Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định hướng. Muốn tìm điểm cao nhất, thấp nhất của đồ thị trên đoạn $[0;3]$ thì tìm chỗ tiếp tuyến nằm ngang (đạo hàm bằng $0$) rồi so với hai đầu mút.

Vậy $M=3$ tại $x_0=3$ ; $m=-1$ tại $x_0=1$.

Định hướng. Đồ thị đã vẽ sẵn nên chỉ cần quan sát điểm thấp nhất và điểm cao nhất của nhánh đường cong trên đoạn $[0;3]$.

Vậy $M=3$ tại $x_0=3$ ; $m=-1$ tại $x_0=1$.

Nhận xét. Cách 1 dùng được cho mọi hàm số kể cả khi chưa có đồ thị; Cách 2 chỉ dùng được khi đồ thị đã vẽ chính xác.

Định hướng. Đồ thị trên đoạn $[-1;2]$ có một chỗ lõm xuống ở giữa, nên GTLN, GTNN chỉ có thể rơi vào đầu mút hoặc đúng chỗ tiếp tuyến nằm ngang.

Vậy $\underset{[-1;2]}{\min }f(x)=f(-1)=-2$ và $\underset{[-1;2]}{\max }f(x)=f(0)=f(2)=1$, đúng bằng số nhỏ nhất và số lớn nhất vừa tính ở câu c).

Định hướng. Dấu của $f^{\prime }(x)$ cho biết hàm số tăng hay giảm trên từng khoảng, từ đó xác định ngay chỗ đạt GTLN, GTNN mà không cần vẽ đồ thị trước.

Vậy $\underset{[-1;2]}{\min }f(x)=-2$ tại $x=-1$; $\underset{[-1;2]}{\max }f(x)=1$ tại $x=0$ và $x=2$.

Nhận xét. Điểm $x=\frac{4}{3}$ tuy là điểm cực tiểu của hàm số nhưng giá trị $-\frac{5}{27}$ tại đó lớn hơn giá trị $-2$ tại đầu mút $x=-1$, nên GTNN của hàm số trên đoạn lại rơi vào đầu mút chứ không phải điểm cực trị.

Định hướng. Tìm miền xác định trước, rồi xét dấu đạo hàm để lập bảng biến thiên và đọc GTLN, GTNN.

Vậy a) $\underset{[0;2]}{\max }y=1$ tại $x=1$, $\underset{[0;2]}{\min }y=0$ tại $x=0$ và $x=2$; b) hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên $(1;+\infty )$.

Định hướng. Đưa biểu thức dưới căn về dạng bình phương để đánh giá dấu bằng, và đặt ẩn phụ để xét chiều của hàm phân thức, không cần đạo hàm trực tiếp trên biến ban đầu.

Vậy a) $\max y=1$ tại $x=1$, $\min y=0$ tại $x=0$ và $x=2$; b) hàm số không có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất trên $(1;+\infty )$.

Nhận xét. Ở câu b), đạo hàm luôn âm nên hàm số đơn điệu giảm suốt khoảng, hai đầu đều tiến ra vô cực nên không tồn tại GTLN lẫn GTNN — khác với ví dụ có dạng $x-2+\frac{1}{x}$ trong bài học, nơi hàm số vẫn có GTNN dù một đầu tiến ra vô cực.

Định hướng. Áp dụng đúng ba bước: tìm điểm làm đạo hàm triệt tiêu trong khoảng mở, tính giá trị tại các điểm đó và tại hai đầu mút, rồi so sánh.

Vậy a) $\underset{[0;2]}{\min }y=2$ tại $x=0$, $\underset{[0;2]}{\max }y=16$ tại $x=2$; b) $\underset{[-1;1]}{\min }y=0$ tại $x=-1$, $\underset{[-1;1]}{\max }y=1$ tại $x=0$.

Định hướng. Nếu biết trước chiều biến thiên (tăng hẳn, hoặc tăng rồi giảm) thì chỉ cần tính đúng các giá trị cần thiết mà không cần liệt kê hết rồi so sánh.

Vậy a) $\min y=2$ tại $x=0$, $\max y=16$ tại $x=2$; b) $\max y=1$ tại $x=0$, $\min y=0$ tại $x=-1$.

Nhận xét. Ở câu a), $y^{\prime }$ luôn dương nên không có điểm nào làm $y^{\prime }=0$ trong khoảng mở — khi đó GTLN, GTNN chắc chắn nằm ở hai đầu mút.

