Hoạt động thực hành trải nghiệm

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Một vài áp dụng của Toán học trong tài chính

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #HoạtĐộngThựcHànhTrảiNghiệm #SGK_Tập1 #trang126–127 #BàiTiếpTheo

Bài 1 · HĐ1★★Trang 126— Niên kim — gửi đều đặn hằng kì, tính số tiền tích luỹ bằng tổng cấp số nhân

HĐ1 (trang 126). Số tiền của một niên kim. Bác Lan gửi đều đặn 10 triệu đồng vào ngày đầu mỗi tháng trong vòng 5 năm vào một tài khoản tích luỹ hưởng lãi suất 6% mỗi năm, theo hình thức tính lãi kép hằng tháng.
a) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ nhất, cuối kì thứ hai.
b) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ

n

.
c) Tính số tiền có trong tài khoản ngay sau lần thanh toán cuối cùng.

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép: số tiền $A$ sau $k$ kì với lãi suất $i$ mỗi kì thành $A (1 + i)^{k}$ .
Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân: $S_{n} = u_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ với $q \neq = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Lãi suất 6%/năm tính lãi kép hằng tháng nên lãi mỗi kì (tháng) là

i = 0, 5% = 0, 005

; 5 năm có 60 lần gửi. Mỗi khoản 10 triệu đồng gửi vào đầu tháng sẽ được nhân thêm

1, 005

sau mỗi tháng còn nằm trong tài khoản, nên số tiền ở một thời điểm là tổng các số hạng

10 \cdot 1, 00 5^{k}

— một cấp số nhân. Câu c: ngay sau lần gửi thứ 60 (đầu tháng 60), khoản cuối chưa kịp sinh lãi, khoản đầu đã sinh lãi 59 tháng.

1Cách 1. Theo dõi số dư từng kì rồi cộng cấp số nhân

Định hướng. Gọi $A_{k}$ (triệu đồng) là số tiền cuối kì thứ $k$ . Đầu kì thứ $k$ có $A_{k - 1} + 10$ , cuối kì nhân thêm $1, 005$ .

Lãi mỗi tháng:

i = 6% : 12 = 0, 5% = 0, 005

A_{1} = 10 \cdot 1, 005 = 10, 05

A_{2} = (A_{1} + 10) \cdot 1, 005 = 20, 05 \cdot 1, 005 = 20, 15025

A_{n} = 10 \cdot 1, 005 + 10 \cdot 1, 00 5^{2} + \dots + 10 \cdot 1, 00 5^{n}

A_{n} = 10 \cdot 1, 005 \cdot \frac{1 , 00 5 ^{n} - 1}{1 , 005 - 1}

A_{n} = 2010 (1, 00 5^{n} - 1)

c) Ngay sau lần gửi thứ 60 (đầu tháng 60):

T = A_{59} + 10

T = 10 + 10 \cdot 1, 005 + 10 \cdot 1, 00 5^{2} + \dots + 10 \cdot 1, 00 5^{59}

T = 10 \cdot \frac{1 , 00 5 ^{60} - 1}{0 , 005}

T = 2000 (1, 00 5^{60} - 1) \approx 2000 \cdot 0, 348850 \approx 697, 700

Vậy a) cuối kì thứ nhất có 10,05 triệu đồng, cuối kì thứ hai có 20,150 25 triệu đồng; b) cuối kì thứ $n$ có $A_{n} = 2010 (1, 00 5^{n} - 1)$ triệu đồng; c) ngay sau lần gửi cuối có khoảng 697,7 triệu đồng (≈ 697 700 305 đồng).

