Bài 6. Vectơ trong không gian

Định hướng. Định nghĩa vectơ chỉ cần một đoạn thẳng và một hướng, không hề đòi hỏi mọi thứ phải nằm trong một mặt phẳng, nên cứ kiểm tra xem không gian có thiếu thứ gì không.

Vậy trong không gian ta vẫn dùng được vectơ để biểu diễn các đại lượng có hướng.

Định hướng. Muốn so sánh phép toán ở hai nơi, hãy chứng tỏ mọi phép toán trong không gian thực chất chỉ diễn ra trên một mặt phẳng nào đó.

Vậy mọi phép cộng, trừ, nhân với một số của HAI vectơ trong không gian đều thực hiện y hệt như trong mặt phẳng.

Định hướng. Chỗ khác nhau chỉ lộ ra khi có từ BA vectơ trở lên, vì ba vectơ trong mặt phẳng luôn đồng phẳng còn trong không gian thì không.

Vậy phép toán vectơ trong không gian GIỐNG hoàn toàn trong mặt phẳng về định nghĩa và tính chất, chỉ KHÁC ở chỗ có thêm quy tắc hình hộp cho ba vectơ không đồng phẳng.

Nhận xét. Đây chính là mạch của cả Bài 6: định nghĩa lại từng phép toán y như lớp 10, rồi bổ sung đúng một công cụ mới là quy tắc hình hộp.

Định hướng. Mũi tên và độ dài là hai thông tin tách rời nhau, cứ đọc lần lượt từng thông tin.

Vậy các đoạn thẳng cho biết đồng thời hướng và độ lớn của bốn lực căng dây.

Định hướng. Muốn biết bốn đoạn thẳng có đồng phẳng hay không, hãy nhìn bốn điểm buộc dây trên kiện hàng chứ đừng nhìn bốn mũi tên.

Vậy bốn đoạn thẳng đó KHÔNG cùng nằm trong một mặt phẳng.

Định hướng. Giả sử điều ngược lại rồi tìm mâu thuẫn — cách này chặn được mọi lập luận "nhìn hình".

Vậy giả sử là sai, bốn đoạn thẳng không đồng phẳng.

Nhận xét. Đúng vì bốn dây không đồng phẳng nên chúng mới giữ được kiện hàng cân bằng; nếu bốn dây cùng một mặt phẳng thì kiện hàng sẽ lắc theo phương vuông góc với mặt phẳng ấy.

Định hướng. Vật lí là kho ví dụ sẵn có nhất; cứ điểm lại các đại lượng đã học có kèm chữ "hướng".

Vậy tất cả các đại lượng trên đều biểu diễn được bằng vectơ trong không gian.

Định hướng. Thay vì cố nhớ, hãy lấy tiêu chí "có hướng và có độ lớn" đem thử vào các đại lượng quanh mình.

Vậy mọi đại lượng qua được tiêu chí đều biểu diễn bằng vectơ trong không gian.

Định hướng. Bản thân phép dời chỗ của một vật đã là một vectơ; cứ tìm các chuyển động trong không gian là có ví dụ.

Vậy độ dịch chuyển của mọi vật chuyển động trong không gian đều là một ví dụ.

Nhận xét. Ba cách trên cho ba "mỏ" ví dụ khác nhau: mỏ Vật lí, mỏ tiêu chí, mỏ chuyển động — nhớ ba mỏ này thì không bao giờ bí ví dụ.

Định hướng. Cứ soi xem hai đầu mút của mỗi vectơ có nằm trên mặt $(ABCD)$ không, rồi tính từng độ dài theo cạnh $a$ của hình lập phương.

Vậy a) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$; b) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$.

Định hướng. Hai đường chéo của hai hình vuông bằng nhau thì bằng nhau — khỏi cần tính căn bậc hai.

Vậy hai vectơ có cùng độ dài là $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$.

Định hướng. Gắn hệ toạ độ vào ba cạnh cùng xuất phát từ $A$ thì mọi câu hỏi về giá và độ dài đều thành phép tính số học.

