Chương III. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 9. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 14 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Mở đầu★★Trang 62— Ba hướng ước lượng số đặc trưng từ mẫu ghép nhóm

Mở đầu (trang 62). Một cửa hàng đã ghi lại số tiền bán xăng cho

35

khách hàng đi xe máy. Mẫu số liệu gốc có dạng

x_{1}

x_{2}

, ...,

x_{35}

, trong đó

x_{i}

là số tiền bán xăng cho khách hàng thứ

i

. Vì một lí do nào đó, cửa hàng chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm dạng sau:

Số tiền (nghìn đồng)	$[0; 30)$	$[30; 60)$	$[60; 90)$	$[90; 120)$
Số khách hàng	$3$	$15$	$10$	$7$

Bảng 3.1. Số tiền khách hàng mua xăng
Dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này, làm thế nào để ước lượng các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu gốc?

Kiến thức cần nhớ

Mỗi nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ được thay bằng giá trị đại diện là trung điểm $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ ; khi đó $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Trung vị và tứ phân vị của mẫu ghép nhóm tìm bằng phép nội suy trên nhóm chứa nó, sau khi đã lập bảng tần số tích luỹ.
Mốt của mẫu ghép nhóm nằm trong nhóm có tần số lớn nhất và được xác định bằng $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ .
Quy ước nửa khoảng: giá trị đúng bằng $a_{i + 1}$ thuộc nhóm SAU, không thuộc nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đưa một mẫu đã bị mất giá trị cụ thể, chỉ còn biết mỗi khoảng tiền có bao nhiêu khách — dấu hiệu của bài “ước lượng số đặc trưng từ mẫu ghép nhóm”, tức là mọi kết quả chỉ có thể GẦN ĐÚNG. Hướng đi phụ thuộc vào đặc trưng cần tìm: số trung bình cần một con số đại diện cho cả nhóm, còn trung vị và tứ phân vị chỉ cần biết giá trị đứng ở vị trí nào, nên đi bằng tần số tích luỹ sẽ ngắn hơn. Bẫy nằm ở quy ước nửa khoảng: nhóm

[30; 60)

chứa mốc

30

nhưng KHÔNG chứa mốc

60

, nên không được cộng một khách hàng vào hai nhóm.

1Cách 1. Thay mỗi nhóm bằng trung điểm rồi tính như mẫu không ghép nhóm

Định hướng. Coi mọi khách hàng trong một nhóm đều mua đúng số tiền ở giữa nhóm, rồi dùng lại đúng công thức số trung bình đã học ở lớp 10.

x_{1} = \frac{0 + 30}{2} = 15

;

x_{2} = \frac{30 + 60}{2} = 45

;

x_{3} = \frac{60 + 90}{2} = 75

;

x_{4} = \frac{90 + 120}{2} = 105

n = 3 + 15 + 10 + 7 = 35

\overset{x}{ˉ} = \frac{3 \cdot 15 + 15 \cdot 45 + 10 \cdot 75 + 7 \cdot 105}{35}

\overset{x}{ˉ} = \frac{45 + 675 + 750 + 735}{35} = \frac{2205}{35} = 63

Vậy số tiền mua xăng trung bình của một khách hàng khoảng $63$ nghìn đồng.

2Cách 2. Coi số liệu rải đều trong mỗi nhóm rồi nội suy trên tần số tích luỹ

Định hướng. Số đứng giữa dãy không phụ thuộc vào giá trị cụ thể mà chỉ phụ thuộc vị trí, nên chỉ cần cộng dồn tần số để biết giá trị giữa rơi vào nhóm nào, rồi chia nhóm đó theo tỉ lệ.

Tần số tích luỹ:

3

;

3 + 15 = 18

;

18 + 10 = 28

;

28 + 7 = 35

\frac{n}{2} = \frac{35}{2} = 17, 5

;

3 < 17, 5 \leq 18

nên nhóm chứa trung vị là

[30; 60)

M_{e} = 30 + \frac{17 , 5 - 3}{15} \cdot (60 - 30)

M_{e} = 30 + \frac{14 , 5}{15} \cdot 30 = 30 + 29 = 59

Vậy một nửa số khách hàng mua xăng không quá $59$ nghìn đồng, nửa còn lại mua từ $59$ nghìn đồng trở lên.

3Cách 3. Đọc dáng phân bố trên biểu đồ rồi ước lượng mốt

Định hướng. Chiều cao các cột cho thấy ngay vùng tiền được mua nhiều nhất; cột cao nhất chỉ ra nhóm chứa mốt, sau đó chia nhóm ấy theo mức chênh lệch với hai cột kề.

Tần số lớn nhất là

15

ứng với nhóm

[30; 60)

m_{j} - m_{j - 1} = 15 - 3 = 12

;

m_{j} - m_{j + 1} = 15 - 10 = 5

M_{o} = 30 + \frac{12}{12 + 5} \cdot 30 = 30 + \frac{360}{17}

M_{o} = \frac{870}{17} \approx 51, 18

Vậy số tiền mua xăng hay gặp nhất khoảng $51, 18$ nghìn đồng, ứng với cột cao nhất của biểu đồ.

Nhận xét. Ba con số $63$ ; $59$ ; $51, 18$ nghìn đồng không bằng nhau: phân bố lệch về phía các khoản tiền lớn nên $M_{o} < M_{e} < \overset{x}{ˉ}$ . Đó là lí do phải dùng cả ba số đặc trưng chứ không chỉ một.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho số trung bình và Cách 2 cho trung vị — hai cách này cho công thức gọn và không cần vẽ hình; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại xem con số vừa tính có nằm đúng vùng cột cao nhất hay không.

Đáp số. Thay mỗi nhóm bằng trung điểm để ước lượng số trung bình; dùng tần số tích luỹ và phép nội suy để ước lượng trung vị, tứ phân vị; dùng nhóm có tần số lớn nhất để ước lượng mốt. Với Bảng 3.1:

\overset{x}{ˉ} = 63

nghìn đồng;

M_{e} = 59

nghìn đồng;

M_{o} \approx 51, 18

nghìn đồng.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tưởng các số vừa tính là số đặc trưng THẬT của mẫu gốc. Đó là ước lượng, không phải giá trị đúng. Phản ví dụ: nếu cả

3

khách của nhóm

[0; 30)

đều mua

29

nghìn đồng chứ không phải

15

nghìn đồng thì tổng tiền tăng thêm

3 \cdot 14 = 42

nghìn đồng, số trung bình thật thành

\frac{2205 + 42}{35} = 64, 2

nghìn đồng chứ không còn là

63

nghìn đồng. Lỗi thứ hai là xếp khách mua đúng

60

nghìn đồng vào nhóm

[30; 60)

; theo quy ước nửa khoảng, khách đó thuộc nhóm

[60; 90)

🚀 Mở rộng. Nếu cửa hàng ghép lại thành hai nhóm

[0; 60)

và

[60; 120)

thì tần số là

18

và

17

, số trung bình ước lượng thành

\frac{18 \cdot 30 + 17 \cdot 90}{35} = \frac{2070}{35} \approx 59, 14

nghìn đồng — hãy giải thích vì sao nhóm càng rộng thì ước lượng càng lệch.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 62

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★★Trang 62— Lập bảng tần số ghép nhóm và ước lượng số trung bình

HĐ1 (trang 62). Khảo sát thời gian tự học của các học sinh trong lớp theo mẫu bên: “Mỗi ngày em tự học trong bao nhiêu giờ? A. Dưới $1, 5$ giờ. B. Từ $1, 5$ giờ đến dưới $3$ giờ. C. Từ $3$ giờ đến dưới $4, 5$ giờ. D. Từ $4, 5$ giờ trở lên.”
a) Hãy lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm thu được.
b) Có thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp không?
c) Có cách nào tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này không?

Kiến thức cần nhớ

Bốn phương án khảo sát cho bốn nhóm $[0; 1, 5)$ , $[1, 5; 3)$ , $[3; 4, 5)$ , $[4, 5; 6)$ cùng độ dài $h = 1, 5$ giờ.
Giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ là trung điểm $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ .
$\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ với $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ là cỡ mẫu.
Đổi biến $u_{i} = \frac{x _{i} - a}{h}$ thì $\overset{x}{ˉ} = a + h \cdot \overset{u}{ˉ}$ , giúp tính nhẩm với số nguyên.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án A, B, C, D chính là bốn nhóm đã được chia sẵn và không chồng lên nhau, nên việc “lập bảng” chỉ còn là đếm số bạn chọn mỗi phương án. Vì phiếu chỉ ghi phương án chứ không ghi số giờ cụ thể nên không thể có tổng số giờ thật, mọi cách tính đều phải mượn một giá trị đại diện. Bẫy ở phương án D “từ

4, 5

giờ trở lên”: nhóm này chưa có đầu mút phải nên phải chốt một mốc hợp lí trước khi tính, ở đây lấy

[4, 5; 6)

cho cùng độ dài

1, 5

giờ với ba nhóm kia.

1Cách 1. Lập bảng rồi tính trực tiếp bằng trung điểm nhóm

Định hướng. Đếm số phiếu theo từng phương án để có bảng tần số ghép nhóm, lấy trung điểm mỗi nhóm làm giá trị đại diện rồi thay vào công thức số trung bình.

Thời gian tự học (giờ)	$[0; 1, 5)$	$[1, 5; 3)$	$[3; 4, 5)$	$[4, 5; 6)$
Số học sinh	$6$	$15$	$13$	$6$

x_{1} = 0, 75

;

x_{2} = 2, 25

;

x_{3} = 3, 75

;

x_{4} = 5, 25

n = 6 + 15 + 13 + 6 = 40

\overset{x}{ˉ} = \frac{6 \cdot 0 , 75 + 15 \cdot 2 , 25 + 13 \cdot 3 , 75 + 6 \cdot 5 , 25}{40}

\overset{x}{ˉ} = \frac{4 , 5 + 33 , 75 + 48 , 75 + 31 , 5}{40} = \frac{118 , 5}{40} = 2, 9625

Vậy với lớp khảo sát gồm $40$ học sinh này, thời gian tự học trung bình mỗi ngày khoảng $2, 96$ giờ.

2Cách 2. Đổi biến về số nguyên rồi trả lại đơn vị

Định hướng. Bốn trung điểm cách đều nhau $1, 5$ giờ nên đặt gốc tại $2, 25$ và lấy $1, 5$ làm đơn vị thì mọi giá trị đại diện thành số nguyên, phép nhân trở nên nhẩm được.

u_{i} = \frac{x _{i} - 2 , 25}{1 , 5}

u_{1} = - 1

;

u_{2} = 0

;

u_{3} = 1

;

u_{4} = 2

\overset{u}{ˉ} = \frac{6 \cdot ( - 1 ) + 15 \cdot 0 + 13 \cdot 1 + 6 \cdot 2}{40} = \frac{- 6 + 13 + 12}{40} = \frac{19}{40} = 0, 475

\overset{x}{ˉ} = 2, 25 + 1, 5 \cdot 0, 475 = 2, 25 + 0, 7125 = 2, 9625

Vậy thời gian tự học trung bình vẫn là $2, 9625$ giờ, tức khoảng $2, 96$ giờ mỗi ngày.

3Cách 3. Tính từ tần số tương đối

Định hướng. Đổi mỗi tần số thành tỉ lệ phần trăm rồi lấy trung bình có trọng số theo tỉ lệ; cách này dùng được ngay cả khi chỉ công bố phần trăm mà giấu số học sinh.

Thời gian tự học (giờ)	$[0; 1, 5)$	$[1, 5; 3)$	$[3; 4, 5)$	$[4, 5; 6)$	Tổng
Tần số tương đối	$15%$	$37, 5%$	$32, 5%$	$15%$	$100%$

\overset{x}{ˉ} = 0, 15 \cdot 0, 75 + 0, 375 \cdot 2, 25 + 0, 325 \cdot 3, 75 + 0, 15 \cdot 5, 25

\overset{x}{ˉ} = 0, 1125 + 0, 84375 + 1, 21875 + 0, 7875 = 2, 9625

15 + 37, 5 + 32, 5 + 15 = 100

Vậy kết quả trùng khớp $2, 9625$ giờ; tổng các tần số tương đối bằng $100%$ nên không nhóm nào bị bỏ sót hay đếm trùng.

Nhận xét. Cả ba cách cho cùng một số vì chúng chỉ khác nhau ở thứ tự phép tính; điều KHÔNG cách nào làm được là trả lại tổng số giờ thật của lớp — muốn có con số chính xác thì phiếu khảo sát phải hỏi số giờ cụ thể.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: sau khi đổi biến, các thừa số chỉ còn

- 1

0

1

2

nên nhẩm được trong đầu, tránh hẳn việc nhân bốn số thập phân như Cách 1.