2Cách 2. Tính giá trị của từng khoản gửi rồi cộng lại

Định hướng. Khoản gửi vào đầu tháng $j$ nằm trong tài khoản đến cuối kì $n$ đúng $n - j + 1$ tháng, nên trở thành $10 \cdot 1, 00 5^{n - j + 1}$ .

a) Cuối kì 1: chỉ có khoản tháng 1, sinh lãi 1 tháng:

10 \cdot 1, 005 = 10, 05

Cuối kì 2: khoản tháng 1 sinh lãi 2 tháng, khoản tháng 2 sinh lãi 1 tháng:

10 \cdot 1, 00 5^{2} + 10 \cdot 1, 005 = 10, 10025 + 10, 05 = 20, 15025

b) Cuối kì

n

A_{n} = j = 1 \sum n 10 \cdot 1, 00 5^{n - j + 1} = k = 1 \sum n 10 \cdot 1, 00 5^{k}

Cấp số nhân

u_{1} = 10, 05

q = 1, 005

A_{n} = 10, 05 \cdot \frac{1 , 00 5 ^{n} - 1}{0 , 005} = 2010 (1, 00 5^{n} - 1)

c) Ngay sau lần gửi cuối, khoản tháng

j

đã sinh lãi

60 - j

tháng (

j = 1, 2, \dots, 60

T = j = 1 \sum 60 10 \cdot 1, 00 5^{60 - j} = k = 0 \sum 59 10 \cdot 1, 00 5^{k}

T = 10 \cdot \frac{1 , 00 5 ^{60} - 1}{0 , 005} \approx 697, 700

Vậy a) 10,05 và 20,150 25 triệu đồng; b) $A_{n} = 2010 (1, 00 5^{n} - 1)$ triệu đồng; c) khoảng 697,7 triệu đồng.

3Cách 3. Giải hệ thức truy hồi bằng dãy phụ

Định hướng. Từ $A_{k} = 1, 005 (A_{k - 1} + 10)$ , tìm hằng số $c$ để $A_{k} + c$ là cấp số nhân công bội $1, 005$ .

A_{0} = 0

A_{k} = 1, 005 A_{k - 1} + 10, 05

Cần

A_{k} + c = 1, 005 (A_{k - 1} + c)

\Leftrightarrow

10, 05 = 0, 005 c

\Leftrightarrow

c = 2010

Đặt

B_{k} = A_{k} + 2010

thì

B_{k} = 1, 005 B_{k - 1}

B_{0} = 2010

\Rightarrow B_{n} = 2010 \cdot 1, 00 5^{n}

A_{n} = 2010 \cdot 1, 00 5^{n} - 2010 = 2010 (1, 00 5^{n} - 1)

A_{1} = 2010 \cdot 0, 005 = 10, 05

;

A_{2} = 2010 \cdot 0, 010025 = 20, 15025

T = A_{59} + 10 = 2010 (1, 00 5^{59} - 1) + 10

T \approx 2010 \cdot 0, 342139 + 10 \approx 687, 700 + 10 = 697, 700

Vậy ba kết quả trùng với Cách 1: 10,05; 20,150 25; $A_{n} = 2010 (1, 00 5^{n} - 1)$ ; c) khoảng 697,7 triệu đồng.

Nhận xét. Tổng tiền gốc đã gửi là $60 \cdot 10 = 600$ triệu đồng, nên tiền lãi thu được khoảng 97,7 triệu đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 là cách nên nhớ: "mỗi khoản gửi sinh lãi bao nhiêu tháng" rồi cộng cấp số nhân — chính là con đường SGK dùng để lập công thức

A_{f} = R \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}

Đáp số. a) 10,05 triệu đồng và 20,150 25 triệu đồng; b)

A_{n} = 2010 (1, 00 5^{n} - 1)

triệu đồng; c)

10 \cdot \frac{1 , 00 5 ^{60} - 1}{0 , 005} \approx 697, 7

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Lấy lãi mỗi tháng là 6% (quên chia 12) hoặc lấy

n = 5

(số năm). Ở câu c cho khoản gửi cuối cùng cũng sinh lãi 1 tháng, ra

2010 (1, 00 5^{60} - 1) \approx 701, 19

triệu đồng — đó là số tiền cuối kì thứ 60, không phải ngay sau lần gửi cuối.

