Bài 1 · Bài 1.30★★Trang 42— Trắc nghiệm lí thuyết — phân biệt điều kiện đủ với điều kiện cần của tính đơn điệu
Bài 1.30 (trang 42). Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Phát biểu nào dưới đây là đúng? A. Nếu f′(x)≥0 với mọi x thuộc (a;b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a;b). B. Nếu f′(x)>0 với mọi x thuộc (a;b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a;b). C. Hàm số y=f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi f′(x)≥0 với mọi x thuộc (a;b). D. Hàm số y=f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi f′(x)>0 với mọi x thuộc (a;b).
Kiến thức cần nhớ
Nếu f′(x)>0 với mọi x∈(a;b) thì f đồng biến trên (a;b); nếu f′(x)<0 với mọi x∈(a;b) thì f nghịch biến trên (a;b).
Chiều ngược lại chỉ cho kết luận yếu hơn: f đồng biến trên (a;b) thì f′(x)≥0 với mọi x∈(a;b).
f′(x)≥0 với mọi x và f′(x)=0 chỉ tại HỮU HẠN điểm thì f mới đồng biến.
🧠 Phân tích tư duy
Bốn phương án chỉ khác nhau ở hai chỗ: dấu ≥ hay dấu >, và liên từ "nếu … thì" hay "khi và chỉ khi" — đó chính là dấu hiệu của một câu hỏi về điều kiện đủ và điều kiện cần. Hướng nhanh nhất là nhớ chính xác định lí trong sách: đạo hàm dương thì đồng biến (một chiều), còn chiều ngược lại chỉ cho ta f′(x)≥0. Bẫy nằm ở hai phương án có "khi và chỉ khi": chúng bắt ta kiểm tra CẢ HAI chiều, chỉ cần một chiều hỏng là mệnh đề sai.
1Cách 1. Đối chiếu với đúng chiều của định lí
Định hướng. Định lí trong sách chỉ phát biểu theo một chiều "đạo hàm dương thì đồng biến"; cứ soi xem phương án nào trùng khít với chiều đó.
Định lí: f′(x)>0 với mọi x∈(a;b)⇒f đồng biến trên (a;b)
Phương án B: "Nếu f′(x)>0 với mọi x thuộc (a;b) thì f đồng biến trên (a;b)"
Hai phát biểu trùng nhau hoàn toàn
Vậy chọn đáp án B.
2Cách 2. Loại trừ ba phương án còn lại bằng phản ví dụ
Định hướng. Mỗi phương án sai đều đổ vì một hàm số cụ thể; tìm được một hàm phá được phương án nào là gạch phương án đó.
Phá A: lấy f(x)=5 trên (0;1) thì f′(x)=0≥0 với mọi x, nhưng f là hàm hằng, không đồng biến
Phá C: cũng hàm f(x)=5 đó, vế phải f′(x)≥0 đúng mà vế trái "đồng biến" sai, nên "khi và chỉ khi" sai
Phá D: lấy f(x)=x3 trên (−1;1) thì f đồng biến, nhưng f′(0)=0 nên không có f′(x)>0 với mọi x
Vậy ba phương án A, C, D đều sai, chỉ còn B.
3Cách 3. Tách mệnh đề tương đương thành hai chiều rồi soi từng chiều
Định hướng. Một mệnh đề "P khi và chỉ khi Q" chỉ đúng khi cả P⇒Q lẫn Q⇒P cùng đúng; lập bảng hai chiều cho C và D là thấy ngay chỗ hỏng.
Đặt P: "f đồng biến trên (a;b)" C khẳng định P⇔(f′(x)≥0∀x)
Chiều P⇒ đúng, chiều ⇐ sai vì f′≡0 cho hàm hằng D khẳng định P⇔(f′(x)>0∀x)
Chiều ⇐ đúng (chính là định lí), chiều ⇒ sai vì f(x)=x3 có f′(0)=0
Mỗi mệnh đề tương đương đều hỏng một chiều nên C và D cùng sai
A phát biểu một chiều nhưng chiều đó chính là chiều sai đã chỉ ra ở C
Vậy chỉ còn B đúng cả về chiều lẫn về dấu.
Nhận xét. Có thể nhớ gọn: dấu > đi với "nếu … thì" là đúng; dấu ≥ chỉ được phép xuất hiện ở chiều "đồng biến suy ra đạo hàm không âm".
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhớ đúng chiều của định lí là khoanh được trong mười giây; Cách 2 nên giữ làm bước kiểm tra lại khi phân vân giữa A và B.
Đáp số.Đáp án B.
Sai lầm thường gặp.Rất nhiều học sinh chọn A vì tưởng "f′(x)≥0 thì đồng biến". Phản ví dụ: f(x)=5 trên (0;1) có f′(x)=0≥0 với mọi x mà hàm số là hằng số, không đồng biến. Muốn dùng dấu ≥ thì phải kèm điều kiện f′(x)=0 chỉ tại hữu hạn điểm.
🚀 Mở rộng.Sửa A thành "Nếu f′(x)≥0 với mọi x∈(a;b) và f′(x)=0 chỉ tại hữu hạn điểm thì f đồng biến trên (a;b)" thì phát biểu trở thành đúng — hãy thử kiểm chứng với f(x)=x3 và f(x)=x3−3x2+3x−1.
Bài 2 · Bài 1.31★★Trang 42— Trắc nghiệm — nhận biết hàm số nghịch biến trên toàn trục số
Bài 1.31 (trang 42). Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R? A.y=−x3+3x2−9x. B.y=−x3+x+1. C.y=x−2x−1. D.y=2x2+3x+2.
Kiến thức cần nhớ
Hàm số nghịch biến trên R trước hết phải xác định trên R.
Tam thức ax2+bx+c với a<0 và Δ<0 thì âm với mọi x.
Hàm bậc hai luôn có một điểm cực trị nên không thể đơn điệu trên R.
🧠 Phân tích tư duy
Đề hỏi nghịch biến trên CẢ R, nên việc đầu tiên là soi tập xác định: một phân thức không thể nghịch biến trên R vì nó không xác định tại điểm làm mẫu triệt tiêu. Với các đa thức, dấu của y′ phải giữ nguyên là dấu âm trên toàn trục, mà một tam thức bậc hai chỉ giữ nguyên dấu khi Δ<0. Bẫy của đề là phương án C: nhiều bạn thấy y′<0 trên từng khoảng rồi vội kết luận "nghịch biến trên R".
1Cách 1. Tính đạo hàm rồi đưa về dạng chính tắc của tam thức
Định hướng. Với phương án A, viết y′ thành một bình phương cộng hằng số âm là thấy ngay dấu của nó.
y=−x3+3x2−9x y′=−3x2+6x−9=−3(x2−2x+3) y′=−3[(x−1)2+2]=−3(x−1)2−6 (x−1)2≥0 nên −3(x−1)2≤0, do đó y′≤−6<0 với mọi x∈R
Hàm số ở phương án A nghịch biến trên R
Vậy chọn đáp án A.
2Cách 2. Loại trừ bằng tập xác định và bậc của hàm số
Định hướng. Ba phương án còn lại hỏng vì những lí do rất khác nhau; gạch chúng đi thì chỉ còn một đáp án.
C: y=x−2x−1 không xác định tại x=2 nên không nghịch biến trên R D: y=2x2+3x+2 có y′=4x+3 đổi dấu tại x=−43, hàm số có một cực tiểu B: y=−x3+x+1 có y′=−3x2+1, y′(0)=1>0 và y′(1)=−2<0 nên y′ đổi dấu
Vậy ba phương án B, C, D đều bị loại, đáp án là A.
3Cách 3. Dời trục về tâm đối xứng để nhận ra hàm nghịch biến quen thuộc
Định hướng. Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng; dời gốc toạ độ về đó thì hàm số rút gọn thành một biểu thức rất dễ xét dấu.
y=−x3+3x2−9x có y′′=−6x+6, y′′=0⇔x=1
Đặt x=X+1 y=−(X+1)3+3(X+1)2−9(X+1) y=−(X3+3X2+3X+1)+3(X2+2X+1)−9X−9 y=−X3−6X−7 X↦−X3 nghịch biến trên R, X↦−6X nghịch biến trên R
Tổng của hai hàm nghịch biến là hàm nghịch biến
Vậy hàm số ở phương án A nghịch biến trên R.
Nhận xét. Cách này còn cho biết thêm tâm đối xứng của đồ thị là I(1;−7), một thông tin mà hai cách trên không cho.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: chỉ một dòng biến đổi −3(x−1)2−6 là chắc chắn kết luận được; Cách 2 chỉ nên dùng để kiểm tra chéo vì phải xét cả bốn phương án.
Đáp số.Đáp án A.
Sai lầm thường gặp.Chọn C vì thấy y′=(x−2)2−1<0. Đó là lỗi bỏ qua tập xác định: hàm số này nghịch biến trên TỪNG khoảng (−∞;2) và (2;+∞), chứ không nghịch biến trên R. Phản ví dụ cụ thể: x1=1<x2=3 nhưng y(1)=0 còn y(3)=2, tức y(x1)<y(x2) — đúng chiều đồng biến.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: hàm y=ax3+bx2+cx+d với a=0 nghịch biến trên R khi và chỉ khi a<0 và b2−3ac≤0 — hãy kiểm lại phương án A với a=−1, b=3, c=−9.
Bài 3 · Bài 1.32★★Trang 42— Trắc nghiệm — nhận biết hàm số không có cực trị
Bài 1.32 (trang 42). Hàm số nào dưới đây không có cực trị? A.y=∣x∣. B.y=x4. C.y=−x3+x. D.y=x+12x−1.
Kiến thức cần nhớ
Hàm số đạt cực trị tại điểm mà y′ ĐỔI DẤU khi đi qua điểm đó (y′ có thể bằng 0 hoặc không tồn tại tại điểm ấy).
Với y=cx+dax+b và ad−bc=0 thì y′=(cx+d)2ad−bc luôn giữ nguyên một dấu, nên hàm số không có cực trị.
Đồ thị của y=cx+dax+b là một hypebol nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
🧠 Phân tích tư duy
Cực trị xuất hiện ở chỗ hàm số đổi chiều biến thiên, nên câu hỏi thực chất là: hàm nào đơn điệu trên mỗi khoảng xác định mà không bao giờ đổi chiều. Nhìn lướt bốn phương án: ba hàm đầu là hàm đa thức hoặc trị tuyệt đối có "đáy" rõ ràng, chỉ phương án D là phân thức bậc nhất trên bậc nhất — loại hàm luôn đơn điệu trên từng khoảng. Bẫy nằm ở phương án A: y=∣x∣ không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn có cực tiểu, nên đừng đánh đồng "không có đạo hàm" với "không có cực trị".
1Cách 1. Xét dấu đạo hàm của từng phương án
Định hướng. Cực trị chỉ có khi y′ đổi dấu, nên chỉ cần tìm phương án mà y′ giữ nguyên một dấu trên mỗi khoảng xác định.
A: y=∣x∣ có y′=−1 khi x<0 và y′=1 khi x>0, đạo hàm đổi dấu tại x=0 nên có cực tiểu B: y=x4 có y′=4x3 đổi dấu tại x=0 nên có cực tiểu C: y=−x3+x có y′=−3x2+1=0⇔x=±31, y′ đổi dấu tại hai điểm nên có hai cực trị D: y=x+12x−1 xác định với x=−1 y′=(x+1)22(x+1)−(2x−1)=(x+1)23>0 với mọi x=−1 y′ không đổi dấu, hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞;−1) và (−1;+∞)
Vậy chọn đáp án D.
2Cách 2. Loại trừ bằng hình dáng đồ thị đã quen
Định hướng. Ba hàm đầu đều có đồ thị quen thuộc với một điểm thấp nhất hoặc hai chỗ uốn éo; chỉ cần hình dung là loại được.
A: đồ thị y=∣x∣ là chữ V với đỉnh O(0;0), đỉnh chữ V là điểm cực tiểu B: đồ thị y=x4 có dạng lòng chảo, điểm thấp nhất là O(0;0), đó là cực tiểu C: đồ thị hàm bậc ba y=−x3+x đi qua (−1;0), (0;0), (1;0) nên phải uốn lên rồi uốn xuống, tức có cực đại và cực tiểu D: đồ thị là hypebol gồm hai nhánh luôn đi lên, không có chỗ đổi chiều
Vậy đáp án là D.
