Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài tập cuối chương II

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 11 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · 2.22★★Trang 56— Nhận biết dãy số tăng, giảm, bị chặn

2.22 (trang 56). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới.
B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên.
C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.
D. Một dãy số không đổi thì bị chặn.

Kiến thức cần nhớ

Dãy số $(u_{n})$ tăng khi $u_{n + 1} > u_{n}$ với mọi $n$ ; giảm khi $u_{n + 1} < u_{n}$ với mọi $n$ .
Dãy $(u_{n})$ bị chặn trên nếu có số $M$ với $u_{n} \leq M$ mọi $n$ ; bị chặn dưới nếu có số $m$ với $u_{n} \geq m$ mọi $n$ ; bị chặn khi vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
Dãy tăng thì mọi số hạng đều không nhỏ hơn $u_{1}$ ; dãy giảm thì mọi số hạng đều không lớn hơn $u_{1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn khẳng định đều nối hai khái niệm ĐƠN ĐIỆU và BỊ CHẶN, nên trước hết phải xác định mỗi khẳng định đang đi theo chiều nào. Ba khẳng định A, B, D đi theo chiều «đơn điệu (hoặc không đổi) suy ra bị chặn» — đây là hệ quả trực tiếp của định nghĩa nên gần như chắc chắn đúng; riêng C đi theo chiều NGƯỢC LẠI «bị chặn suy ra đơn điệu», mà mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng thì không nhất thiết đúng, vì vậy hãy nhắm vào C trước. Bẫy của đề là chữ «bị chặn»: nó có nghĩa chặn CẢ TRÊN LẪN DƯỚI, đọc thiếu một vế là quay sang nghi oan cho phương án D.

1Cách 1. Kiểm tra lần lượt bốn khẳng định bằng định nghĩa

Định hướng. Mỗi khẳng định chỉ dùng đúng một định nghĩa, nên cứ đối chiếu thẳng với định nghĩa để khẳng định nào đúng thì loại bỏ, khẳng định còn lại chính là đáp án.

A: dãy tăng nên

u_{1} \leq u_{2} \leq u_{3} \leq \dots

, do đó

u_{n} \geq u_{1}

với mọi

n

chọn

m = u_{1}

thì dãy bị chặn dưới, khẳng định A đúng
B: dãy giảm nên

u_{n} \leq u_{1}

với mọi

n

, chọn

M = u_{1}

thì dãy bị chặn trên, B đúng
D: dãy không đổi có

u_{n} = c

với mọi

n

, khi đó

c \leq u_{n} \leq c

nên dãy bị chặn, D đúng

Vậy chỉ còn khẳng định C là sai. Chọn C.

2Cách 2. Chỉ ra một phản ví dụ cho khẳng định C

Định hướng. Muốn bác bỏ một khẳng định tổng quát chỉ cần MỘT dãy số cụ thể vừa bị chặn vừa không tăng cũng không giảm; dãy đan dấu là ứng viên gọn nhất.

xét dãy

(u_{n})

với

u_{n} = (- 1)^{n}

u_{1} = - 1; u_{2} = 1; u_{3} = - 1; u_{4} = 1

- 1 \leq u_{n} \leq 1

với mọi

n

nên dãy bị chặn

u_{1} < u_{2}

nên dãy không giảm

u_{2} > u_{3}

nên dãy không tăng

Vậy dãy này bị chặn mà không tăng cũng không giảm, khẳng định C sai. Chọn C.

3Cách 3. Dùng dấu của hiệu

u_{n + 1} - u_{n}

Định hướng. Một dãy đơn điệu thì hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$ giữ NGUYÊN một dấu; vậy chỉ cần tạo ra một dãy bị chặn mà hiệu này đổi dấu vô hạn lần là khẳng định C sụp đổ, đồng thời cách nhìn theo dấu của hiệu cũng cho lại ngay ba khẳng định kia.

dãy tăng có

u_{n + 1} - u_{n} > 0

, dãy giảm có

u_{n + 1} - u_{n} < 0

xét dãy

(u_{n})

với

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}

u_{1} = - 1; u_{2} = \frac{1}{2}; u_{3} = - \frac{1}{3}; u_{4} = \frac{1}{4}

- 1 \leq u_{n} \leq \frac{1}{2}

với mọi

n

nên dãy bị chặn

u_{2} - u_{1} = \frac{3}{2} > 0

mà

u_{3} - u_{2} = - \frac{5}{6} < 0

Vậy hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$ đổi dấu nên dãy bị chặn này không đơn điệu, khẳng định C sai. Chọn C.

Nhận xét. Phản ví dụ ở Cách 3 còn mạnh hơn Cách 2: dãy này bị chặn, các số hạng dần về $0$ , vậy mà vẫn không tăng cũng không giảm — chứng tỏ «bị chặn» hoàn toàn không kéo theo «đơn điệu».

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một phản ví dụ hai dòng là bác bỏ xong khẳng định C, không phải chứng minh ba khẳng định còn lại như Cách 1.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Thấy A và B đều đúng rồi tưởng C là «chiều ngược lại hiển nhiên» nên chọn nhầm sang A hoặc D; thực ra dãy

u_{n} = (- 1)^{n}

bị chặn trong đoạn từ

- 1

đến

1

mà

u_{1} < u_{2}

rồi lại

u_{2} > u_{3}

, tức không tăng cũng không giảm. Lỗi thứ hai là hiểu «bị chặn» chỉ là chặn trên, từ đó nghi ngờ khẳng định D — trong khi dãy hằng

u_{n} = c

thoả cả hai vế

c \leq u_{n} \leq c

🚀 Mở rộng. Chiều đúng của mối liên hệ này là định lí sẽ gặp ở Chương V: dãy đơn điệu VÀ bị chặn thì có giới hạn hữu hạn; thử tìm thêm một dãy bị chặn, có giới hạn, nhưng vô số lần tăng và vô số lần giảm, chẳng hạn

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 56

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.23★Trang 56— Tìm công thức tổng quát của cấp số nhân

2.23 (trang 56). Cho dãy số

1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \dots

(số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó). Công thức tổng quát của dãy số đã cho là
A.

u_{n} = (\frac{1}{2})^{n}

.
B.

u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n - 1}}

.
C.

u_{n} = \frac{1}{2 n}

.
D.

u_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1}

Kiến thức cần nhớ

Cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} \neq = 0$ và công bội $q \neq = 0$ thoả $u_{n + 1} = u_{n} q$ .
Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ với $n \geq 1$ .
Luỹ thừa số mũ nguyên âm: $\frac{1}{2 ^{k}} = 2^{- k}$ và $(\frac{1}{2})^{k} = 2^{- k}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu «số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước» chính là hệ thức truy hồi

u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n}

— dấu hiệu của cấp số nhân với công bội

q = \frac{1}{2}

, còn số hạng đầu đọc thẳng từ đề là

u_{1} = 1

. Đã biết

u_{1}

và

q

thì công thức tổng quát chỉ là việc thay vào

u_{n} = u_{1} q^{n - 1}

, không phải mò quy luật. Bẫy nằm ở số mũ: bốn phương án chỉ khác nhau ở chỗ

n

hay

n - 1

, nên phải thử lại với

n = 1

trước khi khoanh.

1Cách 1. Nhận ra cấp số nhân rồi dùng công thức

u_{n} = u_{1} q^{n - 1}

Định hướng. Đề đã nói thẳng quy luật nhân với $\frac{1}{2}$ , chỉ cần đọc ra $u_{1}$ và $q$ rồi thay vào công thức số hạng tổng quát.

u_{1} = 1 \neq = 0

q = \frac{1}{2} \neq = 0

vì mỗi số hạng bằng một nửa số hạng liền trước

u_{n} = u_{1} q^{n - 1}

u_{n} = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1} = (\frac{1}{2})^{n - 1}

Vậy công thức tổng quát là $u_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1}$ . Chọn D.