🚀 Mở rộng. Nếu cuối tháng thứ 60 bác Lan mới rút tiền thì nhận được

A_{60} = 2010 (1, 00 5^{60} - 1) \approx 701, 19

triệu đồng, nhiều hơn câu c đúng một tháng lãi (

697, 70 \cdot 0, 005 \approx 3, 49

triệu đồng).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Vận dụng 1★★Trang 126— Niên kim — tìm khoản gửi đều mỗi kì

R

khi biết số tiền tích luỹ

A_{f}

Vận dụng 1 (trang 126). Anh Bình cần đầu tư bao nhiêu tiền hằng tháng với lãi suất 9% mỗi năm, theo hình thức tính lãi kép hằng tháng, để có 200 triệu đồng sau hai năm?

Kiến thức cần nhớ

Số tiền của niên kim: $A_{f} = R \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}$ .
Lãi suất năm $r$ tính lãi kép hằng tháng thì lãi mỗi tháng là $i = r : 12$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài toán ngược của HĐ1: biết số tiền của niên kim

A_{f} = 200

triệu đồng, lãi mỗi tháng

i = 9% : 12 = 0, 75%

, số lần gửi

n = 24

; cần tìm

R

. Theo quy ước của SGK, mỗi khoản được gửi vào cuối kì, nên dùng

A_{f} = R \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}

rồi rút

R

. Vì là số tiền phải đủ, kết quả làm tròn lên.

1Cách 1. Rút

R

từ công thức số tiền của niên kim

Định hướng. Thay $A_{f} = 200$ , $i = 0, 0075$ , $n = 24$ vào $A_{f} = R \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}$ .

i = 9% : 12 = 0, 75% = 0, 0075

;

n = 2 \cdot 12 = 24

R = \frac{A _{f} \cdot i}{( 1 + i ) ^{n} - 1} = \frac{200 \cdot 0 , 0075}{1 , 007 5 ^{24} - 1}

R \approx \frac{1 , 5}{1 , 196 414 - 1} = \frac{1 , 5}{0 , 196 414}

R \approx 7, 637

(triệu đồng)

Vậy mỗi tháng anh Bình cần đầu tư khoảng 7 637 000 đồng (≈ 7,637 triệu đồng).

2Cách 2. Tự lập tổng cấp số nhân từ từng khoản gửi

Định hướng. Khoản gửi vào cuối tháng $k$ còn sinh lãi $24 - k$ tháng; cộng 24 khoản rồi cho tổng bằng 200.

Khoản cuối tháng

k

trở thành

R \cdot 1, 007 5^{24 - k}

(

k = 1, 2, \dots, 24

)

R + R \cdot 1, 0075 + \dots + R \cdot 1, 007 5^{23} = 200

R \cdot \frac{1 , 007 5 ^{24} - 1}{0 , 0075} = 200

R \cdot 26, 18847 \approx 200

R \approx 200 : 26, 18847 \approx 7, 637

Vậy anh Bình cần gửi khoảng 7,637 triệu đồng mỗi tháng.

Nhận xét. Hệ số $26, 18847$ là số tiền tích luỹ được nếu mỗi tháng gửi 1 triệu đồng; muốn có 200 triệu đồng thì chia 200 cho hệ số đó.

3Cách 3. Hệ thức truy hồi của số dư tài khoản

Định hướng. Gọi $S_{k}$ là số dư sau lần gửi thứ $k$ : $S_{k} = 1, 0075 S_{k - 1} + R$ , $S_{0} = 0$ . Đưa về cấp số nhân bằng dãy phụ.

S_{k} + \frac{R}{0 , 0075} = 1, 0075 (S_{k - 1} + \frac{R}{0 , 0075})

\Rightarrow S_{24} + \frac{R}{0 , 0075} = 1, 007 5^{24} \cdot \frac{R}{0 , 0075}

\Rightarrow S_{24} = \frac{R ( 1 , 007 5 ^{24} - 1 )}{0 , 0075}

S_{24} = 200 \Leftrightarrow R = \frac{1 , 5}{1 , 007 5 ^{24} - 1} \approx 7, 637

Vậy số tiền cần đầu tư hằng tháng khoảng 7 637 000 đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 nhanh nhất khi đã thuộc công thức

A_{f}

; bấm máy

1, 007 5^{24}

một lần rồi chia.

Đáp số.

