Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 22 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Hoạt động 1★Trang 6— Đọc tính đồng biến, nghịch biến của hàm số từ đồ thị

HĐ1 (trang 6). Nhận biết tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. Quan sát đồ thị của hàm số

y = x^{2}

(Hình 1.2).
a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên $K$ nếu $\forall x_{1}, x_{2} \in K, x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$ ; đồ thị đi lên từ trái sang phải.
Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên $K$ nếu $\forall x_{1}, x_{2} \in K, x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$ ; đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đưa sẵn đồ thị và hỏi khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến — dấu hiệu của dạng đọc chiều biến thiên trực tiếp trên hình, chỉ cần theo dõi nhánh nào đi lên, nhánh nào đi xuống khi

x

tăng. Vì công thức

y = x^{2}

đã biết nên đối chiếu lại bằng dấu của

y^{'} = 2 x

là nhanh nhất, còn muốn chặt chẽ tuyệt đối thì so sánh trực tiếp hai giá trị của hàm. Bẫy của bài là ghi khoảng theo giá trị của

y

thay vì theo

x

, hoặc gộp hai khoảng thành một khoảng chung.

1Cách 1. Đọc trực tiếp trên đồ thị

Định hướng. Nhìn đường parabol từ trái qua phải: bên trái trục tung đường đi xuống, bên phải trục tung đường đi lên, nên chỉ cần đọc ra hai khoảng đó.

Trên

(- \infty; 0)

, đồ thị đi xuống khi

x

tăng
Trên

(0; + \infty)

, đồ thị đi lên khi

x

tăng

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ .

2Cách 2. Tính đạo hàm rồi xét dấu

Định hướng. Đạo hàm của $y = x^{2}$ là một biểu thức bậc nhất, dấu của nó đổi ngay tại $x = 0$ nên lập bảng biến thiên là thấy ngay hai khoảng cần tìm.

y^{'} = 2 x

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

$x$	$- \infty$		$0$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$
$y$	$+ \infty$	↘	$0$	↗	$+ \infty$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ , đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Nhận xét. Hai cách cho cùng một kết quả; Cách 2 dùng được ngay cả khi đề bài không cho sẵn đồ thị.

3Cách 3. Chứng minh bằng định nghĩa (xét hiệu)

Định hướng. Không cần đồ thị cũng không cần đạo hàm: lấy hai giá trị bất kì của biến rồi so sánh hai giá trị hàm qua hiệu đã phân tích thành nhân tử.

f (x) = x^{2}

, lấy

x_{1} < x_{2}

f (x_{2}) - f (x_{1}) = x_{2}^{2} - x_{1}^{2} = (x_{2} - x_{1}) (x_{1} + x_{2})

x_{1} < x_{2} \leq 0 \Rightarrow x_{2} - x_{1} > 0, x_{1} + x_{2} < 0 \Rightarrow f (x_{2}) - f (x_{1}) < 0

0 \leq x_{1} < x_{2} \Rightarrow x_{2} - x_{1} > 0, x_{1} + x_{2} > 0 \Rightarrow f (x_{2}) - f (x_{1}) > 0

Vậy hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Nhận xét. Cách xét hiệu không dùng tới đạo hàm nên vẫn chạy được cho những hàm không có đạo hàm, chẳng hạn $y = ∣ x ∣$ ở bài 1.8.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi, khi đề đã vẽ sẵn đồ thị thì dùng Cách 1 — một dòng là xong; nếu đề chỉ cho công thức thì Cách 2 nhanh và an toàn hơn, còn Cách 3 dành cho yêu cầu chứng minh chặt chẽ.

Đáp số. Đồng biến trên

(0; + \infty)

; nghịch biến trên

(- \infty; 0)

Sai lầm thường gặp. Đọc ngược chiều đồ thị (nhầm bên trái là đi lên) hoặc quên viết dấu ngoặc tròn cho khoảng, viết nhầm thành đoạn

[0; + \infty)

🚀 Mở rộng. Vẫn xét hiệu như trên, với

y = x^{2 k}

(

k

nguyên dương) ta luôn được hàm nghịch biến trên

(- \infty; 0)

và đồng biến trên

(0; + \infty)

, còn

y = x^{2 k + 1}

thì đồng biến trên cả

R

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★Trang 6— Tìm khoảng đơn điệu từ đồ thị cho sẵn, đối chiếu bằng đạo hàm

Luyện tập 1 (trang 6). Hình 1.5 là đồ thị của hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2

. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị đi lên ứng với khoảng đồng biến, đồ thị đi xuống ứng với khoảng nghịch biến.
Có thể kiểm tra lại bằng dấu của đạo hàm $y^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đồ thị hàm bậc ba có hai điểm mà tiếp tuyến nằm ngang, tại đó chiều đi của đồ thị đảo lại — đó chính là hai mốc chia trục

x

thành ba khoảng đơn điệu. Đọc hình cho ngay đáp số, nhưng để chắc chắn hai mốc là

x = 0

và

x = 2

chứ không phải số gần đó thì phải giải

y^{'} = 0

. Hàm bậc ba luôn có tâm đối xứng, nên còn một hướng thứ ba: dời trục về tâm để đưa về hàm lẻ

X^{3} - 3 X

rồi so sánh trực tiếp, không cần đạo hàm.

1Cách 1. Đọc trực tiếp trên đồ thị Hình 1.5

Định hướng. Đồ thị đi lên tới đỉnh tại $x = 0$ , sau đó đi xuống tới đáy tại $x = 2$ , rồi lại đi lên, nên chỉ cần đọc theo chiều mũi tên của đường cong.

Trên

(- \infty; 0)

: đồ thị đi lên
Trên

(0; 2)

: đồ thị đi xuống
Trên

(2; + \infty)

: đồ thị đi lên

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$ , nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ .

2Cách 2. Tính đạo hàm rồi lập bảng biến thiên

Định hướng. Đối chiếu lại bằng công cụ đạo hàm: tìm nghiệm của $y^{'}$ rồi xét dấu trên từng khoảng để xác nhận đúng những gì đã đọc từ đồ thị.

Tập xác định

R

y^{'} = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 2

$x$	$- \infty$		$0$		$2$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$2$	↘	$- 2$	↗	$+ \infty$

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$ , nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ .

Nhận xét. Bảng biến thiên cho luôn cả giá trị cực đại $2$ và cực tiểu $- 2$ , chính là hai điểm mút trên đồ thị Hình 1.5.

3Cách 3. Dời trục về tâm đối xứng rồi xét hiệu

Định hướng. Tâm đối xứng của đồ thị là điểm $I (1; 0)$ ; đặt $x = X + 1$ đưa hàm về dạng lẻ $X^{3} - 3 X$ , khi đó tính đơn điệu đọc được từ một hằng đẳng thức, không cần đạo hàm.

x = X + 1 \Rightarrow y = (X + 1)^{3} - 3 (X + 1)^{2} + 2 = X^{3} - 3 X

g (X) = X^{3} - 3 X

, lấy

X_{1} < X_{2}

\frac{g ( X _{2} ) - g ( X _{1} )}{X _{2} - X _{1}} = X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + X_{2}^{2} - 3

X_{1} < X_{2} \leq - 1

hoặc

1 \leq X_{1} < X_{2}

\Rightarrow

X_{1}^{2} > 1

X_{2}^{2} > 1

X_{1} X_{2} > 1

\Rightarrow

tỉ số

> 0

- 1 \leq X_{1} < X_{2} \leq 1 \Rightarrow X_{1}^{2} < 1, X_{2}^{2} < 1, X_{1} X_{2} < 1 \Rightarrow

tỉ số

< 0

X < - 1 \Leftrightarrow x < 0

;

- 1 < X < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 2

;

X > 1 \Leftrightarrow x > 2

Vậy hàm số đồng biến trên $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$ , nghịch biến trên $(0; 2)$ — trùng với kết quả đọc trên Hình 1.5.

Nhận xét. Sau khi dời trục, mọi hàm bậc ba đều về dạng $X^{3} + pX$ : nếu $p \geq 0$ thì hàm đồng biến trên $R$ , nếu $p < 0$ thì có đúng hai cực trị đối xứng nhau qua tâm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: lập bảng biến thiên từ

y^{'} = 3 x^{2} - 6 x

chỉ mất ba dòng và cho luôn cả cực trị; Cách 1 tuy nhanh nhưng phụ thuộc vào việc đề có vẽ hình hay không.

Đáp số. Đồng biến trên

(- \infty; 0)

và

(2; + \infty)

; nghịch biến trên

(0; 2)

Sai lầm thường gặp. Đọc nhầm chiều đồ thị quanh điểm uốn, hoặc quên đổi dấu khi qua điểm cực tiểu

x = 2

🚀 Mở rộng. Thử lại bài này với

y = x^{3} - 3 x^{2} + m

: đồ thị chỉ tịnh tiến lên xuống nên các khoảng đơn điệu không đổi, còn số giao điểm với trục hoành thay đổi theo

m

— đó chính là dạng biện luận số nghiệm quen thuộc.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Hoạt động 2★Trang 7— Mối liên hệ giữa dấu đạo hàm và tính đơn điệu (hàm cho bởi nhiều công thức)

HĐ2 (trang 7). Nhận biết mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm. Xét hàm số

y = ⎩ ⎨ ⎧ - x 1 x (x < - 1) (- 1 \leq x \leq 1) (x > 1)

(ứng với mỗi dòng lần lượt là trường hợp

x < - 1

- 1 \leq x \leq 1

x > 1

) có đồ thị như Hình 1.6.
a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng

(- \infty; - 1)

(1; + \infty)

. Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.
b) Có nhận xét gì về đạo hàm

y^{'}

và hàm số

y

trên khoảng

(- 1; 1)

Kiến thức cần nhớ

Định lí: nếu $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in K$ thì $f$ đồng biến trên $K$ ; nếu $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in K$ thì $f$ nghịch biến trên $K$ .
Nếu $f^{'} (x) = 0$ với mọi $x \in K$ thì $f$ không đổi (là hàm hằng) trên $K$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm cho bởi ba công thức trên ba khoảng rời nhau — dấu hiệu phải xét riêng từng khoảng chứ không được lấy đạo hàm một lần cho cả

R

. Trên mỗi khoảng công thức là hàm bậc nhất nên đạo hàm là hằng số, dấu thấy ngay mà không phải lập bảng. Bẫy nằm ở đoạn giữa:

y^{'} = 0

trên cả một khoảng thì hàm không đổi, chứ không phải có cực trị.

1Cách 1. Tính đạo hàm trên từng khoảng rồi xét dấu

Định hướng. Trên mỗi khoảng, hàm số đã cho là một công thức bậc nhất quen thuộc, nên chỉ cần đạo hàm từng công thức rồi đọc dấu.

Với

x < - 1

y = - x \Rightarrow y^{'} = - 1 < 0

Với

x > 1

y = x \Rightarrow y^{'} = 1 > 0

Với

- 1 \leq x \leq 1

y = 1 \Rightarrow y^{'} = 0

Vậy a) trên $(- \infty; - 1)$ có $y^{'} < 0$ và hàm số nghịch biến; trên $(1; + \infty)$ có $y^{'} > 0$ và hàm số đồng biến — khớp đúng với định lí: dấu của $y^{'}$ quyết định chiều biến thiên. b) Trên $(- 1; 1)$ , $y^{'} = 0$ và hàm số $y = 1$ không đổi (hàm hằng).

2Cách 2. Quan sát trực tiếp đồ thị Hình 1.6

Định hướng. Không cần tính toán, chỉ cần nhìn hình dạng đường gấp khúc: đoạn nào đi xuống, đoạn nào nằm ngang, đoạn nào đi lên.

Trên

(- \infty; - 1)

: nhánh trái đi xuống khi

x

tăng

\Rightarrow

nghịch biến
Trên

(- 1; 1)

: đoạn ở giữa nằm ngang, độ cao không đổi

\Rightarrow

hàm không đổi
Trên

(1; + \infty)

: nhánh phải đi lên khi

x

tăng

\Rightarrow

đồng biến

Vậy kết quả đọc từ đồ thị trùng khớp với kết quả tính bằng đạo hàm ở Cách 1.

Nhận xét. Đoạn nằm ngang ( $y^{'} = 0$ trên cả một khoảng) chính là hình ảnh trực quan của "hàm số không đổi" nêu trong Chú ý của định lí.

3Cách 3. So sánh trực tiếp hai giá trị của hàm trên từng khoảng

Định hướng. Trên mỗi khoảng hàm là bậc nhất, nên chỉ cần so sánh $y$ tại hai giá trị bất kì của biến là kết luận được chiều biến thiên mà không cần nhắc tới đạo hàm.

trên

(- \infty; - 1)

y = - x

, lấy

x_{1} < x_{2} \Rightarrow - x_{1} > - x_{2} \Rightarrow y (x_{1}) > y (x_{2})

trên

(1; + \infty)

y = x

, lấy

x_{1} < x_{2} \Rightarrow y (x_{1}) < y (x_{2})

trên

[- 1; 1]

y = 1

với mọi

x

, nên

y (x_{1}) = y (x_{2}) = 1

đối chiếu:

y^{'} = - 1 < 0

trên

(- \infty; - 1)

;

y^{'} = 1 > 0

trên

(1; + \infty)

;

y^{'} = 0

trên

(- 1; 1)

Vậy hàm nghịch biến trên $(- \infty; - 1)$ , đồng biến trên $(1; + \infty)$ và không đổi trên $(- 1; 1)$ ; dấu của đạo hàm đúng bằng chiều biến thiên tương ứng, còn đạo hàm bằng $0$ trên cả một khoảng ứng với hàm hằng.

Nhận xét. Đây chính là chỗ cho thấy mệnh đề đảo phải phát biểu cẩn thận: $y^{'} \geq 0$ trên một khoảng mới suy ra hàm đồng biến, còn $y^{'} = 0$ tại một vài điểm rời rạc thì tính đồng biến vẫn giữ nguyên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia theo đúng ba công thức rồi lấy đạo hàm từng nhánh, vừa nhanh vừa trả lời trúng ý b về trường hợp

y^{'} = 0

trên cả một khoảng.

Đáp số. a)

y^{'} < 0

trên

(- \infty; - 1)

(nghịch biến);

y^{'} > 0

trên

(1; + \infty)

(đồng biến) · b)

y^{'} = 0

và

y

không đổi trên

(- 1; 1)

Sai lầm thường gặp. Cho rằng vì

y^{'} = 0

tại một điểm nào đó trong

(- 1; 1)

thì điểm đó là cực trị — thực ra

y^{'} = 0

trên CẢ khoảng nên hàm số không đổi, không có điểm nào là cực trị riêng lẻ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu

f^{'} (x) = 0

với mọi

x

thuộc một khoảng thì

f

là hàm hằng trên khoảng đó; ghép thêm giả thiết liên tục ta được kết quả quen dùng khi tìm nguyên hàm: hai hàm có cùng đạo hàm thì sai khác nhau một hằng số.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 7

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★Trang 7— Xét tính đơn điệu của hàm số bậc hai bằng đạo hàm

Luyện tập 2 (trang 7). Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số

y = - x^{2} + 2 x + 3

Kiến thức cần nhớ

Với hàm bậc hai $y = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 0$ ), đạo hàm $y^{'} = 2 a x + b$ là hàm bậc nhất nên chỉ đổi dấu một lần.
Định lí: $f^{'} (x) > 0$ trên $K$ thì $f$ đồng biến trên $K$ ; $f^{'} (x) < 0$ trên $K$ thì $f$ nghịch biến trên $K$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm bậc hai hệ số

a = - 1 < 0

nên đồ thị là parabol quay bề lõm xuống — biết trước hình dạng thì chỉ còn phải tìm hoành độ đỉnh. Dùng đạo hàm là hướng chung cho mọi hàm, còn đưa về dạng chính tắc là hướng riêng nhanh hơn hẳn cho bậc hai. Bẫy ở dấu của

a

: quên dấu trừ là kết luận ngược hoàn toàn hai khoảng đơn điệu.

1Cách 1. Đạo hàm và bảng biến thiên

Định hướng. Đạo hàm của tam thức bậc hai là hàm bậc nhất, chỉ có đúng một nghiệm, nên lập bảng biến thiên quanh nghiệm đó là xong.

Tập xác định

R

y^{'} = - 2 x + 2

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1

$x$	$- \infty$		$1$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$
$y$	$- \infty$	↗	$4$	↘	$- \infty$

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ , nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

2Cách 2. Đưa về dạng đỉnh, không dùng đạo hàm

Định hướng. Viết tam thức về dạng $- (x - m)^{2} + M$ thì thấy ngay đỉnh của parabol quay xuống, từ đó suy ra chiều biến thiên mà không cần đạo hàm.

y = - x^{2} + 2 x + 3 = - (x^{2} - 2 x) + 3 = - (x - 1)^{2} + 1 + 3 = - (x - 1)^{2} + 4

Với

x < 1

x

tăng thì

(x - 1)^{2}

giảm nên

y

tăng
Với

x > 1

x

tăng thì

(x - 1)^{2}

tăng nên

y

giảm

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ , nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$ , đỉnh parabol tại $(1; 4)$ .