2Cách 2. Thử

n = 1

rồi

n = 2

để loại phương án

Định hướng. Bài trắc nghiệm chỉ cần một giá trị làm lộ mặt các phương án sai; $u_{1} = 1$ là mốc kiểm tra rẻ nhất vì ba phương án A, B, C đều không cho ra $1$ .

với

n = 1

thì

u_{1}

phải bằng

1

A cho

(\frac{1}{2})^{1} = \frac{1}{2} \neq = 1

B cho

\frac{( - 1 ) ^{1}}{2 ^{0}} = - 1 \neq = 1

C cho

\frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \neq = 1

D cho

(\frac{1}{2})^{0} = 1

đúng
thử thêm

n = 3

ở phương án D:

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

đúng bằng số hạng thứ ba

Vậy chỉ phương án D khớp mọi số hạng đã cho. Chọn D.

3Cách 3. Viết các số hạng thành luỹ thừa cùng cơ số rồi đọc quy luật của số mũ

Định hướng. Đưa cả bốn số hạng đã cho về cùng cơ số $2$ thì phần thay đổi duy nhất là SỐ MŨ; nhìn dãy số mũ sẽ thấy ngay nó lệch $n$ đúng một đơn vị.

1 = 2^{0}; \frac{1}{2} = 2^{- 1}; \frac{1}{4} = 2^{- 2}; \frac{1}{8} = 2^{- 3}

số mũ theo thứ tự là

0; - 1; - 2; - 3

ứng với

n = 1; 2; 3; 4

số mũ của

u_{n}

là

- (n - 1)

u_{n} = 2^{- (n - 1)} = (\frac{1}{2})^{n - 1}

Vậy $u_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1}$ . Chọn D.

Nhận xét. Phương án B chỉ khác D ở nhân tử $(- 1)^{n}$ , nhân tử này làm các số hạng đan dấu, trong khi dãy đã cho toàn số dương — đó là cách loại B chỉ bằng mắt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần thay

n = 1

là ba phương án A, B, C rụng ngay, nhanh hơn hẳn việc dựng lại công thức như Cách 1.

Đáp số. Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Nhầm số mũ

n - 1

thành

n

nên chọn A; thử lại với

n = 1

thì phương án A cho

\frac{1}{2}

trong khi số hạng đầu của dãy là

1

. Lỗi thứ hai là chọn C vì thấy mẫu số

2; 4; 8

tăng dần rồi tưởng mẫu là

2 n

— nhưng

2 n

cho dãy mẫu

2; 4; 6; 8

chứ không phải

2; 4; 8; 16

🚀 Mở rộng. Tổng quát: dãy có

u_{1} = a

và mỗi số hạng bằng

\frac{1}{k}

số hạng liền trước thì

u_{n} = \frac{a}{k ^{n - 1}}

; thử viết công thức tổng quát cho dãy

2; \frac{2}{3}; \frac{2}{9}; \frac{2}{27}; \dots

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 56

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.24★★Trang 56— Nhận dạng cấp số cộng từ công thức tổng quát

2.24 (trang 56). Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{n} = 3 n + 6

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số

(u_{n})

là cấp số cộng với công sai

d = 3

.
B. Dãy số

(u_{n})

là cấp số cộng với công sai

d = 6

.
C. Dãy số

(u_{n})

là cấp số nhân với công bội

q = 3

.
D. Dãy số

(u_{n})

là cấp số nhân với công bội

q = 6

Kiến thức cần nhớ

Dãy $(u_{n})$ là cấp số cộng khi $u_{n + 1} - u_{n} = d$ không đổi với mọi $n$ .
Dãy $(u_{n})$ là cấp số nhân khi $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q$ không đổi với mọi $n$ , kèm điều kiện $u_{1} \neq = 0$ và $q \neq = 0$ .
Mọi dãy dạng $u_{n} = an + b$ đều là cấp số cộng với công sai $d = a$ và số hạng đầu $u_{1} = a + b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Công thức

u_{n} = 3 n + 6

là bậc nhất theo

n

— dấu hiệu của cấp số cộng, vì khi

n

tăng một đơn vị thì

u_{n}

tăng thêm đúng hệ số của

n

. Muốn phân biệt cấp số cộng với cấp số nhân thì công cụ là HIỆU và TỈ SỐ của hai số hạng liên tiếp: hiệu hằng số cho cấp số cộng, tỉ số hằng số cho cấp số nhân. Bẫy của đề là số

6

đứng sờ sờ trong công thức khiến nhiều bạn khoanh ngay phương án B, trong khi

6

chỉ là hệ số tự do chứ không phải công sai.

1Cách 1. Liệt kê bốn số hạng đầu rồi so hiệu và tỉ số

Định hướng. Viết ra vài số hạng đầu là cách nhanh nhất để thấy dãy cách đều hay nhân đều, đồng thời loại luôn hai phương án cấp số nhân.

u_{1} = 3 \cdot 1 + 6 = 9

u_{2} = 3 \cdot 2 + 6 = 12

u_{3} = 3 \cdot 3 + 6 = 15

u_{4} = 3 \cdot 4 + 6 = 18

u_{2} - u_{1} = 12 - 9 = 3

u_{3} - u_{2} = 15 - 12 = 3

u_{4} - u_{3} = 18 - 15 = 3

\frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}

nhưng

\frac{u _{3}}{u _{2}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}

Vậy dãy cách đều với hiệu $3$ và tỉ số không cố định, nên đây là cấp số cộng công sai $d = 3$ . Chọn A.

2Cách 2. Tính hiệu

u_{n + 1} - u_{n}

ở dạng tổng quát

Định hướng. Liệt kê chỉ kiểm được vài số hạng đầu; muốn kết luận chắc chắn cho MỌI $n$ thì tính thẳng hiệu hai số hạng liên tiếp theo $n$ .

u_{n + 1} = 3 (n + 1) + 6 = 3 n + 9

u_{n + 1} - u_{n} = (3 n + 9) - (3 n + 6)

u_{n + 1} - u_{n} = 3

với mọi

n \geq 1

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{3 n + 9}{3 n + 6} = \frac{n + 3}{n + 2}

tỉ số này phụ thuộc

n

nên không phải hằng số

Vậy $(u_{n})$ là cấp số cộng với công sai $d = 3$ và không phải cấp số nhân. Chọn A.

3Cách 3. Đọc trực tiếp từ dạng

u_{n} = an + b

Định hướng. Không cần tính gì cả: dãy nào viết được dưới dạng bậc nhất theo $n$ thì chắc chắn là cấp số cộng, và công sai chính là hệ số đứng trước $n$ .

u_{n} = 3 n + 6

có dạng

an + b

với

a = 3; b = 6

u_{n + 1} - u_{n} = a (n + 1) + b - (an + b) = a

d = a = 3

u_{1} = a + b = 3 + 6 = 9

Vậy $(u_{n})$ là cấp số cộng có $u_{1} = 9$ và $d = 3$ . Chọn A.

Nhận xét. Cùng lối nhìn ấy: dãy viết được dưới dạng $u_{n} = a \cdot b^{n}$ mới là cấp số nhân, ví dụ $u_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ có công bội $q = 2$ — công thức của đề là bậc nhất chứ không phải luỹ thừa nên hai phương án C, D bị loại từ đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhìn thấy dạng

an + b

là đọc ngay

d = 3

trong một giây, khỏi phải liệt kê hay biến đổi.

Đáp số. Chọn A.