3Cách 3. Tách phần nguyên rồi tịnh tiến đồ thị hypebol
Định hướng. Viết phân thức thành hằng số cộng với một phân thức đơn giản thì đồ thị chỉ là ảnh tịnh tiến của một hypebol gốc, mà hypebol gốc thì không có cực trị.
y=x+12x−1=x+12(x+1)−3=2−x+13
Đặt X=x+1 và Y=y−2 Y=−X3
Hàm X↦−X3 đồng biến trên (−∞;0) và trên (0;+∞), không có cực trị
Phép tịnh tiến theo vectơ u=(−1;2) không làm thay đổi số điểm cực trị
Vậy hàm số ở phương án D không có cực trị.
Nhận xét. Cách này đồng thời cho ngay tiệm cận đứng x=−1, tiệm cận ngang y=2 và tâm đối xứng I(−1;2).
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 cho phương án D: chỉ một dòng y′=(x+1)23>0 là đủ; Cách 3 hay hơn về tư duy nhưng dài hơn khi chỉ cần khoanh đáp án.
Đáp số.Đáp án D.
Sai lầm thường gặp.Chọn A vì nghĩ "y=∣x∣ không có đạo hàm tại x=0 nên không có cực trị". Sai: điều kiện của cực trị là đạo hàm ĐỔI DẤU, không đòi hỏi đạo hàm phải tồn tại tại điểm đó. Với y=∣x∣ ta có y(0)=0≤∣x∣=y(x) với mọi x, nên x=0 đúng là điểm cực tiểu.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: y=cx+dax+b (c=0) không bao giờ có cực trị vì y′=(cx+d)2ad−bc giữ nguyên dấu — thử xem điều gì xảy ra khi ad−bc=0.
Bài 4 · Bài 1.33★★★Trang 42— Trắc nghiệm — cực trị của hàm số chứa logarit
Bài 1.33 (trang 42). Giá trị cực tiểu của hàm số y=x2lnx là A.e1. B.−e1. C.−2e1. D.2e1.
Kiến thức cần nhớ
(x2lnx)′=2xlnx+x2⋅x1=2xlnx+x.
lnx=a⇔x=ea với x>0.
Giá trị cực tiểu là giá trị của y, không phải giá trị của x tại điểm cực tiểu.
🧠 Phân tích tư duy
Hàm số là tích của một luỹ thừa với một logarit, dấu hiệu quen thuộc của dạng "đạo hàm tích rồi đặt nhân tử chung". Điều kiện x>0 phải viết ra ngay vì nó quyết định dấu của thừa số x trong đạo hàm. Bẫy lớn nhất: sau khi tìm được x=e−1/2, nhiều bạn dừng lại và khoanh luôn giá trị của x thay vì thay ngược lại để lấy giá trị cực tiểu của y.
1Cách 1. Đạo hàm và bảng biến thiên
Định hướng. Đặt nhân tử chung x ở đạo hàm; vì x>0 nên dấu của y′ chỉ phụ thuộc dấu của 2lnx+1.
Tập xác định: D=(0;+∞) y′=2xlnx+x=x(2lnx+1) x>0 nên y′=0⇔2lnx+1=0⇔lnx=−21⇔x=e−21=e1 y′<0 khi 0<x<e1 ; y′>0 khi x>e1
x
0
e1
+∞
y′
−
0
+
y
0
↘
−2e1
↗
+∞
ye−21=e−212⋅lne−21=e−1⋅(−21)=−2e1
Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là −2e1, chọn đáp án C.
2Cách 2. Đổi ẩn để đưa về hàm mũ quen thuộc
Định hướng. Đặt t=lnx thì x2=e2t, hàm số trở thành tích của t với một hàm mũ, đạo hàm gọn hơn hẳn và không còn ràng buộc x>0.
Đặt t=lnx với x>0, khi đó t∈R và x2=e2t y=g(t)=te2t g′(t)=e2t+2te2t=e2t(1+2t) e2t>0 nên g′(t)=0⇔t=−21, và g′ đổi dấu từ − sang + tại đó g(−21)=−21e−1=−2e1 t=−21 ứng với x=e−21, phép đổi ẩn t=lnx là song ánh đồng biến nên bảo toàn tính chất cực trị
Vậy giá trị cực tiểu bằng −2e1, đáp án C.
3Cách 3. Loại trừ bằng dấu rồi thử trực tiếp
Định hướng. Chỉ cần biết điểm cực tiểu nằm ở đâu so với 1 là đoán được dấu của giá trị cực tiểu, rồi thử một giá trị cụ thể để chốt.
Hàm số giảm rồi tăng nên điểm cực tiểu là điểm thấp nhất, giá trị cực tiểu nhỏ hơn y(1)=12⋅ln1=0
Giá trị cực tiểu âm nên loại A và D
Còn B=−e1 và C=−2e1; thử x=e1 y(e1)=e1⋅(−21)=−2e1
Muốn y=−e1 thì cần x2lnx=−e1, mà −e1<−2e1 là giá trị nhỏ nhất, không xảy ra
Vậy đáp án là C.
4Cách 4. Chặn dưới bằng bất đẳng thức logarit (không dùng đạo hàm)
Định hướng. Đặt u=x2 rồi dùng bất đẳng thức lnu≥1−u1 khéo léo để chứng minh y luôn không nhỏ hơn −2e1 và chỉ ra chỗ đạt dấu bằng.
Đặt u=x2>0, khi đó lnx=21lnu và y=21ulnu
Với mọi v>0 ta có lnv≥1−v1, dấu bằng khi v=1
Áp dụng cho v=eu: ln(eu)≥1−eu1 1+lnu≥1−eu1 lnu≥−eu1 ulnu≥−e1, dấu bằng khi eu=1, tức u=e1 y=21ulnu≥−2e1, dấu bằng khi x2=e1, tức x=e1
Vậy giá trị nhỏ nhất, cũng là giá trị cực tiểu, bằng −2e1 — đáp án C.
Nhận xét. Bất đẳng thức lnv≥1−v1 chính là tiếp tuyến của đồ thị y=lnv tại v=1; nhớ nó thì rất nhiều bài chặn logarit trở nên một dòng.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đặt nhân tử chung x rồi lập bảng biến thiên là an toàn nhất và luôn đúng; Cách 3 chỉ nên dùng khi bí thời gian vì nó dựa vào việc đã biết dáng biến thiên.
Đáp số.Giá trị cực tiểu bằng −2e1 (đạt tại x=e1) — đáp án C.
Sai lầm thường gặp.Khoanh nhầm e1 hoặc lấy −e1 do quên bình phương: đúng ra (e−1/2)2=e−1 rồi mới nhân với lne−1/2=−21. Nếu quên bình phương mà lấy e−1/2⋅(−21) thì ra −2e1, một số không có trong các phương án — đó là dấu hiệu để tự kiểm tra lại.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: y=xnlnx với n>0 có cực tiểu tại x=e−1/n và giá trị cực tiểu −ne1 — bài này là trường hợp n=2, hãy thử lại với n=1 và n=3.
Bài 5 · Bài 1.34★★★Trang 42— Trắc nghiệm — giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn
Bài 1.34 (trang 42). Giá trị lớn nhất của hàm số y=(x−2)2⋅ex trên đoạn [1;3] là A.0. B.e3. C.e4. D.e.
Kiến thức cần nhớ
(uv)′=u′v+uv′ và (ex)′=ex.
Giá trị lớn nhất của hàm số liên tục trên [a;b] là số lớn nhất trong các giá trị tại điểm dừng thuộc (a;b) và tại hai đầu mút.
ex>0 với mọi x, nên dấu của ex⋅g(x) chính là dấu của g(x).
🧠 Phân tích tư duy
Bài hỏi giá trị lớn nhất trên một ĐOẠN, nên phải so ba loại giá trị: tại các điểm dừng bên trong và tại hai đầu mút. Hàm số là tích của một bình phương với hàm mũ, đạo hàm sẽ có nhân tử chung ex luôn dương nên chỉ còn xét dấu một tam thức. Bẫy quen thuộc: giải y′=0 được x=0 và x=2 rồi vội thay cả hai, trong khi x=0 không thuộc đoạn [1;3].
1Cách 1. Đạo hàm rồi so ba giá trị: điểm dừng và hai đầu mút
Định hướng. Đặt nhân tử chung (x−2)ex ở đạo hàm, tìm điểm dừng thuộc đoạn rồi so ba giá trị.
y=(x−2)2ex y′=2(x−2)ex+(x−2)2ex=(x−2)ex[2+(x−2)] y′=x(x−2)ex y′=0⇔x=0 hoặc x=2; chỉ có x=2∈[1;3]
Trên [1;3] thì x>0 và ex>0 nên dấu của y′ là dấu của x−2
Định hướng. Đặt t=x−2 thì đoạn [1;3] thành [−1;1] và hàm số tách được thành hằng số nhân với t2et, một hàm rất dễ khảo sát.
Đặt t=x−2, khi x chạy trên [1;3] thì t chạy trên [−1;1] y=t2et+2=e2⋅t2et
Xét h(t)=t2et trên [−1;1] h′(t)=2tet+t2et=t(t+2)et
Với t∈[−1;1] thì t+2>0 và et>0 nên dấu của h′ là dấu của t h nghịch biến trên [−1;0], đồng biến trên [0;1] h(−1)=e1 ; h(0)=0 ; h(1)=e [−1;1]maxh=e tại t=1 maxy=e2⋅e=e3 tại t=1, tức x=3
Vậy giá trị lớn nhất bằng e3 — đáp án B.
3Cách 3. Chặn trên hai thừa số cùng lúc (không dùng đạo hàm)
Định hướng. Hàm số là tích của hai thừa số không âm; nếu chặn được mỗi thừa số và hai dấu bằng cùng xảy ra tại một điểm thì đó chính là giá trị lớn nhất.
Với x∈[1;3] ta có −1≤x−2≤1 nên 0≤(x−2)2≤1, dấu bằng bên phải khi x=1 hoặc x=3
Hàm x↦ex đồng biến nên e≤ex≤e3, dấu bằng bên phải khi x=3
Hai thừa số đều không âm nên y=(x−2)2ex≤1⋅e3=e3
Hai dấu bằng cùng xảy ra tại x=3, mà y(3)=e3
Vậy[1;3]maxy=e3 tại x=3 — đáp án B.
4Cách 4. Loại trừ bằng chặn nhanh các phương án
Định hướng. Không cần tính hết, chỉ cần một giá trị đủ lớn để loại phương án nhỏ và một lập luận chặn trên để loại phương án quá lớn.
y(3)=e3 nên giá trị lớn nhất không nhỏ hơn e3, loại A(=0) và D(=e)
Muốn y=e4 thì cần (x−2)2=e4−x với x∈[1;3]
Khi đó 4−x≥1 nên e4−x≥e≈2,72
Trong khi (x−2)2≤1, không thể bằng một số lớn hơn 2,7, loại C
Vậy chỉ còn B.
Nhận xét. Với câu trắc nghiệm, cách chặn trên như thế này thường nhanh hơn khảo sát đầy đủ, nhưng chỉ dùng được khi các phương án cách xa nhau.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: lập bảng biến thiên trên đoạn rồi so hai đầu mút với điểm dừng là quy trình chuẩn, không sợ sót trường hợp; Cách 3 rất đẹp nhưng chỉ dùng được khi hai dấu bằng may mắn trùng nhau.
Đáp số.[1;3]maxy=e3 tại x=3 — đáp án B.
Sai lầm thường gặp.Thay cả x=0 vào vì thấy y′=x(x−2)ex có nghiệm x=0, cho ra y(0)=4 rồi kết luận sai; x=0 không thuộc [1;3] nên phải loại. Một lỗi khác là chỉ so hai giá trị tại điểm dừng x=2 và tại x=1 mà quên đầu mút x=3 — đúng ra x=3 mới là chỗ đạt giá trị lớn nhất.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi đoạn thành [−3;3] thì phải xét thêm điểm dừng x=0 với y(0)=4 và đầu mút x=−3 với y(−3)=25e−3≈1,24; giá trị lớn nhất vẫn là e3 nhưng giá trị nhỏ nhất chuyển về 0 tại x=2 — hãy tự lập lại bảng biến thiên để kiểm chứng.
