Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · HĐ1★Trang 20— Nhận biết tiệm cận ngang qua khoảng cách từ điểm trên đồ thị tới một đường thẳng

HĐ1 (trang 20). Nhận biết đường tiệm cận ngang.
Cho hàm số

y = f (x) = \frac{2 x + 1}{x}

có đồ thị

(C)

. Với

x > 0

, xét điểm

M (x; f (x))

thuộc

(C)

. Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

M

trên đường thẳng

y = 2

(H.1.19).
a) Tính khoảng cách

M H

.
b) Có nhận xét gì về khoảng cách

M H

khi

x \to + \infty

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $y = y_{0}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu $x \to + \infty lim f (x) = y_{0}$ hoặc $x \to - \infty lim f (x) = y_{0}$ .
Hình chiếu vuông góc của điểm $M (x_{M}; y_{M})$ trên đường thẳng $y = y_{0}$ là điểm $H (x_{M}; y_{0})$ , do đó $M H = ∣ y_{M} - y_{0} ∣$ .
$x \to + \infty lim \frac{1}{x} = x \to - \infty lim \frac{1}{x} = 0$ .

1Cách 1. Dùng toạ độ hình chiếu vuông góc

Định hướng. Điểm $H$ có cùng hoành độ với $M$ nên $M H$ chính là chênh lệch tung độ; tách $f (x)$ thành phần hằng và phần dần về $0$ thì kết quả lộ ra ngay.

f (x) = \frac{2 x + 1}{x} = 2 + \frac{1}{x}

M (x; 2 + \frac{1}{x})

H (x; 2)

M H = ∣ f (x) - 2 ∣ = \frac{1}{x} = \frac{1}{x}

(do

x > 0

)

x \to + \infty lim M H = x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0

Vậy $M H = \frac{1}{x}$ và $M H \to 0$ khi $x \to + \infty$ .

2Cách 2. Dùng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Định hướng. Viết đường thẳng $y = 2$ dưới dạng tổng quát rồi áp dụng công thức khoảng cách, sau cùng thử vài giá trị của $x$ để thấy rõ xu thế.

d : y - 2 = 0

M H = d (M, d) = \frac{∣ f ( x ) - 2 ∣}{0 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{2 x + 1}{x} - 2 = \frac{1}{x}

x = 1 \Rightarrow M H = 1

x = 10 \Rightarrow M H = 0, 1

x = 100 \Rightarrow M H = 0, 01

Vậy $M H$ giảm dần về $0$ khi $x$ tăng vô hạn, tức là điểm $M$ dần sát vào đường thẳng $y = 2$ .

Nhận xét. Khoảng cách $M H = \frac{1}{x}$ luôn dương nên đồ thị $(C)$ không bao giờ cắt đường thẳng $y = 2$ , nó chỉ tiến sát mãi mãi. Đó là hình ảnh hình học của đường tiệm cận ngang $y = 2$ .

Đáp số.

M H = \frac{1}{x}

; khi

x \to + \infty

thì

M H \to 0

, điểm

M

dần sát đường thẳng

y = 2

Sai lầm thường gặp. Nhầm

H

là hình chiếu trên trục hoành nên viết

M H = f (x)

; bỏ dấu giá trị tuyệt đối mà quên điều kiện

x > 0

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 20

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★Trang 21— Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Luyện tập 1 (trang 21). Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $y = y_{0}$ là tiệm cận ngang nếu $x \to + \infty lim f (x) = y_{0}$ hoặc $x \to - \infty lim f (x) = y_{0}$ .
$x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0$ và $x \to - \infty lim \frac{1}{x} = 0$ .

1Cách 1. Chia tử và mẫu cho

x

Định hướng. Bậc của tử bằng bậc của mẫu nên chia cả tử và mẫu cho $x$ , khi đó mọi số hạng chứa $x$ ở mẫu đều dần về $0$ .

Tập xác định

D = R ∖ {1}

\frac{2 x - 1}{x - 1} = (2 - \frac{1}{x}) : (1 - \frac{1}{x})

x \to + \infty lim f (x) = (2 - 0) : (1 - 0) = 2

x \to - \infty lim f (x) = (2 - 0) : (1 - 0) = 2

Vậy đồ thị hàm số $f (x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ .

2Cách 2. Tách phần nguyên của phân thức

Định hướng. Viết $f (x)$ thành tổng của một hằng số với một phân thức dần về $0$ thì tiệm cận ngang chính là hằng số đó.

f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1} = \frac{2 ( x - 1 ) + 1}{x - 1} = 2 + \frac{1}{x - 1}

x \to + \infty lim \frac{1}{x - 1} = 0 \Rightarrow x \to + \infty lim f (x) = 2

x \to - \infty lim \frac{1}{x - 1} = 0 \Rightarrow x \to - \infty lim f (x) = 2

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị là đường thẳng $y = 2$ .

Nhận xét. Dạng tách $f (x) = 2 + \frac{1}{x - 1}$ còn cho biết luôn đồ thị có tiệm cận đứng $x = 1$ , đồng thời nằm phía trên đường thẳng $y = 2$ khi $x > 1$ và phía dưới khi $x < 1$ .