Sai lầm thường gặp. Nhìn thấy số

6

trong công thức rồi khoanh B; thử lại thì

u_{1} = 9

và

u_{2} = 12

chỉ hơn kém nhau

3

chứ không phải

6

— số

6

thực chất là

u_{0}

. Lỗi thứ hai là thấy hệ số

3

rồi khoanh C: nếu công bội bằng

3

thì

u_{2}

phải bằng

27

, trong khi

u_{2} = 12

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

u_{n} = an + b

luôn là cấp số cộng công sai

a

; ngược lại mọi cấp số cộng đều viết được thành

u_{n} = d n + (u_{1} - d)

— thử viết dãy

5; 9; 13; 17; \dots

về dạng đó.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 56

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.25★★Trang 56— Nhận dạng cấp số nhân từ hệ thức truy hồi

2.25 (trang 56). Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?
A.

u_{1} = - 1; u_{n + 1} = u_{n}^{2}

.
B.

u_{1} = - 1; u_{n + 1} = 2 u_{n}

.
C.

u_{1} = - 1; u_{n + 1} = u_{n} + 2

.
D.

u_{1} = - 1; u_{n + 1} = u_{n} - 2

Kiến thức cần nhớ

Cấp số nhân là dãy số mà từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng liền trước nhân với một số $q$ KHÔNG ĐỔI: $u_{n + 1} = u_{n} q$ , kèm $u_{1} \neq = 0$ và $q \neq = 0$ .
Cấp số cộng có dạng truy hồi $u_{n + 1} = u_{n} + d$ với $d$ không đổi.
Muốn kiểm một dãy có phải cấp số nhân hay không, lập tỉ số $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ và xem nó có phụ thuộc $n$ hay không.

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn phương án đều cho sẵn hệ thức truy hồi, nên việc duy nhất phải làm là đối chiếu DẠNG của hệ thức với định nghĩa: cấp số nhân có dạng

u_{n + 1} = q u_{n}

với

q

là HẰNG SỐ khác

0

, còn dạng

u_{n + 1} = u_{n} + c

là cấp số cộng. Nhìn qua thì C và D rơi ngay vào dạng cộng nên bị loại, chỉ còn phải phân xử giữa A và B. Bẫy nằm ở phương án A:

u_{n + 1} = u_{n}^{2}

trông giống phép nhân nhưng thừa số nhân lại là

u_{n}

— một đại lượng thay đổi theo

n

chứ không phải hằng số.

1Cách 1. Viết bốn số hạng đầu của từng dãy rồi lập tỉ số

Định hướng. Cách chắc tay nhất là cho mỗi dãy chạy vài bước; tỉ số hai số hạng liên tiếp thay đổi ở đâu là loại phương án ở đó.

- 1; 1; 1; 1

vì

(- 1)^{2} = 1

rồi

1^{2} = 1

tỉ số của A:

\frac{1}{- 1} = - 1

rồi

\frac{1}{1} = 1

, hai tỉ số khác nhau
B:

- 1; - 2; - 4; - 8

tỉ số của B:

\frac{- 2}{- 1} = \frac{- 4}{- 2} = \frac{- 8}{- 4} = 2

- 1; 1; 3; 5

có tỉ số

- 1

rồi

3

, khác nhau
D:

- 1; - 3; - 5; - 7

có tỉ số

3

rồi

\frac{5}{3}

, khác nhau

Vậy chỉ dãy ở phương án B có tỉ số hai số hạng liên tiếp không đổi. Chọn B.

2Cách 2. Đối chiếu dạng hệ thức truy hồi với định nghĩa

Định hướng. Định nghĩa cấp số nhân đã cho sẵn khuôn $u_{n + 1} = q u_{n}$ ; chỉ việc xem hệ thức nào khớp khuôn ấy với $q$ là hằng số khác $0$ .

B có

u_{n + 1} = 2 u_{n}

, khớp khuôn với

q = 2 \neq = 0

và

u_{1} = - 1 \neq = 0

A có

u_{n + 1} = u_{n} \cdot u_{n}

, thừa số nhân là

u_{n}

thay đổi theo

n

nên không phải hằng số
C có

u_{n + 1} = u_{n} + 2

, khuôn cộng nên là cấp số cộng công sai

d = 2

D có

u_{n + 1} = u_{n} - 2

, khuôn cộng nên là cấp số cộng công sai

d = - 2

Vậy chỉ B thoả định nghĩa cấp số nhân, với $u_{1} = - 1$ và $q = 2$ . Chọn B.

3Cách 3. Tìm công thức tổng quát của từng dãy

Định hướng. Cấp số nhân bao giờ cũng có công thức tổng quát dạng luỹ thừa $u_{1} q^{n - 1}$ ; cứ giải ra công thức tổng quát rồi nhìn dạng là phân loại xong cả bốn phương án cùng lúc.

A: từ số hạng thứ hai trở đi

u_{n} = 1

, tức

u_{n}

không viết được thành

(- 1) q^{n - 1}

u_{n} = (- 1) \cdot 2^{n - 1}

, đúng dạng luỹ thừa
C:

u_{n} = - 1 + 2 (n - 1) = 2 n - 3

, dạng bậc nhất
D:

u_{n} = - 1 - 2 (n - 1) = 1 - 2 n

, dạng bậc nhất

Vậy chỉ dãy B có công thức tổng quát dạng luỹ thừa, đó là cấp số nhân với $u_{1} = - 1$ , $q = 2$ . Chọn B.

Nhận xét. Dãy ở phương án A không phải cấp số nhân, nhưng KỂ TỪ số hạng thứ hai nó lại là dãy hằng $1; 1; 1; \dots$ — một cấp số nhân công bội $1$ ; chính chỗ «lệch một số hạng» ấy làm nó trượt khỏi định nghĩa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn dạng hệ thức là phân loại xong bốn phương án, không phải tính một số hạng nào.

Đáp số. Chọn B.

Sai lầm thường gặp. Thấy chữ «bình phương» ở phương án A rồi tưởng đó là phép nhân nên chọn A; thật ra tỉ số

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = u_{n}

thay đổi theo

n

: từ

- 1

sang

1

tỉ số bằng

- 1

, từ

1

sang

1

tỉ số lại bằng

1

. Lỗi thứ hai là chọn C hoặc D vì thấy dãy «đều đặn» — chúng đều đặn theo kiểu CỘNG chứ không phải NHÂN.

🚀 Mở rộng. Thử tìm tất cả các giá trị

u_{1}

để dãy

u_{1}; u_{n + 1} = u_{n}^{2}

là cấp số nhân ngay từ số hạng đầu — chỉ

u_{1} = 1

hoặc

u_{1} = - 1

và bỏ đi số hạng đầu mới đạt, còn mọi

u_{1}

khác cho tỉ số

u_{n}

thay đổi liên tục.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 56

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.26★★Trang 56— Tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

2.26 (trang 56). Tổng

100

số hạng đầu của dãy số

(u_{n})

với

u_{n} = 2 n - 1

là
A.

199

.
B.

2^{100} - 1

.
C.

10000

.
D.

9999

Kiến thức cần nhớ

Cấp số cộng $(u_{n})$ có công sai $d$ thì $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ .
Dạng khác của cùng công thức: $S_{n} = \frac{n [ 2 u _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}$ .
Tổng $n$ số lẻ đầu tiên: $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Công thức

u_{n} = 2 n - 1

là bậc nhất theo

n

nên dãy là cấp số cộng — dấu hiệu để dùng công thức tổng

S_{n}

chứ không phải cộng tay

100

số. Ở đây

u_{1} = 1

d = 2

, và dãy chính là dãy các số lẻ liên tiếp, một dãy có tính chất tổng rất đẹp giúp bấm đáp án trong vài giây. Bẫy của đề là phương án A:

199

đúng là

u_{100}

— SỐ HẠNG thứ

100

chứ không phải TỔNG, ai tính vội là dính ngay.

