối phải là

[60; 65)

để chứa giá trị lớn nhất

63

, và mốc

45

thuộc nhóm

[45; 50)

🚀 Mở rộng. Cùng mẫu này, nếu đề đổi thành “ghép nhóm có độ dài bằng nhau và trong đó có nhóm

[40; 48)

” thì độ dài nhóm thành

8

kg, chỉ cần

3

nhóm

[40; 48)

;

[48; 56)

;

[56; 64)

— hãy đếm lại tần số và so xem đỉnh phân bố có còn nằm ở giữa nữa không.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 60

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Vận dụng★★★Trang 61— Ghép nhóm mẫu số liệu và dùng tỉ lệ nhóm để ước lượng thực tế

Vận dụng (trang 61). Một công ty may quần áo đồng phục học sinh cho biết cỡ áo theo chiều cao của học sinh được tính như sau:

Chiều cao (cm)	$[150; 160)$	$[160; 167)$	$[167; 170)$	$[170; 175)$	$[175; 180)$
Cỡ áo	S	M	L	XL	XXL

Công ty muốn ước lượng tỉ lệ các cỡ áo khi may cho học sinh lớp 11 đã đo chiều cao của

36

học sinh nam khối 11 của một trường và thu được mẫu số liệu sau (đơn vị là centimét):

160161161162162162163163163164164164164

165165165165165166166166166167167168168

168168169169170171171172172174

a) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu với các nhóm đã cho ở bảng trên.
b) Công ty may

500

áo đồng phục cho học sinh lớp 11 thì nên may số lượng áo theo mỗi cỡ là bao nhiêu chiếc?

Kiến thức cần nhớ

Bảng tần số ghép nhóm phải ghi đủ mọi nhóm được cho, kể cả nhóm có tần số bằng $0$ .
Tần số tương đối của nhóm thứ $i$ là $f_{i} = \frac{n _{i}}{N}$ ; đây là ước lượng cho tỉ lệ của nhóm đó trong tổng thể.
Ước lượng số lượng trong tổng thể cỡ $M$ : số phần tử của nhóm thứ $i$ xấp xỉ $M \cdot \frac{n _{i}}{N}$ .
Khi làm tròn nhiều kết quả, phải kiểm tra lại để tổng sau khi làm tròn vẫn bằng $M$ .

🧠 Phân tích tư duy

Các nhóm đã được cho sẵn và có độ dài KHÔNG bằng nhau (

10; 7; 3; 5; 5

) vì chúng gắn với cỡ áo chứ không sinh ra từ khoảng biến thiên — nhận ra điều này thì mới không đi chia lại nhóm cho “đều”. Ý b) là bài toán tỉ lệ: mẫu

36

học sinh đại diện cho

500

áo nên số áo mỗi cỡ tính theo

500 \cdot \frac{n _{i}}{36}

. Hai cái bẫy: chiều cao nhỏ nhất là

160

nên nhóm S hoàn toàn rỗng (tần số

0

vẫn phải ghi vào bảng), và các kết quả ở ý b) đều lẻ nên phải làm tròn sao cho tổng vẫn đúng

500

chiếc.

1Cách 1. Kiểm đếm trực tiếp theo từng nhóm cỡ áo

Định hướng. Với mỗi nhóm chiều cao, lướt qua mẫu và đếm số học sinh có chiều cao thuộc nhóm đó; mẫu đã cho theo thứ tự tăng dần nên chỉ cần định vị các mốc $160$ , $167$ , $170$ , $175$ .

Chiều cao nhỏ nhất:

160

; chiều cao lớn nhất:

174

Nhóm

[150; 160)

: không có học sinh nào vì mọi số liệu đều

\geq 160

Nhóm

[160; 167)

: các số

160; 161; 161; 162; 162; 162; 163; 163; 163; 164; 164; 164; 164; 165; 165; 165; 165; 165; 166; 166; 166; 166

Nhóm

[160; 167)

có

22

học sinh
Nhóm

[167; 170)

167; 167; 168; 168; 168; 168; 169; 169

nên có

8

học sinh
Nhóm

[170; 175)

170; 171; 171; 172; 172; 174

nên có

6

học sinh
Nhóm

[175; 180)

: không có học sinh nào vì mọi số liệu đều

< 175

0 + 22 + 8 + 6 + 0 = 36 = N

Chiều cao (cm)	$[150; 160)$	$[160; 167)$	$[167; 170)$	$[170; 175)$	$[175; 180)$
Cỡ áo	S	M	L	XL	XXL
Số học sinh	$0$	$22$	$8$	$6$	$0$

