Hoạt động thực hành trải nghiệm

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Lực căng mặt ngoài của nước

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · HĐ1★Trang 128— Thu thập số liệu đo đạc và ghi vào bảng ghép nhóm bằng dấu gạch

HĐ1 (trang 128). Thu thập dữ liệu.
Chuẩn bị: nước, nước nóng; xà phòng; nhiệt kế; cốc, thìa, ống hút; giấy bóng kính, giấy có đường kẻ chia centimét; bút, giấy.
Thực hiện:
• Nhóm 1:
– Bước 1. Pha xà phòng vào nước ở nhiệt độ phòng
– Bước 2. Đặt tờ giấy kẻ ô li xuống dưới tấm nhựa
– Bước 3. Dùng thìa múc một lượng nước xà phòng đổ lên trên tấm nhựa
– Bước 4. Dùng ống hút thổi bóng đến khi bóng vỡ
– Bước 5. Xác định đường kính bong bóng
– Bước 6. Lưu kết quả đo vào bảng theo mẫu sau:

Đường kính bong bóng (cm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$	$[12; 14)$	$[14; 16)$	$[16; 18)$	$[18; 20)$	$[20; 22)$
Kết quả (đánh dấu /)		/	///

Bảng 1. Kết quả thí nghiệm trên nước xà phòng ở nhiệt độ phòng
• Nhóm 2: Thực hiện tương tự với nước nóng (70 °C – 80 °C).

Kiến thức cần nhớ

Nhóm $[a; b)$ gồm các giá trị $x$ thỏa mãn $a \leq x < b$ : đầu mút trái thuộc nhóm, đầu mút phải thuộc nhóm kế tiếp.
Đường tròn có đường kính $d$ : chu vi $C = π d$ , diện tích $S = \frac{π d ^{2}}{4}$ .
Mỗi lần đo ghi đúng một dấu gạch vào ô của nhóm chứa số đo; gạch thành bó $5$ để đếm nhanh.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là hoạt động đo đạc: đại lượng cần ghi là đường kính vết tròn mà bong bóng để lại trên tấm nhựa, đọc nhờ lưới ô 1 cm đặt bên dưới. Có ba cách đo khác nhau về bản chất: đo thẳng dây cung dài nhất, đo chu vi rồi chia cho

π

, hoặc đếm ô để lấy diện tích rồi suy ra đường kính. Bẫy nằm ở quy ước nửa khoảng: bóng đúng

6

cm phải gạch vào nhóm

[6; 8)

chứ không phải

[4; 6)

1Cách 1. Đo trực tiếp đường kính trên lưới ô 1 cm

Định hướng. Đường kính là dây cung dài nhất của vết tròn, nên đặt thước (hoặc đếm ô) theo đường nằm ngang đi qua tâm vết.

Hai mép vết tròn trên cùng một dòng kẻ:

A

và

B

A B

phủ đúng

7

ô nên

d = A B = 7 \cdot 1 = 7

(cm)

6 \leq 7 < 8

nên số đo thuộc nhóm

[6; 8)

Ghi một dấu / vào ô

[6; 8)

của Bảng 1

Vậy mỗi bong bóng cho một số đo $d$ (cm), gạch một dấu / vào ô của nhóm $[a; a + 2)$ chứa $d$ ; Bảng 1 mẫu trong sách có $1$ bóng thuộc nhóm $[4; 6)$ và $3$ bóng thuộc nhóm $[6; 8)$ .

2Cách 2. Đo chu vi vết tròn rồi chia cho π

Định hướng. Vết bóng vỡ nhiều khi không thật tròn, khó chọn đúng tâm; đặt một sợi chỉ men theo mép vết, duỗi ra đo chu vi $C$ rồi dùng $d = \frac{C}{π}$ — cách này tự “lấy trung bình” mọi hướng.

Chu vi đo được, chẳng hạn

C \approx 22

d = \frac{C}{π} \approx \frac{22}{3 , 1416} \approx 7, 00

(cm)

6 \leq 7, 00 < 8

nên số đo thuộc nhóm

[6; 8)

Vậy đo chu vi $C$ rồi tính $d = \frac{C}{π}$ và gạch vào nhóm chứa $d$ ; kết quả trùng với cách đo trực tiếp.