Đáp số. a) Bảng gồm bốn nhóm

[0; 1, 5)

[1, 5; 3)

[3; 4, 5)

[4, 5; 6)

với tần số lần lượt là

6

;

15

;

13

;

6

(cỡ mẫu

n = 40

). b) Không tính chính xác được vì mẫu ghép nhóm không giữ lại số giờ cụ thể của từng bạn. c) Có: lấy trung điểm mỗi nhóm làm giá trị đại diện, được

\overset{x}{ˉ} = 2, 9625 \approx 2, 96

giờ.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm nặng nhất là trả lời câu b) rằng “tính được, bằng

2, 96

giờ”. Phản ví dụ: hai lớp cùng cho bảng tần số

6

;

15

;

13

;

6

nhưng lớp thứ nhất có

6

bạn nhóm đầu tự học

0

giờ, lớp thứ hai có

6

bạn ấy tự học

1, 4

giờ; tổng số giờ thật chênh nhau

6 \cdot 1, 4 = 8, 4

giờ, số trung bình thật chênh

\frac{8 , 4}{40} = 0, 21

giờ, trong khi công thức vẫn cho đúng một kết quả

2, 96

giờ. Sai lầm thứ hai là bỏ quên nhóm D vì “không có đầu mút phải”; phải chốt nhóm cuối là

[4, 5; 6)

cho cùng độ dài rồi mới tính.

🚀 Mở rộng. Nếu phiếu khảo sát chia nhỏ hơn thành sáu nhóm độ dài

1

giờ thì ước lượng sẽ sát mẫu gốc hơn; tổng quát, với

k

nhóm cùng độ dài

h

thì sai số của

\overset{x}{ˉ}

không vượt quá

\frac{h}{2}

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 62

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★★Trang 63— Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Luyện tập 1 (trang 63). Tìm hiểu thời gian xem ti vi trong tuần trước (đơn vị: giờ) của một số học sinh thu được kết quả sau:

Thời gian (giờ)	$[0; 5)$	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$	$[20; 25)$
Số học sinh	$8$	$16$	$4$	$2$	$2$

Tính thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các bạn học sinh này.

Kiến thức cần nhớ

Giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ là $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ .
$\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ với $n = m_{1} + \dots + m_{k}$ .
Đổi biến $u_{i} = \frac{x _{i} - a}{h}$ thì $\overset{x}{ˉ} = a + h \cdot \overset{u}{ˉ}$ .
Tần số tương đối $f_{i} = \frac{m _{i}}{n}$ thoả $f_{1} + \dots + f_{k} = 1$ và $\overset{x}{ˉ} = f_{1} x_{1} + \dots + f_{k} x_{k}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn bảng tần số ghép nhóm và chỉ hỏi một con số — dấu hiệu của bài áp dụng thẳng công thức số trung bình. Năm nhóm đều rộng

5

giờ và nối tiếp nhau nên các trung điểm cách đều, đó là điều kiện để phép đổi biến phát huy tác dụng. Bẫy ở chỗ cỡ mẫu

n = 32

không phải là số học sinh nêu trong đầu bài mà phải cộng từ bảng, và mọi kết luận phải kèm đơn vị giờ.

1Cách 1. Dùng trung điểm nhóm và công thức số trung bình

Định hướng. Lập thêm một dòng giá trị đại diện cho bảng, cộng tần số để có cỡ mẫu rồi thay thẳng vào công thức.

Thời gian (giờ)	$2, 5$	$7, 5$	$12, 5$	$17, 5$	$22, 5$
Số học sinh	$8$	$16$	$4$	$2$	$2$

n = 8 + 16 + 4 + 2 + 2 = 32

\overset{x}{ˉ} = \frac{8 \cdot 2 , 5 + 16 \cdot 7 , 5 + 4 \cdot 12 , 5 + 2 \cdot 17 , 5 + 2 \cdot 22 , 5}{32}

\overset{x}{ˉ} = \frac{20 + 120 + 50 + 35 + 45}{32} = \frac{270}{32} = 8, 4375

Vậy thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các bạn học sinh này khoảng $8, 44$ giờ.

2Cách 2. Đổi biến để chỉ làm việc với số nguyên

Định hướng. Các trung điểm cách đều nhau $5$ giờ nên đặt gốc tại $7, 5$ và lấy $5$ làm đơn vị thì mọi số nhân đều là số nguyên nhỏ, tính nhẩm được ngay.

u_{i} = \frac{x _{i} - 7 , 5}{5}

u_{1} = - 1

;

u_{2} = 0

;

u_{3} = 1

;

u_{4} = 2

;

u_{5} = 3

\overset{u}{ˉ} = \frac{8 \cdot ( - 1 ) + 16 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3}{32}

\overset{u}{ˉ} = \frac{- 8 + 4 + 4 + 6}{32} = \frac{6}{32} = 0, 1875

\overset{x}{ˉ} = 7, 5 + 5 \cdot 0, 1875 = 7, 5 + 0, 9375 = 8, 4375

Vậy thời gian xem ti vi trung bình khoảng $8, 44$ giờ, đúng bằng kết quả của Cách 1.

3Cách 3. Tính từ tần số tương đối và đối chiếu với biểu đồ

Định hướng. Đổi tần số thành tỉ lệ để thấy ngay nhóm nào chi phối kết quả, rồi lấy trung bình có trọng số theo tỉ lệ đó.

Thời gian (giờ)	$[0; 5)$	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$	$[20; 25)$	Tổng
Tần số tương đối	$25%$	$50%$	$12, 5%$	$6, 25%$	$6, 25%$	$100%$

\overset{x}{ˉ} = 0, 25 \cdot 2, 5 + 0, 5 \cdot 7, 5 + 0, 125 \cdot 12, 5 + 0, 0625 \cdot 17, 5 + 0, 0625 \cdot 22, 5

\overset{x}{ˉ} = 0, 625 + 3, 75 + 1, 5625 + 1, 09375 + 1, 40625 = 8, 4375

25 + 50 + 12, 5 + 6, 25 + 6, 25 = 100

Vậy thời gian xem ti vi trung bình khoảng $8, 44$ giờ; đúng một nửa số bạn nằm ở nhóm $[5; 10)$ nên giá trị trung bình rơi ngay cạnh nhóm này.

Nhận xét. Biểu đồ có một đỉnh duy nhất ở nhóm $[5; 10)$ rồi tụt nhanh, còn số trung bình $8, 44$ giờ lại nằm lệch sang phải đỉnh — dấu hiệu của phân bố lệch phải, do vài bạn xem tới $20$ – $25$ giờ kéo trung bình lên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ phải nhân với

- 1

0

1

2

3

nên gần như không thể sai số học, trong khi Cách 1 phải nhân năm số thập phân rất dễ lệch chữ số.

Đáp số.

\overset{x}{ˉ} = \frac{270}{32} = 8, 4375 \approx 8, 44

giờ.

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp là lấy trung bình cộng của năm trung điểm:

\frac{2 , 5 + 7 , 5 + 12 , 5 + 17 , 5 + 22 , 5}{5} = 12, 5

giờ, tức bỏ quên tần số. Phản ví dụ: nhóm

[5; 10)

có tới

16

bạn còn nhóm

[20; 25)

chỉ có

2

bạn, không thể coi hai nhóm này nặng như nhau; kết quả đúng

8, 44

giờ lệch tới

4, 06

giờ so với con số sai

12, 5

giờ. Lỗi thứ hai là quên rằng

8, 44

giờ chỉ là ước lượng: nếu

16

bạn nhóm

[5; 10)

thực ra đều xem

5

giờ thì số trung bình thật chỉ là

\frac{270 - 16 \cdot 2 , 5}{32} = 7, 1875

giờ.

🚀 Mở rộng. Thử ghép lại thành ba nhóm

[0; 10)

[10; 20)

[20; 25)

với tần số

24

;

6

;

2

— số trung bình ước lượng thành

\frac{24 \cdot 5 + 6 \cdot 15 + 2 \cdot 22 , 5}{32} = \frac{255}{32} = 7, 96875

giờ, lệch hẳn

0, 47

giờ so với

8, 4375

giờ; hãy chỉ ra vì sao nhóm càng rộng thì ước lượng càng xa giá trị thật.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 63

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★★Trang 63— Xác định nhóm chứa trung vị của mẫu ghép nhóm

HĐ2 (trang 63). Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của

21

cây na giống.

Chiều cao (cm)	$[0; 5)$	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$
Số cây	$3$	$8$	$7$	$3$

Gọi

x_{1}

x_{2}

, ...,

x_{21}

là chiều cao của các cây giống, đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó,

x_{1}

, ...,

x_{3}

thuộc

[0; 5)

x_{4}

, ...,

x_{11}

thuộc

[5; 10)

, ... Hỏi trung vị thuộc nhóm nào?

Kiến thức cần nhớ

Với $n$ lẻ, trung vị của dãy đã sắp xếp tăng dần là số hạng thứ $\frac{n + 1}{2}$ .
Tần số tích luỹ của nhóm thứ $i$ là $c_{i} = m_{1} + \dots + m_{i}$ ; nhóm chứa trung vị là nhóm đầu tiên có $c_{i} \geq \frac{n}{2}$ .
Trung vị của mẫu ghép nhóm: $M_{e} = a_{p} + \frac{\frac{n}{2} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ .
Đồ thị tần số tích luỹ nối các điểm $(a_{1}; 0)$ , $(a_{2}; c_{1})$ , ..., $(a_{k + 1}; c_{k})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã tự đánh số thứ tự các giá trị và chỉ hỏi trung vị nằm ở NHÓM nào chứ chưa đòi giá trị, nên chỉ cần xác định vị trí của số đứng giữa rồi tra xem vị trí ấy rơi vào đoạn chỉ số của nhóm nào. Cỡ mẫu

n = 21

lẻ nên trung vị chính là

x_{11}

, không phải trung bình hai số. Bẫy là nhầm “trung vị thuộc nhóm giữa bảng” — nhóm giữa của bảng và nhóm chứa giá trị giữa của dãy là hai chuyện khác nhau.

1Cách 1. Đếm vị trí của số hạng đứng giữa

Định hướng. Cỡ mẫu lẻ nên trung vị là một số hạng cụ thể; chỉ cần xem chỉ số của nó nằm trong đoạn chỉ số nào mà đề đã liệt kê sẵn.

n = 3 + 8 + 7 + 3 = 21

M_{e} = x_{\frac{21 + 1}{2}} = x_{11}

x_{1}

, ...,

x_{3}

thuộc

[0; 5)

;

x_{4}

, ...,

x_{11}

thuộc

[5; 10)

4 \leq 11 \leq 11

Vậy trung vị thuộc nhóm $[5; 10)$ .

2Cách 2. Dùng bảng tần số tích luỹ

Định hướng. Cộng dồn tần số để biết mỗi nhóm “kết thúc” ở số hạng thứ mấy, rồi so mốc $\frac{n}{2}$ với các con số cộng dồn ấy; xong thì nội suy luôn ra giá trị.

Nhóm	$[0; 5)$	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$
Tần số	$3$	$8$	$7$	$3$
Tần số tích luỹ	$3$	$11$	$18$	$21$

\frac{n}{2} = \frac{21}{2} = 10, 5

3 < 10, 5 \leq 11

nên nhóm chứa trung vị là

[5; 10)

M_{e} = 5 + \frac{10 , 5 - 3}{8} \cdot (10 - 5)

M_{e} = 5 + \frac{7 , 5}{8} \cdot 5 = 5 + \frac{75}{16} = \frac{155}{16} = 9, 6875

Vậy trung vị thuộc nhóm $[5; 10)$ và $M_{e} \approx 9, 69$ cm.

3Cách 3. Đọc trên đồ thị tần số tích luỹ

Định hướng. Vẽ đường gấp khúc tần số tích luỹ rồi kẻ đường ngang ở mức $\frac{n}{2}$ ; hoành độ giao điểm chính là trung vị, còn đoạn chứa giao điểm chỉ ra nhóm chứa trung vị.

Các điểm của đồ thị:

(0; 0)

;

(5; 3)

;

(10; 11)

;

(15; 18)

;

(20; 21)

Đường ngang

y = 10, 5

cắt đoạn nối

(5; 3)

và

(10; 11)

Hệ số góc của đoạn đó:

\frac{11 - 3}{10 - 5} = \frac{8}{5}

10, 5 = 3 + \frac{8}{5} (x - 5)

x = 5 + \frac{5 \cdot 7 , 5}{8} = 9, 6875

Vậy giao điểm có hoành độ $9, 6875$ nằm trong khoảng từ $5$ đến $10$ , nên trung vị thuộc nhóm $[5; 10)$ và $M_{e} \approx 9, 69$ cm.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một nhóm, nhưng chỉ Cách 2 và Cách 3 cho luôn giá trị; điều đó cho thấy công thức nội suy thực chất chính là phép “tìm giao điểm” trên đồ thị tần số tích luỹ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: bảng tần số tích luỹ vừa trả lời câu hỏi “thuộc nhóm nào” chỉ trong một dòng, vừa dùng lại được ngay cho tứ phân vị ở HĐ3 mà không phải làm lại từ đầu.