Bài 6 · Bài 1.35★★Trang 42— Trắc nghiệm — đọc tiệm cận từ các giới hạn cho trước
Bài 1.35 (trang 42). Cho hàm số y=f(x) thoả mãn x→2+limf(x)=1 ; x→2−limf(x)=1 ; x→−∞limf(x)=2 và x→+∞limf(x)=2. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đường thẳng x=2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. B. Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. C. Đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. D. Đường thẳng x=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Kiến thức cần nhớ
Đường thẳng x=x0 là tiệm cận đứng khi ít nhất một trong các giới hạn một bên x→x0±limf(x) bằng +∞ hoặc −∞.
Đường thẳng y=y0 là tiệm cận ngang khi x→−∞limf(x)=y0 hoặc x→+∞limf(x)=y0.
Tiệm cận ngang luôn có dạng y= hằng số; tiệm cận đứng luôn có dạng x= hằng số.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho bốn giới hạn thuộc hai nhóm hẳn hoi: hai giới hạn khi x tiến tới một SỐ (liên quan tiệm cận đứng) và hai giới hạn khi x tiến ra VÔ CỰC (liên quan tiệm cận ngang). Chỉ cần ghép đúng nhóm là xong: tiệm cận đứng đòi giới hạn phải là vô cực, tiệm cận ngang đòi giới hạn tại vô cực phải là số hữu hạn. Bẫy của đề là trộn lẫn số 1 và số 2 để dụ ta gán nhầm nhóm.
1Cách 1. Đối chiếu trực tiếp với định nghĩa tiệm cận
Định hướng. Xếp bốn giới hạn của đề vào đúng hai nhóm rồi đọc kết quả.
x→−∞limf(x)=2 và x→+∞limf(x)=2, đều là số hữu hạn
Theo định nghĩa, đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x→2+limf(x)=x→2−limf(x)=1, cả hai đều hữu hạn nên không có giới hạn nào bằng ±∞ tại x=2
Đồ thị không nhận x=2 làm tiệm cận đứng
Vậy khẳng định đúng là B.
2Cách 2. Loại trừ từng phương án theo dạng phương trình
Định hướng. Ba phương án sai đều hỏng ngay ở kiểu đường thẳng hoặc ở kiểu giới hạn, không cần tính gì thêm.
D sai về hình thức: x=2 là đường thẳng đứng, không thể là tiệm cận ngang A sai vì hai giới hạn một bên tại x=2 đều bằng 1, hữu hạn, không phải ±∞ C sai vì số 1 đến từ giới hạn tại x→2, không phải giới hạn tại x→±∞; muốn y=1 là tiệm cận ngang thì phải có x→±∞limf(x)=1 B khớp đúng: x→±∞limf(x)=2
Vậy đáp án là B.
3Cách 3. Dựng một hàm số cụ thể thoả mãn đề rồi kiểm chứng
Định hướng. Nếu tìm được một hàm số thật thoả mãn cả bốn giới hạn, ta có thể nhìn thẳng vào nó để khẳng định phương án nào đúng và bác bỏ chắc chắn các phương án còn lại.
Xét f(x)=2−1+(x−2)21, xác định với mọi x∈R f(2)=2−1=1 và f liên tục tại x=2 nên x→2+limf(x)=x→2−limf(x)=1 x→±∞lim1+(x−2)21=0 nên x→±∞limf(x)=2
Hàm số này thoả mãn đúng bốn giới hạn của đề f liên tục trên R nên đồ thị của nó không có tiệm cận đứng nào, bác bỏ A
Đồ thị chỉ có một tiệm cận ngang là y=2, bác bỏ C
Vậy khẳng định đúng là B.
Nhận xét. Kĩ thuật "dựng một ví dụ thật" rất mạnh với câu hỏi lí thuyết: một ví dụ đủ để bác bỏ, còn muốn khẳng định thì vẫn phải quay về định nghĩa như Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần nhìn dạng x=… hay y=… là gạch được ngay phương án D, rồi hai câu ngắn nữa là xong; Cách 3 dành cho lúc muốn hiểu bản chất chứ không hợp với phòng thi.
Đáp số.Đáp án B: đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Sai lầm thường gặp.Thấy số 1 xuất hiện hai lần rồi kết luận y=1 là tiệm cận ngang (phương án C). Sai vì số 1 là giới hạn khi x→2, chỉ nói rằng đồ thị đi qua sát điểm (2;1). Phản ví dụ ở Cách 3: hàm f(x)=2−1+(x−2)21 có f tiến tới 1 khi x→2 nhưng đồ thị của nó không hề áp sát đường thẳng y=1 khi x ra vô cực.
🚀 Mở rộng.Nếu sửa đề thành x→2+limf(x)=+∞ và giữ nguyên ba giới hạn còn lại thì đồ thị có đồng thời tiệm cận đứng x=2 và tiệm cận ngang y=2 — hãy thử tìm một công thức f(x) như vậy.
Bài 7 · Bài 1.36★★Trang 42— Trắc nghiệm — tiệm cận xiên của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất
Bài 1.36 (trang 42). Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=x+2x2+2x−2 là A.y=−2. B.y=1. C.y=x+2. D.y=x.
Kiến thức cần nhớ
Đường thẳng y=ax+b với a=0 là tiệm cận xiên khi x→±∞lim[f(x)−(ax+b)]=0.
Có thể tính a=x→±∞limxf(x) rồi b=x→±∞lim[f(x)−ax].
Với phân thức có bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng một đơn vị, thương của phép chia đa thức chính là tiệm cận xiên.
🧠 Phân tích tư duy
Tử bậc hai, mẫu bậc nhất, hiệu bậc bằng 1 — dấu hiệu chắc chắn có tiệm cận xiên. Hướng nhanh nhất là chia tử cho mẫu để tách thành "phần bậc nhất cộng phần dư nhỏ dần", vì phần bậc nhất chính là tiệm cận xiên. Bẫy của đề nằm ở hai phương án A và B: chúng là đường thẳng NGANG, không thể là tiệm cận xiên, đưa vào chỉ để dụ những bạn quen tay đi tìm tiệm cận ngang.
1Cách 1. Chia đa thức để tách phần nguyên
Định hướng. Viết tử thành mẫu nhân với một nhị thức cộng phần dư, khi đó phần dư tiến về 0 và phần nhị thức chính là tiệm cận xiên.
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng y=x, chọn đáp án D.
2Cách 2. Dùng công thức hệ số của tiệm cận xiên
Định hướng. Khi không muốn chia đa thức, có thể lấy hệ số góc bằng giới hạn của xy rồi lấy tung độ gốc bằng giới hạn của y−ax.
a=x→+∞limxy=x→+∞limx2+2xx2+2x−2=x→+∞lim1+x21+x2−x22=1 b=x→+∞lim(y−x)=x→+∞limx+2x2+2x−2−x(x+2)=x→+∞limx+2−2=0
Tính tương tự khi x→−∞ cũng được a=1 và b=0
Vậy tiệm cận xiên là y=1⋅x+0, tức y=x — đáp án D.
3Cách 3. Loại trừ theo dạng đường thẳng rồi thử nốt hai phương án còn lại
Định hướng. Tiệm cận xiên bắt buộc có hệ số góc khác 0; sau khi gạch hai đường nằm ngang thì chỉ cần một phép thử để phân biệt hai đường còn lại.
Ay=−2 và By=1 là các đường thẳng nằm ngang, không thể là tiệm cận xiên
Còn Cy=x+2 và Dy=x; kiểm tra C y−(x+2)=x−x+22−x−2=−2−x+22 x→+∞lim[y−(x+2)]=−2=0 nên y=x+2 không phải tiệm cận
Kiểm tra D: x→+∞lim[y−x]=x→+∞lim(−x+22)=0
Vậy tiệm cận xiên là y=x — đáp án D.
Nhận xét. Nhận xét thêm: −x+22<0 khi x>−2 nên nhánh phải của đồ thị nằm phía DƯỚI tiệm cận xiên, còn nhánh trái nằm phía trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: một dòng x2+2x−2=x(x+2)−2 là ra ngay y=x−x+22, vừa cho tiệm cận xiên vừa cho luôn tiệm cận đứng x=−2; Cách 2 dài hơn vì phải tính hai giới hạn.
Đáp số.Tiệm cận xiên là đường thẳng y=x — đáp án D.
Sai lầm thường gặp.Chia nhầm thành y=x+2−x+26 rồi chọn C. Kiểm tra lại bằng cách nhân ngược: (x+2)(x+2)−6=x2+4x−2=x2+2x−2, sai ở hệ số của x. Phép chia đúng phải cho thương x và dư −2 vì x(x+2)=x2+2x.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: y=x+dx2+bx+c có tiệm cận xiên y=x+(b−d) và tiệm cận đứng x=−d khi c=d2−bd — bài này ứng với b=2, c=−2, d=2 nên tiệm cận xiên là y=x+0.
Bài 1.37 (trang 43). Cho hàm số y=f(x) xác định trên R∖{1;3}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
x
−∞
1
2
3
+∞
f′(x)
−
−
0
+
+
f(x)
1
↘
−1
7
↘
5
↗
+∞
−4
↗
−1
Khẳng định nào sau đây là sai? A. Đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. B. Đường thẳng y=−1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. C. Đường thẳng x=3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. D. Đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Kiến thức cần nhớ
Giá trị ở hai đầu bảng biến thiên (dưới −∞ và +∞) là các giới hạn tại vô cực, cho tiệm cận ngang.
Vạch đôi trong bảng biến thiên chỉ đánh dấu điểm không thuộc tập xác định; chỉ khi giới hạn một bên bằng ±∞ thì mới có tiệm cận đứng.
Một đồ thị có thể có tới hai tiệm cận ngang khác nhau, một khi x→−∞ và một khi x→+∞.
🧠 Phân tích tư duy
Câu hỏi tìm khẳng định SAI, nên phải kiểm cả bốn chứ không được dừng khi gặp một câu đúng. Bảng biến thiên có hai vạch đôi, ở x=1 và x=3, nhưng chúng khác hẳn nhau về bản chất: tại x=3 có giá trị +∞, còn tại x=1 hai giá trị hai bên đều là số hữu hạn (−1 và 7). Đó chính là bẫy: vạch đôi trong bảng biến thiên chỉ báo điểm KHÔNG XÁC ĐỊNH, không tự động cho tiệm cận đứng.
1Cách 1. Đọc thẳng bốn giới hạn quyết định từ bảng biến thiên
Định hướng. Chỉ có bốn ô trong bảng thực sự nói về tiệm cận: hai ô ngoài cùng và hai cặp ô kề vạch đôi.
x→−∞limf(x)=1 nên y=1 là tiệm cận ngang x→+∞limf(x)=−1 nên y=−1 là tiệm cận ngang x→3−limf(x)=+∞ nên x=3 là tiệm cận đứng x→1−limf(x)=−1 và x→1+limf(x)=7, cả hai đều hữu hạn nên x=1 không phải tiệm cận đứng
Vậy khẳng định D là khẳng định sai.
2Cách 2. Kiểm tra lần lượt từng phương án để loại trừ
Định hướng. Đề hỏi câu SAI nên xác nhận ba câu đúng trước, câu còn lại chính là đáp án.
A: ô dưới −∞ ghi 1, đúng là x→−∞limf(x)=1, khẳng định đúng B: ô dưới +∞ ghi −1, đúng là x→+∞limf(x)=−1, khẳng định đúng C: bên trái vạch đôi tại x=3 ghi +∞, khẳng định đúng D: bên trái vạch đôi tại x=1 ghi −1, bên phải ghi 7, không có ±∞ nào, khẳng định sai
Vậy chọn D.
