Hoạt động thực hành trải nghiệm

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Độ dài gang tay (gang tay của bạn dài bao nhiêu?)

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · HĐ1★Trang 95— Thu thập và ghi dữ liệu thống kê theo nhóm (đếm vạch theo khoảng)

HĐ1 (trang 95). Lưu dữ liệu thu được vào bảng theo mẫu sau:

Chiều dài gang tay (cm)	Nữ	Nam
[16; 17)
[17; 18)
[18; 19)	\
[19; 20)	\
[20; 21)		\
[21; 22)
[22; 23)		\
[23; 24)

Bảng T.1. Kết quả đo gang tay của hai nhóm học sinh nữ và nam
Bối cảnh (trang 94) — Độ dài gang tay (gang tay của bạn dài bao nhiêu?). Mục tiêu (trang 94): Thực hiện thu thập và phân tích dữ liệu để so sánh độ dài gang tay của hai nhóm học sinh nam và học sinh nữ trong lớp học.
Độ dài gang tay là một số đo của cơ thể. Các nhà sản xuất găng tay căn cứ vào đó để sản xuất các sản phẩm với kích thước khác nhau dùng trong y tế, thể thao, lao động,... Liệu chiều dài gang tay của nam giới có khác biệt so với nữ giới? Phân bố của chiều dài gang tay như thế nào?
Trong bài này, chúng ta sẽ thực hiện một phân tích nhỏ trong phạm vi lớp học để so sánh chiều dài gang tay của các bạn nam và các bạn nữ. Ta sẽ thu thập dữ liệu trên hai nhóm và so sánh thông qua tính toán những số đo thống kê mô tả đã học.
1. Thu thập dữ liệu
Chuẩn bị: • Thước kẻ có vạch chia centimét; • Bút, giấy.
Thực hiện:
a) Cách đo độ dài gang tay như sau:
– Đặt thước trên bàn;
– Đưa ngón tay cái và ngón tay út của bàn tay phải lên phía trên thước;
– Đặt ngón cái tại điểm đánh dấu 0 cm;
– Dãn ngón út tối đa và xác định vị trí của đầu ngón út trên thước.
b) Thu thập dữ liệu theo mẫu phiếu sau:
Khảo sát về độ dài gang tay. Giới tính của bạn: ○ Nữ ○ Nam. Độ dài gang tay (đơn vị: cm) của bạn thuộc phạm vi nào sau đây? ○ [16; 17) ○ [17; 18) ○ [18; 19) ○ [19; 20) ○ [20; 21) ○ [21; 22) ○ [22; 23) ○ [23; 24)
(Phiếu khảo sát có thể tạo trên Google biểu mẫu (Google form).)

Kiến thức cần nhớ

Số đo $x$ thuộc nhóm $[a; b)$ khi và chỉ khi $a \leq x < b$ .
Tổng số vạch trong mỗi cột bằng số phiếu của nhóm đó; tổng cả bảng bằng sĩ số lớp.
Đo gang tay: ngón cái đặt ở vạch $0$ , dãn ngón út tối đa, đọc vị trí đầu ngón út.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi phiếu khảo sát cho đúng hai thông tin: giới tính và khoảng chứa độ dài gang tay — nên mỗi phiếu ứng với đúng một ô của Bảng T.1 và ta chỉ việc gạch một vạch vào ô đó. Việc cần cẩn thận là xếp số đo vào khoảng nửa mở

[a; a + 1)

: đầu mút trái thuộc khoảng, đầu mút phải thì không. Bẫy thường gặp là số đo đúng bằng số nguyên (chẳng hạn

20

cm) bị ghi vào khoảng đứng trước.

1Cách 1. Phiếu giấy và đếm vạch trực tiếp vào Bảng T.1

Định hướng. Mỗi phiếu là một vạch; ô nhận vạch được xác định bởi cột giới tính và dòng khoảng chứa số đo.

Phiếu nữ,

x = 18, 4

cm:

18 \leq 18, 4 < 19

\Rightarrow

vạch vào ô ([18; 19), Nữ)
Phiếu nữ,

x = 19, 0

cm:

19 \leq 19 < 20

\Rightarrow

vạch vào ô ([19; 20), Nữ)
Phiếu nam,

x = 20

cm:

20 \leq 20 < 21

\Rightarrow

vạch vào ô ([20; 21), Nam)
Phiếu nam,

x = 22, 7

cm:

22 \leq 22, 7 < 23

\Rightarrow

vạch vào ô ([22; 23), Nam)
Kiểm tra: tổng số vạch

=

số phiếu thu về

Vậy Bảng T.1 hoàn chỉnh khi mọi phiếu đã có đúng một vạch; bốn phiếu ví dụ trên cho đúng bốn vạch như bảng mẫu của SGK.