Nhận xét. Cách 2 chỉ dùng biến đổi đại số quen thuộc từ lớp dưới; Cách 1 tổng quát hơn, áp dụng được cho mọi hàm số có đạo hàm.

3Cách 3. Xét hiệu — chứng minh bằng định nghĩa

Định hướng. Hiệu hai giá trị hàm của một tam thức luôn phân tích được thành tích của $x_{2} - x_{1}$ với một biểu thức bậc nhất theo tổng $x_{1} + x_{2}$ , nên dấu đọc được ngay.

f (x) = - x^{2} + 2 x + 3

, lấy

x_{1} < x_{2}

f (x_{2}) - f (x_{1}) = - (x_{2}^{2} - x_{1}^{2}) + 2 (x_{2} - x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) [2 - (x_{1} + x_{2})]

x_{1} < x_{2} \leq 1 \Rightarrow x_{1} + x_{2} < 2 \Rightarrow f (x_{2}) - f (x_{1}) > 0

1 \leq x_{1} < x_{2} \Rightarrow x_{1} + x_{2} > 2 \Rightarrow f (x_{2}) - f (x_{1}) < 0

Vậy hàm số đồng biến trên $(- \infty; 1)$ và nghịch biến trên $(1; + \infty)$ .

Nhận xét. Với tam thức $f (x) = a x^{2} + b x + c$ thì $f (x_{2}) - f (x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) [a (x_{1} + x_{2}) + b]$ , nên mốc đổi chiều luôn là $x = - \frac{b}{2 a}$ — đúng bằng hoành độ đỉnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: viết

y = 4 - (x - 1)^{2}

là thấy ngay đỉnh và hai khoảng đơn điệu, không phải lập bảng biến thiên nên tiết kiệm được nửa thời gian so với Cách 1.

Đáp số. Đồng biến trên

(- \infty; 1)

; nghịch biến trên

(1; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Nhầm dấu hệ số

a = - 1 < 0

nên kết luận ngược: tưởng đồng biến bên phải, nghịch biến bên trái (giống parabol quay lên).

🚀 Mở rộng. Tổng quát cho

y = a x^{2} + b x + c

: hàm đổi chiều đúng tại

x = - \frac{b}{2 a}

, đồng biến rồi nghịch biến khi

a < 0

và ngược lại khi

a > 0

— nhớ công thức này thì mọi bài bậc hai chỉ còn một dòng.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 7

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Hoạt động 3★★Trang 7— Xét tính đơn điệu của hàm số bậc ba có nghiệm đạo hàm vô tỉ

HĐ3 (trang 7). Xét tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên. Cho hàm số

y = f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1

.
a) Tính đạo hàm

f^{'} (x)

và tìm các điểm

x

mà

f^{'} (x) = 0

.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Kiến thức cần nhớ

Các bước xét tính đơn điệu: tìm tập xác định, tính $y^{'}$ và nghiệm của $y^{'} = 0$ , lập bảng biến thiên, kết luận.
Phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ có nghiệm $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm bậc ba nên

y^{'}

là tam thức bậc hai; điều quyết định là

y^{'}

có hai nghiệm phân biệt hay không, ở đây

Δ^{'} = 3 > 0

nên chắc chắn có hai mốc đổi dấu. Nghiệm ra số vô tỉ

1 \pm \frac{3}{3}

, nên thay vì bấm máy rồi làm tròn, đưa

y^{'}

về dạng chính tắc

3 (x - 1)^{2} - 1

sẽ cho lời giải gọn và tuyệt đối chính xác. Bẫy của bài là làm tròn nghiệm rồi ghi khoảng bằng số thập phân, làm mất tính chính xác của kết luận.

1Cách 1. Dùng công thức nghiệm của tam thức bậc hai

Định hướng. Đạo hàm là một tam thức bậc hai có hệ số $a = 3 > 0$ ; giải phương trình $y^{'} = 0$ bằng công thức nghiệm rồi lập bảng biến thiên theo đúng ba bước đã học.

Tập xác định

R

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 2

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{6 \pm 36 - 24}{6} = 1 \pm \frac{3}{3}

b) Lập bảng biến thiên:

$x$	$- \infty$		$1 - \frac{3}{3}$		$1 + \frac{3}{3}$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$f (1 - \frac{3}{3})$	↘	$f (1 + \frac{3}{3})$	↗	$+ \infty$

Vậy c) hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 1 - \frac{3}{3})$ và $(1 + \frac{3}{3}; + \infty)$ , nghịch biến trên khoảng $(1 - \frac{3}{3}; 1 + \frac{3}{3})$ .

2Cách 2. Thử điểm đại diện trên từng khoảng

Định hướng. Sau khi đã có hai nghiệm của $y^{'}$ , thay một giá trị đại diện bất kì trong mỗi khoảng vào $y^{'}$ để xác định dấu, khỏi cần nhớ quy tắc dấu tam thức bậc hai.

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \frac{3}{3}

;

1 - \frac{3}{3} \approx 0, 42

;

1 + \frac{3}{3} \approx 1, 58

Chọn

x = 0

f^{'} (0) = 2 > 0

Chọn

x = 1

f^{'} (1) = 3 - 6 + 2 = - 1 < 0

Chọn

x = 2

f^{'} (2) = 12 - 12 + 2 = 2 > 0

Vậy $f^{'} (x) > 0$ trên $(- \infty; 1 - \frac{3}{3})$ và $(1 + \frac{3}{3}; + \infty)$ ; $f^{'} (x) < 0$ trên $(1 - \frac{3}{3}; 1 + \frac{3}{3})$ — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Phương pháp thử điểm đại diện rất tiện khi nghiệm của $y^{'}$ là số vô tỉ, khó nhớ dấu hệ số theo lí thuyết tam thức.

3Cách 3. Đưa đạo hàm về dạng chính tắc

Định hướng. Hoàn thành bình phương cho $y^{'}$ để biến việc xét dấu tam thức thành việc so sánh một bình phương với một số, không cần công thức nghiệm.

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 2 = 3 (x - 1)^{2} - 1

f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} > \frac{1}{3} \Leftrightarrow ∣ x - 1 ∣ > \frac{3}{3}

f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow ∣ x - 1 ∣ < \frac{3}{3}

∣ x - 1 ∣ > \frac{3}{3} \Leftrightarrow x < 1 - \frac{3}{3}

hoặc

x > 1 + \frac{3}{3}

Vậy hàm số đồng biến trên $(- \infty; 1 - \frac{3}{3})$ và $(1 + \frac{3}{3}; + \infty)$ , nghịch biến trên $(1 - \frac{3}{3}; 1 + \frac{3}{3})$ .

Nhận xét. Dạng $f^{'} (x) = 3 (x - 1)^{2} - 1$ còn cho biết ngay $x = 1$ là hoành độ tâm đối xứng của đồ thị, vì đó là điểm mà $f^{'}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: dạng

3 (x - 1)^{2} - 1

cho hai mốc dưới dạng căn chính xác chỉ trong một dòng, tránh hẳn việc thay số vào công thức nghiệm rồi rút gọn

\frac{6 \pm 2 3}{6}

dễ sai.

Đáp số. Đồng biến trên

(- \infty; 1 - \frac{3}{3})

và

(1 + \frac{3}{3}; + \infty)

; nghịch biến trên

(1 - \frac{3}{3}; 1 + \frac{3}{3})

Sai lầm thường gặp. Bấm máy ra nghiệm thập phân rồi làm tròn quá sớm dẫn đến bảng xét dấu sai; nên giữ dạng

1 \pm \frac{3}{3}

chính xác khi trình bày.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

y = x^{3} - 3 x^{2} + m x + 1

thì

y^{'} = 3 (x - 1)^{2} + m - 3

: hàm đồng biến trên

R

khi

m \geq 3

và có đúng hai cực trị khi

m < 3

— chỉ cần nhìn dạng chính tắc là biện luận xong.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 7

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 3★★Trang 9— Xét tính đơn điệu của hàm đa thức bậc ba và hàm phân thức

Luyện tập 3 (trang 9). Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a)

y = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 2

;
b)

y = \frac{- x ^{2} + 5 x - 7}{x - 2}

Kiến thức cần nhớ

Với hàm phân thức, phải loại điểm làm mẫu bằng $0$ ra khỏi tập xác định trước khi lập bảng biến thiên.
Có thể chia đa thức để đưa hàm phân thức về dạng (đa thức) $+ \frac{k}{x - a}$ giúp đạo hàm gọn hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a là hàm bậc ba nên

y^{'}

là tam thức, chỉ cần xét dấu tam thức đó; câu b là phân thức có tử bậc hai, mẫu bậc nhất nên nên chia tử cho mẫu trước để đạo hàm gọn hẳn. Sau khi chia, câu b về dạng

- x + 3 - \frac{1}{x - 2}

, và phép đổi ẩn

t = x - 2

còn đưa tiếp về hàm quen thuộc

t + \frac{1}{t}

mà chiều biến thiên đã biết sẵn. Bẫy của câu b là quên loại

x = 2

ra khỏi tập xác định rồi viết gộp khoảng đồng biến thành

(1; 3)

1Cách 1. Tính trực tiếp đạo hàm rồi lập bảng biến thiên

Định hướng. Với câu a) tính đạo hàm bậc hai rồi giải phương trình tích; với câu b) dùng công thức đạo hàm thương để đưa $y^{'}$ về một phân thức, chú ý loại $x = 2$ khỏi tập xác định.

a) Tập xác định

R

y^{'} = x^{2} + 6 x + 5 = (x + 1) (x + 5)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 1

hoặc

x = - 5

$x$	$- \infty$		$- 5$		$- 1$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$\frac{1}{3}$	↘	$- \frac{7}{3}$	↗	$+ \infty$

b) Tập xác định

R ∖ {2}

y^{'} = \frac{( - 2 x + 5 ) ( x - 2 ) - ( - x ^{2} + 5 x - 7 )}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{- x ^{2} + 4 x - 3}{( x - 2 ) ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1

hoặc

x = 3

$x$	$- \infty$		$1$		$2$		$3$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$		$+$	$0$	$-$
$y$	$+ \infty$	↘	$3$	↗	$+ \infty$ $- \infty$	↗	$- 1$	↘	$- \infty$

Vậy a) hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 5)$ và $(- 1; + \infty)$ , nghịch biến trên $(- 5; - 1)$ . b) hàm số đồng biến trên $(1; 2)$ và $(2; 3)$ , nghịch biến trên $(- \infty; 1)$ và $(3; + \infty)$ .

2Cách 2. Thử điểm (câu a) và chia đa thức trước khi đạo hàm (câu b)

Định hướng. Câu a) chỉ cần thay một giá trị đại diện mỗi khoảng vào $y^{'}$ ; câu b) chia tử cho mẫu để đưa về dạng đơn giản hơn trước khi đạo hàm, tránh phải nhớ công thức đạo hàm thương.

y^{'} = (x + 1) (x + 5)

x = - 6 \Rightarrow y^{'} = (- 5) (- 1) = 5 > 0

x = - 2 \Rightarrow y^{'} = (- 1) (3) = - 3 < 0

x = 0 \Rightarrow y^{'} = (1) (5) = 5 > 0

- x^{2} + 5 x - 7 = (x - 2) (- x + 3) - 1

nên

y = - x + 3 - \frac{1}{x - 2}

y^{'} = - 1 + \frac{1}{( x - 2 ) ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow (x - 2)^{2} = 1 \Leftrightarrow x = 1

hoặc

x = 3

x = 0 \Rightarrow y^{'} = - 1 + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4} < 0

;

x = 1, 5 \Rightarrow y^{'} = - 1 + 4 = 3 > 0

x = 2, 5 \Rightarrow y^{'} = - 1 + 4 = 3 > 0

;

x = 4 \Rightarrow y^{'} = - 1 + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4} < 0

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1 ở cả hai câu.

Nhận xét. Dạng $y = - x + 3 - \frac{1}{x - 2}$ ở câu b) còn cho thấy ngay tiệm cận của đồ thị hàm phân thức, sẽ dùng lại ở Bài 3.

3Cách 3. Dạng chính tắc cho câu a và đổi ẩn về hàm

t + \frac{1}{t}

cho câu b

Định hướng. Câu a hoàn thành bình phương cho $y^{'}$ để đọc hai mốc mà không cần công thức nghiệm; câu b đổi ẩn $t = x - 2$ đưa hàm về $1 - (t + \frac{1}{t})$ , chiều biến thiên của $t + \frac{1}{t}$ đã biết nên suy ra ngay kết quả.

y^{'} = x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 4

y^{'} > 0 \Leftrightarrow ∣ x + 3 ∣ > 2 \Leftrightarrow x < - 5

hoặc

x > - 1

;

y^{'} < 0 \Leftrightarrow - 5 < x < - 1

t = x - 2

x = t + 2

t \neq = 0

y = \frac{- ( t + 2 ) ^{2} + 5 ( t + 2 ) - 7}{t} = \frac{- t ^{2} + t - 1}{t} = - t + 1 - \frac{1}{t} = 1 - (t + \frac{1}{t})

g (t) = t + \frac{1}{t}

nghịch biến trên

(- 1; 0)

và

(0; 1)

, đồng biến trên

(- \infty; - 1)

và

(1; + \infty)

y = 1 - g (t)

nên

y

đồng biến đúng ở chỗ

g

nghịch biến

- 1 < t < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2

;

0 < t < 1 \Leftrightarrow 2 < x < 3

Vậy a) hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 5)$ và $(- 1; + \infty)$ , nghịch biến trên $(- 5; - 1)$ ; b) hàm số đồng biến trên $(1; 2)$ và $(2; 3)$ , nghịch biến trên $(- \infty; 1)$ và $(3; + \infty)$ .

Nhận xét. Hàm $t + \frac{1}{t}$ xuất hiện rất nhiều lần ở chương này; nhớ sẵn bảng biến thiên của nó thì phần lớn bài phân thức bậc hai trên bậc nhất chỉ còn là phép đổi ẩn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho câu b: sau khi đổi ẩn thì chiều biến thiên đọc được từ hàm mẫu

t + \frac{1}{t}

, không phải lấy đạo hàm thương nên hầu như không sai dấu; câu a thì Cách 1 và Cách 3 dài như nhau, chọn cách nào cũng được.

Đáp số. a) Đồng biến

(- \infty; - 5)

(- 1; + \infty)

; nghịch biến

(- 5; - 1)

· b) Đồng biến

(1; 2)

(2; 3)

; nghịch biến

(- \infty; 1)

(3; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), quên loại

x = 2

khỏi tập xác định rồi viết gộp thành một khoảng

(1; 3)

liền mạch — sai vì hàm số không xác định tại

x = 2

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi hàm dạng

y = \frac{a x ^{2} + b x + c}{x - m}

đều đưa được về

α t + β + \frac{γ}{t}

với

t = x - m

, nên chỉ có hai kiểu bảng biến thiên: hoặc đơn điệu trên từng khoảng, hoặc có đúng một cực đại và một cực tiểu, tuỳ dấu của

α γ

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 9

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Vận dụng 1★★Trang 9— Ứng dụng đạo hàm và tính đơn điệu vào chuyển động cơ học

Vận dụng 1 (trang 9). Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau: Một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Vị trí

s (t)

(mét) của chất điểm tại thời điểm

t

(giây) được cho bởi công thức

s (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 15 t, t \geq 0

. Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc

v (t)

là đạo hàm của

s (t)

. Hãy tìm vận tốc

v (t)

.
b) Xét dấu của hàm

v (t)

, từ đó suy ra câu trả lời.

Kiến thức cần nhớ

Chất điểm chuyển động sang phải (theo chiều dương) khi vận tốc $v (t) > 0$ , sang trái khi $v (t) < 0$ .
Vận tốc tức thời $v (t) = s^{'} (t)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề nói về chiều chuyển động trên trục số, mà chiều chuyển động chính là dấu của vận tốc

v (t) = s^{'} (t)

— đây là dấu hiệu chuyển bài cơ học thành bài xét dấu tam thức. Vì

v (t) = 3 (t - 1) (t - 5)

có hai nghiệm đẹp nên xét dấu tích là nhanh nhất. Bẫy của bài là quên điều kiện

t \geq 0

và kết luận thêm khoảng

t < 1

về phía âm, hoặc nhầm dấu của

s

với dấu của

v

1Cách 1. Lập bảng xét dấu

v (t)

Định hướng. Tính đạo hàm $s^{'} (t)$ để được $v (t)$ , đưa về dạng tích rồi lập bảng xét dấu trên $[0; + \infty)$ vì thời gian $t$ không âm.

v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 18 t + 15 = 3 (t^{2} - 6 t + 5) = 3 (t - 1) (t - 5)

v (t) = 0 \Leftrightarrow t = 1

hoặc

t = 5

$t$	$0$		$1$		$5$		$+ \infty$
$v (t)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Vậy $v (t) > 0$ trên $[0; 1)$ và $(5; + \infty)$ : chất điểm chuyển động sang phải trong hai khoảng thời gian đó. $v (t) < 0$ trên $(1; 5)$ : chất điểm chuyển động sang trái trong khoảng thời gian này.