1Cách 1. Dùng công thức tổng của cấp số cộng

Định hướng. Xác định $u_{1}$ , $d$ rồi tính $u_{100}$ , sau đó thay thẳng vào công thức tổng.

u_{1} = 2 \cdot 1 - 1 = 1

u_{n + 1} - u_{n} = [2 (n + 1) - 1] - (2 n - 1) = 2

nên

d = 2

u_{100} = 2 \cdot 100 - 1 = 199

S_{100} = \frac{100 ( u _{1} + u _{100} )}{2} = \frac{100 ( 1 + 199 )}{2}

S_{100} = 50 \cdot 200 = 10000

Vậy tổng $100$ số hạng đầu bằng $10000$ . Chọn C.

2Cách 2. Ghép cặp đầu với cuối

Định hướng. Trong cấp số cộng, tổng một số hạng đầu với một số hạng cuối tương ứng luôn không đổi; ghép $100$ số hạng thành $50$ cặp là ra tổng mà không cần nhớ công thức.

S_{100} = 1 + 3 + 5 + \dots + 197 + 199

u_{1} + u_{100} = 1 + 199 = 200

u_{2} + u_{99} = 3 + 197 = 200

u_{3} + u_{98} = 5 + 195 = 200

100

số hạng chia thành

50

cặp, mỗi cặp có tổng

200

S_{100} = 50 \cdot 200 = 10000

Vậy $S_{100} = 10000$ . Chọn C.

3Cách 3. Dùng tính chất tổng các số lẻ liên tiếp

Định hướng. Dãy $u_{n} = 2 n - 1$ chính là dãy số lẻ $1; 3; 5; \dots$ , mà tổng $n$ số lẻ đầu tiên luôn là một số chính phương — biết mẹo này thì bấm đáp án trong một dòng.

1 + 3 = 4 = 2^{2}

1 + 3 + 5 = 9 = 3^{2}

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^{2}

1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}

S_{100} = 10 0^{2} = 10000

Vậy $S_{100} = 10000$ . Chọn C.

Nhận xét. Bốn phương án được cài rất khéo: $199$ là $u_{100}$ , $2^{100} - 1$ là tổng của một cấp số NHÂN công bội $2$ , còn $9999$ là $1 0^{4} - 1$ — chỉ $10000$ mới là số chính phương $10 0^{2}$ đúng kiểu tổng các số lẻ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhận ra dãy số lẻ là viết ngay

10 0^{2} = 10000

, nhanh hơn cả việc tính

u_{100}

như Cách 1.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Tính

u_{100} = 2 \cdot 100 - 1 = 199

rồi khoanh luôn phương án A — đó là số hạng thứ

100

chứ không phải tổng. Lỗi thứ hai là dùng nhầm công thức tổng cấp số NHÂN

\frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}

với

q = 2

2^{100} - 1

(phương án B), trong khi dãy này cách đều chứ không nhân đều:

\frac{u _{2}}{u _{1}} = 3

nhưng

\frac{u _{3}}{u _{2}} = \frac{5}{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát

1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}

; thử tính tổng

100

số chẵn đầu tiên

2 + 4 + \dots + 200

và so sánh — kết quả là

10100

, hơn đúng

100

đơn vị.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 56

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.27★★Trang 57— Tổng cấp số cộng trong bài toán thực tế

2.27 (trang 57). Từ

0

giờ đến

12

giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?

Kiến thức cần nhớ

Số tiếng chuông tại mốc thứ $k$ là $u_{k} = k$ , lập cấp số cộng với $u_{1} = 1$ và $d = 1$ .
Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng: $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ .
Hệ quả quen dùng: $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu «số tiếng chuông bằng số giờ» biến bài toán thực tế thành tổng

1 + 2 + \dots + 12

— các mốc báo giờ từ

1

giờ đến

12

giờ, còn mốc

0

giờ ứng với

0

tiếng nên không đóng góp gì. Số tiếng chuông ở các mốc lập thành cấp số cộng

u_{1} = 1

d = 1

, vì vậy chỉ cần công thức tổng chứ không phải cộng tay. Bẫy là đọc «từ

0

giờ đến

12

giờ» thành

13

lần đánh chuông, hoặc quy mốc

0

giờ thành

12

tiếng theo thói quen đồng hồ.

1Cách 1. Cộng dồn theo từng nhóm bốn mốc

Định hướng. Bài chỉ có $12$ số hạng nên cộng trực tiếp vẫn được; chia thành ba nhóm nhỏ cho dễ kiểm soát.

số tiếng chuông ở các mốc là

1; 2; 3; \dots; 12

1 + 2 + 3 + 4 = 10

5 + 6 + 7 + 8 = 26

9 + 10 + 11 + 12 = 42

S = 10 + 26 + 42 = 78

Vậy chuông đánh tất cả $78$ tiếng.

2Cách 2. Ghép cặp đầu với cuối

Định hướng. Ghép mốc đầu với mốc cuối, mốc thứ hai với mốc áp chót… thì mỗi cặp có tổng bằng nhau, phép cộng dài rút về một phép nhân.

S = 1 + 2 + 3 + \dots + 11 + 12

1 + 12 = 2 + 11 = 3 + 10 = 4 + 9 = 5 + 8 = 6 + 7 = 13

12

số hạng chia thành

6

cặp, mỗi cặp có tổng

13

S = 6 \cdot 13 = 78

Vậy chuông đánh tất cả $78$ tiếng.

3Cách 3. Dùng công thức tổng của cấp số cộng

Định hướng. Nhận ra dãy số tiếng chuông là cấp số cộng thì áp thẳng công thức tổng, cách này dùng lại được cho mọi khoảng thời gian chứ không riêng $12$ giờ.

dãy số tiếng chuông là cấp số cộng với

u_{1} = 1

và

d = 1

u_{12} = 12

S_{12} = \frac{12 ( u _{1} + u _{12} )}{2} = \frac{12 ( 1 + 12 )}{2}

S_{12} = 6 \cdot 13 = 78

Vậy từ $0$ giờ đến $12$ giờ trưa chuông đánh $78$ tiếng.

Nhận xét. Cách 3 cho luôn công thức cho trọn một ngày: từ $0$ giờ đến $24$ giờ đồng hồ đi hết hai vòng nên số tiếng chuông là $2 \cdot 78 = 156$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: một dòng công thức là ra, lại dùng lại được ngay khi đề đổi

12

giờ thành

24

giờ hay

n

giờ; Cách 1 tuy dễ nghĩ nhưng dễ cộng sót.

Đáp số.

78

tiếng chuông.

Sai lầm thường gặp. Quy mốc

0

giờ thành

12

tiếng theo thói quen đồng hồ mười hai giờ rồi cộng thành

90

; đề đã nói rõ số tiếng chuông BẰNG số giờ nên mốc

0

giờ ứng với

0

tiếng. Lỗi thứ hai là áp công thức với

n = 13

vì đếm cả hai đầu mốc

0

và

12

, ra

\frac{13 \cdot 14}{2} = 91

— thừa hẳn một số hạng

13

không tồn tại.

🚀 Mở rộng. Tổng quát

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

; thử tính số tiếng chuông trong trọn một tuần lễ — đồng hồ đi

14

vòng nên có

14 \cdot 78 = 1092

tiếng.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 57

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.28★★★Trang 57— Cấp số nhân trong bài toán tăng trưởng sinh học

2.28 (trang 57). Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ

20

phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau

24

giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Kiến thức cần nhớ

Cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} \neq = 0$ , công bội $q \neq = 0$ có $u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ .
Đổi đơn vị thời gian: $24$ giờ $= 24 \cdot 60 = 1440$ phút.
Nhân luỹ thừa cùng cơ số: $(2^{3})^{24} = 2^{3 \cdot 24} = 2^{72}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cụm «cứ

20

phút lại phân đôi» cho biết sau mỗi chu kì số tế bào được NHÂN với

2

— dấu hiệu của cấp số nhân công bội

q = 2

, còn số tế bào ban đầu là

1

nên

u_{1} = 1 \neq = 0

. Việc còn lại chỉ là đếm cho đúng SỐ CHU KÌ trong

24

giờ. Bẫy lớn nhất của bài là đánh số: nếu gọi

u_{1}

là số tế bào lúc ban đầu thì sau

72

lần phân chia ta đang ở số hạng thứ

73

, viết nhầm thành

u_{72}

là mất đúng một nửa kết quả.