Đáp số. Tiệm cận ngang:

y = 2

Sai lầm thường gặp. Quên xét cả hai giới hạn

x \to + \infty

và

x \to - \infty

; nhầm tiệm cận ngang là

y = 0

do tưởng bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Vận dụng 1★★Trang 21— Vận dụng tiệm cận ngang vào bài toán phân rã phóng xạ

Vận dụng 1 (trang 21). Giải bài toán trong tình huống mở đầu: Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau

t

ngày phân rã được cho bởi hàm số

m (t) = 15 e^{- 0, 012 t}

. Khối lượng

m (t)

thay đổi ra sao khi

t \to + \infty

? Điều này thể hiện trên Hình 1.18 như thế nào?

Kiến thức cần nhớ

$u \to + \infty lim e^{- u} = 0$ , do đó $u \to + \infty lim \frac{k}{e ^{u}} = 0$ với mọi hằng số $k$ .
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 0$ khi giá trị hàm số dần về $0$ lúc biến dần ra vô cực.

1Cách 1. Tính trực tiếp giới hạn

Định hướng. Đưa luỹ thừa có số mũ âm xuống mẫu, khi đó mẫu tăng vô hạn còn tử không đổi.

m (t) = 15 e^{- 0, 012 t} = \frac{15}{e ^{0, 012 t}}

với

t \geq 0

t \to + \infty \Rightarrow 0, 012 t \to + \infty \Rightarrow e^{0, 012 t} \to + \infty

t \to + \infty lim m (t) = t \to + \infty lim \frac{15}{e ^{0, 012 t}} = 0

Vậy khối lượng còn lại giảm dần về $0$ ; đồ thị hàm số $m (t)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $m = 0$ , tức là trục hoành.

2Cách 2. Xét chiều biến thiên rồi đọc trên đồ thị

Định hướng. Chứng tỏ khối lượng luôn giảm mà luôn dương, rồi đối chiếu với dáng điệu của đường cong trên Hình 1.18.

m^{'} (t) = 15 \cdot (- 0, 012) e^{- 0, 012 t} = - 0, 18 e^{- 0, 012 t}

e^{- 0, 012 t} > 0 \Rightarrow m^{'} (t) < 0

với mọi

t \geq 0

m (0) = 15

và

m (t) > 0

với mọi

t \geq 0

t = 100 \Rightarrow m \approx 4, 52

t = 200 \Rightarrow m \approx 1, 36

t = 300 \Rightarrow m \approx 0, 41

Vậy hàm số $m (t)$ nghịch biến, luôn dương và giảm dần về $0$ ; trên Hình 1.18 đường cong đi xuống từ điểm $(0; 15)$ , càng ngày càng sát trục hoành mà không cắt trục này.

Nhận xét. Về mặt thực tiễn, chất phóng xạ phân rã mãi mà không bao giờ hết hẳn: khối lượng còn lại luôn dương nhưng nhỏ tuỳ ý khi thời gian đủ dài.

Đáp số.

t \to + \infty lim m (t) = 0

; đồ thị hàm số

m (t)

có tiệm cận ngang là đường thẳng

m = 0

Sai lầm thường gặp. Nhầm

e^{- 0, 012 t} \to - \infty

; kết luận khối lượng bằng

0

sau một thời gian hữu hạn, trong khi

m (t) > 0

với mọi

t

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★Trang 21— Nhận biết tiệm cận đứng qua khoảng cách tới đường thẳng đứng

HĐ2 (trang 21). Nhận biết đường tiệm cận đứng.
Cho hàm số

y = f (x) = \frac{x}{x - 1}

có đồ thị

(C)

. Với

x > 1

, xét điểm

M (x; f (x))

thuộc

(C)

. Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

M

trên đường thẳng

x = 1

(H.1.22).
a) Tính khoảng cách

M H

.
b) Khi

M

thay đổi trên

(C)

sao cho khoảng cách

M H

dần đến

0

, có nhận xét gì về tung độ của điểm

M

Kiến thức cần nhớ

Hình chiếu vuông góc của $M (x_{M}; y_{M})$ trên đường thẳng $x = x_{0}$ là $H (x_{0}; y_{M})$ , do đó $M H = ∣ x_{M} - x_{0} ∣$ .
Đường thẳng $x = x_{0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị $y = f (x)$ nếu ít nhất một trong các giới hạn $x \to x_{0}^{+} lim f (x)$ , $x \to x_{0}^{-} lim f (x)$ bằng $+ \infty$ hoặc $- \infty$ .

1Cách 1. Dùng toạ độ hình chiếu và tách phần nguyên

Định hướng. Điểm $H$ có cùng tung độ với $M$ nên $M H$ là chênh lệch hoành độ; cho $M H$ dần về $0$ tức là cho $x$ dần tới $1$ từ bên phải.

H (1; f (x))

M H = ∣ x - 1 ∣ = x - 1

(do

x > 1

)

f (x) = \frac{x}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) + 1}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}

M H \to 0 \Leftrightarrow x \to 1^{+}

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1^{+} lim (1 + \frac{1}{x - 1}) = + \infty

Vậy $M H = x - 1$ ; khi $M H$ dần đến $0$ thì tung độ của điểm $M$ tăng lên vô hạn.

