🧠 Phân tích tư duyĐiểm thi là số nguyên nên bảng đang cho ở dạng rời rạc k1-k2; muốn dùng công thức tứ phân vị thì bắt buộc phải hiệu chỉnh về nửa khoảng [k1−0,5;k2+0,5) trước, nếu không các nhóm sẽ có khe hở và phép nội suy mất nghĩa. Cỡ mẫu n=60 chia hết cho 4 nên ba mốc 15, 30, 45 đều nguyên, tính rất gọn. Bẫy là chọn nhóm theo tần số lớn nhất 15 thay vì theo tần số tích luỹ.
1Cách 1. Hiệu chỉnh rồi thay vào công thức tứ phân vị
Định hướng. Đưa mọi nhóm về dạng nửa khoảng, lập dòng tần số tích luỹ rồi lần lượt thay ba mốc phần tư vào công thức.
| Nhóm | [−0,5;9,5) | [9,5;19,5) | [19,5;29,5) | [29,5;39,5) | [39,5;49,5) |
| Tần số | 1 | 2 | 4 | 6 | 15 |
| Tần số tích luỹ | 1 | 3 | 7 | 13 | 28 |
| Nhóm | [49,5;59,5) | [59,5;69,5) | [69,5;79,5) | [79,5;89,5) | [89,5;99,5) |
| Tần số | 12 | 10 | 6 | 3 | 1 |
| Tần số tích luỹ | 40 | 50 | 56 | 59 | 60 |
n=60 ; 4n=15 ; 2n=30 ; 43n=45
13<15≤28 nên Q1=39,5+1515−13⋅10=39,5+34=6245≈40,83
28<30≤40 nên Q2=49,5+1230−28⋅10=49,5+35=6307≈51,17
40<45≤50 nên Q3=59,5+1045−40⋅10=59,5+5=64,5
Vậy Q1≈40,83 điểm; Q2≈51,17 điểm; Q3=64,5 điểm.
2Cách 2. Chia tỉ lệ trực tiếp trên nhóm chứa từng tứ phân vị
Định hướng. Coi các thí sinh trong một nhóm rải đều trên đoạn 10 điểm của nhóm ấy, rồi tính xem phải đi bao nhiêu phần của đoạn thì gom đủ 25%, 50%, 75% số thí sinh.
Đủ 25% cần 15 thí sinh; trước nhóm [39,5;49,5) đã có 13 thí sinh
Còn thiếu 2 trên 15 nên phải đi 152 đoạn: Q1=39,5+152⋅10≈40,83
Đủ 50% cần 30 thí sinh; trước nhóm [49,5;59,5) đã có 28 thí sinh
Còn thiếu 2 trên 12 nên Q2=49,5+122⋅10≈51,17
Đủ 75% cần 45 thí sinh; trước nhóm [59,5;69,5) đã có 40 thí sinh
Còn thiếu 5 trên 10 nên Q3=59,5+105⋅10=64,5
Vậy có khoảng 15 thí sinh dưới 40,83 điểm, khoảng 30 thí sinh dưới 51,17 điểm và khoảng 45 thí sinh dưới 64,5 điểm.
3Cách 3. Đọc trên đồ thị tần số tích luỹ
Định hướng. Vẽ đường gấp khúc qua các điểm tần số tích luỹ rồi kẻ ba đường ngang ở mức 15, 30, 45; ba hoành độ giao điểm cho ngay ba tứ phân vị, đúng như cách dùng phần mềm nêu ở mục Em có biết trang 68.
Các điểm: (−0,5;0) ; (9,5;1) ; (19,5;3) ; (29,5;7) ; (39,5;13) ; (49,5;28) ; (59,5;40) ; (69,5;50) ; (79,5;56) ; (89,5;59) ; (99,5;60)
y=15 cắt đoạn nối (39,5;13) và (49,5;28) tại x=39,5+1510(15−13)≈40,83
y=30 cắt đoạn nối (49,5;28) và (59,5;40) tại x=49,5+1210(30−28)≈51,17
y=45 cắt đoạn nối (59,5;40) và (69,5;50) tại x=59,5+1010(45−40)=64,5
Vậy ba tứ phân vị đọc trên đồ thị là Q1≈40,83; Q2≈51,17 và Q3=64,5 điểm: một phần tư số thí sinh được dưới 40,83 điểm, một nửa số thí sinh được dưới 51,17 điểm và chỉ một phần tư số thí sinh vượt 64,5 điểm.
Nhận xét. Khoảng tứ phân vị Q3−Q1=64,5−6245≈23,67 điểm cho biết nửa giữa số thí sinh chụm trong một dải chưa tới 24 điểm, trong khi toàn bộ thang điểm rộng 100 — đề thi phân loại khá tập trung ở vùng trung bình.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: sau khi hiệu chỉnh, một bảng tần số tích luỹ duy nhất phục vụ cả ba tứ phân vị, chỉ đổi mốc 15, 30, 45 là xong; Cách 3 chỉ nên dùng khi đề yêu cầu vẽ đồ thị.
Đáp số. a) Các nhóm sau hiệu chỉnh: [−0,5;9,5), [9,5;19,5), [19,5;29,5), [29,5;39,5), [39,5;49,5), [49,5;59,5), [59,5;69,5), [69,5;79,5), [79,5;89,5), [89,5;99,5) với tần số giữ nguyên. b) Q1=6245≈40,83 điểm; Q2=6307≈51,17 điểm; Q3=64,5 điểm.
Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là bỏ qua bước hiệu chỉnh, dùng thẳng nhóm “40 - 49” rồi lấy ap+1−ap=49−40=9: khi đó Q1=40+152⋅9=41,2 điểm, sai vì giữa hai nhóm còn hở đoạn từ 49 đến 50 nên tổng độ dài các nhóm không phủ kín thang điểm. Sai lầm thứ hai là chọn nhóm chứa Q3 bằng nhóm có tần số lớn nhất 15; kiểm lại bằng tỉ số nội suy 1545−13≈2,13>1 là biết ngay điểm cần tìm đã vượt ra ngoài nhóm.
🚀 Mở rộng. Trường muốn chọn 25% thí sinh điểm cao nhất vào lớp chuyên; ngưỡng cần lấy chính là Q3=64,5 điểm — hãy tính tiếp ngưỡng để chọn 10% thí sinh cao nhất, tức phân vị thứ 90, bằng đúng kĩ thuật nội suy trên.