2Cách 2. Dùng đỉnh của parabol

v (t)

Định hướng. $v (t) = 3 t^{2} - 18 t + 15$ là một parabol quay lên ( $a = 3 > 0$ ) nên $v (t)$ âm đúng ở khoảng giữa hai nghiệm và dương ở hai bên ngoài, không cần lập bảng dấu tổng quát.

v (t) = 3 t^{2} - 18 t + 15

có hai nghiệm

t = 1

t = 5

, đỉnh tại

t = \frac{1 + 5}{2} = 3

Vì

a = 3 > 0

nên parabol nằm dưới trục hoành đúng trên khoảng giữa hai nghiệm:

v (t) < 0

với

t \in (1; 5)

Ngoài khoảng đó, parabol nằm trên trục hoành:

v (t) > 0

với

t \in [0; 1) \cup (5; + \infty)

Vậy chất điểm chuyển động sang phải khi $t \in [0; 1) \cup (5; + \infty)$ , chuyển động sang trái khi $t \in (1; 5)$ — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tận dụng tính chất parabol quay lên đã học từ lớp dưới, tránh phải lập bảng dấu đầy đủ.

3Cách 3. Dời gốc thời gian về

t = 3

rồi so sánh trực tiếp vị trí

Định hướng. Đồ thị của $s$ nhận điểm ứng với $t = 3$ làm tâm đối xứng; đặt $u = t - 3$ đưa $s$ về dạng $u^{3} - 12 u - 9$ , khi đó chiều chuyển động đọc được từ hiệu hai vị trí mà không cần tới đạo hàm.

u = t - 3

s = (u + 3)^{3} - 9 (u + 3)^{2} + 15 (u + 3) = u^{3} - 12 u - 9

lấy

u_{1} < u_{2}

\frac{s ( u _{2} ) - s ( u _{1} )}{u _{2} - u _{1}} = u_{1}^{2} + u_{1} u_{2} + u_{2}^{2} - 12

∣ u_{1} ∣ \geq 2

và

∣ u_{2} ∣ \geq 2

cùng dấu

\Rightarrow u_{1}^{2} + u_{1} u_{2} + u_{2}^{2} > 12 \Rightarrow

tỉ số

> 0

- 2 \leq u_{1} < u_{2} \leq 2 \Rightarrow u_{1}^{2} + u_{1} u_{2} + u_{2}^{2} < 12 \Rightarrow

tỉ số

< 0

u < - 2 \Leftrightarrow t < 1

;

- 2 < u < 2 \Leftrightarrow 1 < t < 5

;

u > 2 \Leftrightarrow t > 5

Vậy vị trí $s$ tăng khi $t \in [0; 1)$ và $t \in (5; + \infty)$ nên chất điểm chuyển động sang phải trong hai khoảng thời gian này; $s$ giảm khi $t \in (1; 5)$ nên chất điểm chuyển động sang trái.

Nhận xét. Điểm $t = 3$ vừa là tâm đối xứng của đồ thị vị trí vừa là lúc vận tốc nhỏ nhất $v (3) = - 12$ m/s, tức là lúc chất điểm chạy sang trái nhanh nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích

v (t) = 3 (t - 1) (t - 5)

rồi lập bảng xét dấu, ba dòng là ra và trả lời trúng ngay câu hỏi về chiều chuyển động.

Đáp số. Sang phải khi

t \in [0; 1)

hoặc

t \in (5; + \infty)

(giây) ; sang trái khi

t \in (1; 5)

(giây)

Sai lầm thường gặp. Quên điều kiện

t \geq 0

của đề rồi viết khoảng

(- \infty; 1)

cho phần chuyển động sang phải đầu tiên; đúng ra chỉ lấy

[0; 1)

🚀 Mở rộng. Thử tiếp câu hỏi khó hơn với cùng dữ kiện: quãng đường chất điểm đi được trong

6

giây đầu không bằng

∣ s (6) - s (0) ∣

mà phải cộng riêng từng chặng đổi chiều, cụ thể là

∣ s (1) - s (0) ∣ + ∣ s (5) - s (1) ∣ + ∣ s (6) - s (5) ∣

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 9

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Hoạt động 4★Trang 9— Tìm điểm cực đại, cực tiểu bằng đạo hàm rồi đối chiếu đồ thị

HĐ4 (trang 9). Nhận biết khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số. Quan sát đồ thị của hàm số

y = x^{3} + 3 x^{2} - 4

(Hình 1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau:
Bảng 1:

x = - 3; - 2; - 1

, dòng

y^{'}

?; 0; ?

, dòng

y

- 4 \to ? \to - 2

.
Bảng 2:

x = - 1; 0; 1

, dòng

y^{'}

?; 0; ?

, dòng

y

- 2 \to ? \to 0

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $f (x)$ đạt cực đại tại $x_{0}$ nếu tồn tại $h > 0$ sao cho $f (x) < f (x_{0})$ với mọi $x \in (x_{0} - h; x_{0} + h)$ , $x \neq = x_{0}$ .
Hàm số $f (x)$ đạt cực tiểu tại $x_{0}$ nếu tồn tại $h > 0$ sao cho $f (x) > f (x_{0})$ với mọi $x \in (x_{0} - h; x_{0} + h)$ , $x \neq = x_{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai bảng đề cho đều có ô

y^{'} = 0

ở giữa và hỏi dấu ở hai bên — đó chính là mô tả bằng số của khái niệm cực trị: đạo hàm đổi dấu khi

x

đi qua điểm đó. Chỉ cần

y^{'} = 3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2)

rồi thay ba giá trị là điền xong. Nếu muốn khỏi dùng đạo hàm, có thể phân tích

y

thành nhân tử để so sánh trực tiếp giá trị hàm với giá trị nghi ngờ là cực trị — đúng theo định nghĩa.

1Cách 1. Tính đạo hàm để điền hai bảng

Định hướng. Tính $y^{'}$ rồi thay từng giá trị $x$ đã cho vào để điền dấu; giá trị $y$ còn thiếu tính trực tiếp từ công thức $y = f (x)$ .

y^{'} = 3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2)

y^{'} (- 3) = 9 > 0

;

y^{'} (- 2) = 0

;

y^{'} (- 1) = - 3 < 0

y^{'} (- 1) = - 3 < 0

;

y^{'} (0) = 0

;

y^{'} (1) = 9 > 0

f (- 2) = - 8 + 12 - 4 = 0

;

f (0) = - 4

$x$	$- 3$		$- 2$		$- 1$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$
$y$	$- 4$	↗	$0$	↘	$- 2$

$x$	$- 1$		$0$		$1$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$
$y$	$- 2$	↘	$- 4$	↗	$0$

Vậy tại $x = - 2$ : $y^{'}$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm số đạt cực đại, $y_{C D} = 0$ . Tại $x = 0$ : $y^{'}$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm số đạt cực tiểu, $y_{C T} = - 4$ .

2Cách 2. Đối chiếu trực tiếp với đồ thị Hình 1.7

Định hướng. Không cần tính toán lại, chỉ cần nhìn đỉnh và đáy của đường cong trên hình vẽ để kiểm tra chéo kết quả ở Cách 1.

Trên Hình 1.7, đường cong đi lên tới một đỉnh gần

x = - 2

rồi đi xuống

\Rightarrow

đỉnh đó là điểm cực đại
Toạ độ đỉnh trên hình:

(- 2; 0)

Đường cong đi xuống tới một đáy gần

x = 0

rồi đi lên

\Rightarrow

đáy đó là điểm cực tiểu
Toạ độ đáy trên hình:

(0; - 4)

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = - 2$ , $y_{C D} = 0$ ; đạt cực tiểu tại $x = 0$ , $y_{C T} = - 4$ — đúng như bảng biến thiên ở Cách 1.

Nhận xét. Đồ thị chỉ cho kết quả gần đúng bằng mắt, còn bảng biến thiên ở Cách 1 mới cho giá trị chính xác.

3Cách 3. Dùng định nghĩa qua phân tích thành nhân tử

Định hướng. Phân tích $y - y_{0}$ thành nhân tử với $y_{0}$ là giá trị nghi là cực trị; dấu không đổi của biểu thức trên một lân cận cho kết luận theo đúng định nghĩa cực đại, cực tiểu.

y = x^{3} + 3 x^{2} - 4

y - 0 = x^{3} + 3 x^{2} - 4 = (x - 1) (x + 2)^{2}

với

x

thuộc lân cận

(- 3; 1)

của

- 2

x - 1 < 0

và

(x + 2)^{2} \geq 0

nên

y \leq 0 = y (- 2)

y - (- 4) = x^{3} + 3 x^{2} = x^{2} (x + 3)

với

x

thuộc lân cận

(- 1; 1)

của

0

x + 3 > 0

và

x^{2} \geq 0

nên

y \geq - 4 = y (0)

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = - 2$ với $y_{C D} = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 0$ với $y_{C T} = - 4$ , đúng như hai bảng đã điền và như Hình 1.7.

Nhận xét. Nhân tử $(x + 2)^{2}$ có số mũ chẵn còn $(x - 1)$ có số mũ lẻ; chính sự chênh lệch chẵn lẻ đó quyết định đồ thị chạm hay cắt trục hoành tại điểm tương ứng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính

y^{'} = 3 x (x + 2)

rồi thay ba giá trị vào là điền xong cả hai bảng, nhanh hơn hẳn việc dò trên hình vốn dễ đọc lệch giá trị.

Đáp số. Cực đại tại

x = - 2

y_{C D} = 0

; cực tiểu tại

x = 0

y_{C T} = - 4

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn giữa điểm cực trị (giá trị

x = x_{0}

) và giá trị cực trị (giá trị

y = f (x_{0})

), viết "cực đại bằng

- 2

" thay vì "cực đại tại

x = - 2

, giá trị cực đại bằng

0

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu

f (x) - f (x_{0}) = (x - x_{0})^{2 k} h (x)

với

h (x_{0}) \neq = 0

thì

x_{0}

là điểm cực trị, còn nếu số mũ lẻ thì

x_{0}

không phải điểm cực trị dù vẫn có

f^{'} (x_{0}) = 0

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 9

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 4★Trang 10— Xác định cực trị của hàm số cho bởi đồ thị

Luyện tập 4 (trang 10). Hình 1.9 là đồ thị của hàm số

y = f (x)

. Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Kiến thức cần nhớ

Điểm mà đồ thị chuyển từ đi lên sang đi xuống là điểm cực đại; điểm chuyển từ đi xuống sang đi lên là điểm cực tiểu.
Giá trị cực trị chính là tung độ (giá trị $y$ ) tại điểm đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho đồ thị, không cho công thức — dấu hiệu của dạng đọc cực trị bằng mắt: tìm điểm cao nhất của một khúc đi lên rồi đi xuống, và điểm thấp nhất của khúc ngược lại. Cần phân biệt rõ điểm cực trị (giá trị của

x

) với giá trị cực trị (giá trị của

y

), vì đề hỏi cả hai. Bẫy hay gặp là gọi tung độ điểm cao nhất trên hình vẽ là giá trị lớn nhất của hàm số, trong khi đồ thị còn đi lên vô tận ở phía bên phải.

1Cách 1. Đọc trực tiếp toạ độ trên đồ thị

Định hướng. Nhìn đường nét liền: nó đi lên tới một đỉnh, đi xuống tới một đáy, rồi lại đi lên — hai điểm đó chính là hai điểm cần tìm.

Đồ thị đi lên rồi đạt đỉnh tại điểm có hoành độ

x = - 1

, tung độ

y = 5

Đồ thị đi xuống rồi đạt đáy tại điểm có hoành độ

x = 1

, tung độ

y = 1

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ , $y_{C D} = 5$ ; đạt cực tiểu tại $x = 1$ , $y_{C T} = 1$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng định nghĩa cực trị

Định hướng. Đối chiếu hai điểm vừa đọc được với định nghĩa: xét dấu hiệu tăng giảm của đồ thị ở lân cận hai phía của mỗi điểm.

Xét

x_{0} = - 1

: với

x

trong lân cận của

- 1

(cả bên trái lẫn bên phải,

x \neq = - 1

), đồ thị đều nằm THẤP HƠN điểm

(- 1; 5)

\Rightarrow f (x) < f (- 1)

với mọi

x

lân cận

- 1

x \neq = - 1

: đúng định nghĩa cực đại
Xét

x_{0} = 1

: với

x

trong lân cận của

1

x \neq = 1

, đồ thị đều nằm CAO HƠN điểm

(1; 1)

\Rightarrow f (x) > f (1)

với mọi

x

lân cận

1

x \neq = 1

: đúng định nghĩa cực tiểu

Vậy $x = - 1$ thật sự là điểm cực đại và $x = 1$ thật sự là điểm cực tiểu, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chậm hơn nhưng cho thấy rõ VÌ SAO hai điểm đó là cực trị theo đúng định nghĩa, không chỉ dựa vào cảm giác "đỉnh, đáy".

3Cách 3. Chuyển đồ thị thành bảng biến thiên rồi đọc cực trị

Định hướng. Đổi thông tin hình học sang ngôn ngữ bảng: mỗi khúc đi lên ghi mũi tên lên và $y^{'} > 0$ , mỗi khúc đi xuống ghi mũi tên xuống và $y^{'} < 0$ ; chỗ mũi tên đảo chiều chính là cực trị.

đồ thị đi lên trên

(- \infty; - 1)

nên

f^{'} (x) > 0

trên khoảng đó
đồ thị đi xuống trên

(- 1; 1)

nên

f^{'} (x) < 0

trên khoảng đó
đồ thị đi lên trên

(1; + \infty)

nên

f^{'} (x) > 0

trên khoảng đó

f^{'}

đổi dấu từ dương sang âm khi

x

qua

- 1

, và từ âm sang dương khi

x

qua

1

f (- 1) = 5

;

f (1) = 1

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ với $y_{C D} = 5$ và đạt cực tiểu tại $x = 1$ với $y_{C T} = 1$ .

Nhận xét. Bảng biến thiên là bản dịch của đồ thị sang dạng chữ; ngược lại, có bảng biến thiên là phác được ngay hình dáng đồ thị — hai chiều dịch này dùng suốt chương I.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 khi đề cho đồ thị rõ mốc: nhìn hai điểm đổi chiều là đọc được ngay cả điểm cực trị lẫn giá trị cực trị; Cách 3 chỉ nên dùng khi đề hỏi thêm về khoảng đơn điệu hoặc dấu của

f^{'}

Đáp số. Cực đại tại

x = - 1

y_{C D} = 5

; cực tiểu tại

x = 1

y_{C T} = 1

Sai lầm thường gặp. Đọc nhầm trục hoành và trục tung, ghi cực đại tại

y = - 1

thay vì tại

x = - 1

🚀 Mở rộng. Cùng đồ thị đó, thử trả lời câu khó hơn: đồ thị của

y = f (x) + m

có cực trị tại đúng những điểm cũ, còn đồ thị của

y = f (x + m)

thì hai điểm cực trị dịch sang trái

m

đơn vị — giá trị cực trị vẫn giữ nguyên.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Hoạt động 5★★Trang 10— Tìm cực trị hàm bậc ba bằng đạo hàm và bảng biến thiên

HĐ5 (trang 10). Nhận biết cách tìm cực trị của hàm số. Cho hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 1

.
a) Tính đạo hàm

f^{'} (x)

và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm

f^{'} (x)

bằng

0

.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số.
c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.

Kiến thức cần nhớ

Các bước tìm cực trị: tìm tập xác định; tính $f^{'} (x)$ và các điểm mà $f^{'} (x) = 0$ hoặc không xác định; lập bảng biến thiên; suy ra cực trị.
Nếu $f^{'} (x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi $x$ qua $x_{0}$ thì $x_{0}$ là điểm cực tiểu; nếu đổi dấu từ $+$ sang $-$ thì $x_{0}$ là điểm cực đại.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm bậc ba với

y^{'} = x^{2} - 6 x + 8

có hai nghiệm nguyên

2

và

4

— dấu hiệu chắc chắn có một cực đại và một cực tiểu. Việc nặng nhất của bài không phải tìm hai nghiệm mà là thay chúng vào hàm bậc ba có hệ số phân số để lấy giá trị cực trị; ở đây có mẹo: chia

y

cho

y^{'}

thì tại điểm cực trị giá trị hàm bằng đúng phần dư. Bẫy của bài là tính

y (2)

y (4)

bằng cách thay trực tiếp rồi cộng trừ phân số, rất dễ sai.