3Cách 3. Phác hoạ dáng đồ thị từ bảng biến thiên rồi nhìn hình
Định hướng. Vẽ bốn nhánh đúng chiều mũi tên và đúng các giá trị đầu mút, khi đó tiệm cận hiện ra bằng mắt: chỗ nào đồ thị vọt ra vô cực theo phương đứng mới có tiệm cận đứng.
Nhánh trên (−∞;1): đi xuống từ mức 1 tới mức −1, áp sát đường y=1 khi x→−∞
Nhánh trên (1;2) rồi (2;3): xuất phát từ mức 7, xuống tới điểm thấp (2;5) rồi vọt lên +∞ khi x→3−
Nhánh trên (3;+∞): xuất phát từ mức −4, đi lên và áp sát đường y=−1 khi x→+∞
Tại x=1 đồ thị chỉ bị "đứt" từ mức −1 nhảy lên mức 7, hai đầu đứt đều nằm ở độ cao hữu hạn
Chỉ tại x=3 đồ thị mới đi ra vô cực theo phương thẳng đứng
Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang y=1, y=−1 và đúng một tiệm cận đứng x=3; khẳng định D sai.
Nhận xét. Nhìn hình còn thấy rõ: điểm (2;5) là điểm cực tiểu của f trên khoảng (1;3), nhưng nó không hề liên quan tới tiệm cận.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: chỉ nhìn bốn ô trong bảng là kết luận được, không cần vẽ vời gì; Cách 3 nên dùng khi ôn tập để nhớ lâu sự khác nhau giữa điểm gián đoạn và tiệm cận đứng.
Đáp số.Khẳng định sai là D: đường thẳng x=1 KHÔNG phải tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Sai lầm thường gặp.Thấy vạch đôi tại x=1 trong bảng biến thiên là kết luận ngay x=1 là tiệm cận đứng. Phản ví dụ cụ thể: hàm f(x)=x−1x2−1 không xác định tại x=1 nhưng x→1limf(x)=2 hữu hạn, đồ thị chỉ thủng một điểm chứ không có tiệm cận đứng.
🚀 Mở rộng.Nếu sửa ô bên trái vạch đôi tại x=1 từ −1 thành −∞ thì cả bốn khẳng định A, B, C, D đều đúng và câu hỏi không còn đáp án — hãy thử viết một bảng biến thiên như vậy để thấy khi nào đồ thị có hai tiệm cận đứng.
Bài 9 · Bài 1.38★★Trang 43— Trắc nghiệm — nhận dạng hàm số từ đồ thị hypebol
Bài 1.38 (trang 43). Đồ thị trong Hình 1.37 là đồ thị của hàm số: A.y=x+1x+2. B.y=x+12x+1. C.y=x+1x−1. D.y=1−xx+3.
Kiến thức cần nhớ
Đồ thị y=cx+dax+b (với c=0, ad−bc=0) có tiệm cận đứng x=−cd và tiệm cận ngang y=ca.
Giao của hai tiệm cận là tâm đối xứng I(−cd;ca) của đồ thị.
Muốn kiểm tra một điểm có thuộc đồ thị hay không, chỉ cần thay hoành độ vào công thức.
🧠 Phân tích tư duy
Hình cho một hypebol hai nhánh, nên hàm cần tìm là phân thức bậc nhất trên bậc nhất; ba dữ kiện đọc được ngay từ hình là tiệm cận đứng x=−1, tiệm cận ngang y=2 và điểm (0;1). Hướng nhanh nhất là dùng hai tiệm cận vì chúng lọc được tới ba phương án chỉ bằng cách nhìn hệ số. Bẫy của đề là hai phương án A và C cũng có tiệm cận đứng x=−1 nên nếu chỉ nhìn đường thẳng đứng thì chưa loại được gì.
1Cách 1. Đọc hai tiệm cận từ đồ thị rồi so với từng phương án
Định hướng. Hai đường nét đứt trên hình cho ngay hai tiệm cận; đối chiếu chúng với hệ số của từng phương án.
Từ hình: tiệm cận đứng x=−1, tiệm cận ngang y=2 Ay=x+1x+2 có tiệm cận ngang y=1, loại Cy=x+1x−1 có tiệm cận ngang y=1, loại Dy=1−xx+3 có mẫu triệt tiêu tại x=1 nên tiệm cận đứng là x=1, loại By=x+12x+1 có x→±∞limx+12x+1=2 và x→(−1)+limx+12x+1=−∞
Vậy đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số ở phương án B.
2Cách 2. Thay toạ độ các điểm đọc được trên hình (loại trừ)
Định hướng. Hình cho thấy đồ thị đi qua (0;1); thay x=0 vào bốn công thức là gạch được gần hết.
Từ hình, đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1) và cắt trục hoành tại (−21;0) A: y(0)=0+10+2=2=1, loại C: y(0)=0+10−1=−1=1, loại D: y(0)=1−00+3=3=1, loại B: y(0)=0+10+1=1 đúng, và y(−21)=−21+12⋅(−21)+1=210=0 cũng đúng
Vậy đáp án là B.
3Cách 3. Đọc tâm đối xứng rồi dùng công thức tâm của hàm nhất biến
Định hướng. Giao của hai tiệm cận là tâm đối xứng; công thức tâm đối xứng cho phép ràng buộc đồng thời cả hai hệ số a và d chỉ bằng một phép đọc hình.
Từ hình, tâm đối xứng của đồ thị là I(−1;2)
Với y=cx+dax+b thì tâm đối xứng là I(−cd;ca) −cd=−1 và ca=2, tức d=c và a=2c
Chọn c=1 thì a=2, d=1, hàm số có dạng y=x+12x+b
Trong bốn phương án chỉ có By=x+12x+1 mang dạng đó
Kiểm chứng bằng phép đổi trục X=x+1, Y=y−2 y=x+12(x+1)−1=2−x+11 nên Y=−X1, một hàm lẻ, đúng là nhận gốc mới làm tâm đối xứng
Vậy đồ thị trong Hình 1.37 là đồ thị của hàm số y=x+12x+1 — đáp án B.
Nhận xét. Dạng Y=−X1 còn cho biết hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, khớp với chiều đi lên của hai nhánh trên hình.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: tiệm cận ngang y=2 một mình đã gạch được A và C, thêm tiệm cận đứng là loại nốt D; Cách 2 cũng nhanh nhưng phải thay số bốn lần.
Đáp số.Đáp án B: y=x+12x+1.
Sai lầm thường gặp.Nhầm tiệm cận ngang của y=cx+dax+b thành y=db thay vì y=ca. Phản ví dụ: với y=x+1x+2, công thức sai cho y=2 (trùng hình nên dễ chọn nhầm A), trong khi tính giới hạn thật thì x→+∞limx+1x+2=1.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi dữ kiện thành tiệm cận đứng x=2, tiệm cận ngang y=−3 và đồ thị qua (0;0) thì hàm số là y=x−2−3x — hãy tự lập lại bằng công thức tâm đối xứng ở Cách 3.
Bài 10 · Bài 1.39★★★Trang 43— Trắc nghiệm — nhận dạng hàm số từ đồ thị có tiệm cận xiên
Bài 1.39 (trang 43). Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số: A.y=x−x+11. B.y=x+12x+1. C.y=x+1x2−x+1. D.y=x+1x2+x+1.
Kiến thức cần nhớ
Đồ thị hàm số y=cx+dax+b chỉ có tiệm cận ngang, không bao giờ có tiệm cận xiên.
Với y=x+x+mk thì y′=1−(x+m)2k, hàm số có hai cực trị khi k>0 và không có cực trị khi k<0.
Tiệm cận xiên đọc từ hình là đường thẳng mà đồ thị áp sát khi x→±∞.
🧠 Phân tích tư duy
Trên hình có một đường nét đứt XIÊN, đó là dấu hiệu loại ngay mọi hàm nhất biến (đồ thị hàm nhất biến chỉ có tiệm cận ngang). Hình còn cho hai điểm cực trị rất rõ là (−2;−3) và (0;1) — dữ kiện mạnh nhất, vì trong ba phương án còn lại chỉ một hàm có cực trị tại đúng hai điểm đó. Bẫy: cả ba phương án A, C, D đều có tiệm cận đứng x=−1, nên đừng dừng ở việc đọc tiệm cận đứng.
1Cách 1. Đọc tiệm cận đứng và tiệm cận xiên từ hình
Định hướng. Hai đường nét đứt cho hai tiệm cận; so chúng với từng phương án sau khi tách phần nguyên.
Từ hình: tiệm cận đứng x=−1, tiệm cận xiên y=x (đường xiên đi qua gốc toạ độ) By=x+12x+1 là hàm nhất biến, chỉ có tiệm cận ngang y=2, loại C: x2−x+1=(x+1)(x−2)+3 nên y=x−2+x+13, tiệm cận xiên là y=x−2, loại A: y=x−x+11 có tiệm cận xiên y=x và tiệm cận đứng x=−1, còn giữ lại D: x2+x+1=x(x+1)+1 nên y=x+x+11, cũng có tiệm cận xiên y=x và tiệm cận đứng x=−1
Hình cho thấy đồ thị có cực đại và cực tiểu, còn A có y′=1+(x+1)21>0 nên không có cực trị, loại
Vậy đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số ở phương án D.
2Cách 2. Thay toạ độ hai điểm cực trị đọc được trên hình (loại trừ)
Định hướng. Hình chỉ rõ hai điểm (−2;−3) và (0;1); thay hoành độ vào bốn công thức thì đáp án lộ ngay.
Thay x=−2 vào từng phương án A: −2−−11=−2+1=−1=−3, loại B: −2+12⋅(−2)+1=−1−3=3=−3, loại C: −14+2+1=−7=−3, loại D: −14−2+1=−3 đúng
Kiểm lại điểm thứ hai với D: y(0)=0+10+0+1=1 đúng
Vậy đáp án là D.
3Cách 3. Tách phần nguyên rồi dùng điều kiện có cực trị
Định hướng. Đưa cả A và D về cùng dạng y=x+x+1k; dấu của k quyết định hàm số có cực trị hay không, mà hình thì cho thấy rõ ràng là có.
Dạng chung y=x+x+1k cho y′=1−(x+1)2k=(x+1)2(x+1)2−k k≤0 thì y′>0 với mọi x=−1, hàm số không có cực trị k>0 thì y′=0⇔(x+1)2=k⇔x=−1±k, hàm số có hai cực trị A ứng với k=−1<0, không có cực trị, trái với hình D ứng với k=1>0, hai điểm cực trị là x=−1±1, tức x=−2 và x=0 y(−2)=−2+−11=−3 và y(0)=0+11=1, khớp đúng hai điểm trên hình
Vậy đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của y=x+1x2+x+1 — đáp án D.
Nhận xét. Dạng y=x+x+1k cho thấy khoảng cách theo phương đứng từ đồ thị tới tiệm cận xiên đúng bằng x+1k, giảm dần về 0 — đúng như hình.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: một phép thay x=−2 là loại được ba phương án, nhanh hơn hẳn việc tách phần nguyên bốn lần; Cách 3 hay nhất về tư duy vì nó giải thích được vì sao A hỏng.
Đáp số.Đáp án D: y=x+1x2+x+1.
Sai lầm thường gặp.Chọn A vì thấy A cũng có tiệm cận xiên y=x và tiệm cận đứng x=−1 giống hệt D. Phân biệt bằng cực trị: y=x−x+11 có y′=1+(x+1)21>0 nên đồ thị chỉ đi lên, không có đỉnh nhô như trên hình; còn y=x+x+11 mới có cực đại (−2;−3) và cực tiểu (0;1).
🚀 Mở rộng.Tổng quát y=x+x+1k với k>0 luôn có cực đại tại x=−1−k và cực tiểu tại x=−1+k, hai giá trị cực trị cách nhau đúng 4k — hãy kiểm lại với k=1: hai giá trị là −3 và 1.
Bài 11 · Bài 1.40★★Trang 43— Tự luận — xét chiều biến thiên và tìm cực trị của bốn dạng hàm cơ bản
Bài 1.40 (trang 43). Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
a) y=x3−3x2+3x−1;
b) y=x4−2x2−1;
c) y=3x+12x−1;
d) y=x+1x2+2x+2.