2Cách 2. Đặt ẩn phụ và lập bảng giá trị

Định hướng. Đặt $t = x - 1$ để khoảng cách $M H$ trở thành chính $t$ , khi đó tung độ của $M$ chỉ còn phụ thuộc vào $\frac{1}{t}$ .

t = x - 1 > 0

M H = t

f (x) = 1 + \frac{1}{t}

t = 0, 1 \Rightarrow f = 11

t = 0, 01 \Rightarrow f = 101

t = 0, 001 \Rightarrow f = 1001

t \to 0^{+} \Rightarrow \frac{1}{t} \to + \infty

Vậy tung độ của điểm $M$ lớn vô hạn khi khoảng cách $M H$ dần đến $0$ .

Nhận xét. Đó là hình ảnh của tiệm cận đứng: điểm $M$ trên đồ thị càng lại gần đường thẳng $x = 1$ thì càng chạy lên cao vô tận. Nếu xét phía $x < 1$ thì tung độ lại giảm xuống $- \infty$ .

Đáp số.

M H = x - 1

; khi

M H \to 0

thì

x \to 1^{+}

và tung độ

f (x) \to + \infty

Sai lầm thường gặp. Nhầm

H

là hình chiếu trên trục tung nên viết

M H = x

; kết luận tung độ dần tới một số hữu hạn.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 22— Tìm đồng thời tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của hàm phân thức

Luyện tập 2 (trang 22). Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 4}

Kiến thức cần nhớ

Tiệm cận ngang tìm từ $x \to \pm \infty lim f (x)$ ; tiệm cận đứng tìm từ các giới hạn một phía $x \to x_{0}^{+} lim f (x)$ , $x \to x_{0}^{-} lim f (x)$ tại điểm $x_{0}$ làm mẫu triệt tiêu.
Nếu tử dần tới số dương và mẫu dần tới $0^{+}$ thì thương dần tới $+ \infty$ ; nếu mẫu dần tới $0^{-}$ thì thương dần tới $- \infty$ .

1Cách 1. Tính trực tiếp các giới hạn

Định hướng. Chia tử và mẫu cho $x$ để lấy giới hạn ở vô cực, rồi xét riêng hai phía của điểm làm mẫu triệt tiêu.

D = R ∖ {4}

x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim (2 + \frac{1}{x}) : (1 - \frac{4}{x}) = 2

x \to - \infty lim f (x) = 2

x \to 4^{+} lim f (x) = + \infty

(do

2 x + 1 \to 9 > 0

và

x - 4 \to 0^{+}

)

x \to 4^{-} lim f (x) = - \infty

(do

2 x + 1 \to 9 > 0

và

x - 4 \to 0^{-}

)

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ và tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 4$ .

2Cách 2. Tách phần nguyên của phân thức

Định hướng. Đưa $f (x)$ về dạng một hằng số cộng với một phân thức đơn giản, khi đó cả hai loại tiệm cận cùng lộ ra.

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 4} = \frac{2 ( x - 4 ) + 9}{x - 4} = 2 + \frac{9}{x - 4}

x \to \pm \infty lim \frac{9}{x - 4} = 0 \Rightarrow x \to \pm \infty lim f (x) = 2

x \to 4^{+} lim \frac{9}{x - 4} = + \infty \Rightarrow x \to 4^{+} lim f (x) = + \infty

x \to 4^{-} lim \frac{9}{x - 4} = - \infty \Rightarrow x \to 4^{-} lim f (x) = - \infty

Vậy tiệm cận ngang $y = 2$ , tiệm cận đứng $x = 4$ .

Nhận xét. Với hàm phân thức $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ ( $c \neq = 0$ , $a d - b c \neq = 0$ ), tiệm cận đứng luôn là $x = - \frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang luôn là $y = \frac{a}{c}$ .

Đáp số. Tiệm cận ngang

y = 2

; tiệm cận đứng

x = 4

Sai lầm thường gặp. Chỉ viết

x \to 4 lim f (x) = \infty

mà không tách hai phía nên không chỉ rõ được

+ \infty

hay

- \infty

; lấy nhầm tiệm cận đứng là

x = - 4

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 22

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Vận dụng 2★★Trang 22— Vận dụng tiệm cận đứng vào bài toán chi phí xử lí môi trường

Vận dụng 2 (trang 22). Để loại bỏ

p %

một loài tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là

C (p) = \frac{45 p}{100 - p}

(triệu đồng), với

0 \leq p < 100

. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

C (p)

và nêu ý nghĩa thực tiễn của đường tiệm cận này.

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $p = p_{0}$ là tiệm cận đứng nếu một trong các giới hạn một phía của hàm số tại $p_{0}$ bằng $+ \infty$ hoặc $- \infty$ .
Trên miền $0 \leq p < 100$ chỉ xét được giới hạn bên trái tại $p = 100$ .

1Cách 1. Xét giới hạn một phía tại

p = 100

Định hướng. Điểm làm mẫu triệt tiêu là $p = 100$ ; vì miền giá trị chỉ tới sát $100$ nên chỉ cần giới hạn bên trái.

C (p) = \frac{45 p}{100 - p}

với

0 \leq p < 100

p \to 10 0^{-} \Rightarrow 45 p \to 4500 > 0

và

100 - p \to 0^{+}

p \to 10 0^{-} lim C (p) = + \infty

Vậy đồ thị hàm số $C (p)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $p = 100$ .

