Bài 8. Mẫu số liệu ghép nhóm

Định hướng. Thử cách quen thuộc nhất: liệt kê mọi giá trị khác nhau của tổng điểm rồi đếm số thí sinh đạt đúng mỗi giá trị đó, sau đó đánh giá xem bảng thu được có nhìn được không.

Vậy bảng tần số thông thường phải có $121$ cột ứng với $121$ mức điểm lẻ tới hàng phần tư; bảng dài như thế chỉ cho biết số thí sinh ở từng mức điểm rời rạc chứ không cho thấy bức tranh tổng thể về kết quả thi.

Định hướng. Chia miền giá trị $[0;30]$ của tổng điểm thành các nhóm nửa khoảng rộng $1$ điểm rồi đếm số thí sinh rơi vào mỗi nhóm; số cột giảm hẳn mà hình dạng phân bố vẫn còn nguyên.

Vậy hãy biểu diễn dãy tổng điểm dưới dạng mẫu số liệu ghép nhóm gồm $25$ nhóm điểm như bảng trên: chỉ một bảng ngắn mà thấy ngay vùng điểm nào đông thí sinh, vùng điểm nào thưa.

Định hướng. Cái các trường thật sự cần là “có bao nhiêu thí sinh đạt từ một mức điểm nào đó trở lên”, nên cộng dồn tần số của bảng ghép nhóm từ nhóm điểm cao xuống thay vì đọc từng nhóm rời rạc.

Vậy từ bảng ghép nhóm, chỉ vài phép cộng là trả lời được câu hỏi tuyển sinh: đặt điểm chuẩn ở mức $28$ điểm thì có khoảng $228$ thí sinh đạt, chiếm chừng $0,066\%$ tổng số $344752$ thí sinh dự thi.

Nhận xét. Ba cách trên chính là ba mức tóm gọn số liệu: giữ nguyên từng giá trị (Cách 1) — gom thành nhóm (Cách 2) — cộng dồn theo nhóm (Cách 3); càng tóm gọn thì càng dễ nhìn tổng thể nhưng càng mất chi tiết, nên phải chọn mức phù hợp với câu hỏi cần trả lời.

Định hướng. Mỗi thí sinh ứng với đúng một giá trị của $(T)$ nên cỡ mẫu bằng số thí sinh; sau đó dịch từng cột của bảng sang lời theo đúng quy ước nửa khoảng.

Vậy a) mẫu $(T)$ có $344752$ giá trị; b) bảng tần số thường có tới $121$ cột nên KHÔNG dễ hình dung bức tranh tổng thể; c) có $23$ thí sinh đạt tổng điểm dưới $6$ điểm, $69$ thí sinh đạt từ $6$ điểm đến dưới $7$ điểm, $192$ thí sinh đạt từ $7$ điểm đến dưới $8$ điểm, …, $216$ thí sinh đạt từ $28$ điểm đến dưới $29$ điểm và $12$ thí sinh đạt từ $29$ điểm đến $30$ điểm.

Định hướng. Không cần nhìn dữ liệu gốc: tổng tần số của mọi nhóm luôn bằng cỡ mẫu, nên cộng hết các tần số trong bảng là ra ngay số giá trị của $(T)$, đồng thời so số nhóm với số mức điểm để trả lời ý b).

Vậy a) $N=344752$ giá trị; b) bảng tần số thường dài gấp gần $5$ lần bảng ghép nhóm, mỗi cột chỉ ứng với một mức điểm lẻ tới hàng phần tư nên nhìn rất vụn, không thấy được tổng thể; c) bảng ghép nhóm chia thí sinh theo $25$ khoảng điểm, mỗi ô cho biết số thí sinh có tổng điểm thuộc khoảng đó.

Định hướng. Với cỡ mẫu hàng trăm nghìn thì con số tuyệt đối rất khó cảm nhận; chia mỗi tần số cho cỡ mẫu để có tỉ lệ phần trăm, khi đó bảng tự nói lên vùng điểm nào đông, vùng nào hiếm.