R = \frac{200 \cdot 0 , 0075}{1 , 007 5 ^{24} - 1} \approx 7, 637

triệu đồng, tức khoảng 7 637 000 đồng mỗi tháng.

Sai lầm thường gặp. Dùng

i = 9%

và

n = 2

(tính theo năm) trong khi lãi kép tính hằng tháng. Chia thẳng

200 : 24 \approx 8, 33

triệu đồng là bỏ qua tiền lãi.

🚀 Mở rộng. Nếu anh Bình gửi vào đầu mỗi tháng (như bác Lan ở HĐ1) thì mỗi khoản sinh lãi thêm 1 tháng, chỉ cần

R = \frac{200 \cdot 0 , 0075}{1 , 0075 ( 1 , 007 5 ^{24} - 1 )} \approx 7, 580

triệu đồng. Với lãi suất 6%/năm thì cần

R = \frac{200 \cdot 0 , 005}{1 , 00 5 ^{24} - 1} \approx 7, 864

triệu đồng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ2★★Trang 126— Giá trị hiện tại của một khoản tiền — lãi kép ngược

HĐ2 (trang 126–127). Nhận biết giá trị hiện tại của một số tiền. Giả sử một người gửi tiết kiệm với lãi suất không đổi 6% một năm, theo hình thức tính lãi kép hằng quý.
a) Tính lãi suất

i

trong mỗi quý và số khoảng thời gian tính lãi trong vòng 5 năm.
b) Giả sử sau 5 năm người đó nhận được số tiền 100 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Tính giá trị hiện tại của số tiền 100 triệu đồng đó.

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép: $T = A (1 + i)^{n}$ $\Leftrightarrow$ $A = T (1 + i)^{- n}$ .
Lãi suất năm $r$ tính lãi kép hằng quý: lãi mỗi quý $i = r : 4$ , mỗi năm 4 kì.

🧠 Phân tích tư duy

Một năm có 4 quý nên lãi mỗi quý là

6% : 4

và 5 năm có

5 \cdot 4

kì tính lãi. Giá trị hiện tại là số tiền

x

gửi hôm nay sẽ thành 100 triệu đồng sau 20 kì:

x (1 + i)^{20} = 100

, tức là "chiết khấu" 100 triệu đồng về hiện tại bằng cách nhân với

(1 + i)^{- 20}

1Cách 1. Dùng công thức lãi kép theo chiều ngược

Định hướng. Tính $i$ , $n$ rồi dùng $A = T (1 + i)^{- n}$ với $T = 100$ .

i = 6% : 4 = 1, 5% = 0, 015

;

n = 5 \cdot 4 = 20

(quý)
b)

A = 100 \cdot (1 + 0, 015)^{- 20}

A = 100 \cdot 1, 01 5^{- 20} \approx 100 \cdot 0, 742470

A \approx 74, 247

(triệu đồng)

Vậy a) $i = 1, 5%$ mỗi quý, có 20 kì tính lãi; b) giá trị hiện tại khoảng 74,247 triệu đồng (≈ 74 247 042 đồng).

2Cách 2. Lập phương trình với ẩn là số tiền gửi ban đầu

Định hướng. Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền gửi hôm nay; sau 20 quý nó thành $x \cdot 1, 01 5^{20}$ .

i = 0, 06 : 4 = 0, 015

;

n = 20

x \cdot 1, 01 5^{20} = 100

x \cdot 1, 346855 \approx 100

x \approx 100 : 1, 346855 \approx 74, 247

Thử lại:

74, 247 \cdot 1, 346855 \approx 100, 000

(khớp)

Vậy giá trị hiện tại của 100 triệu đồng là khoảng 74,247 triệu đồng.

3Cách 3. Chiết khấu lần lượt từng năm

Định hướng. Mỗi năm gồm 4 quý nên tiền tăng $1, 01 5^{4}$ lần mỗi năm; lùi 5 năm là chia 5 lần cho hệ số này.

i = 1, 5%

/quý,

n = 20

quý
b) Hệ số một năm:

1, 01 5^{4} \approx 1, 061364

(lãi suất thực tế ≈ 6,136%/năm)
Lùi 1 năm:

100 : 1, 061364 \approx 94, 218

Lùi 2 năm:

94, 218 : 1, 061364 \approx 88, 771

Lùi 3 năm:

88, 771 : 1, 061364 \approx 83, 639

Lùi 4 năm:

83, 639 : 1, 061364 \approx 78, 803

Lùi 5 năm:

78, 803 : 1, 061364 \approx 74, 247

Vậy giá trị hiện tại khoảng 74,247 triệu đồng.