Kiến thức cần nhớ
x3−3x2+3x−1=(x−1)3 và x4−2x2−1=(x2−1)2−2.
Hàm số đạt cực trị tại x0 khi y′ đổi dấu qua x0; nếu y′ không đổi dấu thì không có cực trị dù y′(x0)=0.
x+1x2+2x+2=(x+1)+x+11 vì x2+2x+2=(x+1)2+1.
🧠 Phân tích tư duy
Bốn ý cố tình chọn bốn dạng khác nhau: bậc ba có nghiệm kép của đạo hàm, trùng phương, nhất biến và bậc hai trên bậc nhất — nhìn dạng là đoán được ngay kết quả sẽ có bao nhiêu cực trị. Với ý a) đạo hàm là bình phương nên không đổi dấu, đó là chỗ dễ mất điểm nhất vì nhiều bạn thấy y′=0 có nghiệm là kết luận có cực trị. Với ý c) và d) phải nêu tập xác định trước, vì kết luận đơn điệu chỉ đúng trên TỪNG khoảng.
1Cách 1. Đạo hàm và bảng biến thiên cho từng ý
Định hướng. Với mỗi hàm, nêu tập xác định, tính y′, giải y′=0, xét dấu rồi đọc kết quả từ bảng biến thiên.
a) Tập xác định D=R y′=3x2−6x+3=3(x2−2x+1)=3(x−1)2≥0 với mọi x y′=0⇔x=1, và y′ giữ nguyên dấu dương ở hai bên x=1
Hàm số đồng biến trên R và không có cực trị b) Tập xác định D=R y′=4x3−4x=4x(x2−1)=4x(x−1)(x+1) y′=0⇔x=−1 hoặc x=0 hoặc x=1 y(−1)=1−2−1=−2 ; y(0)=−1 ; y(1)=1−2−1=−2
x
−∞
−1
0
1
+∞
y′
−
0
+
0
−
0
+
y
+∞
↘
−2
↗
−1
↘
−2
↗
+∞
Hàm số nghịch biến trên (−∞;−1) và (0;1), đồng biến trên (−1;0) và (1;+∞)
Cực đại tại x=0 với giá trị cực đại −1 ; cực tiểu tại x=−1 và x=1 với giá trị cực tiểu −2 c) Tập xác định D=R∖{−31} y′=(3x+1)22(3x+1)−3(2x−1)=(3x+1)26x+2−6x+3=(3x+1)25>0 với mọi x=−31
Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞;−31) và (−31;+∞), không có cực trị d) Tập xác định D=R∖{−1} y′=(x+1)2(2x+2)(x+1)−(x2+2x+2)=(x+1)22x2+4x+2−x2−2x−2=(x+1)2x2+2x=(x+1)2x(x+2) y′=0⇔x=−2 hoặc x=0 y(−2)=−14−4+2=−2 ; y(0)=12=2
x
−∞
−2
−1
0
+∞
y′
+
0
−
−
0
+
y
−∞
↗
−2
↘
−∞
+∞
↘
2
↗
+∞
Hàm số đồng biến trên (−∞;−2) và (0;+∞), nghịch biến trên (−2;−1) và (−1;0)
Cực đại tại x=−2 với giá trị cực đại −2 ; cực tiểu tại x=0 với giá trị cực tiểu 2
Vậy a) đồng biến trên R, không có cực trị; b) cực đại −1 tại x=0, cực tiểu −2 tại x=±1; c) đồng biến trên từng khoảng xác định, không có cực trị; d) cực đại −2 tại x=−2, cực tiểu 2 tại x=0.
2Cách 2. Nhận dạng cấu trúc rồi đổi ẩn hoặc tách phần nguyên
Định hướng. Cả bốn biểu thức đều gói lại được thành một dạng quen: luỹ thừa của nhị thức, hàm bậc hai theo x2, hằng số cộng phân thức đơn, và tổng u+u1 — nhìn ra dạng là đọc được kết quả gần như không cần tính.
a)y=x3−3x2+3x−1=(x−1)3
Hàm t↦t3 đồng biến trên R và không có cực trị, phép tịnh tiến t=x−1 không làm đổi điều đó b)y=x4−2x2−1=(x2−1)2−2
Đặt u=x2≥0 thì y=(u−1)2−2≥−2, dấu bằng khi u=1, tức x=±1 y=−2 là giá trị nhỏ nhất, đạt tại x=±1 nên đó là hai điểm cực tiểu
Tại x=0 thì u=0 và y=−1; hàm số là hàm chẵn, giảm rồi tăng đối xứng nhau qua trục tung nên x=0 là điểm cực đại với giá trị cực đại −1 c)2x−1=32(3x+1)−35 nên y=32−3(3x+1)5
Đặt X=3x+1 thì y=32−3X5, đồng biến trên (−∞;0) và trên (0;+∞), không có cực trị d)x2+2x+2=(x+1)2+1 nên y=(x+1)+x+11
Đặt u=x+1=0 thì y=u+u1
Với u>0: u+u1≥2 theo bất đẳng thức Cô-si, dấu bằng khi u=1, tức x=0
Với u<0: đặt v=−u>0 thì y=−(v+v1)≤−2, dấu bằng khi v=1, tức x=−2
Vậy a) và c) không có cực trị; b) có cực đại −1 tại x=0 và cực tiểu −2 tại x=±1; d) có cực tiểu 2 tại x=0 và cực đại −2 tại x=−2 — trùng khớp Cách 1.
3Cách 3. Dùng đạo hàm cấp hai để phân loại cực trị
Định hướng. Khi đã có các điểm dừng, dấu của y′′ tại đó cho ngay kết luận cực đại hay cực tiểu mà không cần xét dấu y′ trên từng khoảng.
a)y′=3(x−1)2, y′′=6(x−1), y′′(1)=0 nên tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai không kết luận được
Quay lại dấu của y′: y′=3(x−1)2≥0 và chỉ bằng 0 tại một điểm, hàm số đồng biến trên R, không có cực trị b)y′=4x3−4x, y′′=12x2−4 y′′(0)=−4<0 nên x=0 là điểm cực đại, giá trị cực đại −1 y′′(±1)=12−4=8>0 nên x=±1 là hai điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu −2 c)y′=(3x+1)25>0, phương trình y′=0 vô nghiệm nên không có điểm dừng, không có cực trị d)y=(x+1)+x+11 cho y′=1−(x+1)21 và y′′=(x+1)32 y′′(0)=2>0 nên x=0 là điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu 2 y′′(−2)=(−1)32=−2<0 nên x=−2 là điểm cực đại, giá trị cực đại −2
Vậy kết quả trùng với hai cách trên; riêng ý a) cho thấy khi y′′ triệt tiêu tại điểm dừng thì bắt buộc phải quay về xét dấu y′.
Nhận xét. Ở ý d) có hiện tượng thú vị: giá trị cực đại −2 lại NHỎ HƠN giá trị cực tiểu 2. Điều đó không mâu thuẫn, vì cực trị chỉ là tính chất địa phương và hai điểm ấy nằm ở hai phía khác nhau của tiệm cận đứng x=−1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: bảng biến thiên vừa cho chiều biến thiên vừa cho cực trị, đúng hai yêu cầu của đề trong một lần làm; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại loại cực trị cho nhanh.
Đáp số.a) Đồng biến trên R, không có cực trị. b) Nghịch biến trên (−∞;−1) và (0;1), đồng biến trên (−1;0) và (1;+∞); cực đại y=−1 tại x=0, cực tiểu y=−2 tại x=±1. c) Đồng biến trên (−∞;−31) và (−31;+∞), không có cực trị. d) Đồng biến trên (−∞;−2) và (0;+∞), nghịch biến trên (−2;−1) và (−1;0); cực đại y=−2 tại x=−2, cực tiểu y=2 tại x=0.
Sai lầm thường gặp.Ở ý a), thấy y′=3(x−1)2 có nghiệm x=1 rồi kết luận hàm số đạt cực trị tại x=1. Kiểm tra bằng phản ví dụ số: y(0)=−1, y(1)=0, y(2)=1 — giá trị vẫn tăng đều qua x=1 nên đó không phải điểm cực trị. Ở ý c) và d), viết "đồng biến trên R" hoặc gộp hai khoảng bằng dấu hợp cũng là sai vì hàm số không xác định tại điểm bị loại.
🚀 Mở rộng.Tổng quát cho ý d): hàm y=u+uk với k>0 luôn có cực tiểu 2k và cực đại −2k; thay u=x+1 và k=1 được đúng bài này — hãy thử lại với y=x+1x2+2x+5 (ứng với k=4).
Bài 12 · Bài 1.41★★★Trang 44— Tự luận — giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng và trên tập xác định
Bài 1.41 (trang 44). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) y=3x−22x+1 trên nửa khoảng [2;+∞);
b) y=2−x2.
Kiến thức cần nhớ
3x−22x+1=32+3(3x−2)7 vì 2x+1=32(3x−2)+37.
Hàm số nghịch biến trên [a;+∞) thì đạt giá trị lớn nhất tại x=a; giới hạn tại +∞ chỉ là chặn dưới, không phải giá trị nhỏ nhất nếu không đạt được.
(u)′=2uu′ với u>0.
🧠 Phân tích tư duy
Hai ý kiểm tra hai tình huống trái ngược nhau. Ý a) cho một NỬA khoảng, đầu bên phải là vô cực nên giá trị ở đó chỉ là giới hạn, không phải giá trị đạt được — đây chính là chỗ sinh ra câu "nếu có" trong đề. Ý b) không cho khoảng nên việc đầu tiên là tìm tập xác định [−2;2], và vì đó là một đoạn kín nên chắc chắn có cả giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất. Bẫy chung: quên so giá trị tại các đầu mút.
1Cách 1. Đạo hàm và bảng biến thiên
Định hướng. Xét dấu đạo hàm trên đúng miền mà đề cho, rồi đọc giá trị lớn nhất, nhỏ nhất từ bảng biến thiên, chú ý đầu mút nào đạt được và đầu mút nào không.
a) Trên [2;+∞) ta có 3x−2≥4>0 nên hàm số xác định y′=(3x−2)22(3x−2)−3(2x+1)=(3x−2)26x−4−6x−3=(3x−2)2−7<0
Hàm số nghịch biến trên [2;+∞) y(2)=45 ; x→+∞limy=x→+∞lim3−x22+x1=32
x
2
+∞
y′
−
y
45
↘
32
[2;+∞)maxy=45 tại x=2 y>32 với mọi x≥2 và không có x nào cho y=32, nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất b) Điều kiện 2−x2≥0⇔−2≤x≤2, tập xác định D=[−2;2] y′=22−x2−2x=2−x2−x với −2<x<2 y′=0⇔x=0 ; y′>0 khi x<0 và y′<0 khi x>0 y(−2)=0 ; y(0)=2 ; y(2)=0
x
−2
0
2
y′
+
0
−
y
0
↗
2
↘
0
Vậy a) maxy=45 tại x=2, không có giá trị nhỏ nhất; b) maxy=2 tại x=0 và miny=0 tại x=±2.
2Cách 2. Tách phần nguyên và đánh giá trực tiếp (không dùng đạo hàm)
Định hướng. Ý a) viết thành hằng số cộng một phân thức đơn để chặn ngay; ý b) chặn thẳng biểu thức dưới dấu căn.
a)2x+1=32(3x−2)+37 nên y=32+3(3x−2)7
Với x≥2 thì 3x−2≥4 nên 0<3(3x−2)7≤127, dấu bằng bên phải khi x=2 32<y≤32+127=128+127=1215=45 y=45 khi x=2 nên maxy=45; còn y luôn lớn hơn 32 nên không có giá trị nhỏ nhất b) Với x∈[−2;2] thì 0≤x2≤2 0≤2−x2≤2 0≤2−x2≤2 y=2 khi x2=0, tức x=0 ; y=0 khi x2=2, tức x=±2
Vậy a) maxy=45, không có giá trị nhỏ nhất; b) maxy=2 tại x=0, miny=0 tại x=±2.