2Cách 2. Google biểu mẫu tự tổng hợp phản hồi

Định hướng. Để máy làm phần đếm: phiếu trực tuyến có sẵn hai câu hỏi trắc nghiệm, mỗi lựa chọn chính là một ô của bảng.

Câu 1: Giới tính

\to

2 lựa chọn (Nữ, Nam)
Câu 2: Khoảng độ dài

\to

8 lựa chọn [16; 17), …, [23; 24)
Phản hồi

\to

Xem trong Trang tính

\to

lọc cột Giới tính

=

Nữ

\to

đếm từng khoảng
Lặp lại với Giới tính

=

Nam

Vậy số phản hồi của mỗi cặp (giới tính, khoảng) chính là số vạch cần ghi vào ô tương ứng của Bảng T.1.

3Cách 3. Ghi số đo thô rồi đếm bằng hàm COUNTIFS trên bảng tính

Định hướng. Giữ lại số đo gốc (chính xác hơn khoảng), rồi để bảng tính tự phân vào nhóm bằng điều kiện hai đầu mút.

Cột B: giới tính; cột C: số đo (cm)
Ô (Nữ, [16; 17)): =COUNTIFS(B:B;"Nữ";C:C;">=16";C:C;"<17")
Ô (Nam, [20; 21)): =COUNTIFS(B:B;"Nam";C:C;">=20";C:C;"<21")
Kiểm tra: tổng 16 ô

=

số dòng dữ liệu

Vậy Bảng T.1 được điền tự động, không sót và không trùng phiếu.

Nhận xét. Giữ số đo thô còn cho phép tính trung bình, phương sai chính xác trên mẫu chưa ghép nhóm để đối chiếu với kết quả ghép nhóm ở HĐ3. Ví dụ dữ liệu thật của một lớp là Bảng T.2 (HĐ4): $43$ phiếu nữ và $24$ phiếu nam, tổng $67$ vạch.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm trong lớp nên dùng Cách 1 hoặc Cách 2 (nhanh, không cần máy tính riêng); nếu muốn phân tích sâu hơn ở HĐ3 thì Cách 3 tốt nhất vì còn giữ được số đo gốc.

Đáp số. Bảng T.1 ghi theo số đo thực tế của lớp: mỗi học sinh là một vạch ở dòng khoảng chứa độ dài gang tay và ở cột giới tính của mình; tổng số vạch bằng sĩ số lớp.

Sai lầm thường gặp. Xếp số đo đúng bằng đầu mút vào nhóm trước:

x = 20

cm phải vào [20; 21), không vào [19; 20). Đặt ngón cái ở mép thước thay vì vạch

0

làm mọi số đo lệch vài milimét. Đo tay trái ở người này, tay phải ở người kia khiến dữ liệu không cùng điều kiện đo.

🚀 Mở rộng. Ghi thêm chiều cao của mỗi bạn vào phiếu để sau này khảo sát xem gang tay dài có đi kèm chiều cao lớn hay không (mối liên hệ giữa hai đại lượng).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★★Trang 95— Lập bảng tần số ghép nhóm và vẽ biểu đồ tần số cho hai nhóm

2. Tóm tắt và phân tích dữ liệu
HĐ2 (trang 95). Lập bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu thu được trên từng nhóm theo mẫu sau đây và minh hoạ bằng biểu đồ tần số.

Chiều dài gang tay (cm)	[16; 17)	[17; 18)	[18; 19)	[19; 20)	[20; 21)	[21; 22)	[22; 23)	[23; 24)
Số học sinh nam	?	?	?	?	?	?	?	?
Số học sinh nữ	?	?	?	?	?	?	?	?

Lời giải minh hoạ bằng dữ liệu của một lớp cho ở Bảng T.2 (trang 95).

Kiến thức cần nhớ

Tần số của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ là số giá trị của mẫu thuộc nhóm đó; tổng các tần số bằng cỡ mẫu $n$ .
Tần số tương đối của nhóm $i$ là $\frac{n _{i}}{n} \cdot 100%$ .
Biểu đồ tần số ghép nhóm: trục ngang là các khoảng, chiều cao cột bằng tần số; đa giác tần số nối các điểm $(x_{i}; n_{i})$ với $x_{i}$ là giá trị đại diện.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng T.1 đã chia sẵn theo khoảng, nên tần số của mỗi nhóm chính là số vạch trong ô — chỉ cần đếm và chuyển bảng từ dạng dọc sang dạng ngang. Hai nhóm có cỡ mẫu khác nhau (

43

nữ,

24

nam), nên muốn so sánh hình dạng phân bố một cách công bằng phải dùng thêm tần số tương đối. Bẫy: vẽ biểu đồ hai nhóm với hai thang đo khác nhau làm hình so sánh sai lệch.