500 \cdot \frac{22}{36} = \frac{2750}{9} \approx 305, 6

500 \cdot \frac{8}{36} = \frac{1000}{9} \approx 111, 1

500 \cdot \frac{6}{36} = \frac{250}{3} \approx 83, 3

306 + 111 + 83 = 500

Vậy a) bảng tần số ghép nhóm là $0$ ; $22$ ; $8$ ; $6$ ; $0$ học sinh; b) trong $500$ áo, công ty nên may khoảng $306$ chiếc cỡ M, $111$ chiếc cỡ L, $83$ chiếc cỡ XL và không cần may cỡ S, cỡ XXL.

2Cách 2. Lập bảng tần số của từng chiều cao rồi cộng theo nhóm

Định hướng. Đếm một lần duy nhất xem mỗi giá trị chiều cao xuất hiện bao nhiêu lần, sau đó cộng các tần số này theo từng nhóm; ưu điểm là bảng tần số chi tiết còn dùng lại được nếu đề đổi cách chia nhóm.

160 \to 1

;

161 \to 2

;

162 \to 3

;

163 \to 3

;

164 \to 4

;

165 \to 5

;

166 \to 4

167 \to 2

;

168 \to 4

;

169 \to 2

;

170 \to 1

;

171 \to 2

;

172 \to 2

;

174 \to 1

1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 4 + 2 + 4 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 = 36

Nhóm

[160; 167)

1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 4 = 22

Nhóm

[167; 170)

2 + 4 + 2 = 8

Nhóm

[170; 175)

1 + 2 + 2 + 1 = 6

Nhóm

[150; 160)

và

[175; 180)

0

Vậy tần số các cỡ S, M, L, XL, XXL lần lượt là $0$ ; $22$ ; $8$ ; $6$ ; $0$ học sinh, tổng đúng $36$ học sinh đã đo.

3Cách 3. Dùng tần số tích luỹ và tỉ lệ phần trăm để ước lượng số áo

Định hướng. Đếm số học sinh thấp hơn từng mốc chiều cao rồi lấy hiệu để có tần số; sau đó chuyển thẳng sang tỉ lệ phần trăm vì cái công ty cần là TỈ LỆ các cỡ áo chứ không phải số học sinh đã đo.

Số học sinh cao dưới

160

cm:

0

Số học sinh cao dưới

167

cm:

22

Số học sinh cao dưới

170

cm:

30

Số học sinh cao dưới

175

cm:

36

Số học sinh cao dưới

180

cm:

36 = N

Cỡ M:

22 - 0 = 22

; cỡ L:

30 - 22 = 8

; cỡ XL:

36 - 30 = 6

f (M) = \frac{22}{36} \approx 61, 11%

f (L) = \frac{8}{36} \approx 22, 22%

f (XL) = \frac{6}{36} \approx 16, 67%

61, 11% + 22, 22% + 16, 67% = 100%

500 \cdot 61, 11% \approx 306

;

500 \cdot 22, 22% \approx 111

;

500 \cdot 16, 67% \approx 83

Vậy tỉ lệ ước lượng là khoảng $61, 11%$ cỡ M, $22, 22%$ cỡ L, $16, 67%$ cỡ XL; với $500$ áo thì nên may $306$ chiếc cỡ M, $111$ chiếc cỡ L, $83$ chiếc cỡ XL, không may cỡ S và cỡ XXL.

Nhận xét. Mẫu chỉ gồm học sinh NAM của một trường nên tỉ lệ trên chỉ là ước lượng; nếu đo thêm học sinh nữ hoặc các trường khác thì nhóm $[150; 160)$ (cỡ S) chắc chắn không còn rỗng, tức là kết luận “không may cỡ S” chỉ đúng với tổng thể mà mẫu này đại diện.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: đếm theo tần số tích luỹ chỉ cần bốn lần định vị mốc, rồi tỉ lệ phần trăm dùng thẳng được cho ý b) mà không phải quay lại bảng tần số; Cách 2 tuy đầy đủ nhưng phải lập bảng

14

cột mới ra kết quả.