Định hướng. Câu a) tìm GTLN của $N(t)$; câu b) tìm GTLN của chính hàm tốc độ $N^{\prime }(t)$, nên phải đạo hàm thêm một lần nữa.

Vậy a) số người nhiễm tối đa là $N(8)=256$ (trăm người), tức $25600$ người, đạt tại tuần thứ $8$; b) virus lây lan nhanh nhất tại $t=4$ (tuần), khi đó tốc độ lây lan là $48$ (trăm người/tuần).

Định hướng. Hàm tốc độ $N^{\prime }(t)=-3t^2+24t$ là một parabol quay xuống, nên GTLN của nó chính là tung độ đỉnh — không cần đạo hàm lần hai.

Vậy a) số người nhiễm tối đa là $256$ (trăm người) $=25600$ người tại tuần thứ $8$; b) tốc độ lây lan lớn nhất là $48$ (trăm người/tuần) tại $t=4$ (tuần).

Nhận xét. Đưa $g(t)$ về dạng đỉnh $-3(t-4{)}^2+48$ cho ngay GTLN mà không cần lập bảng biến thiên, vì $g(t)$ là hàm bậc hai.

Định hướng. Xác định miền của từng hàm rồi lập bảng biến thiên; chú ý câu b), c) có miền không bị chặn nên phải xét thêm giới hạn.

Vậy a) $\max y=7$ tại $x=2$, không có GTNN; b) $\underset{[0;+\infty )}{\min }y=-\frac{5}{27}$ tại $x=\frac{4}{3}$, không có GTLN; c) $\underset{(1;+\infty )}{\min }y=2\sqrt{2}$ tại $x=1+\sqrt{2}$, không có GTLN; d) $\max y=\sqrt{2}$ tại $x=1$, $\min y=0$ tại $x=0$ và $x=2$.

Định hướng. Nhiều hàm ở đây đưa được về dạng bình phương hoặc tổng Cauchy, cho phép chỉ ra GTLN, GTNN mà không cần đạo hàm.

Vậy a) $\max y=7$, không có GTNN; b) $\min y=-\frac{5}{27}$, không có GTLN; c) $\min y=2\sqrt{2}$, không có GTLN; d) $\max y=\sqrt{2}$, $\min y=0$.

Nhận xét. Cách 2 nhanh gọn cho các hàm quy được về bình phương hoặc dạng Cauchy $t+\frac{a}{t}$, nhưng không phải hàm nào cũng đưa về được — khi đó vẫn phải dùng đạo hàm như Cách 1.

Định hướng. Với miền vô hạn (câu a, b, c) phải xét thêm giới hạn ở biên; với miền hữu hạn (câu d) chỉ cần so hai đầu mút và điểm tới hạn.

Vậy a) $\min y=2$ tại $x=\pm 1$, không có GTLN; b) $\max y=\frac{1}{e}$ tại $x=1$, không có GTNN; c) $\min y=-\frac{1}{e}$ tại $x=\frac{1}{e}$, không có GTLN; d) $\max y=2$ tại $x=2$, $\min y=\sqrt{2}$ tại $x=1$ và $x=3$.

Định hướng. Câu a) đưa về bình phương đúng, câu d) dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thay cho đạo hàm; câu b), c) vẫn phải dùng đạo hàm vì có hàm mũ, hàm loga.

Vậy a) $\min y=2$ tại $x=\pm 1$, không có GTLN; d) $\max y=2$ tại $x=2$, $\min y=\sqrt{2}$ tại $x=1$ và $x=3$; hai câu b), c) vẫn giữ kết quả như Cách 1.

Nhận xét. Không phải hàm nào cũng đưa được về đánh giá đại số gọn như câu a), d); hàm mũ và hàm loga ở câu b), c) buộc phải dùng đạo hàm.

Định hướng. Cả bốn hàm đều xét trên đoạn nên chỉ cần đúng ba bước: tìm điểm tới hạn trong khoảng mở, tính giá trị tại đó và tại hai đầu mút, rồi so sánh.