2Cách 2. Tách phần nguyên và lập bảng giá trị

Định hướng. Tách $C (p)$ thành hằng số cộng một phân thức, rồi thử vài giá trị của $p$ tiến sát $100$ để thấy chi phí vọt lên.

C (p) = \frac{45 p}{100 - p} = \frac{- 45 ( 100 - p ) + 4500}{100 - p} = - 45 + \frac{4500}{100 - p}

p = 90 \Rightarrow C = 405

p = 99 \Rightarrow C = 4455

p = 99, 9 \Rightarrow C = 44955

p \to 10 0^{-} \Rightarrow \frac{4500}{100 - p} \to + \infty \Rightarrow C (p) \to + \infty

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $p = 100$ .

Nhận xét. Ý nghĩa thực tiễn: càng muốn làm sạch triệt để thì chi phí càng đội lên rất nhanh. Khi tỉ lệ tảo độc cần loại bỏ tiến tới $100%$ thì chi phí tăng vô hạn, nghĩa là không thể loại bỏ hoàn toàn loài tảo này với một khoản tiền hữu hạn.

Đáp số. Tiệm cận đứng

p = 100

; chi phí tăng vô hạn khi

p

tiến tới

100

, nên không thể loại bỏ

100%

tảo độc với chi phí hữu hạn.

Sai lầm thường gặp. Xét giới hạn bên phải tại

p = 100

trong khi điều kiện bài toán chỉ cho

p < 100

; quên nêu ý nghĩa thực tiễn của đường tiệm cận.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 22

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ3★★Trang 23— Nhận biết tiệm cận xiên qua khoảng cách từ điểm trên đồ thị tới đường thẳng

HĐ3 (trang 23). Nhận biết đường tiệm cận xiên.
Cho hàm số

y = f (x) = x - 1 + \frac{2}{x + 1}

có đồ thị

(C)

và đường thẳng

y = x - 1

như Hình 1.24.
a) Với

x > - 1

, xét điểm

M (x; f (x))

thuộc

(C)

. Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

M

trên đường thẳng

y = x - 1

. Có nhận xét gì về khoảng cách

M H

khi

x \to + \infty

?
b) Chứng tỏ rằng

x \to + \infty lim [f (x) - (x - 1)] = 0

. Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng cách từ điểm $M (x_{M}; y_{M})$ tới đường thẳng $Δ : A x + B y + C = 0$ bằng $\frac{∣ A x _{M} + B y _{M} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$ .
Đường thẳng $y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ) là tiệm cận xiên của đồ thị $y = f (x)$ nếu $x \to + \infty lim [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $x \to - \infty lim [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

1Cách 1. Dùng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Định hướng. Đưa đường thẳng về dạng tổng quát rồi tính thẳng khoảng cách $M H$ theo $x$ ; hiệu $f (x) - (x - 1)$ xuất hiện ngay trong công thức đó.

d : y = x - 1 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0

f (x) - (x - 1) = \frac{2}{x + 1}

M H = d (M, d) = \frac{∣ x - f ( x ) - 1 ∣}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{x + 1}

(với

x > - 1

)

x \to + \infty lim M H = x \to + \infty lim \frac{2}{x + 1} = 0

x \to + \infty lim [f (x) - (x - 1)] = x \to + \infty lim \frac{2}{x + 1} = 0

Vậy $M H \to 0$ khi $x \to + \infty$ và $x \to + \infty lim [f (x) - (x - 1)] = 0$ : đồ thị $(C)$ càng ngày càng sát vào đường thẳng $y = x - 1$ .

2Cách 2. Chặn bằng khoảng cách theo phương thẳng đứng

Định hướng. Khoảng cách đo theo phương thẳng đứng luôn không nhỏ hơn khoảng cách vuông góc, nên chỉ cần chặn đại lượng dễ tính đó rồi cho dần về $0$ .

N (x; x - 1)

là giao điểm của đường thẳng đứng qua

M

với

d

M N = f (x) - (x - 1) = \frac{2}{x + 1} > 0

với

x > - 1

0 < M H \leq M N = \frac{2}{x + 1}

x = 1 \Rightarrow M N = 1

x = 9 \Rightarrow M N = 0, 2

x = 99 \Rightarrow M N = 0, 02

x \to + \infty lim \frac{2}{x + 1} = 0 \Rightarrow x \to + \infty lim M H = 0

Vậy hiệu $f (x) - (x - 1)$ dần về $0$ ; trên Hình 1.24 đồ thị $(C)$ áp sát đường thẳng $y = x - 1$ khi $x \to + \infty$ .

Nhận xét. Đường thẳng $y = x - 1$ chính là tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ . Khi $x \to - \infty$ ta cũng có $\frac{2}{x + 1} \to 0$ nên đồ thị áp sát đường thẳng đó ở cả hai đầu.

Đáp số.

