Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Mở đầu★★★Trang 33— Tối ưu hoá doanh thu — lập hàm cầu bậc nhất

Mở đầu (trang 33). Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?

Kiến thức cần nhớ

Số khán giả biến thiên đều đặn theo giá vé nên hàm cầu là hàm số bậc nhất, viết được từ hai điểm đã biết.
Doanh thu bằng giá bán nhân số vé: $R = p \cdot x$ .
Hàm bậc hai có hệ số $a < 0$ đạt giá trị lớn nhất tại nghiệm của $R^{'} = 0$ ; luôn phải đối chiếu với điều kiện thực tế của biến.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một cặp số liệu gốc (100 nghìn đồng ứng với 27 000 khán giả) và một quy luật biến thiên đều đặn (giảm 10 nghìn đồng thì thêm 3 000 khán giả) — dấu hiệu chắc chắn của hàm cầu bậc nhất, kéo theo doanh thu là tam thức bậc hai. Nên chọn ẩn là chính đại lượng đề hỏi (giá vé) để khỏi phải đổi ngược ở bước kết luận. Bẫy nằm ở con số 55 000: nó không tham gia vào việc lập hàm mà chỉ dùng để kiểm tra tính khả thi của nghiệm tìm được.

1Cách 1. Lập hàm doanh thu theo giá vé rồi khảo sát bằng đạo hàm

Định hướng. Số khán giả tăng đều đặn khi giá vé giảm đều đặn nên hàm cầu là hàm bậc nhất; thay vào công thức doanh thu ta được một tam thức bậc hai và chỉ việc tìm giá trị lớn nhất của nó.

Gọi

p

(nghìn đồng) là giá mỗi vé,

x

là số vé bán được
Điều kiện:

p > 0

và

0 \leq x \leq 55000

Giá

p_{1} = 100

ứng với

x_{1} = 27000

; giá

p_{2} = 90

ứng với

x_{2} = 27000 + 3000 = 30000

p - 100 = \frac{90 - 100}{30 000 - 27 000} (x - 27000) = - \frac{1}{300} (x - 27000)

x = - 300 p + 57000

x \geq 0 \Leftrightarrow p \leq 190

R (p) = p \cdot x = p (- 300 p + 57000) = - 300 p^{2} + 57000 p

với

0 < p \leq 190

R^{'} (p) = - 600 p + 57000

R^{'} (p) = 0 \Leftrightarrow p = 95

R (95) = - 300 \cdot 9 5^{2} + 57000 \cdot 95 = 2707500

$p$	$0$		$95$		$190$
$R^{'} (p)$		$+$	$0$	$-$
$R (p)$	$0$	↗	$2707500$	↘	$0$

p = 95 \Rightarrow x = - 300 \cdot 95 + 57000 = 28500 \leq 55000

(sân đủ chỗ)

Vậy ban tổ chức nên đặt giá vé là 95 nghìn đồng một vé; khi đó có khoảng 28 500 khán giả và doanh thu lớn nhất từ tiền bán vé là 2 707 500 nghìn đồng, tức khoảng 2,7075 tỉ đồng.

2Cách 2. Đặt ẩn là số lần giảm giá, dùng dạng chính tắc của tam thức bậc hai

Định hướng. Mỗi lần giảm 10 nghìn đồng lại thêm 3 000 khán giả, nên lấy số lần giảm giá làm ẩn thì doanh thu là tích hai biểu thức bậc nhất và có thể đưa về dạng bình phương, không cần đến đạo hàm.

Gọi

n

là số lần giảm giá, mỗi lần 10 nghìn đồng
Giá vé:

100 - 10 n

(nghìn đồng); số khán giả:

27000 + 3000 n

Điều kiện:

100 - 10 n \geq 0

và

27000 + 3000 n \leq 55000

nên

0 \leq n \leq \frac{28}{3}

R (n) = (100 - 10 n) (27000 + 3000 n)

R (n) = 2700000 + 300000 n - 270000 n - 30000 n^{2}

R (n) = - 30000 n^{2} + 30000 n + 2700000

R (n) = - 30000 (n - \frac{1}{2})^{2} + 2707500 \leq 2707500

Dấu bằng xảy ra khi

n = \frac{1}{2} \in [0; \frac{28}{3}]

100 - 10 \cdot \frac{1}{2} = 95

;

27000 + 3000 \cdot \frac{1}{2} = 28500

Vậy giá vé 95 nghìn đồng cho doanh thu lớn nhất là 2 707 500 nghìn đồng với 28 500 khán giả.

3Cách 3. Đặt ẩn là số khán giả và dùng bất đẳng thức AM-GM

Định hướng. Nếu lấy số khán giả làm ẩn thì doanh thu là tích của ẩn ấy với một biểu thức bậc nhất cùng ẩn, hai thừa số có tổng không đổi nên bất đẳng thức AM-GM cho ngay giá trị lớn nhất.

Gọi

x

là số vé bán được,

0 \leq x \leq 55000

Từ

x = - 300 p + 57000

suy ra

p = \frac{57 000 - x}{300}

R = p x = \frac{x ( 57 000 - x )}{300}

x (57000 - x) \leq (\frac{x + 57 000 - x}{2})^{2} = 2850 0^{2} = 812250000

R \leq \frac{812 250 000}{300} = 2707500

Dấu bằng khi

x = 57000 - x

, tức

x = 28500 \leq 55000

p = \frac{57 000 - 28 500}{300} = \frac{28 500}{300} = 95

Vậy doanh thu lớn nhất là 2 707 500 nghìn đồng, đạt được khi bán được 28 500 vé, ứng với giá vé 95 nghìn đồng một vé.

Nhận xét. Ba cách chỉ khác nhau ở chỗ chọn ẩn: giá vé, số lần giảm giá hay số khán giả. Cách 2 cho nghiệm $n = \frac{1}{2}$ , nghĩa là chỉ giảm nửa mức 10 nghìn đồng — vẫn hợp lệ vì 95 nghìn đồng là một mức giá có thật; nếu đề bắt buộc giảm theo đúng bội của 10 nghìn thì phải so sánh $R (0) = 2700000$ với $R (1) = 2700000$ và chọn giá 100 hoặc 90 nghìn đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chọn thẳng giá vé làm ẩn nên vừa tìm được nghiệm là trả lời được ngay, lại có bảng biến thiên làm bằng chứng cho giá trị lớn nhất; Cách 3 tuy đẹp nhưng phải đổi ngược từ số khán giả sang giá vé ở dòng cuối, dễ quên.

Đáp số. Giá vé 95 nghìn đồng một vé; khi đó có 28 500 khán giả và doanh thu lớn nhất là 2 707 500 nghìn đồng (khoảng 2,7075 tỉ đồng).

Sai lầm thường gặp. Quên điều kiện của giá vé (số khán giả không vượt quá sức chứa 55 000 và không âm) nên kết luận mà chưa kiểm tra tính khả thi; hoặc lập hàm doanh thu theo số khán giả rồi trả lời số khán giả thay vì giá vé mà đề hỏi.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu giá gốc là

p_{0}

ứng với

x_{0}

khán giả và cứ giảm

a

đồng lại thêm

b

khán giả thì doanh thu lớn nhất đạt tại

p = \frac{p _{0}}{2} + \frac{a x _{0}}{2 b}

— thử kiểm tra công thức này với số liệu của bài.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 33

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 36— Ý nghĩa của đạo hàm — tốc độ thay đổi tức thời

Luyện tập 1 (trang 36). Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu

P

(tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số

P (t) = \frac{25 t ^{2} + 125}{t ^{2} + 1}

0 \leq t \leq 10

, trong đó thời gian

t

được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim.

Kiến thức cần nhớ

Tốc độ thay đổi tức thời của $y = f (x)$ tại $x = a$ chính là $f^{'} (a)$ .
Đạo hàm của thương: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
Đạo hàm âm cho biết đại lượng đang giảm; đơn vị của tốc độ thay đổi là đơn vị của hàm chia cho đơn vị của biến.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi 'tốc độ thay đổi' tại một thời điểm cụ thể — đó chính là đạo hàm tại điểm đó, không phải giá trị của hàm. Hàm cho dưới dạng phân thức có tử và mẫu cùng bậc hai, nên tách phần nguyên trước sẽ nhanh hơn dùng công thức đạo hàm thương. Bẫy ở chỗ nhiều bạn tính

P (5)

rồi trả lời, trong khi

P (5)

là huyết áp chứ không phải tốc độ thay đổi của nó.