Nhận xét. Lãi kép hằng quý 6%/năm tương đương lãi kép hằng năm khoảng 6,136%/năm — cao hơn 6% vì lãi được nhập gốc sớm hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: một phép tính

100 \cdot 1, 01 5^{- 20}

trên máy tính cầm tay.

Đáp số. a)

i = 1, 5%

mỗi quý, 20 kì tính lãi; b) giá trị hiện tại

100 \cdot 1, 01 5^{- 20} \approx 74, 247

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Lấy

i = 6%

n = 5

(tính lãi hằng năm) được

100 \cdot 1, 0 6^{- 5} \approx 74, 726

triệu đồng — sai vì đề cho lãi kép hằng quý. Lấy

100 \cdot (1 - 0, 06 \cdot 5) = 70

triệu đồng là nhầm sang lãi đơn trừ ngược.

🚀 Mở rộng. Nếu tính lãi kép hằng tháng (

i = 0, 5%

n = 60

) thì giá trị hiện tại là

100 \cdot 1, 00 5^{- 60} \approx 74, 137

triệu đồng: kì tính lãi càng ngắn, giá trị hiện tại càng nhỏ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Vận dụng 2★★Trang 127— Giá trị hiện tại của một niên kim

A_{p} = R \frac{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}{i}

Vận dụng 2 (trang 127). Một người trúng xổ số giải đặc biệt với trị giá 5 tỉ đồng và số tiền trúng thưởng sẽ được trả dần hằng năm, mỗi năm là 500 triệu đồng trong vòng 10 năm. Giá trị hiện tại của giải đặc biệt này là bao nhiêu? Giả sử rằng người đó có thể tìm được hình thức đầu tư với lãi suất 8% mỗi năm, tính lãi kép hằng năm.

Kiến thức cần nhớ

Giá trị hiện tại của niên kim: $A_{p} = R \frac{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}{i}$ .
Liên hệ: $A_{p} = A_{f} (1 + i)^{- n}$ với $A_{f} = R \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giải thưởng là một niên kim:

R = 500

triệu đồng,

n = 10

lần trả, mỗi lần vào cuối năm, lãi

i = 8%

/năm. Giá trị hiện tại là tổng giá trị hiện tại của 10 khoản: khoản trả cuối năm

k

có giá trị hôm nay

500 \cdot 1, 0 8^{- k}

. Tổng này là cấp số nhân, cho đúng công thức

A_{p}

1Cách 1. Áp dụng công thức giá trị hiện tại của niên kim

Định hướng. Thay $R = 500$ , $i = 0, 08$ , $n = 10$ .

A_{p} = 500 \cdot \frac{1 - 1 , 0 8 ^{- 10}}{0 , 08}

A_{p} \approx 500 \cdot \frac{1 - 0 , 463 193}{0 , 08} = 500 \cdot \frac{0 , 536 807}{0 , 08}

A_{p} \approx 500 \cdot 6, 710081 \approx 3355, 04

(triệu đồng)

Vậy giá trị hiện tại của giải đặc biệt khoảng 3 355 040 000 đồng (≈ 3,355 tỉ đồng).

2Cách 2. Chiết khấu từng khoản rồi cộng cấp số nhân

Định hướng. Khoản 500 triệu đồng nhận cuối năm thứ $k$ có giá trị hiện tại $500 \cdot 1, 0 8^{- k}$ , $k = 1, \dots, 10$ .