M H = \frac{2}{x + 1} \to 0

và

x \to + \infty lim [f (x) - (x - 1)] = 0

: đồ thị

(C)

áp sát đường thẳng

y = x - 1

Sai lầm thường gặp. Nhầm

M H

là khoảng cách theo phương thẳng đứng nên thiếu hệ số

\frac{1}{2}

; quên điều kiện

x > - 1

khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 23

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 3★★★Trang 24— Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Luyện tập 3 (trang 24). Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

y = f (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 2}{1 - x}

Kiến thức cần nhớ

Tiệm cận xiên $y = a x + b$ xác định bởi $a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ và $b = x \to \pm \infty lim [f (x) - a x]$ , với $a \neq = 0$ .
Cũng có thể chia đa thức để viết $f (x) = a x + b + g (x)$ với $x \to \pm \infty lim g (x) = 0$ .
Tiệm cận đứng là $x = x_{0}$ với $x_{0}$ làm mẫu triệt tiêu nhưng không làm tử triệt tiêu.

1Cách 1. Chia đa thức để tách phần nguyên

Định hướng. Bậc tử hơn bậc mẫu một đơn vị nên chia được thành một nhị thức bậc nhất cộng một phân thức dần về $0$ ; nhị thức đó chính là tiệm cận xiên.

D = R ∖ {1}

x^{2} - 4 x + 2 = (- x + 3) (1 - x) - 1

f (x) = \frac{( - x + 3 ) ( 1 - x ) - 1}{1 - x} = - x + 3 + \frac{- 1}{1 - x} = - x + 3 + \frac{1}{x - 1}

x \to 1^{+} lim \frac{1}{x - 1} = + \infty \Rightarrow x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty

x \to 1^{-} lim \frac{1}{x - 1} = - \infty \Rightarrow x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty

x \to + \infty lim [f (x) - (- x + 3)] = x \to + \infty lim \frac{1}{x - 1} = 0

x \to - \infty lim [f (x) - (- x + 3)] = x \to - \infty lim \frac{1}{x - 1} = 0

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$ và tiệm cận xiên là đường thẳng $y = - x + 3$ .

2Cách 2. Dùng công thức tính hệ số

a

và

b

Định hướng. Áp dụng đúng hai công thức giới hạn xác định tiệm cận xiên, rồi xét riêng hai giới hạn một phía tại điểm làm mẫu triệt tiêu.

\frac{f ( x )}{x} = \frac{x ^{2} - 4 x + 2}{x - x ^{2}}

a = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to + \infty lim (1 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x ^{2}}) : (\frac{1}{x} - 1) = 1 : (- 1) = - 1

b = x \to + \infty lim [f (x) + x] = x \to + \infty lim \frac{x ^{2} - 4 x + 2 + x ( 1 - x )}{1 - x} = x \to + \infty lim \frac{- 3 x + 2}{1 - x} = 3

x \to - \infty lim \frac{f ( x )}{x} = - 1

và

x \to - \infty lim [f (x) + x] = 3

x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty

(do

x^{2} - 4 x + 2 \to - 1 < 0

và

1 - x \to 0^{-}

)

x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty

(do

x^{2} - 4 x + 2 \to - 1 < 0

và

1 - x \to 0^{+}

)

Vậy tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận xiên $y = - x + 3$ .

Nhận xét. Bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng một đơn vị nên đồ thị chắc chắn có tiệm cận xiên và không có tiệm cận ngang.

Đáp số. Tiệm cận đứng

x = 1

; tiệm cận xiên

y = - x + 3

Sai lầm thường gặp. Chia đa thức sai dấu vì mẫu là

1 - x

chứ không phải

x - 1

; kết luận đồ thị có tiệm cận ngang trong khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 24

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.16★Trang 25— Đọc giới hạn và tiệm cận từ đồ thị hàm số

Bài 1.16 (trang 25). Hình 1.26 là đồ thị của hàm số

y = f (x) = \frac{2 x ^{2}}{x ^{2} - 1}

. Sử dụng đồ thị này, hãy:
a) Viết kết quả của các giới hạn sau:

x \to - \infty lim f (x)

;

x \to + \infty lim f (x)

;

x \to 1^{-} lim f (x)

;

x \to - 1^{+} lim f (x)

.
b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

Kiến thức cần nhớ

Nhánh đồ thị áp sát đường thẳng nằm ngang $y = y_{0}$ khi $x$ ra vô cực cho ta $x \to \pm \infty lim f (x) = y_{0}$ .
Nhánh đồ thị chạy xuống dưới sát đường thẳng đứng $x = x_{0}$ cho ta giới hạn một phía bằng $- \infty$ ; chạy lên trên thì bằng $+ \infty$ .

1Cách 1. Đọc trực tiếp trên đồ thị Hình 1.26

Định hướng. Hai nhánh ngoài cùng của đồ thị áp sát đường thẳng $y = 2$ ; nhánh ở giữa chạy xuống dưới khi $x$ tiến tới $1$ từ bên trái và khi $x$ tiến tới $- 1$ từ bên phải.

x \to - \infty lim f (x) = 2

x \to + \infty lim f (x) = 2

x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty

x \to - 1^{+} lim f (x) = - \infty

Vậy đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ và hai tiệm cận đứng là các đường thẳng $x = - 1$ , $x = 1$ .

2Cách 2. Kiểm chứng bằng biểu thức của hàm số

Định hướng. Tách $f (x)$ thành hằng số cộng một phân thức rồi xét dấu của mẫu ở từng phía để khẳng định lại các kết quả đọc trên đồ thị.