1Cách 1. Đạo hàm và bảng biến thiên

Định hướng. Tính $y^{'}$ , giải phương trình tích để tìm nghiệm, rồi lập bảng biến thiên theo đúng bốn bước đã học.

Tập xác định

R

y^{'} = x^{2} - 6 x + 8 = (x - 2) (x - 4)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 2

hoặc

x = 4

b) Lập bảng biến thiên:

$x$	$- \infty$		$2$		$4$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$\frac{23}{3}$	↘	$\frac{19}{3}$	↗	$+ \infty$

Vậy c) hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ , $y_{C D} = \frac{23}{3}$ ; đạt cực tiểu tại $x = 4$ , $y_{C T} = \frac{19}{3}$ .

2Cách 2. Thử điểm đại diện để xét dấu

y^{'}

Định hướng. Sau khi có hai nghiệm $x = 2$ , $x = 4$ , thay một giá trị đại diện trong mỗi khoảng vào dạng tích $(x - 2) (x - 4)$ để đọc dấu nhanh, không cần nhớ quy tắc dấu tam thức.

y^{'} = (x - 2) (x - 4)

x = 0 \Rightarrow y^{'} = (- 2) (- 4) = 8 > 0

x = 3 \Rightarrow y^{'} = (1) (- 1) = - 1 < 0

x = 5 \Rightarrow y^{'} = (3) (1) = 3 > 0

f (2) = \frac{8}{3} - 12 + 16 + 1 = \frac{23}{3}

;

f (4) = \frac{64}{3} - 48 + 32 + 1 = \frac{19}{3}

Vậy $y^{'}$ đổi dấu $+ \to -$ tại $x = 2$ (cực đại, $y = \frac{23}{3}$ ) và đổi dấu $- \to +$ tại $x = 4$ (cực tiểu, $y = \frac{19}{3}$ ) — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Thử điểm đại diện giúp kiểm tra nhanh mà không cần vẽ lại toàn bộ bảng biến thiên.

3Cách 3. Dạng chính tắc cho

y^{'}

và lấy giá trị cực trị bằng phần dư

Định hướng. Hoàn thành bình phương cho $y^{'}$ để xét dấu trong một dòng, rồi chia $y$ cho $y^{'}$ : tại điểm cực trị ta có $y^{'} = 0$ nên giá trị hàm rút gọn thành phần dư bậc nhất, thay số rất nhẹ.

y^{'} = x^{2} - 6 x + 8 = (x - 3)^{2} - 1

y^{'} < 0 \Leftrightarrow ∣ x - 3 ∣ < 1 \Leftrightarrow 2 < x < 4

;

y^{'} > 0 \Leftrightarrow x < 2

hoặc

x > 4

y = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 1 = (x^{2} - 6 x + 8) (\frac{1}{3} x - 1) + (9 - \frac{2}{3} x)

tại điểm cực trị

y^{'} = 0

nên

y = 9 - \frac{2}{3} x

x = 2 \Rightarrow y = 9 - \frac{4}{3} = \frac{23}{3}

;

x = 4 \Rightarrow y = 9 - \frac{8}{3} = \frac{19}{3}

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ với $y_{C D} = \frac{23}{3}$ và đạt cực tiểu tại $x = 4$ với $y_{C T} = \frac{19}{3}$ .

Nhận xét. Đường thẳng $y = 9 - \frac{2}{3} x$ đi qua cả hai điểm cực trị của đồ thị; đây là kết quả dùng lại rất nhiều ở các bài hỏi về đường thẳng nối hai điểm cực trị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: phần dư của phép chia cho ngay cả hai giá trị cực trị chỉ bằng một phép thế vào biểu thức bậc nhất, tránh hẳn việc tính

\frac{1}{3} x^{3}

với

x = 4

vốn hay sai.

Đáp số. Cực đại tại

x = 2

y_{C D} = \frac{23}{3}

; cực tiểu tại

x = 4

y_{C T} = \frac{19}{3}

Sai lầm thường gặp. Quên chia phân số, viết nhầm

f (2) = 8 - 12 + 16 + 1 = 13

do quên hệ số

\frac{1}{3}

đứng trước

x^{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

có hai cực trị, phần dư của phép chia

y

cho

y^{'}

là một biểu thức bậc nhất và đường thẳng ứng với nó luôn đi qua hai điểm cực trị của đồ thị — đồng thời đi qua tâm đối xứng.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Câu hỏi (trang 11)★★Trang 11— Giải thích điều kiện cần và đủ của điểm cực trị

Câu hỏi (trang 11). Giải thích vì sao nếu

f^{'} (x)

không đổi dấu khi

x

qua

x_{0}

thì

x_{0}

không phải là điểm cực trị của hàm số

f (x)

Kiến thức cần nhớ

Cực trị chỉ xảy ra khi hàm số CHUYỂN từ đồng biến sang nghịch biến (hoặc ngược lại) tại $x_{0}$ , tức là $f^{'} (x)$ phải ĐỔI DẤU khi $x$ qua $x_{0}$ .
Nếu $f^{'} (x)$ giữ nguyên một dấu ở cả hai phía của $x_{0}$ thì hàm số đơn điệu (chỉ tăng hoặc chỉ giảm) xuyên suốt qua $x_{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi yêu cầu giải thích một mệnh đề, nên phải bám sát định nghĩa chứ không được lấy ví dụ thay cho chứng minh. Giả thiết cho

f^{'}

giữ nguyên một dấu khi

x

đi qua

x_{0}

, mà dấu không đổi của đạo hàm đồng nghĩa với đơn điệu trên cả hai phía — từ đó mâu thuẫn với yêu cầu của cực trị. Bẫy của bài là nhớ nhầm chiều:

f^{'} (x_{0}) = 0

chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ để có cực trị.

1Cách 1. Lập luận từ định nghĩa hàm đơn điệu

Định hướng. Nếu $f^{'} (x)$ không đổi dấu quanh $x_{0}$ thì cả hai phía của $x_{0}$ đều cùng một chiều biến thiên; dùng ngay định nghĩa cực đại/cực tiểu để thấy điều đó không xảy ra được.

Giả sử

f^{'} (x) > 0

với mọi

x

trong khoảng

(x_{0} - h; x_{0} + h)

x \neq = x_{0}

(không đổi dấu)
Theo định lí, hàm số đồng biến trên CẢ khoảng

(x_{0} - h; x_{0} + h)

Khi đó với

x < x_{0}

f (x) < f (x_{0})

; còn với

x > x_{0}

f (x) > f (x_{0})

Vậy $f (x_{0})$ không thể lớn hơn TẤT CẢ $f (x)$ lân cận (vì phía phải $f (x)$ còn lớn hơn), cũng không thể nhỏ hơn TẤT CẢ $f (x)$ lân cận (vì phía trái $f (x)$ còn nhỏ hơn) — nên $x_{0}$ không thoả định nghĩa cực đại lẫn cực tiểu. Lập luận tương tự khi $f^{'} (x) < 0$ không đổi dấu.

2Cách 2. Minh hoạ bằng một ví dụ cụ thể

Định hướng. Kiểm chứng lập luận tổng quát ở Cách 1 bằng một hàm số cụ thể có đạo hàm không đổi dấu tại một điểm.

Xét

f (x) = x^{3}

, có

f^{'} (x) = 3 x^{2}

f^{'} (0) = 0

nhưng

f^{'} (x) = 3 x^{2} \geq 0

với MỌI

x

, tức là

f^{'} (x)

không đổi dấu khi

x

qua

0

Với

x < 0

f (x) = x^{3} < 0 = f (0)

; với

x > 0

f (x) = x^{3} > 0 = f (0)

Vậy $f (0) = 0$ không lớn hơn cũng không nhỏ hơn mọi giá trị $f (x)$ lân cận, nên $x = 0$ không phải là điểm cực trị của $f (x) = x^{3}$ , đúng như lập luận ở Cách 1.

Nhận xét. Đây chính là ví dụ ở phần Chú ý ngay sau Định lí trong SGK: $f^{'} (x_{0}) = 0$ là điều kiện CẦN nhưng CHƯA ĐỦ để $x_{0}$ là điểm cực trị.

3Cách 3. Chứng minh bằng phản chứng

Định hướng. Giả sử ngược lại rằng $x_{0}$ là điểm cực trị, rồi dùng ngay định nghĩa cực trị để chỉ ra mâu thuẫn với tính đơn điệu do dấu không đổi của $f^{'}$ sinh ra.

giả sử

f^{'} (x) > 0

với mọi

x

thuộc một khoảng

(a; b)

chứa

x_{0}

, trừ có thể tại

x_{0}

khi đó

f

đồng biến trên

(a; b)

, tức là

a < x_{1} < x_{0} < x_{2} < b \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{0}) < f (x_{2})

nếu

x_{0}

là điểm cực đại thì tồn tại khoảng con chứa

x_{0}

mà

f (x) \leq f (x_{0})

với mọi

x

trong đó, mâu thuẫn với

f (x_{0}) < f (x_{2})

nếu

x_{0}

là điểm cực tiểu thì phải có

f (x) \geq f (x_{0})

trên một khoảng con, mâu thuẫn với

f (x_{1}) < f (x_{0})

trường hợp

f^{'} (x) < 0

trên

(a; b)

lập luận hoàn toàn tương tự

Vậy điều giả sử là sai, tức là $x_{0}$ không thể là điểm cực trị khi $f^{'}$ không đổi dấu qua $x_{0}$ .

Nhận xét. Hàm $y = x^{3}$ tại $x_{0} = 0$ là minh hoạ kinh điển: $y^{'} = 3 x^{2} \geq 0$ không đổi dấu nên $x = 0$ không phải điểm cực trị, dù $y^{'} (0) = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập luận thẳng từ tính đơn điệu chỉ mất hai dòng và đúng trọng tâm câu hỏi; Cách 2 chỉ nên kèm thêm như một minh hoạ vì một ví dụ không thay được chứng minh.

Đáp số. Vì khi

f^{'} (x)

không đổi dấu, hàm số đơn điệu (chỉ tăng hoặc chỉ giảm) xuyên suốt qua

x_{0}

nên

f (x_{0})

không thể vừa lớn nhất vừa nhỏ nhất trong lân cận

x_{0}

Sai lầm thường gặp. Hiểu nhầm rằng cứ

f^{'} (x_{0}) = 0

là chắc chắn có cực trị — cần kiểm tra thêm dấu của

f^{'} (x)

có đổi dấu hay không quanh

x_{0}

🚀 Mở rộng. Tổng quát hơn, dấu hiệu đủ để có cực trị là

f^{'}

đổi dấu; nếu dùng đạo hàm cấp hai thì

f^{'} (x_{0}) = 0

và

f^{''} (x_{0}) \neq = 0

cho ngay kết luận, còn khi

f^{''} (x_{0}) = 0

thì phải quay lại xét dấu

f^{'}

như bài này.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 11

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Luyện tập 5★★Trang 12— Tìm cực trị của hàm trùng phương và hàm phân thức

Luyện tập 5 (trang 12). Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)

y = x^{4} - 3 x^{2} + 1

;
b)

y = \frac{- x ^{2} + 2 x - 1}{x + 2}

Kiến thức cần nhớ

Hàm trùng phương $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ luôn có $y^{'} = 4 a x^{3} + 2 b x$ chia hết cho $x$ , nên $x = 0$ luôn là một nghiệm của $y^{'} = 0$ .
Với hàm phân thức, kiểm tra dấu $y^{'}$ trên từng khoảng con của tập xác định.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a là hàm trùng phương, chỉ chứa luỹ thừa chẵn của

x

nên đồ thị đối xứng qua trục tung và hai cực tiểu phải đối xứng nhau; câu b là phân thức có tử bậc hai chia hết dạng bình phương, gợi ý đổi ẩn theo mẫu. Đưa câu a về dạng chính tắc

(x^{2} - \frac{3}{2})^{2} - \frac{5}{4}

và câu b về

6 - (t + \frac{9}{t})

thì cực trị hiện ra từ bất đẳng thức, không cần bảng biến thiên. Bẫy của câu b là quên rằng với

t < 0

bất đẳng thức trung bình cộng — trung bình nhân đổi chiều.

1Cách 1. Đạo hàm và bảng biến thiên

Định hướng. Tính $y^{'}$ , đưa về dạng tích để tìm hết nghiệm, rồi lập bảng biến thiên cho từng hàm số.

a) Tập xác định

R

y^{'} = 4 x^{3} - 6 x = 2 x (2 x^{2} - 3)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = \pm \frac{6}{2}

$x$	$- \infty$		$- \frac{6}{2}$		$0$		$\frac{6}{2}$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$+ \infty$	↘	$- \frac{5}{4}$	↗	$1$	↘	$- \frac{5}{4}$	↗	$+ \infty$

b) Tập xác định

R ∖ {- 2}

y^{'} = \frac{( - 2 x + 2 ) ( x + 2 ) - ( - x ^{2} + 2 x - 1 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{- x ^{2} - 4 x + 5}{( x + 2 ) ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 5

hoặc

x = 1

$x$	$- \infty$		$- 5$		$- 2$		$1$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$		$+$	$0$	$-$
$y$	$+ \infty$	↘	$12$	↗	$- \infty$ $+ \infty$	↗	$0$	↘	$- \infty$

Vậy a) hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ , $y_{C D} = 1$ ; đạt cực tiểu tại $x = \pm \frac{6}{2}$ , $y_{C T} = - \frac{5}{4}$ . b) hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 5$ , $y_{C T} = 12$ ; đạt cực đại tại $x = 1$ , $y_{C D} = 0$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ (câu a) và chia đa thức (câu b)

Định hướng. Câu a) đặt $u = x^{2} \geq 0$ đưa về tam thức bậc hai theo $u$ , tận dụng tính chẵn của hàm số; câu b) chia đa thức trước khi đạo hàm cho gọn.

a) Đặt

u = x^{2} \geq 0

y = u^{2} - 3 u + 1

, đây là tam thức bậc hai theo

u

có đỉnh tại

u = \frac{3}{2}

Vì

y (x) = y (- x)

(hàm số chẵn) nên đồ thị đối xứng qua trục

O y

: hai cực tiểu đối xứng nhau qua

x = 0

u = \frac{3}{2} \Rightarrow x^{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{6}{2}

;

y = (\frac{3}{2})^{2} - 3 \cdot \frac{3}{2} + 1 = - \frac{5}{4}

Đỉnh

u = 0

(tức

x = 0

) cho

y = 1

, đây là cực đại vì tam thức theo

u

quay lên nên

u = 0

là biên trái, ứng với đỉnh của đồ thị ban đầu

- x^{2} + 2 x - 1 = - (x + 2) (x - 4) - 9

, thử lại:

- (x + 2) (x - 4) = - x^{2} + 2 x + 8

, trừ đi

9

- x^{2} + 2 x - 1

✓, nên

y = - x + 4 - \frac{9}{x + 2}

y^{'} = - 1 + \frac{9}{( x + 2 ) ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow (x + 2)^{2} = 9 \Leftrightarrow x = - 5

hoặc

x = 1

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1 ở cả hai câu.

Nhận xét. Đặt ẩn phụ ở câu a) cho thấy ngay tính đối xứng của hai điểm cực tiểu; dạng chia đa thức ở câu b) tính đạo hàm nhẹ nhàng hơn hẳn công thức đạo hàm thương.

3Cách 3. Dạng chính tắc cho câu a và bất đẳng thức AM-GM cho câu b

Định hướng. Câu a viết hàm thành một bình phương trừ hằng số để đọc ngay giá trị nhỏ nhất; câu b đổi ẩn $t = x + 2$ đưa về $6 - (t + \frac{9}{t})$ rồi dùng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân.

y = x^{4} - 3 x^{2} + 1 = (x^{2} - \frac{3}{2})^{2} - \frac{5}{4}

y \geq - \frac{5}{4}

, dấu bằng khi

x^{2} = \frac{3}{2}

, tức

x = \pm \frac{6}{2}

y - 1 = x^{2} (x^{2} - 3) \leq 0

khi

∣ x ∣ < 3

, dấu bằng khi

x = 0

t = x + 2

y = \frac{- ( t - 3 ) ^{2}}{t} = 6 - (t + \frac{9}{t})

t > 0

t + \frac{9}{t} \geq 6

nên

y \leq 0

, dấu bằng khi

t = 3

, tức

x = 1

t < 0

t + \frac{9}{t} \leq - 6

nên

y \geq 12

, dấu bằng khi

t = - 3

, tức

x = - 5

Vậy a) hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ với $y_{C D} = 1$ và đạt cực tiểu tại $x = \pm \frac{6}{2}$ với $y_{C T} = - \frac{5}{4}$ ; b) hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ với $y_{C D} = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = - 5$ với $y_{C T} = 12$ .