1Cách 1. Đếm theo từng giờ rồi nhân dồn

Định hướng. Mỗi giờ có đúng ba chu kì $20$ phút nên sau mỗi giờ số tế bào được nhân với $2^{3} = 8$ ; theo dõi theo giờ cho hình dung rất trực quan.

20

phút:

2

tế bào
sau

40

phút:

2^{2} = 4

tế bào
sau

60

phút, tức

1

giờ:

2^{3} = 8

tế bào
mỗi giờ số tế bào được nhân thêm

8

lần
sau

24

giờ:

8^{24}

tế bào

8^{24} = (2^{3})^{24} = 2^{72}

Vậy sau $24$ giờ tế bào ban đầu phân chia thành $2^{72}$ tế bào.

2Cách 2. Dùng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Định hướng. Gọi $u_{n}$ là số tế bào sau $n - 1$ lần phân chia thì dãy $(u_{n})$ là cấp số nhân; chỉ cần đếm số lần phân chia rồi thay vào công thức tổng quát.

số lần phân chia trong

24

giờ là

\frac{24 \cdot 60}{20} = \frac{1 440}{20} = 72

gọi

u_{1} = 1

là số tế bào ban đầu,

q = 2

72

lần phân chia ta được số hạng thứ

73

u_{73} = u_{1} q^{73 - 1} = 1 \cdot 2^{72}

u_{73} = 2^{72}

Vậy sau $24$ giờ có $2^{72}$ tế bào.

3Cách 3. Lập công thức số tế bào theo thời gian

Định hướng. Viết thẳng số tế bào như một hàm của thời gian $t$ phút: mỗi $20$ phút số mũ tăng một đơn vị, nên số mũ chính là $\frac{t}{20}$ ; công thức này trả lời được mọi mốc thời gian chứ không riêng $24$ giờ.

gọi

N (t)

là số tế bào sau

t

phút

N (t) = 2^{\frac{t}{20}}

kiểm lại

N (60) = 2^{3} = 8

đúng với ba lần phân đôi trong một giờ

t = 24 \cdot 60 = 1440

N (1440) = 2^{\frac{1 440}{20}} = 2^{72}

Vậy sau $24$ giờ tế bào ban đầu phân chia thành $2^{72}$ tế bào, tức khoảng $4722366482869645213696$ tế bào.

Nhận xét. Con số $2^{72}$ lớn hơn $4 \cdot 1 0^{21}$ — nhiều hơn cả số hạt cát trên Trái Đất theo ước lượng thông thường; thực tế môi trường nuôi cấy cạn dinh dưỡng nên vi khuẩn không thể nhân lên mãi theo cấp số nhân.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy về «mỗi giờ nhân

8

» rồi viết

8^{24} = 2^{72}

chỉ mất hai dòng và tránh hẳn cái bẫy đánh số

u_{72}

hay

u_{73}

của Cách 2.

Đáp số.

2^{72}

tế bào (khoảng

4, 72 \cdot 1 0^{21}

tế bào).

Sai lầm thường gặp. Dùng công thức

u_{n} = u_{1} q^{n - 1}

với

n = 72

rồi ra

2^{71}

— sai vì

u_{1}

ứng với thời điểm ban đầu, chưa phân chia lần nào; kiểm ở mốc nhỏ sẽ lộ ngay: sau

1

giờ phải có

8

tế bào, mà công thức sai cho

u_{3} = 2^{2} = 4

. Lỗi thứ hai là tưởng mỗi giờ phân đôi một lần nên viết

2^{24}

, bỏ mất hai phần ba số chu kì.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: ban đầu có

a

tế bào thì sau

t

giờ có

a \cdot 2^{3 t}

tế bào; thử hỏi sau bao lâu một tế bào sinh ra hơn một tỉ tế bào — cần

2^{k} \geq 1 0^{9}

nên

k = 30

lần phân chia, tức đúng

10

giờ.

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 57

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.29★★★Trang 57— Chứng minh tính chất trung bình cộng, trung bình nhân của cấp số

2.29 (trang 57). Chứng minh rằng:
a) Trong một cấp số cộng

(u_{n})

, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

u_{k} = \frac{u _{k - 1} + u _{k + 1}}{2}

với

k \geq 2

.
b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

u_{k}^{2} = u_{k - 1} \cdot u_{k + 1}

với

k \geq 2

Kiến thức cần nhớ

Cấp số cộng: $u_{k} = u_{k - 1} + d$ với mọi $k \geq 2$ , và $u_{k} = u_{1} + (k - 1) d$ .
Cấp số nhân: $u_{k} = u_{k - 1} q$ với mọi $k \geq 2$ , và $u_{k} = u_{1} q^{k - 1}$ ; điều kiện $u_{1} \neq = 0$ và $q \neq = 0$ .
Vì $q \neq = 0$ và $u_{1} \neq = 0$ nên mọi số hạng của cấp số nhân đều khác $0$ , phép chia cho $u_{k}$ hay cho $q$ luôn thực hiện được.

🧠 Phân tích tư duy

Hai câu là một cặp song sinh: câu a nói về phép CỘNG, câu b nói về phép NHÂN, và cả hai đều chỉ dùng đúng một dữ kiện là ba chỉ số

k - 1

k

k + 1

đứng liền nhau. Vì liền nhau nên cách gọn nhất là lùi và tiến một bậc từ chính

u_{k}

: trong cấp số cộng thì

u_{k - 1} = u_{k} - d

u_{k + 1} = u_{k} + d

, hai lượng

d

triệt tiêu khi cộng; trong cấp số nhân thì

u_{k - 1} = \frac{u _{k}}{q}

u_{k + 1} = u_{k} q

, hai lượng

q

triệt tiêu khi nhân. Bẫy ở câu b là viết kết quả thành

u_{k} = u_{k - 1} u_{k + 1}

: đẳng thức bình phương mới đúng cho mọi cấp số nhân, còn căn bậc hai làm mất dấu âm.

1Cách 1. Lùi và tiến một bậc từ chính

u_{k}

Định hướng. Ba chỉ số liền nhau nên hãy biểu diễn hai số hạng kề qua chính $u_{k}$ ; khi cộng (hoặc nhân) thì lượng $d$ (hoặc $q$ ) tự triệt tiêu.

u_{k} = u_{k - 1} + d

nên

u_{k - 1} = u_{k} - d

u_{k + 1} = u_{k} + d

u_{k - 1} + u_{k + 1} = (u_{k} - d) + (u_{k} + d) = 2 u_{k}

u_{k} = \frac{u _{k - 1} + u _{k + 1}}{2}

u_{1} \neq = 0

và

q \neq = 0

nên mọi số hạng đều khác

0

u_{k} = u_{k - 1} q

nên

u_{k - 1} = \frac{u _{k}}{q}

u_{k + 1} = u_{k} q

u_{k - 1} \cdot u_{k + 1} = \frac{u _{k}}{q} \cdot u_{k} q = u_{k}^{2}

Vậy với mọi $k \geq 2$ ta có $u_{k} = \frac{u _{k - 1} + u _{k + 1}}{2}$ trong cấp số cộng và $u_{k}^{2} = u_{k - 1} u_{k + 1}$ trong cấp số nhân.