1Cách 1. Dùng quy tắc đạo hàm của một thương

Định hướng. Tốc độ thay đổi của huyết áp tại thời điểm $t$ chính là $P^{'} (t)$ , nên chỉ cần lấy đạo hàm của thương rồi thay $t = 5$ .

P (t) = \frac{25 t ^{2} + 125}{t ^{2} + 1}

với

0 \leq t \leq 10

P^{'} (t) = \frac{( 25 t ^{2} + 125 ) ^{'} ( t ^{2} + 1 ) - ( 25 t ^{2} + 125 ) ( t ^{2} + 1 ) ^{'}}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}

P^{'} (t) = \frac{50 t ( t ^{2} + 1 ) - ( 25 t ^{2} + 125 ) \cdot 2 t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}

P^{'} (t) = \frac{50 t ^{3} + 50 t - 50 t ^{3} - 250 t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- 200 t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}

P^{'} (5) = \frac{- 200 \cdot 5}{( 5 ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- 1 000}{676} = - \frac{250}{169} \approx - 1, 48

Vậy sau 5 giây kể từ khi máu rời tim, huyết áp tâm thu thay đổi với tốc độ $P^{'} (5) = - \frac{250}{169} \approx - 1, 48$ (mmHg/s); dấu âm cho biết huyết áp đang giảm.

2Cách 2. Tách phần nguyên rồi lấy đạo hàm

Định hướng. Tách tử theo mẫu để đưa hàm về dạng một hằng số cộng với $\frac{100}{t ^{2} + 1}$ , khi đó phép lấy đạo hàm gọn hơn hẳn và thấy ngay dấu của $P^{'}$ .

P (t) = \frac{25 ( t ^{2} + 1 ) + 100}{t ^{2} + 1} = 25 + \frac{100}{t ^{2} + 1}

P^{'} (t) = 100 \cdot (\frac{1}{t ^{2} + 1})^{'} = 100 \cdot \frac{- ( t ^{2} + 1 ) ^{'}}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}

P^{'} (t) = \frac{- 200 t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}

P^{'} (5) = \frac{- 1 000}{2 6 ^{2}} = - \frac{250}{169} \approx - 1, 48

Vậy tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây là $- \frac{250}{169} \approx - 1, 48$ (mmHg/s).

3Cách 3. Dùng định nghĩa tốc độ thay đổi tức thời tại thời điểm 5 giây

Định hướng. Quay lại đúng định nghĩa: lập tỉ số tốc độ thay đổi trung bình trên đoạn từ 5 giây tới $t$ giây, rút gọn nhân tử $t - 5$ rồi cho $t$ tiến về 5.

P (t) = 25 + \frac{100}{t ^{2} + 1}

;

P (5) = 25 + \frac{100}{26}

P (t) - P (5) = 100 (\frac{1}{t ^{2} + 1} - \frac{1}{26}) = 100 \cdot \frac{26 - ( t ^{2} + 1 )}{26 ( t ^{2} + 1 )}

P (t) - P (5) = \frac{100 ( 25 - t ^{2} )}{26 ( t ^{2} + 1 )} = \frac{- 100 ( t - 5 ) ( t + 5 )}{26 ( t ^{2} + 1 )}

\frac{P ( t ) - P ( 5 )}{t - 5} = \frac{- 100 ( t + 5 )}{26 ( t ^{2} + 1 )}

P^{'} (5) = t \to 5 lim \frac{- 100 ( t + 5 )}{26 ( t ^{2} + 1 )} = \frac{- 100 \cdot 10}{26 \cdot 26} = - \frac{250}{169}

Vậy $P^{'} (5) = - \frac{250}{169} \approx - 1, 48$ (mmHg/s), đúng bằng kết quả của hai cách trên.

Nhận xét. Dạng $P (t) = 25 + \frac{100}{t ^{2} + 1}$ cho thấy $P^{'} (t) < 0$ với mọi $t > 0$ nên huyết áp giảm suốt quá trình, đúng như mô tả của đề; ngoài ra $P (t) > 25$ và $P (t)$ tiến dần về 25 mmHg, còn lúc rời tim huyết áp là $P (0) = 125$ mmHg.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ hai dòng, không phải nhớ công thức đạo hàm thương nên gần như không thể sai dấu; Cách 1 an toàn nhưng dài và dễ nhầm thứ tự

u^{'} v - u v^{'}

Đáp số.

P^{'} (5) = - \frac{250}{169} \approx - 1, 48

(mmHg/s) — huyết áp đang giảm khoảng 1,48 mmHg mỗi giây.

Sai lầm thường gặp. Tính nhầm dấu ở tử của công thức đạo hàm thương, hoặc bỏ dấu âm rồi kết luận huyết áp tăng; cũng hay quên đơn vị mmHg trên giây của tốc độ thay đổi.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

P (t) = \frac{a t ^{2} + b}{t ^{2} + 1}

ta luôn có

P^{'} (t) = \frac{2 t ( a - b )}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}

— thử dùng công thức này để nói ngay huyết áp tăng hay giảm mà không cần tính toán.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 36

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 2★★★★Trang 38— Tối ưu hoá thời gian di chuyển — cực tiểu hàm chứa căn

Luyện tập 2 (trang 38). Anh An chèo thuyền từ điểm

A

trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn đến điểm

B

ở bờ đối diện cách 8 km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm

C

rồi chạy bộ đến

B

, hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến

B

, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm

D

nào đó giữa

C

và

B

rồi chạy bộ đến

B

. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc chạy bộ là 8 km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được

B

càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).

Kiến thức cần nhớ

Thời gian bằng quãng đường chia vận tốc: $t = \frac{s}{v}$ .
Trong tam giác vuông $A C D$ có $A C = 3$ , $C D = x$ thì $A D = 9 + x^{2}$ .
Giá trị nhỏ nhất trên một đoạn phải so sánh cả giá trị tại điểm dừng lẫn giá trị tại hai đầu mút.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai vận tốc khác nhau trên hai chặng và một điểm cập bờ được tự do chọn — dấu hiệu kinh điển của bài tối thiểu hoá thời gian. Ẩn phải là đại lượng xác định vị trí điểm cập bờ, và khoảng cách

C D

là lựa chọn tự nhiên nhất vì cho ngay tam giác vuông để tính

A D

. Bẫy lớn nhất là quên rằng ẩn chỉ chạy trên đoạn

[0; 8]

, nên phải so sánh giá trị tại điểm dừng với hai đầu mút mới kết luận được.

1Cách 1. Đặt ẩn là quãng đường CD rồi khảo sát hàm thời gian

Định hướng. Toàn bộ hành trình chỉ phụ thuộc vị trí điểm cập bờ, nên lấy khoảng cách từ $C$ tới $D$ làm ẩn thì tổng thời gian là một hàm một biến trên đoạn $[0; 8]$ , tìm giá trị nhỏ nhất của nó.

Đặt

C D = x

(km), điều kiện

0 \leq x \leq 8

A D = A C^{2} + C D^{2} = 9 + x^{2}

;

D B = 8 - x

T (x) = \frac{A D}{6} + \frac{D B}{8} = \frac{9 + x ^{2}}{6} + \frac{8 - x}{8}

T^{'} (x) = \frac{x}{6 9 + x ^{2}} - \frac{1}{8}

T^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 8 x = 6 9 + x^{2}

\Leftrightarrow 64 x^{2} = 36 (9 + x^{2})

và

x \geq 0

\Leftrightarrow 28 x^{2} = 324 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{81}{7} \Leftrightarrow x = \frac{9}{7} = \frac{9 7}{7} \approx 3, 40

9 + \frac{81}{7} = \frac{144}{7} = \frac{12}{7}

T (\frac{9 7}{7}) = \frac{12}{6 7} + 1 - \frac{9}{8 7} = 1 + \frac{2}{7} - \frac{9}{8 7} = 1 + \frac{7}{8 7} = 1 + \frac{7}{8}

T (0) = \frac{3}{6} + \frac{8}{8} = \frac{3}{2}

;

T (8) = \frac{73}{6}

$x$	$0$		$\frac{9 7}{7}$		$8$
$T^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$
$T (x)$	$\frac{3}{2}$	↘	$1 + \frac{7}{8}$	↗	$\frac{73}{6}$

1 + \frac{7}{8} \approx 1, 331

;

\frac{3}{2} = 1, 5

;

\frac{73}{6} \approx 1, 424

[0; 8] min T = 1 + \frac{7}{8}

tại

x = \frac{9 7}{7}

Vậy anh An phải chèo thuyền sang bờ đối diện tại điểm $D$ cách $C$ một khoảng $\frac{9 7}{7} \approx 3, 40$ km về phía hạ lưu, rồi chạy bộ đoạn còn lại; khi đó thời gian ít nhất là $1 + \frac{7}{8} \approx 1, 33$ giờ, tức khoảng 1 giờ 20 phút.