Vậy hai đầu của thang điểm đều rất thưa — chỉ khoảng $0,0067\%$ thí sinh dưới $6$ điểm và khoảng $0,0035\%$ thí sinh từ $29$ điểm trở lên, nghĩa là tuyệt đại đa số trong $344752$ thí sinh nằm ở vùng điểm giữa; đó chính là “bức tranh tổng thể” mà bảng tần số $121$ cột không cho thấy.

Nhận xét. Cỡ mẫu $N=344752$ và số giá trị khác nhau $121$ là hai đại lượng hoàn toàn khác nhau: rất nhiều thí sinh cùng chung một mức tổng điểm, nên chỉ riêng nhóm $[28;29)$ đã có $216$ thí sinh.

Định hướng. Dịch từng cột của bảng sang lời theo quy ước nửa khoảng, rồi cộng toàn bộ tần số để biết công ty có bao nhiêu nhân viên và nhóm nào đông nhất.

Vậy mẫu gồm $7$ nhóm độ dài $5$ phút, cỡ mẫu $N=125$ nhân viên: có $6$ nhân viên đi từ $15$ phút đến dưới $20$ phút, $14$ nhân viên đi từ $20$ phút đến dưới $25$ phút, $25$ nhân viên đi từ $25$ phút đến dưới $30$ phút, $37$ nhân viên đi từ $30$ phút đến dưới $35$ phút, $21$ nhân viên đi từ $35$ phút đến dưới $40$ phút, $13$ nhân viên đi từ $40$ phút đến dưới $45$ phút và $9$ nhân viên đi từ $45$ phút đến dưới $50$ phút; đông nhất là nhóm $[30;35)$ phút.

Định hướng. Cộng dồn tần số từ nhóm đầu tiên trở đi; mỗi con số cộng dồn cho biết ngay số nhân viên có thời gian đi làm nhỏ hơn đầu mút phải của nhóm tương ứng.

Vậy có $45$ nhân viên đi làm mất dưới $30$ phút, $82$ nhân viên mất dưới $35$ phút và $22$ nhân viên phải đi từ $40$ phút trở lên; toàn bộ $125$ nhân viên đều đi làm mất từ $15$ phút đến dưới $50$ phút.

Định hướng. Chia mỗi tần số cho cỡ mẫu $125$ để có tỉ lệ phần trăm, rồi đối chiếu với chiều cao các cột của biểu đồ tần số ghép nhóm: cột cao nhất chỉ ra vùng thời gian đi làm phổ biến nhất.

Vậy gần $30\%$ nhân viên mất từ $30$ phút đến dưới $35$ phút để tới công ty; biểu đồ có một đỉnh duy nhất tại nhóm $[30;35)$ rồi thấp dần về hai phía, chứng tỏ thời gian đi làm tập trung quanh khoảng nửa giờ và chỉ một số ít nhân viên ở rất gần hoặc rất xa công ty.

Nhận xét. Tổng các tần số tương đối đúng bằng $100\%$ — đây là phép kiểm tra chéo nhanh nhất cho thấy ta không bỏ sót hay đếm trùng nhóm nào.

Định hướng. Đọc lần lượt tám chỉ số BMI, mỗi số so với hai mốc $18,5$ và $23$ để xếp vào đúng một trong ba nhóm, rồi lập bảng thống kê.

Vậy mẫu số liệu ghép nhóm gồm ba nhóm như bảng trên: tổ có $1$ học sinh thiếu cân, $5$ học sinh có cân nặng lí tưởng so với chiều cao và $2$ học sinh thừa cân.

Định hướng. Xếp tám chỉ số BMI từ bé đến lớn, khi ấy mỗi nhóm là một đoạn liên tiếp trong dãy đã xếp nên chỉ cần tìm chỗ cắt tại $18,5$ và tại $23$ là đếm được ngay, không sợ bỏ sót số nào.