Đáp số. a)

[150; 160)

(cỡ S):

0

học sinh;

[160; 167)

(cỡ M):

22

học sinh;

[167; 170)

(cỡ L):

8

học sinh;

[170; 175)

(cỡ XL):

6

học sinh;

[175; 180)

(cỡ XXL):

0

học sinh; tổng

36

học sinh. b) Trong

500

áo nên may khoảng

306

chiếc cỡ M,

111

chiếc cỡ L,

83

chiếc cỡ XL và không may cỡ S, cỡ XXL.

Sai lầm thường gặp. Bỏ hẳn hai cột có tần số

0

ra khỏi bảng vì nghĩ “không có số liệu thì không cần ghi”, hoặc làm tròn ở ý b) một cách tuỳ tiện. Phản ví dụ: nếu bỏ cột cỡ S và cỡ XXL thì bảng chỉ còn ba nhóm không phủ hết dải chiều cao

[150; 180)

mà công ty quy định, người đọc sẽ tưởng công ty không có hai cỡ áo đó; còn nếu làm tròn xuống cả ba số thành

305 + 111 + 83 = 499

thì thiếu mất

1

chiếc áo so với đơn đặt hàng

500

chiếc. Phải giữ đủ mọi nhóm và kiểm lại tổng sau khi làm tròn.

🚀 Mở rộng. Nếu công ty chỉ may

500

áo cho học sinh NỮ khối 11 thì bảng tần số trên không dùng được nữa vì mẫu chỉ gồm học sinh nam — hãy thử nghĩ xem cần đo thêm mẫu thế nào và khi đó nhóm

[150; 160)

(cỡ S) sẽ chiếm tỉ lệ ra sao.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 61

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 3.1★Trang 61— Nhận biết và đọc mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 3.1 (trang 61). Trong các mẫu số liệu sau, mẫu nào là mẫu số liệu ghép nhóm? Đọc và giải thích mẫu số liệu ghép nhóm đó.
a) Số tiền mà sinh viên chi cho thanh toán cước điện thoại trong tháng.

Số tiền (nghìn đồng)	$[0; 50)$	$[50; 100)$	$[100; 150)$	$[150; 200)$	$[200; 250)$
Số sinh viên	$5$	$12$	$23$	$17$	$3$

b) Thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong

40

ngày, ta có bảng số liệu sau:

Nhiệt độ (°C)	$[19; 22)$	$[22; 25)$	$[25; 28)$	$[28; 31)$
Số ngày	$7$	$15$	$12$	$6$

Kiến thức cần nhớ

Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu cho dưới dạng bảng tần số của các NHÓM số liệu, mỗi nhóm thường viết dạng $[a; b)$ .
Nếu dòng đầu của bảng là các giá trị rời rạc thì đó là bảng tần số thông thường, không phải mẫu ghép nhóm.
Cỡ mẫu bằng tổng các tần số nhóm: $N = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k}$ .
Tần số tương đối $f_{i} = \frac{n _{i}}{N} \cdot 100%$ dùng để so sánh các nhóm khi cỡ mẫu khác nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi “mẫu nào là mẫu số liệu ghép nhóm” buộc ta quay về đúng định nghĩa: dòng đầu của bảng phải là các NHÓM số liệu chứ không phải các giá trị rời rạc. Cả hai bảng đều có dòng đầu gồm các nửa khoảng

[a; b)

nối tiếp nhau nên câu trả lời là cả hai, và phần việc chính thực ra là “đọc và giải thích”. Bẫy của đề là chữ “mẫu nào” ở số ít khiến nhiều em vội chọn một bảng rồi bỏ bảng còn lại; hãy kiểm chéo bằng tổng tần số — ý b) cho sẵn

40

ngày, cộng lại đúng

40

thì chắc chắn bảng đó là bảng tần số ghép nhóm đầy đủ.

1Cách 1. Đối chiếu với định nghĩa rồi đọc từng nhóm của mỗi bảng

Định hướng. Nhìn dòng đầu của mỗi bảng: nếu là các nửa khoảng nối tiếp nhau thì đó là mẫu ghép nhóm; sau đó dịch từng cột sang lời theo đúng quy ước đầu mút.

a) Dòng đầu:

[0; 50)

;

[50; 100)

;

[100; 150)

;

[150; 200)

;

[200; 250)

đều là nhóm số liệu
b) Dòng đầu:

[19; 22)

;

[22; 25)

;

[25; 28)

;

[28; 31)

