Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương I

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 14 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · 1.24★★Trang 40— Nhận biết hai góc lượng giác có cùng điểm biểu diễn

1.24 (trang 40). Biểu diễn các góc lượng giác

α = - \frac{5 π}{6}

β = \frac{π}{3}

γ = \frac{25 π}{3}

δ = \frac{17 π}{6}

trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?
A.

β

và

γ

.
B.

α

β

γ

.
C.

β

γ

δ

.
D.

α

và

β

Kiến thức cần nhớ

Hai góc lượng giác có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác khi và chỉ khi chúng hơn kém nhau một bội nguyên của $2 π$ .
Đưa một góc về dạng $α_{0} + k 2 π$ với $α_{0} \in [0; 2 π)$ để dễ so sánh.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn góc lượng giác rồi hỏi góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau — dấu hiệu của dạng “xét đồng dư theo

2 π

”, vì hai góc trùng điểm biểu diễn khi và chỉ khi hiệu của chúng là bội nguyên của

2 π

. Cả bốn góc đều có mẫu là

3

hoặc

6

nên quy chung về đơn vị

\frac{π}{6}

sẽ biến bài toán thành phép chia lấy dư cho

12

, nhanh và không sai. Bẫy là thấy

γ = \frac{25 π}{3}

rất lớn rồi ngại tính, hoặc trừ nhầm chỉ một lần

2 π

trong khi phải trừ tới bốn lần.

1Cách 1. Quy mỗi góc về đại diện trong nửa khoảng

[0; 2 π)

Định hướng. Cộng hoặc trừ bội nguyên của $2 π$ để đưa cả bốn góc về cùng nửa khoảng $[0; 2 π)$ rồi so sánh trực tiếp.

γ = \frac{25 π}{3} = \frac{π}{3} + 4 \cdot 2 π

δ = \frac{17 π}{6} = \frac{5 π}{6} + 2 π

α = - \frac{5 π}{6} = \frac{7 π}{6} - 2 π

đại diện trong

[0; 2 π)

α \to \frac{7 π}{6}

;

β \to \frac{π}{3}

;

γ \to \frac{π}{3}

;

δ \to \frac{5 π}{6}

β

và

γ

có cùng đại diện

\frac{π}{3}

, ba đại diện còn lại đôi một khác nhau

Vậy chỉ có $β$ và $γ$ có điểm biểu diễn trùng nhau. Chọn A.

2Cách 2. Loại trừ bằng cách xét hiệu từng cặp góc

Định hướng. Hai góc có cùng điểm biểu diễn khi và chỉ khi hiệu của chúng là bội nguyên của $2 π$ ; xét hiệu từng cặp để loại các phương án sai.

γ - β = \frac{25 π}{3} - \frac{π}{3} = 8 π = 4 \cdot 2 π

là bội của

2 π

δ - β = \frac{17 π}{6} - \frac{π}{3} = \frac{15 π}{6} = \frac{5 π}{2}

không là bội của

2 π

α - β = - \frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} = - \frac{7 π}{6}

không là bội của

2 π

α - δ = - \frac{5 π}{6} - \frac{17 π}{6} = - \frac{11 π}{3}

không là bội của

2 π

Vậy chỉ cặp $β$ , $γ$ thoả điều kiện trùng điểm biểu diễn; các phương án B, C, D đều sai. Chọn A.

Nhận xét. Xét hiệu từng cặp là cách loại trừ nhanh khi đề đã cho sẵn bốn phương án, khỏi cần quy mọi góc về $[0; 2 π)$ như cách 1.

3Cách 3. Đếm số cung

\frac{π}{6}

trên đường tròn lượng giác

Định hướng. Chia đường tròn lượng giác thành $12$ cung bằng nhau, mỗi cung $\frac{π}{6}$ . Khi đó mỗi góc ứng với một số nguyên đếm cung, và hai góc trùng điểm biểu diễn khi hai số đó cùng số dư trong phép chia cho $12$ .

α = - \frac{5 π}{6} = - 5 \cdot \frac{π}{6}

ứng với số

- 5

β = \frac{π}{3} = 2 \cdot \frac{π}{6}

ứng với số

2

γ = \frac{25 π}{3} = 50 \cdot \frac{π}{6}

ứng với số

50

δ = \frac{17 π}{6} = 17 \cdot \frac{π}{6}

ứng với số

17

- 5 = - 12 + 7

nên

α

ở vị trí cung số

7

2

nên

β

ở vị trí cung số

2

50 = 4 \cdot 12 + 2

nên

γ

ở vị trí cung số

2

17 = 12 + 5

nên

δ

ở vị trí cung số

5

chỉ có

β

và

γ

cùng ở cung số

2

Vậy chỉ hai góc $β$ và $γ$ có điểm biểu diễn trùng nhau. Chọn A.

Nhận xét. Quy về đếm cung biến bài lượng giác thành bài chia lấy dư cho $12$ — chỉ cần cộng trừ số nguyên nên hầu như không thể tính nhầm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: đổi cả bốn góc sang số nguyên lần

\frac{π}{6}

rồi lấy dư cho

12

, mỗi góc một dòng và không phải làm việc với phân số của

π

như Cách 1.

Đáp số. Chọn A.

Sai lầm thường gặp. Rút gọn nhầm

\frac{25 π}{3}

thành

8 π

(bỏ luôn phần dư

\frac{π}{3}

), tưởng

γ

trùng gốc toạ độ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hai góc

\frac{mπ}{6}

và

\frac{nπ}{6}

trùng điểm biểu diễn khi và chỉ khi

m - n

chia hết cho

12

— thử dùng nhận xét này để tìm tất cả các góc dạng

\frac{k π}{6}

với

0 \leq k \leq 30

trùng điểm biểu diễn với

\frac{π}{3}

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 40

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.25★Trang 40— Nhận biết công thức góc liên quan đặc biệt (bù nhau, hơn kém $\pi$)

1.25 (trang 40). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A.

sin (π - α) = sin α

.
B.

cos (π - α) = cos α

.
C.

sin (π + α) = - sin α

.
D.

cos (π + α) = - cos α

Kiến thức cần nhớ

Hai góc bù nhau ( $π - α$ ): sin bằng nhau, côsin đối nhau.
Hai góc hơn kém $π$ : sin đối nhau, côsin đối nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án đều là công thức góc liên kết dạng bù nhau và hơn kém

π

— dấu hiệu bài kiểm tra việc nhớ chính xác dấu chứ không phải kĩ thuật tính. Đường nhanh nhất là hình dung vị trí của

π - α

và

π + α

trên đường tròn lượng giác: phép đối xứng nào giữ nguyên tung độ, phép nào đổi dấu hoành độ. Bẫy là học vẹt câu “bù nhau thì sin bằng nhau, côsin bằng nhau” — vế sau sai, côsin của hai góc bù nhau đối nhau.

1Cách 1. Kiểm tra từng công thức bằng công thức cộng

Định hướng. Khai triển từng vế trái bằng công thức cộng với $cos π = - 1$ , $sin π = 0$ rồi so sánh với vế phải đã cho.

cos (π - α) = cos π cos α + sin π sin α = - cos α

sin (π - α) = sin π cos α - cos π sin α = sin α

sin (π + α) = sin π cos α + cos π sin α = - sin α

cos (π + α) = cos π cos α - sin π sin α = - cos α

Vậy $cos (π - α) = - cos α$ chứ không phải $cos α$ , khẳng định B sai. Chọn B.

2Cách 2. Thử giá trị đặc biệt

α = 0

Định hướng. Thay một giá trị cụ thể của $α$ vào cả bốn khẳng định; khẳng định nào cho hai vế khác nhau là khẳng định sai.

α = 0

cos (π - 0) = cos π = - 1

cos α = cos 0 = 1

- 1 \neq = 1

Vậy với $α = 0$ hai vế của B khác nhau nên B sai. Chọn B.

Nhận xét. Với $α = 0$ , ba khẳng định còn lại vẫn đúng: $sin π = 0 = sin 0$ , $sin π = 0 = - sin 0$ , $cos π = - 1 = - cos 0$ ; chỉ B bị vi phạm.

3Cách 3. Đọc dấu trực tiếp trên đường tròn lượng giác

Định hướng. Trên đường tròn lượng giác, hoành độ của điểm biểu diễn là côsin, tung độ là sin. Điểm ứng với $π - α$ đối xứng với điểm ứng với $α$ qua trục tung, còn điểm ứng với $π + α$ đối xứng qua gốc toạ độ; từ đó đọc ngay dấu của từng công thức.

đối xứng qua trục tung: hoành độ đổi dấu, tung độ giữ nguyên

sin (π - α) = sin α

(A đúng)

cos (π - α) = - cos α

(B sai vì đề ghi

cos α

)

đối xứng qua gốc toạ độ: cả hoành độ và tung độ đều đổi dấu

sin (π + α) = - sin α

(C đúng)

cos (π + α) = - cos α

(D đúng)

Vậy khẳng định sai là $cos (π - α) = cos α$ . Chọn B.

Nhận xét. Nhớ theo hình: qua trục tung thì “hoành độ đổi dấu”, qua gốc toạ độ thì “đổi cả hai” — chỉ hai câu này đã thay được cả bảng công thức góc liên kết.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhìn đường tròn lượng giác cho ngay dấu của cả bốn phương án trong vài giây, không phải khai triển công thức cộng và cũng không lo nhớ nhầm bảng.

Đáp số. Chọn B.

Sai lầm thường gặp. Nhớ nhầm rằng hai góc bù nhau cũng có côsin bằng nhau giống như sin, trong khi côsin của hai góc bù nhau thực ra là hai số đối nhau.