Vậy nhóm $[16;18,5)$ có $1$ học sinh, nhóm $[18,5;23)$ có $5$ học sinh và nhóm $[23;26)$ có $2$ học sinh.

Định hướng. Chỉ đếm số học sinh có BMI nhỏ hơn từng mốc, rồi lấy hiệu hai số đếm liên tiếp; cách này nhanh khi mẫu lớn vì mỗi lần chỉ phải so sánh với một mốc duy nhất.

Vậy bảng ghép nhóm là $1$; $5$; $2$ học sinh, tổng $1+5+2=8$ đúng bằng sĩ số của tổ.

Nhận xét. Ba nhóm ở đây có độ dài $2,5$; $4,5$ và $3$ nên KHÔNG bằng nhau — điều đó hoàn toàn hợp lệ vì đề ghép nhóm theo tiêu chí sức khoẻ cho sẵn; đầu mút trái $16$ và đầu mút phải $26$ chỉ cần chọn sao cho chứa hết mẫu, nên lấy $[16,5;18,5)$ và $[23;25,5]$ cũng được.

Định hướng. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất để biết cần bao nhiêu nhóm rộng $5$ kg xuất phát từ $40$, sau đó lướt qua mẫu một lượt và gạch mỗi số vào đúng nhóm của nó.

Vậy mẫu số liệu ghép nhóm gồm $5$ nhóm độ dài $5$ kg với tần số lần lượt là $5$; $7$; $11$; $7$; $5$ người, tổng cộng $35$ người trưởng thành.

Định hướng. Khi mẫu đã xếp tăng dần thì mỗi nhóm là một đoạn liên tiếp, chỉ cần định vị bốn chỗ cắt là đọc được tần số bằng cách đếm số hạng của từng đoạn — không phải rà lại toàn bộ mẫu năm lần như kiểm đếm.

Vậy tần số của các nhóm $[40;45)$; $[45;50)$; $[50;55)$; $[55;60)$; $[60;65)$ lần lượt là $5$; $7$; $11$; $7$; $5$ người.

Định hướng. Mỗi lần chỉ hỏi một câu duy nhất “có bao nhiêu người nhẹ hơn mốc này”, rồi hiệu của hai kết quả liên tiếp chính là tần số của nhóm nằm giữa hai mốc — cách kiểm tra rất khó sai vì mỗi số chỉ so sánh với một ngưỡng.

Vậy bảng ghép nhóm là $5$; $7$; $11$; $7$; $5$ người, khớp với hai cách trên; hơn nửa khu dân cư (cụ thể $23$ người trong $35$ người) có cân nặng dưới $55$ kg.

Nhận xét. Bảng thu được đối xứng đẹp quanh nhóm giữa $[50;55)$ — dấu hiệu cân nặng của khu dân cư phân bố khá cân đối quanh mức $52$ kg; biểu đồ tần số ghép nhóm cho thấy rõ điều đó bằng một đỉnh duy nhất ở giữa.

Định hướng. Với mỗi nhóm chiều cao, lướt qua mẫu và đếm số học sinh có chiều cao thuộc nhóm đó; mẫu đã cho theo thứ tự tăng dần nên chỉ cần định vị các mốc $160$, $167$, $170$, $175$.

Vậy a) bảng tần số ghép nhóm là $0$; $22$; $8$; $6$; $0$ học sinh; b) trong $500$ áo, công ty nên may khoảng $306$ chiếc cỡ M, $111$ chiếc cỡ L, $83$ chiếc cỡ XL và không cần may cỡ S, cỡ XXL.

Định hướng. Đếm một lần duy nhất xem mỗi giá trị chiều cao xuất hiện bao nhiêu lần, sau đó cộng các tần số này theo từng nhóm; ưu điểm là bảng tần số chi tiết còn dùng lại được nếu đề đổi cách chia nhóm.

Vậy tần số các cỡ S, M, L, XL, XXL lần lượt là $0$; $22$; $8$; $6$; $0$ học sinh, tổng đúng $36$ học sinh đã đo.

