Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Định hướng. Chi phí trung bình là thương của một hàm bậc nhất với $x$; tách thẳng phần nguyên ra là thấy ngay quy luật giảm và ngưỡng chặn dưới.

Vậy chi phí trung bình giảm khi số sản phẩm tăng nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm; trên Hình 1.27 đồ thị đi xuống và luôn nằm phía trên đường tiệm cận ngang $y=2$.

Định hướng. Đạo hàm cho kết luận chặt về chiều biến thiên, còn giới hạn tại vô cực chỉ ra đúng ngưỡng 2 triệu đồng mà chi phí trung bình không bao giờ chạm tới.

Vậy $f$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$ và $f(x)>2$ với mọi $x>0$; đồ thị nhận đường thẳng $y=2$ làm tiệm cận ngang nên chi phí trung bình giảm dần nhưng không bao giờ xuống tới 2 triệu đồng/sản phẩm.

Nhận xét. Cách 1 chỉ dùng phép chia đa thức, hợp với việc giải thích nhanh; Cách 2 cho bảng biến thiên đầy đủ nên nhìn thấy cả dáng đồ thị.

Định hướng. Không tách phân thức và cũng không lấy đạo hàm: đưa hai bất đẳng thức cần chứng minh về dạng tương đương bằng phép nhân chéo, vì các mẫu đều dương nên chiều bất đẳng thức được giữ nguyên.

Vậy chi phí trung bình luôn lớn hơn $2$ triệu đồng mỗi sản phẩm và giảm khi số sản phẩm tăng, nhưng có thể gần $2$ tuỳ ý mà không bao giờ đạt tới; trên Hình 1.27 điều đó thể hiện ở chỗ đồ thị đi xuống và áp sát đường thẳng $y=2$ từ phía trên.

Nhận xét. Đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị và mang ý nghĩa kinh tế rõ ràng: $2$ triệu đồng là chi phí biến đổi cho mỗi sản phẩm, còn $45$ triệu đồng là chi phí cố định được chia đều cho $x$ sản phẩm.

Định hướng. Bài yêu cầu đúng bốn chặng của sơ đồ khảo sát: đạo hàm, xét dấu, giới hạn kèm bảng biến thiên, rồi vẽ đồ thị.

Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$, đạt cực tiểu $-1$ tại $x=2$; đồ thị là parabol nhận đường thẳng $x=2$ làm trục đối xứng, đỉnh $I(2;-1)$, cắt trục hoành tại $(1;0)$, $(3;0)$ và cắt trục tung tại $(0;3)$.

Định hướng. Với tam thức bậc hai, dạng chính tắc $(x-2{)}^2-1$ cho ngay giá trị nhỏ nhất, chiều biến thiên và trục đối xứng.

Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$, giá trị cực tiểu bằng $-1$ tại $x=2$ và đồ thị đối xứng qua đường thẳng $x=2$.

Nhận xét. Hai cách cho cùng một kết quả. Cách 1 dùng được cho mọi hàm số có đạo hàm, Cách 2 chỉ dùng biến đổi đại số nên là phép thử lại rất nhanh cho hàm bậc hai.

Định hướng. Phân tích hàm thành tích hai nhân tử bậc nhất để lấy trục đối xứng từ trung điểm hai nghiệm, rồi xét hiệu hai giá trị hàm để có chiều biến thiên — hoàn toàn không dùng đạo hàm.

Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$, đạt cực tiểu $-1$ tại $x=2$; hai giới hạn ở vô cực đều bằng $+\infty$; đồ thị là parabol đỉnh $I(2;-1)$, nhận đường thẳng $x=2$ làm trục đối xứng.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một bảng biến thiên, nhưng chỉ Cách 3 chỉ rõ vì sao trục đối xứng lại nằm chính giữa hai nghiệm — một tính chất dùng lại rất nhiều khi vẽ nhanh parabol.

Định hướng. Đạo hàm là một tam thức bậc hai; chỉ cần xét biệt thức của nó là biết ngay $y^{\prime }$ giữ nguyên dấu trên toàn trục số.

Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, không có cực trị; đồ thị cắt hai trục toạ độ tại đúng một điểm $O(0;0)$ và nhận $I\left(\frac{1}{2};-2\right)$ làm tâm đối xứng.