3Cách 3. Đếm ô để lấy diện tích rồi suy ra đường kính

Định hướng. Giấy kẻ ô $1$ cm cho phép đếm diện tích vết tròn: ô nằm trọn tính $1$ , ô bị cắt tính $\frac{1}{2}$ ; từ $S = \frac{π d ^{2}}{4}$ suy ra $d$ .

Diện tích đếm được, chẳng hạn

S \approx 38, 5

cm²

d = 2 \frac{S}{π} \approx 2 \frac{38 , 5}{3 , 1416} \approx 2 \cdot 3, 50 = 7, 00

(cm)

6 \leq 7, 00 < 8

nên số đo thuộc nhóm

[6; 8)

Vậy ba cách đo cho cùng số đo $d \approx 7$ cm và cùng một ô $[6; 8)$ trong Bảng 1.

Nhận xét. Nên đo mỗi bóng bằng Cách 1 rồi kiểm lại vài bóng bằng Cách 2; nhóm 2 phải dùng nhiệt kế giữ nước ở $70$ – $80$ °C trong suốt lúc thổi, nếu nước nguội dần thì số liệu hai nhóm không còn so sánh được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm thí nghiệm nên dùng Cách 1 vì nhanh, đọc thẳng trên lưới ô; khi vết không tròn hẳn thì Cách 2 (đo chu vi) cho số đo đáng tin hơn.

Đáp số. Mỗi nhóm thổi nhiều bong bóng, đo đường kính

d

(cm) từng bóng trên lưới ô 1 cm và gạch một dấu / vào ô của nhóm

[a; a + 2)

chứa

d

(bóng đúng

6

cm vào nhóm

[6; 8)

). Nhóm 1 dùng nước xà phòng ở nhiệt độ phòng, Nhóm 2 dùng nước xà phòng nóng

70

°C –

80

°C.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là gạch bóng có đường kính đúng

6

cm vào ô

[4; 6)

; theo quy ước nửa khoảng,

6

thuộc

[6; 8)

. Sai lầm thứ hai là đo bán kính rồi ghi luôn vào bảng: một vết có bán kính

3, 5

cm mà ghi

3, 5

sẽ rơi vào nhóm

[2; 4)

thay vì

[6; 8)

. Sai lầm thứ ba là để nước nóng nguội dần trong lúc thổi, khiến Nhóm 2 không còn đúng điều kiện

70

°C –

80

°C.

🚀 Mở rộng. Nếu vết bóng hơi dẹt thành hình elip với hai trục đo được

7

cm và

6

cm, hãy so sánh ba cách ghi số đo: lấy trung bình hai trục, lấy

\frac{C}{π}

và lấy

2 \frac{S}{π}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 129— Lập bảng tần số ghép nhóm từ bảng đánh dấu gạch

HĐ2 (trang 129). Lập bảng tần số ghép nhóm cho kết quả thí nghiệm thu được ở hai nhóm theo mẫu sau:

Đường kính bong bóng (cm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$	$[12; 14)$	$[14; 16)$	$[16; 18)$	$[18; 20)$	$[20; 22)$
Tần số Nhóm 1
Tần số Nhóm 2

Bảng 2. Bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu đường kính bong bóng

Kiến thức cần nhớ

Tần số của nhóm là số giá trị của mẫu thuộc nhóm đó; tổng các tần số bằng cỡ mẫu $n$ .
Tần số tích lũy của nhóm thứ $i$ là tổng tần số từ nhóm đầu đến nhóm thứ $i$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tần số của một nhóm chính là số dấu / trong ô của nhóm đó, nên chỉ cần đếm chính xác rồi kiểm tổng. Số liệu thật do mỗi lớp tự đo; lời giải minh họa bằng kết quả của lớp 11B ở HĐ4 để có số cụ thể. Bẫy: bảng của lớp 11B ghi Nhóm 2 ở hàng trên, Nhóm 1 ở hàng dưới, và chỉ có tám nhóm từ

[4; 6)

đến

[18; 20)

— hai nhóm

[2; 4)

[20; 22)

của Bảng 2 có tần số

0

1Cách 1. Đếm dấu gạch theo bó năm

Định hướng. Mỗi bó “/////” là $5$ , cộng thêm số gạch lẻ; làm lần lượt từng ô của hai hàng.