Nhận xét. Ở câu b, giá trị cực đại $0$ lại nhỏ hơn giá trị cực tiểu $12$ — chuyện hoàn toàn bình thường với hàm phân thức, vì cực trị chỉ so sánh trong một lân cận chứ không so sánh trên toàn tập xác định.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: cả hai câu chỉ còn một bất đẳng thức và một dấu bằng, không phải lập bảng biến thiên nên tiết kiệm được quá nửa thời gian; Cách 1 giữ lại làm bản trình bày chuẩn khi đề bắt buộc lập bảng.

Đáp số. a) Cực đại tại

x = 0

y_{C D} = 1

; cực tiểu tại

x = \pm \frac{6}{2}

y_{C T} = - \frac{5}{4}

· b) Cực tiểu tại

x = - 5

y_{C T} = 12

; cực đại tại

x = 1

y_{C D} = 0

Sai lầm thường gặp. Ở câu a), quên rằng hàm trùng phương có thể có TỚI HAI điểm cực tiểu (hoặc hai cực đại) đối xứng nhau, chỉ tìm ra một nghiệm rồi dừng lại.

🚀 Mở rộng. Tổng quát cho hàm trùng phương

y = x^{4} + p x^{2} + q

: nếu

p < 0

thì có ba cực trị đối xứng qua trục tung với hai cực tiểu bằng nhau, còn nếu

p \geq 0

thì chỉ có đúng một cực tiểu tại

x = 0

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 12

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Vận dụng 2★★Trang 12— Ứng dụng cực trị hàm số vào bài toán chuyển động ném thẳng đứng

Vận dụng 2 (trang 12). Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao

2

m với vận tốc ban đầu là

24, 5

m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao

h

(mét) của vật sau

t

(giây) được cho bởi công thức

h (t) = 2 + 24, 5 t - 4, 9 t^{2}

. Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Kiến thức cần nhớ

Độ cao lớn nhất ứng với điểm cực đại (đồng thời là giá trị lớn nhất) của hàm số $h (t)$ trên $[0; + \infty)$ .
Với hàm bậc hai $y = a t^{2} + b t + c$ , $a < 0$ , đỉnh (điểm cao nhất) tại $t = - \frac{b}{2 a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Độ cao là hàm bậc hai theo thời gian với hệ số của

t^{2}

âm — dấu hiệu chắc chắn có một giá trị lớn nhất đạt tại đỉnh parabol. Ba hướng cùng dẫn tới một mốc: đạo hàm triệt tiêu, hoành độ đỉnh, và ý nghĩa vật lí là lúc vận tốc bằng không. Bẫy của bài là trả lời độ cao lớn nhất mà quên câu hỏi thật của đề là thời điểm, hoặc quên cộng độ cao ban đầu

2

1Cách 1. Đạo hàm và bảng biến thiên

Định hướng. Tính $h^{'} (t)$ , giải $h^{'} (t) = 0$ rồi lập bảng biến thiên để xác nhận đó là điểm cực đại (độ cao lớn nhất).

h^{'} (t) = 24, 5 - 9, 8 t

h^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 2, 5

$x$	$0$		$2, 5$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$
$y$	$2$	↗	$32, 625$	↘	$- \infty$

Vậy hàm số đạt cực đại (độ cao lớn nhất) tại $t = 2, 5$ (giây), với $h (2, 5) = 2 + 24, 5 \cdot 2, 5 - 4, 9 \cdot 2, 5^{2} = 32, 625$ (mét).

2Cách 2. Dùng công thức đỉnh parabol

Định hướng. $h (t)$ là một hàm bậc hai theo $t$ với hệ số $a = - 4, 9 < 0$ , nên đồ thị là parabol quay xuống và có điểm cao nhất chính là đỉnh — tính trực tiếp bằng công thức đỉnh, không cần đạo hàm.

h (t) = - 4, 9 t^{2} + 24, 5 t + 2

có

a = - 4, 9

b = 24, 5

Đỉnh parabol tại

t = - \frac{b}{2 a} = - \frac{24 , 5}{2 \cdot ( - 4 , 9 )} = 2, 5

h (2, 5) = - 4, 9 \cdot 6, 25 + 24, 5 \cdot 2, 5 + 2 = 32, 625

Vậy vật đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm $t = 2, 5$ giây, độ cao lớn nhất là $32, 625$ mét — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Với hàm bậc hai, dùng công thức đỉnh nhanh hơn hẳn lập bảng biến thiên đầy đủ; nhưng phương pháp đạo hàm ở Cách 1 mới dùng được cho các hàm phức tạp hơn (bậc ba, phân thức,…).

3Cách 3. Dùng ý nghĩa vật lí của vận tốc

Định hướng. Vật lên cao nhất đúng vào lúc vận tốc bằng không; vận tốc là đạo hàm của độ cao và ở đây là hàm bậc nhất nên giải một phương trình là xong, sau đó dùng công thức độ cao cực đại của chuyển động ném thẳng đứng để đối chiếu.

v (t) = h^{'} (t) = 24, 5 - 9, 8 t

v (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{24 , 5}{9 , 8} = 2, 5

v (t) > 0

khi

t < 2, 5

nên vật đang đi lên ;

v (t) < 0

khi

t > 2, 5

nên vật đang rơi xuống

h_{m a x} = h_{0} + \frac{v _{0}^{2}}{2 g} = 2 + \frac{24 , 5 ^{2}}{2 \cdot 9 , 8} = 2 + 30, 625 = 32, 625

Vậy vật đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm $t = 2, 5$ giây, độ cao lớn nhất là $32, 625$ mét.

Nhận xét. Công thức $h_{m a x} = h_{0} + \frac{v _{0}^{2}}{2 g}$ chính là bảo toàn cơ năng viết lại; nó cho thấy độ cao lớn nhất phụ thuộc bình phương vận tốc ban đầu, nên tăng $v_{0}$ gấp đôi thì phần độ cao lên thêm gấp bốn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hoành độ đỉnh

t = - \frac{b}{2 a}

cho đáp số trong một dòng; Cách 3 nên dùng khi đề hỏi thêm về vận tốc hoặc yêu cầu giải thích bằng ý nghĩa vật lí.

Đáp số. Vật đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm

t = 2, 5

giây, với độ cao lớn nhất là

32, 625

mét

Sai lầm thường gặp. Nhầm đơn vị

4, 9 t^{2}

với

4, 9 \cdot t \cdot 2

khi tính đạo hàm, ra

h^{'} (t) = 24, 5 - 4, 9 t

(thiếu hệ số

2

), dẫn đến

t = 5

sai.

🚀 Mở rộng. Thử lại bài này với câu hỏi khó hơn: vật chạm đất khi

h (t) = 0

, giải ra

t = \frac{24 , 5 + 24 , 5 ^{2} + 39 , 2}{9 , 8} \approx 5, 08

giây — thời gian rơi xuống dài hơn thời gian đi lên vì điểm ném cao hơn mặt đất

2

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 12

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 1.1★★Trang 13— Xét tính đơn điệu từ đồ thị cho sẵn, có kiểm chứng bằng đạo hàm

Bài 1.1 (trang 13). Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:
a) Đồ thị hàm số

y = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}

(Hình 1.11);
b) Đồ thị hàm số

y = 3 (x^{2} - 4)^{2}

(Hình 1.12).

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị đi lên ứng với khoảng đồng biến, đi xuống ứng với khoảng nghịch biến.
Hàm căn bậc ba $3 u$ xác định với MỌI $u$ (kể cả $u < 0$ ), nên $y = 3 (x^{2} - 4)^{2}$ có tập xác định $R$ dù đạo hàm có thể không tồn tại tại vài điểm.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều cho sẵn đồ thị nên đọc hình là hướng tự nhiên nhất, nhưng câu b có hàm căn bậc ba của một bình phương, đạo hàm không xác định tại

x = \pm 2

nên phải cẩn thận khi kiểm chứng. Với câu b, cách gọn nhất là nhận ra

y = 3 u^{2}

tăng theo

∣ u ∣

với

u = x^{2} - 4

, nên chiều biến thiên của

y

chính là chiều biến thiên của

x^{2} - 4

. Bẫy của bài là bỏ sót mốc

x = 0

ở câu b, vì tại đó

x^{2} - 4

đổi chiều mà đồ thị lại nhọn.

1Cách 1. Đọc trực tiếp trên đồ thị đã cho

Định hướng. Với mỗi hình, chỉ cần theo dõi đường cong đi lên hay đi xuống giữa các đỉnh, đáy đã đánh dấu trên trục.

a) Trên

(- \infty; 0)

: đi lên
Trên

(0; 1)

: đi xuống
Trên

(1; + \infty)

: đi lên

b) Trên

(- \infty; - 2)

: đi xuống
Trên

(- 2; 0)

: đi lên
Trên

(0; 2)

: đi xuống
Trên

(2; + \infty)

: đi lên

Vậy a) đồng biến trên $(- \infty; 0)$ và $(1; + \infty)$ , nghịch biến trên $(0; 1)$ . b) đồng biến trên $(- 2; 0)$ và $(2; + \infty)$ , nghịch biến trên $(- \infty; - 2)$ và $(0; 2)$ .

2Cách 2. Tính đạo hàm để kiểm chứng

Định hướng. Đối chiếu lại bằng công cụ đạo hàm: câu a) là đa thức nên đạo hàm luôn tồn tại; câu b) có luỹ thừa $\frac{2}{3}$ nên đạo hàm không tồn tại tại hai điểm làm căn bậc ba của mẫu triệt tiêu, đó cũng là hai điểm mà đồ thị có "góc nhọn".

y^{'} = 3 x^{2} - 3 x = 3 x (x - 1)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 1

x = - 1 \Rightarrow y^{'} = 6 > 0

;

x = 0, 5 \Rightarrow y^{'} = - 0, 75 < 0

;

x = 2 \Rightarrow y^{'} = 6 > 0

y^{'} = \frac{4 x}{3 3 x ^{2} - 4}

, không tồn tại tại

x = \pm 2

(căn bậc ba của

0

ở mẫu),

y^{'} = 0

tại

x = 0

x = - 3 \Rightarrow y^{'} < 0

;

x = - 1 \Rightarrow y^{'} > 0

;

x = 1 \Rightarrow y^{'} < 0

;

x = 3 \Rightarrow y^{'} > 0

Vậy dấu của $y^{'}$ ở cả hai câu đều khớp đúng với chiều lên xuống đã đọc ở Cách 1.

Nhận xét. Ở câu b), hàm số vẫn có cực trị tại $x = \pm 2$ dù đạo hàm không tồn tại tại đó — vì $y^{'}$ vẫn ĐỔI DẤU khi $x$ qua các điểm này.

3Cách 3. Dời trục cho câu a và dùng tính đơn điệu của hàm hợp cho câu b

Định hướng. Câu a dời trục về tâm đối xứng để đưa về hàm lẻ rồi so sánh trực tiếp; câu b tách thành hàm hợp $y = 3 u^{2}$ với $u = x^{2} - 4$ , và hàm ngoài tăng theo $∣ u ∣$ nên chỉ cần theo dõi $x^{2} - 4$ .

a) tâm đối xứng

I (\frac{1}{2}; - \frac{1}{4})

, đặt

x = X + \frac{1}{2}

y = (X + \frac{1}{2})^{3} - \frac{3}{2} (X + \frac{1}{2})^{2} = X^{3} - \frac{3}{4} X - \frac{1}{4}

\frac{y ( X _{2} ) - y ( X _{1} )}{X _{2} - X _{1}} = X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + X_{2}^{2} - \frac{3}{4}

, đổi dấu tại

X = \pm \frac{1}{2}

, tức

x = 0

và

x = 1

y = 3 u^{2}

với

u = x^{2} - 4

, hàm

3 u^{2}

đồng biến theo

∣ u ∣

x^{2} - 4 = x^{2} - 4

khi

∣ x ∣ \geq 2

và

= 4 - x^{2}

khi

∣ x ∣ < 2

x^{2} - 4

giảm trên

(- \infty; - 2)

, tăng trên

(- 2; 0)

, giảm trên

(0; 2)

, tăng trên

(2; + \infty)

Vậy a) hàm số đồng biến trên $(- \infty; 0)$ và $(1; + \infty)$ , nghịch biến trên $(0; 1)$ ; b) hàm số đồng biến trên $(- 2; 0)$ và $(2; + \infty)$ , nghịch biến trên $(- \infty; - 2)$ và $(0; 2)$ .

Nhận xét. Ở câu b, tại $x = \pm 2$ hàm đạt cực tiểu bằng $0$ nhưng không có đạo hàm — đồ thị nhọn tại đó, đúng như Hình 1.12; đây là ví dụ cho thấy cực trị không nhất thiết đi kèm $y^{'} = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 khi chỉ cần trả lời khoảng đơn điệu vì đề đã cho hình; nhưng nếu đề yêu cầu giải thích thì Cách 3 câu b là gọn nhất, chỉ cần theo dõi

x^{2} - 4

mà không phải lấy đạo hàm căn bậc ba.

Đáp số. a) Đồng biến

(- \infty; 0)

(1; + \infty)

; nghịch biến

(0; 1)

· b) Đồng biến

(- 2; 0)

(2; + \infty)

; nghịch biến

(- \infty; - 2)

(0; 2)

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nghĩ rằng hàm căn bậc ba có mẫu nên tập xác định phải loại

x = \pm 2

— sai, vì

3 u

xác định với mọi

u

kể cả

u = 0

, chỉ có ĐẠO HÀM là không tồn tại tại đó.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

y = 3 [g (x)]^{2}

thì

y

tăng đúng ở chỗ

∣ g (x) ∣

tăng, và mọi nghiệm của

g

đều cho một điểm cực tiểu bằng

0

mà tại đó đồ thị nhọn.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 13

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 1.2★★Trang 13— Xét tính đơn điệu của hàm bậc ba (có và không có nghiệm thực của đạo hàm)

Bài 1.2 (trang 13). Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a)

y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1

;
b)

y = - x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 3

Kiến thức cần nhớ

Tam thức bậc hai $a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 0$ ) có $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ thì vô nghiệm và luôn cùng dấu với $a$ .
Nếu $y^{'}$ không đổi dấu (luôn dương hoặc luôn âm) trên $R$ thì hàm số đơn điệu trên TOÀN BỘ $R$ , không có điểm tới hạn.

🧠 Phân tích tư duy

Hai câu cùng là hàm bậc ba nên tất cả nằm ở dấu của tam thức

y^{'}

: câu a có

Δ > 0

nên có hai mốc đổi chiều, câu b có

Δ < 0

và hệ số dẫn đầu âm nên

y^{'}

âm suốt. Đưa

y^{'}

về dạng chính tắc cho phép kết luận cả hai câu mà không phải nhớ công thức nghiệm hay quy tắc dấu tam thức. Bẫy của câu b là thấy

y^{'}

vô nghiệm rồi kết luận hàm đồng biến trên

R

vì quên dấu âm của hệ số

- 3

1Cách 1. Tính đạo hàm rồi lập bảng biến thiên

Định hướng. Tính $y^{'}$ cho từng hàm; câu a) giải phương trình bậc hai có nghiệm, câu b) cần kiểm tra biệt thức trước khi kết luận có nghiệm hay không.

y^{'} = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1

hoặc

x = 3

$x$	$- \infty$		$1$		$3$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$\frac{7}{3}$	↘	$1$	↗	$+ \infty$

y^{'} = - 3 x^{2} + 4 x - 5

Δ^{'} = 2^{2} - (- 3) (- 5) = 4 - 15 = - 11 < 0

Vì

a = - 3 < 0

và

Δ^{'} < 0

nên

y^{'} < 0

với mọi

x \in R

Vậy a) hàm số đồng biến trên $(- \infty; 1)$ và $(3; + \infty)$ , nghịch biến trên $(1; 3)$ . b) hàm số nghịch biến trên toàn bộ $R$ (không có khoảng đồng biến).

2Cách 2. Thử điểm đại diện

Định hướng. Kiểm tra lại dấu $y^{'}$ bằng cách thay các giá trị cụ thể, khỏi cần nhớ dấu tam thức hay tính biệt thức.

y^{'} = (x - 1) (x - 3)

x = 0 \Rightarrow y^{'} = 3 > 0

;

x = 2 \Rightarrow y^{'} = - 1 < 0

;

x = 4 \Rightarrow y^{'} = 3 > 0

y^{'} = - 3 x^{2} + 4 x - 5

x = 0 \Rightarrow y^{'} = - 5 < 0

;

x = 1 \Rightarrow y^{'} = - 4 < 0

;

x = - 1 \Rightarrow y^{'} = - 12 < 0

Thử với

∣ x ∣

rất lớn, ví dụ

x = 100 \Rightarrow y^{'} = - 3 \cdot 10000 + 400 - 5 < 0

: vẫn âm

Vậy mọi giá trị thử đều cho $y^{'} < 0$ ở câu b), củng cố kết luận hàm số nghịch biến trên toàn bộ $R$ ; câu a) khớp với bảng biến thiên ở Cách 1.

Nhận xét. Thử điểm chỉ mang tính minh hoạ, không thay thế được việc tính $Δ^{'}$ để khẳng định CHẮC CHẮN $y^{'}$ vô nghiệm ở câu b).