Định hướng. Dời gốc toạ độ về điểm uốn thì hàm bậc ba trở thành hàm lẻ; khi đó tính đơn điệu và tính đối xứng hiện ra mà không cần xét dấu đạo hàm.

Vậy $Y$ là hàm số lẻ và nghịch biến trên $\mathbb{R}$, do đó hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và đồ thị nhận $I\left(\frac{1}{2};-2\right)$ làm tâm đối xứng.

Nhận xét. Cách 2 giải thích được vì sao mọi đồ thị hàm bậc ba đều có tâm đối xứng: sau phép tịnh tiến, phần bậc hai bị triệt tiêu và chỉ còn hàm lẻ.

Định hướng. Xét hiệu hai giá trị hàm rồi đưa biểu thức trong ngoặc về tổng các bình phương; tổng đó dương với mọi $x_1$, $x_2$ nên hàm nghịch biến trên toàn $\mathbb{R}$ mà không cần nhắc tới đạo hàm.

Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị; đồ thị đi qua gốc toạ độ $O(0;0)$, nhận $I\left(\frac{1}{2};-2\right)$ làm tâm đối xứng, có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty$.

Nhận xét. Cách viết $E$ thành tổng ba số hạng không âm là kĩ thuật phân tích thành tổng các bình phương; nó cho phép khẳng định dấu của một biểu thức hai biến mà không phải xét từng trường hợp.

Định hướng. Bài toán thực tế chỉ có nghĩa với $x\ge 1$, nên khảo sát hàm số trên đúng nửa khoảng đó rồi đọc kết quả từ bảng biến thiên.

Vậy chi phí trung bình giảm khi $x$ tăng, giá trị lớn nhất là 47 triệu đồng/sản phẩm khi $x=1$, và $2<f(x)\le 47$ với mọi $x\ge 1$ nên chi phí trung bình luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm.

Định hướng. Tách $f(x)=2+\frac{45}{x}$ thì đồ thị chỉ là đồ thị quen thuộc $y=\frac{45}{x}$ nâng lên 2 đơn vị, mọi tính chất suy ra trực tiếp.

Vậy $f$ nghịch biến trên $[1;+\infty )$, nhận giá trị lớn nhất $47$ tại $x=1$ và luôn lớn hơn $2$; đồ thị của $f$ là đồ thị $y=\frac{45}{x}$ (phần $x\ge 1$) tịnh tiến lên trên 2 đơn vị, nhận $y=2$ làm tiệm cận ngang.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy hằng số $2$ trong biểu thức chính là chi phí biên của mỗi sản phẩm, còn $\frac{45}{x}$ là phần chi phí cố định 45 triệu đồng chia đều cho $x$ sản phẩm.

Định hướng. Giải ngược $x$ theo $y$: mỗi giá trị $y$ ứng với đúng một $x$, nên điều kiện $x\ge 1$ chuyển thành một điều kiện trực tiếp trên $y$, cho luôn cả tập giá trị lẫn chiều biến thiên.

Vậy chi phí trung bình nghịch biến trên $[1;+\infty )$, nhận mọi giá trị trong nửa khoảng $(2;47]$: lớn nhất là $47$ triệu đồng khi chỉ sản xuất một sản phẩm, giảm dần và tiến sát $2$ triệu đồng nhưng không bao giờ đạt tới; đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$.

Nhận xét. Đồ thị của hàm ngược đối xứng với đồ thị hàm đã cho qua đường phân giác $y=x$; riêng hàm này còn tự nghịch đảo theo nghĩa công thức ngược cũng có dạng hằng số cộng với một phân thức, nên hai đồ thị cùng một kiểu hình.

Định hướng. Thể tích và khối lượng đều tăng đều theo thời gian nên nồng độ là một phân thức bậc nhất trên bậc nhất; khảo sát nó trên $[0;+\infty )$.

Vậy $V(t)=200+40t$ lít, $m(t)=20t$ gam, $f(t)=\frac{20t}{40t+200}$ gam/lít; nồng độ tăng theo thời gian nhưng luôn nhỏ hơn 0,5 gam/lít vì đồ thị nhận $y=\frac{1}{2}$ làm tiệm cận ngang.