1Cách 1. Đếm vạch, lập bảng tần số và vẽ biểu đồ cột

Định hướng. Đếm số vạch từng ô của Bảng T.1, chuyển thành hai dòng tần số, rồi vẽ hai dãy cột chung một thang đo.

Chiều dài gang tay (cm)	[16; 17)	[17; 18)	[18; 19)	[19; 20)	[20; 21)	[21; 22)	[22; 23)	[23; 24)
Số học sinh nam	$0$	$0$	$1$	$4$	$8$	$6$	$3$	$2$
Số học sinh nữ	$3$	$6$	$17$	$14$	$2$	$1$	$0$	$0$

n_{nam} = 0 + 0 + 1 + 4 + 8 + 6 + 3 + 2 = 24

n_{nu} = 3 + 6 + 17 + 14 + 2 + 1 + 0 + 0 = 43

Vậy bảng tần số ghép nhóm như trên (với dữ liệu Bảng T.2) và biểu đồ cột ở hình: cột nữ cao nhất tại [18; 19), cột nam cao nhất tại [20; 21).

2Cách 2. Đa giác tần số qua các giá trị đại diện

Định hướng. Thay mỗi cột bằng một điểm ở giữa khoảng rồi nối lại — hai đường gấp khúc chồng lên nhau cho thấy ngay nhóm nào lệch phải.

x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2} : 16, 5; 17, 5; 18, 5; 19, 5; 20, 5; 21, 5; 22, 5; 23, 5

Nữ:

(16, 5; 3), (17, 5; 6), (18, 5; 17), (19, 5; 14), (20, 5; 2), (21, 5; 1)

Nam:

(18, 5; 1), (19, 5; 4), (20, 5; 8), (21, 5; 6), (22, 5; 3), (23, 5; 2)

Vậy đa giác tần số của nam nằm lệch sang phải so với của nữ khoảng $2$ nhóm (xem hình ở HĐ4a).

3Cách 3. Tần số tương đối — so sánh công bằng khi cỡ mẫu khác nhau

Định hướng. Hai nhóm có $43$ và $24$ bạn, so số tuyệt đối dễ lầm; đổi sang phần trăm thì hai biểu đồ cùng tổng $100%$ .

\frac{17}{43} \cdot 100% \approx 39, 53%; \frac{14}{43} \cdot 100% \approx 32, 56%

\frac{8}{24} \cdot 100% \approx 33, 33%; \frac{6}{24} \cdot 100% = 25%

Chiều dài (cm)	[18; 19)	[19; 20)	[20; 21)	[21; 22)
Nữ (%)	$39, 53$	$32, 56$	$4, 65$	$2, 33$
Nam (%)	$4, 17$	$16, 67$	$33, 33$	$25, 00$

Vậy khoảng $72%$ học sinh nữ có gang tay trong $[18; 20)$ , còn khoảng $58%$ học sinh nam có gang tay trong $[20; 22)$ .

Nhận xét. Chỉ nhìn bảng tần số tương đối đã thấy gang tay nam dài hơn nữ khoảng $2$ cm; HĐ3 sẽ lượng hoá điều này bằng số trung bình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 hay nhất khi so sánh hai nhóm vì loại bỏ ảnh hưởng của cỡ mẫu khác nhau; Cách 1 là bắt buộc để có bảng tần số cho HĐ3.

Đáp số. Với dữ liệu Bảng T.2: nam

0; 0; 1; 4; 8; 6; 3; 2

(tổng

24

), nữ

3; 6; 17; 14; 2; 1; 0; 0

(tổng

43

); nhóm có tần số lớn nhất: nữ [18; 19), nam [20; 21).

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm dòng nam và nữ khi chuyển từ Bảng T.1 (dọc) sang bảng HĐ2 (ngang) — ở HĐ2 dòng nam đứng trên, ngược thứ tự cột của Bảng T.1. Vẽ cột hai nhóm với hai thang đo khác nhau. Kết luận "nữ có nhiều bạn gang tay [18; 19) hơn nam nên gang tay nữ dài hơn" chỉ từ tần số tuyệt đối.