2Cách 2. Đưa tất cả về

u_{1}

cùng

d

(hoặc

q

)

Định hướng. Dùng công thức số hạng tổng quát để viết cả ba số hạng theo hai đại lượng gốc, rồi so hai vế; cách này không cần dùng tới hệ thức truy hồi.

u_{k - 1} = u_{1} + (k - 2) d

u_{k + 1} = u_{1} + k d

u_{k - 1} + u_{k + 1} = 2 u_{1} + (2 k - 2) d = 2 [u_{1} + (k - 1) d]

u_{1} + (k - 1) d = u_{k}

nên

u_{k - 1} + u_{k + 1} = 2 u_{k}

u_{k - 1} = u_{1} q^{k - 2}

u_{k + 1} = u_{1} q^{k}

u_{k - 1} \cdot u_{k + 1} = u_{1}^{2} q^{k - 2} \cdot q^{k} = u_{1}^{2} q^{2 k - 2}

u_{1}^{2} q^{2 k - 2} = (u_{1} q^{k - 1})^{2} = u_{k}^{2}

Vậy hai đẳng thức được chứng minh với mọi $k \geq 2$ .

3Cách 3. Xuất phát từ chính định nghĩa: hiệu (tỉ số) hai số hạng liên tiếp bằng nhau

Định hướng. Định nghĩa cấp số cộng nói hiệu hai số hạng liên tiếp luôn bằng $d$ , định nghĩa cấp số nhân nói tỉ số hai số hạng liên tiếp luôn bằng $q$ ; cho hai biểu thức ấy bằng nhau rồi chuyển vế (hoặc nhân chéo) là xong, không cần biết $d$ hay $q$ bằng bao nhiêu.

u_{k} - u_{k - 1} = d

và

u_{k + 1} - u_{k} = d

u_{k} - u_{k - 1} = u_{k + 1} - u_{k}

2 u_{k} = u_{k - 1} + u_{k + 1}

u_{k} = \frac{u _{k - 1} + u _{k + 1}}{2}

b) mọi số hạng khác

0

vì

u_{1} \neq = 0

và

q \neq = 0

\frac{u _{k}}{u _{k - 1}} = q

và

\frac{u _{k + 1}}{u _{k}} = q

\frac{u _{k}}{u _{k - 1}} = \frac{u _{k + 1}}{u _{k}}

u_{k}^{2} = u_{k - 1} \cdot u_{k + 1}

Vậy hai đẳng thức đúng với mọi $k \geq 2$ .

Nhận xét. Cách 3 đẹp nhất vì cho thấy bản chất: cấp số cộng là dãy có hiệu hai số hạng liên tiếp không đổi nên số ở giữa là trung bình cộng; cấp số nhân là dãy có tỉ số không đổi nên số ở giữa là trung bình nhân (sai khác dấu).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ hai dòng cho mỗi câu, lại không dùng tới công thức tổng quát nên khó sai chỉ số; Cách 2 dài hơn nhưng đáng nhớ vì kiểm được luôn với các chỉ số cách xa nhau.

Đáp số. a)

u_{k} = \frac{u _{k - 1} + u _{k + 1}}{2}

với

k \geq 2

; b)

u_{k}^{2} = u_{k - 1} u_{k + 1}

với

k \geq 2

Sai lầm thường gặp. Ở câu b viết kết quả thành

u_{k} = u_{k - 1} u_{k + 1}

; phản ví dụ là cấp số nhân

2; - 4; 8

có

u_{2} = - 4

trong khi

u_{1} u_{3} = 16 = 4 \neq = - 4

, tức đẳng thức chỉ đúng ở dạng bình phương. Lỗi thứ hai là viết

u_{k - 1} = \frac{u _{k}}{q}

mà không nêu

q \neq = 0

và

u_{1} \neq = 0

— thiếu điều kiện thì phép chia không có nghĩa.

🚀 Mở rộng. Tổng quát cho hai số hạng cách

u_{k}

đúng

m

bậc: trong cấp số cộng

u_{k} = \frac{u _{k - m} + u _{k + m}}{2}

, trong cấp số nhân

u_{k}^{2} = u_{k - m} u_{k + m}

— chứng minh y hệt Cách 2 với

q^{k - m - 1} \cdot q^{k + m - 1} = q^{2 k - 2}

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 57

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.30★★★★Trang 57— Tìm ba số lập cấp số cộng và cấp số nhân

2.30 (trang 57). Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng

21

, và nếu lần lượt cộng thêm các số

2

;

3

;

9

vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Kiến thức cần nhớ

Ba số lập cấp số cộng thì đặt được dưới dạng $a - d; a; a + d$ , khi đó tổng bằng $3 a$ .
Ba số $x; y; z$ lập cấp số nhân khi và chỉ khi $y^{2} = x z$ và các số hạng đều khác $0$ .
Ba số lập cấp số nhân cũng đặt được dưới dạng $\frac{b}{q}; b; b q$ với $b \neq = 0$ , $q \neq = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai ràng buộc trên cùng bộ ba số, nên mấu chốt là đặt ẩn sao cho ràng buộc DỄ khai thác nhất được dùng trước. Ràng buộc «lập cấp số cộng và có tổng bằng

21

» là dễ nhất: đặt ba số đối xứng

a - d; a; a + d

thì tổng rút gọn còn

3 a

, ra ngay

a = 7

mà chưa cần động tới

d

. Ràng buộc còn lại dùng đúng tính chất vừa chứng minh ở bài 2.29b: bình phương số giữa bằng tích hai số ngoài. Bẫy là phương trình bậc hai cho HAI giá trị của

d

, phải nhận cả hai vì cả hai đều cho bộ ba hợp lệ.

1Cách 1. Đặt ba ẩn rồi lập hệ ba phương trình

Định hướng. Gọi thẳng ba số cần tìm là $x; y; z$ và dịch từng dữ kiện của đề thành một phương trình; hai phương trình đầu cho ngay số ở giữa.

x + y + z = 21

ba số lập cấp số cộng nên

2 y = x + z

3 y = x + y + z = 21

nên

y = 7

và

x + z = 14

ba số mới là

x + 2; 10; z + 9

lập cấp số nhân nên

1 0^{2} = (x + 2) (z + 9)

z = 14 - x

nên

100 = (x + 2) (23 - x)

100 = - x^{2} + 21 x + 46

x^{2} - 21 x + 54 = 0

x = 3

hoặc

x = 18

x = 3

cho

z = 11

, ba số là

3; 7; 11

thử lại:

5; 10; 20

là cấp số nhân công bội

q = 2

x = 18

cho

z = - 4

, ba số là

18; 7; - 4

thử lại:

20; 10; 5

là cấp số nhân công bội

q = \frac{1}{2}

Vậy ba số cần tìm là $3; 7; 11$ hoặc $18; 7; - 4$ .

2Cách 2. Đặt ba số cấp số cộng theo kiểu đối xứng

Định hướng. Khai thác ngay ràng buộc dễ nhất: viết ba số là $a - d; a; a + d$ thì tổng chỉ còn $3 a$ , bài rút từ hai ẩn xuống một ẩn.

gọi ba số là

a - d; a; a + d

(a - d) + a + (a + d) = 3 a = 21

a = 7

, ba số là

7 - d; 7; 7 + d

ba số mới là

9 - d; 10; 16 + d

1 0^{2} = (9 - d) (16 + d)

100 = 144 - 7 d - d^{2}

d^{2} + 7 d - 44 = 0

d = 4

hoặc

d = - 11

d = 4

cho ba số

3; 7; 11

và bộ mới

5; 10; 20

với

q = 2

d = - 11

cho ba số

18; 7; - 4

và bộ mới

20; 10; 5

với

q = \frac{1}{2}

Vậy ba số cần tìm là $3; 7; 11$ hoặc $18; 7; - 4$ .