Đáp số. Trung vị thuộc nhóm

[5; 10)

; giá trị ước lượng

M_{e} = \frac{155}{16} = 9, 6875 \approx 9, 69

cm.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là lấy “nhóm ở giữa bảng” làm nhóm chứa trung vị. Phản ví dụ: nếu tần số là

12

;

4

;

3

;

2

thì

\frac{n}{2} = 10, 5 \leq 12

, trung vị rơi vào nhóm ĐẦU

[0; 5)

chứ không phải nhóm giữa. Sai lầm thứ hai là dùng

\frac{n + 1}{2} = 11

thay cho

\frac{n}{2} = 10, 5

trong công thức nội suy: khi đó

M_{e} = 5 + \frac{11 - 3}{8} \cdot 5 = 10

, rơi ra ngoài nhóm

[5; 10)

— một kết quả vô lí, đủ để nhận ra là sai.

🚀 Mở rộng. Nếu thêm

3

cây cao thuộc nhóm

[15; 20)

thì

n = 24

\frac{n}{2} = 12

và trung vị chuyển sang nhóm

[10; 15)

— hãy tìm số cây ít nhất phải thêm vào nhóm cuối để trung vị vượt qua mốc

10

cm.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 63

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★★Trang 64— Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Luyện tập 2 (trang 64). Ghi lại tốc độ bóng trong

200

lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt cho kết quả như bảng sau:

Tốc độ $v$ (km/h)	$150 \leq v < 155$	$155 \leq v < 160$	$160 \leq v < 165$	$165 \leq v < 170$	$170 \leq v < 175$	$175 \leq v < 180$
Số lần	$18$	$28$	$35$	$43$	$41$	$35$

Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Kiến thức cần nhớ

$150 \leq v < 155$ chính là nhóm nửa khoảng $[150; 155)$ , độ dài $h = 5$ km/h.
Nhóm chứa trung vị là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ đạt hoặc vượt $\frac{n}{2}$ .
$M_{e} = a_{p} + \frac{\frac{n}{2} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ .
Kiểm tra chéo: tổng các tần số phải đúng bằng cỡ mẫu, $\sum m_{i} = n$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề viết nhóm dưới dạng bất đẳng thức kép

150 \leq v < 155

, đó chính là nửa khoảng

[150; 155)

nên áp thẳng công thức trung vị được. Cỡ mẫu chẵn

n = 200

, số đứng giữa là trung bình của

x_{100}

và

x_{101}

, nhưng công thức nội suy chỉ cần mốc

\frac{n}{2} = 100

. Bẫy nằm ở dòng tần số tích luỹ: rất dễ cộng nhầm rồi chọn sai nhóm chứa trung vị, vì hai nhóm

[165; 170)

và

[170; 175)

có tần số gần bằng nhau.

1Cách 1. Lập tần số tích luỹ rồi thay vào công thức trung vị

Định hướng. Cộng dồn tần số để tìm nhóm chứa trung vị, sau đó thay các đại lượng vừa đọc được vào công thức nội suy.

Tốc độ (km/h)	$[150; 155)$	$[155; 160)$	$[160; 165)$	$[165; 170)$	$[170; 175)$	$[175; 180)$
Tần số	$18$	$28$	$35$	$43$	$41$	$35$
Tần số tích luỹ	$18$	$46$	$81$	$124$	$165$	$200$

n = 18 + 28 + 35 + 43 + 41 + 35 = 200

\frac{n}{2} = 100

;

81 < 100 \leq 124

nên

p = 4

a_{4} = 165

;

m_{4} = 43

;

m_{1} + m_{2} + m_{3} = 81

;

a_{5} - a_{4} = 5

M_{e} = 165 + \frac{100 - 81}{43} \cdot 5

M_{e} = 165 + \frac{95}{43} = \frac{7190}{43} \approx 167, 21

Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này khoảng $167, 21$ km/h.

2Cách 2. Chia tỉ lệ trực tiếp trên nhóm chứa trung vị

Định hướng. Coi $43$ lần giao bóng của nhóm $[165; 170)$ rải đều trên đoạn dài $5$ km/h; muốn đi từ mốc $165$ km/h tới giá trị đứng thứ $100$ thì phải vượt qua bao nhiêu phần của đoạn ấy.

Trước nhóm

[165; 170)

đã có

81

lần giao bóng
Cần thêm

100 - 81 = 19

lần nữa mới đủ một nửa
Tỉ lệ phải đi trong nhóm:

\frac{19}{43}

Quãng cần cộng thêm:

\frac{19}{43} \cdot 5 = \frac{95}{43} \approx 2, 21

M_{e} = 165 + 2, 21 = 167, 21

Vậy trung vị khoảng $167, 21$ km/h, tức một nửa số cú giao bóng có tốc độ dưới $167, 21$ km/h.

3Cách 3. Đọc trên đồ thị tần số tích luỹ

Định hướng. Nối các điểm tần số tích luỹ thành đường gấp khúc rồi kẻ đường ngang ở mức $\frac{n}{2} = 100$ ; hoành độ giao điểm là trung vị.

Các điểm:

(150; 0)

;

(155; 18)

;

(160; 46)

;

(165; 81)

;

(170; 124)

;

(175; 165)

;

(180; 200)

Đường

y = 100

cắt đoạn nối

(165; 81)

và

(170; 124)

Hệ số góc:

\frac{124 - 81}{170 - 165} = \frac{43}{5}

100 = 81 + \frac{43}{5} (x - 165)

x = 165 + \frac{5 \cdot 19}{43} \approx 167, 21

Vậy trung vị đọc được trên đồ thị khoảng $167, 21$ km/h, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Số trung bình của mẫu này là $\frac{33330}{200} = 166, 65$ km/h, nhỏ hơn trung vị $167, 21$ km/h — phân bố hơi lệch trái, đúng như biểu đồ cho thấy phần đuôi kéo dài về phía tốc độ thấp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dòng tần số tích luỹ vừa chỉ ra nhóm chứa trung vị vừa cho luôn ba số cần thay vào công thức, tất cả gói trong một bảng nên rất khó nhầm; Cách 3 phải vẽ hình nên chỉ hợp khi đề yêu cầu minh hoạ.

Đáp số.

M_{e} = 165 + \frac{95}{43} = \frac{7190}{43} \approx 167, 21

km/h.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm điển hình là dùng

\frac{n + 1}{2} = 100, 5

thay cho

\frac{n}{2} = 100

, hoặc lấy nhầm tần số tích luỹ của chính nhóm chứa trung vị thay vì tổng các nhóm ĐỨNG TRƯỚC nó. Phản ví dụ: nếu lấy

m_{1} + \dots + m_{p - 1} = 124

thì

M_{e} = 165 + \frac{100 - 124}{43} \cdot 5 \approx 162, 21

, một số nhỏ hơn cả đầu mút trái

165

của nhóm chứa trung vị — vô lí ngay. Ngoài ra phải nhớ

167, 21

km/h chỉ là ước lượng cho trung vị của

200

tốc độ thật, không phải giá trị đúng.

🚀 Mở rộng. Vận động viên tập thêm khiến

10

cú giao bóng chuyển từ nhóm

[160; 165)

sang

[175; 180)

; hãy tính lại trung vị và giải thích vì sao trung vị chỉ nhích nhẹ trong khi số trung bình tăng hẳn — đó chính là tính “bền với giá trị bất thường” của trung vị.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 64

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★★Trang 64— Xác định nhóm chứa tứ phân vị

HĐ3 (trang 64). Với mẫu số liệu ghép nhóm cho trong HĐ2, hãy cho biết tứ phân vị thứ nhất

Q_{1}

và tứ phân vị thứ ba

Q_{3}

thuộc nhóm nào.

Chiều cao (cm)	$[0; 5)$	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$
Số cây	$3$	$8$	$7$	$3$

Kiến thức cần nhớ

Có khoảng $\frac{r \cdot n}{4}$ giá trị của mẫu nhỏ hơn tứ phân vị thứ $r$ .
Nhóm chứa $Q_{1}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ đạt hoặc vượt $\frac{n}{4}$ ; nhóm chứa $Q_{3}$ ứng với mốc $\frac{3 n}{4}$ .
$Q_{1} = a_{p} + \frac{\frac{n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ và $Q_{3} = a_{p} + \frac{\frac{3 n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ .
Tứ phân vị thứ hai $Q_{2}$ chính là trung vị $M_{e}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ hỏi

Q_{1}

Q_{3}

thuộc nhóm nào nên không cần tính giá trị, chỉ cần biết chúng đứng ở vị trí nào trong dãy

21

số đã sắp xếp. Có hai lối nghĩ tương đương: đếm vị trí theo định nghĩa tứ phân vị của lớp 10, hoặc dùng mốc

\frac{n}{4}

và

\frac{3 n}{4}

trên bảng tần số tích luỹ. Bẫy là ở chỗ

\frac{n}{4} = 5, 25

không phải số nguyên, nhiều bạn vội làm tròn thành

5

rồi chọn nhầm nhóm.

1Cách 1. Đếm vị trí theo định nghĩa tứ phân vị

Định hướng. Cỡ mẫu lẻ nên bỏ số hạng giữa $x_{11}$ ra, rồi tìm trung vị của nửa dưới và nửa trên; chỉ số thu được cho biết ngay nhóm cần tìm.

n = 21

;

M_{e} = x_{11}

Nửa dưới:

x_{1}

, ...,

x_{10}

nên

Q_{1} = \frac{x _{5} + x _{6}}{2}

Nửa trên:

x_{12}

, ...,

x_{21}

nên

Q_{3} = \frac{x _{16} + x _{17}}{2}

x_{4}

, ...,

x_{11}

thuộc

[5; 10)

nên

x_{5}

x_{6}

thuộc

[5; 10)

x_{12}

, ...,

x_{18}

thuộc

[10; 15)

nên

x_{16}

x_{17}

thuộc

[10; 15)

Vậy $Q_{1}$ thuộc nhóm $[5; 10)$ và $Q_{3}$ thuộc nhóm $[10; 15)$ .

2Cách 2. So mốc phần tư trên bảng tần số tích luỹ

Định hướng. Dùng tính chất “có khoảng $\frac{r \cdot n}{4}$ giá trị nhỏ hơn tứ phân vị thứ $r$ ”: chỉ việc tìm nhóm đầu tiên mà tần số tích luỹ đã đạt tới mốc đó, rồi nội suy ra giá trị.

Nhóm	$[0; 5)$	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$
Tần số	$3$	$8$	$7$	$3$
Tần số tích luỹ	$3$	$11$	$18$	$21$

\frac{n}{4} = \frac{21}{4} = 5, 25

;

3 < 5, 25 \leq 11

Q_{1} = 5 + \frac{5 , 25 - 3}{8} \cdot 5 = 5 + \frac{2 , 25 \cdot 5}{8} = \frac{205}{32} = 6, 40625

\frac{3 n}{4} = \frac{63}{4} = 15, 75

;

11 < 15, 75 \leq 18

Q_{3} = 10 + \frac{15 , 75 - 11}{7} \cdot 5 = 10 + \frac{4 , 75 \cdot 5}{7} = \frac{375}{28} \approx 13, 39

Vậy $Q_{1}$ thuộc nhóm $[5; 10)$ với $Q_{1} \approx 6, 41$ cm, còn $Q_{3}$ thuộc nhóm $[10; 15)$ với $Q_{3} \approx 13, 39$ cm.

3Cách 3. Đọc trên đồ thị tần số tích luỹ

Định hướng. Kẻ hai đường ngang ở mức $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ cắt đường gấp khúc tần số tích luỹ; hoành độ hai giao điểm là $Q_{1}$ và $Q_{3}$ , còn đoạn chứa giao điểm chỉ ra nhóm.

Các điểm:

(0; 0)

;

(5; 3)

;

(10; 11)

;

(15; 18)

;

(20; 21)

y = 5, 25

cắt đoạn nối

(5; 3)

và

(10; 11)

tại

x = 5 + \frac{5 ( 5 , 25 - 3 )}{8} = 6, 40625

y = 15, 75

cắt đoạn nối

(10; 11)

và

(15; 18)

tại

x = 10 + \frac{5 ( 15 , 75 - 11 )}{7} \approx 13, 39

Vậy trên đồ thị, $Q_{1} \approx 6, 41$ cm nằm trong nhóm $[5; 10)$ và $Q_{3} \approx 13, 39$ cm nằm trong nhóm $[10; 15)$ .

Nhận xét. Kiểm tra chéo: $Q_{1} \approx 6, 41 < M_{e} \approx 9, 69 < Q_{3} \approx 13, 39$ — ba số xếp đúng thứ tự tăng dần, dấu hiệu cho thấy không nhầm nhóm ở bước nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: mốc

\frac{n}{4}

và

\frac{3 n}{4}

đọc thẳng trên một dòng tần số tích luỹ, không phải đánh số lại từng số hạng như Cách 1 và không phải vẽ hình như Cách 3.

Đáp số.