Vậy a) $\max y=7$ tại $x=-1,x=2$, $\min y=-1$ tại $x=1$; b) $\max y=56$ tại $x=3$, $\min y=-\frac{1}{4}$ tại $x=\sqrt{\frac{3}{2}}$; c) $\max y=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ tại $x=\frac{5\pi }{6}$, $\min y=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ tại $x=\frac{\pi }{6}$; d) $\max y=0$ tại $x=0,x=1$, $\min y=(2-\sqrt{5})e^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ tại $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Định hướng. Dựng bảng biến thiên đầy đủ (xét dấu đạo hàm trên từng khoảng con) để thấy hàm tăng giảm ra sao, từ đó đọc luôn GTLN, GTNN.

Vậy a) hàm giảm trên $[-1;1]$ rồi tăng trên $[1;2]$ nên $\min y=-1$ tại $x=1$, $\max y=7$ tại $x=-1$ và $x=2$; b) $\min y=-\frac{1}{4}$ tại $x=\sqrt{\frac{3}{2}}$, $\max y=56$ tại $x=3$; c) $\min y=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ tại $x=\frac{\pi }{6}$, $\max y=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ tại $x=\frac{5\pi }{6}$; d) $\min y=(2-\sqrt{5})e^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ tại $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, $\max y=0$ tại $x=0$ và $x=1$.

Nhận xét. Bảng biến thiên cho thấy rõ hình dạng tăng giảm của đồ thị trên cả đoạn, giúp phát hiện ngay các trường hợp GTLN, GTNN đạt tại hai điểm khác nhau như câu a) và câu d).

Định hướng. Gọi một cạnh là $x$, cạnh còn lại suy ra từ chu vi đã cho, rồi lập hàm diện tích theo $x$ và tìm GTLN bằng đạo hàm.

Vậy diện tích lớn nhất bằng $36$ cm², đạt tại $x=6$, tức hình chữ nhật cần tìm là hình vuông cạnh $6$ cm.

Định hướng. Tổng hai cạnh $x+(12-x)=12$ không đổi, nên dùng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương để chặn trên tích của chúng mà không cần đạo hàm.

Vậy diện tích lớn nhất bằng $36$ cm², đạt khi hình chữ nhật là hình vuông cạnh $6$ cm.

Nhận xét. Cách 2 dùng bất đẳng thức Cauchy cho ngay kết quả gọn hơn Cách 1 vì tổng hai cạnh là hằng số — dấu hiệu nhận biết bài toán tối ưu có thể giải bằng bất đẳng thức thay vì đạo hàm.

Định hướng. Gọi cạnh đáy là $x$, biểu diễn chiều cao $h$ qua $x$ từ ràng buộc diện tích bề mặt, rồi lập hàm thể tích một biến và tìm GTLN bằng đạo hàm.

Vậy thể tích lớn nhất bằng $108$ cm³, đạt khi đáy hộp là hình vuông cạnh $6$ cm và chiều cao bằng $3$ cm.

Định hướng. Tách diện tích bề mặt $108=x^2+2xh+2xh$ thành ba số hạng rồi áp dụng Cauchy cho ba số dương để chặn trên $V=x^{2}h$ mà không cần đạo hàm.

Vậy $V=x^{2}h\le 108$, dấu bằng khi $x=2h$; kết hợp $x^2+4xh=108$ suy ra $x=6$ cm, $h=3$ cm, đúng như Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 không cần đạo hàm nhưng phải khéo tách $108$ thành ba số hạng có tích chứa đúng $x^{2}h$ — kĩ thuật thường dùng cho bài toán tối ưu hình hộp có ràng buộc diện tích.

Định hướng. Gọi bán kính đáy là $r$, biểu diễn chiều cao qua $r$ từ dung tích đã cho, rồi lập hàm chi phí một biến và tìm GTNN bằng đạo hàm.

Vậy chi phí nhỏ nhất khi bán kính đáy $r=\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }}\approx 4,63$ cm và chiều cao $h\approx 14,83$ cm.

Định hướng. Tách số hạng $\frac{1500}{r}$ thành hai phần bằng nhau để áp dụng Cauchy cho ba số dương, tránh dùng đạo hàm.

Vậy $r=\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }}\approx 4,63$ cm, đúng như Cách 1, chi phí nhỏ nhất là $3\sqrt[3]{1350000\pi }$ nghìn đồng (xấp xỉ $485,6$ nghìn đồng).

Nhận xét. Tách $\frac{1500}{r}$ thành hai số hạng bằng nhau $\frac{750}{r}$ là mẹo bắt buộc để ba số hạng trong Cauchy có tích chứa đúng $r^3$ khớp với số hạng $r^2$ ở đầu.