3Cách 3. Đưa đạo hàm về dạng chính tắc

Định hướng. Hoàn thành bình phương cho $y^{'}$ : câu a thành hiệu của một bình phương với một số nên mốc đổi dấu hiện ngay, câu b thành một đại lượng âm cộng với số âm nên dấu là hiển nhiên.

y^{'} = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 2)^{2} - 1

y^{'} > 0 \Leftrightarrow ∣ x - 2 ∣ > 1 \Leftrightarrow x < 1

hoặc

x > 3

;

y^{'} < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3

y^{'} = - 3 x^{2} + 4 x - 5 = - 3 (x - \frac{2}{3})^{2} - \frac{11}{3}

- 3 (x - \frac{2}{3})^{2} \leq 0

nên

y^{'} \leq - \frac{11}{3} < 0

với mọi

x

Vậy a) hàm số đồng biến trên $(- \infty; 1)$ và $(3; + \infty)$ , nghịch biến trên $(1; 3)$ ; b) hàm số nghịch biến trên toàn bộ $R$ .

Nhận xét. Dạng chính tắc còn cho thêm thông tin: ở câu b, $y^{'}$ lớn nhất bằng $- \frac{11}{3}$ tại $x = \frac{2}{3}$ , nghĩa là đồ thị thoải nhất tại điểm uốn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho câu b: chỉ một dòng dạng chính tắc là khẳng định được

y^{'} < 0

với mọi

x

, chắc chắn hơn hẳn việc nhớ quy tắc dấu tam thức theo

Δ

và hệ số

a

Đáp số. a) Đồng biến

(- \infty; 1)

(3; + \infty)

; nghịch biến

(1; 3)

· b) Nghịch biến trên

R

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), thấy

y^{'}

là tam thức bậc hai liền cố tìm nghiệm bằng công thức nghiệm mà không kiểm tra

Δ^{'} < 0

trước, dẫn đến khai căn số âm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hàm

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

với

a \neq = 0

đơn điệu trên

R

khi và chỉ khi

b^{2} - 3 a c \leq 0

; thử áp dụng ngay cho câu b sẽ thấy

16 - 3 \cdot (- 1) \cdot (- 5) = 1 > 0

— đây là chỗ dễ nhầm, phải viết đúng

y^{'}

trước khi kết luận.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 13

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 1.3★★Trang 14— Xét tính đơn điệu của hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất và bậc hai/bậc nhất

Bài 1.3 (trang 14). Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a)

y = \frac{2 x - 1}{x + 2}

;
b)

y = \frac{x ^{2} + x + 4}{x - 3}

Kiến thức cần nhớ

Hàm $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ ( $c \neq = 0$ ) luôn đơn điệu trên TỪNG khoảng xác định, không có cực trị (vì $y^{'}$ không đổi dấu và không triệt tiêu).
Có thể chia đa thức để viết $y$ dưới dạng (thương) $+ \frac{r}{c x + d}$ , giúp thấy ngay dấu của $y^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a là phân thức bậc nhất trên bậc nhất, loại này không bao giờ có cực trị và luôn đơn điệu trên từng khoảng của tập xác định; câu b có tử bậc hai nên chia được thành phần bậc nhất cộng phần dư và mới có thể có cực trị. Sau khi chia, phép đổi ẩn theo mẫu đưa cả hai câu về hàm quen

t + \frac{k}{t}

, khi đó bảng biến thiên đã biết sẵn. Bẫy chung là nối hai khoảng đơn điệu qua điểm loại khỏi tập xác định, viết thành một khoảng duy nhất.

1Cách 1. Đạo hàm thương rồi lập bảng biến thiên

Định hướng. Dùng công thức đạo hàm của thương hai đa thức, rút gọn tử số rồi xét dấu trên tập xác định.

a) Tập xác định

R ∖ {- 2}

y^{'} = \frac{2 ( x + 2 ) - ( 2 x - 1 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{5}{( x + 2 ) ^{2}} > 0

với mọi

x \neq = - 2

$x$	$- \infty$		$- 2$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$		$+$
$y$	$2$	↗	$- \infty$ $+ \infty$	↗	$2$

b) Tập xác định

R ∖ {3}

y^{'} = \frac{( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) - ( x ^{2} + x + 4 )}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 6 x - 7}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{( x - 7 ) ( x + 1 )}{( x - 3 ) ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 1

hoặc

x = 7

$x$	$- \infty$		$- 1$		$3$		$7$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$		$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$- 1$	↘	$- \infty$ $+ \infty$	↘	$15$	↗	$+ \infty$

Vậy a) hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$ . b) hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(7; + \infty)$ , nghịch biến trên $(- 1; 3)$ và $(3; 7)$ .

2Cách 2. Chia đa thức, xét dấu không cần công thức đạo hàm thương

Định hướng. Viết mỗi hàm số về dạng hằng số cộng một phân thức đơn giản $\frac{k}{x - a}$ , rồi tận dụng tính đơn điệu quen thuộc của hàm $y = \frac{1}{x - a}$ .

2 x - 1 = 2 (x + 2) - 5

nên

y = 2 - \frac{5}{x + 2}

Vì

\frac{1}{x + 2}

nghịch biến trên từng khoảng xác định nên

- \frac{5}{x + 2}

đồng biến trên từng khoảng xác định
Cộng thêm hằng số

2

không đổi tính đơn điệu

\Rightarrow y

đồng biến trên

(- \infty; - 2)

và

(- 2; + \infty)

x^{2} + x + 4 = (x - 3) (x + 4) + 16

nên

y = x + 4 + \frac{16}{x - 3}

y^{'} = 1 - \frac{16}{( x - 3 ) ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow (x - 3)^{2} = 16 \Leftrightarrow x = - 1

hoặc

x = 7

x = 0 \Rightarrow y^{'} = 1 - \frac{16}{9} < 0

;

x = 5 \Rightarrow y^{'} = 1 - 4 < 0

;

x = 8 \Rightarrow y^{'} = 1 - \frac{16}{25} > 0

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1 ở cả hai câu.

Nhận xét. Ở câu a), vì tử của $y^{'}$ là hằng số dương $5$ nên không có nghiệm — hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất KHÔNG BAO GIỜ có cực trị.

3Cách 3. Đổi ẩn theo mẫu, dùng hàm

t + \frac{k}{t}

đã biết

Định hướng. Đặt ẩn phụ bằng mẫu số để tách hằng số ra ngoài; hàm còn lại là $\frac{k}{t}$ hoặc $t + \frac{k}{t}$ , hai hàm mà chiều biến thiên đã thuộc nên không phải lấy đạo hàm.

t = x + 2

y = \frac{2 ( t - 2 ) - 1}{t} = 2 - \frac{5}{t}

- \frac{5}{t}

đồng biến trên

(- \infty; 0)

và trên

(0; + \infty)

t < 0 \Leftrightarrow x < - 2

;

t > 0 \Leftrightarrow x > - 2

t = x - 3

y = \frac{( t + 3 ) ^{2} + ( t + 3 ) + 4}{t} = t + 7 + \frac{16}{t}

t > 0

t + \frac{16}{t}

nghịch biến trên

(0; 4)

, đồng biến trên

(4; + \infty)

t < 0

t + \frac{16}{t}

đồng biến trên

(- \infty; - 4)

, nghịch biến trên

(- 4; 0)

t = - 4 \Leftrightarrow x = - 1

;

t = 4 \Leftrightarrow x = 7

Vậy a) hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$ , không có cực trị; b) hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(7; + \infty)$ , nghịch biến trên $(- 1; 3)$ và $(3; 7)$ .

Nhận xét. Ở câu a, tử của $y^{'}$ luôn bằng $a d - b c = 5 > 0$ ; đây là dấu hiệu nhận biết nhanh chiều biến thiên của mọi phân thức $\frac{a x + b}{c x + d}$ mà không cần tính toán gì thêm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: đổi ẩn xong là chiều biến thiên đọc thẳng từ hàm mẫu, riêng câu b còn cho luôn hai điểm cực trị nhờ dấu bằng của bất đẳng thức trung bình cộng — trung bình nhân, nhanh hơn Cách 1 nhiều.

Đáp số. a) Đồng biến trên

(- \infty; - 2)

và

(- 2; + \infty)

, không có cực trị · b) Đồng biến

(- \infty; - 1)

(7; + \infty)

; nghịch biến

(- 1; 3)

(3; 7)

Sai lầm thường gặp. Ở câu a), thấy

y^{'} > 0

trên cả hai khoảng rồi viết gộp thành "đồng biến trên

R

" — sai vì hàm số không xác định tại

x = - 2

, phải tách thành hai khoảng riêng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

y = \frac{a x + b}{c x + d}

đồng biến trên từng khoảng khi

a d - b c > 0

và nghịch biến khi

a d - b c < 0

; còn

y = \frac{a x ^{2} + b x + c}{x - m}

thì có hai cực trị hoặc không có cực trị nào, tuỳ dấu của hệ số trước

\frac{1}{t}

sau khi đổi ẩn.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 14

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 1.4★★Trang 14— Xét chiều biến thiên của hàm căn thức (đồ thị nửa đường tròn) và hàm phân thức bậc hai

Bài 1.4 (trang 14). Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)

y = 4 - x^{2}

;
b)

y = \frac{x}{x ^{2} + 1}

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị $y = 4 - x^{2}$ ( $y \geq 0$ ) chính là nửa TRÊN của đường tròn $x^{2} + y^{2} = 4$ .
Với $y = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ , dùng công thức đạo hàm thương và giải phương trình $y^{'} = 0$ để tìm điểm tới hạn.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có căn bậc hai nên việc đầu tiên là tìm tập xác định

[- 2; 2]

, và vì căn bậc hai là hàm đồng biến nên chiều biến thiên của

y

trùng với chiều biến thiên của biểu thức dưới căn. Câu b có hàm lẻ, tử bậc nhất mẫu bậc hai, nên chỉ cần khảo sát trên

(0; + \infty)

rồi lấy đối xứng; viết

y = \frac{1}{x + \frac{1}{x}}

đưa về hàm đã quen. Bẫy của câu a là lấy đạo hàm rồi quên hai đầu mút, bẫy của câu b là bỏ sót nhánh âm.

1Cách 1. Tính đạo hàm rồi lập bảng biến thiên

Định hướng. Tính $y^{'}$ cho từng hàm, tìm điểm mà $y^{'} = 0$ hoặc không xác định rồi lập bảng biến thiên.

a) Tập xác định

[- 2; 2]

y^{'} = \frac{- x}{4 - x ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

;

y^{'}

không xác định tại

x = \pm 2

$x$	$- 2$		$0$		$2$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$
$y$	$0$	↗	$2$	↘	$0$

b) Tập xác định

R

y^{'} = \frac{( x ^{2} + 1 ) - x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1

$x$	$- \infty$		$- 1$		$1$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$y$	$0$	↘	$- \frac{1}{2}$	↗	$\frac{1}{2}$	↘	$0$

Vậy a) hàm số đồng biến trên khoảng $(- 2; 0)$ , nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ . b) hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 1)$ , nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ .

2Cách 2. Suy luận hình học (câu a) và xét hiệu theo định nghĩa (câu b)

Định hướng. Câu a) nhận ra ngay đồ thị là nửa đường tròn nên dùng tính chất hình học; câu b) chứng minh trực tiếp từ định nghĩa đồng biến/nghịch biến, không dùng đạo hàm.

y = 4 - x^{2} \geq 0

và

x^{2} + y^{2} = 4

nên đồ thị là nửa trên đường tròn tâm

O

bán kính

2

Đi từ điểm

(- 2; 0)

lên đỉnh

(0; 2)

rồi xuống điểm

(2; 0)

: đúng như bảng biến thiên ở Cách 1

b) Xét

x_{1} < x_{2}

bất kì trong

(- 1; 1)

f (x_{2}) - f (x_{1}) = \frac{( x _{2} - x _{1} ) ( 1 - x _{1} x _{2} )}{( x _{1}^{2} + 1 ) ( x _{2}^{2} + 1 )}

Vì

- 1 < x_{1} < x_{2} < 1

nên

x_{2} - x_{1} > 0

và

x_{1} x_{2} < 1 \Rightarrow 1 - x_{1} x_{2} > 0

\Rightarrow f (x_{2}) - f (x_{1}) > 0

: hàm số đồng biến trên

(- 1; 1)

Tương tự, với

1 < x_{1} < x_{2}

thì

x_{1} x_{2} > 1 \Rightarrow 1 - x_{1} x_{2} < 0 \Rightarrow f (x_{2}) - f (x_{1}) < 0

: nghịch biến trên

(1; + \infty)

Vậy cả hai câu đều cho kết quả khớp với Cách 1.

Nhận xét. Chứng minh theo định nghĩa ở câu b) chặt chẽ hơn nhưng dài hơn hẳn dùng đạo hàm; nên ưu tiên đạo hàm khi hàm số phức tạp.

3Cách 3. Dùng tính đơn điệu của hàm hợp cho câu a và tính lẻ cho câu b

Định hướng. Câu a: căn bậc hai đồng biến nên $y$ biến thiên cùng chiều với $4 - x^{2}$ . Câu b: viết $y$ theo $x + \frac{1}{x}$ rồi dùng bảng biến thiên đã biết của hàm này, sau đó lấy đối xứng vì hàm lẻ.

a) tập xác định

[- 2; 2]

u = 4 - x^{2}

và

y = u

với

đồng biến

u

đồng biến trên

(- 2; 0)

và nghịch biến trên

(0; 2)

nên

y

biến thiên cùng chiều
b) với

x > 0

y = \frac{x}{x ^{2} + 1} = \frac{1}{x + \frac{1}{x}}

x + \frac{1}{x}

nghịch biến trên

(0; 1)

, đồng biến trên

(1; + \infty)

và luôn dương
nên

y

đồng biến trên

(0; 1)

, nghịch biến trên

(1; + \infty)

y (- x) = - y (x)

nên đồ thị nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng, chiều biến thiên trên

(- \infty; 0)

suy ra bằng đối xứng

Vậy a) hàm số đồng biến trên $(- 2; 0)$ và nghịch biến trên $(0; 2)$ ; b) hàm số đồng biến trên $(- 1; 1)$ , nghịch biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Nhận xét. Cách nhìn qua $x + \frac{1}{x}$ còn cho ngay giá trị lớn nhất của $y$ ở câu b là $\frac{1}{2}$ tại $x = 1$ và giá trị nhỏ nhất là $- \frac{1}{2}$ tại $x = - 1$ , tức đồ thị nằm trọn trong dải $- \frac{1}{2} \leq y \leq \frac{1}{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: câu a chỉ cần một câu về hàm hợp, câu b chỉ cần bảng biến thiên của

x + \frac{1}{x}

cộng tính lẻ, tránh hẳn việc lấy đạo hàm căn thức và đạo hàm thương vốn dễ sai dấu.

Đáp số. a) Đồng biến

(- 2; 0)

, nghịch biến

(0; 2)

· b) Đồng biến

(- 1; 1)

; nghịch biến

(- \infty; - 1)

và

(1; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Ở câu a), quên tập xác định chỉ là

[- 2; 2]

(do có căn thức) rồi viết khoảng nghịch biến là

(0; + \infty)

thay vì

(0; 2)

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với mọi hàm lẻ chỉ cần khảo sát trên nửa trục dương rồi lấy đối xứng qua gốc toạ độ; áp dụng ngay cho

y = \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}}

ta được cực đại

\frac{1}{2 a}

tại

x = a

và cực tiểu

- \frac{1}{2 a}

tại

x = - a

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 14

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 1.5★★Trang 14— Ứng dụng đạo hàm và giới hạn vào mô hình dân số

Bài 1.5 (trang 14). Giả sử số dân của một thị trấn sau

t

năm kể từ năm

2000

được mô tả bởi hàm số

N (t) = \frac{25 t + 10}{t + 5}, t \geq 0

, trong đó

N (t)

được tính bằng nghìn người.
a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm

2000

và

2015

.
b) Tính đạo hàm

N^{'} (t)

và

t \to + \infty lim N (t)

. Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.

Kiến thức cần nhớ

Năm $2000$ ứng với $t = 0$ ; năm $2015$ ứng với $t = 15$ .
Nếu $N^{'} (t) > 0$ với mọi $t \geq 0$ thì $N (t)$ luôn tăng; nếu $N (t)$ có giới hạn hữu hạn khi $t \to + \infty$ thì $N (t)$ không vượt quá giới hạn đó.