D = R ∖ {- 1; 1}

f (x) = \frac{2 x ^{2}}{x ^{2} - 1} = \frac{2 ( x ^{2} - 1 ) + 2}{x ^{2} - 1} = 2 + \frac{2}{x ^{2} - 1}

x \to \pm \infty lim \frac{2}{x ^{2} - 1} = 0 \Rightarrow x \to - \infty lim f (x) = x \to + \infty lim f (x) = 2

x \to 1^{-} \Rightarrow - 1 < x < 1 \Rightarrow x^{2} - 1 \to 0^{-} \Rightarrow x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty

x \to - 1^{+} \Rightarrow - 1 < x < 1 \Rightarrow x^{2} - 1 \to 0^{-} \Rightarrow x \to - 1^{+} lim f (x) = - \infty

x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty

và

x \to - 1^{-} lim f (x) = + \infty

Vậy tiệm cận ngang $y = 2$ ; tiệm cận đứng $x = - 1$ và $x = 1$ .

Nhận xét. Vì $f (- x) = f (x)$ nên đồ thị nhận trục $O y$ làm trục đối xứng, do đó hai tiệm cận đứng đối xứng nhau qua trục $O y$ .

Đáp số. a)

x \to - \infty lim f (x) = 2

;

x \to + \infty lim f (x) = 2

;

x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty

;

x \to - 1^{+} lim f (x) = - \infty

. b) Tiệm cận ngang

y = 2

; tiệm cận đứng

x = - 1

và

x = 1

Sai lầm thường gặp. Nhầm dấu của vô cực do không để ý phía lấy giới hạn: với

- 1 < x < 1

thì

x^{2} - 1 < 0

nên giới hạn bằng

- \infty

chứ không phải

+ \infty

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.17★★Trang 25— Kiểm tra một đường thẳng có phải là tiệm cận đứng hay không

Bài 1.17 (trang 25). Đường thẳng

x = 1

có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 1}

không?

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $x = x_{0}$ là tiệm cận đứng khi và chỉ khi ít nhất một giới hạn một phía của hàm số tại $x_{0}$ bằng $+ \infty$ hoặc $- \infty$ .
Mẫu triệt tiêu tại $x_{0}$ chưa đủ để kết luận: nếu tử cũng triệt tiêu tại $x_{0}$ thì phải rút gọn rồi mới xét giới hạn.

1Cách 1. Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn

Định hướng. Thấy $x = 1$ là nghiệm của cả tử và mẫu nên rút gọn nhân tử chung trước khi lấy giới hạn hai phía.

D = R ∖ {1}

x^{2} + 2 x - 3 = (x - 1) (x + 3)

y = \frac{( x - 1 ) ( x + 3 )}{x - 1} = x + 3

với mọi

x \neq = 1

x \to 1^{+} lim y = x \to 1^{+} lim (x + 3) = 4

x \to 1^{-} lim y = x \to 1^{-} lim (x + 3) = 4

Vậy cả hai giới hạn một phía đều hữu hạn nên đường thẳng $x = 1$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

2Cách 2. Đổi biến

x = 1 + t

Định hướng. Chuyển điểm cần xét về gốc bằng phép đổi biến, khi đó thấy ngay biểu thức không hề tiến ra vô cực.

x = 1 + t

với

t \neq = 0

x^{2} + 2 x - 3 = (1 + t)^{2} + 2 (1 + t) - 3 = t^{2} + 4 t

x - 1 = t

y = \frac{t ^{2} + 4 t}{t} = t + 4

t \to 0^{+} \Rightarrow y \to 4

t \to 0^{-} \Rightarrow y \to 4

Vậy giới hạn của hàm số tại $x = 1$ hữu hạn và bằng $4$ , nên $x = 1$ không phải là tiệm cận đứng.

Nhận xét. Đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng $y = x + 3$ bỏ đi điểm $(1; 4)$ : tại $x = 1$ đồ thị chỉ bị khuyết một điểm chứ không chạy ra vô cực.

Đáp số. Không. Vì

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 1} = 4

hữu hạn; đồ thị là đường thẳng

y = x + 3

bỏ đi điểm

(1; 4)

Sai lầm thường gặp. Thấy mẫu triệt tiêu tại

x = 1

là vội kết luận có tiệm cận đứng mà quên kiểm tra tử cũng triệt tiêu tại điểm đó.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 1.18★★Trang 25— Tìm đầy đủ các tiệm cận của đồ thị hàm phân thức

Bài 1.18 (trang 25). Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a)

y = \frac{3 - x}{2 x + 1}

;
b)

y = \frac{2 x ^{2} + x - 1}{x + 2}

Kiến thức cần nhớ

Bậc tử bằng bậc mẫu thì đồ thị có tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$ (tỉ số hai hệ số bậc cao nhất); bậc tử hơn bậc mẫu một đơn vị thì đồ thị có tiệm cận xiên.
Tiệm cận xiên $y = a x + b$ có $a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ và $b = x \to \pm \infty lim [f (x) - a x]$ .
Tiệm cận đứng ứng với nghiệm của mẫu không làm triệt tiêu tử.

1Cách 1. Tính trực tiếp các giới hạn

Định hướng. Với mỗi hàm số, lấy giới hạn ở vô cực để tìm tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên, rồi lấy hai giới hạn một phía tại nghiệm của mẫu để tìm tiệm cận đứng.