Đường kính bong bóng (cm)	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$	$[12; 14)$	$[14; 16)$	$[16; 18)$	$[18; 20)$
Nhóm 2			/	//	/	///// ///	///// ///	//
Nhóm 1	/	/	///// ////	///// ////	////	////	/

Nhóm 1:

[8; 10)

và

[10; 12)

có

5 + 4 = 9

;

[12; 14)

và

[14; 16)

có

4

Nhóm 2:

[14; 16)

và

[16; 18)

có

5 + 3 = 8

n_{1} = 1 + 1 + 9 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 = 29

n_{2} = 0 + 0 + 1 + 2 + 1 + 8 + 8 + 2 = 22

Đường kính bong bóng (cm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$	$[12; 14)$	$[14; 16)$	$[16; 18)$	$[18; 20)$	$[20; 22)$
Tần số Nhóm 1	$0$	$1$	$1$	$9$	$9$	$4$	$4$	$1$	$0$	$0$
Tần số Nhóm 2	$0$	$0$	$0$	$1$	$2$	$1$	$8$	$8$	$2$	$0$

Vậy Bảng 2 được điền như trên, với cỡ mẫu $n_{1} = 29$ (Nhóm 1) và $n_{2} = 22$ (Nhóm 2).

2Cách 2. Từ danh sách số đo, sắp xếp rồi cắt theo các mốc

Định hướng. Nếu nhóm ghi số đo cụ thể của từng bóng thay vì gạch, sắp xếp các số đo tăng dần; mỗi nhóm là một đoạn liên tiếp giữa hai mốc $2$ , $4$ , $6$ , ..., $22$ nên đếm độ dài từng đoạn là ra tần số.

Dãy sắp xếp Nhóm 1 được cắt tại các mốc

6

;

8

;

10

;

12

;

14

;

16

;

18

Độ dài các đoạn:

1

;

1

;

9

;

9

;

4

;

4

;

1

và tổng

29

Dãy sắp xếp Nhóm 2 được cắt tại các mốc

10

;

12

;

14

;

16

;

18

;

20

Độ dài các đoạn:

1

;

2

;

1

;

8

;

8

;

2

và tổng

22

Vậy tần số hai nhóm trùng với bảng ở Cách 1.

3Cách 3. Đếm số bóng dưới mỗi mốc rồi lấy hiệu

Định hướng. Đếm số bóng có đường kính nhỏ hơn mỗi mốc (tần số tích lũy); tần số một nhóm là hiệu hai số đếm liên tiếp — cách này tự kiểm được tổng ở cột cuối.

Đường kính (cm)	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$	$[12; 14)$	$[14; 16)$	$[16; 18)$	$[18; 20)$
Tần số tích lũy Nhóm 1	$1$	$2$	$11$	$20$	$24$	$28$	$29$	$29$
Tần số tích lũy Nhóm 2	$0$	$0$	$1$	$3$	$4$	$12$	$20$	$22$

Nhóm 1:

2 - 1 = 1

;

11 - 2 = 9

;

20 - 11 = 9

;

24 - 20 = 4

;

28 - 24 = 4

;

29 - 28 = 1

Nhóm 2:

1 - 0 = 1

;

3 - 1 = 2

;

4 - 3 = 1

;

12 - 4 = 8

;

20 - 12 = 8

;

22 - 20 = 2

Vậy tần số hai nhóm như ở Cách 1, cột cuối của bảng tích lũy cho đúng $n_{1} = 29$ , $n_{2} = 22$ .

Nhận xét. Bảng tần số tích lũy lập ở đây dùng lại ngay để tìm trung vị ở HĐ3, nên lập một lần được hai việc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1 khi đã gạch sẵn trên bảng như Bảng 1; lập thêm dòng tần số tích lũy của Cách 3 để kiểm tổng và dùng luôn cho HĐ3.

Đáp số. Với số liệu lớp 11B (HĐ4): Nhóm 1 có tần số

0

;

1

;

1

;

9

;

9

;

4

;

4

;

1

;

0

;

0

ứng với các nhóm

[2; 4)

, ...,

[20; 22)

, cỡ mẫu

29

; Nhóm 2 có tần số

0

;

0

;

0

;

1

;

2

;

1

;

8

;

8

;

2

;

0

, cỡ mẫu

22

. Mỗi lớp điền Bảng 2 bằng số liệu tự đo theo cùng cách đếm.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là đọc nhầm hàng: bảng của lớp 11B ghi Nhóm 2 ở trên, nếu chép theo thứ tự trên xuống thành “Nhóm 1” thì toàn bộ kết luận HĐ4 bị đảo ngược. Sai lầm thứ hai là đếm bó “/////” thành

4

(đếm bốn nét nghiêng rồi bỏ nét thứ năm), khi đó Nhóm 1 chỉ còn

27

bóng — kiểm tổng sẽ lộ ngay.