đều là nhóm số liệu

N_{a} = 5 + 12 + 23 + 17 + 3 = 60

N_{b} = 7 + 15 + 12 + 6 = 40

Vậy CẢ HAI mẫu đều là mẫu số liệu ghép nhóm. Ở a) có $60$ sinh viên được khảo sát: $5$ sinh viên chi dưới $50$ nghìn đồng, $12$ sinh viên chi từ $50$ đến dưới $100$ nghìn đồng, $23$ sinh viên chi từ $100$ đến dưới $150$ nghìn đồng, $17$ sinh viên chi từ $150$ đến dưới $200$ nghìn đồng và $3$ sinh viên chi từ $200$ đến dưới $250$ nghìn đồng. Ở b) trong $40$ ngày có $7$ ngày nhiệt độ từ $19$ °C đến dưới $22$ °C, $15$ ngày từ $22$ °C đến dưới $25$ °C, $12$ ngày từ $25$ °C đến dưới $28$ °C và $6$ ngày từ $28$ °C đến dưới $31$ °C.

2Cách 2. Kiểm chéo bằng tổng tần số và độ dài nhóm

Định hướng. Một bảng tần số ghép nhóm hợp lệ phải có các nhóm không giao nhau, phủ liên tục miền giá trị, và tổng tần số bằng cỡ mẫu; kiểm ba điều đó là khẳng định được ngay mà không cần dữ liệu gốc.

a) Độ dài mỗi nhóm:

50 - 0 = 50

(nghìn đồng), các nhóm phủ kín

[0; 250)

N_{a} = 5 + 12 + 23 + 17 + 3 = 60

sinh viên
b) Độ dài mỗi nhóm:

22 - 19 = 3

(°C), các nhóm phủ kín

[19; 31)

N_{b} = 7 + 15 + 12 + 6 = 40

ngày

40

trùng khớp với số ngày thống kê mà đề đã cho

Vậy cả hai bảng đều thoả mãn định nghĩa: a) là mẫu ghép nhóm gồm $5$ nhóm độ dài $50$ nghìn đồng với cỡ mẫu $60$ sinh viên; b) là mẫu ghép nhóm gồm $4$ nhóm độ dài $3$ °C với cỡ mẫu $40$ ngày, đúng bằng số ngày đề nói tới.

3Cách 3. Đọc qua tần số tương đối và tần số tích luỹ

Định hướng. Hai bảng có cỡ mẫu khác nhau ( $60$ và $40$ ) nên muốn nói được nhóm nào “nhiều”, nhóm nào “ít” thì phải quy về phần trăm; thêm vài phép cộng dồn là mô tả được cả xu thế của số liệu.

\frac{5}{60} \approx 8, 33%

;

\frac{12}{60} = 20%

;

\frac{23}{60} \approx 38, 33%

;

\frac{17}{60} \approx 28, 33%

;

\frac{3}{60} = 5%

Số sinh viên chi dưới

150

nghìn đồng:

5 + 12 + 23 = 40

\frac{7}{40} = 17, 5%

;

\frac{15}{40} = 37, 5%

;

\frac{12}{40} = 30%

;

\frac{6}{40} = 15%

Số ngày có nhiệt độ dưới

25

°C:

7 + 15 = 22

Vậy ở a) đông nhất là nhóm $[100; 150)$ chiếm khoảng $38, 33%$ và có $40$ trong $60$ sinh viên chi dưới $150$ nghìn đồng tiền cước một tháng; ở b) đông nhất là nhóm $[22; 25)$ chiếm $37, 5%$ và có $22$ trong $40$ ngày nhiệt độ dưới $25$ °C, tức là địa điểm này khá mát trong hơn nửa số ngày thống kê.

Nhận xét. Cùng tần số $12$ nhưng ở bảng a) chỉ chiếm $20%$ còn ở bảng b) chiếm tới $30%$ — đó là lí do phải quy về tần số tương đối trước khi so sánh hai mẫu có cỡ khác nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhìn dòng đầu của bảng là kết luận được ngay, phần còn lại là dịch bảng sang lời — Cách 3 chỉ nên dùng thêm khi đề yêu cầu so sánh hai mẫu.

Đáp số. Cả hai mẫu ở a) và b) đều là mẫu số liệu ghép nhóm. a) Cỡ mẫu

60

sinh viên:

5

;

12

;

23

;

17

;

3

sinh viên chi lần lượt trong các khoảng

[0; 50)

;

[50; 100)

;

[100; 150)

;

[150; 200)

;

[200; 250)

nghìn đồng. b) Cỡ mẫu

40

ngày:

7

;

15

;

12

;

6

ngày có nhiệt độ lần lượt trong các khoảng

[19; 22)

;

[22; 25)

;

[25; 28)

;

[28; 31)

độ C.