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình dân số cho bởi phân thức bậc nhất trên bậc nhất; hai câu hỏi của đề tương ứng với hai đặc trưng của loại hàm này là tính đơn điệu và tiệm cận ngang. Tách phần nguyên

N (t) = 25 - \frac{115}{t + 5}

là bước biến đổi then chốt: nó cho thấy ngay dân số tăng và bị chặn trên bởi

25

nghìn người mà không cần tính đạo hàm hay giới hạn. Bẫy của bài là đọc năm

2015

thành

t = 2015

thay vì

t = 15

1Cách 1. Tính đạo hàm và giới hạn trực tiếp

Định hướng. Thay $t = 0$ , $t = 15$ để trả lời câu a); dùng công thức đạo hàm thương và tính giới hạn bằng cách chia cả tử và mẫu cho $t$ để trả lời câu b).

N (0) = \frac{10}{5} = 2

(nghìn người) — năm

2000

N (15) = \frac{25 \cdot 15 + 10}{15 + 5} = \frac{385}{20} = 19, 25

(nghìn người) — năm

2015

N^{'} (t) = \frac{25 ( t + 5 ) - ( 25 t + 10 )}{( t + 5 ) ^{2}} = \frac{115}{( t + 5 ) ^{2}} > 0

với mọi

t \geq 0

t \to + \infty lim N (t) = t \to + \infty lim \frac{25 + \frac{10}{t}}{1 + \frac{5}{t}} = 25

Vậy vì $N^{'} (t) > 0$ với mọi $t \geq 0$ nên $N (t)$ luôn tăng; vì $lim_{t \to + \infty} N (t) = 25$ nên $N (t)$ tiến dần đến $25$ nghìn người nhưng không thể vượt qua ngưỡng đó.

2Cách 2. Viết lại

N (t)

dưới dạng

25 - \frac{115}{t + 5}

Định hướng. Chia đa thức để tách $N (t)$ thành một hằng số trừ đi một phân thức dương, từ đó suy luận trực tiếp về tính tăng và về ngưỡng mà không cần tính đạo hàm hay giới hạn riêng lẻ.

25 t + 10 = 25 (t + 5) - 115

nên

N (t) = 25 - \frac{115}{t + 5}

N (0) = 25 - \frac{115}{5} = 25 - 23 = 2

;

N (15) = 25 - \frac{115}{20} = 25 - 5, 75 = 19, 25

Khi

t

tăng thì

t + 5

tăng nên

\frac{115}{t + 5}

giảm dần về

0

(nhưng luôn dương)

Vậy vì $\frac{115}{t + 5}$ luôn dương và giảm dần về $0$ khi $t$ tăng, nên $N (t) = 25 - \frac{115}{t + 5}$ luôn tăng và luôn nhỏ hơn $25$ , tức là tiến dần đến ngưỡng $25$ nghìn người mà không bao giờ vượt qua — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách viết lại này cho thấy trực quan hơn hẳn: không cần công cụ đạo hàm hay giới hạn mà vẫn suy luận được đầy đủ cả hai ý của câu b).

3Cách 3. Xét hiệu và đánh giá chặn trên trực tiếp

Định hướng. Không dùng đạo hàm cũng không dùng giới hạn: so sánh hai giá trị dân số ở hai thời điểm để có tính tăng, rồi đánh giá hiệu $25 - N (t)$ để có ngưỡng chặn trên.

N (t) = \frac{25 t + 10}{t + 5} = \frac{25 ( t + 5 ) - 115}{t + 5} = 25 - \frac{115}{t + 5}

N (0) = 25 - 23 = 2

;

N (15) = 25 - \frac{115}{20} = 25 - 5, 75 = 19, 25

lấy

0 \leq t_{1} < t_{2}

N (t_{2}) - N (t_{1}) = 115 (\frac{1}{t _{1} + 5} - \frac{1}{t _{2} + 5}) = \frac{115 ( t _{2} - t _{1} )}{( t _{1} + 5 ) ( t _{2} + 5 )} > 0

25 - N (t) = \frac{115}{t + 5} > 0

với mọi

t \geq 0

, và

\frac{115}{t + 5}

nhỏ tuỳ ý khi

t

đủ lớn

Vậy a) dân số năm $2000$ là $2$ nghìn người, năm $2015$ là $19, 25$ nghìn người; b) dân số luôn tăng vì $N (t_{2}) > N (t_{1})$ khi $t_{2} > t_{1}$ , nhưng luôn nhỏ hơn $25$ nghìn người và tiến sát ngưỡng đó khi thời gian đủ dài.

Nhận xét. Ngưỡng $25$ nghìn người chính là tiệm cận ngang của đồ thị; trong các mô hình dân số, ngưỡng này thường được gọi là sức chứa của môi trường.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: viết

N (t) = 25 - \frac{115}{t + 5}

rồi đọc thẳng cả tính tăng lẫn ngưỡng chặn, chỉ mất hai dòng và trả lời trọn vẹn câu hỏi giải thích của đề.

Đáp số. a)

N (0) = 2

nghìn người,

N (15) = 19, 25

nghìn người · b)

N^{'} (t) = \frac{115}{( t + 5 ) ^{2}} > 0

lim_{t \to + \infty} N (t) = 25

nên dân số luôn tăng nhưng không vượt quá

25

nghìn người

Sai lầm thường gặp. Nhầm

t

với năm thực tế, tính

N (2015)

thay vì

N (15)

do quên đổi mốc thời gian

t =

(năm)

- 2000

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mô hình

N (t) = \frac{a t + b}{t + c}

với

c > 0

luôn có ngưỡng dân số bằng

a

; dân số tăng khi

a c - b > 0

và giảm khi

a c - b < 0

— thử kiểm lại với

a = 25

b = 10

c = 5

thì

a c - b = 115 > 0

, đúng là dân số tăng.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 14

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 1.6★★★Trang 14— Suy ra tính đơn điệu và cực trị của $f$ từ đồ thị của $f'$

Bài 1.6 (trang 14). Đồ thị của đạo hàm bậc nhất

y = f^{'} (x)

của hàm số

f (x)

được cho trong Hình 1.13.
a) Hàm số

f (x)

đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
b) Tại giá trị nào của

x

thì

f (x)

có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị $y = f^{'} (x)$ nằm TRÊN trục hoành ứng với $f^{'} (x) > 0$ (hàm $f$ đồng biến); nằm DƯỚI trục hoành ứng với $f^{'} (x) < 0$ (hàm $f$ nghịch biến).
Hàm $f$ có cực trị tại đúng những điểm mà đồ thị $f^{'} (x)$ CẮT trục hoành và ĐỔI DẤU qua điểm đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đồ thị của

f^{'}

chứ không phải của

f

— dấu hiệu bắt buộc phải chuyển ngôn ngữ: chỗ đồ thị

f^{'}

nằm trên trục hoành là chỗ

f

đồng biến, chỗ nằm dưới là chỗ

f

nghịch biến, và chỗ

f^{'}

cắt trục hoành đổi dấu là điểm cực trị của

f

. Đồ thị

f^{'}

cắt trục hoành tại ba điểm

2

4

6

và đổi dấu ở cả ba điểm nên

f

có ba cực trị. Bẫy lớn nhất của bài là đọc điểm cực trị của chính đường cong

f^{'}

trên hình rồi tưởng đó là cực trị của

f

1Cách 1. Đọc trực tiếp dấu trên đồ thị

f^{'} (x)

Định hướng. Quan sát đường cong $y = f^{'} (x)$ nằm trên hay dưới trục hoành trên từng khoảng, rồi xem nó cắt trục tại những điểm nào.

Trên

(0; 2)

: đồ thị

f^{'} (x)

nằm dưới trục hoành

\Rightarrow f^{'} (x) < 0

Trên

(2; 4)

: đồ thị

f^{'} (x)

nằm trên trục hoành

\Rightarrow f^{'} (x) > 0

Trên

(4; 6)

: đồ thị

f^{'} (x)

nằm dưới trục hoành

\Rightarrow f^{'} (x) < 0

Trên

(6; + \infty)

: đồ thị

f^{'} (x)

nằm trên trục hoành

\Rightarrow f^{'} (x) > 0

Vậy a) $f (x)$ đồng biến trên các khoảng $(2; 4)$ và $(6; + \infty)$ . b) tại $x = 2$ : $f^{'}$ đổi dấu $- \to +$ nên $f$ đạt cực tiểu; tại $x = 4$ : $f^{'}$ đổi dấu $+ \to -$ nên $f$ đạt cực đại; tại $x = 6$ : $f^{'}$ đổi dấu $- \to +$ nên $f$ đạt cực tiểu.

2Cách 2. Lập bảng biến thiên tổng hợp từ dấu đọc được

Định hướng. Gom dấu của $f^{'}$ vừa đọc được ở Cách 1 vào một bảng biến thiên duy nhất (không có số liệu cụ thể của $f$ , chỉ có chiều tăng giảm) để nhìn toàn cảnh và tránh bỏ sót điểm nào.

$x$	$0$		$2$		$4$		$6$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$		↘		↗		↘		↗

Vậy đọc thẳng từ bảng: $f$ đồng biến trên $(2; 4)$ và $(6; + \infty)$ (ứng với hàng $y^{'}$ mang dấu $+$ ); $f$ đạt cực tiểu tại $x = 2$ và $x = 6$ (dấu $- \to +$ ), đạt cực đại tại $x = 4$ (dấu $+ \to -$ ) — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Lập thành bảng giúp trình bày rành mạch hơn liệt kê rời rạc, nhất là khi đồ thị $f^{'}$ đổi dấu nhiều lần như hình này.

3Cách 3. Mô hình hoá

f^{'}

bằng đa thức bậc ba rồi xét dấu bằng quy tắc đan dấu

Định hướng. Đồ thị $f^{'}$ cắt trục hoành tại ba điểm đơn $2$ , $4$ , $6$ và đi lên ở phía phải, nên có thể lấy $f^{'} (x) = k (x - 2) (x - 4) (x - 6)$ với $k > 0$ ; dấu của tích ba nhân tử bậc nhất tuân theo quy tắc đan dấu, đọc rất nhanh.

f^{'} (x) = k (x - 2) (x - 4) (x - 6)

với

k > 0

x < 2

: ba nhân tử cùng âm nên tích âm,

f^{'} (x) < 0

2 < x < 4

: một nhân tử dương, hai nhân tử âm nên tích dương,

f^{'} (x) > 0

4 < x < 6

: hai nhân tử dương, một nhân tử âm nên tích âm,

f^{'} (x) < 0

x > 6

: ba nhân tử cùng dương nên tích dương,

f^{'} (x) > 0

f^{'}

đổi dấu âm sang dương tại

x = 2

và

x = 6

, đổi dấu dương sang âm tại

x = 4

Vậy a) $f$ đồng biến trên $(2; 4)$ và $(6; + \infty)$ vì $f^{'} > 0$ trên hai khoảng đó; b) $f$ đạt cực tiểu tại $x = 2$ và $x = 6$ , đạt cực đại tại $x = 4$ .

Nhận xét. Đề không cho giá trị $f (2)$ , $f (4)$ , $f (6)$ nên chỉ trả lời được điểm cực trị chứ không nói được giá trị cực trị; muốn có giá trị thì phải biết thêm một điểm cụ thể của $f$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn đồ thị

f^{'}

nằm trên hay dưới trục hoành là trả lời được ngay cả hai ý, khỏi phải giả thiết công thức; Cách 3 hữu ích khi đề cho công thức

f^{'}

dạng tích và hỏi số cực trị.

Đáp số. a)

f (x)

đồng biến trên

(2; 4)

và

(6; + \infty)

· b) Cực tiểu tại

x = 2

và

x = 6

; cực đại tại

x = 4

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn đọc dấu của

f (x)

với dấu của

f^{'} (x)

trên đồ thị — đề cho đồ thị của ĐẠO HÀM

f^{'} (x)

chứ không phải đồ thị của

f (x)

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu

f^{'} (x) = k \prod (x - a_{i})^{m_{i}}

thì

f

có cực trị đúng tại những

a_{i}

có số mũ

m_{i}

lẻ; các nghiệm bội chẵn cho

f^{'} = 0

nhưng không đổi dấu nên không sinh cực trị.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 14

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 1.7★★★Trang 14— Tổng hợp tìm cực trị: đa thức bậc ba, trùng phương, phân thức và căn thức

Bài 1.7 (trang 14). Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)

y = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 5

;
b)

y = x^{4} - 4 x^{2} + 2

;
c)

y = \frac{x ^{2} - 2 x + 3}{x - 1}

;
d)

y = 4 x - 2 x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Với hàm căn thức $y = u (x)$ , chỉ xét cực trị tại các điểm TRONG khoảng xác định (không xét tại đầu mút, vì định nghĩa cực trị cần lân cận hai phía).
Các bước tìm cực trị: tập xác định, $y^{'}$ và nghiệm $y^{'} = 0$ (hoặc không xác định), bảng biến thiên, kết luận.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn câu là bốn kiểu hàm khác nhau, nhưng đều có chung một đặc điểm: hiệu

y - y_{0}

với

y_{0}

là giá trị cực trị đều phân tích được thành nhân tử hoặc đưa được về dạng bình phương, nên có thể lấy cực trị bằng đại số thay vì bằng bảng biến thiên. Câu c với phép đổi ẩn

t = x - 1

trở thành

t + \frac{2}{t}

nên dùng ngay bất đẳng thức trung bình cộng — trung bình nhân; câu d là căn của một tam thức nên chỉ cần cực đại của biểu thức dưới căn. Bẫy của câu d là quên tập xác định

[0; 2]

, còn bẫy của câu c là bỏ nhánh

t < 0

1Cách 1. Đạo hàm và bảng biến thiên cho từng câu

a) Tập xác định

R

y^{'} = 6 x^{2} - 18 x + 12 = 6 (x - 1) (x - 2)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1

hoặc

x = 2

$x$	$- \infty$		$1$		$2$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$0$	↘	$- 1$	↗	$+ \infty$

b) Tập xác định

R

y^{'} = 4 x^{3} - 8 x = 4 x (x^{2} - 2)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = \pm 2

$x$	$- \infty$		$- 2$		$0$		$2$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$+ \infty$	↘	$- 2$	↗	$2$	↘	$- 2$	↗	$+ \infty$

c) Tập xác định

R ∖ {1}

y^{'} = \frac{( 2 x - 2 ) ( x - 1 ) - ( x ^{2} - 2 x + 3 )}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm 2

$x$	$- \infty$		$1 - 2$		$1$		$1 + 2$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$		$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$- 22$	↘	$- \infty$ $+ \infty$	↘	$22$	↗	$+ \infty$

d) Tập xác định

[0; 2]

(vì

4 x - 2 x^{2} \geq 0

)

y^{'} = \frac{2 - 2 x}{4 x - 2 x ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1

(thuộc khoảng xác định trong)

$x$	$0$		$1$		$2$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$
$y$	$0$	↗	$2$	↘	$0$

Vậy a) cực đại tại $x = 1$ , $y_{C D} = 0$ ; cực tiểu tại $x = 2$ , $y_{C T} = - 1$ . b) cực đại tại $x = 0$ , $y_{C D} = 2$ ; cực tiểu tại $x = \pm 2$ , $y_{C T} = - 2$ . c) cực đại tại $x = 1 - 2$ , $y_{C D} = - 22$ ; cực tiểu tại $x = 1 + 2$ , $y_{C T} = 22$ . d) cực đại tại $x = 1$ , $y_{C D} = 2$ (hai đầu mút $x = 0$ , $x = 2$ không xét vì không có lân cận hai phía trong tập xác định).

2Cách 2. Thử điểm đại diện để kiểm tra lại dấu

y^{'}

Định hướng. Với mỗi câu, thay một giá trị đại diện của $x$ trong từng khoảng vào biểu thức TÍCH/THƯƠNG đã rút gọn của $y^{'}$ để xác nhận lại dấu, không cần nhớ quy tắc dấu tam thức hay đa thức bậc cao.

y^{'} = 6 (x - 1) (x - 2)

x = 0 \Rightarrow y^{'} = 12 > 0

;

x = 1, 5 \Rightarrow y^{'} = - 1, 5 < 0

;

x = 3 \Rightarrow y^{'} = 12 > 0

y^{'} = 4 x (x^{2} - 2)

x = - 2 \Rightarrow y^{'} = - 16 < 0

;

x = - 1 \Rightarrow y^{'} = 4 > 0

;

x = 1 \Rightarrow y^{'} = - 4 < 0

;

x = 2 \Rightarrow y^{'} = 16 > 0

y^{'} = \frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}}

x = - 1 \Rightarrow y^{'} = \frac{2}{4} > 0

;

x = 0 \Rightarrow y^{'} = - 1 < 0

;

x = 2 \Rightarrow y^{'} = - 1 < 0

;

x = 3 \Rightarrow y^{'} = \frac{2}{4} > 0

y^{'} = \frac{2 - 2 x}{4 x - 2 x ^{2}}

x = 0, 5 \Rightarrow y^{'} > 0

;

x = 1, 5 \Rightarrow y^{'} < 0

Vậy tất cả các dấu thử được đều khớp đúng với bảng biến thiên ở Cách 1, xác nhận kết quả cực trị của cả bốn câu.