3Cách 3. Đổi ẩn (ý a) và đọc hình nửa đường tròn (ý b)
Định hướng. Ý a) đặt ẩn phụ cho mẫu để đưa về hàm nghịch đảo quen thuộc; ý b) nhận ra đồ thị chính là nửa đường tròn nên đọc được ngay hai giá trị cần tìm.
a) Đặt t=3x−2; khi x≥2 thì t≥4 x=3t+2 và y=t2⋅3t+2+1=t32t+7=32+3t7
Hàm t↦3t7 nghịch biến trên [4;+∞) nên y lớn nhất khi t nhỏ nhất, tức t=4 t=4 ứng với x=2 và y=32+127=45
Khi t→+∞ thì y→32 nhưng không bao giờ bằng 32 b) Với y=2−x2 ta có y≥0 và y2=2−x2 x2+y2=2 với y≥0
Đồ thị là NỬA đường tròn tâm O bán kính 2 nằm phía trên trục hoành
Điểm cao nhất của nửa đường tròn là (0;2), hai điểm thấp nhất là (±2;0)
Vậy a) giá trị lớn nhất 45 tại x=2, không có giá trị nhỏ nhất; b) giá trị lớn nhất 2 tại x=0, giá trị nhỏ nhất 0 tại x=±2.
Nhận xét. Hình vẽ nửa đường tròn cho thấy vì sao ý b) chắc chắn có đủ cả hai giá trị: tập xác định là một đoạn kín và hàm số liên tục trên đó.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: ý a) chỉ hai dòng tách phần nguyên là ra cả chặn trên lẫn lí do không có giá trị nhỏ nhất, ý b) chặn trực tiếp còn nhanh hơn đạo hàm; Cách 1 nên giữ khi đề yêu cầu trình bày bảng biến thiên.
Đáp số.a) [2;+∞)maxy=45 tại x=2; hàm số KHÔNG có giá trị nhỏ nhất (chỉ có infy=32, không đạt được). b) maxy=2 tại x=0; miny=0 tại x=±2.
Sai lầm thường gặp.Ở ý a) kết luận "giá trị nhỏ nhất bằng 32". Sai vì y=32+3(3x−2)7 luôn lớn hơn 32 với mọi x≥2: nếu y=32 thì 3(3x−2)7=0, vô lí. Ở ý b) quên tìm tập xác định rồi thay bừa x=2 vào 2−x2 để lấy căn của số âm.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi ý a) thành nửa khoảng (32;+∞) thì hàm số không còn giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất, vì khi x→(32)+ thì y→+∞ — hãy thử lập lại bảng biến thiên để thấy vai trò quyết định của đầu mút kín hay hở.
Bài 1.42 (trang 44). Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:
a) y=x+13x−2;
b) y=2x−1x2+2x−1.
Kiến thức cần nhớ
x=x0 là tiệm cận đứng khi một giới hạn một bên tại x0 bằng ±∞.
Bậc tử bằng bậc mẫu cho tiệm cận ngang y= tỉ số hai hệ số bậc cao nhất; bậc tử hơn bậc mẫu đúng 1 cho tiệm cận xiên.
Một đồ thị không thể vừa có tiệm cận ngang vừa có tiệm cận xiên về cùng một phía vô cực.
🧠 Phân tích tư duy
So bậc của tử với bậc của mẫu là việc đầu tiên: ý a) hai bậc bằng nhau nên có tiệm cận ngang, ý b) tử hơn mẫu đúng một bậc nên có tiệm cận xiên chứ không có tiệm cận ngang. Nghiệm của mẫu cho ứng viên tiệm cận đứng, nhưng phải kiểm tra tử không cùng triệt tiêu tại đó thì mới thật sự là tiệm cận. Bẫy: nhiều bạn quen tay đi tìm tiệm cận ngang cho cả ý b), trong khi giới hạn của y tại vô cực là vô cực.
1Cách 1. Tính trực tiếp các giới hạn theo định nghĩa
Định hướng. Bám sát định nghĩa: giới hạn tại nghiệm của mẫu cho tiệm cận đứng, giới hạn tại vô cực cho tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên.
a) Tập xác định D=R∖{−1} x→(−1)+limx+13x−2=−∞ vì tử tiến tới −5<0 còn mẫu tiến tới 0+ x→(−1)−limx+13x−2=+∞
Đường thẳng x=−1 là tiệm cận đứng x→±∞limx+13x−2=x→±∞lim1+x13−x2=3
Đường thẳng y=3 là tiệm cận ngang b) Tập xác định D=R∖{21}
Tại x=21 tử bằng 41+1−1=41=0 x→(21)+limy=+∞ và x→(21)−limy=−∞
Đường thẳng x=21 là tiệm cận đứng x→+∞limy=+∞ nên đồ thị không có tiệm cận ngang x→±∞lim[y−(2x+45)]=x→±∞lim4(2x−1)1=0
Đường thẳng y=2x+45 là tiệm cận xiên
Vậy a) tiệm cận đứng x=−1, tiệm cận ngang y=3; b) tiệm cận đứng x=21, tiệm cận xiên y=2x+45.
2Cách 2. Chia đa thức để tách phần nguyên
Định hướng. Viết mỗi phân thức thành "phần đa thức cộng phần dư nhỏ dần"; phần đa thức chính là tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên, còn mẫu của phần dư cho tiệm cận đứng.
a)3x−2=3(x+1)−5 y=x+13(x+1)−5=3−x+15
Khi x→±∞ thì x+15→0 nên y→3, tiệm cận ngang y=3
Khi x→−1 thì x+15 ra vô cực nên tiệm cận đứng x=−1 b)x2+2x−1=(2x−1)(2x+45)+41
Kiểm lại: (2x−1)⋅2x=x2−2x và (2x−1)⋅45=25x−45, cộng lại được x2+2x−45, thêm 41 thành x2+2x−1 y=2x+45+4(2x−1)1
Phần dư 4(2x−1)1 tiến về 0 khi x→±∞ và ra vô cực khi x→21
Vậy a) tiệm cận đứng x=−1, tiệm cận ngang y=3; b) tiệm cận đứng x=21, tiệm cận xiên y=2x+45.
3Cách 3. Dùng công thức hệ số của tiệm cận
Định hướng. Không cần chia đa thức, chỉ cần hai giới hạn: một cho hệ số góc, một cho tung độ gốc; công thức này dùng chung cho cả tiệm cận ngang (khi hệ số góc bằng 0) lẫn tiệm cận xiên.
a)a=x→±∞limxy=x→±∞limx2+x3x−2=0 b=x→±∞lim(y−0⋅x)=x→±∞limx+13x−2=3
Hệ số góc bằng 0 nên đường tiệm cận nằm ngang: y=3
Mẫu triệt tiêu tại x=−1 mà tử tại đó bằng −5=0 nên x=−1 là tiệm cận đứng b)a=x→±∞limxy=x→±∞lim2x2−xx2+2x−1=x→±∞lim2−x11+x2−x21=21 b=x→±∞lim(y−2x)=x→±∞lim2(2x−1)2(x2+2x−1)−x(2x−1)=x→±∞lim2(2x−1)5x−2=45
Hệ số góc 21=0 nên tiệm cận xiên là y=2x+45
Mẫu triệt tiêu tại x=21 mà tử tại đó bằng 41=0 nên x=21 là tiệm cận đứng
Vậy kết quả trùng khớp hai cách trên.
Nhận xét. Từ dạng tách y=2x+45+4(2x−1)1 còn đọc được vị trí tương đối: khi x>21 phần dư dương nên đồ thị nằm PHÍA TRÊN tiệm cận xiên, khi x<21 thì nằm phía dưới.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chia đa thức một lần là đọc được cả tiệm cận đứng lẫn tiệm cận ngang hoặc xiên, lại thấy luôn đồ thị nằm trên hay dưới tiệm cận; Cách 3 dài hơn vì phải tính hai giới hạn cho mỗi ý.
Sai lầm thường gặp.Ở ý b) tính x→+∞lim2x−1x2+2x−1=21 rồi kết luận tiệm cận ngang y=21. Sai vì đã chia nhầm hệ số bậc hai cho hệ số bậc nhất; thực ra 2x−1x2+2x−1≈2x→+∞. Thử một số cụ thể để tự phát hiện: với x=101 thì y=20110301+202−1≈52,3, rõ ràng không tiến về 21.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: phân thức Q(x)P(x) có tiệm cận ngang khi degP≤degQ, có tiệm cận xiên khi degP=degQ+1, và không có tiệm cận ngang lẫn xiên khi degP≥degQ+2 — hãy thử với y=x−1x3.
Bài 14 · Bài 1.43★★★Trang 44— Tự luận — khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ba dạng hàm cơ bản
Bài 1.43 (trang 44). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y=−x3+6x2−9x+12;
b) y=x+12x−1;
c) y=x−1x2−2x.
Kiến thức cần nhớ
Sơ đồ khảo sát: tập xác định, tính y′ và nghiệm của y′=0, các giới hạn, tiệm cận, bảng biến thiên, cực trị, điểm đặc biệt rồi vẽ đồ thị.
Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn (nghiệm của y′′=0) làm tâm đối xứng.
x−1x2−2x=(x−1)−x−11 vì x2−2x=(x−1)2−1.
🧠 Phân tích tư duy
Ba ý đại diện cho ba dạng phải thuộc lòng của chương: bậc ba, nhất biến và bậc hai trên bậc nhất. Nhìn dạng là biết trước kết quả: bậc ba với hệ số bậc ba âm thì đồ thị đi từ +∞ xuống −∞ và có hai cực trị nếu y′ có hai nghiệm phân biệt; hai ý phân thức chắc chắn có tiệm cận đứng tại nghiệm mẫu. Bẫy lớn nhất là bỏ qua bước tiệm cận ở hai ý sau, hoặc quên rằng ý c) có tiệm cận XIÊN chứ không phải tiệm cận ngang.
1Cách 1. Khảo sát theo sơ đồ đầy đủ
Định hướng. Đi đủ các bước của sơ đồ khảo sát cho từng hàm, không bỏ bước tiệm cận với hai ý phân thức.
a)y=−x3+6x2−9x+12
Tập xác định: D=R y′=−3x2+12x−9=−3(x2−4x+3)=−3(x−1)(x−3) y′=0⇔x=1 hoặc x=3 x→−∞limy=+∞ ; x→+∞limy=−∞
Hàm đa thức nên đồ thị không có tiệm cận y(1)=−1+6−9+12=8 ; y(3)=−27+54−27+12=12
x
−∞
1
3
+∞
y′
−
0
+
0
−
y
+∞
↘
8
↗
12
↘
−∞
Hàm số nghịch biến trên (−∞;1) và (3;+∞), đồng biến trên (1;3)
Cực tiểu tại x=1 với giá trị cực tiểu 8 ; cực đại tại x=3 với giá trị cực đại 12 y′′=−6x+12, y′′=0⇔x=2 và y(2)=−8+24−18+12=10, điểm uốn I(2;10) là tâm đối xứng
Đồ thị cắt trục tung tại (0;12) và cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ khoảng 4,61 b)y=x+12x−1
Tập xác định: D=R∖{−1} y′=(x+1)22(x+1)−(2x−1)=(x+1)23>0 với mọi x=−1 x→(−1)−limy=+∞ ; x→(−1)+limy=−∞ ; x→±∞limy=2
Tiệm cận đứng x=−1 ; tiệm cận ngang y=2
x
−∞
−1
+∞
y′
+
+
y
2
↗
+∞
−∞
↗
2
Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞;−1) và (−1;+∞), không có cực trị
Đồ thị cắt trục tung tại (0;−1), cắt trục hoành tại (21;0), nhận I(−1;2) làm tâm đối xứng c)y=x−1x2−2x
Tập xác định: D=R∖{1} y′=(x−1)2(2x−2)(x−1)−(x2−2x)=(x−1)22x2−4x+2−x2+2x=(x−1)2x2−2x+2=(x−1)2(x−1)2+1>0 y′ không triệt tiêu nên hàm số không có cực trị x→1−limy=+∞ ; x→1+limy=−∞ ; x→−∞limy=−∞ ; x→+∞limy=+∞
Tiệm cận đứng x=1 x2−2x=(x−1)2−1 nên y=(x−1)−x−11 và x→±∞lim[y−(x−1)]=0
Tiệm cận xiên y=x−1
x
−∞
1
+∞
y′
+
+
y
−∞
↗
+∞
−∞
↗
+∞
Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞;1) và (1;+∞)
Đồ thị cắt hai trục tại (0;0) và cắt trục hoành thêm tại (2;0), nhận I(1;0) làm tâm đối xứng
Vậy ba đồ thị được vẽ như hình bên: a) đồ thị bậc ba có cực tiểu (1;8), cực đại (3;12), tâm đối xứng I(2;10); b) hypebol với tiệm cận x=−1, y=2; c) hai nhánh với tiệm cận đứng x=1 và tiệm cận xiên y=x−1.