Sai lầm thường gặp. Chỉ chọn một bảng vì đề viết “mẫu nào” ở số ít, hoặc đọc

[100; 150)

thành “từ

100

đến

150

nghìn đồng”. Phản ví dụ cho lỗi thứ hai: đọc như thế thì sinh viên chi đúng

150

nghìn đồng được tính cả ở nhóm

[100; 150)

lẫn nhóm

[150; 200)

, tổng số sinh viên đọc được lớn hơn

60

, trong khi

5 + 12 + 23 + 17 + 3 = 60

đã dùng hết cỡ mẫu. Đầu mút phải luôn KHÔNG thuộc nhóm.

🚀 Mở rộng. Thử ghép bảng b) thành hai nhóm

[19; 25)

và

[25; 31)

thì tần số mới là

22

và

18

— bảng cân bằng hơn nhưng mất luôn thông tin “nhóm

[22; 25)

đông nhất”; hãy nghĩ xem khi báo cáo thời tiết thì độ rộng nhóm bao nhiêu là hợp lí.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 61

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 3.2★★Trang 61— Ghép nhóm mẫu số liệu với số nhóm cho trước

Bài 3.2 (trang 61). Số sản phẩm một công nhân làm được trong một ngày được cho như sau:

18253912542746251983622

2019174451823282534462716

Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với sáu nhóm có độ dài bằng nhau.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất của mẫu.
Chia mẫu thành $k$ nhóm độ dài $L$ bằng nhau thì phải có $k \cdot L > R$ để các nhóm phủ hết miền giá trị.
Các nhóm phải đôi một không giao nhau; đầu mút trái của nhóm đầu không lớn hơn giá trị nhỏ nhất, đầu mút phải của nhóm cuối lớn hơn giá trị lớn nhất.
Kiểm tra chéo sau khi đếm: $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = N$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ ấn định SỐ NHÓM chứ không cho nhóm cụ thể nào — dấu hiệu phải tự chọn độ dài nhóm, và điều kiện duy nhất bắt buộc là tổng độ dài sáu nhóm phải lớn hơn khoảng biến thiên. Vì thế việc đầu tiên là tìm giá trị nhỏ nhất

5

, lớn nhất

54

để có

R = 49

, rồi lấy độ dài

L

thoả

6 L > 49

. Bẫy ở chỗ bài có NHIỀU đáp án đúng: chọn

L = 10

cho mốc tròn đẹp, chọn

L = 9

theo lối chia cân đối của sách đều được, miễn là sáu nhóm không giao nhau và phủ hết mẫu.

1Cách 1. Chọn độ dài nhóm tròn chục rồi kiểm đếm

Định hướng. Lấy độ dài nhóm là $10$ và mốc chia là các số tròn chục để bảng dễ đọc, kiểm điều kiện phủ hết mẫu, rồi lướt qua mẫu một lượt để đếm tần số từng nhóm.

N = 25

Giá trị nhỏ nhất:

5

; giá trị lớn nhất:

54

R = 54 - 5 = 49

Chọn

L = 10

thì

6 \cdot 10 = 60 > 49

Các nhóm:

[0; 10)

;

[10; 20)

;

[20; 30)

;

[30; 40)

;

[40; 50)

;

[50; 60)

n_{1} = 2; n_{2} = 7; n_{3} = 9; n_{4} = 3; n_{5} = 3; n_{6} = 1

2 + 7 + 9 + 3 + 3 + 1 = 25 = N

Số sản phẩm	$[0; 10)$	$[10; 20)$	$[20; 30)$	$[30; 40)$	$[40; 50)$	$[50; 60)$
Tần số	$2$	$7$	$9$	$3$	$3$	$1$

Vậy mẫu số liệu ghép nhóm gồm sáu nhóm độ dài $10$ sản phẩm với tần số lần lượt là $2$ ; $7$ ; $9$ ; $3$ ; $3$ ; $1$ , tổng cộng $25$ giá trị.