🚀 Mở rộng. Lập thêm dòng tần số tương đối (%) cho hai nhóm: vì cỡ mẫu

29

và

22

khác nhau, chỉ tần số tương đối mới so sánh trực tiếp được hai hàng của Bảng 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ3★★Trang 129— Tính số trung bình, trung vị, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm và so sánh hai mẫu

HĐ3 (trang 129). Dựa vào Bảng 2, hãy tính và so sánh số trung bình, trung vị, mốt của mẫu dữ liệu thu được về đường kính bong bóng của mỗi nhóm.

Kiến thức cần nhớ

Số trung bình: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$ , $x_{i}$ là giá trị đại diện (trung điểm) của nhóm $i$ .
Trung vị: $M_{e} = u_{m} + \frac{\frac{n}{2} - C}{m _{m}} (u_{m + 1} - u_{m})$ , với $[u_{m}; u_{m + 1})$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy không nhỏ hơn $\frac{n}{2}$ và $C$ là tần số tích lũy của nhóm liền trước.
Mốt: $M_{o} = u_{m} + \frac{m _{m} - m _{m - 1}}{( m _{m} - m _{m - 1} ) + ( m _{m} - m _{m + 1} )} (u_{m + 1} - u_{m})$ , với $[u_{m}; u_{m + 1})$ là nhóm chứa mốt.

🧠 Phân tích tư duy

Ba số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu ghép nhóm đều có công thức: trung bình dùng giá trị đại diện, trung vị nội suy trong nhóm chứa vị trí

\frac{n}{2}

, mốt nội suy trong nhóm có tần số lớn nhất. Minh họa bằng số liệu lớp 11B; các nhóm thay bằng số liệu tự đo và làm y hệt. Điểm đặc biệt: mỗi nhóm có HAI nhóm chứa mốt kề nhau với cùng tần số, cần xử lí cẩn thận.

1Cách 1. Áp dụng thẳng ba công thức

Định hướng. Giá trị đại diện của các nhóm là $3$ ; $5$ ; $7$ ; ...; $21$ . Tính lần lượt $\overset{x}{ˉ}$ , $M_{e}$ , $M_{o}$ cho từng nhóm.

Nhóm 1 (

n_{1} = 29

\overset{x}{ˉ}_{1} = \frac{1 \cdot 5 + 1 \cdot 7 + 9 \cdot 9 + 9 \cdot 11 + 4 \cdot 13 + 4 \cdot 15 + 1 \cdot 17}{29} = \frac{321}{29} \approx 11, 07

\frac{n _{1}}{2} = 14, 5

, tần số tích lũy

1

;

2

;

11

;

20

nên nhóm chứa trung vị là

[10; 12)

M_{e 1} = 10 + \frac{14 , 5 - 11}{9} \cdot 2 = 10 + \frac{7}{9} \approx 10, 78

Nhóm chứa mốt

[8; 10)

M_{o 1} = 8 + \frac{9 - 1}{( 9 - 1 ) + ( 9 - 9 )} \cdot 2 = 8 + 2 = 10

Nhóm 2 (

n_{2} = 22

\overset{x}{ˉ}_{2} = \frac{1 \cdot 9 + 2 \cdot 11 + 1 \cdot 13 + 8 \cdot 15 + 8 \cdot 17 + 2 \cdot 19}{22} = \frac{338}{22} = \frac{169}{11} \approx 15, 36

\frac{n _{2}}{2} = 11

, tần số tích lũy

1

;

3

;

4

;

12

nên nhóm chứa trung vị là

[14; 16)

M_{e 2} = 14 + \frac{11 - 4}{8} \cdot 2 = 14 + 1, 75 = 15, 75

Nhóm chứa mốt

[14; 16)

M_{o 2} = 14 + \frac{8 - 1}{( 8 - 1 ) + ( 8 - 8 )} \cdot 2 = 14 + 2 = 16

\overset{x}{ˉ}_{2} - \overset{x}{ˉ}_{1} \approx 4, 29

;

M_{e 2} - M_{e 1} \approx 4, 97

;

M_{o 2} - M_{o 1} = 6

Vậy Nhóm 1: $\overset{x}{ˉ}_{1} \approx 11, 07$ cm, $M_{e 1} \approx 10, 78$ cm, $M_{o 1} = 10$ cm; Nhóm 2: $\overset{x}{ˉ}_{2} \approx 15, 36$ cm, $M_{e 2} = 15, 75$ cm, $M_{o 2} = 16$ cm. Cả ba số đặc trưng của Nhóm 2 đều lớn hơn của Nhóm 1 khoảng $4$ đến $6$ cm.