🚀 Mở rộng. Cũng bằng hình ảnh đối xứng đó, hãy đọc ra dấu của

sin (\frac{π}{2} + α)

cos (\frac{π}{2} + α)

và giải thích vì sao ở đây sin lại đổi thành côsin.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 40

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.26★Trang 40— Nhận biết công thức cộng

1.26 (trang 40). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A.

cos (a - b) = cos a cos b - sin a sin b

.
B.

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b

.
C.

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

.
D.

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

Kiến thức cần nhớ

$cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ .
$cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ .
$sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án là bốn công thức cộng, chỉ khác nhau ở dấu — dấu hiệu bài kiểm tra trí nhớ, nên cần một mẹo suy lại thay vì học thuộc cả bốn. Chỉ cần nhớ chắc hai công thức gốc cho

a + b

, rồi thay

b

bởi

- b

và dùng tính chẵn lẻ của sin, côsin là suy ra hai công thức cho

a - b

. Bẫy là nhớ máy móc “côsin thì trái dấu” mà quên rằng quy tắc đó chỉ đúng cho

cos (a + b)

; với

cos (a - b)

dấu phải là dấu cộng.

1Cách 1. Đối chiếu từng phương án với công thức cộng chuẩn

Định hướng. Viết đúng bốn công thức cộng rồi so từng dấu với các phương án đã cho.

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

(dấu cộng), khác với A viết dấu trừ

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b

đúng như B

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

đúng như C

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

đúng như D

Vậy A sai vì đổi nhầm dấu cộng thành dấu trừ. Chọn A.

2Cách 2. Thử giá trị đặc biệt

a = b = \frac{π}{2}

Định hướng. Chọn $a = b$ để vế trái luôn bằng $cos 0 = 1$ , từ đó phát hiện phương án bị đổi dấu.

a = b = \frac{π}{2}

cos (a - b) = cos 0 = 1

vế phải của A

= cos \frac{π}{2} cos \frac{π}{2} - sin \frac{π}{2} sin \frac{π}{2} = 0 - 1 = - 1

1 \neq = - 1

Vậy khẳng định A sai. Chọn A.

Nhận xét. Chọn $a = b$ khiến vế trái luôn là $cos 0 = 1$ hoặc $sin 0 = 0$ , giúp phát hiện ngay công thức bị đổi dấu mà không cần nhớ lại toàn bộ bảng công thức cộng.

3Cách 3. Suy công thức hiệu từ công thức tổng bằng tính chẵn lẻ

Định hướng. Chỉ giữ trong đầu hai công thức cho $a + b$ ; thay $b$ bởi $- b$ rồi dùng $cos (- b) = cos b$ , $sin (- b) = - sin b$ là tự sinh ra hai công thức cho $a - b$ , khỏi phải nhớ thêm.

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

thay

b

bởi

- b

cos (a - b) = cos a cos (- b) - sin a sin (- b)

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

phương án A ghi dấu trừ nên A sai

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

(D đúng)
thay

b

bởi

- b

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b

(B đúng)

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

(C đúng)

Vậy khẳng định sai là $cos (a - b) = cos a cos b - sin a sin b$ . Chọn A.

Nhận xét. Mẹo “thay $b$ bởi $- b$ ” giảm số công thức phải nhớ từ bốn xuống hai, và còn dùng lại được cho công thức tang.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chọn

a = b = \frac{π}{2}

thì vế trái của A bằng

cos 0 = 1

còn vế phải bằng

- 1

, phát hiện phương án sai chỉ trong một phép thay số, nhanh hơn việc dò cả bốn công thức.

Đáp số. Chọn A.

Sai lầm thường gặp. Nhớ lẫn công thức

cos (a - b)

với

cos (a + b)

, đổi dấu số hạng thứ hai cho nhau.

🚀 Mở rộng. Cũng bằng cách thay

b

bởi

- b

, hãy suy công thức

tan (a - b)

từ

tan (a + b) = \frac{tan a + tan b}{1 - tan a tan b}

và nêu điều kiện xác định của nó.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 40

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.27★★Trang 40— Rút gọn biểu thức lượng giác bằng công thức cộng ngược

1.27 (trang 40). Rút gọn biểu thức

M = cos (a + b) cos (a - b) - sin (a + b) sin (a - b)

, ta được
A.

M = sin 4 a

.
B.

M = 1 - 2 cos^{2} a

.
C.

M = 1 - 2 sin^{2} a

.
D.

M = cos 4 a

Kiến thức cần nhớ

$cos X cos Y - sin X sin Y = cos (X + Y)$ .
$cos 2 a = 1 - 2 sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có đúng khuôn

cos X cos Y - sin X sin Y

với

X = a + b

Y = a - b

— dấu hiệu để dùng công thức cộng theo chiều ngược, và điều đẹp là

X + Y = 2 a

nên biến

b

biến mất. Sau khi ra

cos 2 a

thì phải chọn đúng dạng nhân đôi mà đề liệt kê, ở đây là

1 - 2 sin^{2} a

. Bẫy là chọn nhầm B vì

1 - 2 cos^{2} a

trông rất giống; thực ra

1 - 2 cos^{2} a = - cos 2 a

, ngược dấu.

1Cách 1. Nhận dạng công thức cộng ngược với

X = a + b

Y = a - b

Định hướng. Biểu thức $M$ có đúng dạng $cos X cos Y - sin X sin Y$ , áp dụng ngay công thức cộng ngược $cos (X + Y)$ .

M = cos (a + b) cos (a - b) - sin (a + b) sin (a - b)

M = cos [(a + b) + (a - b)]

M = cos 2 a

cos 2 a = 1 - 2 sin^{2} a

Vậy $M = 1 - 2 sin^{2} a$ . Chọn C.

2Cách 2. Khai triển trực tiếp bằng công thức cộng rồi rút gọn

Định hướng. Khai triển từng nhân tử theo công thức cộng, nhân ra rồi dùng $sin^{2} + cos^{2} = 1$ để rút gọn về một biến.

cos (a + b) cos (a - b) = (cos a cos b - sin a sin b) (cos a cos b + sin a sin b) = cos^{2} a cos^{2} b - sin^{2} a sin^{2} b

sin (a + b) sin (a - b) = (sin a cos b + cos a sin b) (sin a cos b - cos a sin b) = sin^{2} a cos^{2} b - cos^{2} a sin^{2} b

M = cos^{2} a cos^{2} b - sin^{2} a sin^{2} b - sin^{2} a cos^{2} b + cos^{2} a sin^{2} b

M = cos^{2} a (cos^{2} b + sin^{2} b) - sin^{2} a (sin^{2} b + cos^{2} b)

M = cos^{2} a - sin^{2} a = 1 - 2 sin^{2} a

Vậy $M = 1 - 2 sin^{2} a$ . Chọn C.

Nhận xét. Cách 1 nhận ra ngay công thức cộng ngược nên nhanh gọn hơn nhiều so với khai triển toàn bộ như cách 2.

3Cách 3. Loại trừ bằng một giá trị đặc biệt của

a

và

b

Định hướng. Đề là câu trắc nghiệm và $M$ không phụ thuộc $b$ , nên chỉ cần chọn một cặp giá trị cụ thể rồi tính số: phương án nào cho kết quả khác là loại. Chọn $a = \frac{π}{6}$ , $b = 0$ để bốn phương án cho bốn số khác nhau.

a = \frac{π}{6}

b = 0

M = cos \frac{π}{6} cos \frac{π}{6} - sin \frac{π}{6} sin \frac{π}{6} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

sin 4 a = sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

(loại)
B:

1 - 2 cos^{2} a = 1 - 2 \cdot \frac{3}{4} = - \frac{1}{2}

(loại)
C:

1 - 2 sin^{2} a = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

(giữ lại)
D:

cos 4 a = cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

(loại)

Vậy chỉ phương án C cho đúng giá trị $\frac{1}{2}$ . Chọn C.

Nhận xét. Phép thử số chỉ LOẠI được phương án sai chứ chưa chứng minh phương án còn lại đúng; nó chỉ dùng được vì đề đã bảo đảm có đúng một phương án đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay khuôn công thức cộng ngược thì

M = cos 2 a

chỉ sau một dòng, rồi đối chiếu với dạng

1 - 2 sin^{2} a

; Cách 3 để dành khi quên mất công thức nhân đôi.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Nhầm vai trò của

X

Y

khi áp dụng công thức cộng ngược, tính nhầm ra

M = cos (2 b)

thay vì

cos (2 a)

🚀 Mở rộng. Cùng khuôn đó, hãy rút gọn

N = sin (a + b) cos (a - b) + cos (a + b) sin (a - b)

và cho biết kết quả phụ thuộc vào

a

hay

b

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 40

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.28★Trang 40— Nhận biết tính chất của hàm số côsin

1.28 (trang 40). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số

y = cos x

có tập xác định là

R

.
B. Hàm số

y = cos x

có tập giá trị là

[- 1; 1]

.
C. Hàm số

y = cos x

là hàm số lẻ.
D. Hàm số

y = cos x

tuần hoàn với chu kì

2 π

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = cos x$ xác định với mọi $x \in R$ , có tập giá trị $[- 1; 1]$ , tuần hoàn chu kì $2 π$ .
Hàm số $f$ là hàm chẵn nếu $f (- x) = f (x)$ với mọi $x$ ; là hàm lẻ nếu $f (- x) = - f (x)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án nêu bốn tính chất cơ bản của hàm côsin, ba đúng một sai — dấu hiệu bài kiểm tra việc phân biệt hàm chẵn với hàm lẻ. Hàm

y = cos x

có đồ thị đối xứng qua trục tung nên là hàm chẵn, còn

y = sin x

mới là hàm lẻ. Bẫy là nhớ lẫn hai hàm, hoặc thấy phương án D nói chu kì

2 π

rồi nghi ngờ, trong khi đó là tính chất đúng.