3Cách 3. Đi ngược từ cấp số nhân bằng cách đặt

\frac{b}{q}; b; b q

Định hướng. Đặt ẩn theo bộ ba CẤP SỐ NHÂN cũng đối xứng như vậy; khi đó tổng ba số mới đã biết ngay là $21 + (2 + 3 + 9)$ , còn điều kiện cấp số cộng cho một hệ thức nữa, ghép lại là ra $b$ .

gọi ba số mới lập cấp số nhân là

\frac{b}{q}; b; b q

với

b \neq = 0

q \neq = 0

tổng ba số mới bằng

21 + 2 + 3 + 9 = 35

\frac{b}{q} + b + b q = 35

ba số ban đầu là

\frac{b}{q} - 2; b - 3; b q - 9

lập cấp số cộng

2 (b - 3) = (\frac{b}{q} - 2) + (b q - 9)

\frac{b}{q} + b q = 2 b + 5

(2 b + 5) + b = 35

b = 10

\frac{10}{q} + 10 q = 25

2 q^{2} - 5 q + 2 = 0

q = 2

hoặc

q = \frac{1}{2}

q = 2

cho bộ mới

5; 10; 20

và ba số ban đầu

3; 7; 11

q = \frac{1}{2}

cho bộ mới

20; 10; 5

và ba số ban đầu

18; 7; - 4

Vậy ba số cần tìm là $3; 7; 11$ hoặc $18; 7; - 4$ .

Nhận xét. Hai đáp án chính là một bộ đọc xuôi và bộ kia đọc ngược của cùng một cấu hình cấp số nhân $5; 10; 20$ và $20; 10; 5$ — đó là lí do phương trình bậc hai luôn cho đúng hai nghiệm và không được bỏ nghiệm nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: phép đặt đối xứng

a - d; a; a + d

triệt tiêu

d

ngay ở phương trình tổng, đưa bài về một phương trình bậc hai duy nhất, ngắn hơn hẳn hệ ba ẩn ở Cách 1.

Đáp số. Ba số là

3; 7; 11

hoặc

18; 7; - 4

Sai lầm thường gặp. Giải xong phương trình bậc hai chỉ lấy nghiệm dương

d = 4

rồi kết luận, bỏ mất bộ

18; 7; - 4

; thử lại thì bộ này vẫn thoả đủ hai điều kiện vì

18 + 7 - 4 = 21

và

20; 10; 5

là cấp số nhân công bội

\frac{1}{2}

. Lỗi thứ hai là loại bộ

18; 7; - 4

vì thấy có số âm — điều kiện khác

0

chỉ đặt cho ba số MỚI

20; 10; 5

, còn ba số ban đầu chỉ cần lập cấp số cộng nên âm vẫn hợp lệ.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật đặt đối xứng, thử bài: tìm ba số lập cấp số nhân có tổng bằng

14

và tổng các bình phương bằng

84

— đặt

\frac{b}{q}; b; b q

sẽ ra bộ

2; 4; 8

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 57

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.31★★Trang 57— Cấp số cộng trong bài toán độ cao bậc thang

2.31 (trang 57). Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân

0, 5

m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm

25

bậc, mỗi bậc cao

16

cm.
a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ

n

so với mặt sân.
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.

Kiến thức cần nhớ

Cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
Đổi đơn vị: $16$ cm $= 0, 16$ m và $0, 5$ m $= 50$ cm.
Độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt sân bằng độ cao sàn tầng một cộng tổng chiều cao $n$ bậc.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi bậc cao hơn bậc liền trước đúng

16

cm — hiệu không đổi, đó là dấu hiệu của cấp số cộng với công sai

d = 0, 16

m. Điều cần cẩn thận là MỐC ĐO: đề hỏi độ cao so với MẶT SÂN chứ không phải so với sàn tầng một, nên mọi độ cao đều phải cộng thêm

0, 5

m. Từ đó bậc thứ nhất cao

0, 5 + 0, 16 = 0, 66

m chứ không phải

0, 5

m. Bẫy thứ hai là câu b: sàn tầng hai chính là mức của bậc trên cùng, tức bậc thứ

25

, chứ không phải bậc thứ

26

nào cả. Nên đổi hết về xăng-ti-mét để tính bằng số nguyên cho khỏi sai số.

1Cách 1. Tính vài bậc đầu rồi rút ra quy luật

Định hướng. Tính độ cao vài bậc đầu so với mặt sân, thấy mỗi bậc hơn bậc trước đúng $0, 16$ m thì viết được ngay công thức.

a) bậc thứ nhất:

0, 5 + 0, 16 = 0, 66

(m)
bậc thứ hai:

0, 66 + 0, 16 = 0, 82

(m)
bậc thứ ba:

0, 82 + 0, 16 = 0, 98

(m)
mỗi bậc cao hơn bậc liền trước

0, 16

m nên độ cao các bậc lập cấp số cộng

u_{n} = 0, 5 + 0, 16 n

(m) với

1 \leq n \leq 25

b) sàn tầng hai ở mức bậc trên cùng, tức bậc thứ

25

u_{25} = 0, 5 + 0, 16 \cdot 25

u_{25} = 0, 5 + 4 = 4, 5

(m)

Vậy a) $u_{n} = 0, 5 + 0, 16 n$ (m); b) sàn tầng hai cao $4, 5$ m so với mặt sân.

2Cách 2. Dùng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Định hướng. Xác định $u_{1}$ và $d$ rồi áp thẳng công thức $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ , sau đó rút gọn để thấy dạng đẹp nhất của công thức.

u_{1} = 0, 5 + 0, 16 = 0, 66

(m) và

d = 0, 16

(m)

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = 0, 66 + 0, 16 (n - 1)

u_{n} = 0, 66 + 0, 16 n - 0, 16

u_{n} = 0, 5 + 0, 16 n

(m)

u_{25} = 0, 66 + 0, 16 \cdot 24

u_{25} = 0, 66 + 3, 84 = 4, 5

(m)

Vậy a) $u_{n} = 0, 5 + 0, 16 n$ (m); b) sàn tầng hai cao $4, 5$ m so với mặt sân.

3Cách 3. Tách thành hai phần và tính bằng xăng-ti-mét

Định hướng. Độ cao của bậc thứ $n$ gồm hai phần rõ rệt: phần nền cố định $50$ cm và phần cầu thang $16 n$ cm; làm việc với số nguyên nên không có sai số thập phân nào.

a) độ cao sàn tầng một so với mặt sân là

50

cm
tổng chiều cao của

n

bậc là

16 n

u_{n} = 50 + 16 n

(cm)

u_{n} = 0, 5 + 0, 16 n

(m)

u_{25} = 50 + 16 \cdot 25

u_{25} = 50 + 400 = 450

(cm)

450

= 4, 5

Vậy a) $u_{n} = 50 + 16 n$ (cm), tức $u_{n} = 0, 5 + 0, 16 n$ (m); b) sàn tầng hai cao $450$ cm, tức $4, 5$ m so với mặt sân.

Nhận xét. Viết dưới dạng $u_{n} = 0, 5 + 0, 16 n$ đọc rất rõ ý nghĩa: hằng số $0, 5$ là chiều cao nền, hệ số $0, 16$ là chiều cao một bậc; đây cũng là dạng $an + b$ của mọi cấp số cộng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: tách «nền cộng bậc» rồi tính bằng xăng-ti-mét cho toàn số nguyên, vừa nhanh vừa tránh hẳn cái bẫy

n

hay

n - 1

mà Cách 2 phải rút gọn mới thoát.

Đáp số. a)

u_{n} = 0, 5 + 0, 16 n

(m) với

1 \leq n \leq 25

; b) sàn tầng hai cao

4, 5

m so với mặt sân.