2Cách 2. Đổi biến cho số trung bình, tần số tương đối cho trung vị, nhóm mốt kề nhau cho mốt

Định hướng. Các giá trị đại diện cách đều $2$ nên đặt $u = \frac{x - 13}{2}$ để chỉ cộng số nguyên nhỏ; trung vị đọc qua phần trăm tích lũy; mốt kiểm lại bằng nhóm chứa mốt thứ hai.

Nhóm 1:

u = - 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2

với tần số

1; 1; 9; 9; 4; 4; 1

\sum m_{i} u_{i} = - 4 - 3 - 18 - 9 + 0 + 4 + 2 = - 28

\overset{x}{ˉ}_{1} = 13 + 2 \cdot \frac{- 28}{29} = \frac{377 - 56}{29} = \frac{321}{29} \approx 11, 07

Phần trăm tích lũy tại

10

và

12

\frac{11}{29} \approx 37, 9%

và

\frac{20}{29} \approx 69, 0%

M_{e 1} = 10 + \frac{50 - 37 , 93}{68 , 97 - 37 , 93} \cdot 2 \approx 10 + 0, 78 = 10, 78

Nhóm chứa mốt thứ hai

[10; 12)

M_{o 1} = 10 + \frac{9 - 9}{( 9 - 9 ) + ( 9 - 4 )} \cdot 2 = 10

Nhóm 2:

u = - 2; - 1; 0; 1; 2; 3

với tần số

1; 2; 1; 8; 8; 2

\sum m_{i} u_{i} = - 2 - 2 + 0 + 8 + 16 + 6 = 26

\overset{x}{ˉ}_{2} = 13 + 2 \cdot \frac{26}{22} = 13 + \frac{26}{11} = \frac{169}{11} \approx 15, 36

Phần trăm tích lũy tại

14

và

16

\frac{4}{22} \approx 18, 2%

và

\frac{12}{22} \approx 54, 5%

M_{e 2} = 14 + \frac{50 - 18 , 18}{54 , 55 - 18 , 18} \cdot 2 = 14 + 1, 75 = 15, 75

Nhóm chứa mốt thứ hai

[16; 18)

M_{o 2} = 16 + \frac{8 - 8}{( 8 - 8 ) + ( 8 - 2 )} \cdot 2 = 16

Vậy các kết quả trùng Cách 1; riêng mốt, dù chọn nhóm chứa mốt nào trong hai nhóm kề nhau, công thức đều cho đúng biên chung: $M_{o 1} = 10$ , $M_{o 2} = 16$ .

3Cách 3. Đọc trung vị trên đường tần số tích lũy, so sánh bằng hình

Định hướng. Vẽ đường gấp khúc tần số tích lũy (%) của hai nhóm trên cùng hệ trục; trung vị là hoành độ giao điểm với đường ngang $50%$ , còn mốt nằm ở chỗ đường dốc nhất.

Nhóm 1 đi qua

(10; 37, 9%)

và

(12; 69, 0%)

nên cắt đường

50%

tại

x = 10 + \frac{3 , 5}{9} \cdot 2 \approx 10, 78

Nhóm 2 đi qua

(14; 18, 2%)

và

(16; 54, 5%)

nên cắt đường

50%

tại

x = 14 + \frac{7}{8} \cdot 2 = 15, 75

Hai đoạn dốc nhất của Nhóm 1 là trên

[8; 12)

, gặp nhau tại

x = 10

Hai đoạn dốc nhất của Nhóm 2 là trên

[14; 18)

, gặp nhau tại

x = 16

Tần số tương đối

\frac{m _{i}}{n}

nhân giá trị đại diện:

\overset{x}{ˉ}_{2} = 9 \cdot \frac{1}{22} + 11 \cdot \frac{2}{22} + 13 \cdot \frac{1}{22} + 15 \cdot \frac{8}{22} + 17 \cdot \frac{8}{22} + 19 \cdot \frac{2}{22} \approx 15, 36

Vậy đường của Nhóm 2 nằm hẳn bên phải đường của Nhóm 1, nên mọi số đặc trưng của Nhóm 2 đều lớn hơn: $M_{e 1} \approx 10, 78 < M_{e 2} = 15, 75$ , $M_{o 1} = 10 < M_{o 2} = 16$ , $\overset{x}{ˉ}_{1} \approx 11, 07 < \overset{x}{ˉ}_{2} \approx 15, 36$ .