Định hướng. Đếm số học sinh thấp hơn từng mốc chiều cao rồi lấy hiệu để có tần số; sau đó chuyển thẳng sang tỉ lệ phần trăm vì cái công ty cần là TỈ LỆ các cỡ áo chứ không phải số học sinh đã đo.

Vậy tỉ lệ ước lượng là khoảng $61,11\%$ cỡ M, $22,22\%$ cỡ L, $16,67\%$ cỡ XL; với $500$ áo thì nên may $306$ chiếc cỡ M, $111$ chiếc cỡ L, $83$ chiếc cỡ XL, không may cỡ S và cỡ XXL.

Nhận xét. Mẫu chỉ gồm học sinh NAM của một trường nên tỉ lệ trên chỉ là ước lượng; nếu đo thêm học sinh nữ hoặc các trường khác thì nhóm $[150;160)$ (cỡ S) chắc chắn không còn rỗng, tức là kết luận “không may cỡ S” chỉ đúng với tổng thể mà mẫu này đại diện.

Định hướng. Nhìn dòng đầu của mỗi bảng: nếu là các nửa khoảng nối tiếp nhau thì đó là mẫu ghép nhóm; sau đó dịch từng cột sang lời theo đúng quy ước đầu mút.

Vậy CẢ HAI mẫu đều là mẫu số liệu ghép nhóm. Ở a) có $60$ sinh viên được khảo sát: $5$ sinh viên chi dưới $50$ nghìn đồng, $12$ sinh viên chi từ $50$ đến dưới $100$ nghìn đồng, $23$ sinh viên chi từ $100$ đến dưới $150$ nghìn đồng, $17$ sinh viên chi từ $150$ đến dưới $200$ nghìn đồng và $3$ sinh viên chi từ $200$ đến dưới $250$ nghìn đồng. Ở b) trong $40$ ngày có $7$ ngày nhiệt độ từ $19$ °C đến dưới $22$ °C, $15$ ngày từ $22$ °C đến dưới $25$ °C, $12$ ngày từ $25$ °C đến dưới $28$ °C và $6$ ngày từ $28$ °C đến dưới $31$ °C.

Định hướng. Một bảng tần số ghép nhóm hợp lệ phải có các nhóm không giao nhau, phủ liên tục miền giá trị, và tổng tần số bằng cỡ mẫu; kiểm ba điều đó là khẳng định được ngay mà không cần dữ liệu gốc.

Vậy cả hai bảng đều thoả mãn định nghĩa: a) là mẫu ghép nhóm gồm $5$ nhóm độ dài $50$ nghìn đồng với cỡ mẫu $60$ sinh viên; b) là mẫu ghép nhóm gồm $4$ nhóm độ dài $3$ °C với cỡ mẫu $40$ ngày, đúng bằng số ngày đề nói tới.

Định hướng. Hai bảng có cỡ mẫu khác nhau ($60$ và $40$) nên muốn nói được nhóm nào “nhiều”, nhóm nào “ít” thì phải quy về phần trăm; thêm vài phép cộng dồn là mô tả được cả xu thế của số liệu.

Vậy ở a) đông nhất là nhóm $[100;150)$ chiếm khoảng $38,33\%$ và có $40$ trong $60$ sinh viên chi dưới $150$ nghìn đồng tiền cước một tháng; ở b) đông nhất là nhóm $[22;25)$ chiếm $37,5\%$ và có $22$ trong $40$ ngày nhiệt độ dưới $25$ °C, tức là địa điểm này khá mát trong hơn nửa số ngày thống kê.

Nhận xét. Cùng tần số $12$ nhưng ở bảng a) chỉ chiếm $20\%$ còn ở bảng b) chiếm tới $30\%$ — đó là lí do phải quy về tần số tương đối trước khi so sánh hai mẫu có cỡ khác nhau.