Q_{1}

thuộc nhóm

[5; 10)

Q_{3}

thuộc nhóm

[10; 15)

; nếu tính tiếp thì

Q_{1} = \frac{205}{32} \approx 6, 41

cm và

Q_{3} = \frac{375}{28} \approx 13, 39

cm.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là làm tròn

\frac{n}{4} = 5, 25

thành

5

rồi lập luận “

3 < 5

nên vẫn nhóm

[5; 10)

” — lần này may mắn đúng nhóm, nhưng giá trị lại sai:

5 + \frac{5 - 3}{8} \cdot 5 = 6, 25

thay vì

6, 40625

. Phản ví dụ rõ hơn: với tần số

5

;

6

;

7

;

3

thì

\frac{n}{4} = 5, 25

rơi vào nhóm

[5; 10)

, nhưng nếu làm tròn xuống

5

thì

5 \leq 5

khiến ta chọn nhầm nhóm

[0; 5)

và ra kết quả sai hẳn một nhóm.

🚀 Mở rộng. Khoảng tứ phân vị

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{375}{28} - \frac{205}{32} \approx 6, 99

cm cho biết nửa giữa của lô cây na trải rộng gần

7

cm; hãy so sánh con số này với khoảng biến thiên

20 - 0 = 20

cm để thấy vì sao khoảng tứ phân vị mô tả độ phân tán tốt hơn.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 64

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 3★★★Trang 65— Tính tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của mẫu ghép nhóm

Luyện tập 3 (trang 65). Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba cho mẫu số liệu ghép nhóm ở Luyện tập 2:

Tốc độ $v$ (km/h)	$150 \leq v < 155$	$155 \leq v < 160$	$160 \leq v < 165$	$165 \leq v < 170$	$170 \leq v < 175$	$175 \leq v < 180$
Số lần	$18$	$28$	$35$	$43$	$41$	$35$

Kiến thức cần nhớ

$Q_{1} = a_{p} + \frac{\frac{n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ .
$Q_{3} = a_{p} + \frac{\frac{3 n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ .
Có khoảng $\frac{r \cdot n}{4}$ giá trị nhỏ hơn tứ phân vị thứ $r$ .
Luôn phải có $Q_{1} \leq M_{e} \leq Q_{3}$ ; đây là phép kiểm tra chéo nhanh nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng đã dùng ở Luyện tập 2 nên dòng tần số tích luỹ chép lại được ngay, việc còn lại chỉ là đổi mốc từ

\frac{n}{2}

sang

\frac{n}{4}

và

\frac{3 n}{4}

. Vì

n = 200

chia hết cho

4

nên hai mốc

50

và

150

đều là số nguyên, tính toán rất gọn. Bẫy là chọn nhầm nhóm cho

Q_{3}

: mốc

150

nằm giữa hai số tích luỹ

124

và

165

nên phải lấy nhóm

[170; 175)

chứ không phải nhóm

[165; 170)

1Cách 1. Thay thẳng vào công thức tứ phân vị

Định hướng. Dùng lại dòng tần số tích luỹ của Luyện tập 2, xác định nhóm chứa $Q_{1}$ và $Q_{3}$ rồi thay số vào hai công thức.

Tốc độ (km/h)	$[150; 155)$	$[155; 160)$	$[160; 165)$	$[165; 170)$	$[170; 175)$	$[175; 180)$
Tần số	$18$	$28$	$35$	$43$	$41$	$35$
Tần số tích luỹ	$18$	$46$	$81$	$124$	$165$	$200$

\frac{n}{4} = 50

;

46 < 50 \leq 81

nên

p = 3

Q_{1} = 160 + \frac{50 - 46}{35} \cdot 5 = 160 + \frac{20}{35} = \frac{1124}{7} \approx 160, 57

\frac{3 n}{4} = 150

;

124 < 150 \leq 165

nên

p = 5

Q_{3} = 170 + \frac{150 - 124}{41} \cdot 5 = 170 + \frac{130}{41} = \frac{7100}{41} \approx 173, 17

Vậy $Q_{1} \approx 160, 57$ km/h và $Q_{3} \approx 173, 17$ km/h.

2Cách 2. Chia tỉ lệ trực tiếp trong nhóm chứa tứ phân vị

Định hướng. Coi các cú giao bóng của một nhóm rải đều trên đoạn tốc độ của nhóm ấy, rồi tính xem phải đi bao nhiêu phần của đoạn thì gom đủ $25%$ hoặc $75%$ số lần giao bóng.

Muốn đủ

25%

cần

50

lần; trước nhóm

[160; 165)

đã có

46

lần
Còn thiếu

50 - 46 = 4

lần trên tổng

35

lần của nhóm, tỉ lệ

\frac{4}{35}

Q_{1} = 160 + \frac{4}{35} \cdot 5 = 160 + \frac{4}{7} \approx 160, 57

Muốn đủ

75%

cần

150

lần; trước nhóm

[170; 175)

đã có

124

lần
Còn thiếu

150 - 124 = 26

lần trên tổng

41

lần, tỉ lệ

\frac{26}{41}

Q_{3} = 170 + \frac{26}{41} \cdot 5 = 170 + \frac{130}{41} \approx 173, 17

Vậy có khoảng $25%$ số cú giao bóng chậm hơn $160, 57$ km/h và khoảng $25%$ số cú nhanh hơn $173, 17$ km/h.

3Cách 3. Đọc trên đồ thị tần số tích luỹ

Định hướng. Vẽ đường gấp khúc tần số tích luỹ, kẻ hai đường ngang ở mức $50$ và $150$ ; hoành độ hai giao điểm cho ngay $Q_{1}$ và $Q_{3}$ mà không phải nhớ công thức.

Các điểm:

(150; 0)

;

(155; 18)

;

(160; 46)

;

(165; 81)

;

(170; 124)

;

(175; 165)

;

(180; 200)

y = 50

cắt đoạn nối

(160; 46)

và

(165; 81)

tại

x = 160 + \frac{5 ( 50 - 46 )}{35} \approx 160, 57

y = 150

cắt đoạn nối

(170; 124)

và

(175; 165)

tại

x = 170 + \frac{5 ( 150 - 124 )}{41} \approx 173, 17

Vậy đọc trên đồ thị được $Q_{1} \approx 160, 57$ km/h và $Q_{3} \approx 173, 17$ km/h, khớp với hai cách tính.

Nhận xét. Kiểm tra chéo: $160, 57 < 167, 21 < 173, 17$ nên $Q_{1} < M_{e} < Q_{3}$ ; ngoài ra $Q_{3} - Q_{1} \approx 12, 60$ km/h cho biết nửa giữa số cú giao bóng chỉ dao động trong khoảng $12, 6$ km/h.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai công thức chỉ khác nhau ở mốc

\frac{n}{4}

và

\frac{3 n}{4}

, chép chung một dòng tần số tích luỹ là xong cả hai câu; Cách 3 chỉ nên dùng khi đề bắt vẽ đồ thị tần số tích luỹ.

Đáp số.

Q_{1} = 160 + \frac{4}{7} = \frac{1124}{7} \approx 160, 57

km/h;

Q_{3} = 170 + \frac{130}{41} = \frac{7100}{41} \approx 173, 17

km/h.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm nặng nhất là chọn nhóm chứa

Q_{3}

theo tần số thay vì theo tần số tích luỹ: thấy nhóm

[165; 170)

có tần số lớn nhất

43

liền lấy luôn nhóm này. Phản ví dụ: khi đó

Q_{3} = 165 + \frac{150 - 81}{43} \cdot 5 \approx 173, 02

, tuy gần đúng ngẫu nhiên nhưng con số

\frac{150 - 81}{43} = 1, 605 > 1

đã vượt quá

1

, nghĩa là điểm cần tìm nằm NGOÀI nhóm — dấu hiệu chắc chắn sai. Quy tắc an toàn: tỉ số trong công thức nội suy luôn phải thuộc nửa khoảng từ

0

đến

1

🚀 Mở rộng. Với cùng bảng này, hãy tìm tứ phân vị thứ hai bằng cả hai lối — công thức trung vị và công thức tứ phân vị với

r = 2

— để tự kiểm chứng khẳng định

Q_{2} = M_{e}

của sách giáo khoa.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 65

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ4★★Trang 66— Nhóm chứa mốt và cách ước lượng mốt

HĐ4 (trang 66). Với số liệu cho trong Luyện tập 1:

Thời gian (giờ)	$[0; 5)$	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$	$[20; 25)$
Số học sinh	$8$	$16$	$4$	$2$	$2$

a) Có thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh không?
b) Mốt thuộc nhóm nào là hợp lí nhất? Nên lấy số nào trong nhóm để ước lượng cho mốt?

Kiến thức cần nhớ

Mốt của mẫu ghép nhóm chỉ được định nghĩa khi các nhóm có độ dài bằng nhau.
Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất, giả sử là nhóm thứ $j$ tức $[a_{j}; a_{j + 1})$ .
$M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ , quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ và $h$ là độ dài nhóm.
Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) hỏi về khả năng chứ không hỏi phép tính: mốt là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất, mà mẫu ghép nhóm đã xoá hết giá trị cụ thể nên câu trả lời chỉ có thể là “không”. Câu b) mới là phần tính: nhóm hợp lí nhất phải là nhóm đông nhất, còn “lấy số nào trong nhóm” thì không được lấy bừa trung điểm mà phải nghiêng về phía nhóm kề có tần số lớn hơn. Bẫy là trả lời “lấy trung điểm

7, 5

giờ” — trung điểm chỉ dùng cho số trung bình, không dùng cho mốt.

1Cách 1. Lập luận trực tiếp trên bảng tần số

Định hướng. Trả lời câu a) bằng bản chất của mẫu ghép nhóm, rồi chọn nhóm đông nhất và xét hai nhóm kề để biết phải nghiêng về bên nào trong nhóm ấy.

Mẫu ghép nhóm chỉ giữ tần số, không giữ giá trị cụ thể của từng học sinh
Tần số lớn nhất là

16

ứng với nhóm

[5; 10)

Nhóm kề trái có

8

học sinh, nhóm kề phải có

4

học sinh

16 - 8 = 8

;

16 - 4 = 12

;

8 < 12

Vậy a) không tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu gốc; b) mốt thuộc nhóm $[5; 10)$ và phải lấy một số lệch về phía trái của nhóm, tức gần $5$ giờ hơn là gần $10$ giờ, vì nhóm bên trái đông hơn nhóm bên phải.

2Cách 2. Dùng công thức mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Định hướng. Năm nhóm đều dài $5$ giờ nên mốt được định nghĩa; thay tần số của nhóm đông nhất và hai nhóm kề vào công thức để có con số cụ thể.

j = 2

;

a_{2} = 5

;

m_{2} = 16

;

m_{1} = 8

;

m_{3} = 4

;

h = 5

M_{o} = 5 + \frac{16 - 8}{( 16 - 8 ) + ( 16 - 4 )} \cdot 5

M_{o} = 5 + \frac{8}{20} \cdot 5 = 5 + 2 = 7

Vậy nên lấy $M_{o} = 7$ giờ để ước lượng cho mốt; con số này nằm trong nhóm $[5; 10)$ và lệch về phía trái đúng như dự đoán ở Cách 1.

3Cách 3. Chia đoạn theo tỉ lệ hai độ vượt tần số

Định hướng. Hiểu công thức mốt như một phép chia đoạn: điểm cần tìm chia nhóm $[5; 10)$ theo tỉ lệ bằng đúng tỉ lệ giữa hai độ vượt tần số so với hai nhóm kề, nên có thể tính nhẩm mà không cần nhớ công thức.

Độ vượt so với nhóm trái:

d_{1} = 16 - 8 = 8

Độ vượt so với nhóm phải:

d_{2} = 16 - 4 = 12

d_{1} : d_{2} = 8 : 12 = 2 : 3

Điểm chia đoạn

[5; 10)

theo tỉ lệ

2 : 3

cách đầu mút trái

\frac{2}{2 + 3} \cdot 5 = 2

M_{o} = 5 + 2 = 7

Vậy mốt được ước lượng bằng $7$ giờ, tức thời gian xem ti vi hay gặp nhất trong tuần của nhóm học sinh này khoảng $7$ giờ.

Nhận xét. Đối chiếu ba số đặc trưng: $M_{o} = 7 < M_{e} < \overset{x}{ˉ} = 8, 4375$ giờ. Mốt nhỏ hơn số trung bình vì vài bạn xem tới $20$ – $25$ giờ kéo trung bình lên, còn mốt thì không bị các giá trị lớn ấy ảnh hưởng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì đó là công thức chuẩn được chấm điểm; nhưng nên nhẩm nhanh Cách 3 trước để biết đáp số phải lệch về bên nào — nếu con số tính ra lệch ngược thì chắc chắn đã thay nhầm

m_{j - 1}

với

m_{j + 1}

Đáp số. a) Không tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu gốc, vì mẫu ghép nhóm không lưu giá trị cụ thể của từng học sinh. b) Mốt thuộc nhóm

[5; 10)

; nên lấy

M_{o} = 5 + \frac{8}{20} \cdot 5 = 7

giờ.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp là lấy trung điểm nhóm chứa mốt làm mốt, tức trả lời

7, 5

giờ. Phản ví dụ: nếu tần số nhóm kề trái đổi từ

8

thành

15

thì nhóm trái gần bằng nhóm chứa mốt, mốt phải dịch hẳn về phía trái và thực tế

M_{o} = 5 + \frac{1}{1 + 12} \cdot 5 \approx 5, 38

giờ, cách xa trung điểm

7, 5

giờ tới hơn

2

giờ — chứng tỏ trung điểm không phải là mốt. Sai lầm thứ hai là dùng công thức mốt khi các nhóm KHÔNG cùng độ dài; khi đó mốt không được định nghĩa.