2Cách 2. Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai (không dùng đạo hàm)

Định hướng. Đưa thời gian về dạng $1 + \frac{m}{24}$ với $m = 4 9 + x^{2} - 3 x$ , rồi tìm giá trị nhỏ nhất của $m$ bằng cách xem $m$ là tham số để phương trình ẩn $x$ có nghiệm.

T (x) = \frac{9 + x ^{2}}{6} + \frac{8 - x}{8} = 1 + \frac{4 9 + x ^{2} - 3 x}{24}

Đặt

m = 4 9 + x^{2} - 3 x

với

0 \leq x \leq 8

16 (9 + x^{2}) - 9 x^{2} = 144 + 7 x^{2} > 0

nên

4 9 + x^{2} > 3 x

, do đó

m > 0

4 9 + x^{2} = m + 3 x

16 (9 + x^{2}) = m^{2} + 6 m x + 9 x^{2}

7 x^{2} - 6 m x + 144 - m^{2} = 0

Phương trình ẩn

x

có nghiệm khi

Δ^{'} = 9 m^{2} - 7 (144 - m^{2}) \geq 0

16 m^{2} \geq 1008 \Leftrightarrow m^{2} \geq 63 \Leftrightarrow m \geq 37

m = 37

khi

x = \frac{6 m}{2 \cdot 7} = \frac{3 m}{7} = \frac{9 7}{7} \approx 3, 40 \in [0; 8]

T \geq 1 + \frac{3 7}{24} = 1 + \frac{7}{8}

Vậy thời gian nhỏ nhất là $1 + \frac{7}{8} \approx 1, 33$ giờ, đạt được khi anh An cập bờ tại điểm $D$ cách $C$ khoảng $\frac{9 7}{7} \approx 3, 40$ km về phía hạ lưu.

3Cách 3. Đặt ẩn là góc lệch của hướng chèo thuyền

Định hướng. Thay vì lấy khoảng cách làm ẩn, hãy lấy góc giữa hướng chèo và đường vuông góc với bờ; khi đó hai quãng đường viết gọn qua $cos$ và $tan$ , và điều kiện cực trị rút lại thành một hệ thức rất đẹp giữa hai vận tốc.

Đặt

α

là góc

C A D

, với

0 \leq α \leq arctan \frac{8}{3}

C D = 3 tan α

;

A D = \frac{3}{cos α}

;

D B = 8 - 3 tan α

T (α) = \frac{3}{6 cos α} + \frac{8 - 3 tan α}{8} = 1 + \frac{1}{2 cos α} - \frac{3 tan α}{8}

T^{'} (α) = \frac{sin α}{2 cos ^{2} α} - \frac{3}{8 cos ^{2} α} = \frac{4 sin α - 3}{8 cos ^{2} α}

T^{'} (α) = 0 \Leftrightarrow sin α = \frac{3}{4} = \frac{6}{8}

T^{'} (α) < 0

khi

sin α < \frac{3}{4}

và

T^{'} (α) > 0

khi

sin α > \frac{3}{4}

cos α = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{4}

;

tan α = \frac{3}{7}

C D = 3 \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{7} = \frac{9 7}{7} \approx 3, 40

T = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} - \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{7} = 1 + \frac{2}{7} - \frac{9}{8 7} = 1 + \frac{7}{8}

Vậy góc chèo tối ưu thoả mãn $sin α = \frac{6}{8}$ , ứng với điểm cập bờ $D$ cách $C$ khoảng $\frac{9 7}{7} \approx 3, 40$ km và thời gian ít nhất $1 + \frac{7}{8} \approx 1, 33$ giờ.

Nhận xét. Hệ thức $sin α = \frac{6}{8}$ chính là tỉ số giữa vận tốc chèo thuyền và vận tốc chạy bộ — đúng dạng định luật khúc xạ ánh sáng, nên góc tối ưu không phụ thuộc bề rộng con sông. Hai phương án cực đoan đều kém hơn: chèo thẳng sang $C$ rồi chạy bộ mất $\frac{3}{2} = 1, 5$ giờ, còn chèo thẳng tới $B$ mất $\frac{73}{6} \approx 1, 42$ giờ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập hàm theo

C D

là hướng ai cũng nghĩ ra, lại có bảng biến thiên trên đoạn nên kết luận chắc chắn; Cách 3 tuy ngắn và cho hệ thức đẹp nhưng phải thạo đạo hàm lượng giác, dễ mất điểm ở bước xét dấu.

Đáp số. Cập bờ tại điểm

D

cách

C

một khoảng

\frac{9 7}{7} \approx 3, 40

km về phía hạ lưu; thời gian nhỏ nhất

1 + \frac{7}{8} \approx 1, 33

giờ (khoảng 1 giờ 20 phút).

Sai lầm thường gặp. Bình phương hai vế mà quên điều kiện

x \geq 0

nên nhận thêm nghiệm âm; hoặc chỉ tính giá trị tại điểm dừng mà không đối chiếu với hai đầu mút

x = 0

và

x = 8

của đoạn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát với sông rộng

d

, vận tốc chèo

v_{1}

, vận tốc chạy

v_{2}

và

v_{1} < v_{2}

: điểm cập bờ tối ưu luôn thoả mãn

sin α = \frac{v _{1}}{v _{2}}

, tức

C D = \frac{d v _{1}}{v _{2}^{2} - v _{1}^{2}}

— thử kiểm tra lại với

d = 3

v_{1} = 6

v_{2} = 8

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 38

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Vận dụng★★★Trang 40— Hàm cầu, hàm doanh thu, hàm lợi nhuận — tối ưu hoá

Vận dụng (trang 40). Một nhà sản xuất trung bình bán được 1 000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.
a) Tìm hàm cầu.
b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?
c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là

C (x) = 12000 - 3 x

(triệu đồng), trong đó

x

là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?

Kiến thức cần nhớ

Hàm cầu $p = p (x)$ là giá bán mỗi đơn vị khi bán được $x$ đơn vị; doanh thu $R (x) = x \cdot p (x)$ .
Lợi nhuận $P (x) = R (x) - C (x)$ ; lợi nhuận lớn nhất tại nghiệm của $P^{'} (x) = 0$ nằm trong miền thực tế.
Số lượng bán ra tăng đều đặn khi giá giảm đều đặn nên hàm cầu là hàm số bậc nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Ba dữ kiện 'giá gốc — lượng gốc — mức giảm kéo theo mức tăng' cho thấy hàm cầu là hàm bậc nhất, từ đó doanh thu và lợi nhuận đều là tam thức bậc hai hệ số dẫn đầu âm nên chắc chắn có giá trị lớn nhất. Câu b hỏi 'giảm bao nhiêu' còn câu c hỏi 'đặt giá thế nào', nên sau khi tìm được số lượng tối ưu phải nhớ quay về giá. Bẫy nằm ở đơn vị: 500 nghìn đồng phải viết là 0,5 triệu đồng để đồng bộ với giá 14 triệu đồng.