2Cách 2. Chia cân đối hai đầu theo đúng quy trình trong sách

Định hướng. Lấy độ dài nhóm nhỏ nhất còn phủ được mẫu rồi dàn đều phần dôi ra sang hai đầu, để mẫu nằm chính giữa dải các nhóm — cách này cho nhóm sát với dữ liệu nhất, tránh nhóm rỗng ở hai biên.

R = 49

và cần

6

nhóm nên

6 L > 49

cho

L > 8, 17

Chọn

L = 9

; tổng độ dài

6 \cdot 9 = 54

Phần dôi ra:

54 - 49 = 5

Chia đều hai đầu:

5 : 2 = 2, 5

Đầu mút trái nhóm đầu:

5 - 2, 5 = 2, 5

Đầu mút phải nhóm cuối:

54 + 2, 5 = 56, 5

Các nhóm:

[2, 5; 11, 5)

;

[11, 5; 20, 5)

;

[20, 5; 29, 5)

;

[29, 5; 38, 5)

;

[38, 5; 47, 5)

;

[47, 5; 56, 5)

n_{1} = 2; n_{2} = 8; n_{3} = 8; n_{4} = 2; n_{5} = 4; n_{6} = 1

2 + 8 + 8 + 2 + 4 + 1 = 25 = N

Vậy một mẫu ghép nhóm hợp lệ khác gồm sáu nhóm độ dài $9$ sản phẩm với tần số $2$ ; $8$ ; $8$ ; $2$ ; $4$ ; $1$ , cũng đủ $25$ giá trị.

3Cách 3. Sắp xếp mẫu tăng dần rồi cắt và kiểm chéo bằng tổng tần số

Định hướng. Xếp $25$ số theo thứ tự tăng dần, khi đó mỗi nhóm là một đoạn liên tiếp nên chỉ cần đặt năm nhát cắt tại $10; 20; 30; 40; 50$ rồi đếm số hạng mỗi đoạn; đây cũng là cách kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Dãy xếp tăng dần:

58

12161718181919

202223252525272728

343639

444646

54

Đoạn 1 có

2

số ; đoạn 2 có

7

số ; đoạn 3 có

9

số
Đoạn 4 có

3

số ; đoạn 5 có

3

số ; đoạn 6 có

1

số

2 + 7 + 9 + 3 + 3 + 1 = 25 = N

Vậy tần số của sáu nhóm $[0; 10)$ ; $[10; 20)$ ; $[20; 30)$ ; $[30; 40)$ ; $[40; 50)$ ; $[50; 60)$ đúng là $2$ ; $7$ ; $9$ ; $3$ ; $3$ ; $1$ ; số sản phẩm làm được trong một ngày tập trung nhiều nhất ở khoảng từ $20$ đến dưới $30$ sản phẩm.

Nhận xét. Bài này có nhiều đáp án đúng: mọi cách chia thành sáu nhóm rời nhau, độ dài bằng nhau và phủ hết đoạn từ $5$ đến $54$ đều được chấp nhận; điều bắt buộc chỉ là tổng tần số phải bằng $25$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chọn độ dài

10

với mốc tròn chục nên việc xếp mỗi số vào nhóm chỉ là nhìn chữ số hàng chục, gần như không thể sai; Cách 2 tuy đúng quy trình sách nhưng phải làm việc với các mốc lẻ như

11, 5

hay

47, 5

nên dễ nhầm khi đếm.

Đáp số. Một mẫu ghép nhóm hợp lệ:

[0; 10)

có tần số

2

;

[10; 20)

có

7

;

[20; 30)

có

9

;

[30; 40)

có

3

;

[40; 50)

có

3

;

[50; 60)

có

1

, tổng

25

giá trị (đơn vị: sản phẩm trong một ngày). Cách chia khác cũng đúng, chẳng hạn sáu nhóm độ dài

9

là

[2, 5; 11, 5)

;

[11, 5; 20, 5)

;

[20, 5; 29, 5)

;

[29, 5; 38, 5)

;

[38, 5; 47, 5)

;

[47, 5; 56, 5)

với tần số

2

;

8

;

8

;

2

;

4

;

1

Sai lầm thường gặp. Chọn độ dài nhóm bằng

8

cho “gần

\frac{49}{6}

” rồi chia

[5; 53)