A_{p} = \frac{500}{1 , 08} + \frac{500}{1 , 0 8 ^{2}} + \dots + \frac{500}{1 , 0 8 ^{10}}

Cấp số nhân

u_{1} = \frac{500}{1 , 08}

q = \frac{1}{1 , 08}

A_{p} = \frac{500}{1 , 08} \cdot \frac{1 - 1 , 0 8 ^{- 10}}{1 - 1 , 0 8 ^{- 1}} = 500 \cdot \frac{1 - 1 , 0 8 ^{- 10}}{0 , 08}

A_{p} \approx 3355, 04

Vậy giá trị hiện tại khoảng 3 355,04 triệu đồng.

3Cách 3. Tính số tiền tích luỹ sau 10 năm rồi quy về hiện tại

Định hướng. Nếu mỗi khoản nhận được đem đầu tư ngay với lãi 8%/năm thì cuối năm thứ 10 có $A_{f}$ ; giá trị hiện tại là $A_{f} \cdot 1, 0 8^{- 10}$ .

A_{f} = 500 \cdot \frac{1 , 0 8 ^{10} - 1}{0 , 08} \approx 500 \cdot \frac{1 , 158 925}{0 , 08} \approx 7243, 28

A_{p} = A_{f} \cdot 1, 0 8^{- 10} \approx 7243, 28 : 2, 158925

A_{p} \approx 3355, 04

Vậy giá trị hiện tại khoảng 3,355 tỉ đồng.

Nhận xét. Giải "5 tỉ đồng" trả dần trong 10 năm thực chất chỉ đáng khoảng 3,355 tỉ đồng hôm nay, ít hơn gần 1,645 tỉ đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho đáp số nhanh; Cách 2 giúp hiểu vì sao công thức

A_{p}

có

(1 + i)^{- n}

Đáp số.

A_{p} = 500 \cdot \frac{1 - 1 , 0 8 ^{- 10}}{0 , 08} \approx 3355, 04

triệu đồng, tức khoảng 3,355 tỉ đồng.

Sai lầm thường gặp. Cho rằng giá trị hiện tại vẫn là 5 tỉ đồng (quên lãi). Chiết khấu cả khối 5 tỉ đồng về 10 năm:

5000 \cdot 1, 0 8^{- 10} \approx 2316

triệu đồng là sai, vì các khoản được nhận rải đều chứ không dồn cuối năm thứ 10.

🚀 Mở rộng. Nếu khoản đầu tiên được trả ngay hôm nay (đầu mỗi năm) thì giá trị hiện tại là

500 \cdot \frac{1 - 1 , 0 8 ^{- 10}}{0 , 08} \cdot 1, 08 \approx 3623, 44

triệu đồng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ3★★★Trang 127— Mua trả góp — tìm khoản vay (giá trị hiện tại) khi biết số tiền trả mỗi kì

HĐ3 (trang 127). Anh Hưng muốn mua một chiếc xe ô tô theo hình thức trả góp để chạy xe dịch vụ. Anh ấy có thể trả dần 10 triệu đồng mỗi tháng nhưng không có tiền trả trước. Nếu anh Hưng có thể thực hiện các khoản thanh toán này trong vòng 5 năm và lãi suất là 10% một năm, thì hiện tại anh ấy có thể mua được chiếc xe ô tô với mức giá nào?

Kiến thức cần nhớ

Giá trị hiện tại của niên kim: $A_{p} = R \frac{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}{i}$ .
Dư nợ trả góp: $D_{k} = D_{k - 1} (1 + i) - R$ , trả hết khi $D_{n} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giá xe mua được chính là khoản vay

A_{p}

, bằng giá trị hiện tại của niên kim trả góp:

R = 10

triệu đồng/tháng,

n = 60

tháng, lãi mỗi tháng

i = 10% : 12 = \frac{1}{120}

. Có thể kiểm chứng bằng cách theo dõi dư nợ: sau 60 lần trả, dư nợ phải về 0.

1Cách 1. Áp dụng công thức giá trị hiện tại của niên kim

Định hướng. Thay $R = 10$ , $i = \frac{0 , 1}{12} = \frac{1}{120}$ , $n = 60$ .