Sai lầm thường gặp. Quên phần nền

0, 5

m nên viết

u_{n} = 0, 16 n

và ra

4

m ở câu b. Lỗi thứ hai là dùng

u_{n} = 0, 5 + 0, 16 (n - 1)

vì coi bậc thứ nhất trùng với sàn tầng một, khi đó

u_{25} = 0, 5 + 3, 84 = 4, 34

m — thiếu đúng một bậc; kiểm nhanh bằng bậc thứ nhất: nó phải cao hơn sàn tầng một

16

cm, tức

0, 66

m chứ không phải

0, 5

🚀 Mở rộng. Tổng quát: sàn tầng một cao

h

, cầu thang

N

bậc mỗi bậc cao

c

thì

u_{n} = h + n c

và sàn tầng hai ở độ cao

h + N c

; thử tìm bậc đầu tiên cao quá

3

m so với mặt sân — từ

0, 5 + 0, 16 n > 3

suy ra

n > 15, 625

nên đó là bậc thứ

16

ở độ cao

3, 06

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 57

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.32★★★★Trang 57— Tổng cấp số nhân trong bài toán diện tích lặp

2.32 (trang 57). Một hình vuông màu vàng có cạnh

1

đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1. Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Sau lượt thứ $k$ có $8^{k - 1}$ ô xanh mới, mỗi ô có diện tích $\frac{1}{9 ^{k}}$ .
Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân công bội $q \neq = 1$ : $S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ .
Phần diện tích còn màu vàng sau mỗi lượt được nhân với $\frac{8}{9}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phải đọc thật kĩ cơ chế lặp: sau mỗi lượt, MỖI hình vuông vàng lại sinh ra một ô xanh ở giữa và tám ô vàng nhỏ hơn quanh nó, còn ô đã xanh thì giữ nguyên không chia tiếp. Vậy số ô vàng nhân lên

8

lần trong khi diện tích mỗi ô chia cho

9

, nên phần diện tích XANH THÊM ở mỗi lượt lập thành cấp số nhân công bội

q = \frac{8}{9}

— dấu hiệu để dùng công thức tổng

S_{n}

thay vì cộng năm phân số. Bẫy nằm ở lượt thứ hai: nhiều bạn tưởng mỗi lượt chỉ thêm một ô xanh, trong khi nhìn hình giữa của Hình 2.1 đếm được đúng tám ô xanh nhỏ mới xuất hiện.

1Cách 1. Cộng diện tích xanh thêm ở từng lượt bằng công thức tổng cấp số nhân

Định hướng. Tính diện tích xanh mới sinh ra ở lượt thứ nhất và lượt thứ hai để nhận ra công bội, rồi áp công thức tổng cho năm số hạng.

lượt

1

: một ô xanh cạnh

\frac{1}{3}

, diện tích

S^{(1)} = \frac{1}{9}

lượt

2

: tám ô xanh, mỗi ô diện tích

\frac{1}{81}

, nên

S^{(2)} = \frac{8}{81}

\frac{S ^{(2)}}{S ^{(1)}} = \frac{8}{81} \cdot \frac{9}{1} = \frac{8}{9}

dãy diện tích xanh thêm là cấp số nhân với

u_{1} = \frac{1}{9} \neq = 0

và

q = \frac{8}{9} \neq = 0

S_{5} = \frac{u _{1} ( 1 - q ^{5} )}{1 - q} = \frac{\frac{1}{9} [ 1 - ( \frac{8}{9} ) ^{5} ]}{1 - \frac{8}{9}}

1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}

S_{5} = 1 - (\frac{8}{9})^{5} = 1 - \frac{32 768}{59 049}

S_{5} = \frac{26 281}{59 049}

Vậy tổng diện tích các hình vuông màu xanh là $\frac{26 281}{59 049}$ đơn vị diện tích, xấp xỉ $0, 445$ .

2Cách 2. Tính phần còn vàng rồi lấy phần bù

Định hướng. Thay vì cộng năm mảnh xanh, hãy theo dõi phần VÀNG: mỗi lượt phần vàng bị mất đúng một phần chín nên diện tích vàng chỉ việc nhân với $\frac{8}{9}$ , và diện tích xanh là phần còn lại của hình vuông đơn vị.

gọi

V_{k}

là diện tích còn màu vàng sau lượt thứ

k

V_{0} = 1

V_{k} = \frac{8}{9} V_{k - 1}

vì mỗi ô vàng bị lấy đi ô giữa

V_{5} = (\frac{8}{9})^{5} = \frac{32 768}{59 049}

diện tích xanh

= 1 - V_{5} = 1 - \frac{32 768}{59 049} = \frac{26 281}{59 049}

Vậy tổng diện tích các hình vuông màu xanh là $\frac{26 281}{59 049}$ đơn vị diện tích.

3Cách 3. Đếm số ô xanh từng cỡ rồi quy đồng về mẫu chung

9^{5}

Định hướng. Đếm trực tiếp: lượt thứ $k$ sinh $8^{k - 1}$ ô xanh cỡ $\frac{1}{9 ^{k}}$ ; quy đồng cả năm số hạng về mẫu $9^{5}$ thì tử số cộng lại cho ngay kết quả dạng phân số tối giản.

diện tích xanh

= k = 1 \sum 5 \frac{8 ^{k - 1}}{9 ^{k}}

= \frac{1}{9} + \frac{8}{9 ^{2}} + \frac{8 ^{2}}{9 ^{3}} + \frac{8 ^{3}}{9 ^{4}} + \frac{8 ^{4}}{9 ^{5}}

= \frac{9 ^{4} + 8 \cdot 9 ^{3} + 8 ^{2} \cdot 9 ^{2} + 8 ^{3} \cdot 9 + 8 ^{4}}{9 ^{5}}

= \frac{6 561 + 5 832 + 5 184 + 4 608 + 4 096}{59 049}

= \frac{26 281}{59 049}

Vậy tổng diện tích các hình vuông màu xanh là $\frac{26 281}{59 049}$ đơn vị diện tích.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một số vì $k = 1 \sum n \frac{8 ^{k - 1}}{9 ^{k}} = 1 - (\frac{8}{9})^{n}$ ; Cách 2 đẹp nhất vì biến một tổng năm số hạng thành một phép luỹ thừa duy nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần nhận ra phần vàng nhân

\frac{8}{9}

mỗi lượt là viết ngay

1 - (\frac{8}{9})^{5}

trong hai dòng, không phải nhớ công thức tổng cấp số nhân.

Đáp số.

\frac{26 281}{59 049}

đơn vị diện tích (xấp xỉ

0, 445

Sai lầm thường gặp. Tưởng mỗi lượt chỉ thêm MỘT ô xanh nên tính

\frac{1}{9} + \frac{1}{81} + \dots + \frac{1}{9 ^{5}}

và ra khoảng

0, 125

; nhìn hình giữa của Hình 2.1 sẽ đếm được tám ô xanh nhỏ mới xuất hiện ở lượt thứ hai chứ không phải một. Lỗi thứ hai là chia tiếp cả ô đã xanh, khi đó công bội bị lấy thành

1

và tổng vọt lên

\frac{5}{9}

— đề nói rõ chỉ hình vuông màu VÀNG mới được chia tiếp.

🚀 Mở rộng. Tổng quát sau

n

lượt diện tích xanh là

1 - (\frac{8}{9})^{n}

; cho

n

lớn dần thì

(\frac{8}{9})^{n}

nhỏ tuỳ ý nên diện tích xanh tiến tới

1

— tấm thảm Sierpinski giới hạn có phần vàng với diện tích bằng

0

Nguồn: SGK Toán 11 — KNTT, tập 1, trang 57

Mở bài này trong app ↗