. Phản ví dụ: khi ấy tổng độ dài là

6 \cdot 8 = 48 < 49

nên nhóm cuối chỉ tới

53

, giá trị lớn nhất

54

không thuộc nhóm nào và tổng tần số chỉ còn

24 \neq = 25

. Điều kiện bắt buộc là

k \cdot L > R

, tức

6 L > 49

, nên

L

nhỏ nhất dùng được là

9

🚀 Mở rộng. Cùng mẫu này nhưng đổi yêu cầu thành “năm nhóm có độ dài bằng nhau” thì

5 L > 49

cho

L \geq 10

; hãy lập bảng mới với các nhóm

[5; 15)

;

[15; 25)

; …;

[45; 55)

và so xem đỉnh phân bố có dịch chuyển so với bảng sáu nhóm ở trên không.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 61

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 3.3★★★Trang 61— Ghép nhóm mẫu số liệu có phân bố lệch

Bài 3.3 (trang 61). Thời gian ra sân (giờ) của một số cựu cầu thủ ở giải ngoại hạng Anh qua các thời kì được cho như sau:

653632609572565535516514

508505504504503499496492

(Theo https://www.premierleague.com/)
Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài bằng nhau.

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R$ bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.
Chia thành $k$ nhóm độ dài $L$ bằng nhau cần $k \cdot L > R$ ; phần dôi ra $k \cdot L - R$ nên chia đều cho hai đầu để mẫu nằm giữa dải nhóm.
Nhóm có tần số bằng $0$ vẫn phải giữ trong bảng vì các nhóm phải liên tiếp nhau.
Kiểm tra chéo sau khi đếm: $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = N$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bảy nhóm độ dài bằng nhau nên quy trình vẫn là tìm khoảng biến thiên rồi chọn

L

với

7 L > R

; điểm đặc biệt của bài là mẫu rất LỆCH — mười hai trong mười sáu giá trị dồn quanh

500

giờ còn vài giá trị vọt lên hơn

600

giờ. Vì thế nên chọn cách chia cân đối hai đầu, nếu chọn mốc tuỳ tiện sẽ sinh ra nhóm rỗng ở giữa bảng, nhìn rất khó chịu. Bẫy còn nằm ở chỗ dãy đã cho là dãy GIẢM dần, đọc lướt rất dễ lấy nhầm giá trị nhỏ nhất là

653

1Cách 1. Chia cân đối hai đầu theo quy trình chuẩn

Định hướng. Tính khoảng biến thiên, chọn độ dài nhóm nhỏ nhất còn phủ đủ mẫu rồi dàn đều phần dôi ra sang hai đầu, sau đó đếm tần số từng nhóm.

N = 16

Giá trị nhỏ nhất:

492

; giá trị lớn nhất:

653

R = 653 - 492 = 161

7 L > 161

cho

L > 23

; chọn

L = 25

Tổng độ dài:

7 \cdot 25 = 175

Phần dôi ra:

175 - 161 = 14

; chia đều hai đầu:

14 : 2 = 7

Đầu mút trái nhóm đầu:

492 - 7 = 485

Đầu mút phải nhóm cuối:

653 + 7 = 660

Các nhóm:

[485; 510)

;

[510; 535)

;

[535; 560)

;

[560; 585)

;

[585; 610)

;

[610; 635)

;

[635; 660)

n_{1} = 8; n_{2} = 2; n_{3} = 1; n_{4} = 2; n_{5} = 1; n_{6} = 1; n_{7} = 1

8 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 16 = N

Thời gian (giờ)	$[485; 510)$	$[510; 535)$	$[535; 560)$	$[560; 585)$	$[585; 610)$	$[610; 635)$	$[635; 660)$
Số cựu cầu thủ	$8$	$2$	$1$	$2$	$1$	$1$	$1$

Vậy mẫu ghép nhóm gồm bảy nhóm độ dài $25$ giờ với tần số lần lượt là $8$ ; $2$ ; $1$ ; $2$ ; $1$ ; $1$ ; $1$ cựu cầu thủ, tổng cộng $16$ cựu cầu thủ.

2Cách 2. Chọn mốc tròn chục cho dễ đọc

Định hướng. Vẫn giữ độ dài $25$ giờ nhưng lấy đầu mút trái là số tròn chục $490$ để các mốc dễ nhớ, rồi kiểm lại xem bảy nhóm có phủ hết mẫu không trước khi đếm.