2Cách 2. Dời trục về tâm đối xứng để rút gọn về hàm lẻ quen thuộc
Định hướng. Cả ba đồ thị đều có tâm đối xứng; dời gốc toạ độ về đó thì công thức rút gọn thành một hàm LẺ rất dễ vẽ, rồi tịnh tiến ngược lại là xong.
a) Tâm đối xứng là điểm uốn I(2;10); đặt x=X+2 và Y=y−10 y=−(X+2)3+6(X+2)2−9(X+2)+12 y=−(X3+6X2+12X+8)+6(X2+4X+4)−9X−18+12 y=−X3+3X+10 Y=−X3+3X, một hàm lẻ, có Y′=−3X2+3=0⇔X=±1 Y(−1)=−2 và Y(1)=2, tức trong hệ cũ là (1;8) và (3;12) b) Tâm đối xứng I(−1;2); đặt X=x+1, Y=y−2 y=x+12(x+1)−3=2−x+13 nên Y=−X3, hàm lẻ, hai nhánh hypebol đối xứng qua gốc mới c) Tâm đối xứng I(1;0); đặt X=x−1, Y=y y=(x−1)−x−11 nên Y=X−X1, cũng là hàm lẻ
Vậy ba đồ thị lần lượt là ảnh của các đồ thị hàm lẻ Y=−X3+3X, Y=−X3, Y=X−X1 qua phép tịnh tiến đưa gốc toạ độ về I(2;10), I(−1;2), I(1;0) — kết quả khớp Cách 1.
3Cách 3. Tách phần nguyên: đồ thị bằng đường tiệm cận cộng phần dư
Định hướng. Với hai ý phân thức, viết y thành "đường thẳng tiệm cận cộng phần dư"; dấu của phần dư nói ngay nhánh nào nằm trên, nhánh nào nằm dưới tiệm cận, nhờ đó vẽ hình rất nhanh và không sợ vẽ ngược.
b)y=2−x+13
Với x>−1: x+13>0 nên y<2, nhánh phải nằm DƯỚI tiệm cận ngang
Với x<−1: x+13<0 nên y>2, nhánh trái nằm TRÊN tiệm cận ngang
Khoảng cách theo phương đứng từ đồ thị tới đường y=2 là ∣x+1∣3, giảm dần về 0 c)y=(x−1)−x−11
Với x>1: x−11>0 nên y<x−1, nhánh phải nằm DƯỚI tiệm cận xiên
Với x<1: y>x−1, nhánh trái nằm TRÊN tiệm cận xiên a) Với hàm bậc ba, thay vì tiệm cận thì dùng dấu của y′′=−6x+12 y′′>0 khi x<2: đồ thị lồi xuống (cong lên) trên (−∞;2) y′′<0 khi x>2: đồ thị cong xuống trên (2;+∞), đổi chiều cong tại điểm uốn I(2;10)
Vậy ba đồ thị vẽ được chính xác chỉ bằng đường tiệm cận (hoặc điểm uốn) cộng thêm dấu của phần dư — kết quả trùng khớp Cách 1.
Nhận xét. Mẹo kiểm tra nhanh mọi hình vẽ hàm phân thức: chấm thêm một điểm bất kì, chẳng hạn ý c) tại x=3 cho y=29−6=1,5, đúng là nhỏ hơn giá trị x−1=2 của tiệm cận xiên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 vì đề yêu cầu đúng quy trình khảo sát và bảng biến thiên là phần cho điểm; Cách 3 nên dùng kèm ở khâu vẽ hình để không bao giờ vẽ nhầm nhánh nằm trên hay dưới tiệm cận.
Đáp số.a) Nghịch biến trên (−∞;1) và (3;+∞), đồng biến trên (1;3); cực tiểu (1;8), cực đại (3;12), tâm đối xứng I(2;10). b) Đồng biến trên từng khoảng xác định; tiệm cận đứng x=−1, tiệm cận ngang y=2, tâm đối xứng I(−1;2). c) Đồng biến trên từng khoảng xác định; tiệm cận đứng x=1, tiệm cận xiên y=x−1, tâm đối xứng I(1;0).
Sai lầm thường gặp.Ở ý c), nhiều bạn tính x→+∞limx−1x2−2x rồi ghi tiệm cận ngang y=1 do rút gọn ẩu hệ số bậc cao. Kiểm chứng bằng số: với x=51 thì y=502601−102=49,98, rõ ràng không dừng ở 1 mà bám sát x−1=50. Một lỗi nữa là viết "hàm số đồng biến trên R∖{1}" thay vì "đồng biến trên từng khoảng".
🚀 Mở rộng.Tổng quát ý c): hàm y=x−mx2+bx+c có tiệm cận xiên y=x+(b+m) và có cực trị khi và chỉ khi m2+bm+c=0 — hãy thử khảo sát y=x−1x2−2x+2 để thấy trường hợp có hai cực trị.
Bài 15 · Bài 1.44★★★Trang 44— Vận dụng thực tiễn — khảo sát hàm số từ công thức thấu kính
Bài 1.44 (trang 44). Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức p1+q1=f1.
a) Viết công thức tính q=g(p) như một hàm số của biến p∈(f;+∞).
b) Tính các giới hạn p→+∞limg(p) ; p→f+limg(p) và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
c) Lập bảng biến thiên của hàm số q=g(p) trên khoảng (f;+∞).
Kiến thức cần nhớ
q1=f1−p1=fpp−f nên q=p−ffp.
p−ffp=f+p−ff2 vì fp=f(p−f)+f2.
Hàm số nghịch biến trên một khoảng thì giới hạn ở hai đầu khoảng là chặn trên và chặn dưới của tập giá trị.
🧠 Phân tích tư duy
Hệ thức của đề đối xứng hoàn toàn với p và q, nên rút q theo p chỉ là một phép biến đổi đại số ngắn. Điều đáng chú ý là điều kiện p>f: nó đảm bảo mẫu p−f dương, tức q>0, đúng với ý nghĩa vật lí là ảnh nằm ở phía bên kia thấu kính. Bẫy dễ vấp: quên rằng f là HẰNG SỐ dương, đem đạo hàm theo f hoặc coi f như biến thứ hai.
1Cách 1. Biến đổi đại số rồi dùng đạo hàm
Định hướng. Rút q theo p từ hệ thức, sau đó đạo hàm theo p với f đóng vai trò hằng số dương.
a)q1=f1−p1=fpp−f p>f>0 nên p−f>0, do đó q1>0 và q=g(p)=p−ffp với p∈(f;+∞) b)p→+∞limg(p)=p→+∞limp−ffp=p→+∞lim1−pff=f p→f+limg(p)=+∞ vì tử tiến tới f2>0 còn mẫu tiến tới 0+ c)g′(p)=(p−f)2f(p−f)−fp=(p−f)2−f2<0 với mọi p>f
p
f
+∞
q′
−
q
+∞
↘
f
Hàm số g nghịch biến trên khoảng (f;+∞), giá trị q giảm từ +∞ xuống tới gần f nhưng luôn lớn hơn f
Vậy a) q=g(p)=p−ffp ; b) p→+∞limg(p)=f nghĩa là vật càng ra xa thấu kính thì ảnh càng dịch về sát tiêu điểm, còn p→f+limg(p)=+∞ nghĩa là vật càng tiến sát tiêu điểm thì ảnh càng lùi ra xa vô tận ; c) bảng biến thiên như trên, g nghịch biến trên (f;+∞).
2Cách 2. Tách phần nguyên để đọc thẳng mọi kết quả
Định hướng. Viết q thành f cộng một phân thức đơn theo p−f; khi đó cả hai giới hạn lẫn chiều biến thiên hiện ra mà không cần đạo hàm.
fp=f(p−f)+f2 q=p−ff(p−f)+f2=f+p−ff2
Với p>f thì p−f>0 và p−ff2>0, do đó q>f luôn đúng p tăng thì p−f tăng nên p−ff2 giảm, kéo theo q giảm: hàm số nghịch biến trên (f;+∞) p→+∞ thì p−ff2→0 nên q→f p→f+ thì p−f→0+ nên p−ff2→+∞, do đó q→+∞
Đồ thị của g có tiệm cận đứng p=f và tiệm cận ngang q=f
Vậyq=f+p−ff2, hàm số nghịch biến từ +∞ xuống tới f (không đạt) trên khoảng (f;+∞).
3Cách 3. Dùng chính hệ thức đối xứng, không cần công thức tường minh
Định hướng. Hệ thức p1+q1=f1 nói rằng tổng hai nghịch đảo là hằng số; theo dõi p1 là suy ra ngay q1 rồi suy ra q.
q1=f1−p1
Trên (f;+∞), hàm p↦p1 nghịch biến nên −p1 đồng biến, do đó q1 ĐỒNG BIẾN theo p p>f nên p1<f1, suy ra q1>0, tức q>0 q1 đồng biến và luôn dương nên q nghịch biến trên (f;+∞) p→+∞ thì p1→0 nên q1→f1, do đó q→f p→f+ thì p1→f1 và q1→0+, do đó q→+∞
Vậy hàm số q=g(p) nghịch biến trên (f;+∞), nhận giá trị trong khoảng (f;+∞) — trùng khớp hai cách trên.
Nhận xét. Vì p và q có vai trò như nhau trong hệ thức, đồ thị của q=g(p) đối xứng với chính nó qua đường thẳng q=p; điểm tự đối xứng ứng với p=q=2f, chính là trường hợp ảnh và vật cách đều thấu kính.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: một dòng tách q=f+p−ff2 là trả lời trọn cả ba ý a), b), c) mà không phải đạo hàm; Cách 1 nên dùng khi đề bắt buộc trình bày bảng biến thiên có dòng dấu của q′.
Đáp số.a) q=g(p)=p−ffp=f+p−ff2, p∈(f;+∞). b) p→+∞limg(p)=f (vật ở rất xa thì ảnh hiện ngay sát tiêu điểm); p→f+limg(p)=+∞ (vật tiến sát tiêu điểm thì ảnh lùi ra xa vô tận). c) g′(p)=(p−f)2−f2<0, hàm số nghịch biến trên (f;+∞), q giảm từ +∞ tới f và luôn thoả mãn q>f.
Sai lầm thường gặp.Rút nhầm thành q=fpp−f do quên lấy nghịch đảo ở bước cuối. Tự kiểm tra bằng một bộ số: lấy f=10, p=15 thì 151+q1=101 cho q1=301, tức q=30; công thức đúng cho 15−1010⋅15=30, còn công thức nhầm cho 1505=301 — sai hẳn đơn vị.
🚀 Mở rộng.Từ dạng q=f+p−ff2 suy ra (p−f)(q−f)=f2: tích của hai "phần vượt tiêu cự" luôn bằng f2 — đó chính là công thức Newton của thấu kính; hãy dùng nó để trả lời ngay: vật cách tiêu điểm 4 cm và f=6 cm thì ảnh cách tiêu điểm bao nhiêu?
Bài 16 · Bài 1.45★★★Trang 44— Vận dụng thực tiễn — mô hình tăng trưởng dân số bằng hàm mũ
Bài 1.45 (trang 44). Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức N(t)=100e0,012t (N(t) được tính bằng triệu người, 0≤t≤50).
a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).
b) Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0;50]. Xét chiều biến thiên của hàm số N(t) trên đoạn [0;50].
c) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm?
Kiến thức cần nhớ
(eat)′=aeat, do đó N′(t)=0,012⋅100e0,012t=1,2e0,012t.
eu=m với m>0 tương đương u=lnm.