Vậy $AC=A{D}^{\prime }=\sqrt{2}$ còn $AD=1$, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 là bản xem trước của Bài 7; nó biến mọi câu hỏi hình học không gian thành phép tính, rất đáng tập làm quen ngay từ bây giờ.

Định hướng. Không so sánh trực tiếp $AB$ với $D^{\prime }{C}^{\prime }$ vì chúng ở hai mặt khác nhau, hãy đi vòng qua cạnh $DC$ là cạnh chung của hai mặt ấy.

Vậy $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}|$, hai giá song song, hai vectơ cùng phương và cùng hướng.

Định hướng. Cả hình hộp được sinh ra bằng cách tịnh tiến mặt $ABCD$ theo vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, mà tịnh tiến thì bảo toàn độ dài và hướng.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ bằng nhau, nên đương nhiên cùng độ dài, cùng phương, cùng hướng.

Định hướng. Muốn khẳng định hai vectơ bằng nhau, cách gọn nhất là chỉ ra tứ giác nối bốn đầu mút là hình bình hành.

Vậy $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$, trả lời trọn vẹn cả ba câu a, b, c.

Nhận xét. Ba cách ứng với ba con đường quen thuộc: đi bộ qua cạnh trung gian, dùng phép biến hình, và dùng đại số vectơ. Càng lên cao thì cách thứ ba càng lợi vì nó viết được ngay thành một dòng.

Định hướng. Đưa quan hệ bằng nhau của vectơ về quan hệ bằng nhau của số và quan hệ cùng hướng, hai thứ đều đã biết là bắc cầu được.

Vậy $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$.

Định hướng. Sách khẳng định: với mỗi điểm $O$ và mỗi vectơ cho trước, có DUY NHẤT điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{OM}$ bằng vectơ ấy — tính duy nhất này giải quyết bài toán.

Vậy hai vectơ đó bằng nhau.

Định hướng. Lấy hình hộp làm mô hình để thấy kết luận vận hành đúng như thế nào trong không gian.

Vậy kết luận bắc cầu được kiểm chứng đúng trên mô hình.

Nhận xét. Cách 3 không thay được chứng minh, nhưng rất đáng làm để tin vào kết quả trước khi trình bày Cách 1.

Định hướng. Ba vectơ đề cho ở ba vị trí rất khác nhau, cứ loại dần bằng điều kiện cùng phương.

Vậy a) $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$; b) $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABNM$.

Định hướng. Đẳng thức $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}$ nói rằng $N$ là ảnh của $M$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{AB}$, nên hãy xem phép tịnh tiến ấy biến cạnh $AD$ thành cạnh nào.

Vậy $N$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $BN=AM$.

Định hướng. Viết $\overrightarrow{AN}$ theo hai vectơ cạnh của đáy thì vị trí của $N$ hiện ra thành một công thức, khỏi phải mô tả bằng lời.

Vậy $N$ thuộc cạnh $BC$ với $\overrightarrow{BN}=t\overrightarrow{BC}$, trong đó $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AD}$.

Nhận xét. Cách 3 cho luôn công thức vị trí của $N$ theo $t$, rất tiện khi bài toán hỏi thêm "nếu $M$ là trung điểm $AD$ thì $N$ ở đâu".

Định hướng. Chiều cao mỗi tầng như nhau nên số tầng chênh lệch quyết định độ dài; còn hướng thì đọc thẳng từ chữ "lên".

Vậy hai vectơ đó bằng nhau.

Định hướng. Gọi $\overrightarrow{u}$ là vectơ dịch chuyển khi đi lên đúng một tầng thì mọi lần di chuyển đều viết được theo $\overrightarrow{u}$.

Vậy $\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{v_2}$.

Định hướng. Bốn vị trí của thang máy nằm trên một đường thẳng đứng, nên hãy so sánh trực tiếp hai đoạn thẳng bằng nhau trên đường thẳng đó.

Vậy $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$.

Nhận xét. Cách 3 cho thêm một thông tin đẹp: vị trí ở tầng 22 chính là TRUNG ĐIỂM của đoạn nối vị trí tầng 15 và vị trí tầng 29.

Định hướng. Mỗi giả thiết đã là một đẳng thức vectơ, chỉ cần chuyển vế đúng luật là ra ngay điều phải chứng minh.