1Cách 1. Xét tính chẵn lẻ bằng định nghĩa

Định hướng. Kiểm tra trực tiếp hệ thức $cos (- x)$ so với $cos x$ và $- cos x$ theo định nghĩa hàm chẵn, hàm lẻ.

cos (- x) = cos x

với mọi

x \in R

theo định nghĩa,

cos (- x) = cos x

nghĩa là

y = cos x

là hàm số chẵn, không phải hàm số lẻ

Vậy khẳng định C sai vì $y = cos x$ là hàm chẵn. Chọn C.

2Cách 2. Thử giá trị đặc biệt

x = \frac{π}{3}

Định hướng. Nếu hàm lẻ thì $f (- x) = - f (x)$ phải đúng với mọi $x$ ; chỉ cần một giá trị làm hỏng đẳng thức này là đủ bác bỏ.

x = \frac{π}{3}

cos (- \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

- cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \neq = - \frac{1}{2}

Vậy $cos (- x) \neq = - cos x$ tại $x = \frac{π}{3}$ , hàm số $y = cos x$ không phải hàm số lẻ, khẳng định C sai. Chọn C.

Nhận xét. Chỉ cần một phản ví dụ là đủ bác bỏ tính lẻ của một hàm số trên toàn tập xác định.

3Cách 3. Nhìn trên đồ thị và trên đường tròn lượng giác

Định hướng. Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ; đối chiếu với dáng đồ thị $y = cos x$ là kết luận được ngay, mà không phải kiểm tra bằng đại số.

cos x

xác định với mọi

x

nên tập xác định là

R

(A đúng)
hoành độ điểm trên đường tròn lượng giác luôn nằm giữa

- 1

và

1

nên tập giá trị là

[- 1; 1]

(B đúng)
hai góc

x

và

- x

có điểm biểu diễn đối xứng qua trục hoành nên cùng hoành độ

cos (- x) = cos x

: đồ thị đối xứng qua trục tung, hàm số CHẴN (C sai)
quay thêm một vòng

2 π

thì điểm biểu diễn trở về chỗ cũ nên

cos (x + 2 π) = cos x

(D đúng)

Vậy khẳng định sai là “hàm số $y = cos x$ là hàm số lẻ”. Chọn C.

Nhận xét. Chỉ cần nhớ một hình: hai góc đối nhau nằm đối xứng qua trục hoành nên CÙNG hoành độ và ĐỐI tung độ — suy ra ngay côsin chẵn, sin lẻ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thay

x = \frac{π}{3}

thì

cos (- \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

khác

- cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}

, đủ bác bỏ phương án C trong một dòng.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Nhầm hàm côsin với hàm sin (hàm lẻ), trong khi côsin là hàm số chẵn.

🚀 Mở rộng. Hãy xét tính chẵn lẻ của các hàm

y = cos 2 x

y = x cos x

và

y = cos x + sin x

— trong ba hàm đó có hàm nào không chẵn cũng không lẻ hay không?

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 40

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.29★★Trang 40— Nhận biết hàm số tuần hoàn

1.29 (trang 40). Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?
A.

y = tan x + x

.
B.

y = x^{2} + 1

.
C.

y = cot x

.
D.

y = \frac{sin x}{x}

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $f$ tuần hoàn nếu tồn tại $T \neq = 0$ sao cho $f (x + T) = f (x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.
Hàm số $y = cot x$ tuần hoàn với chu kì $π$ .
Hàm có số hạng cộng thêm $x$ hoặc chia cho $x$ thường phá vỡ tính tuần hoàn.

🧠 Phân tích tư duy

Ba trong bốn phương án là hàm lượng giác bị “pha” thêm biến

x

ở ngoài (cộng thêm

x

, chia cho

x

) hoặc là đa thức — dấu hiệu cho biết chỉ một phương án giữ được tính lặp lại. Chìa khoá là định nghĩa: phải tồn tại

T \neq = 0

để

f (x + T) = f (x)

với MỌI

x

, nên chỉ cần lập hiệu

f (x + T) - f (x)

và xem nó có triệt tiêu được không. Bẫy là thấy phương án A có

tan x

tuần hoàn rồi kết luận cả tổng cũng tuần hoàn.

1Cách 1. Xét định nghĩa hàm tuần hoàn cho từng phương án

Định hướng. Kiểm tra trực tiếp xem có tồn tại $T \neq = 0$ để $f (x + T) = f (x)$ với mọi $x$ hay không.

cot (x + π) = cot x

với mọi

x

thuộc tập xác định nên

y = cot x

tuần hoàn chu kì

π

tan (x + T) + (x + T) = tan x + x

đòi hỏi

tan (x + T) - tan x = - T

với mọi

x

, vô lí vì vế trái không phải hằng số

\Rightarrow

A không tuần hoàn

(x + T)^{2} + 1 \neq = x^{2} + 1

với

T \neq = 0

và

x

bất kì

\Rightarrow

B không tuần hoàn

\frac{sin ( x + T )}{x + T} \neq = \frac{sin x}{x}

với

T \neq = 0

cố định vì mẫu số thay đổi theo

x

\Rightarrow

D không tuần hoàn

Vậy chỉ có $y = cot x$ là hàm tuần hoàn. Chọn C.

2Cách 2. Loại trừ bằng xu hướng của hàm số khi

x \to + \infty

Định hướng. Một hàm tuần hoàn phải lặp lại giá trị đều đặn kể cả khi $x \to + \infty$ ; xét xu hướng từng hàm để loại nhanh ba phương án sai.

x \to + \infty

thì

x^{2} + 1 \to + \infty

không lặp lại giá trị

\Rightarrow

loại B

x \to + \infty

thì số hạng

x

trong

tan x + x

tăng không giới hạn

\Rightarrow

loại A

x \to + \infty

thì

\frac{sin x}{x} \to 0

, biên độ dao động tắt dần chứ không lặp lại

\Rightarrow

loại D
hàm số

y = cot x

có

cot (x + π) = cot x

với mọi

x

trong tập xác định

Vậy chọn C.

Nhận xét. Cách loại trừ theo xu hướng ở vô cực nhanh hơn việc chứng minh trực tiếp từng hàm không thoả mãn định nghĩa.

3Cách 3. Lập hiệu

f (x + T) - f (x)

để bác bỏ ba phương án

Định hướng. Giả sử hàm tuần hoàn với chu kì $T \neq = 0$ rồi tính hiệu $f (x + T) - f (x)$ : nếu hiệu này buộc phải khác $0$ thì giả thiết sai, hàm không tuần hoàn.

f (x) = tan x + x

tan (x + T) = tan x

đòi hỏi

T = k π

f (x + T) - f (x) = tan (x + T) - tan x + T = T \neq = 0

(loại)

f (x) = x^{2} + 1

f (x + T) - f (x) = 2 T x + T^{2}

phụ thuộc

x

nên không thể bằng

0

với mọi

x

(loại)

f (x) = \frac{sin x}{x}

f (π) = 0

nhưng

f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{π}

và

f (\frac{5 π}{2}) = \frac{2}{5 π}

hai giá trị này khác nhau trong khi hai góc chỉ hơn kém

2 π

(loại)

f (x) = cot x

xác định khi

x \neq = k π

(

k \in Z

)

cot (x + π) = cot x

với mọi

x

thuộc tập xác định

Vậy chỉ hàm số $y = cot x$ là hàm tuần hoàn, với chu kì $π$ . Chọn C.

Nhận xét. Tổng của một hàm tuần hoàn với một hàm không hằng và không tuần hoàn thì không bao giờ tuần hoàn — nhận xét này loại thẳng phương án A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ cần một dòng cho phương án A (

f (x + T) - f (x) = T \neq = 0

) và một phản ví dụ số cho phương án D, còn B là đa thức nên loại ngay từ đầu.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng mọi hàm có chứa sin, cos, tan, cot đều tuần hoàn mà quên xét thành phần cộng thêm

x

hay chia cho

x

đã phá vỡ tính tuần hoàn.

🚀 Mở rộng. Hàm

y = tan x + cot x

có tuần hoàn không, và nếu có thì chu kì nhỏ nhất bằng bao nhiêu — hãy trả lời bằng cách rút gọn biểu thức đó về

\frac{2}{sin 2 x}

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 40

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.30★★★Trang 40— Đếm số giao điểm của hai đồ thị hàm số lượng giác trên một đoạn

1.30 (trang 40). Đồ thị của các hàm số

y = sin x

và

y = cos x

cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn

[- 2 π; \frac{5 π}{2}]

?
A. 5.
B. 6.
C. 4.
D. 7.

Kiến thức cần nhớ

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình $sin x = cos x$ .
$sin x = cos x \Leftrightarrow tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π$ , $k \in Z$ (khi $cos x \neq = 0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi số giao điểm của hai đồ thị trên một đoạn — dấu hiệu quy về đếm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

sin x = cos x

trên đoạn đó. Phương trình này tương đương

tan x = 1

nên có đúng một nghiệm trên mỗi chu kì dài

π

, khiến việc đếm trở thành đo độ dài đoạn theo đơn vị

π

. Bẫy là chia

sin x = cos x

cho

cos x

mà không nói

cos x \neq = 0

, và bẫy nữa là đếm sót nghiệm ở sát hai đầu mút của đoạn.