Nhận xét. Ở Nhóm 1, trung vị và mốt nhỏ hơn số trung bình vì có vài bóng rất lớn ( $[14; 18)$ ) kéo số trung bình lên; ở Nhóm 2 ngược lại, vài bóng nhỏ ( $[8; 12)$ ) kéo số trung bình xuống dưới trung vị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho trung vị và mốt, nhưng tính số trung bình theo đổi biến của Cách 2 để chỉ cộng số nguyên nhỏ; hình ở Cách 3 là cách nhanh nhất để so sánh hai nhóm.

Đáp số. Minh họa với số liệu lớp 11B: Nhóm 1 có

\overset{x}{ˉ}_{1} = \frac{321}{29} \approx 11, 07

cm,

M_{e 1} \approx 10, 78

cm,

M_{o 1} = 10

cm; Nhóm 2 có

\overset{x}{ˉ}_{2} = \frac{169}{11} \approx 15, 36

cm,

M_{e 2} = 15, 75

cm,

M_{o 2} = 16

cm. Cả ba số đặc trưng của Nhóm 2 (nước nóng) đều lớn hơn của Nhóm 1.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là lấy nhóm chứa trung vị theo vị trí “nhóm ở giữa bảng” thay vì theo tần số tích lũy: với Nhóm 2, nhóm ở giữa là

[12; 14)

nhưng

\frac{n}{2} = 11

rơi vào

[14; 16)

. Sai lầm thứ hai là lấy

C

bằng tần số tích lũy của CHÍNH nhóm chứa trung vị:

M_{e 1} = 10 + \frac{14 , 5 - 20}{9} \cdot 2 \approx 8, 78

— nằm ngoài nhóm

[10; 12)

, vô lí. Sai lầm thứ ba là dùng tần số tuyệt đối để “thấy” Nhóm 1 có nhiều bóng hơn nên bóng to hơn: cỡ mẫu

29

và

22

khác nhau, phải so sánh số đặc trưng.

🚀 Mở rộng. Tính thêm tứ phân vị:

Q_{1} \approx 9, 17

Q_{3} \approx 12, 88

(Nhóm 1) và

Q_{1} \approx 14, 38

Q_{3} \approx 17, 13

(Nhóm 2); chú ý

Q_{1}

của Nhóm 2 đã lớn hơn

Q_{3}

của Nhóm 1 — hãy giải thích ý nghĩa của điều này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ4★★★Trang 129— So sánh hai mẫu số liệu ghép nhóm qua các số đặc trưng và rút ra kết luận thực tiễn

HĐ4 (trang 129). Các bạn học sinh lớp 11B đã thực hiện thí nghiệm và thu được bảng kết quả sau:

Đường kính bong bóng (cm)	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$	$[12; 14)$	$[14; 16)$	$[16; 18)$	$[18; 20)$
Nhóm 2			/	//	/	///// ///	///// ///	//
Nhóm 1	/	/	///// ////	///// ////	////	////	/

a) Hãy thực hiện HĐ2 và HĐ3 dựa vào bảng kết quả thí nghiệm trên. Từ đó rút ra kết luận về ảnh hưởng của nhiệt độ lên sức căng bề mặt của nước xà phòng.
b) Tại sao giặt quần áo bằng nước ấm (với nhiệt độ thích hợp với chất liệu vải) sẽ làm sạch dễ dàng và nhanh chóng hơn?

Kiến thức cần nhớ

Lực căng bề mặt càng yếu thì bong bóng thổi được càng lớn (giả thiết của bài trải nghiệm).
Hai mẫu cỡ khác nhau được so sánh qua số đặc trưng hoặc tần số tương đối $\frac{m _{i}}{n}$ , không qua tần số $m_{i}$ .
Tứ phân vị $Q_{1}$ , $Q_{3}$ của mẫu ghép nhóm tính như trung vị, thay $\frac{n}{2}$ bằng $\frac{n}{4}$ và $\frac{3 n}{4}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Theo đầu bài trải nghiệm, lực căng càng yếu thì bong bóng càng lớn, nên muốn biết nhiệt độ ảnh hưởng thế nào đến lực căng chỉ cần so sánh “độ lớn điển hình” của đường kính hai nhóm. Hai nhóm có cỡ mẫu khác nhau (

29

và

22

) nên không được so tần số tuyệt đối; phải so số trung bình, trung vị, mốt, tứ phân vị hoặc tần số tương đối. Bẫy: trong bảng của lớp 11B, hàng trên là Nhóm 2 (nước nóng).