D = R ∖ {- \frac{1}{2}}

, đặt

x_{0} = - \frac{1}{2}

x \to + \infty lim y = x \to + \infty lim (\frac{3}{x} - 1) : (2 + \frac{1}{x}) = - \frac{1}{2}

x \to - \infty lim y = - \frac{1}{2}

x \to x_{0}^{+} lim y = + \infty

(do

3 - x \to \frac{7}{2} > 0

và

2 x + 1 \to 0^{+}

)

x \to x_{0}^{-} lim y = - \infty

(do

3 - x \to \frac{7}{2} > 0

và

2 x + 1 \to 0^{-}

)
b)

D = R ∖ {- 2}

x \to - 2^{+} lim y = + \infty

(do

2 x^{2} + x - 1 \to 5 > 0

và

x + 2 \to 0^{+}

)

x \to - 2^{-} lim y = - \infty

(do

2 x^{2} + x - 1 \to 5 > 0

và

x + 2 \to 0^{-}

)

a = x \to \pm \infty lim \frac{2 x ^{2} + x - 1}{x ^{2} + 2 x} = 2

b = x \to \pm \infty lim [\frac{2 x ^{2} + x - 1}{x + 2} - 2 x] = x \to \pm \infty lim \frac{- 3 x - 1}{x + 2} = - 3

Vậy a) đồ thị có tiệm cận đứng $x = - \frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y = - \frac{1}{2}$ ; b) đồ thị có tiệm cận đứng $x = - 2$ và tiệm cận xiên $y = 2 x - 3$ .

2Cách 2. Tách phần nguyên bằng phép chia

Định hướng. Viết mỗi hàm số thành phần chính cộng một phân thức dần về $0$ ; phần chính cho ngay tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên, phân thức còn lại cho tiệm cận đứng.

2 (3 - x) = - (2 x + 1) + 7

y = \frac{3 - x}{2 x + 1} = \frac{2 ( 3 - x )}{2 ( 2 x + 1 )} = \frac{- ( 2 x + 1 ) + 7}{4 x + 2} = - \frac{1}{2} + \frac{7}{4 x + 2}

x \to \pm \infty lim \frac{7}{4 x + 2} = 0

x \to x_{0}^{+} lim \frac{7}{4 x + 2} = + \infty

và

x \to x_{0}^{-} lim \frac{7}{4 x + 2} = - \infty

với

x_{0} = - \frac{1}{2}

2 x^{2} + x - 1 = (2 x - 3) (x + 2) + 5

y = \frac{2 x ^{2} + x - 1}{x + 2} = 2 x - 3 + \frac{5}{x + 2}

x \to \pm \infty lim [y - (2 x - 3)] = x \to \pm \infty lim \frac{5}{x + 2} = 0

x \to - 2^{+} lim \frac{5}{x + 2} = + \infty

và

x \to - 2^{-} lim \frac{5}{x + 2} = - \infty

Vậy a) tiệm cận đứng $x = - \frac{1}{2}$ , tiệm cận ngang $y = - \frac{1}{2}$ ; b) tiệm cận đứng $x = - 2$ , tiệm cận xiên $y = 2 x - 3$ .

Nhận xét. Phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang; phân thức bậc hai trên bậc nhất (tử không chia hết cho mẫu) có một tiệm cận đứng và một tiệm cận xiên, không có tiệm cận ngang.

Đáp số. a) Tiệm cận đứng

x = - \frac{1}{2}

, tiệm cận ngang

y = - \frac{1}{2}

. b) Tiệm cận đứng

x = - 2

, tiệm cận xiên

y = 2 x - 3

Sai lầm thường gặp. Ở ý a) lấy tiệm cận ngang là

y = - 1

do chỉ nhìn hệ số của

x

ở tử; ở ý b) đi tìm tiệm cận ngang trong khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên chỉ có tiệm cận xiên.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 1.19★★★Trang 25— Vận dụng tiệm cận ngang vào bài toán chi phí trung bình

Bài 1.19 (trang 25). Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất

x

(sản phẩm) là

C (x) = 2 x + 50

(triệu đồng). Khi đó

f (x) = \frac{C ( x )}{x}

là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số

f (x)

giảm và

x \to + \infty lim f (x) = 2

. Tính chất này nói lên điều gì?

Kiến thức cần nhớ

Hàm số có đạo hàm âm trên một khoảng thì nghịch biến trên khoảng đó.
Đường thẳng $y = y_{0}$ là tiệm cận ngang nếu $x \to + \infty lim f (x) = y_{0}$ .

1Cách 1. Dùng đạo hàm và giới hạn

Định hướng. Tách chi phí trung bình thành phần cố định cộng phần giảm dần, rồi xét dấu đạo hàm để khẳng định hàm số giảm.

f (x) = \frac{C ( x )}{x} = \frac{2 x + 50}{x} = 2 + \frac{50}{x}

với

x > 0

f^{'} (x) = - \frac{50}{x ^{2}}

x^{2} > 0 \Rightarrow f^{'} (x) < 0

với mọi

x > 0

x \to + \infty lim f (x) = 2 + x \to + \infty lim \frac{50}{x} = 2

Vậy hàm số $f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ và $x \to + \infty lim f (x) = 2$ .