Nhận xét. Việc thử điểm không thay thế bảng biến thiên mà chỉ dùng để KIỂM TRA CHÉO, tránh nhầm dấu khi làm nhanh.

3Cách 3. Phân tích thành nhân tử, dạng chính tắc và bất đẳng thức AM-GM

Định hướng. Lấy cực trị bằng đại số thuần tuý: câu a và b so sánh $y$ với giá trị nghi ngờ qua nhân tử, câu c dùng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân sau khi đổi ẩn, câu d đưa biểu thức dưới căn về dạng chính tắc.

y - 0 = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 5 = (x - 1)^{2} (2 x - 5) \leq 0

khi

x < \frac{5}{2}

, dấu bằng tại

x = 1

y + 1 = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4 = (x - 2)^{2} (2 x - 1) \geq 0

khi

x > \frac{1}{2}

, dấu bằng tại

x = 2

y = x^{4} - 4 x^{2} + 2 = (x^{2} - 2)^{2} - 2 \geq - 2

, dấu bằng tại

x = \pm 2

y - 2 = x^{2} (x^{2} - 4) \leq 0

khi

∣ x ∣ < 2

, dấu bằng tại

x = 0

t = x - 1

y = \frac{t ^{2} + 2}{t} = t + \frac{2}{t}

t > 0

y \geq 22

, dấu bằng tại

t = 2

;

t < 0

y \leq - 22

, dấu bằng tại

t = - 2

y = 4 x - 2 x^{2} = 2 1 - (x - 1)^{2} \leq 2

, dấu bằng tại

x = 1

, tập xác định

[0; 2]

Vậy a) cực đại $0$ tại $x = 1$ , cực tiểu $- 1$ tại $x = 2$ ; b) cực đại $2$ tại $x = 0$ , cực tiểu $- 2$ tại $x = \pm 2$ ; c) cực đại $- 22$ tại $x = 1 - 2$ , cực tiểu $22$ tại $x = 1 + 2$ ; d) cực đại $2$ tại $x = 1$ .

Nhận xét. Câu c cho thấy rõ giá trị cực đại $- 22$ nhỏ hơn giá trị cực tiểu $22$ ; điều này không hề vô lí vì hai giá trị đó nằm ở hai nhánh khác nhau của đồ thị, ngăn cách bởi tiệm cận đứng $x = 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho câu c và câu d: một bất đẳng thức là ra cả điểm lẫn giá trị cực trị, nhanh hơn nhiều so với lấy đạo hàm thương hay đạo hàm căn thức; hai câu đa thức thì Cách 1 vẫn là bản trình bày chuẩn.

Đáp số. a) CĐ

(1; 0)

, CT

(2; - 1)

· b) CĐ

(0; 2)

, CT

(\pm 2; - 2)

· c) CĐ

(1 - 2; - 22)

, CT

(1 + 2; 22)

· d) CĐ

(1; 2)

Sai lầm thường gặp. Ở câu d), tưởng

x = 0

và

x = 2

(hai đầu mút tập xác định) cũng là điểm cực tiểu vì

y = 0

nhỏ nhất — sai vì hai điểm này không có lân cận đầy đủ hai phía nằm trong tập xác định nên không thoả định nghĩa cực trị.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hàm

y = \frac{x ^{2} + p x + q}{x - m}

luôn đưa được về

t + \frac{k}{t} + c

với

t = x - m

: nếu

k > 0

thì có hai cực trị cách nhau

2 k

về giá trị và

2 k

về hoành độ, còn nếu

k < 0

thì hàm đơn điệu trên từng khoảng.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 14

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 1.8★★★Trang 14— Cực trị tại điểm hàm số không có đạo hàm

Bài 1.8 (trang 14). Cho hàm số

y = f (x) = ∣ x ∣

.
a) Tính các giới hạn

x \to 0^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0}

và

x \to 0^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0}

. Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại

x = 0

.
b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại

x = 0

(xem Hình 1.4).

Kiến thức cần nhớ

Hàm số có đạo hàm tại $x_{0}$ khi và chỉ khi giới hạn trái và giới hạn phải của tỉ số $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ bằng nhau.
Cực trị vẫn có thể xảy ra tại điểm mà hàm số không có đạo hàm, miễn thoả đúng ĐỊNH NGHĨA cực trị (không cần dùng dấu $y^{'}$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề bắt tính hai giới hạn một phía của cùng một tỉ số — đó là dấu hiệu kiểm tra sự tồn tại đạo hàm bằng định nghĩa: hai giới hạn khác nhau thì đạo hàm không tồn tại. Câu b buộc dùng định nghĩa cực trị chứ không được dùng dấu hiệu

y^{'} = 0

, vì tại

x = 0

hàm không có đạo hàm. Đây chính là ví dụ phản bác quan niệm sai rằng cực trị luôn đi kèm đạo hàm bằng không.

1Cách 1. Tính giới hạn và áp dụng định nghĩa (đúng yêu cầu đề)

Định hướng. Với $x > 0$ thì $f (x) = x$ , với $x < 0$ thì $f (x) = - x$ ; thay trực tiếp vào biểu thức giới hạn rồi so sánh hai kết quả.

x \to 0^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = x \to 0^{+} lim \frac{x - 0}{x} = x \to 0^{+} lim 1 = 1

x \to 0^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = x \to 0^{-} lim \frac{- x - 0}{x} = x \to 0^{-} lim (- 1) = - 1

Vì

1 \neq = - 1

nên hai giới hạn một phía không bằng nhau

b) Với mọi

x \neq = 0

trong lân cận

0

(chọn

h = 1

, tức

x \in (- 1; 1)

x \neq = 0

f (x) = ∣ x ∣ > 0 = f (0)

Vậy a) hàm số KHÔNG có đạo hàm tại $x = 0$ vì giới hạn trái khác giới hạn phải. b) vì $f (x) > f (0)$ với mọi $x$ trong lân cận $0$ , $x \neq = 0$ , nên theo định nghĩa, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ , $y_{C T} = 0$ .

2Cách 2. Minh hoạ trực quan bằng đồ thị hình chữ V (Hình 1.4)

Định hướng. Đối chiếu chứng minh đại số ở Cách 1 với hình ảnh đồ thị: đường gấp khúc hình chữ $V$ có một góc nhọn ngay tại gốc toạ độ.

Đồ thị

y = ∣ x ∣

gồm hai nửa đường thẳng: nhánh trái có hệ số góc

- 1

, nhánh phải có hệ số góc

1

Hai hệ số góc khác nhau (

- 1 \neq = 1

) tại điểm nối

x = 0

nên đồ thị có một GÓC NHỌN, không có tiếp tuyến duy nhất tại đó
Về hai phía của góc nhọn, đồ thị đều đi LÊN ra xa gốc toạ độ, tạo thành đáy thấp nhất đúng tại

x = 0

Vậy hình ảnh góc nhọn tại gốc toạ độ giải thích trực quan vì sao không có đạo hàm tại $x = 0$ (Cách 1, câu a) và vì sao $x = 0$ vẫn là điểm thấp nhất, tức cực tiểu (Cách 1, câu b).

Nhận xét. Đây là ví dụ kinh điển cho thấy điều kiện " $f^{'} (x_{0}) = 0$ " trong định lí CHỈ áp dụng khi hàm số CÓ đạo hàm tại $x_{0}$ ; khi không có đạo hàm, phải quay lại đúng định nghĩa như Cách 1.

3Cách 3. Lập bảng biến thiên bằng đạo hàm trên từng nhánh

Định hướng. Hàm liên tục trên $R$ và có đạo hàm trên mỗi nhánh $x < 0$ , $x > 0$ ; lập bảng biến thiên từ dấu đạo hàm hai nhánh rồi dùng tính liên tục để nối tại $x = 0$ .

x > 0

f (x) = x

f^{'} (x) = 1 > 0

nên

f

đồng biến trên

(0; + \infty)

x < 0

f (x) = - x

f^{'} (x) = - 1 < 0

nên

f

nghịch biến trên

(- \infty; 0)

f

liên tục tại

x = 0

vì

x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0 = f (0)

đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi

x

qua

0

, tuy

f^{'} (0)

không tồn tại

f (x) = ∣ x ∣ \geq 0 = f (0)

với mọi

x

Vậy a) hai giới hạn một phía bằng $1$ và $- 1$ nên khác nhau, do đó hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$ ; b) hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ với $y_{C T} = 0$ , đúng như đồ thị hình chữ V ở Hình 1.4.

Nhận xét. Bài này cho thấy dấu hiệu nhận biết cực trị phải phát biểu theo sự đổi dấu của $f^{'}$ quanh $x_{0}$ chứ không theo điều kiện $f^{'} (x_{0}) = 0$ ; điểm mà hàm liên tục nhưng không có đạo hàm vẫn có thể là điểm cực trị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đề yêu cầu đích danh việc tính giới hạn và dùng định nghĩa; Cách 3 nên viết thêm khi câu hỏi mở rộng sang khoảng đơn điệu hoặc bảng biến thiên.

Đáp số. a)

lim_{x \to 0^{+}} = 1 \neq = - 1 = lim_{x \to 0^{-}}

nên không có đạo hàm tại

x = 0

· b) Hàm số đạt cực tiểu tại

x = 0

y_{C T} = 0

(theo định nghĩa)

Sai lầm thường gặp. Cho rằng vì hàm số không có đạo hàm tại

x = 0

nên KHÔNG THỂ có cực trị tại đó — sai, vì định nghĩa cực trị không đòi hỏi hàm số phải có đạo hàm.

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu lập luận, hàm

y = 3 x^{2}

cũng đạt cực tiểu tại

x = 0

mà không có đạo hàm tại đó; tổng quát, mọi hàm liên tục có đồ thị nhọn hướng xuống tại một điểm đều nhận điểm đó làm điểm cực tiểu.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 14

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 1.9★★★★Trang 14— Tìm cực trị của đạo hàm (bài toán tối ưu hai tầng) trong mô hình logistic

Bài 1.9 (trang 14). Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số

f (t) = \frac{5 000}{1 + 5 e ^{- t}}, t \geq 0

, trong đó thời gian

t

được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm

f^{'} (t)

sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Kiến thức cần nhớ

Tốc độ bán hàng là $g (t) = f^{'} (t)$ ; "tốc độ bán hàng lớn nhất" nghĩa là tìm cực đại của hàm MỚI $g (t)$ , tức là cần xét dấu của $g^{'} (t) = f^{''} (t)$ .
Bất đẳng thức AM–GM: với $v > 0$ , $v + \frac{1}{v} \geq 2$ , dấu bằng khi $v = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi lúc nào tốc độ bán hàng lớn nhất, tức là tìm cực đại của

f^{'}

chứ không phải của

f

— đây là bài tối ưu hai tầng, dấu hiệu là chữ tốc độ đứng cùng với chữ lớn nhất. Đặt

s = 5 e^{- t}

thì

f^{'} = \frac{5000 s}{( 1 + s ) ^{2}}

, dạng này xử lí gọn bằng bất đẳng thức trung bình cộng — trung bình nhân. Sâu hơn nữa, mô hình logistic thoả hệ thức

f^{'} = \frac{1}{5000} f (5000 - f)

, nên tốc độ lớn nhất xảy ra đúng lúc doanh số đạt nửa ngưỡng bão hoà — nhìn ra điều này thì bài chỉ còn một phương trình bậc nhất.

1Cách 1. Coi

f^{'} (t)

là hàm mới rồi tìm cực trị bằng đạo hàm cấp hai

Định hướng. Đặt $g (t) = f^{'} (t)$ (tốc độ bán hàng); để tìm thời điểm $g (t)$ lớn nhất, áp dụng đúng quy trình tìm cực trị đã học cho $g (t)$ , tức là cần tính đạo hàm của $g$ , chính là $f^{''} (t)$ .

g (t) = f^{'} (t) = \frac{25 000 e ^{- t}}{( 1 + 5 e ^{- t} ) ^{2}}

g^{'} (t) = f^{''} (t) = \frac{- 25 000 e ^{- t} ( 1 - 5 e ^{- t} )}{( 1 + 5 e ^{- t} ) ^{3}}

g^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 1 - 5 e^{- t} = 0 \Leftrightarrow e^{- t} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = ln 5

$x$	$0$		$ln 5$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$
$y$		↗	$1250$	↘

Vậy $g (t) = f^{'} (t)$ đạt cực đại (lớn nhất) tại $t = ln 5 \approx 1, 61$ , khi đó tốc độ bán hàng lớn nhất bằng $1250$ sản phẩm/năm.

2Cách 2. Đặt ẩn phụ và dùng bất đẳng thức AM–GM, không cần đạo hàm cấp hai

Định hướng. Đặt $u = e^{- t} > 0$ để đưa $g (t)$ về một phân thức theo $u$ , rồi dùng bất đẳng thức quen thuộc $v + \frac{1}{v} \geq 2$ để tìm giá trị lớn nhất mà không cần tính đạo hàm lần hai.

Đặt

u = e^{- t} > 0

(vì

t \geq 0

), khi đó

g = \frac{25 000 u}{( 1 + 5 u ) ^{2}}

Đặt tiếp

v = 5 u > 0

g = \frac{5 000 v}{( 1 + v ) ^{2}} = \frac{5 000}{v + 2 + \frac{1}{v}}

Theo AM–GM:

v + \frac{1}{v} \geq 2

, dấu "=" khi

v = 1

, nên

v + 2 + \frac{1}{v} \geq 4

\Rightarrow g \leq \frac{5 000}{4} = 1250

, dấu "=" khi

v = 1 \Leftrightarrow 5 u = 1 \Leftrightarrow u = \frac{1}{5} \Leftrightarrow e^{- t} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = ln 5

Vậy tốc độ bán hàng lớn nhất bằng $1250$ sản phẩm/năm, đạt được khi $t = ln 5$ — khớp hoàn toàn với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tránh được việc tính đạo hàm cấp hai khá cồng kềnh, chỉ dùng bất đẳng thức AM–GM quen thuộc, gọn hơn hẳn.

3Cách 3. Dùng hệ thức đặc trưng của mô hình logistic

Định hướng. Kiểm tra rằng doanh số thoả hệ thức logistic $f^{'} = \frac{1}{5000} f (5000 - f)$ ; vế phải là tam thức bậc hai theo $f$ nên lớn nhất khi $f$ bằng nửa ngưỡng bão hoà, từ đó suy ngược ra thời điểm.

f (t) = \frac{5000}{1 + 5 e ^{- t}}

, đặt

s = 5 e^{- t}

thì

s^{'} = - s

và

f = \frac{5000}{1 + s}

f^{'} = - 5000 \cdot \frac{s ^{'}}{( 1 + s ) ^{2}} = \frac{5000 s}{( 1 + s ) ^{2}}

\frac{1}{5000} f (5000 - f) = \frac{5000}{1 + s} \cdot \frac{s}{1 + s} = \frac{5000 s}{( 1 + s ) ^{2}} = f^{'}

f^{'} = \frac{1}{5000} f (5000 - f) = \frac{1}{5000} [250 0^{2} - (f - 2500)^{2}] \leq 1250

dấu bằng khi

f = 2500 \Leftrightarrow \frac{5000}{1 + 5 e ^{- t}} = 2500 \Leftrightarrow 5 e^{- t} = 1 \Leftrightarrow t = ln 5

Vậy tốc độ bán hàng lớn nhất bằng $1250$ sản phẩm mỗi năm, đạt được sau $t = ln 5 \approx 1, 61$ năm kể từ khi phát hành.

Nhận xét. Hệ thức $f^{'} = \frac{1}{5000} f (5000 - f)$ nói rằng tốc độ tăng tỉ lệ với cả lượng đã bán lẫn phần thị trường còn lại; đó là lí do mọi đường cong logistic đều tăng nhanh nhất đúng tại nửa ngưỡng bão hoà, không phụ thuộc các hệ số cụ thể.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhớ rằng đường cong logistic tăng nhanh nhất tại nửa ngưỡng bão hoà thì chỉ cần giải một phương trình mũ đơn giản, tránh hẳn việc tính đạo hàm cấp hai của một phân thức chứa

e^{- t}

Đáp số. Sau

t = ln 5 \approx 1, 61

năm thì tốc độ bán hàng lớn nhất, bằng

1250

sản phẩm/năm

Sai lầm thường gặp. Nhầm yêu cầu "tốc độ bán hàng lớn nhất" với "doanh số lớn nhất", rồi đi tìm cực trị của

f (t)

thay vì của

f^{'} (t)

— trong khi

f (t)

là hàm logistic luôn tăng, không có cực trị.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

f (t) = \frac{L}{1 + a e ^{- k t}}

ta luôn có

f^{'} = \frac{k}{L} f (L - f)

, nên tốc độ lớn nhất bằng

\frac{k L}{4}

và đạt tại

t = \frac{ln a}{k}

— thử kiểm lại với

L = 5000

a = 5

k = 1

sẽ ra đúng đáp số của bài.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 14

Mở bài này trong app ↗