1Cách 1. Giải phương trình hoành độ giao điểm rồi chặn

k

Định hướng. Hoành độ giao điểm là nghiệm của $sin x = cos x$ ; giải phương trình này rồi chặn $k$ theo đoạn đã cho để đếm số nghiệm.

sin x = cos x

cos x = 0 \Rightarrow sin x = \pm 1 \neq = 0

nên

cos x \neq = 0

, chia hai vế cho

cos x

tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π

k \in Z

- 2 π \leq \frac{π}{4} + k π \leq \frac{5 π}{2}

- \frac{9}{4} \leq k \leq \frac{9}{4}

k \in {- 2; - 1; 0; 1; 2}

: có

5

giá trị nguyên

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại $5$ điểm có hoành độ thuộc đoạn đã cho. Chọn A.

2Cách 2. Liệt kê trực tiếp từng nghiệm rồi đối chiếu với đồ thị

Định hướng. Thay lần lượt các giá trị $k$ liền nhau vào công thức nghiệm, kiểm tra nghiệm nào còn nằm trong đoạn, đối chiếu với các giao điểm quan sát được trên đồ thị.

k = - 2

x = \frac{π}{4} - 2 π = - \frac{7 π}{4}

(nhận)

k = - 1

x = - \frac{3 π}{4}

(nhận)

k = 0

x = \frac{π}{4}

(nhận)

k = 1

x = \frac{5 π}{4}

(nhận)

k = 2

x = \frac{9 π}{4}

(nhận, vì

\frac{9 π}{4} < \frac{5 π}{2} = \frac{10 π}{4}

)

k = 3

x = \frac{13 π}{4} > \frac{5 π}{2}

(loại);

k = - 3

x = - \frac{11 π}{4} < - 2 π

(loại)

Vậy có đúng $5$ giá trị $x$ thoả mãn, khớp với $5$ giao điểm thấy được trên đồ thị. Chọn A.

Nhận xét. Trên đồ thị, hai đường sin và côsin cắt nhau cách đều một khoảng $π$ , có thể đếm trực quan rồi đối chiếu lại bằng tính toán.

3Cách 3. Đếm theo chu kì rồi kiểm tra hai đầu mút

Định hướng. Nghiệm của $tan x = 1$ lặp lại đúng một lần sau mỗi khoảng dài $π$ , nên số nghiệm trên một đoạn xấp xỉ bằng độ dài đoạn chia cho $π$ ; chỉ cần đếm mốc rồi kiểm tra hai đầu mút để chốt con số chính xác.

cos x = 0

thì

sin x = \pm 1 \neq = cos x

nên

cos x \neq = 0

sin x = cos x \Leftrightarrow tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π

k \in Z

độ dài đoạn:

\frac{5 π}{2} - (- 2 π) = \frac{9 π}{2} = 4, 5 π

mỗi khoảng dài

π

chứa đúng một nghiệm nên số nghiệm là

4

hoặc

5

nghiệm nhỏ nhất còn trong đoạn:

- 2 π \leq \frac{π}{4} + k π

cho

k \geq - 2, 25

nên

k = - 2

, tức

x = - \frac{7 π}{4}

nghiệm lớn nhất còn trong đoạn:

\frac{π}{4} + k π \leq \frac{5 π}{2}

cho

k \leq 2, 25

nên

k = 2

, tức

x = \frac{9 π}{4}

k

nhận các giá trị

- 2; - 1; 0; 1; 2

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại $5$ điểm có hoành độ thuộc đoạn đã cho. Chọn A.

Nhận xét. Ước lượng $4, 5$ chu kì cho biết đáp số chỉ có thể là $4$ hoặc $5$ , nên đã loại ngay hai phương án B và D trước khi tính chi tiết.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: ước lượng độ dài đoạn theo số chu kì

π

đã khoanh vùng đáp số còn hai lựa chọn, rồi chỉ cần chặn

k

một lần là chốt — nhanh hơn liệt kê từng nghiệm như Cách 2.

Đáp số. Chọn A — có

5

điểm.

Sai lầm thường gặp. Quên loại nghiệm ở đầu mút (như

k = 3

cho ra

x

vượt quá

\frac{5 π}{2}

) hoặc đổi chiều bất đẳng thức khi chia cho

π

, dẫn tới đếm thành

6

hoặc

4

🚀 Mở rộng. Cũng cách đếm đó, hãy tìm số nghiệm của phương trình

sin 2 x = cos 2 x

trên đoạn

[- 2 π; \frac{5 π}{2}]

và giải thích vì sao con số đó xấp xỉ gấp đôi.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 40

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.31★★Trang 40— Tìm tập xác định của hàm phân thức lượng giác

1.31 (trang 40). Tập xác định của hàm số

y = \frac{cos x}{sin x - 1}

là
A.

R ∖ {k 2 π ∣ k \in Z}

.
B.

R ∖ {\frac{π}{2} + k 2 π ∣ k \in Z}

.
C.

R ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in Z}

.
D.

R ∖ {k π ∣ k \in Z}

Kiến thức cần nhớ

Hàm phân thức $\frac{A}{B}$ xác định khi $B \neq = 0$ .
$sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π$ , $k \in Z$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm số cho dưới dạng phân thức nên điều kiện xác định chỉ là mẫu khác

0

— dấu hiệu quy về giải phương trình

sin x = 1

. Điểm mấu chốt là

sin x = 1

chỉ ứng với MỘT điểm trên đường tròn lượng giác nên họ nghiệm có chu kì

2 π

chứ không phải

π

. Bẫy là viết quen tay

\frac{π}{2} + k π

như khi giải

cos x = 0

, dẫn tới chọn nhầm phương án C.

1Cách 1. Đặt điều kiện mẫu số khác 0

Định hướng. Hàm phân thức xác định khi mẫu số khác $0$ ; giải phương trình $sin x = 1$ để tìm các điểm bị loại khỏi tập xác định.

hàm số xác định khi

sin x - 1 \neq = 0

sin x \neq = 1

x \neq = \frac{π}{2} + k 2 π

k \in Z

Vậy tập xác định là $D = R ∖ {\frac{π}{2} + k 2 π ∣ k \in Z}$ . Chọn B.

2Cách 2. Thử giá trị đặc biệt để loại các phương án

Định hướng. Thử $x = \frac{π}{2}$ (phải bị loại) và $x = - \frac{π}{2}$ (phải còn xác định) để phân biệt bốn phương án mà không cần giải lại từ đầu.

x = \frac{π}{2}

sin \frac{π}{2} - 1 = 0

nên hàm không xác định tại

x = \frac{π}{2}

\Rightarrow

loại A và D (hai tập này không chứa

\frac{π}{2}

)

x = - \frac{π}{2}

sin (- \frac{π}{2}) - 1 = - 1 - 1 = - 2 \neq = 0

nên hàm xác định tại

x = - \frac{π}{2}

\Rightarrow

loại C (vì

- \frac{π}{2} = \frac{π}{2} - π

thuộc tập bị loại của C)

Vậy chỉ còn phương án B thoả mãn cả hai phép thử. Chọn B.

Nhận xét. Hai phép thử với $\pm \frac{π}{2}$ đã đủ phân biệt cả bốn đáp án mà không cần giải lại phương trình từ đầu.

3Cách 3. Đọc nghiệm

sin x = 1

trên đường tròn lượng giác

Định hướng. Trên đường tròn lượng giác, $sin x$ là tung độ của điểm biểu diễn; tung độ đạt giá trị $1$ tại đúng một điểm là điểm cao nhất của đường tròn, nên các góc bị loại chỉ khác nhau bội nguyên của $2 π$ .

hàm số xác định khi

sin x - 1 \neq = 0

sin x = 1

khi điểm biểu diễn là điểm cao nhất của đường tròn lượng giác
điểm đó ứng với góc

\frac{π}{2}

và các góc hơn kém nó bội nguyên của

2 π

sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π

k \in Z

Vậy tập xác định của hàm số là $R ∖ {\frac{π}{2} + k 2 π ∣ k \in Z}$ . Chọn B.

Nhận xét. So sánh cho rõ: $cos x = 0$ ứng với HAI điểm đối xứng qua gốc toạ độ nên cho họ $\frac{π}{2} + k π$ , còn $sin x = 1$ chỉ ứng với MỘT điểm nên cho họ $\frac{π}{2} + k 2 π$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhìn đường tròn lượng giác thấy ngay chỉ có một điểm cho

sin x = 1

nên chu kì là

2 π

, tránh sạch bẫy viết nhầm thành

k π

— chính là bẫy mà ba phương án còn lại giăng ra.

Đáp số. Chọn B.

Sai lầm thường gặp. Nhầm chu kì

2 π

thành

π

, tưởng

sin x \neq = 1

ứng với họ nghiệm

\frac{π}{2} + k π

(đáp án C), trong khi

sin x = 1

chỉ xảy ra tại các điểm cách nhau

2 π

🚀 Mở rộng. Hãy tìm tập xác định của

y = \frac{cos x}{sin x + 1}

và của

y = \frac{cos x}{sin ^{2} x - 1}

, rồi giải thích vì sao hàm thứ hai bị loại nhiều điểm hơn hẳn.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 40

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.32★★★Trang 41— Tính giá trị lượng giác của góc $\alpha$ cộng, trừ một góc đặc biệt bằng công thức cộng

1.32 (trang 41). Cho góc

α

thoả mãn

\frac{π}{2} < α < π

cos α = - \frac{1}{3}

. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

sin (α + \frac{π}{6})

;
b)

cos (α + \frac{π}{6})

;
c)

sin (α - \frac{π}{3})

;
d)

cos (α - \frac{π}{6})

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ ; với $\frac{π}{2} < α < π$ thì $sin α > 0$ .
$sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β$ ; $cos (α \pm β) = cos α cos β \mp sin α sin β$ .
$sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ , $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ , $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ , $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

cos α

cùng khoảng chứa

α

rồi hỏi bốn biểu thức của

α

cộng trừ góc đặc biệt — dạng chuẩn của công thức cộng, việc bắt buộc đầu tiên là tìm

sin α

kèm đúng dấu. Vì

α

nằm trong góc phần tư thứ hai nên

sin α > 0

; bỏ qua điều kiện này thì cả bốn đáp số đều sai dấu. Bẫy thứ hai là bốn ý trông rời rạc nhưng thực ra chỉ cần tính một lần

sin (α + \frac{π}{6})

và

cos (α + \frac{π}{6})

là suy được hai ý còn lại.