🚀 Mở rộng. Nếu tần số của cả năm nhóm đều bằng nhau thì

m_{j} - m_{j - 1} = 0

với mọi

j

, công thức mất nghĩa và mẫu không có mốt; hãy thử tìm một bảng tần số có ĐÚNG hai nhóm chứa mốt và cho biết khi đó phải kết luận thế nào.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 66

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 4★★Trang 66— Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Luyện tập 4 (trang 66). (Sách in số hiệu là “Luyện tập 3”, đây là bài luyện tập của mục 4 — Mốt.) Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau:

Thời gian (phút)	$[0, 5; 10, 5)$	$[10, 5; 20, 5)$	$[20, 5; 30, 5)$	$[30, 5; 40, 5)$	$[40, 5; 50, 5)$
Số học sinh	$2$	$10$	$6$	$4$	$3$

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Kiến thức cần nhớ

Mốt chỉ định nghĩa khi các nhóm có cùng độ dài; ở đây $h = 10$ phút.
Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất.
$M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ với quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ .
Với phân bố lệch phải thì $M_{o} < M_{e} < \overset{x}{ˉ}$ ; đây là phép kiểm tra chéo hữu ích.

🧠 Phân tích tư duy

Năm nhóm đều dài

10

phút và không giao nhau nên mốt được định nghĩa, việc còn lại chỉ là tìm nhóm đông nhất rồi chia nhóm ấy theo tỉ lệ. Tần số

10

vượt hẳn hai nhóm kề nên nhóm chứa mốt lộ ra ngay, không phải cân nhắc. Bẫy nằm ở đầu mút lẻ

0, 5

và

10, 5

: rất dễ cộng nhầm thành

M_{o} = 10 + \dots

thay vì

M_{o} = 10, 5 + \dots

1Cách 1. Xác định nhóm chứa mốt rồi thay vào công thức

Định hướng. Tìm nhóm có tần số lớn nhất, đọc ra bốn đại lượng $a_{j}$ , $m_{j}$ , $m_{j - 1}$ , $m_{j + 1}$ và độ dài $h$ rồi thay vào công thức mốt.

Tần số lớn nhất là

10

ứng với nhóm

[10, 5; 20, 5)

nên

j = 2

a_{2} = 10, 5

;

m_{2} = 10

;

m_{1} = 2

;

m_{3} = 6

;

h = 10

M_{o} = 10, 5 + \frac{10 - 2}{( 10 - 2 ) + ( 10 - 6 )} \cdot 10

M_{o} = 10, 5 + \frac{8}{12} \cdot 10 = 10, 5 + \frac{20}{3} = \frac{103}{6} \approx 17, 17

Vậy mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này khoảng $17, 17$ phút.

2Cách 2. Chia đoạn theo tỉ lệ hai độ vượt tần số

Định hướng. Hiểu mốt như điểm chia nhóm đông nhất theo tỉ lệ hai độ vượt tần số so với hai nhóm kề: bên nào chênh ít hơn thì mốt bị kéo về phía đó.

d_{1} = 10 - 2 = 8

;

d_{2} = 10 - 6 = 4

d_{1} : d_{2} = 8 : 4 = 2 : 1

Điểm chia đoạn dài

10

phút theo tỉ lệ

2 : 1

cách đầu mút trái

\frac{2}{2 + 1} \cdot 10 = \frac{20}{3}

M_{o} = 10, 5 + \frac{20}{3} \approx 17, 17

Vậy mốt khoảng $17, 17$ phút, lệch về phía phải của nhóm $[10, 5; 20, 5)$ vì nhóm bên phải đông hơn nhóm bên trái.

3Cách 3. Dựng hình trên biểu đồ rồi kiểm tra chéo bằng ba số đặc trưng

Định hướng. Trên biểu đồ, nối đỉnh trái của cột cao nhất với đỉnh trái của cột kề phải và nối đỉnh phải của cột cao nhất với đỉnh phải của cột kề trái; hoành độ giao điểm hai đoạn đó chính là mốt.

Đoạn thứ nhất đi từ

(10, 5; 10)

tới

(20, 5; 6)

có phương trình

y = 10 - \frac{4}{10} (x - 10, 5)

Đoạn thứ hai đi từ

(10, 5; 2)

tới

(20, 5; 10)

có phương trình

y = 2 + \frac{8}{10} (x - 10, 5)

10 - \frac{4}{10} (x - 10, 5) = 2 + \frac{8}{10} (x - 10, 5)

8 = \frac{12}{10} (x - 10, 5)

x = 10, 5 + \frac{80}{12} = \frac{103}{6} \approx 17, 17

Vậy hoành độ giao điểm là $\frac{103}{6} \approx 17, 17$ phút, trùng khớp với hai cách tính, nên mốt của mẫu là khoảng $17, 17$ phút.

Nhận xét. Kiểm tra chéo bằng hai số đặc trưng còn lại: $n = 25$ , $\overset{x}{ˉ} = \frac{597 , 5}{25} = 23, 9$ phút và $M_{e} = 20, 5 + \frac{12 , 5 - 12}{6} \cdot 10 = \frac{64}{3} \approx 21, 33$ phút. Ta được $M_{o} < M_{e} < \overset{x}{ˉ}$ — đúng dáng lệch phải mà biểu đồ cho thấy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đó là công thức được chấm; Cách 3 tuy dài nhưng đáng nhớ ở chỗ nó giải thích công thức mốt sinh ra từ đâu, nên khi quên công thức vẫn dựng lại được.

Đáp số.

M_{o} = 10, 5 + \frac{20}{3} = \frac{103}{6} \approx 17, 17

phút.

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp nhất là lấy nhầm đầu mút trái: viết

M_{o} = 10 + \frac{20}{3} \approx 16, 67

phút vì quen với các nhóm tròn chục. Phản ví dụ cho thấy sai này không vô hại: chênh lệch đúng bằng

0, 5

phút, tức

30

giây, đủ để xếp sai một học sinh sang nhóm khác khi so sánh. Lỗi thứ hai là lấy mốt bằng trung điểm nhóm đông nhất, tức

15, 5

phút; con số đó bỏ qua hoàn toàn thông tin “nhóm bên phải đông gấp ba nhóm bên trái”, trong khi mốt đúng

17, 17

phút phải lệch hẳn sang phải.

🚀 Mở rộng. Nếu tần số nhóm

[20, 5; 30, 5)

tăng từ

6

lên

10

thì mẫu có hai nhóm cùng tần số lớn nhất, tức hai nhóm chứa mốt; hãy tính mốt cho từng nhóm và giải thích vì sao lúc đó phải báo cáo cả hai giá trị.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 66

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Vận dụng★★★Trang 66— Tính đầy đủ các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Vận dụng (trang 66). Hãy tính các số đặc trưng cho mẫu số liệu trong Bảng 3.1 và giải thích ý nghĩa của các giá trị thu được.

Số tiền (nghìn đồng)	$[0; 30)$	$[30; 60)$	$[60; 90)$	$[90; 120)$
Số khách hàng	$3$	$15$	$10$	$7$

Bảng 3.1. Số tiền khách hàng mua xăng

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình dùng trung điểm nhóm: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Trung vị, tứ phân vị dùng nội suy tại các mốc $\frac{n}{4}$ , $\frac{n}{2}$ , $\frac{3 n}{4}$ trên bảng tần số tích luỹ.
Mốt dùng nhóm có tần số lớn nhất: $M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ .
Kiểm tra chéo: $\sum m_{i} = n$ và $Q_{1} \leq M_{e} \leq Q_{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đòi cả bốn loại số đặc trưng nên phải chuẩn bị hai công cụ khác nhau: trung điểm nhóm cho số trung bình và bảng tần số tích luỹ cho trung vị, tứ phân vị; riêng mốt đi bằng nhóm có tần số lớn nhất. Cỡ mẫu

n = 35

lẻ và không chia hết cho

4

nên các mốc

17, 5

;

8, 75

;

26, 25

đều là số thập phân, tuyệt đối không được làm tròn. Bẫy còn ở phần “giải thích ý nghĩa”: mỗi con số nói một điều khác nhau, không được kết luận chung chung là “trung bình khách mua

63

nghìn đồng” rồi thôi.

1Cách 1. Tính lần lượt từng số đặc trưng bằng công thức

Định hướng. Lập một bảng gồm trung điểm và tần số tích luỹ, sau đó lấy ra đúng những số cần thiết cho từng công thức.

Nhóm	$[0; 30)$	$[30; 60)$	$[60; 90)$	$[90; 120)$
Giá trị đại diện	$15$	$45$	$75$	$105$
Tần số	$3$	$15$	$10$	$7$
Tần số tích luỹ	$3$	$18$	$28$	$35$

n = 3 + 15 + 10 + 7 = 35

\overset{x}{ˉ} = \frac{3 \cdot 15 + 15 \cdot 45 + 10 \cdot 75 + 7 \cdot 105}{35} = \frac{2205}{35} = 63

\frac{n}{2} = 17, 5

;

3 < 17, 5 \leq 18

nên

M_{e} = 30 + \frac{17 , 5 - 3}{15} \cdot 30 = 59

\frac{n}{4} = 8, 75

;

3 < 8, 75 \leq 18

nên

Q_{1} = 30 + \frac{8 , 75 - 3}{15} \cdot 30 = 41, 5

\frac{3 n}{4} = 26, 25

;

18 < 26, 25 \leq 28

nên

Q_{3} = 60 + \frac{26 , 25 - 18}{10} \cdot 30 = 84, 75

M_{o} = 30 + \frac{15 - 3}{( 15 - 3 ) + ( 15 - 10 )} \cdot 30 = 30 + \frac{360}{17} = \frac{870}{17} \approx 51, 18

Vậy $\overset{x}{ˉ} = 63$ ; $M_{e} = 59$ ; $Q_{1} = 41, 5$ ; $Q_{3} = 84, 75$ và $M_{o} \approx 51, 18$ , tất cả tính bằng nghìn đồng.

2Cách 2. Đổi biến cho số trung bình và chia tỉ lệ cho các phân vị

Định hướng. Bốn trung điểm cách đều $30$ nghìn đồng nên đổi biến sẽ biến mọi thừa số thành số nguyên nhỏ; còn các phân vị thì chia tỉ lệ trực tiếp trên nhóm chứa chúng, không cần nhớ công thức.

u_{i} = \frac{x _{i} - 45}{30}

nên

u_{1} = - 1

;

u_{2} = 0

;

u_{3} = 1

;

u_{4} = 2

\overset{u}{ˉ} = \frac{3 \cdot ( - 1 ) + 15 \cdot 0 + 10 \cdot 1 + 7 \cdot 2}{35} = \frac{21}{35} = 0, 6

\overset{x}{ˉ} = 45 + 30 \cdot 0, 6 = 63

Nhóm

[30; 60)

chứa

15

khách, cần thêm

17, 5 - 3 = 14, 5

khách nữa mới đủ nửa

M_{e} = 30 + \frac{14 , 5}{15} \cdot 30 = 30 + 29 = 59

Cần thêm

8, 75 - 3 = 5, 75

khách mới đủ một phần tư

Q_{1} = 30 + \frac{5 , 75}{15} \cdot 30 = 30 + 11, 5 = 41, 5

Nhóm

[60; 90)

chứa

10

khách, cần thêm

26, 25 - 18 = 8, 25

khách mới đủ ba phần tư

Q_{3} = 60 + \frac{8 , 25}{10} \cdot 30 = 60 + 24, 75 = 84, 75

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\overset{x}{ˉ} = 63$ ; $M_{e} = 59$ ; $Q_{1} = 41, 5$ ; $Q_{3} = 84, 75$ nghìn đồng.

3Cách 3. Đọc trên biểu đồ rồi giải thích ý nghĩa từng con số

Định hướng. Đặt cả năm số đặc trưng lên trục hoành của biểu đồ tần số ghép nhóm: vị trí tương đối của chúng cho thấy ngay dáng phân bố và giúp diễn giải ý nghĩa thực tế.