1Cách 1. Lập hàm cầu bậc nhất rồi khảo sát doanh thu và lợi nhuận bằng đạo hàm

Định hướng. Viết hàm cầu là đường thẳng qua hai cặp (số lượng; giá), sau đó doanh thu và lợi nhuận đều là tam thức bậc hai hệ số dẫn đầu âm nên tìm giá trị lớn nhất bằng đạo hàm.

a) Gọi

x

là số ti vi bán ra trong một tuần,

p

(triệu đồng) là giá bán mỗi chiếc

x_{1} = 1000

ứng với

p_{1} = 14

;

x_{2} = 1100

ứng với

p_{2} = 13, 5

p - 14 = \frac{13 , 5 - 14}{1 100 - 1 000} (x - 1000) = - 0, 005 (x - 1000)

p = p (x) = 19 - 0, 005 x

Điều kiện

x \geq 0

và

p > 0

cho

0 \leq x < 3800

R (x) = x \cdot p (x) = 19 x - 0, 005 x^{2}

với

0 \leq x < 3800

R^{'} (x) = 19 - 0, 01 x

R^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1900

R (1900) = 19 \cdot 1900 - 0, 005 \cdot 190 0^{2} = 36100 - 18050 = 18050

$x$	$0$		$1900$		$3800$
$R^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$
$R (x)$	$0$	↗	$18050$	↘	$0$

p (1900) = 19 - 0, 005 \cdot 1900 = 9, 5

Mức giảm giá:

14 - 9, 5 = 4, 5

P (x) = R (x) - C (x) = 19 x - 0, 005 x^{2} - (12000 - 3 x)

P (x) = - 0, 005 x^{2} + 22 x - 12000

với

0 \leq x < 3800

P^{'} (x) = - 0, 01 x + 22

P^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 2200

P (2200) = - 0, 005 \cdot 220 0^{2} + 22 \cdot 2200 - 12000 = - 24200 + 48400 - 12000 = 12200

$x$	$0$		$2200$		$3800$
$P^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$
$P (x)$	$- 12000$	↗	$12200$	↘	$- 600$

p (2200) = 19 - 0, 005 \cdot 2200 = 8

Vậy a) hàm cầu là $p = 19 - 0, 005 x$ (triệu đồng) với $0 \leq x < 3800$ ; b) công ty nên giảm 4,5 triệu đồng mỗi chiếc, tức bán với giá 9,5 triệu đồng, khi đó bán được 1 900 chiếc và doanh thu lớn nhất là 18 050 triệu đồng mỗi tuần; c) nên đặt giá bán 8 triệu đồng một chiếc, khi đó bán được 2 200 chiếc và lợi nhuận lớn nhất là 12 200 triệu đồng, tức 12,2 tỉ đồng mỗi tuần.

2Cách 2. Đưa về dạng chính tắc, hoặc lấy giá bán làm ẩn và dùng bất đẳng thức AM-GM

Định hướng. Doanh thu và lợi nhuận đều là tam thức bậc hai nên chỉ cần đưa về dạng bình phương; còn nếu lấy chính giá bán làm ẩn thì doanh thu là tích hai số có tổng không đổi, áp dụng ngay bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân.

a) Cứ giảm

0, 5

triệu đồng thì bán thêm 100 chiếc, nên khi bán

x

chiếc:

p = 14 - 0, 5 \cdot \frac{x - 1 000}{100} = 14 - 0, 005 x + 5 = 19 - 0, 005 x

x = 200 (19 - p)

với

0 < p \leq 19

R = p \cdot x = 200 p (19 - p)

200 p (19 - p) \leq 200 (\frac{p + 19 - p}{2})^{2} = 200 \cdot (\frac{19}{2})^{2} = 18050

Dấu bằng khi

p = 19 - p

, tức

p = 9, 5

và

x = 200 (19 - 9, 5) = 1900

Mức giảm giá:

14 - 9, 5 = 4, 5

C = 12000 - 3 x = 12000 - 600 (19 - p) = 600 p + 600

P = R - C = 200 p (19 - p) - 600 p - 600

P = - 200 p^{2} + 3800 p - 600 p - 600 = - 200 p^{2} + 3200 p - 600

P = - 200 (p - 8)^{2} + 12200 \leq 12200

Dấu bằng khi

p = 8

, khi đó

x = 200 (19 - 8) = 2200

Vậy giá bán 9,5 triệu đồng cho doanh thu lớn nhất 18 050 triệu đồng, còn giá bán 8 triệu đồng cho lợi nhuận lớn nhất 12 200 triệu đồng mỗi tuần.

3Cách 3. Đặt ẩn là số lần giảm giá 500 nghìn đồng

Định hướng. Số liệu của đề cho theo từng 'lần giảm 500 nghìn đồng', nên lấy chính số lần ấy làm ẩn thì giá bán và số lượng đều là biểu thức bậc nhất rất gọn, không phải lập phương trình đường thẳng.

a) Gọi

k

là số lần giảm giá, mỗi lần

0, 5

triệu đồng
Giá bán:

p = 14 - 0, 5 k

(triệu đồng); số ti vi bán ra:

x = 1000 + 100 k

k = \frac{x - 1 000}{100}

nên

p = 14 - 0, 5 \cdot \frac{x - 1 000}{100} = 19 - 0, 005 x

Điều kiện

p > 0

cho

0 \leq k < 28

R (k) = (14 - 0, 5 k) (1000 + 100 k)

R (k) = 14000 + 1400 k - 500 k - 50 k^{2} = - 50 k^{2} + 900 k + 14000

R (k) = - 50 (k - 9)^{2} + 18050 \leq 18050

Dấu bằng khi

k = 9

Mức giảm giá:

0, 5 \cdot 9 = 4, 5

; giá bán

14 - 4, 5 = 9, 5

;

x = 1000 + 900 = 1900

C = 12000 - 3 (1000 + 100 k) = 9000 - 300 k

P (k) = R (k) - C = - 50 k^{2} + 900 k + 14000 - 9000 + 300 k

P (k) = - 50 k^{2} + 1200 k + 5000

P (k) = - 50 (k - 12)^{2} + 12200 \leq 12200

Dấu bằng khi

k = 12 \in [0; 28)

Giá bán:

14 - 0, 5 \cdot 12 = 8

;

x = 1000 + 1200 = 2200

Vậy với $k = 9$ lần giảm giá thì doanh thu lớn nhất 18 050 triệu đồng (giá 9,5 triệu đồng), còn với $k = 12$ lần giảm giá thì lợi nhuận lớn nhất 12 200 triệu đồng (giá 8 triệu đồng).

Nhận xét. Giá cho lợi nhuận lớn nhất (8 triệu đồng) thấp hơn giá cho doanh thu lớn nhất (9,5 triệu đồng), vì ở đây bán càng nhiều thì chi phí lại càng giảm; do đó hạ giá thêm để bán được nhiều hơn vẫn có lợi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: số liệu của đề vốn cho theo từng lần giảm 500 nghìn đồng nên đặt

k

là số lần giảm cho biểu thức gọn nhất, chỉ cần một hằng đẳng thức là xong cả ba ý mà không phải lập phương trình đường thẳng như Cách 1.

Đáp số. a)

p = 19 - 0, 005 x

(triệu đồng),

0 \leq x < 3800

. b) Giảm 4,5 triệu đồng (giá 9,5 triệu đồng), bán 1 900 chiếc, doanh thu lớn nhất 18 050 triệu đồng/tuần. c) Đặt giá 8 triệu đồng, bán 2 200 chiếc, lợi nhuận lớn nhất 12 200 triệu đồng/tuần.

Sai lầm thường gặp. Lập hàm cầu sai vì lấy 500 nghìn đồng làm 500 trong khi các số liệu khác tính bằng triệu đồng; hoặc ở câu c trả lời số lượng ti vi mà quên đổi ra giá bán như đề hỏi.

🚀 Mở rộng. Thử đổi hàm chi phí thành

C (x) = 12000 + 3 x

(chi phí tăng theo sản lượng, sát thực tế hơn): khi đó lợi nhuận lớn nhất đạt tại

x = 1600

với giá bán 11 triệu đồng — hãy kiểm tra và giải thích vì sao giá tối ưu lại cao hơn trường hợp trong đề.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 40

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 1.26★★★Trang 40— Ý nghĩa cơ học của đạo hàm — vận tốc, gia tốc, quãng đường

Bài 1.26 (trang 40). Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm

t

(giây) là

y = t^{3} - 12 t + 3

t \geq 0

.
a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.
b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?
c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian

0 \leq t \leq 3

.
d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

Kiến thức cần nhớ

Vận tốc tức thời $v (t) = y^{'} (t)$ ; gia tốc tức thời $a (t) = v^{'} (t) = y^{''} (t)$ .
$v (t) > 0$ thì hạt đi theo chiều dương, $v (t) < 0$ thì hạt đi ngược chiều dương.
Quãng đường đi được là tổng độ dài các chặng mà hạt đi theo một chiều, không phải hiệu hai toạ độ đầu cuối.
Hạt tăng tốc khi tốc độ $∣ v (t) ∣$ tăng, tức khi $v (t)$ và $a (t)$ cùng dấu.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hàm toạ độ theo thời gian và hỏi vận tốc, gia tốc — dấu hiệu của ý nghĩa cơ học của đạo hàm, chỉ việc lấy đạo hàm cấp một và cấp hai. Điều quyết định cả bài là nghiệm

t = 2

của

v (t) = 0

: nó chia trục thời gian thành hai chặng ngược chiều nhau, nên câu c phải cộng hai chặng chứ không lấy hiệu hai toạ độ. Bẫy thứ hai ở câu d: 'tăng tốc' nói về tốc độ

∣ v ∣

chứ không phải về vận tốc

v

, nên tiêu chuẩn là

v

và

a

cùng dấu.