2Cách 2. So sánh trực tiếp hai giá trị của hàm số

Định hướng. Lấy hai giá trị bất kì rồi so sánh hiệu của chúng để khẳng định tính giảm mà không cần đạo hàm, rồi chặn hiệu $f (x) - 2$ để lấy giới hạn.

0 < x_{1} < x_{2}

f (x_{1}) - f (x_{2}) = \frac{50}{x _{1}} - \frac{50}{x _{2}} = \frac{50 ( x _{2} - x _{1} )}{x _{1} x _{2}} > 0

f (x) - 2 = \frac{50}{x} > 0

với mọi

x > 0

x = 50 \Rightarrow f = 3

x = 500 \Rightarrow f = 2, 1

x = 5000 \Rightarrow f = 2, 01

x \to + \infty lim [f (x) - 2] = 0

Vậy $f (x_{1}) > f (x_{2})$ nên hàm số giảm; $f (x)$ luôn lớn hơn $2$ và dần về $2$ khi $x$ tăng vô hạn.

Nhận xét. Càng sản xuất nhiều thì chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm, nhưng luôn lớn hơn $2$ triệu đồng và tiến dần về $2$ triệu đồng. Đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị, ứng với mức chi phí thấp nhất không thể vượt qua cho mỗi sản phẩm.

Đáp số.

f (x) = 2 + \frac{50}{x}

nghịch biến trên

(0; + \infty)

và

x \to + \infty lim f (x) = 2

: chi phí trung bình mỗi sản phẩm giảm dần về

2

triệu đồng, đồ thị có tiệm cận ngang

y = 2

Sai lầm thường gặp. Kết luận chi phí trung bình giảm về

0

; hoặc cho rằng có thể đạt đúng

2

triệu đồng mỗi sản phẩm, trong khi

f (x) - 2 = \frac{50}{x} > 0

với mọi

x > 0

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 1.20★★★Trang 25— Lập hàm số từ bài toán hình học và tìm tiệm cận

Bài 1.20 (trang 25). Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng

144 m^{2}

. Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là

x

(m).
a) Viết biểu thức tính chu vi

P (x)

(mét) của mảnh vườn.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

P (x)

Kiến thức cần nhớ

Hình chữ nhật có diện tích $S$ và một cạnh $x$ thì cạnh còn lại bằng $\frac{S}{x}$ và chu vi bằng $2 (x + \frac{S}{x})$ .
Tiệm cận đứng ứng với giới hạn một phía ra vô cực; tiệm cận xiên $y = a x + b$ ứng với $lim [P (x) - (a x + b)] = 0$ .

1Cách 1. Lập biểu thức rồi tách phần chính

Định hướng. Viết chu vi theo một cạnh, rồi nhận ra ngay phần chính $2 x$ và phần dần về $0$ là $\frac{288}{x}$ .

Cạnh còn lại của mảnh vườn bằng

\frac{144}{x}

với

x > 0

P (x) = 2 (x + \frac{144}{x}) = 2 x + \frac{288}{x}

x \to 0^{+} lim P (x) = x \to 0^{+} lim (2 x + \frac{288}{x}) = + \infty

x \to + \infty lim [P (x) - 2 x] = x \to + \infty lim \frac{288}{x} = 0

Vậy $P (x) = 2 x + \frac{288}{x}$ với $x > 0$ ; đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 0$ và tiệm cận xiên là đường thẳng $y = 2 x$ .

2Cách 2. Dùng công thức tính hệ số

a

và

b

Định hướng. Đưa chu vi về một phân thức rồi áp dụng đúng hai công thức giới hạn xác định tiệm cận xiên, kèm giới hạn một phía tại $x = 0$ .

P (x) = 2 x + \frac{288}{x} = \frac{2 x ^{2} + 288}{x}

với

x > 0

a = x \to + \infty lim \frac{P ( x )}{x} = x \to + \infty lim (2 + \frac{288}{x ^{2}}) = 2

b = x \to + \infty lim [P (x) - 2 x] = x \to + \infty lim \frac{288}{x} = 0

x \to 0^{+} lim \frac{2 x ^{2} + 288}{x} = + \infty

(do

2 x^{2} + 288 \to 288 > 0

và

x \to 0^{+}

)

Vậy tiệm cận đứng $x = 0$ , tiệm cận xiên $y = 2 x$ .

Nhận xét. Ý nghĩa hình học: khi một cạnh rất bé thì mảnh vườn dài và hẹp nên chu vi lớn vô hạn; khi $x$ rất lớn thì cạnh còn lại rất bé nên chu vi xấp xỉ $2 x$ . Chu vi nhỏ nhất bằng $48 m$ khi $x = 12$ , lúc đó mảnh vườn là hình vuông.

Đáp số. a)

P (x) = 2 x + \frac{288}{x}

với

x > 0

. b) Tiệm cận đứng

x = 0

; tiệm cận xiên

y = 2 x

Sai lầm thường gặp. Quên nhân đôi khi tính chu vi nên viết

P (x) = x + \frac{144}{x}

; bỏ sót tiệm cận đứng

x = 0

hoặc đi tìm tiệm cận ngang.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 25

Mở bài này trong app ↗