Cột cao nhất là

[30; 60)

nên

M_{o}

nằm trong nhóm này:

M_{o} \approx 51, 18

Q_{1} = 41, 5 < M_{e} = 59 < Q_{3} = 84, 75

M_{o} \approx 51, 18 < M_{e} = 59 < \overset{x}{ˉ} = 63

Q_{3} - Q_{1} = 84, 75 - 41, 5 = 43, 25

3 + 15 + 10 + 7 = 35 = n

Vậy mỗi khách mua xăng trung bình $63$ nghìn đồng; một nửa số khách mua không quá $59$ nghìn đồng; $25%$ số khách mua ít hơn $41, 5$ nghìn đồng và $25%$ số khách mua nhiều hơn $84, 75$ nghìn đồng, nửa giữa trải trong khoảng $43, 25$ nghìn đồng; số tiền hay gặp nhất khoảng $51, 18$ nghìn đồng.

Nhận xét. Thứ tự $M_{o} < M_{e} < \overset{x}{ˉ}$ cho biết phân bố lệch phải: phần lớn khách đổ xăng khoảng $30$ đến $60$ nghìn đồng, nhưng bảy khách đổ tới $90$ – $120$ nghìn đồng đã kéo số trung bình lên cao hơn cả trung vị lẫn mốt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một bảng duy nhất chứa cả trung điểm lẫn tần số tích luỹ là đủ nguyên liệu cho cả năm số đặc trưng, không phải lập bảng hai lần; Cách 2 chỉ nên dùng khi các trung điểm cách đều và số liệu lớn.

Đáp số.

\overset{x}{ˉ} = 63

nghìn đồng;

M_{e} = 59

nghìn đồng;

Q_{1} = 41, 5

nghìn đồng;

Q_{3} = 84, 75

nghìn đồng;

M_{o} = \frac{870}{17} \approx 51, 18

nghìn đồng. Nửa số khách mua không quá

59

nghìn đồng, nửa giữa số khách mua từ

41, 5

đến

84, 75

nghìn đồng, mức tiền hay gặp nhất khoảng

51, 18

nghìn đồng.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là lấy mốc

\frac{n + 1}{4} = 9

hay làm tròn

\frac{3 n}{4} = 26, 25

thành

26

cho gọn. Phản ví dụ: với mốc

26

thì

Q_{3} = 60 + \frac{26 - 18}{10} \cdot 30 = 84

thay vì

84, 75

nghìn đồng, lệch

750

đồng chỉ vì một phép làm tròn không được phép. Sai lầm nặng hơn về ý nghĩa: nói “có

63

nghìn đồng là số tiền nhiều khách mua nhất” — đó là mô tả của MỐT chứ không phải của số trung bình; ở đây mốt chỉ khoảng

51, 18

nghìn đồng. Cuối cùng, cả năm con số đều là ước lượng cho mẫu gốc

x_{1}

, ...,

x_{35}

chứ không phải giá trị đúng.

🚀 Mở rộng. Cửa hàng muốn treo biển “gói đổ xăng tiêu chuẩn” bằng đúng một con số; hãy lập luận xem nên chọn

\overset{x}{ˉ}

M_{e}

hay

M_{o}

và cho biết kết luận sẽ đổi thế nào nếu có thêm một khách đổ

500

nghìn đồng.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 66

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 3.4★★★Trang 67— Ghép nhóm dãy số liệu, so sánh hai số trung bình, tìm nhóm chứa mốt

Bài 3.4 (trang 67). Quãng đường (km) từ nhà đến nơi làm việc của

40

công nhân một nhà máy được ghi lại như sau:

$5$	$3$	$10$	$20$	$25$	$11$	$13$	$7$	$12$	$31$
$19$	$10$	$12$	$17$	$18$	$11$	$32$	$17$	$16$	$2$
$7$	$9$	$7$	$8$	$3$	$5$	$12$	$15$	$18$	$3$
$12$	$14$	$2$	$9$	$6$	$15$	$15$	$7$	$6$	$12$

a) Ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là

[0; 5)

. Tìm giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
b) Tính số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào chính xác hơn?
c) Xác định nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm thu được.

Kiến thức cần nhớ

Ghép nhóm với khoảng đầu $[0; 5)$ thì các nhóm tiếp theo là $[5; 10)$ , $[10; 15)$ , ... cho tới khi phủ hết giá trị lớn nhất.
Giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ là trung điểm $\frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ .
Số trung bình của mẫu gốc: $\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n}$ ; của mẫu ghép nhóm: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ .
Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất; một mẫu có thể có nhiều hơn một nhóm chứa mốt.

🧠 Phân tích tư duy

Đề tự cho khoảng đầu tiên

[0; 5)

nên độ rộng đã bị chốt là

5

km; chỉ cần xem giá trị lớn nhất là

32

để biết phải kéo tới nhóm

[30; 35)

, tức bảy nhóm. Câu b) hỏi “giá trị nào chính xác hơn” chính là câu hỏi lí thuyết về bản chất ghép nhóm chứ không phải câu tính toán. Bẫy nằm ở câu c): hai nhóm

[5; 10)

và

[10; 15)

có cùng tần số

11

, nên không được vội kết luận chỉ một nhóm chứa mốt.

1Cách 1. Đếm trực tiếp theo từng nhóm rồi tính hai số trung bình

Định hướng. Quét lần lượt bốn mươi số, gạch mỗi số vào đúng nhóm của nó theo quy ước nửa khoảng, rồi tính riêng số trung bình của mẫu gốc và của mẫu ghép nhóm.

Quãng đường (km)	$[0; 5)$	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$	$[20; 25)$	$[25; 30)$	$[30; 35)$
Giá trị đại diện	$2, 5$	$7, 5$	$12, 5$	$17, 5$	$22, 5$	$27, 5$	$32, 5$
Số công nhân	$5$	$11$	$11$	$9$	$1$	$1$	$2$

5 + 11 + 11 + 9 + 1 + 1 + 2 = 40

Tổng bốn mươi số liệu gốc:

476

\overset{x}{ˉ} = \frac{476}{40} = 11, 9

\overset{x}{ˉ}_{g n} = \frac{5 \cdot 2 , 5 + 11 \cdot 7 , 5 + 11 \cdot 12 , 5 + 9 \cdot 17 , 5 + 1 \cdot 22 , 5 + 1 \cdot 27 , 5 + 2 \cdot 32 , 5}{40}

\overset{x}{ˉ}_{g n} = \frac{12 , 5 + 82 , 5 + 137 , 5 + 157 , 5 + 22 , 5 + 27 , 5 + 65}{40} = \frac{505}{40} = 12, 625

Vậy mẫu gồm bảy nhóm với giá trị đại diện $2, 5$ ; $7, 5$ ; $12, 5$ ; $17, 5$ ; $22, 5$ ; $27, 5$ ; $32, 5$ km; số trung bình của mẫu gốc là $11, 9$ km còn của mẫu ghép nhóm là $12, 625$ km, trong đó $11, 9$ km chính xác hơn vì được tính từ chính bốn mươi quãng đường thật.

2Cách 2. Sắp xếp dãy số tăng dần rồi đếm theo đoạn

Định hướng. Sắp xếp lại bốn mươi số theo thứ tự không giảm; khi đó mỗi nhóm chiếm một đoạn liên tiếp nên chỉ cần tìm chỗ dãy vượt qua các mốc $5$ , $10$ , $15$ , ... là đếm được ngay, khó sót hơn hẳn cách gạch rời rạc.

Dãy sắp xếp:

2

;

2

;

3

;

3

;

3

5

;

5

;

6

;

6

;

7

;

7

;

7

;

7

;

8

;

9

;

9

10

;

10

;

11

;

11

;

12

;

12

;

12

;

12

;

12

;

13

;

14

15

;

15

;

15

;

16

;

17

;

17

;

18

;

18

;

19

20

25

31

;

32

Số phần tử mỗi đoạn:

5

;

11

;

11

;

9

;

1

;

1

;

2

Tổng:

5 + 11 + 11 + 9 + 1 + 1 + 2 = 40

Tổng các số liệu gốc:

476

nên

\overset{x}{ˉ} = \frac{476}{40} = 11, 9

Vậy cách đếm theo đoạn cho đúng bảng tần số $5$ ; $11$ ; $11$ ; $9$ ; $1$ ; $1$ ; $2$ và khẳng định lại $\overset{x}{ˉ} = 11, 9$ km cho mẫu không ghép nhóm.

3Cách 3. Đổi biến để tính số trung bình ghép nhóm và đọc nhóm chứa mốt trên biểu đồ

Định hướng. Bảy trung điểm cách đều $5$ km nên đổi biến sẽ rút phép tính về cộng trừ số nguyên; còn nhóm chứa mốt thì nhìn ngay chiều cao các cột của biểu đồ.

u_{i} = \frac{x _{i} - 17 , 5}{5}

nên

u_{1} = - 3

;

u_{2} = - 2

;

u_{3} = - 1

;

u_{4} = 0

;

u_{5} = 1

;

u_{6} = 2

;

u_{7} = 3

\sum m_{i} u_{i} = 5 \cdot (- 3) + 11 \cdot (- 2) + 11 \cdot (- 1) + 9 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3

\sum m_{i} u_{i} = - 15 - 22 - 11 + 1 + 2 + 6 = - 39

\overset{u}{ˉ} = \frac{- 39}{40} = - 0, 975

\overset{x}{ˉ}_{g n} = 17, 5 + 5 \cdot (- 0, 975) = 17, 5 - 4, 875 = 12, 625

Tần số lớn nhất là

11

, đạt tại hai nhóm

[5; 10)

và

[10; 15)

Vậy số trung bình của mẫu ghép nhóm là $12, 625$ km và mẫu có HAI nhóm chứa mốt là $[5; 10)$ và $[10; 15)$ , ứng với hai cột cao bằng nhau trên biểu đồ.

Nhận xét. Hai số trung bình lệch nhau $12, 625 - 11, 9 = 0, 725$ km chỉ vì phép thay mọi giá trị trong một nhóm bằng trung điểm; nhóm càng rộng thì độ lệch này càng lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 để lập bảng tần số vì sắp xếp xong thì gần như không thể đếm sót, rồi dùng Cách 3 để tính số trung bình ghép nhóm cho nhanh; Cách 1 tuy tự nhiên nhưng gạch bốn mươi số rời rạc rất dễ nhầm.

Đáp số. a) Bảy nhóm

[0; 5)

[5; 10)

[10; 15)

[15; 20)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

với tần số

5

;

11

;

11

;

9

;

1

;

1

;

2

và giá trị đại diện

2, 5

;

7, 5

;

12, 5

;

17, 5

;

22, 5

;

27, 5

;

32, 5

km. b) Số trung bình của mẫu không ghép nhóm là

\frac{476}{40} = 11, 9

km, của mẫu ghép nhóm là

\frac{505}{40} = 12, 625

km; giá trị

11, 9

km chính xác hơn. c) Có hai nhóm chứa mốt là

[5; 10)

và

[10; 15)

, cùng tần số

11

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là xếp số

10

vào nhóm

[5; 10)

vì “

10

là đầu mút”. Phản ví dụ: nếu làm vậy thì hai số

10

trong dãy bị đẩy sang nhóm trước, tần số thành

13

và

9

, lập tức có một nhóm chứa mốt duy nhất là

[5; 10)

— kết luận câu c) sai hẳn chỉ vì một quy ước nửa khoảng. Sai lầm thứ hai là trả lời câu b) rằng “mẫu ghép nhóm chính xác hơn vì gọn hơn”; ngược lại, ghép nhóm làm mất giá trị thật nên

12, 625

km chỉ là ước lượng cho con số đúng

11, 9

km.

🚀 Mở rộng. Nếu ghép nhóm với độ rộng

10

km, khoảng đầu tiên

[0; 10)

, thì tần số là

16

;

20

;

2

;

2

và số trung bình ghép nhóm thành

\frac{16 \cdot 5 + 20 \cdot 15 + 2 \cdot 25 + 2 \cdot 35}{40} = 12, 5

km; hãy so sánh độ lệch của hai cách ghép nhóm so với giá trị đúng

11, 9

km.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 67

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 3.5★★Trang 67— Tìm mốt và số trung bình của mẫu ghép nhóm

Bài 3.5 (trang 67). Tuổi thọ (năm) của

50

bình ắc quy ô tô được cho như sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 2, 5)$	$[2, 5; 3)$	$[3; 3, 5)$	$[3, 5; 4)$	$[4; 4, 5)$	$[4, 5; 5)$
Tần số	$4$	$9$	$14$	$11$	$7$	$5$

a) Xác định mốt và giải thích ý nghĩa.
b) Tính tuổi thọ trung bình của

50

bình ắc quy ô tô này.