Định hướng. Lấy độ dài nhóm là $10$ và mốc chia là các số tròn chục để bảng dễ đọc, kiểm điều kiện phủ hết mẫu, rồi lướt qua mẫu một lượt để đếm tần số từng nhóm.

Vậy mẫu số liệu ghép nhóm gồm sáu nhóm độ dài $10$ sản phẩm với tần số lần lượt là $2$; $7$; $9$; $3$; $3$; $1$, tổng cộng $25$ giá trị.

Định hướng. Lấy độ dài nhóm nhỏ nhất còn phủ được mẫu rồi dàn đều phần dôi ra sang hai đầu, để mẫu nằm chính giữa dải các nhóm — cách này cho nhóm sát với dữ liệu nhất, tránh nhóm rỗng ở hai biên.

Vậy một mẫu ghép nhóm hợp lệ khác gồm sáu nhóm độ dài $9$ sản phẩm với tần số $2$; $8$; $8$; $2$; $4$; $1$, cũng đủ $25$ giá trị.

Định hướng. Xếp $25$ số theo thứ tự tăng dần, khi đó mỗi nhóm là một đoạn liên tiếp nên chỉ cần đặt năm nhát cắt tại $10;20;30;40;50$ rồi đếm số hạng mỗi đoạn; đây cũng là cách kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Vậy tần số của sáu nhóm $[0;10)$; $[10;20)$; $[20;30)$; $[30;40)$; $[40;50)$; $[50;60)$ đúng là $2$; $7$; $9$; $3$; $3$; $1$; số sản phẩm làm được trong một ngày tập trung nhiều nhất ở khoảng từ $20$ đến dưới $30$ sản phẩm.

Nhận xét. Bài này có nhiều đáp án đúng: mọi cách chia thành sáu nhóm rời nhau, độ dài bằng nhau và phủ hết đoạn từ $5$ đến $54$ đều được chấp nhận; điều bắt buộc chỉ là tổng tần số phải bằng $25$.

Định hướng. Tính khoảng biến thiên, chọn độ dài nhóm nhỏ nhất còn phủ đủ mẫu rồi dàn đều phần dôi ra sang hai đầu, sau đó đếm tần số từng nhóm.

Vậy mẫu ghép nhóm gồm bảy nhóm độ dài $25$ giờ với tần số lần lượt là $8$; $2$; $1$; $2$; $1$; $1$; $1$ cựu cầu thủ, tổng cộng $16$ cựu cầu thủ.

Định hướng. Vẫn giữ độ dài $25$ giờ nhưng lấy đầu mút trái là số tròn chục $490$ để các mốc dễ nhớ, rồi kiểm lại xem bảy nhóm có phủ hết mẫu không trước khi đếm.

Vậy đây cũng là một mẫu ghép nhóm hợp lệ với tần số $9$; $2$; $0$; $2$; $1$; $1$; $1$ cựu cầu thủ; nhóm $[540;565)$ có tần số $0$ nhưng vẫn phải giữ trong bảng để bảy nhóm liên tiếp nhau.

Định hướng. Đảo dãy đã cho thành thứ tự tăng dần rồi đếm số cựu cầu thủ có thời gian ra sân nhỏ hơn từng mốc; hiệu hai số đếm liên tiếp cho ngay tần số mỗi nhóm và tự nó kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Vậy tần số bảy nhóm đúng là $8$; $2$; $1$; $2$; $1$; $1$; $1$ cựu cầu thủ; một nửa số cựu cầu thủ trong mẫu ra sân dưới $510$ giờ, chỉ có $3$ người vượt quá $585$ giờ.

Nhận xét. Bảng có cột đầu cao vọt rồi thấp dần đều — đó là dấu hiệu của mẫu số liệu LỆCH PHẢI, khác hẳn dáng một đỉnh ở giữa của Luyện tập 2; với mẫu lệch như vậy, số trung bình sẽ bị vài giá trị lớn kéo lên nên chưa phải là đại diện tốt nhất.