Với mô hình N(t)=N0ert ta luôn có N′(t)=rN(t): tốc độ tăng tỉ lệ thuận với dân số hiện có.
🧠 Phân tích tư duy
Mốc thời gian được tính từ năm 2023 nên việc đầu tiên là đổi năm thành giá trị của t: năm 2030 ứng với t=7, năm 2035 ứng với t=12 — đây chính là chỗ sai nhiều nhất của cả bài. Ý b) chỉ cần dấu của đạo hàm, mà đạo hàm của hàm mũ luôn cùng dấu với hệ số 0,012 nên kết quả đoán được trước. Ý c) là bài toán ngược: biết đạo hàm, tìm thời điểm, nên phải giải phương trình mũ bằng logarit.
1Cách 1. Thay số trực tiếp và dùng đạo hàm
Định hướng. Đổi năm thành giá trị của t rồi thay vào công thức; ý b) và c) xử lí bằng đạo hàm của hàm mũ.
a) Năm 2030 ứng với t=2030−2023=7 N(7)=100e0,012⋅7=100e0,084≈108,763
Năm 2035 ứng với t=2035−2023=12 N(12)=100e0,012⋅12=100e0,144≈115,488 b)N′(t)=100⋅0,012⋅e0,012t=1,2e0,012t>0 với mọi t∈[0;50] N(0)=100 ; N(50)=100e0,6≈182,212
t
0
50
N′(t)
+
N(t)
100
↗
100e0,6
Hàm số N đồng biến trên đoạn [0;50] c)N′(t)=1,6⇔1,2e0,012t=1,6 e0,012t=1,21,6=34 0,012t=ln34 t=0,0121ln34≈0,0120,287682≈23,97 t≈23,97 nằm trong đoạn [0;50] và ứng với thời điểm 2023+23,97≈2046,97
Vậy a) dân số năm 2030 khoảng 108,763 triệu người và năm 2035 khoảng 115,488 triệu người; b) hàm số đồng biến trên [0;50], dân số tăng liên tục từ 100 triệu lên khoảng 182,212 triệu người; c) tốc độ tăng đạt 1,6 triệu người/năm khi t≈23,97, tức vào khoảng cuối năm 2046 – đầu năm 2047 (làm tròn là năm 2047).
2Cách 2. Dùng tính chất nhân của hàm mũ (không cần đạo hàm ở ý b)
Định hướng. Hàm mũ biến khoảng cách thời gian bằng nhau thành tỉ số bằng nhau; nhờ đó tính năm 2035 từ năm 2030 và chứng minh tính đồng biến chỉ bằng so sánh luỹ thừa.
a)N(7)N(12)=100e0,084100e0,144=e0,06 N(7)=100e0,084≈108,763 N(12)=N(7)⋅e0,06≈108,763⋅1,061837≈115,488 b) Lấy 0≤t1<t2≤50 0,012t1<0,012t2
Hàm mũ cơ số e>1 đồng biến nên e0,012t1<e0,012t2 N(t1)<N(t2), vậy N đồng biến trên [0;50] c) Cứ sau mỗi 5 năm dân số nhân thêm e0,06≈1,0618, tức tăng khoảng 6,18%
Vậy cùng kết quả với Cách 1: N(7)≈108,763 và N(12)≈115,488 (triệu người), hàm số đồng biến trên [0;50].
3Cách 3. Dùng quan hệ tỉ lệ giữa tốc độ tăng và dân số
Định hướng. Với mô hình tăng trưởng mũ, đạo hàm luôn tỉ lệ với chính hàm số; nhờ đó câu hỏi về tốc độ tăng chuyển thành câu hỏi về dân số, giải nhanh hơn hẳn.
N′(t)=1,2e0,012t=0,012⋅100e0,012t=0,012N(t) N′(t)=1,6⇔0,012N(t)=1,6 N(t)=0,0121,6=3400≈133,333
Tốc độ tăng đạt 1,6 triệu người/năm đúng lúc dân số đạt khoảng 133,333 triệu người 100e0,012t=3400 e0,012t=34 t=0,012ln34≈23,97 N′(t)=0,012N(t)>0 vì N(t)>0, nên N đồng biến trên [0;50]
Vậy dân số đạt khoảng 133,333 triệu người khi t≈23,97, tức vào khoảng năm 2047; đồng thời quan hệ N′=0,012N cho ngay tính đồng biến của N.
Nhận xét. Quan hệ N′(t)=rN(t) là đặc trưng của mọi mô hình tăng trưởng mũ: tốc độ tăng tại một thời điểm luôn bằng 1,2% dân số ở thời điểm đó.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 cho ý a) và b) vì chỉ là thay số và xét dấu đạo hàm; riêng ý c) nên dùng Cách 3 vì quan hệ N′=0,012N biến bài toán tốc độ thành bài toán dân số, tính nhẩm được ngay 3400.
Đáp số.a) Năm 2030: khoảng 108,763 triệu người; năm 2035: khoảng 115,488 triệu người. b) N′(t)=1,2e0,012t>0 nên N đồng biến trên [0;50], tăng từ 100 triệu lên khoảng 182,212 triệu người. c) t=0,0121ln34≈23,97, tức vào khoảng năm 2047.
Sai lầm thường gặp.Lấy t=2030 rồi thay thẳng vào công thức, ra 100e24,36 — một con số khổng lồ vô nghĩa, lại còn vi phạm điều kiện 0≤t≤50 của đề. Mốc t phải đếm TỪ năm 2023, nên năm 2030 ứng với t=7. Lỗi thứ hai ở ý c): giải N(t)=1,6 thay vì N′(t)=1,6, cho ra e0,012t=0,016 với t âm, vô lí.
🚀 Mở rộng.Thời gian để dân số tăng gấp đôi trong mô hình này là t=0,012ln2≈57,76 năm — vượt ra ngoài đoạn [0;50], nên trong phạm vi mô hình dân số chưa kịp gấp đôi; hãy thử xem tốc độ tăng phải là bao nhiêu để dân số gấp đôi sau đúng 50 năm.
Bài 17 · Bài 1.46★★★★Trang 44— Tối ưu hoá chi phí — cực tiểu hàm số chứa căn trên một đoạn
Bài 1.46 (trang 44). Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.
Kiến thức cần nhớ
Trong tam giác vuông BMC với BC=4 và BM=x thì MC=16+x2.
Chi phí bằng độ dài nhân đơn giá; tổng chi phí là hàm số một biến trên đoạn [0;10].
Giá trị nhỏ nhất trên một đoạn phải so cả giá trị tại điểm dừng lẫn giá trị tại hai đầu mút.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho hai đơn giá khác nhau trên hai chặng và một điểm nối được tự do chọn — dấu hiệu kinh điển của bài toán tối ưu hoá. Ẩn phải là đại lượng xác định vị trí điểm M, và khoảng cách BM là lựa chọn tự nhiên nhất vì tam giác BMC vuông tại B cho ngay MC=16+x2. Bẫy lớn nhất: ẩn chỉ chạy trên đoạn [0;10], nên sau khi tìm điểm dừng phải so tiếp với giá trị tại hai đầu mút x=0 và x=10 mới được kết luận.
1Cách 1. Đặt ẩn là khoảng cách BM rồi khảo sát hàm chi phí
Định hướng. Lấy BM làm ẩn thì cả hai chặng dây đều tính được theo ẩn đó, tổng chi phí trở thành một hàm một biến trên đoạn [0;10]; tìm giá trị nhỏ nhất của nó.
Đặt BM=x (km), điều kiện 0≤x≤10 MC=BC2+BM2=16+x2 ; MA=10−x T(x)=5016+x2+30(10−x) (triệu đồng) T′(x)=16+x250x−30 T′(x)=0⇔50x=3016+x2 ⇔5x=316+x2 và x≥0 ⇔25x2=9(16+x2) ⇔16x2=144⇔x2=9⇔x=3 (do x≥0) T(3)=5016+9+30⋅7=50⋅5+210=460 T(0)=50⋅4+30⋅10=200+300=500 T(10)=50116+0=10029≈538,52
x
0
3
10
T′(x)
−
0
+
T(x)
500
↘
460
↗
10029
460<500<538,52 [0;10]minT=460 tại x=3
Vậy điểm M phải nằm trên đoạn AB, cách B đúng 3 km (tức cách A 7 km); khi đó tổng chi phí nhỏ nhất là 460 triệu đồng.
2Cách 2. Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai (không dùng đạo hàm)
Định hướng. Xem tổng chi phí là tham số rồi hỏi ngược lại: với giá trị nào của tham số thì phương trình ẩn x còn có nghiệm? Giá trị nhỏ nhất của tham số chính là chi phí tối thiểu.
T=5016+x2+300−30x
Đặt m=5016+x2−30x với 0≤x≤10, khi đó T=300+m 2500(16+x2)−900x2=40000+1600x2>0 nên 5016+x2>30x, do đó m>0 5016+x2=m+30x 2500(16+x2)=m2+60mx+900x2 1600x2−60mx+40000−m2=0
Phương trình ẩn x có nghiệm khi Δ′=900m2−1600(40000−m2)≥0 2500m2≥64000000 m2≥25600⇔m≥160 m=160 cho x=2⋅160060m=1603m=3∈[0;10] T=300+m≥300+160=460
Vậy tổng chi phí nhỏ nhất là 460 triệu đồng, đạt được khi BM=3 km.
3Cách 3. Đặt ẩn là góc của đoạn dây trên biển
Định hướng. Thay vì lấy khoảng cách, lấy góc BCM làm ẩn thì hai chặng dây viết được qua tan và cos; lời giải cho ra một hệ thức đẹp về góc, dùng lại được cho mọi bài cùng dạng.
Đặt α=BCM với 0≤α<2π
Tam giác BMC vuông tại B nên BM=4tanα và MC=cosα4 T=50⋅cosα4+30(10−4tanα)=300+cosα200−120sinα
Xét h(α)=cosα200−120sinα h′(α)=cos2α−120cosα⋅cosα+(200−120sinα)sinα=cos2α200sinα−120 h′(α)=0⇔sinα=200120=53 h′<0 khi sinα<53 và h′>0 khi sinα>53, nên h đạt giá trị nhỏ nhất tại sinα=53 sinα=53 cho cosα=54 và tanα=43 BM=4⋅43=3 ; h=54200−120⋅53=4128⋅5=160 T=300+160=460
Vậy điểm M cách B 3 km, tổng chi phí nhỏ nhất 460 triệu đồng.
Nhận xét. Hệ thức sinα=5030 chính là tỉ số hai đơn giá — một dạng "định luật khúc xạ" cho bài toán chi phí: góc lệch của chặng đắt tiền được xác định bởi tỉ số giá.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đặt BM=x là hướng ai cũng nghĩ ra, lại có bảng biến thiên trên đoạn nên kết luận chắc chắn và không sót đầu mút; Cách 3 tuy cho hệ thức đẹp nhưng đòi thạo đạo hàm lượng giác, dễ mất điểm ở khâu xét dấu.
Đáp số.Điểm M nằm trên đoạn AB, cách B 3 km (cách A 7 km); tổng chi phí nhỏ nhất là T(3)=460 triệu đồng.
Sai lầm thường gặp.Bình phương hai vế của 50x=3016+x2 mà quên điều kiện x≥0 nên nhận thêm nghiệm x=−3 vô nghĩa. Lỗi nặng hơn: chỉ tính T(3)=460 rồi kết luận ngay mà không so với hai đầu mút; nếu bờ biển chỉ dài 2 km (tức 0≤x≤2) thì điểm dừng x=3 nằm ngoài đoạn, giá trị nhỏ nhất khi đó là T(2)=5020+30⋅0≈223,6 tại đầu mút chứ không phải tại điểm dừng.
🚀 Mở rộng.Tổng quát với khoảng cách ra đảo d, đơn giá trên biển c1 và trên đất liền c2 (với c1>c2): vị trí tối ưu luôn thoả mãn sinα=c1c2, tức BM=c12−c22dc2 — hãy kiểm lại với d=4, c1=50, c2=30 để thu về đúng BM=3.