1Cách 1. So sánh ba số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Định hướng. Lập Bảng 2 từ bảng gạch (HĐ2), tính $\overset{x}{ˉ}$ , $M_{e}$ , $M_{o}$ cho từng nhóm (HĐ3) rồi đặt cạnh nhau.

Đường kính bong bóng (cm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$	$[10; 12)$	$[12; 14)$	$[14; 16)$	$[16; 18)$	$[18; 20)$	$[20; 22)$
Tần số Nhóm 1	$0$	$1$	$1$	$9$	$9$	$4$	$4$	$1$	$0$	$0$
Tần số Nhóm 2	$0$	$0$	$0$	$1$	$2$	$1$	$8$	$8$	$2$	$0$

Số đặc trưng	Nhóm 1 (nhiệt độ phòng)	Nhóm 2 (nước nóng)
Số trung bình	$\frac{321}{29} \approx 11, 07$	$\frac{169}{11} \approx 15, 36$
Trung vị	$10 + \frac{7}{9} \approx 10, 78$	$14 + \frac{7}{4} = 15, 75$
Mốt	$10$	$16$

\overset{x}{ˉ}_{1} \approx 11, 07 < 15, 36 \approx \overset{x}{ˉ}_{2}

M_{e 1} \approx 10, 78 < 15, 75 = M_{e 2}

M_{o 1} = 10 < 16 = M_{o 2}

Vậy a) bong bóng thổi từ nước xà phòng nóng lớn hơn rõ rệt (lớn hơn khoảng $4$ đến $6$ cm theo cả ba số đặc trưng); bóng càng lớn thì lực căng càng yếu, nên nhiệt độ càng cao thì sức căng bề mặt của nước xà phòng càng giảm. b) Nước ấm có sức căng bề mặt nhỏ hơn nên dễ lan rộng và thấm sâu vào khe giữa các sợi vải, đưa xà phòng tới tận chỗ bẩn và cuốn chất bẩn ra; vì thế giặt bằng nước ấm sạch hơn và nhanh hơn.

2Cách 2. So sánh cả phân bố qua tứ phân vị

Định hướng. Số trung bình có thể bị vài bóng rất to hoặc rất nhỏ kéo lệch; tứ phân vị cho biết cả “phần đông” bóng của mỗi nhóm nằm ở đâu.

Nhóm 1:

\frac{n _{1}}{4} = 7, 25

rơi vào

[8; 10)

Q_{1} = 8 + \frac{7 , 25 - 2}{9} \cdot 2 = \frac{55}{6} \approx 9, 17

\frac{3 n _{1}}{4} = 21, 75

rơi vào

[12; 14)

Q_{3} = 12 + \frac{21 , 75 - 20}{4} \cdot 2 = 12, 875

Nhóm 2:

\frac{n _{2}}{4} = 5, 5

rơi vào

[14; 16)

Q_{1} = 14 + \frac{5 , 5 - 4}{8} \cdot 2 = 14, 375

\frac{3 n _{2}}{4} = 16, 5

rơi vào

[16; 18)

Q_{3} = 16 + \frac{16 , 5 - 12}{8} \cdot 2 = 17, 125

Q_{1}

của Nhóm 2

= 14, 375 > 12, 875 = Q_{3}

của Nhóm 1

Vậy a) khoảng $75%$ số bóng của Nhóm 2 lớn hơn khoảng $75%$ số bóng của Nhóm 1: cả phân bố dịch hẳn sang phải chứ không chỉ số trung bình, nên kết luận “nhiệt độ cao làm giảm sức căng bề mặt” là chắc chắn, không do vài bóng cá biệt. b) Nước ấm làm lực căng bề mặt giảm, dung dịch xà phòng “ướt” vải tốt hơn: thấm vào sợi vải nhanh, bao lấy các hạt bẩn và kéo chúng ra khỏi vải; đồng thời xà phòng tan nhanh hơn trong nước ấm, nên giặt sạch hơn trong thời gian ngắn hơn.