A_{p} = 10 \cdot \frac{1 - ( 1 + \frac{1}{120} ) ^{- 60}}{\frac{1}{120}}

A_{p} = 1200 [1 - (\frac{121}{120})^{- 60}]

A_{p} \approx 1200 \cdot (1 - 0, 607789) = 1200 \cdot 0, 392211

A_{p} \approx 470, 654

(triệu đồng)

Vậy hiện tại anh Hưng có thể mua xe với giá khoảng 470,65 triệu đồng (≈ 470 653 690 đồng).

2Cách 2. Quy số tiền trả góp về cuối kì rồi chiết khấu về hiện tại

Định hướng. 60 khoản 10 triệu đồng nếu tích luỹ đến cuối tháng 60 thành $A_{f}$ ; khoản vay $X$ cũng phải lớn lên đúng bằng $A_{f}$ sau 60 tháng.

A_{f} = 10 \cdot \frac{( \frac{121}{120} ) ^{60} - 1}{\frac{1}{120}} \approx 1200 \cdot 0, 645309 \approx 774, 371

X \cdot (\frac{121}{120})^{60} = A_{f}

X \approx 774, 371 : 1, 645309 \approx 470, 654

Vậy giá xe mua được khoảng 470,654 triệu đồng.

3Cách 3. Theo dõi dư nợ và cho dư nợ cuối bằng 0

Định hướng. Gọi $X$ là giá xe (khoản vay). Mỗi tháng dư nợ được cộng lãi rồi trừ 10 triệu đồng; đưa về cấp số nhân bằng dãy phụ.

D_{0} = X

D_{k} = \frac{121}{120} D_{k - 1} - 10

D_{k} - 1200 = \frac{121}{120} (D_{k - 1} - 1200)

(vì

1200 \cdot \frac{1}{120} = 10

)

\Rightarrow D_{60} - 1200 = (\frac{121}{120})^{60} (X - 1200)

D_{60} = 0 \Leftrightarrow X = 1200 - 1200 (\frac{121}{120})^{- 60}

X \approx 1200 - 729, 346 = 470, 654

Vậy anh Hưng mua được xe giá khoảng 470,65 triệu đồng.

Nhận xét. Tổng số tiền anh Hưng trả là $60 \cdot 10 = 600$ triệu đồng, trong đó khoảng 129,35 triệu đồng là tiền lãi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 thể hiện đúng bản chất trả góp (dư nợ về 0); đi thi dùng Cách 1 cho nhanh.

Đáp số.

A_{p} = 10 \cdot \frac{1 - ( 1 + \frac{0 , 1}{12} ) ^{- 60}}{\frac{0 , 1}{12}} \approx 470, 65

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Lấy giá xe bằng

60 \cdot 10 = 600

triệu đồng (bỏ qua lãi). Dùng

i = 10%

n = 5

trong khi trả hằng tháng.

🚀 Mở rộng. Nếu kéo dài thời gian trả góp lên 7 năm (

n = 84

) với cùng 10 triệu đồng/tháng thì mua được xe khoảng

1200 [1 - (\frac{121}{120})^{- 84}] \approx 602, 37

triệu đồng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Vận dụng 3★★★Trang 127— Mua trả góp — tìm số tiền trả mỗi kì

R = \frac{i A _{p}}{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}

Vận dụng 3 (trang 127). Một cặp vợ chồng trẻ vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 9% một năm để mua nhà. Họ dự định sẽ trả góp hằng tháng trong vòng 10 năm để hoàn trả khoản vay này. Hỏi mỗi tháng họ sẽ phải trả cho ngân hàng bao nhiêu tiền?

Kiến thức cần nhớ

Mua trả góp: $R = \frac{i A _{p}}{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}$ .
Cân bằng giá trị: $A_{p} (1 + i)^{n} = R \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Khoản vay

A_{p} = 1000

triệu đồng, trả hằng tháng nên

i = 9% : 12 = 0, 75%

và

n = 10 \cdot 12 = 120

. Dùng công thức mua trả góp

R = \frac{i A _{p}}{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}

; có thể kiểm tra bằng dư nợ hoặc bằng cân bằng giá trị tương lai.

1Cách 1. Áp dụng công thức mua trả góp

Định hướng. Thay $A_{p} = 1000$ , $i = 0, 0075$ , $n = 120$ .