1Cách 1. Dùng quy tắc đạo hàm, xét dấu vận tốc và lập bảng biến thiên của toạ độ

Định hướng. Đạo hàm cấp một cho vận tốc, đạo hàm cấp hai cho gia tốc; dấu của vận tốc quyết định chiều chuyển động, còn bảng biến thiên của toạ độ cho biết hạt đổi chiều ở đâu để cộng quãng đường theo từng chặng.

v (t) = y^{'} = 3 t^{2} - 12

(m/s)

a (t) = v^{'} (t) = 6 t

(m/s

^{2}

)

v (t) = 3 (t - 2) (t + 2)

t \geq 0

nên

t + 2 > 0

v (t) > 0 \Leftrightarrow t > 2

;

v (t) < 0 \Leftrightarrow 0 \leq t < 2

y (0) = 3

;

y (2) = 2^{3} - 12 \cdot 2 + 3 = - 13

;

y (3) = 3^{3} - 12 \cdot 3 + 3 = - 6

$t$	$0$		$2$		$3$
$v (t)$		$-$	$0$	$+$
$y$	$3$	↘	$- 13$	↗	$- 6$

s = ∣ y (2) - y (0) ∣ + ∣ y (3) - y (2) ∣

s = ∣ - 13 - 3 ∣ + ∣ - 6 - (- 13) ∣ = 16 + 7 = 23

v (t) \cdot a (t) = 3 (t^{2} - 4) \cdot 6 t = 18 t (t^{2} - 4)

t > 0

nên dấu của

v (t) a (t)

là dấu của

t^{2} - 4

v (t) a (t) > 0 \Leftrightarrow t > 2

;

v (t) a (t) < 0 \Leftrightarrow 0 < t < 2

Vậy a) $v (t) = 3 t^{2} - 12$ (m/s) và $a (t) = 6 t$ (m/s $^{2}$ ); b) hạt chuyển động lên trên khi $t > 2$ , chuyển động xuống dưới khi $0 \leq t < 2$ ; c) quãng đường đi được trong $0 \leq t \leq 3$ là 23 m; d) hạt tăng tốc khi $t > 2$ và giảm tốc khi $0 < t < 2$ .

2Cách 2. Dùng định nghĩa tốc độ thay đổi tức thời, phân tích thành nhân tử và hàm tốc độ bình phương

Định hướng. Lập trực tiếp tỉ số tốc độ thay đổi trung bình rồi cho số gia tiến về 0 để có vận tốc và gia tốc; sau đó dùng hằng đẳng thức để chặn toạ độ và dùng hàm $v^{2}$ để nhận biết lúc tốc độ tăng hay giảm.

\frac{y ( t + h ) - y ( t )}{h} = \frac{3 t ^{2} h + 3 t h ^{2} + h ^{3} - 12 h}{h} = 3 t^{2} + 3 t h + h^{2} - 12

v (t) = h \to 0 lim (3 t^{2} + 3 t h + h^{2} - 12) = 3 t^{2} - 12

(m/s)

\frac{v ( t + h ) - v ( t )}{h} = \frac{3 ( 2 t h + h ^{2} )}{h} = 6 t + 3 h

a (t) = h \to 0 lim (6 t + 3 h) = 6 t

(m/s

^{2}

)

v (t) = 3 (t - 2) (t + 2)

và

t + 2 > 0

với

t \geq 0

Dấu của

v (t)

là dấu của

t - 2

y (t) + 13 = t^{3} - 12 t + 16 = (t - 2)^{2} (t + 4) \geq 0

với mọi

t \geq 0

y (t) \geq - 13

, dấu bằng chỉ tại

t = 2

Hạt đi từ

y = 3

xuống điểm thấp nhất

y = - 13

rồi quay lên

y = - 6

s = (3 + 13) + (- 6 + 13) = 16 + 7 = 23

d) Đặt

w (t) = v (t)^{2} = (3 t^{2} - 12)^{2}

w^{'} (t) = 2 v (t) v^{'} (t) = 2 \cdot 3 (t^{2} - 4) \cdot 6 t = 36 t (t^{2} - 4)

w^{'} (t) > 0 \Leftrightarrow t > 2

;

w^{'} (t) < 0 \Leftrightarrow 0 < t < 2

w

tăng thì

∣ v ∣

tăng,

w

giảm thì

∣ v ∣

giảm

Vậy hạt chuyển động xuống dưới và chậm dần khi $0 < t < 2$ , chuyển động lên trên và nhanh dần khi $t > 2$ ; quãng đường đi được trong 3 giây đầu là 23 m.

3Cách 3. Đổi mốc thời gian về thời điểm hạt đổi chiều

Định hướng. Hạt đổi chiều tại giây thứ hai, nên đặt $u = t - 2$ để lấy chính thời điểm ấy làm mốc; mọi biểu thức lập tức phân tích được thành nhân tử và dấu của chúng chỉ còn phụ thuộc dấu của $u$ .

Đặt

u = t - 2

t \geq 0 \Leftrightarrow u \geq - 2

y = (u + 2)^{3} - 12 (u + 2) + 3 = u^{3} + 6 u^{2} + 12 u + 8 - 12 u - 24 + 3

y = u^{3} + 6 u^{2} - 13

v = 3 u^{2} + 12 u = 3 u (u + 4)

;

a = 6 u + 12 = 6 (u + 2) = 6 t

v = 3 (t - 2) (t + 2) = 3 t^{2} - 12

(m/s) ;

a = 6 t

(m/s

^{2}

)

u \geq - 2

nên

u + 4 > 0

, dấu của

v

là dấu của

u

v > 0 \Leftrightarrow u > 0 \Leftrightarrow t > 2

;

v < 0 \Leftrightarrow - 2 \leq u < 0 \Leftrightarrow 0 \leq t < 2

y + 13 = u^{3} + 6 u^{2} = u^{2} (u + 6) \geq 0

với mọi

u \geq - 2

y \geq - 13

, dấu bằng chỉ khi

u = 0

0 \leq t \leq 3 \Leftrightarrow - 2 \leq u \leq 1

y (u = - 2) = - 8 + 24 - 13 = 3

;

y (u = 1) = 1 + 6 - 13 = - 6

s = (3 + 13) + (- 6 + 13) = 16 + 7 = 23

v \cdot a = 3 u (u + 4) \cdot 6 (u + 2) = 18 u (u + 4) (u + 2)

u \geq - 2

nên

(u + 4) (u + 2) \geq 0

, dấu của

v \cdot a

là dấu của

u

v \cdot a > 0 \Leftrightarrow t > 2

;

v \cdot a < 0 \Leftrightarrow 0 < t < 2

Vậy cả bốn ý đều quy về dấu của $u = t - 2$ : trước giây thứ hai hạt đi xuống và chậm dần, sau giây thứ hai hạt đi lên và nhanh dần; quãng đường trong 3 giây đầu là 23 m.

Nhận xét. Độ dịch chuyển trong 3 giây chỉ là $y (3) - y (0) = - 9$ m, nhỏ hơn hẳn quãng đường 23 m, vì hạt đã đổi chiều một lần tại $t = 2$ ; đây là chỗ dễ nhầm nhất của bài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lấy đạo hàm rồi lập bảng biến thiên của toạ độ là con đường ngắn nhất và bảng ấy trả lời được cả ba ý b, c, d; Cách 3 rất sáng nhưng mất thêm một bước khai triển.