1Cách 1. Tính

sin α

trước rồi áp dụng công thức cộng cho từng ý

Định hướng. Từ $cos α$ đã cho và dấu của $sin α$ trên khoảng $(\frac{π}{2}; π)$ , tính $sin α$ rồi thay trực tiếp vào công thức cộng cho từng biểu thức.

cos α = - \frac{1}{3} = - \frac{3}{3}

sin^{2} α = 1 - cos^{2} α = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

\frac{π}{2} < α < π \Rightarrow sin α > 0 \Rightarrow sin α = \frac{2}{3} = \frac{6}{3}

sin (α + \frac{π}{6}) = sin α cos \frac{π}{6} + cos α sin \frac{π}{6} = \frac{6}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{3}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 2 - 3}{6}

cos (α + \frac{π}{6}) = cos α cos \frac{π}{6} - sin α sin \frac{π}{6} = - \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{6}{3} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{3 + 6}{6}

sin (α - \frac{π}{3}) = sin α cos \frac{π}{3} - cos α sin \frac{π}{3} = \frac{6}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6 + 3}{6}

cos (α - \frac{π}{6}) = cos α cos \frac{π}{6} + sin α sin \frac{π}{6} = - \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{2} + \frac{6}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 - 3}{6}

Vậy $sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{3 2 - 3}{6}$ ; $cos (α + \frac{π}{6}) = - \frac{3 + 6}{6}$ ; $sin (α - \frac{π}{3}) = \frac{6 + 3}{6}$ ; $cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{6 - 3}{6}$ .

2Cách 2. Đưa về góc nhọn phụ

β = π - α

rồi tính

Định hướng. Vì $α$ là góc tù, đặt $β = π - α \in (0; \frac{π}{2})$ là góc nhọn có $sin β = sin α$ , $cos β = - cos α$ đều dương; quy các biểu thức về góc nhọn $β$ để hạn chế sai dấu.

β = π - α \in (0; \frac{π}{2})

α = π - β

cos β = - cos α = \frac{3}{3}

;

sin β = sin (π - α) = sin α = \frac{6}{3}

sin (α + \frac{π}{6}) = sin (π - β + \frac{π}{6}) = sin (β - \frac{π}{6}) = sin β cos \frac{π}{6} - cos β sin \frac{π}{6} = \frac{3 2 - 3}{6}

cos (α + \frac{π}{6}) = - cos (β - \frac{π}{6}) = - (cos β cos \frac{π}{6} + sin β sin \frac{π}{6}) = - \frac{3 + 6}{6}

sin (α - \frac{π}{3}) = sin (β + \frac{π}{3}) = sin β cos \frac{π}{3} + cos β sin \frac{π}{3} = \frac{6 + 3}{6}

cos (α - \frac{π}{6}) = - cos (β + \frac{π}{6}) = - (cos β cos \frac{π}{6} - sin β sin \frac{π}{6}) = \frac{6 - 3}{6}

Vậy bốn kết quả trùng khớp với cách 1.

Nhận xét. Dùng góc nhọn phụ $β = π - α$ giúp $sin β$ , $cos β$ đều mang dấu dương, giảm khả năng lẫn dấu so với việc tính trực tiếp trên góc tù $α$ .

3Cách 3. Đặt

t = α + \frac{π}{6}

rồi quy cả bốn biểu thức về

sin t

cos t

Định hướng. Đặt $t = α + \frac{π}{6}$ ; hai ý đầu chính là $sin t$ và $cos t$ , còn $α - \frac{π}{3} = t - \frac{π}{2}$ và $α - \frac{π}{6} = t - \frac{π}{3}$ nên hai ý sau suy ra từ hai ý đầu, chỉ tốn một lần dùng công thức cộng.

cos α = - \frac{3}{3}

\frac{π}{2} < α < π

nên

sin α > 0

sin α = 1 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3}

sin t = sin α cos \frac{π}{6} + cos α sin \frac{π}{6} = \frac{6}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{3}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 2 - 3}{6}

cos t = cos α cos \frac{π}{6} - sin α sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2} - \frac{6}{6} = - \frac{3 + 6}{6}

α - \frac{π}{3} = t - \frac{π}{2}

sin (t - \frac{π}{2}) = - cos t = \frac{3 + 6}{6}

α - \frac{π}{6} = t - \frac{π}{3}

cos (t - \frac{π}{3}) = cos t cos \frac{π}{3} + sin t sin \frac{π}{3}

= - \frac{3 + 6}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3 2 - 3}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{- 3 - 6 + 3 6 - 3}{12} = \frac{2 6 - 6}{12} = \frac{6 - 3}{6}

Vậy a) $\frac{3 2 - 3}{6}$ ; b) $- \frac{3 + 6}{6}$ ; c) $\frac{6 + 3}{6}$ ; d) $\frac{6 - 3}{6}$ .

Nhận xét. Quan hệ $sin (t - \frac{π}{2}) = - cos t$ cho câu c) miễn phí từ câu b) — nhận ra các góc trong đề chênh nhau đúng $\frac{π}{2}$ là mẹo tiết kiệm được một phần ba khối lượng tính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: đặt

t = α + \frac{π}{6}

thì chỉ phải dùng công thức cộng ba lần thay vì bốn, và câu c) lấy thẳng từ câu b) nên không có chỗ nào để sai dấu lần nữa.

Đáp số. a)

\frac{3 2 - 3}{6}

; b)

- \frac{3 + 6}{6}

; c)

\frac{6 + 3}{6}

; d)

\frac{6 - 3}{6}

Sai lầm thường gặp. Quên xét dấu của

sin α

theo điều kiện

\frac{π}{2} < α < π

nên lấy

sin α < 0

, khiến toàn bộ bốn kết quả sai dấu.

🚀 Mở rộng. Vẫn với góc

α

đó, hãy tính

sin 2 α

cos 2 α

và

tan (α + \frac{π}{4})

— chú ý kiểm tra dấu của kết quả bằng vị trí của

2 α

trên đường tròn lượng giác.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.33★★Trang 41— Chứng minh đẳng thức lượng giác bằng công thức nhân đôi

1.33 (trang 41). Cho góc bất kì

α

. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

(sin α + cos α)^{2} = 1 + sin 2 α

;
b)

cos^{4} α - sin^{4} α = cos 2 α

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
$sin 2 α = 2 sin α cos α$ ; $cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai đẳng thức đều có một vế là bình phương hay luỹ thừa bậc bốn của sin, côsin, vế kia chứa góc

2 α

— dấu hiệu của công thức nhân đôi kết hợp hằng đẳng thức. Với câu a) chỉ cần khai triển bình phương của tổng rồi thay

sin^{2} + cos^{2} = 1

; với câu b) nhận ra hiệu hai bình phương là con đường ngắn nhất. Bẫy là biến đổi đồng thời cả hai vế bằng các phép biến đổi tương đương mà không nói rõ, khiến bài chứng minh mất tính chặt chẽ.

1Cách 1. Biến đổi vế trái về vế phải

Định hướng. Khai triển vế trái bằng hằng đẳng thức hoặc hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, rồi dùng $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ và công thức nhân đôi để đưa về vế phải.

(sin α + cos α)^{2} = sin^{2} α + 2 sin α cos α + cos^{2} α

= (sin^{2} α + cos^{2} α) + 2 sin α cos α

= 1 + sin 2 α

cos^{4} α - sin^{4} α = (cos^{2} α - sin^{2} α) (cos^{2} α + sin^{2} α)

= (cos^{2} α - sin^{2} α) \cdot 1

= cos 2 α

Vậy cả hai đẳng thức đã cho đều đúng với mọi góc $α$ .

2Cách 2. Quy về cùng một ẩn phụ

t = sin^{2} α

Định hướng. Thay $sin 2 α = 2 sin α cos α$ , $cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α$ rồi đặt $t = sin^{2} α$ để đưa cả hai vế của mỗi đẳng thức về cùng một biểu thức theo $t$ .

1 + sin 2 α = (sin^{2} α + cos^{2} α) + 2 sin α cos α = sin^{2} α + 2 sin α cos α + cos^{2} α = (sin α + cos α)^{2}

b) đặt

t = sin^{2} α

thì

cos^{2} α = 1 - t

cos^{4} α - sin^{4} α = (1 - t)^{2} - t^{2} = 1 - 2 t

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = (1 - t) - t = 1 - 2 t

hai vế đều bằng

1 - 2 t

Vậy cả hai đẳng thức đều được chứng minh đúng với mọi $α$ .

Nhận xét. Cách 2 quy mọi biểu thức về cùng ẩn phụ $t = sin^{2} α$ , cho thấy đẳng thức đúng với mọi $t \in [0; 1]$ mà không cần khai triển hằng đẳng thức như cách 1.