3Cách 3. So sánh tần số tương đối trên biểu đồ

Định hướng. Đổi tần số sang phần trăm để hai cỡ mẫu $29$ và $22$ ngang hàng, rồi so tỉ lệ bóng nhỏ và bóng lớn của hai nhóm.

Bóng nhỏ hơn

12

cm: Nhóm 1 có

\frac{1 + 1 + 9 + 9}{29} = \frac{20}{29} \approx 69%

; Nhóm 2 có

\frac{1 + 2}{22} = \frac{3}{22} \approx 14%

Bóng từ

14

cm trở lên: Nhóm 1 có

\frac{4 + 1}{29} = \frac{5}{29} \approx 17%

; Nhóm 2 có

\frac{8 + 8 + 2}{22} = \frac{9}{11} \approx 82%

Tỉ số hai số trung bình:

\frac{x ˉ _{2}}{x ˉ _{1}} = \frac{169}{11} : \frac{321}{29} = \frac{4 901}{3 531} \approx 1, 39

Vậy a) trên biểu đồ, các cột của Nhóm 2 dồn hẳn về phía đường kính lớn, đường kính trung bình lớn gấp khoảng $1, 39$ lần; nhiệt độ tăng thì bong bóng to hơn, tức sức căng bề mặt của nước xà phòng giảm khi nhiệt độ tăng. b) Cũng như bong bóng dễ nở to trong nước nóng, nước giặt ấm có sức căng bề mặt nhỏ nên len vào các kẽ sợi vải dễ dàng; chất bẩn bám trên sợi vải được dung dịch xà phòng bao lấy và cuốn đi nhanh, nên quần áo sạch dễ và nhanh hơn. Chỉ cần chọn nhiệt độ hợp với chất liệu vải để vải không co rút hay phai màu.

Nhận xét. Cỡ mẫu nhỏ (chỉ $29$ và $22$ bóng) nên các con số chỉ là ước lượng; nhưng ba cách nhìn — số đặc trưng, tứ phân vị, tần số tương đối — cùng chỉ một chiều, nên kết luận đáng tin.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Trình bày bài nên dùng Cách 1 vì đúng yêu cầu “thực hiện HĐ2 và HĐ3”; muốn kết luận chắc chắn thì bổ sung một dòng tứ phân vị của Cách 2:

Q_{1}

Nhóm 2 lớn hơn

Q_{3}

Nhóm 1.

Đáp số. a) Nhóm 1:

n_{1} = 29

\overset{x}{ˉ}_{1} \approx 11, 07

cm,

M_{e 1} \approx 10, 78

cm,

M_{o 1} = 10

cm; Nhóm 2:

n_{2} = 22

\overset{x}{ˉ}_{2} \approx 15, 36

cm,

M_{e 2} = 15, 75

cm,

M_{o 2} = 16

cm. Bóng thổi từ nước xà phòng nóng lớn hơn, chứng tỏ nhiệt độ càng cao thì sức căng bề mặt của nước xà phòng càng giảm. b) Nước ấm có sức căng bề mặt nhỏ hơn nên thấm sâu vào sợi vải, giúp xà phòng tiếp xúc và cuốn chất bẩn ra nhanh hơn.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thứ nhất là đọc hàng trên của bảng là Nhóm 1: khi đó mọi số đặc trưng bị hoán đổi và kết luận thành “nước nóng làm tăng sức căng” — ngược với thực tế. Sai lầm thứ hai là so tần số tuyệt đối, ví dụ thấy nhóm

[8; 10)

Nhóm 1 có

9

bóng còn Nhóm 2 chỉ

1

rồi kết luận ngay, bỏ qua việc hai cỡ mẫu khác nhau. Sai lầm thứ ba là kết luận ngược chiều “bóng to vì lực căng mạnh”: theo đầu bài, lực càng yếu thì bóng càng lớn.

🚀 Mở rộng. Làm thêm một nhóm với nước ấm khoảng

40

°C: nếu số trung bình đường kính rơi giữa

11, 07

và

15, 36

cm thì ta có thêm bằng chứng sức căng bề mặt giảm dần đều theo nhiệt độ — hãy vẽ ba điểm (nhiệt độ; đường kính trung bình) để kiểm tra.

Mở bài này trong app ↗