Đáp số. a)

v (t) = 3 t^{2} - 12

(m/s),

a (t) = 6 t

(m/s

^{2}

). b) Lên trên khi

t > 2

, xuống dưới khi

0 \leq t < 2

. c) 23 m. d) Tăng tốc khi

t > 2

, giảm tốc khi

0 < t < 2

Sai lầm thường gặp. Lấy hiệu hai toạ độ đầu và cuối (

∣ y (3) - y (0) ∣ = 9

m) làm quãng đường, quên rằng hạt đổi chiều tại

t = 2

; hoặc nhầm 'tăng tốc' với 'vận tốc dương' trong khi tăng tốc là tốc độ tăng, tức

v

và

a

cùng dấu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát với

y = t^{3} - 3 c^{2} t + d

t \geq 0

: hạt luôn đổi chiều đúng một lần tại

t = c

và quãng đường trong khoảng

0 \leq t \leq T

(với

T > c

) bằng

4 c^{3} + (T^{3} - 3 c^{2} T)

— thử kiểm tra với

c = 2

T = 3

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 40

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 1.27★★Trang 41— Chi phí biên — ý nghĩa kinh tế của đạo hàm

Bài 1.27 (trang 41). Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất

x

đơn vị hàng hoá nào đó là

C (x) = 23000 + 50 x - 0, 5 x^{2} + 0, 00175 x^{3}

.
a) Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm

C^{'} (100)

và giải thích ý nghĩa của nó.
c) So sánh

C^{'} (100)

với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101.

Kiến thức cần nhớ

Chi phí biên là đạo hàm $C^{'} (x)$ của hàm chi phí $C (x)$ .
$C^{'} (x)$ xấp xỉ chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá, tức đơn vị thứ $x + 1$ .
Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ $x + 1$ đúng bằng $C (x + 1) - C (x)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cụm từ 'chi phí biên' trong đề là dấu hiệu trực tiếp của đạo hàm hàm chi phí, không cần suy nghĩ thêm. Câu c yêu cầu so sánh nên phải hiểu rõ hai đại lượng khác nhau:

C^{'} (100)

là chi phí biên (giá trị xấp xỉ) còn

C (101) - C (100)

là chi phí thực. Bẫy tính toán nằm ở hệ số 0,00175: đạo hàm của

0, 00175 x^{3}

là

0, 00525 x^{2}

chứ không phải

0, 00325 x^{2}

, và

10 1^{3} = 1030301

phải tính thật cẩn thận.

1Cách 1. Dùng quy tắc đạo hàm rồi tính trực tiếp hai giá trị của hàm chi phí

Định hướng. Chi phí biên chính là đạo hàm của hàm chi phí; để so sánh với chi phí thực của đơn vị thứ 101 ta tính hai giá trị $C (100)$ , $C (101)$ rồi lấy hiệu.

C (x) = 23000 + 50 x - 0, 5 x^{2} + 0, 00175 x^{3}

C^{'} (x) = 50 - x + 0, 00525 x^{2}

C^{'} (100) = 50 - 100 + 0, 00525 \cdot 10 0^{2}

C^{'} (100) = 50 - 100 + 52, 5 = 2, 5

C (100) = 23000 + 50 \cdot 100 - 0, 5 \cdot 10 0^{2} + 0, 00175 \cdot 10 0^{3}

C (100) = 23000 + 5000 - 5000 + 1750 = 24750

C (101) = 23000 + 50 \cdot 101 - 0, 5 \cdot 10 1^{2} + 0, 00175 \cdot 10 1^{3}

C (101) = 23000 + 5050 - 5100, 5 + 1803, 02675 = 24752, 52675

C (101) - C (100) = 24752, 52675 - 24750 = 2, 52675

2, 52675 - 2, 5 = 0, 02675

Vậy a) hàm chi phí biên là $C^{'} (x) = 50 - x + 0, 00525 x^{2}$ ; b) $C^{'} (100) = 2, 5$ trăm nghìn đồng, nghĩa là khi đang sản xuất 100 đơn vị hàng hoá thì chi phí để sản xuất thêm một đơn vị nữa vào khoảng 2,5 trăm nghìn đồng, tức 250 nghìn đồng; c) chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101 là $C (101) - C (100) = 2, 52675$ trăm nghìn đồng, chỉ lớn hơn $C^{'} (100)$ đúng 0,02675 trăm nghìn đồng nên hai giá trị này xấp xỉ nhau.

2Cách 2. Dùng định nghĩa tốc độ thay đổi tức thời và công thức tổng quát cho chi phí một đơn vị

Định hướng. Lập tỉ số tốc độ thay đổi trung bình của chi phí trên đoạn $[x; x + h]$ rồi cho $h \to 0$ để có chi phí biên; cho $h = 1$ trong chính tỉ số ấy sẽ được ngay chi phí của đơn vị hàng hoá tiếp theo mà không phải tính riêng hai giá trị lớn.

C (x + h) - C (x) = 50 h - 0, 5 (2 x h + h^{2}) + 0, 00175 (3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})

\frac{C ( x + h ) - C ( x )}{h} = 50 - x - 0, 5 h + 0, 00175 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})

C^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{C ( x + h ) - C ( x )}{h} = 50 - x + 0, 00525 x^{2}

C^{'} (100) = 50 - 100 + 0, 00525 \cdot 10000 = 2, 5

c) Cho

h = 1

C (x + 1) - C (x) = 50 - x - 0, 5 + 0, 00175 (3 x^{2} + 3 x + 1)

C (101) - C (100) = 50 - 100 - 0, 5 + 0, 00175 (30000 + 300 + 1)

C (101) - C (100) = - 50, 5 + 0, 00175 \cdot 30301 = - 50, 5 + 53, 02675 = 2, 52675

[C (x + 1) - C (x)] - C^{'} (x) = 0, 00525 x - 0, 49825

Tại

x = 100

0, 525 - 0, 49825 = 0, 02675

Vậy chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101 là 2,52675 trăm nghìn đồng, xấp xỉ chi phí biên $C^{'} (100) = 2, 5$ trăm nghìn đồng, sai lệch chỉ 0,02675 trăm nghìn đồng, tức khoảng 2 675 đồng.

3Cách 3. Khai triển hàm chi phí theo số gia quanh mức sản xuất 100 đơn vị

Định hướng. Đặt $x = 100 + u$ rồi khai triển: hệ số của $u$ chính là chi phí biên tại 100, còn các số hạng bậc cao hơn cho biết chính xác chi phí thực của đơn vị tiếp theo lệch bao nhiêu so với chi phí biên.

Đặt

x = 100 + u

50 (100 + u) = 5000 + 50 u

- 0, 5 (100 + u)^{2} = - 0, 5 (10000 + 200 u + u^{2}) = - 5000 - 100 u - 0, 5 u^{2}

0, 00175 (100 + u)^{3} = 0, 00175 (1000000 + 30000 u + 300 u^{2} + u^{3})

= 1750 + 52, 5 u + 0, 525 u^{2} + 0, 00175 u^{3}

C (100 + u) = 24750 + 2, 5 u + 0, 025 u^{2} + 0, 00175 u^{3}

C^{'} (x) = 50 - x + 0, 00525 x^{2}

C^{'} (100) = u \to 0 lim \frac{C ( 100 + u ) - C ( 100 )}{u} = u \to 0 lim (2, 5 + 0, 025 u + 0, 00175 u^{2}) = 2, 5

u = 1

C (101) - C (100) = 2, 5 + 0, 025 + 0, 00175 = 2, 52675

C (101) - C (100) - C^{'} (100) = 0, 025 + 0, 00175 = 0, 02675

Vậy hệ số bậc nhất của khai triển đúng bằng chi phí biên $C^{'} (100) = 2, 5$ trăm nghìn đồng; chi phí thực của đơn vị hàng hoá thứ 101 là 2,52675 trăm nghìn đồng, chỉ hơn chi phí biên đúng phần đóng góp $0, 025 + 0, 00175 = 0, 02675$ của hai số hạng bậc cao.