Kiến thức cần nhớ

Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất; ở đây các nhóm cùng độ dài $h = 0, 5$ năm.
$M_{o} = a_{j} + \frac{m _{j} - m _{j - 1}}{( m _{j} - m _{j - 1} ) + ( m _{j} - m _{j + 1} )} \cdot h$ .
$\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ với $x_{i}$ là trung điểm nhóm.
Đổi biến $u_{i} = \frac{x _{i} - a}{h}$ thì $\overset{x}{ˉ} = a + h \cdot \overset{u}{ˉ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Sáu nhóm đều rộng

0, 5

năm nên mốt được định nghĩa và các trung điểm cách đều — hai điều kiện thuận lợi cho cả công thức mốt lẫn phép đổi biến. Tần số lớn nhất

14

chỉ hơn nhóm kề phải

3

đơn vị nhưng hơn nhóm kề trái tới

5

đơn vị, nên mốt sẽ lệch về phía phải của nhóm

[3; 3, 5)

. Bẫy là độ dài nhóm

h = 0, 5

chứ không phải

1

: quên điều này thì mốt vọt ra ngoài nhóm ngay.

1Cách 1. Dùng công thức mốt và công thức số trung bình

Định hướng. Đọc nhóm có tần số lớn nhất để thay vào công thức mốt, rồi lập dòng trung điểm để tính tuổi thọ trung bình.

Tuổi thọ (năm)	$2, 25$	$2, 75$	$3, 25$	$3, 75$	$4, 25$	$4, 75$
Tần số	$4$	$9$	$14$	$11$	$7$	$5$

Tần số lớn nhất là

14

ứng với nhóm

[3; 3, 5)

nên

j = 3

a_{3} = 3

;

m_{3} = 14

;

m_{2} = 9

;

m_{4} = 11

;

h = 0, 5

M_{o} = 3 + \frac{14 - 9}{( 14 - 9 ) + ( 14 - 11 )} \cdot 0, 5 = 3 + \frac{5}{8} \cdot 0, 5 = \frac{53}{16} = 3, 3125

n = 4 + 9 + 14 + 11 + 7 + 5 = 50

\overset{x}{ˉ} = \frac{4 \cdot 2 , 25 + 9 \cdot 2 , 75 + 14 \cdot 3 , 25 + 11 \cdot 3 , 75 + 7 \cdot 4 , 25 + 5 \cdot 4 , 75}{50}

\overset{x}{ˉ} = \frac{9 + 24 , 75 + 45 , 5 + 41 , 25 + 29 , 75 + 23 , 75}{50} = \frac{174}{50} = 3, 48

Vậy mốt là $M_{o} = 3, 3125$ năm, nghĩa là tuổi thọ hay gặp nhất của loại ắc quy này khoảng $3, 31$ năm; tuổi thọ trung bình của $50$ bình là $3, 48$ năm.

2Cách 2. Chia tỉ lệ cho mốt và đổi biến cho số trung bình

Định hướng. Coi mốt là điểm chia nhóm đông nhất theo tỉ lệ hai độ vượt tần số; còn số trung bình thì đặt gốc tại $3, 25$ và lấy $0, 5$ làm đơn vị để chỉ còn nhân số nguyên.

d_{1} = 14 - 9 = 5

;

d_{2} = 14 - 11 = 3

;

d_{1} : d_{2} = 5 : 3

M_{o} = 3 + \frac{5}{5 + 3} \cdot 0, 5 = 3 + 0, 3125 = 3, 3125

u_{i} = \frac{x _{i} - 3 , 25}{0 , 5}

nên

u_{1} = - 2

;

u_{2} = - 1

;

u_{3} = 0

;

u_{4} = 1

;

u_{5} = 2

;

u_{6} = 3

\sum m_{i} u_{i} = 4 \cdot (- 2) + 9 \cdot (- 1) + 14 \cdot 0 + 11 \cdot 1 + 7 \cdot 2 + 5 \cdot 3

\sum m_{i} u_{i} = - 8 - 9 + 11 + 14 + 15 = 23

\overset{u}{ˉ} = \frac{23}{50} = 0, 46

\overset{x}{ˉ} = 3, 25 + 0, 5 \cdot 0, 46 = 3, 25 + 0, 23 = 3, 48

Vậy mốt $M_{o} = 3, 3125$ năm và tuổi thọ trung bình $\overset{x}{ˉ} = 3, 48$ năm, trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Tính từ tần số tương đối và đọc mốt trên biểu đồ

Định hướng. Đổi tần số thành tỉ lệ phần trăm để thấy trọng lượng từng nhóm, rồi lấy trung bình có trọng số; mốt đọc trực tiếp từ cột cao nhất của biểu đồ.

Tuổi thọ (năm)	$[2; 2, 5)$	$[2, 5; 3)$	$[3; 3, 5)$	$[3, 5; 4)$	$[4; 4, 5)$	$[4, 5; 5)$	Tổng
Tần số tương đối	$8%$	$18%$	$28%$	$22%$	$14%$	$10%$	$100%$

\overset{x}{ˉ} = 0, 08 \cdot 2, 25 + 0, 18 \cdot 2, 75 + 0, 28 \cdot 3, 25 + 0, 22 \cdot 3, 75 + 0, 14 \cdot 4, 25 + 0, 10 \cdot 4, 75

\overset{x}{ˉ} = 0, 18 + 0, 495 + 0, 91 + 0, 825 + 0, 595 + 0, 475 = 3, 48

8 + 18 + 28 + 22 + 14 + 10 = 100

Cột cao nhất là

[3; 3, 5)

nên mốt nằm trong nhóm này, lệch phải vì cột kề phải cao hơn cột kề trái

Vậy tuổi thọ trung bình là $3, 48$ năm và mốt khoảng $3, 31$ năm nằm trong nhóm $[3; 3, 5)$ — có $28%$ số bình ắc quy thọ từ $3$ đến dưới $3, 5$ năm, nhiều hơn mọi nhóm khác.

Nhận xét. Ở đây $M_{o} = 3, 3125 < \overset{x}{ˉ} = 3, 48$ năm: một số bình bền tới gần $5$ năm đã kéo trung bình lên cao hơn giá trị hay gặp nhất, nên nhà sản xuất nếu quảng cáo bằng $3, 48$ năm là đã nói quá so với trải nghiệm của phần đông khách hàng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a) vì đó là công thức chuẩn, và Cách 2 cho câu b) vì sau khi đổi biến chỉ còn cộng trừ số nguyên; Cách 3 dành để giải thích ý nghĩa cho thuyết phục.

Đáp số. a)

M_{o} = 3 + \frac{5}{8} \cdot 0, 5 = \frac{53}{16} = 3, 3125

năm — tuổi thọ hay gặp nhất của loại ắc quy này khoảng

3, 31

năm, ứng với nhóm đông nhất

[3; 3, 5)

gồm

14

bình. b)

\overset{x}{ˉ} = \frac{174}{50} = 3, 48

năm.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là dùng

h = 1

vì quen với các nhóm rộng một đơn vị: khi đó

M_{o} = 3 + \frac{5}{8} \cdot 1 = 3, 625

, một con số nằm NGOÀI nhóm

[3; 3, 5)

— vô lí ngay, vì mốt bắt buộc phải thuộc nhóm chứa mốt. Sai lầm thứ hai là lẫn hai câu: trả lời câu a) bằng

3, 48

năm (số trung bình) hoặc trả lời câu b) bằng

3, 25

năm (trung điểm nhóm đông nhất). Cuối cùng, cả hai con số đều chỉ ước lượng cho

50

tuổi thọ thật.

🚀 Mở rộng. Nếu nhà sản xuất cải tiến khiến

5

bình chuyển từ nhóm

[2, 5; 3)

sang

[4, 5; 5)

thì

\overset{x}{ˉ}

tăng thêm

\frac{5 \cdot 2}{50} = 0, 2

năm trong khi nhóm chứa mốt không đổi; hãy giải thích vì sao mốt lại “trơ” hơn số trung bình trước những thay đổi như vậy.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 67

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 3.6★★★Trang 67— Hiệu chỉnh mẫu rời rạc và tìm tứ phân vị

Bài 3.6 (trang 67). Điểm thi môn Toán (thang điểm

100

, điểm được làm tròn đến

1

) của

60

thí sinh được cho trong bảng sau:

Điểm	0 - 9	10 - 19	20 - 29	30 - 39	40 - 49
Số thí sinh	$1$	$2$	$4$	$6$	$15$
Điểm	50 - 59	60 - 69	70 - 79	80 - 89	90 - 99
Số thí sinh	$12$	$10$	$6$	$3$	$1$

a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2.
b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.

Kiến thức cần nhớ

Nhóm rời rạc $k_{1}$ - $k_{2}$ với $k_{1}$ , $k_{2}$ nguyên được hiệu chỉnh thành $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ .
Sau hiệu chỉnh, mọi nhóm đều rộng $h = 10$ điểm và không còn khe hở.
$Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r \cdot n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ với $r = 1$ , $2$ , $3$ và $Q_{2} = M_{e}$ .
Có khoảng $\frac{r \cdot n}{4}$ giá trị của mẫu nhỏ hơn $Q_{r}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điểm thi là số nguyên nên bảng đang cho ở dạng rời rạc

k_{1}

k_{2}

; muốn dùng công thức tứ phân vị thì bắt buộc phải hiệu chỉnh về nửa khoảng

[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)

trước, nếu không các nhóm sẽ có khe hở và phép nội suy mất nghĩa. Cỡ mẫu

n = 60

chia hết cho

4

nên ba mốc

15

30

45

đều nguyên, tính rất gọn. Bẫy là chọn nhóm theo tần số lớn nhất

15

thay vì theo tần số tích luỹ.

1Cách 1. Hiệu chỉnh rồi thay vào công thức tứ phân vị

Định hướng. Đưa mọi nhóm về dạng nửa khoảng, lập dòng tần số tích luỹ rồi lần lượt thay ba mốc phần tư vào công thức.

Nhóm	$[- 0, 5; 9, 5)$	$[9, 5; 19, 5)$	$[19, 5; 29, 5)$	$[29, 5; 39, 5)$	$[39, 5; 49, 5)$
Tần số	$1$	$2$	$4$	$6$	$15$
Tần số tích luỹ	$1$	$3$	$7$	$13$	$28$
Nhóm	$[49, 5; 59, 5)$	$[59, 5; 69, 5)$	$[69, 5; 79, 5)$	$[79, 5; 89, 5)$	$[89, 5; 99, 5)$
Tần số	$12$	$10$	$6$	$3$	$1$
Tần số tích luỹ	$40$	$50$	$56$	$59$	$60$

n = 60

;

\frac{n}{4} = 15

;

\frac{n}{2} = 30

;

\frac{3 n}{4} = 45

13 < 15 \leq 28

nên

Q_{1} = 39, 5 + \frac{15 - 13}{15} \cdot 10 = 39, 5 + \frac{4}{3} = \frac{245}{6} \approx 40, 83

28 < 30 \leq 40

nên

Q_{2} = 49, 5 + \frac{30 - 28}{12} \cdot 10 = 49, 5 + \frac{5}{3} = \frac{307}{6} \approx 51, 17

40 < 45 \leq 50

nên

Q_{3} = 59, 5 + \frac{45 - 40}{10} \cdot 10 = 59, 5 + 5 = 64, 5

Vậy $Q_{1} \approx 40, 83$ điểm; $Q_{2} \approx 51, 17$ điểm; $Q_{3} = 64, 5$ điểm.

2Cách 2. Chia tỉ lệ trực tiếp trên nhóm chứa từng tứ phân vị

Định hướng. Coi các thí sinh trong một nhóm rải đều trên đoạn $10$ điểm của nhóm ấy, rồi tính xem phải đi bao nhiêu phần của đoạn thì gom đủ $25%$ , $50%$ , $75%$ số thí sinh.

Đủ

25%

cần

15

thí sinh; trước nhóm

[39, 5; 49, 5)

đã có

13

thí sinh
Còn thiếu

2

trên

15

nên phải đi

\frac{2}{15}

đoạn:

Q_{1} = 39, 5 + \frac{2}{15} \cdot 10 \approx 40, 83

Đủ

50%

cần

30

thí sinh; trước nhóm

[49, 5; 59, 5)

đã có

28

thí sinh
Còn thiếu

2

trên

12

nên

Q_{2} = 49, 5 + \frac{2}{12} \cdot 10 \approx 51, 17

Đủ

75%

cần

45

thí sinh; trước nhóm

[59, 5; 69, 5)

đã có

40

thí sinh
Còn thiếu

5

trên

10

nên

Q_{3} = 59, 5 + \frac{5}{10} \cdot 10 = 64, 5

Vậy có khoảng $15$ thí sinh dưới $40, 83$ điểm, khoảng $30$ thí sinh dưới $51, 17$ điểm và khoảng $45$ thí sinh dưới $64, 5$ điểm.

3Cách 3. Đọc trên đồ thị tần số tích luỹ

Định hướng. Vẽ đường gấp khúc qua các điểm tần số tích luỹ rồi kẻ ba đường ngang ở mức $15$ , $30$ , $45$ ; ba hoành độ giao điểm cho ngay ba tứ phân vị, đúng như cách dùng phần mềm nêu ở mục Em có biết trang 68.