R = \frac{0 , 0075 \cdot 1000}{1 - 1 , 007 5 ^{- 120}}

R \approx \frac{7 , 5}{1 - 0 , 407 937} = \frac{7 , 5}{0 , 592 063}

R \approx 12, 668

(triệu đồng)

Vậy mỗi tháng họ phải trả khoảng 12 667 577 đồng (≈ 12,668 triệu đồng).

2Cách 2. Cân bằng giá trị ở cuối tháng thứ 120

Định hướng. Sau 120 tháng, khoản vay 1 tỉ đồng lớn lên thành $1000 \cdot 1, 007 5^{120}$ ; tổng các khoản trả (kể cả lãi) cũng phải bằng số đó.

1000 \cdot 1, 007 5^{120} = R \cdot \frac{1 , 007 5 ^{120} - 1}{0 , 0075}

R = \frac{7 , 5 \cdot 1 , 007 5 ^{120}}{1 , 007 5 ^{120} - 1}

R \approx \frac{7 , 5 \cdot 2 , 451 357}{1 , 451 357} \approx \frac{18 , 385 178}{1 , 451 357}

R \approx 12, 668

Vậy số tiền trả mỗi tháng khoảng 12,668 triệu đồng.

3Cách 3. Hệ thức truy hồi dư nợ

Định hướng. Dư nợ $D_{k} = 1, 0075 D_{k - 1} - R$ , $D_{0} = 1000$ ; tìm $R$ để $D_{120} = 0$ .

D_{k} - \frac{R}{0 , 0075} = 1, 0075 (D_{k - 1} - \frac{R}{0 , 0075})

\Rightarrow D_{120} = 1, 007 5^{120} (1000 - \frac{R}{0 , 0075}) + \frac{R}{0 , 0075}

D_{120} = 0 \Leftrightarrow \frac{R}{0 , 0075} (1 - 1, 007 5^{- 120}) = 1000

\Leftrightarrow R = \frac{7 , 5}{1 - 1 , 007 5 ^{- 120}} \approx 12, 668

Vậy mỗi tháng trả khoảng 12 667 577 đồng.

Nhận xét. Tổng số tiền trả trong 10 năm là $120 R \approx 1520, 11$ triệu đồng, tức tiền lãi khoảng 520 triệu đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là công thức SGK — bấm máy một lần. Cách 3 cho thấy tận gốc vì sao công thức đúng.

Đáp số.

R = \frac{0 , 0075 \cdot 1000}{1 - 1 , 007 5 ^{- 120}} \approx 12, 668

triệu đồng, khoảng 12 667 577 đồng mỗi tháng.

Sai lầm thường gặp. Chia đều gốc rồi cộng lãi đơn:

\frac{1000 ( 1 + 0 , 09 \cdot 10 )}{120} \approx 15, 833

triệu đồng — sai vì dư nợ giảm dần nên tiền lãi cũng giảm dần. Dùng

i = 9%

với

n = 120

là trộn lãi năm với kì tháng.

🚀 Mở rộng. Nếu kéo dài thời hạn lên 20 năm (

n = 240

) thì

R = \frac{7 , 5}{1 - 1 , 007 5 ^{- 240}} \approx 8, 997

triệu đồng/tháng, nhưng tổng tiền trả tăng lên khoảng 2 159 triệu đồng.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài tập cuối chương V Bài tiếp theo ›Hoạt động thực hành trải nghiệm: Lực căng mặt ngoài của nước

📚 Cùng chương: Hoạt động thực hành trải nghiệm

▶ Hoạt động thực hành trải nghiệm: Một vài áp dụng của Toán học trong tài chính
Hoạt động thực hành trải nghiệm: Lực căng mặt ngoài của nước

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Toán 11 — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Một vài áp dụng của Toán học trong tài chính

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Hoạt động thực hành trải nghiệm

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

GTLN – GTNN hàm số lượng giác — Toán 11 (14 dạng)

Sổ tay Toán học THPT 10–12

Toán 11 Toàn diện — cả năm

Đại số & Giải tích 11