Vậy $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Định hướng. Đi từ $A$ tới $C^{\prime }$ theo hai lối khác nhau rồi so hai kết quả — đây là mẹo chuẩn để so sánh hai vectơ ở xa nhau.

Vậy $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, nên $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ là hình bình hành và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Định hướng. Ba đẳng thức $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nói rằng cả bộ ba điểm được dời đi cùng một quãng, đó chính là một phép tịnh tiến.

Vậy $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$, tức tổng $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ không phụ thuộc vào việc chọn điểm đặt.

Nhận xét. Chính kết quả này cho phép định nghĩa $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ mà không cần chỉ rõ đặt ở đâu — đó là lí do HĐ3 được đặt ngay trước định nghĩa tổng hai vectơ.

Định hướng. Chỉ cần đưa vectơ thứ hai về vị trí nối đuôi vectơ thứ nhất là quy tắc ba điểm áp dụng được ngay.

Vậy $\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}\right|=1$.

Định hướng. Phân tích mỗi vectơ theo các vectơ cạnh rồi rút gọn — cách này không cần nhìn hình.

Vậy độ dài cần tìm bằng $1$.

Định hướng. Ba cạnh cùng xuất phát từ $A$ đôi một vuông góc, gắn hệ toạ độ vào đó thì phép cộng vectơ thành phép cộng ba số.

Vậy $\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}\right|=1$, đúng bằng độ dài cạnh.

Nhận xét. So với Ví dụ 3 (kết quả $\sqrt{2}$), bài này ra $1$ vì hai vectơ thành phần gần như "khử" bớt nhau theo phương $AB$.

Định hướng. Vế phải có $\overrightarrow{AD}$, vậy hãy tách $\overrightarrow{AB}$ đi qua $D$ để $\overrightarrow{AD}$ xuất hiện.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

Định hướng. Đưa tất cả về một vế thì bài toán biến thành việc rút gọn một biểu thức về vectơ-không.

Vậy hai vế bằng nhau.

Định hướng. Chọn $A$ làm gốc rồi viết mọi vectơ theo $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ — cách này biến đẳng thức hình học thành phép cộng đại số.

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Nhận xét. Cách 3 là phương pháp "đưa về một gốc", dùng được cho mọi đẳng thức vectơ trong tứ diện: cứ viết tất cả theo ba vectơ xuất phát từ một đỉnh rồi so hai vế.

Định hướng. Câu a cho một hình bình hành ở đáy, câu b cần thêm một hình bình hành nữa dựng theo phương cạnh bên.

Vậy cả hai câu đều trả lời: hai vectơ bằng nhau.

Định hướng. Thay vì cộng ba vectơ cùng gốc, hãy biến chúng thành ba chặng nối đuôi nhau rồi dùng quy tắc ba điểm.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Định hướng. Ba vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ đóng vai trò ba "trục", nên hãy lấy chính chúng làm hệ toạ độ.

Vậy hai vectơ ở câu b bằng nhau; đó chính là quy tắc hình hộp.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy bản chất: đi từ $A$ tới đỉnh đối diện $C^{\prime }$ đúng bằng cộng cả ba vectơ cạnh — hệt như trong mặt phẳng đi tới đỉnh đối diện là cộng hai vectơ cạnh.

Định hướng. Liệt kê ba cạnh xuất phát từ $B$, đỉnh còn lại không nằm trên mặt nào chứa $B$ chính là đỉnh đối diện.

Vậy $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$.

Định hướng. Cứ đi lần lượt theo ba cạnh, điểm dừng chân cuối cùng chính là đỉnh đối diện.

Vậy quy tắc hình hộp tại $B$ là $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$.

Định hướng. Hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cũng chính là hình hộp $BADC.B^{\prime }{A}^{\prime }{D}^{\prime }{C}^{\prime }$; áp quy tắc đã biết vào tên mới là xong.

Vậy $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$.

Nhận xét. Mẹo "đổi tên hình hộp" giúp phát biểu quy tắc tại bất kì đỉnh nào mà không phải nghĩ lại từ đầu, chẳng hạn tại $C^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }C}=\overrightarrow{C^{\prime }A}$.