Các điểm:

(- 0, 5; 0)

;

(9, 5; 1)

;

(19, 5; 3)

;

(29, 5; 7)

;

(39, 5; 13)

;

(49, 5; 28)

;

(59, 5; 40)

;

(69, 5; 50)

;

(79, 5; 56)

;

(89, 5; 59)

;

(99, 5; 60)

y = 15

cắt đoạn nối

(39, 5; 13)

và

(49, 5; 28)

tại

x = 39, 5 + \frac{10 ( 15 - 13 )}{15} \approx 40, 83

y = 30

cắt đoạn nối

(49, 5; 28)

và

(59, 5; 40)

tại

x = 49, 5 + \frac{10 ( 30 - 28 )}{12} \approx 51, 17

y = 45

cắt đoạn nối

(59, 5; 40)

và

(69, 5; 50)

tại

x = 59, 5 + \frac{10 ( 45 - 40 )}{10} = 64, 5

Vậy ba tứ phân vị đọc trên đồ thị là $Q_{1} \approx 40, 83$ ; $Q_{2} \approx 51, 17$ và $Q_{3} = 64, 5$ điểm: một phần tư số thí sinh được dưới $40, 83$ điểm, một nửa số thí sinh được dưới $51, 17$ điểm và chỉ một phần tư số thí sinh vượt $64, 5$ điểm.

Nhận xét. Khoảng tứ phân vị $Q_{3} - Q_{1} = 64, 5 - \frac{245}{6} \approx 23, 67$ điểm cho biết nửa giữa số thí sinh chụm trong một dải chưa tới $24$ điểm, trong khi toàn bộ thang điểm rộng $100$ — đề thi phân loại khá tập trung ở vùng trung bình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: sau khi hiệu chỉnh, một bảng tần số tích luỹ duy nhất phục vụ cả ba tứ phân vị, chỉ đổi mốc

15

30

45

là xong; Cách 3 chỉ nên dùng khi đề yêu cầu vẽ đồ thị.

Đáp số. a) Các nhóm sau hiệu chỉnh:

[- 0, 5; 9, 5)

[9, 5; 19, 5)

[19, 5; 29, 5)

[29, 5; 39, 5)

[39, 5; 49, 5)

[49, 5; 59, 5)

[59, 5; 69, 5)

[69, 5; 79, 5)

[79, 5; 89, 5)

[89, 5; 99, 5)

với tần số giữ nguyên. b)

Q_{1} = \frac{245}{6} \approx 40, 83

điểm;

Q_{2} = \frac{307}{6} \approx 51, 17

điểm;

Q_{3} = 64, 5

điểm.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là bỏ qua bước hiệu chỉnh, dùng thẳng nhóm “

40

49

” rồi lấy

a_{p + 1} - a_{p} = 49 - 40 = 9

: khi đó

Q_{1} = 40 + \frac{2}{15} \cdot 9 = 41, 2

điểm, sai vì giữa hai nhóm còn hở đoạn từ

49

đến

50

nên tổng độ dài các nhóm không phủ kín thang điểm. Sai lầm thứ hai là chọn nhóm chứa

Q_{3}

bằng nhóm có tần số lớn nhất

15

; kiểm lại bằng tỉ số nội suy

\frac{45 - 13}{15} \approx 2, 13 > 1

là biết ngay điểm cần tìm đã vượt ra ngoài nhóm.

🚀 Mở rộng. Trường muốn chọn

25%

thí sinh điểm cao nhất vào lớp chuyên; ngưỡng cần lấy chính là

Q_{3} = 64, 5

điểm — hãy tính tiếp ngưỡng để chọn

10%

thí sinh cao nhất, tức phân vị thứ

90

, bằng đúng kĩ thuật nội suy trên.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 67

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 3.7★★★★Trang 67— So sánh hai số trung bình và tìm tứ phân vị của mẫu gộp

Bài 3.7 (trang 67). Phỏng vấn một số học sinh khối

11

về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được bảng số liệu sau:

Thời gian (giờ)	$[4; 5)$	$[5; 6)$	$[6; 7)$	$[7; 8)$	$[8; 9)$
Số học sinh nam	$6$	$10$	$13$	$9$	$7$
Số học sinh nữ	$4$	$8$	$10$	$11$	$8$

a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ.
b) Hãy cho biết

75%

học sinh khối

11

ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình của từng nhóm đối tượng phải tính riêng theo cỡ mẫu của nhóm đó.
Đổi biến $u_{i} = \frac{x _{i} - a}{h}$ giúp tính nhanh khi các trung điểm cách đều.
“Có $75%$ giá trị lớn hơn hoặc bằng $Q_{1}$ ” nên mốc cần tìm ở câu b) là $Q_{1}$ của mẫu gộp.
$Q_{1} = a_{p} + \frac{\frac{n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là bài so sánh nên phải tính hai số trung bình trên hai cỡ mẫu KHÁC nhau —

45

nam và

41

nữ — chứ không được cộng gộp rồi chia đôi. Câu b) hỏi “

75%

ngủ ít nhất bao nhiêu giờ”, tức tìm mốc mà ba phần tư số học sinh nằm PHÍA TRÊN, đó chính là tứ phân vị thứ NHẤT chứ không phải thứ ba, và phải tính trên bảng gộp cả nam lẫn nữ. Bẫy lớn nhất của bài nằm đúng ở chỗ đảo giữa

Q_{1}

và

Q_{3}

1Cách 1. Tính trực tiếp bằng trung điểm rồi gộp bảng để tìm mốc

Định hướng. Lấy trung điểm mỗi nhóm làm giá trị đại diện, tính riêng số trung bình của nam và của nữ; sau đó cộng hai dòng tần số thành bảng của cả khối để tìm tứ phân vị.

Thời gian (giờ)	$4, 5$	$5, 5$	$6, 5$	$7, 5$	$8, 5$	Cỡ mẫu
Số học sinh nam	$6$	$10$	$13$	$9$	$7$	$45$
Số học sinh nữ	$4$	$8$	$10$	$11$	$8$	$41$
Cả khối	$10$	$18$	$23$	$20$	$15$	$86$

\overset{x}{ˉ}_{1} = \frac{6 \cdot 4 , 5 + 10 \cdot 5 , 5 + 13 \cdot 6 , 5 + 9 \cdot 7 , 5 + 7 \cdot 8 , 5}{45} = \frac{293 , 5}{45} \approx 6, 52

\overset{x}{ˉ}_{2} = \frac{4 \cdot 4 , 5 + 8 \cdot 5 , 5 + 10 \cdot 6 , 5 + 11 \cdot 7 , 5 + 8 \cdot 8 , 5}{41} = \frac{277 , 5}{41} \approx 6, 77

Tần số tích luỹ cả khối:

10

;

28

;

51

;

71

;

86

\frac{n}{4} = \frac{86}{4} = 21, 5

;

10 < 21, 5 \leq 28

Q_{1} = 5 + \frac{21 , 5 - 10}{18} \cdot 1 = 5 + \frac{11 , 5}{18} = \frac{203}{36} \approx 5, 64

Vậy a) thời gian ngủ trung bình của học sinh nữ khoảng $6, 77$ giờ, nhiều hơn của học sinh nam khoảng $6, 52$ giờ; b) $75%$ học sinh khối $11$ ngủ ít nhất khoảng $5, 64$ giờ mỗi tối.

2Cách 2. Đổi biến để so sánh nhanh hai số trung bình

Định hướng. Cả năm trung điểm cách đều $1$ giờ nên đặt gốc chung tại $6, 5$ giờ: hai số trung bình chỉ còn khác nhau ở phần lệch so với gốc, so sánh được ngay mà không cần chia hết ra số thập phân.

u_{i} = x_{i} - 6, 5

nên

u_{1} = - 2

;

u_{2} = - 1

;

u_{3} = 0

;

u_{4} = 1

;

u_{5} = 2

Nam:

\sum m_{i} u_{i} = 6 \cdot (- 2) + 10 \cdot (- 1) + 13 \cdot 0 + 9 \cdot 1 + 7 \cdot 2 = - 12 - 10 + 9 + 14 = 1

\overset{x}{ˉ}_{1} = 6, 5 + \frac{1}{45} \approx 6, 52

Nữ:

\sum m_{i} u_{i} = 4 \cdot (- 2) + 8 \cdot (- 1) + 10 \cdot 0 + 11 \cdot 1 + 8 \cdot 2 = - 8 - 8 + 11 + 16 = 11

\overset{x}{ˉ}_{2} = 6, 5 + \frac{11}{41} \approx 6, 77

\overset{x}{ˉ}_{2} - \overset{x}{ˉ}_{1} = \frac{11}{41} - \frac{1}{45} = \frac{454}{1845} \approx 0, 25

Vậy học sinh nữ ngủ nhiều hơn học sinh nam trung bình khoảng $0, 25$ giờ, tức khoảng $15$ phút mỗi tối.

3Cách 3. Đọc dáng phân bố trên biểu đồ cột kép rồi chia tỉ lệ cho mốc

Định hướng. So sánh chiều cao từng cặp cột nam - nữ để thấy nữ dồn về phía ngủ nhiều hơn, sau đó tìm mốc $75%$ bằng phép chia tỉ lệ trực tiếp trên nhóm chứa nó.

Ở hai nhóm ngủ ít

[4; 5)

và

[5; 6)

: nam

6 + 10 = 16

trên

45

, tức

\frac{16}{45} \approx 35, 6%

cùng hai nhóm ấy: nữ

4 + 8 = 12

trên

41

, tức

\frac{12}{41} \approx 29, 3%

Ở hai nhóm ngủ nhiều

[7; 8)

và

[8; 9)

: nam

\frac{16}{45} \approx 35, 6%

còn nữ

\frac{19}{41} \approx 46, 3%

Muốn

75%

số học sinh nằm phía trên thì mốc là

Q_{1}

của cả khối
Cần

21, 5

học sinh; trước nhóm

[5; 6)

đã có

10

nên còn thiếu

11, 5

trên

18

Q_{1} = 5 + \frac{11 , 5}{18} \cdot 1 \approx 5, 64

Vậy biểu đồ cho thấy tỉ lệ nữ ngủ từ $7$ giờ trở lên cao hơn hẳn nam, phù hợp với việc $\overset{x}{ˉ}_{2} > \overset{x}{ˉ}_{1}$ ; và $75%$ học sinh khối $11$ ngủ ít nhất khoảng $5, 64$ giờ mỗi tối.

Nhận xét. Kiểm tra chéo cỡ mẫu: $6 + 10 + 13 + 9 + 7 = 45$ , $4 + 8 + 10 + 11 + 8 = 41$ và $45 + 41 = 86$ đúng bằng tổng dòng cả khối $10 + 18 + 23 + 20 + 15 = 86$ — không có học sinh nào bị đếm sót hay đếm trùng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu a) vì chỉ cần hai tổng nhỏ

1

và

11

là kết luận được ngay ai ngủ nhiều hơn, và dùng Cách 1 cho câu b) vì bảng gộp cho luôn dòng tần số tích luỹ cần thiết.

Đáp số. a)

\overset{x}{ˉ}_{1} = \frac{293 , 5}{45} \approx 6, 52

giờ (nam) và

\overset{x}{ˉ}_{2} = \frac{277 , 5}{41} \approx 6, 77

giờ (nữ); học sinh nữ ngủ nhiều hơn học sinh nam khoảng

0, 25

giờ, tức khoảng

15

phút. b)

Q_{1} = \frac{203}{36} \approx 5, 64

giờ, nghĩa là

75%

học sinh khối

11

ngủ ít nhất khoảng

5, 64

giờ mỗi tối.

Sai lầm thường gặp. Bẫy chính của bài là hiểu “

75%

ngủ ít nhất bao nhiêu giờ” thành tứ phân vị thứ ba. Phản ví dụ:

Q_{3} = 7 + \frac{64 , 5 - 51}{20} \cdot 1 = 7, 675

giờ, mà nếu nói “

75%

học sinh ngủ ít nhất

7, 675

giờ” thì tổng số học sinh ngủ từ

7, 675

giờ trở lên phải là

0, 75 \cdot 86 = 64, 5

bạn, trong khi thực tế chỉ có khoảng

86 - 64, 5 = 21, 5

bạn — mâu thuẫn ngay. Sai lầm thứ hai ở câu a) là cộng gộp nam và nữ rồi chia cho

2

\frac{6 , 52 + 6 , 77}{2} \approx 6, 64

giờ không phải thời gian ngủ trung bình của cả khối, vì hai nhóm có cỡ mẫu khác nhau; con số đúng của cả khối là

\frac{571}{86} \approx 6, 64

giờ và chỉ trùng gần đúng do hai cỡ mẫu

45

và

41

tình cờ xấp xỉ nhau.

🚀 Mở rộng. Hãy tính tiếp trung vị riêng cho nam và cho nữ rồi so sánh với hai số trung bình vừa tìm: nếu trung vị của nữ cũng lớn hơn trung vị của nam thì kết luận “nữ ngủ nhiều hơn” mới thực sự vững, vì lúc đó nó không phụ thuộc vào vài bạn ngủ quá nhiều hay quá ít.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 67

Mở bài này trong app ↗