3Cách 3. Biến đổi vế phải về vế trái

Định hướng. Đi ngược lại: xuất phát từ vế phải, thay $1$ bởi $sin^{2} α + cos^{2} α$ và thay công thức nhân đôi, rồi gom lại thành đúng vế trái. Hướng này khiến mỗi câu chỉ còn hai dòng.

1 + sin 2 α = (sin^{2} α + cos^{2} α) + 2 sin α cos α

= sin^{2} α + 2 sin α cos α + cos^{2} α

= (sin α + cos α)^{2}

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α

= (cos^{2} α - sin^{2} α) \cdot 1

= (cos^{2} α - sin^{2} α) (cos^{2} α + sin^{2} α)

= cos^{4} α - sin^{4} α

Vậy cả hai đẳng thức đều đúng với mọi góc $α$ .

Nhận xét. Mẹo nhân thêm $1 = sin^{2} α + cos^{2} α$ dùng lại được rất nhiều: nó biến một biểu thức bậc hai thành bậc bốn để khớp với vế cần tới.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho câu b): nhân thêm

sin^{2} α + cos^{2} α

vào

cos 2 α

là ra ngay vế trái trong hai dòng; câu a) thì Cách 1 khai triển bình phương của tổng vẫn tự nhiên và ngắn nhất.

Đáp số. Cả hai đẳng thức đã được chứng minh đúng với mọi góc

α

Sai lầm thường gặp. Ở câu b áp dụng hằng đẳng thức

a^{4} - b^{4} = (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2})

nhưng quên chỉ rõ nhân tử

cos^{2} α + sin^{2} α

bằng

1

, khiến bước rút gọn thiếu chặt chẽ.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, hãy chứng minh

cos^{6} α + sin^{6} α = 1 - \frac{3}{4} sin^{2} 2 α

bằng cách viết

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

với

a = cos^{2} α

b = sin^{2} α

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 1.34★★Trang 41— Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác

1.34 (trang 41). Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
a)

y = 2 cos (2 x - \frac{π}{3}) - 1

;
b)

y = sin x + cos x

Kiến thức cần nhớ

$- 1 \leq cos u \leq 1$ và $- 1 \leq sin u \leq 1$ với mọi $u$ .
$sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là hàm dạng

A cos u + B

với

u

nhận mọi giá trị thực — dấu hiệu dùng thẳng miền giá trị của côsin. Câu b) là tổng của sin và côsin cùng góc, dấu hiệu kinh điển để gộp về một hàm sin duy nhất có biên độ

2

. Bẫy ở câu b) là cộng hai miền giá trị

[- 1; 1]

với nhau ra

[- 2; 2]

: kết quả đó sai vì

sin x

và

cos x

không thể cùng đạt giá trị

1

tại một điểm.

1Cách 1. Đánh giá trực tiếp từ miền giá trị của sin, côsin

Định hướng. Dùng $- 1 \leq cos u \leq 1$ , $- 1 \leq sin u \leq 1$ rồi biến đổi bất đẳng thức theo từng phép toán để suy ra miền giá trị của $y$ .

- 1 \leq cos (2 x - \frac{π}{3}) \leq 1

với mọi

x

- 2 \leq 2 cos (2 x - \frac{π}{3}) \leq 2

- 3 \leq 2 cos (2 x - \frac{π}{3}) - 1 \leq 1

y = sin x + cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{4} + cos x sin \frac{π}{4}) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

- 1 \leq sin (x + \frac{π}{4}) \leq 1 \Rightarrow - 2 \leq y \leq 2

Vậy a) tập giá trị của hàm số là $[- 3; 1]$ ; b) tập giá trị của hàm số là $[- 2; 2]$ .

2Cách 2. Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Định hướng. Một số $y_{0}$ thuộc tập giá trị khi và chỉ khi phương trình (ẩn $x$ ) $y (x) = y_{0}$ có nghiệm; đưa điều kiện có nghiệm về một bất phương trình cho $y_{0}$ .

y_{0}

thuộc tập giá trị

\Leftrightarrow

cos (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{y _{0} + 1}{2}

có nghiệm

x

\Leftrightarrow - 1 \leq \frac{y _{0} + 1}{2} \leq 1 \Leftrightarrow - 3 \leq y_{0} \leq 1

y_{0}

thuộc tập giá trị

\Leftrightarrow

2 sin (x + \frac{π}{4}) = y_{0}

có nghiệm

x

\Leftrightarrow - 1 \leq \frac{y _{0}}{2} \leq 1 \Leftrightarrow - 2 \leq y_{0} \leq 2

Vậy tập giá trị lần lượt là $[- 3; 1]$ và $[- 2; 2]$ , khớp với cách 1.

Nhận xét. Cách dùng điều kiện có nghiệm áp dụng được cho cả những hàm phức tạp hơn, khi việc đánh giá trực tiếp từng bước khó thực hiện.

3Cách 3. Dùng biên độ dao động và bất đẳng thức Bunhiacopxki

Định hướng. Câu a) đọc thẳng theo mẫu $y = A cos u + B$ có tập giá trị $[B - ∣ A ∣; B + ∣ A ∣]$ . Câu b) chặn bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki rồi chỉ ra một giá trị của $x$ làm dấu bằng xảy ra, để khẳng định cận tìm được là đạt tới.

y = 2 cos (2 x - \frac{π}{3}) - 1

có

A = 2

B = - 1

B - ∣ A ∣ = - 1 - 2 = - 3

B + ∣ A ∣ = - 1 + 2 = 1

2 x - \frac{π}{3}

nhận mọi giá trị thực nên hai cận đều đạt được

(sin x + cos x)^{2} \leq (1^{2} + 1^{2}) (sin^{2} x + cos^{2} x) = 2

- 2 \leq sin x + cos x \leq 2

x = \frac{π}{4}

cho

y = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 2

x = - \frac{3 π}{4}

cho

y = - 2

hàm số liên tục nên nhận mọi giá trị giữa hai cận đó

Vậy a) tập giá trị là $[- 3; 1]$ ; b) tập giá trị là $[- 2; 2]$ .

Nhận xét. Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ngay cận $a^{2} + b^{2}$ của biểu thức $a sin x + b cos x$ mà không cần nhớ công thức gộp góc phụ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu a) đánh giá ba dòng theo

- 1 \leq cos u \leq 1

, câu b) gộp về

2 sin (x + \frac{π}{4})

rồi đọc miền giá trị — đây cũng là kĩ thuật dùng lại được cho mọi biểu thức

a sin x + b cos x

Đáp số. a)

[- 3; 1]

. b)

[- 2; 2]

Sai lầm thường gặp. Ở câu b cộng trực tiếp hai tập giá trị

[- 1; 1]

của

sin x

và

cos x

thành

[- 2; 2]

, quên rằng hai hàm không đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tại cùng một

x

nên cận đúng phải hẹp hơn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hàm

y = a sin x + b cos x

có tập giá trị

[- a^{2} + b^{2}; a^{2} + b^{2}]

— hãy dùng nó tìm tập giá trị của

y = 3 sin x - 4 cos x

và của

y = sin x + 3 cos x

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 1.35★★★Trang 41— Giải phương trình lượng giác đưa về phương trình cơ bản

1.35 (trang 41). Giải các phương trình sau:
a)

cos (3 x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

;
b)

2 sin^{2} x - 1 + cos 3 x = 0

;
c)

tan (2 x + \frac{π}{5}) = tan (x - \frac{π}{6})

Kiến thức cần nhớ

$cos u = cos v \Leftrightarrow u = \pm v + k 2 π$ , $k \in Z$ .
$2 sin^{2} x - 1 = - cos 2 x$ .
$tan u = tan v \Leftrightarrow u = v + k π$ , $k \in Z$ (với điều kiện xác định của tang).

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu tương ứng ba tình huống khác nhau: câu a) chỉ cần nhận ra

- \frac{2}{2}

là côsin của góc đặc biệt, câu b) phải hạ bậc để đưa hai hàm về cùng loại, câu c) là dạng hai tang bằng nhau nên bắt buộc đặt điều kiện xác định. Nguyên tắc chung là quy mọi thứ về một phương trình lượng giác cơ bản trước khi viết họ nghiệm. Bẫy nặng nhất ở câu b): giải xong thu được hai họ nghiệm nhưng một họ đã nằm gọn trong họ kia, nếu không gộp lại thì đáp số bị thừa.

1Cách 1. Đưa mỗi phương trình về đúng dạng cơ bản đã học

Định hướng. Nhận ra vế phải là giá trị lượng giác của một góc đặc biệt hoặc dùng công thức hạ bậc, rồi áp dụng trực tiếp công thức nghiệm côsin, tang cơ bản.

- \frac{2}{2} = cos \frac{3 π}{4}

cos (3 x - \frac{π}{4}) = cos \frac{3 π}{4}

3 x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + k 2 π

hoặc

3 x - \frac{π}{4} = - \frac{3 π}{4} + k 2 π

x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}

hoặc

x = - \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3}

k \in Z

2 sin^{2} x - 1 = - cos 2 x

2 sin^{2} x - 1 + cos 3 x = 0 \Leftrightarrow cos 3 x = cos 2 x

3 x = 2 x + k 2 π

hoặc

3 x = - 2 x + k 2 π

x = k 2 π

hoặc

x = \frac{k 2 π}{5}

k \in Z

họ nghiệm

x = k 2 π

nằm trong họ

x = \frac{k 2 π}{5}

(ứng với

k

là bội của

5

)

c) điều kiện:

2 x + \frac{π}{5} \neq = \frac{π}{2} + k π

và

x - \frac{π}{6} \neq = \frac{π}{2} + k π

tan (2 x + \frac{π}{5}) = tan (x - \frac{π}{6})

2 x + \frac{π}{5} = x - \frac{π}{6} + k π

x = - \frac{11 π}{30} + k π

k \in Z

(thoả điều kiện)

Vậy a) $x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}$ hoặc $x = - \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3}$ ; b) $x = \frac{k 2 π}{5}$ ; c) $x = - \frac{11 π}{30} + k π$ , với $k \in Z$ .