Nhận xét. Công thức $[C (x + 1) - C (x)] - C^{'} (x) = 0, 00525 x - 0, 49825$ cho thấy sai lệch giữa chi phí biên và chi phí thực của đơn vị tiếp theo rất nhỏ quanh $x = 95$ và lớn dần khi $x$ tăng; đó chính là lí do nhà kinh tế dùng $C^{'} (x)$ thay cho $C (x + 1) - C (x)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a, b vì nhanh nhất, nhưng câu c nên dùng công thức tổng quát ở Cách 2 để khỏi phải tính

10 1^{3}

— chỉ cần thay

x = 100

vào

50 - x - 0, 5 + 0, 00175 (3 x^{2} + 3 x + 1)

Đáp số. a)

C^{'} (x) = 50 - x + 0, 00525 x^{2}

. b)

C^{'} (100) = 2, 5

trăm nghìn đồng (250 nghìn đồng) — chi phí xấp xỉ để sản xuất thêm đơn vị hàng hoá thứ 101. c)

C (101) - C (100) = 2, 52675

trăm nghìn đồng, xấp xỉ

C^{'} (100)

Sai lầm thường gặp. Đạo hàm sai hệ số của

x^{3}

(lấy

0, 00175 \cdot 3 = 0, 00325

thay vì

0, 00525

); hoặc hiểu

C^{'} (100)

là chi phí của đơn vị thứ 100 trong khi đó là chi phí xấp xỉ của đơn vị thứ 101.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với mọi hàm chi phí đa thức bậc ba ta luôn có

C (x + 1) - C (x) = C^{'} (x) + \frac{C ^{''} ( x )}{2} + \frac{C ^{'''} ( x )}{6}

— thử kiểm tra hệ thức này với

x = 100

của bài (được đúng

2, 5 + 0, 025 + 0, 00175

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 1.28★★★Trang 41— Tối ưu hoá doanh thu cho thuê

Bài 1.28 (trang 41). Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Kiến thức cần nhớ

Doanh thu bằng giá thuê một căn hộ nhân với số căn hộ có người thuê.
Chọn ẩn là số lần tăng giá hoặc chính giá thuê, luôn kèm điều kiện để số căn hộ cho thuê không âm.
Với hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số bằng nhau (bất đẳng thức AM-GM).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một mốc chuẩn (8 triệu đồng thì thuê hết 100 căn) và một quy luật đánh đổi đều đặn (tăng 100 nghìn đồng thì mất một khách) — dấu hiệu của bài tối ưu hoá doanh thu với hàm mục tiêu bậc hai. Chọn ẩn là số lần tăng giá cho biểu thức đẹp nhất, còn chọn ẩn là giá thuê thì trả lời được ngay câu hỏi. Bẫy nằm ở đơn vị: 100 nghìn đồng phải viết thành 0,1 triệu đồng, và phải kèm điều kiện số căn hộ cho thuê không âm.

1Cách 1. Đặt ẩn là số lần tăng giá rồi khảo sát hàm doanh thu bằng đạo hàm

Định hướng. Mỗi lần tăng 100 nghìn đồng lại mất một khách thuê, nên lấy số lần tăng giá làm ẩn thì doanh thu là một tam thức bậc hai trên đoạn $[0; 100]$ .

Gọi

n

là số lần tăng giá thuê, mỗi lần

0, 1

triệu đồng
Giá thuê một căn hộ:

8 + 0, 1 n

(triệu đồng); số căn hộ có người thuê:

100 - n

Điều kiện:

0 \leq n \leq 100

R (n) = (8 + 0, 1 n) (100 - n)

R (n) = 800 - 8 n + 10 n - 0, 1 n^{2} = - 0, 1 n^{2} + 2 n + 800

R^{'} (n) = - 0, 2 n + 2

R^{'} (n) = 0 \Leftrightarrow n = 10

R (10) = - 0, 1 \cdot 100 + 20 + 800 = 810

R (0) = 800

;

R (100) = - 1000 + 200 + 800 = 0

$n$	$0$		$10$		$100$
$R^{'} (n)$		$+$	$0$	$-$
$R (n)$	$800$	↗	$810$	↘	$0$

8 + 0, 1 \cdot 10 = 9

;

100 - 10 = 90

Vậy người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là 9 triệu đồng một tháng; khi đó có 90 căn hộ được thuê và doanh thu lớn nhất là 810 triệu đồng một tháng.

2Cách 2. Lấy giá thuê làm ẩn và dùng bất đẳng thức AM-GM

Định hướng. Đề hỏi thẳng giá thuê nên lấy luôn giá thuê làm ẩn; khi đó doanh thu là tích của hai biểu thức bậc nhất có tổng không đổi và bất đẳng thức AM-GM cho ngay giá trị lớn nhất, không cần đạo hàm.

Gọi

p

(triệu đồng) là giá thuê mỗi căn hộ một tháng,

p \geq 8

Số lần tăng giá:

\frac{p - 8}{0 , 1} = 10 (p - 8)

Số căn hộ có người thuê:

100 - 10 (p - 8) = 180 - 10 p

Điều kiện:

180 - 10 p \geq 0

nên

8 \leq p \leq 18

R (p) = p (180 - 10 p) = 10 p (18 - p)

10 p (18 - p) \leq 10 (\frac{p + 18 - p}{2})^{2} = 10 \cdot 81 = 810

Dấu bằng khi

p = 18 - p

, tức

p = 9 \in [8; 18]

180 - 10 \cdot 9 = 90

Vậy giá thuê 9 triệu đồng một tháng cho doanh thu lớn nhất là 810 triệu đồng một tháng, với 90 căn hộ được thuê.

3Cách 3. Coi doanh thu là một dãy số và xét hiệu hai số hạng liên tiếp

Định hướng. Số lần tăng giá vốn là số nguyên nên doanh thu thực chất là một dãy số; so sánh hai số hạng liên tiếp sẽ biết doanh thu còn tăng tới đâu và bắt đầu giảm từ đâu, hoàn toàn không cần đạo hàm.

Gọi

n

là số lần tăng giá,

n

nguyên,

0 \leq n \leq 100

R (n) = (8 + 0, 1 n) (100 - n) = - 0, 1 n^{2} + 2 n + 800

R (n + 1) - R (n) = - 0, 1 [(n + 1)^{2} - n^{2}] + 2 = - 0, 1 (2 n + 1) + 2

R (n + 1) - R (n) = 1, 9 - 0, 2 n

R (n + 1) - R (n) > 0 \Leftrightarrow n < 9, 5 \Leftrightarrow n \leq 9

R (n + 1) - R (n) < 0 \Leftrightarrow n \geq 10

R (0) < R (1) < \dots < R (10)

và

R (10) > R (11) > \dots > R (100)

R (10) = 810

;

R (9) = R (11) = 809, 9

Vậy dãy doanh thu tăng tới số hạng thứ 10 rồi giảm, nên giá thuê 9 triệu đồng một tháng cho doanh thu lớn nhất là 810 triệu đồng một tháng.

Nhận xét. Tăng giá thêm 1 triệu đồng làm mất 10 khách thuê nhưng doanh thu vẫn tăng từ 800 lên 810 triệu đồng; tăng tiếp nữa thì số căn hộ bỏ trống nhiều đến mức doanh thu bắt đầu giảm, và nếu đặt giá 18 triệu đồng thì không còn ai thuê. Cách 3 là cách chặt chẽ nhất vì tôn trọng tính nguyên của số lần tăng giá; ở đây nghiệm 10 vốn đã nguyên nên ba cách cho cùng đáp số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: lấy giá thuê làm ẩn nên vừa dùng bất đẳng thức AM-GM xong là đọc ngay đáp số mà đề hỏi, cả bài chỉ ba dòng và không cần bảng biến thiên.

Đáp số. Giá thuê 9 triệu đồng một tháng; khi đó 90 căn hộ có người thuê và doanh thu lớn nhất là 810 triệu đồng một tháng.

Sai lầm thường gặp. Đổi đơn vị sai (lấy 100 nghìn đồng là 100 trong khi giá thuê tính bằng triệu đồng); hoặc quên điều kiện số căn hộ cho thuê không âm nên không kiểm tra được hai đầu mút của đoạn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu có

N

căn hộ, giá gốc

p_{0}

và cứ tăng thêm

a

thì mất một khách thì doanh thu lớn nhất đạt tại giá

p = \frac{p _{0} + a N}{2}

— với

N = 100

p_{0} = 8

a = 0, 1

được đúng

p = 9

triệu đồng.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 1.29★★★Trang 41— Hàm cầu ngược — khảo sát hàm phân thức và ý nghĩa của giới hạn

Bài 1.29 (trang 41). Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hoá được cho bởi công thức

p = \frac{354}{1 + 0 , 01 x}

x \geq 0

, trong đó

p

là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và

x

là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.
a) Tìm công thức tính

x

như là hàm số của

p

. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

x = x (p)

. Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết: số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán

p

tăng; ý nghĩa thực tiễn của giới hạn

p \to 0^{+} lim x (p)