Chọn đầu mút trái:

490 \leq 492

Đầu mút phải nhóm cuối:

490 + 7 \cdot 25 = 665 > 653

Các nhóm:

[490; 515)

;

[515; 540)

;

[540; 565)

;

[565; 590)

;

[590; 615)

;

[615; 640)

;

[640; 665)

n_{1} = 9; n_{2} = 2; n_{3} = 0; n_{4} = 2; n_{5} = 1; n_{6} = 1; n_{7} = 1

9 + 2 + 0 + 2 + 1 + 1 + 1 = 16 = N

Vậy đây cũng là một mẫu ghép nhóm hợp lệ với tần số $9$ ; $2$ ; $0$ ; $2$ ; $1$ ; $1$ ; $1$ cựu cầu thủ; nhóm $[540; 565)$ có tần số $0$ nhưng vẫn phải giữ trong bảng để bảy nhóm liên tiếp nhau.

3Cách 3. Sắp xếp tăng dần rồi cắt, kiểm chéo bằng tần số tích luỹ

Định hướng. Đảo dãy đã cho thành thứ tự tăng dần rồi đếm số cựu cầu thủ có thời gian ra sân nhỏ hơn từng mốc; hiệu hai số đếm liên tiếp cho ngay tần số mỗi nhóm và tự nó kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Dãy xếp tăng dần:

492496499503504504505508

514516

535

565572

609

632

653

Dưới

510

giờ:

8

Dưới

535

giờ:

10

Dưới

560

giờ:

11

Dưới

585

giờ:

13

Dưới

610

giờ:

14

Dưới

635

giờ:

15

Dưới

660

giờ:

16 = N

n_{1} = 8; n_{2} = 10 - 8 = 2; n_{3} = 11 - 10 = 1; n_{4} = 13 - 11 = 2

n_{5} = 14 - 13 = 1; n_{6} = 15 - 14 = 1; n_{7} = 16 - 15 = 1

Vậy tần số bảy nhóm đúng là $8$ ; $2$ ; $1$ ; $2$ ; $1$ ; $1$ ; $1$ cựu cầu thủ; một nửa số cựu cầu thủ trong mẫu ra sân dưới $510$ giờ, chỉ có $3$ người vượt quá $585$ giờ.

Nhận xét. Bảng có cột đầu cao vọt rồi thấp dần đều — đó là dấu hiệu của mẫu số liệu LỆCH PHẢI, khác hẳn dáng một đỉnh ở giữa của Luyện tập 2; với mẫu lệch như vậy, số trung bình sẽ bị vài giá trị lớn kéo lên nên chưa phải là đại diện tốt nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy trình cân đối hai đầu cho bảng sát dữ liệu nhất và không sinh nhóm rỗng; Cách 2 tuy mốc đẹp hơn nhưng để lại một nhóm tần số

0

ngay giữa bảng, nhìn kém thuyết phục khi phải nhận xét về phân bố.

Đáp số. Bảy nhóm độ dài

25

giờ:

[485; 510)

có

8

cựu cầu thủ;

[510; 535)

có

2

;

[535; 560)

có

1

;

[560; 585)

có

2

;

[585; 610)

có

1

;

[610; 635)

có

1

;

[635; 660)

có

1

. Tổng

8 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 16

cựu cầu thủ. Cách chia khác cũng đúng, chẳng hạn

[490; 515)

;

[515; 540)

; …;

[640; 665)

với tần số

9

;

2

;

0

;

2

;

1

;

1

;

1

Sai lầm thường gặp. Lấy giá trị nhỏ nhất là

653

và lớn nhất là

492

vì dãy đề cho đang giảm dần, dẫn tới

R = - 161

rồi bế tắc; hoặc bỏ nhóm

[540; 565)

ở phương án Cách 2 vì thấy tần số bằng

0

. Phản ví dụ cho lỗi thứ hai: bỏ nhóm đó đi thì bảng chỉ còn sáu nhóm, trái với yêu cầu “bảy nhóm”, và hai nhóm

[515; 540)

với

[565; 590)

không còn liền nhau nên dải nhóm bị đứt quãng, không phủ hết miền giá trị.

🚀 Mở rộng. Với mẫu lệch như thế này, hãy thử ghép nhóm theo độ dài

50

giờ thành bốn nhóm

[490; 540)

;

[540; 590)

;

[590; 640)

;

[640; 690)

rồi so sánh: bảng gọn hơn nhưng nhóm đầu ôm tới

11

trong

16

giá trị, tức là ghép nhóm quá rộng sẽ giấu mất chi tiết ở vùng dữ liệu dày.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 61

Mở bài này trong app ↗