2Cách 2. Biến đổi mỗi phương trình bằng một công thức lượng giác khác trước khi giải

Định hướng. Dùng $cos θ = sin (θ + \frac{π}{2})$ cho câu a, công thức tích thành tổng cho câu b, và hệ thức $tan U - tan V = \frac{sin ( U - V )}{cos U cos V}$ cho câu c, để giải theo hướng khác cách 1.

cos (3 x - \frac{π}{4}) = sin (3 x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2} = sin (- \frac{π}{4})

3 x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π

hoặc

3 x + \frac{π}{4} = π + \frac{π}{4} + k 2 π

x = - \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3}

hoặc

x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}

k \in Z

cos 3 x - cos 2 x = - 2 sin \frac{5 x}{2} sin \frac{x}{2}

phương trình đã cho

\Leftrightarrow sin \frac{5 x}{2} sin \frac{x}{2} = 0

sin \frac{5 x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{k 2 π}{5}

;

sin \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = k 2 π

(đã là một bộ phận của họ trên)

c) với điều kiện xác định,

tan (2 x + \frac{π}{5}) - tan (x - \frac{π}{6}) = \frac{sin ( x + \frac{11 π}{30} )}{cos ( 2 x + \frac{π}{5} ) cos ( x - \frac{π}{6} )} = 0

sin (x + \frac{11 π}{30}) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{11 π}{30} + k π

k \in Z

Vậy kết quả trùng khớp với cách 1: a) $x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}$ hoặc $x = - \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3}$ ; b) $x = \frac{k 2 π}{5}$ ; c) $x = - \frac{11 π}{30} + k π$ .

Nhận xét. Cách 2 dùng thêm công thức chuyển đổi cos-sin, tích thành tổng và hiệu hai tang, cho cùng đáp số nhưng theo con đường biến đổi khác hẳn cách 1.

3Cách 3. Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình cơ bản hoặc phương trình đại số

Định hướng. Câu a) và c) đặt ẩn phụ cho cả cụm góc rồi giải phương trình cơ bản theo ẩn mới; riêng câu b) đặt $t = cos x$ và dùng công thức nhân ba để đưa hẳn về một phương trình bậc ba đại số, không còn dấu vết lượng giác.

a) đặt

u = 3 x - \frac{π}{4}

cos u = - \frac{2}{2} = cos \frac{3 π}{4}

u = \pm \frac{3 π}{4} + k 2 π

k \in Z

3 x = \frac{π}{4} \pm \frac{3 π}{4} + k 2 π

x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}

hoặc

x = - \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3}

k \in Z

2 sin^{2} x - 1 = 1 - 2 cos^{2} x

và

cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x

đặt

t = cos x

với

- 1 \leq t \leq 1

1 - 2 t^{2} + 4 t^{3} - 3 t = 0

4 t^{3} - 2 t^{2} - 3 t + 1 = 0

(t - 1) (4 t^{2} + 2 t - 1) = 0

t = 1

hoặc

t = \frac{5 - 1}{4} = cos \frac{2 π}{5}

hoặc

t = - \frac{5 + 1}{4} = cos \frac{4 π}{5}

x = k 2 π

hoặc

x = \pm \frac{2 π}{5} + k 2 π

hoặc

x = \pm \frac{4 π}{5} + k 2 π

gộp năm họ trên:

x = \frac{k 2 π}{5}

k \in Z

c) điều kiện:

cos (2 x + \frac{π}{5}) \neq = 0

và

cos (x - \frac{π}{6}) \neq = 0

đặt

u = 2 x + \frac{π}{5}

v = x - \frac{π}{6}

hàm tang tuần hoàn chu kì

π

và đơn điệu trên mỗi khoảng xác định nên

tan u = tan v \Leftrightarrow u = v + k π

2 x + \frac{π}{5} = x - \frac{π}{6} + k π

x = - \frac{11 π}{30} + k π

k \in Z

Vậy a) $x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}$ hoặc $x = - \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3}$ ; b) $x = \frac{k 2 π}{5}$ ; c) $x = - \frac{11 π}{30} + k π$ , với $k \in Z$ .

Nhận xét. Câu b) giải theo đường đại số cho thấy năm họ nghiệm rời rạc thực ra là năm điểm chia đều đường tròn lượng giác, nên gộp được thành một họ duy nhất $\frac{k 2 π}{5}$ — điều mà cách giải lượng giác thuần tuý dễ bỏ sót.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu b) chỉ cần hạ bậc thành

cos 3 x = cos 2 x

rồi dùng công thức nghiệm, hai dòng là xong, trong khi Cách 3 phải giải phương trình bậc ba. Cách 3 dành cho những đề mà hai vế không đưa được về cùng một hàm lượng giác.

Đáp số. a)

x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}

hoặc

x = - \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3}

k \in Z

. b)

x = \frac{k 2 π}{5}

k \in Z

. c)

x = - \frac{11 π}{30} + k π

k \in Z

Sai lầm thường gặp. Ở câu b viết thừa hai họ nghiệm riêng biệt

x = k 2 π

và

x = \frac{k 2 π}{5}

mà quên kiểm tra họ thứ nhất đã là một bộ phận của họ thứ hai; ở câu c quên đặt điều kiện xác định của tang trước khi kết luận nghiệm.

🚀 Mở rộng. Từ kết quả câu b), năm nghiệm trên một chu kì

2 π

chia đều đường tròn lượng giác — hãy tìm số nghiệm của phương trình đó trên đoạn

[0; 10 π]

mà không cần giải lại.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 1.36★★★Trang 41— Ứng dụng chu kì của hàm số lượng giác vào mô hình huyết áp

1.36 (trang 41). Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp

120/80

là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hoá bởi hàm số

p (t) = 115 + 25 sin (160 π t)

,
trong đó

p (t)

là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian

t

tính theo phút.
a) Tìm chu kì của hàm số

p (t)

.
b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.
c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = A sin (ω t) + B$ ( $ω > 0$ ) tuần hoàn với chu kì $T = \frac{2 π}{ω}$ .
$- 1 \leq sin (160 π t) \leq 1$ với mọi $t$ , nên $B - A \leq p (t) \leq B + A$ .
Số nhịp tim mỗi phút bằng số chu kì lặp lại trong 1 phút, tức bằng $\frac{1}{T}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm số có dạng

B + A sin (ω t)

— mô hình dao động điều hoà quen thuộc, trong đó

B

là mức trung bình,

A

là biên độ và

ω

quyết định chu kì. Nhịp tim mỗi phút chính là số chu kì lọt trong một phút, tức nghịch đảo của chu kì khi thời gian tính bằng phút. Bẫy là quên rằng

t

đã tính bằng phút rồi lại đổi sang giây một lần nữa, hoặc lấy huyết áp tâm thu bằng

115

thay vì

115 + 25

1Cách 1. Dùng trực tiếp công thức chu kì và đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Định hướng. Nhận dạng hàm số theo mẫu $A sin (ω t) + B$ , áp dụng công thức chu kì $T = \frac{2 π}{ω}$ và đánh giá $- 1 \leq sin (\cdot) \leq 1$ để suy ra huyết áp tối đa, tối thiểu.

p (t) = 115 + 25 sin (160 π t)

có dạng

A sin (ω t) + B

với

ω = 160 π

chu kì

T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{160 π} = \frac{1}{80}

(phút)

b) mỗi chu kì ứng với một nhịp tim
số nhịp tim mỗi phút

= \frac{1}{T} = 80

(nhịp/phút)

- 1 \leq sin (160 π t) \leq 1

với mọi

t

115 - 25 \leq p (t) \leq 115 + 25

90 \leq p (t) \leq 140

huyết áp tối đa (tâm thu) là

140

, huyết áp tối thiểu (tâm trương) là

90

chỉ số huyết áp là

140/90

Vậy a) $T = \frac{1}{80}$ phút; b) $80$ nhịp mỗi phút; c) chỉ số huyết áp là $140/90$ , cao hơn chỉ số bình thường $120/80$ .

2Cách 2. Đổi đơn vị thời gian sang giây để kiểm tra chéo

Định hướng. Quy đổi chu kì sang giây để đối chiếu với nhịp tim thực tế, đồng thời xác định trực tiếp các thời điểm đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất để kiểm tra lại chỉ số huyết áp.

p (t) = p (t + T)

với mọi

t

khi

160 π T = 2 π \Rightarrow T = \frac{1}{80}

phút

= \frac{60}{80} = 0, 75

giây

b) trong

1

phút

= 60

giây có

\frac{60}{0 , 75} = 80

chu kì, tức

80

nhịp tim mỗi phút, phù hợp khoảng nhịp tim bình thường của người trưởng thành lúc nghỉ (

60

đến

100

nhịp/phút)

sin (160 π t) = 1

khi

160 π t = \frac{π}{2} + k 2 π

, khi đó

p (t) = 115 + 25 = 140

sin (160 π t) = - 1

khi

160 π t = - \frac{π}{2} + k 2 π

, khi đó

p (t) = 115 - 25 = 90

chỉ số huyết áp

140/90

có cả hai chỉ số tâm thu và tâm trương đều lớn hơn chỉ số bình thường

120/80

Vậy kết quả trùng khớp: $T = \frac{1}{80}$ phút, $80$ nhịp/phút, chỉ số huyết áp $140/90$ cao hơn mức bình thường $120/80$ .