Kiến thức cần nhớ

Từ $p = \frac{354}{1 + 0 , 01 x}$ giải ngược ra $x$ theo $p$ ; tập xác định lấy từ điều kiện thực tế $x \geq 0$ .
Hàm $x (p) = \frac{35 400}{p} - 100$ có đạo hàm $x^{'} (p) = - \frac{35 400}{p ^{2}} < 0$ nên luôn nghịch biến.
$p \to 0^{+} lim x (p) = + \infty$ nghĩa là đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

p

theo

x

rồi bắt tìm

x

theo

p

— đây là bài về hàm ngược, nên tập xác định của hàm mới phải lấy từ tập giá trị của hàm cũ chứ không chỉ nhìn mẫu số khác 0. Hàm thu được có dạng

\frac{A}{p} + B

nên chắc chắn nghịch biến và có tiệm cận đứng

p = 0

. Bẫy lớn nhất là kết luận tập xác định

(0; + \infty)

mà quên điều kiện thực tế

x \geq 0

, dẫn tới

p \leq 354

1Cách 1. Giải ngược hàm cầu rồi khảo sát bằng đạo hàm

Định hướng. Từ công thức của $p$ rút ra $x$ theo $p$ , lấy điều kiện $x \geq 0$ làm tập xác định, rồi dùng đạo hàm và giới hạn để có bảng biến thiên cùng tiệm cận.

p = \frac{354}{1 + 0 , 01 x}

với

x \geq 0

p (1 + 0, 01 x) = 354

1 + 0, 01 x = \frac{354}{p}

0, 01 x = \frac{354}{p} - 1

x = x (p) = \frac{35 400}{p} - 100 = \frac{100 ( 354 - p )}{p}

x \geq 0 \Leftrightarrow 354 - p \geq 0

(do

p > 0

)

\Leftrightarrow p \leq 354

Tập xác định:

D = (0; 354]

x (240) = \frac{35 400}{240} - 100 = 147, 5 - 100 = 47, 5

x^{'} (p) = - \frac{35 400}{p ^{2}} < 0

với mọi

p \in (0; 354]

p \to 0^{+} lim x (p) = p \to 0^{+} lim (\frac{35 400}{p} - 100) = + \infty

Đồ thị có tiệm cận đứng

p = 0

x (354) = \frac{35 400}{354} - 100 = 100 - 100 = 0

$p$	$0$		$354$
$x^{'} (p)$		$-$
$x (p)$	$+ \infty$	↘	$0$

Vậy a) $x (p) = \frac{35 400}{p} - 100$ với tập xác định $D = (0; 354]$ ; khi giá bán mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng thì bán được $x = 47, 5$ đơn vị sản phẩm, trên thực tế là khoảng 47 đơn vị; b) hàm số nghịch biến trên $(0; 354]$ , đồ thị là một nhánh hypebol đi xuống từ rất cao và cắt trục hoành tại $p = 354$ , nên giá bán càng tăng thì số sản phẩm bán được càng giảm, tới mức giá 354 nghìn đồng thì không bán được đơn vị nào; $p \to 0^{+} lim x (p) = + \infty$ có nghĩa là giá bán càng rẻ, tiến gần về 0 thì lượng hàng bán ra càng lớn, tăng lên vô hạn.

2Cách 2. Dùng tính nghịch biến của hàm nghịch đảo và phép tịnh tiến đồ thị (không dùng đạo hàm)

Định hướng. Viết $x (p)$ dưới dạng một bội của $\frac{1}{p}$ trừ đi hằng số; hàm $\frac{1}{p}$ đã biết là nghịch biến trên $(0; + \infty)$ nên đồ thị chỉ là hypebol quen thuộc tịnh tiến xuống dưới.

p = 240 \Rightarrow 1 + 0, 01 x = \frac{354}{240} = 1, 475

0, 01 x = 0, 475

x = 47, 5

Tổng quát:

x = 100 (\frac{354}{p} - 1) = \frac{100 ( 354 - p )}{p}

x \geq 0

và

p > 0

cho

D = (0; 354]

x (p) = 35400 \cdot \frac{1}{p} - 100

Với

0 < p_{1} < p_{2} \leq 354

thì

\frac{1}{p _{1}} > \frac{1}{p _{2}}

35400 \cdot \frac{1}{p _{1}} - 100 > 35400 \cdot \frac{1}{p _{2}} - 100

, tức

x (p_{1}) > x (p_{2})

Hàm số nghịch biến trên

(0; 354]

Đồ thị nhận được từ nhánh

p > 0

của hypebol

y = \frac{35 400}{p}

sau phép tịnh tiến xuống dưới 100 đơn vị, nên có tiệm cận đứng

p = 0

và tiệm cận ngang

y = - 100

Phần đồ thị ứng với bài toán là cung đi từ rất cao xuống điểm

(354; 0)

Vậy số lượng sản phẩm bán được giảm khi giá bán tăng, bằng 0 khi giá đạt 354 nghìn đồng; còn $p \to 0^{+} lim x (p) = + \infty$ cho biết nếu giá bán hạ xuống gần bằng 0 thì lượng cầu sẽ tăng vô hạn — mô hình chỉ phản ánh đúng thực tế với mức giá không quá thấp.

3Cách 3. Khảo sát hàm cầu ban đầu rồi suy ra cho hàm ngược

Định hướng. Hai hàm $p = p (x)$ và $x = x (p)$ là hàm ngược của nhau, nên chỉ cần khảo sát hàm đã cho theo $x$ : tập giá trị của nó chính là tập xác định của hàm ngược, và tính nghịch biến cũng được bảo toàn.

p (x) = \frac{354}{1 + 0 , 01 x}

với

x \geq 0

p^{'} (x) = \frac{- 354 \cdot 0 , 01}{( 1 + 0 , 01 x ) ^{2}} = \frac{- 3 , 54}{( 1 + 0 , 01 x ) ^{2}} < 0

p

nghịch biến trên

[0; + \infty)

p (0) = 354

và

x \to + \infty lim p (x) = 0

Tập giá trị của

p

là

(0; 354]

, đó chính là tập xác định của hàm ngược

\frac{354}{1 + 0 , 01 x} = 240 \Leftrightarrow 1 + 0, 01 x = \frac{354}{240} = 1, 475

0, 01 x = 0, 475 \Leftrightarrow x = 47, 5

p

nghịch biến trên

[0; + \infty)

nên hàm ngược

x = x (p)

cũng nghịch biến trên

(0; 354]

x \to + \infty lim p (x) = 0

tương đương với

p \to 0^{+} lim x (p) = + \infty

p (0) = 354

tương đương với

x (354) = 0

Đồ thị của

x = x (p)

đối xứng với đồ thị của

p = p (x)

qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Vậy tập xác định của hàm ngược là $(0; 354]$ , hàm nghịch biến trên đó nên giá càng cao thì bán được càng ít; giới hạn $p \to 0^{+} lim x (p) = + \infty$ phản ánh đúng việc $p (x)$ tiến về 0 khi lượng hàng bán ra tăng vô hạn — tức là hàng gần như cho không thì nhu cầu không có giới hạn.

Nhận xét. Kết quả $x = 47, 5$ ở câu a không phải số nguyên vì mô hình dùng hàm liên tục để mô tả một đại lượng vốn rời rạc; trong thực tế ta hiểu là bán được khoảng 47 đến 48 đơn vị sản phẩm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: biến đổi thẳng ra

x = \frac{35 400}{p} - 100

rồi lấy đạo hàm là con đường ngắn và an toàn nhất, đồng thời tập xác định hiện ra ngay từ điều kiện

x \geq 0

Đáp số. a)

x (p) = \frac{35 400}{p} - 100

D = (0; 354]

; với

p = 240

thì

x = 47, 5

đơn vị sản phẩm. b) Hàm số nghịch biến trên

(0; 354]

nên giá càng tăng lượng bán càng giảm;

p \to 0^{+} lim x (p) = + \infty

nghĩa là giá càng gần 0 thì lượng cầu tăng vô hạn.

Sai lầm thường gặp. Ghi tập xác định là

(0; + \infty)

vì chỉ nhìn mẫu số mà quên điều kiện thực tế

x \geq 0

dẫn tới

p \leq 354

; hoặc kết luận đồ thị có tiệm cận ngang

y = 0

trong khi tiệm cận ngang của hàm là

y = - 100

🚀 Mở rộng. Tổng quát với hàm cầu

p = \frac{A}{1 + k x}

: hàm ngược là

x = \frac{A - p}{k p}

, xác định trên

(0; A]

và luôn nghịch biến — số

A

chính là mức giá làm cho không bán được đơn vị hàng hoá nào.

Nguồn: SGK Toán 12 — KNTT, tập 1, trang 41

Mở bài này trong app ↗