Định hướng. Viết nồng độ dưới dạng một hằng số trừ đi một phân thức dương thì tính đồng biến và ngưỡng chặn trên hiện ra ngay.

Vậy nồng độ chất khử trùng tăng theo $t$, xuất phát từ $0$ và luôn nhỏ hơn $\frac{1}{2}$ gam/lít.

Nhận xét. Con số $\frac{1}{2}$ chính là tỉ số giữa lượng chất khử trùng và lượng nước bơm vào mỗi phút: $\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$ gam/lít. Lượng nước 200 lít ban đầu chỉ làm loãng thêm nên nồng độ không bao giờ đạt ngưỡng đó.

Định hướng. Giải ngược thời gian theo nồng độ; điều kiện $t\ge 0$ chuyển thành điều kiện trên $f$, cho ngay tập giá trị và do đó trả lời trọn câu hỏi vì sao nồng độ không vượt quá một ngưỡng.

Vậy a) thể tích nước là $200+40t$ lít, khối lượng chất khử trùng là $20t$ gam, nồng độ là $f(t)=\frac{t}{2t+10}$ gam trên lít; b) hàm số đồng biến trên $[0;+\infty )$, đồ thị đi qua gốc toạ độ và có tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$; c) nồng độ luôn thoả $0\le f(t)<\frac{1}{2}$ nên không bao giờ vượt quá $0,5$ gam trên lít.

Nhận xét. Ngưỡng $\frac{1}{2}$ có ý nghĩa vật lí rất rõ: mỗi phút thêm $20$ gam vào $40$ lít, tức dung dịch bơm vào có nồng độ $0,5$ gam trên lít, nên nồng độ trong bể chỉ tiến dần tới nồng độ của dung dịch bơm vào chứ không thể vượt qua.

Định hướng. Tách phần nguyên trước, đạo hàm và các giới hạn đều gọn hẳn, đồng thời tiệm cận xiên lộ ra ngay từ dạng viết đó.

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$, $(2;+\infty )$, không có cực trị; đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận xiên $y=-x+1$, nhận $I(2;-1)$ làm tâm đối xứng, cắt trục tung tại $\left(0;\frac{1}{2}\right)$ và cắt trục hoành tại hai điểm $\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};0\right)$, $\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2};0\right)$.

Định hướng. Dời gốc toạ độ về $I(2;-1)$ thì hàm số trở thành tổng của hai hàm lẻ quen thuộc, tính đơn điệu và tâm đối xứng đọc được ngay.

Vậy $Y=-X+\frac{1}{X}$ là hàm số lẻ, nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$; trở về biến cũ, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, đồ thị nhận $I(2;-1)$ làm tâm đối xứng, có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=-x+1$.

Nhận xét. Phép dời trục còn cho thấy hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai tiệm cận là trục đối xứng của đồ thị, đúng như chú ý trong sách.

Định hướng. Coi $y$ là tham số rồi xem phương trình theo $x$ có nghiệm hay không: nếu mọi $y$ đều cho nghiệm thì tập giá trị là $\mathbb{R}$, tức hàm không bị chặn ở đâu cả nên không thể có cực trị.

Vậy hàm số không có cực trị và nhận mọi giá trị thực; đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận xiên $y=-x+1$, tâm đối xứng là giao điểm $I(2;-1)$ của hai tiệm cận, và hàm nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$, $(2;+\infty )$.

Nhận xét. Biệt thức $\Delta ={\left(y+1\right)}^2+4$ luôn dương, đó chính là lí do đại số của việc đồ thị không có cực trị; ngược lại, khi $\Delta$ đổi dấu thì hai nghiệm của $\Delta =0$ đúng bằng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu.

Định hướng. Cả hai câu đều là hàm bậc ba có $y^{\prime }$ là tam thức có hai nghiệm phân biệt; đi đúng ba chặng của sơ đồ khảo sát.

Vậy câu a) hàm số đồng biến trên $(-1;1)$, nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, cực tiểu $-1$ tại $x=-1$, cực đại $3$ tại $x=1$, tâm đối xứng $I(0;1)$; câu b) hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-1-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$ và $\left(-1+\frac{2\sqrt{3}}{3};+\infty \right)$, nghịch biến trên $\left(-1-\frac{2\sqrt{3}}{3};-1+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$, tâm đối xứng $I(-1;2)$.