Nhận xét. $80$ nhịp/phút vẫn nằm trong khoảng nhịp tim bình thường, nhưng chỉ số huyết áp $140/90$ đã cao hơn mức $120/80$ , cho thấy mô hình đang mô tả một người có dấu hiệu huyết áp cao.

3Cách 3. Giải phương trình tìm thời điểm huyết áp đạt lớn nhất

Định hướng. Mỗi nhịp tim ứng với một lần huyết áp đạt giá trị lớn nhất, nên giải phương trình $sin (160 π t) = 1$ để tìm các thời điểm đó; khoảng cách giữa hai thời điểm liên tiếp chính là chu kì, và đếm số thời điểm trong một phút cho ngay nhịp tim.

p (t)

lớn nhất khi

sin (160 π t) = 1

160 π t = \frac{π}{2} + k 2 π

t = \frac{1}{320} + \frac{k}{80}

k \in Z

hai thời điểm liên tiếp cách nhau

\frac{1}{80}

nên chu kì

T = \frac{1}{80}

(phút)

0 \leq \frac{1}{320} + \frac{k}{80} < 1

cho

k = 0; 1; 2; \dots; 79

trong một phút có

80

lần huyết áp đạt cực đại

- 1 \leq sin (160 π t) \leq 1

115 - 25 \leq p (t) \leq 115 + 25

90 \leq p (t) \leq 140

Vậy a) chu kì $T = \frac{1}{80}$ phút; b) nhịp tim là $80$ nhịp mỗi phút; c) chỉ số huyết áp là $140/90$ , cao hơn chỉ số bình thường $120/80$ .

Nhận xét. Đếm số nghiệm trong một phút vừa cho nhịp tim vừa kiểm tra chéo chu kì: $80$ nhịp mỗi phút đúng bằng nghịch đảo của $\frac{1}{80}$ phút.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dùng thẳng

T = \frac{2 π}{ω}

với

ω = 160 π

và đánh giá

- 1 \leq sin \leq 1

là trả lời trọn ba ý trong khoảng năm dòng, không phải giải phương trình nào.

Đáp số. a)

T = \frac{1}{80}

phút. b)

80

nhịp/phút. c) chỉ số huyết áp

140/90

, cao hơn huyết áp bình thường

120/80

Sai lầm thường gặp. Nhầm hệ số

160 π

chính là chu kì, ghi

T = 160 π

thay vì tính

T = \frac{2 π}{160 π}

🚀 Mở rộng. Nếu mô hình đổi thành

p (t) = 115 + 25 sin (200 π t)

thì nhịp tim là bao nhiêu và chỉ số huyết áp có thay đổi không — hãy chỉ ra đại lượng nào trong công thức quyết định nhịp tim, đại lượng nào quyết định chỉ số huyết áp.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 1.37★★Trang 41— Ứng dụng phương trình sin cơ bản vào định luật khúc xạ ánh sáng

1.37 (trang 41). Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới

i

liên hệ với góc khúc xạ

r

bởi Định luật khúc xạ ánh sáng

\frac{sin i}{sin r} = \frac{n _{2}}{n _{1}}

.
Ở đây,

n_{1}

và

n_{2}

tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới

i = 5 0^{\circ}

, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.

Kiến thức cần nhớ

Từ định luật khúc xạ suy ra $sin r = sin i \cdot \frac{n _{1}}{n _{2}}$ .
Với $0^{\circ} < r < 9 0^{\circ}$ , biết $sin r$ thì suy ra $r = arcsin (sin r)$ duy nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Định luật khúc xạ cho một tỉ số hai sin, biết góc tới thì tính được

sin r

— dấu hiệu của phương trình sin cơ bản có nghiệm nằm trong khoảng góc nhọn. Vì tia sáng đi từ môi trường chiết suất nhỏ sang môi trường chiết suất lớn nên

sin r < sin i

, tức góc khúc xạ nhỏ hơn góc tới — một phép kiểm tra kết quả rất nhanh. Bẫy là nhân chéo nhầm chiều, lấy

sin r = 1, 33 sin 5 0^{\circ}

rồi ra một số lớn hơn

1

mà vẫn tiếp tục tính.

1Cách 1. Tính

sin r

rồi suy ngược ra góc

r

Định hướng. Biến đổi định luật khúc xạ để tính $sin r$ theo các đại lượng đã biết, sau đó dùng $arcsin$ để tìm góc khúc xạ trong khoảng $(0^{\circ}; 9 0^{\circ})$ .

\frac{sin i}{sin r} = \frac{n _{2}}{n _{1}} \Rightarrow sin r = sin i \cdot \frac{n _{1}}{n _{2}}

sin r = sin 5 0^{\circ} \cdot \frac{1}{1 , 33}

sin 5 0^{\circ} \approx 0, 766

sin r \approx \frac{0 , 766}{1 , 33} \approx 0, 576

0^{\circ} < r < 9 0^{\circ} \Rightarrow r = arcsin (0, 576) \approx 3 5^{\circ} 1 0^{'}

Vậy góc khúc xạ $r \approx 3 5^{\circ} 1 0^{'}$ .

2Cách 2. Lập công thức tường minh cho

r

rồi thay ngược để kiểm tra

Định hướng. Viết $r$ dưới dạng một công thức $arcsin$ tường minh, sau đó thay giá trị $r$ tìm được ngược trở lại vào định luật khúc xạ để kiểm tra tỉ số $\frac{sin i}{sin r}$ có đúng bằng $\frac{n _{2}}{n _{1}}$ hay không.

r = arcsin (\frac{n _{1}}{n _{2}} sin i) = arcsin (\frac{1}{1 , 33} sin 5 0^{\circ}) \approx 3 5^{\circ} 1 0^{'}

kiểm tra:

sin r \approx sin 3 5^{\circ} 1 0^{'} \approx 0, 576

\frac{sin i}{sin r} \approx \frac{0 , 766}{0 , 576} \approx 1, 33 = \frac{n _{2}}{n _{1}}

Vậy $r \approx 3 5^{\circ} 1 0^{'}$ , kết quả thoả mãn đúng định luật khúc xạ đã cho.

Nhận xét. Tia sáng đi từ môi trường chiết suất nhỏ ( $n_{1} = 1$ ) sang môi trường chiết suất lớn hơn ( $n_{2} = 1, 33$ ) nên tia khúc xạ lệch gần pháp tuyến hơn tia tới, tức $r < i$ , đúng như kết quả $3 5^{\circ} 1 0^{'} < 5 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Kẹp góc khúc xạ giữa hai góc đã biết giá trị sin

Định hướng. Sau khi có $sin r$ , dùng tính đồng biến của hàm sin trên khoảng góc nhọn để kẹp $r$ giữa hai mốc có sin đã biết, rồi thu hẹp dần — cách này cho ngay khoảng chứa đáp số mà không cần dùng phím nghịch đảo của máy tính.

\frac{sin i}{sin r} = \frac{n _{2}}{n _{1}} = \frac{1 , 33}{1}

sin r = \frac{sin 5 0 ^{\circ}}{1 , 33} \approx \frac{0 , 7660}{1 , 33} \approx 0, 5760

hàm sin đồng biến trên khoảng từ

0^{\circ}

tới

9 0^{\circ}

sin 3 0^{\circ} = 0, 5 < 0, 5760 < 0, 7071 = sin 4 5^{\circ}

nên

3 0^{\circ} < r < 4 5^{\circ}

sin 3 5^{\circ} \approx 0, 5736 < 0, 5760 < 0, 5878 \approx sin 3 6^{\circ}

nên

3 5^{\circ} < r < 3 6^{\circ}

0, 5760

rất gần

0, 5736

nên

r

chỉ hơn

3 5^{\circ}

khoảng một phần sáu độ

r \approx 3 5^{\circ} 1 0^{'}

Vậy góc khúc xạ là $r \approx 3 5^{\circ} 1 0^{'}$ , nhỏ hơn góc tới $5 0^{\circ}$ đúng như dự đoán khi ánh sáng đi từ không khí vào nước.

Nhận xét. Việc kẹp giữa $3 0^{\circ}$ và $4 5^{\circ}$ ngay từ đầu đã đủ khẳng định phép nhân chéo không bị ngược chiều — nếu tính nhầm thành $sin r \approx 1, 019$ thì bước kẹp này báo lỗi tức thì.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính

sin r = \frac{sin 5 0 ^{\circ}}{1 , 33}

rồi bấm phím nghịch đảo của sin trên máy tính là ra ngay

3 5^{\circ} 1 0^{'}

; Cách 3 dùng để kiểm tra nhanh xem kết quả có hợp lí về mặt vật lí hay không.

Đáp số.

r \approx 3 5^{\circ} 1 0^{'}

(xấp xỉ

35, 1 7^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm công thức thành

sin r = sin i \cdot \frac{n _{2}}{n _{1}}

(đảo ngược tỉ số), cho ra

sin r > sin i

vô lí vì tia đi vào môi trường chiết quang hơn phải khúc xạ gần pháp tuyến hơn.

🚀 Mở rộng. Khi góc tới tăng dần tới

9 0^{\circ}

thì

sin r

tiến tới

\frac{1}{1 , 33} \approx 0, 7519

, tức

r

không vượt quá khoảng

48, 8^{\circ}

— hãy giải thích vì sao đó chính là góc giới hạn của hiện tượng phản xạ toàn phần khi ánh sáng đi ngược từ nước ra không khí.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