🚀 Mở rộng. Gộp hai nhóm thành một mẫu

67

học sinh rồi vẽ biểu đồ: biểu đồ sẽ có hai "đỉnh" ở [18; 19) và [20; 21) — dấu hiệu mẫu được trộn từ hai nhóm khác nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ3★★Trang 95— Số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên của mẫu ghép nhóm

HĐ3 (trang 95). Sử dụng bảng tần số thu được ở HĐ2, em hãy:
a) Tính độ dài gang tay trung bình của các học sinh nữ, học sinh nam trong lớp và so sánh.
b) Tính phương sai, độ lệch chuẩn và từ đó tính hệ số biến thiên của độ dài gang tay của hai nhóm học sinh và so sánh.
Dữ liệu cụ thể phụ thuộc lớp; lời giải dưới đây nêu quy trình tổng quát, áp dụng số ở HĐ4.

Kiến thức cần nhớ

$\overline{x} = \frac{n _{1} x _{1} + n _{2} x _{2} + \dots + n _{k} x _{k}}{n}$ , $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ .
$s^{2} = \frac{n _{1} ( x _{1} - x ) ^{2} + \dots + n _{k} ( x _{k} - x ) ^{2}}{n} = \frac{n _{1} x _{1}^{2} + \dots + n _{k} x _{k}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}$ , $s = s^{2}$ .
Hệ số biến thiên $C V = \frac{s}{x} \cdot 100%$ ; $C V$ nhỏ hơn thì mẫu đồng đều hơn.
Đổi biến $u_{i} = x_{i} - c$ : $\overline{x} = c + \overline{u}$ và $s_{x}^{2} = s_{u}^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu cho dưới dạng ghép nhóm nên mọi số đo đều tính qua giá trị đại diện

x_{i}

(trung điểm khoảng) và tần số

n_{i}

. Hai nhóm có trung bình khác nhau nên so độ phân tán phải dùng hệ số biến thiên

C V = \frac{s}{x}

, không so thẳng độ lệch chuẩn. Bẫy: chia cho

n - 1

thay vì

n

(SGK dùng phương sai chia cho

n

1Cách 1. Công thức định nghĩa (bảng tính cột

n_{i} x_{i}

và

n_{i} (x_{i} - \overline{x})^{2}

)

Định hướng. Đi đúng định nghĩa: trung bình có trọng số rồi trung bình của bình phương độ lệch.

x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}

\overline{x} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{n}

s^{2} = \frac{\sum n _{i} ( x _{i} - x ) ^{2}}{n}, s = s^{2}

C V = \frac{s}{x} \cdot 100%

Vậy tính riêng cho nhóm nữ và nhóm nam rồi so sánh $\overline{x}$ (dài hơn hay ngắn hơn) và $C V$ (đồng đều hơn hay kém).

2Cách 2. Công thức rút gọn

s^{2} = \overline{x^{2}} - \overline{x}^{2}

Định hướng. Tránh phải trừ $\overline{x}$ (thường lẻ) ở từng dòng: chỉ cần hai tổng $\sum n_{i} x_{i}$ và $\sum n_{i} x_{i}^{2}$ .

\overline{x} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{n}, \overline{x^{2}} = \frac{\sum n _{i} x _{i}^{2}}{n}

s^{2} = \overline{x^{2}} - \overline{x}^{2}

Vậy chỉ cần thêm một cột $n_{i} x_{i}^{2}$ là tính được cả trung bình lẫn phương sai.

3Cách 3. Đổi biến

u = x - c

để tính nhẩm

Định hướng. Các giá trị đại diện cách đều nhau $1$ cm, trừ đi một giá trị giữa $c$ thì được các số nguyên nhỏ.

u_{i} = x_{i} - c \in {\dots; - 2; - 1; 0; 1; 2; \dots}

\overline{x} = c + \overline{u}, \overline{u} = \frac{\sum n _{i} u _{i}}{n}

s^{2} = \frac{\sum n _{i} u _{i}^{2}}{n} - \overline{u}^{2}

Vậy với $c = 19, 5$ mọi phép tính chỉ còn số nguyên nhỏ, kết quả trùng Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Phương sai không đổi khi tịnh tiến mọi giá trị cùng một hằng số, vì các độ lệch $x_{i} - \overline{x}$ giữ nguyên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm tay nên dùng Cách 3 (số nguyên nhỏ, khó sai); làm trên máy tính cầm tay hay Excel thì Cách 1 là tự nhiên nhất (xem HĐ5).

Đáp số. Với mỗi nhóm:

\overline{x} = \frac{\sum n _{i} x _{i}}{n}

s^{2} = \frac{\sum n _{i} ( x _{i} - x ) ^{2}}{n}

s = s^{2}

C V = \frac{s}{x} \cdot 100%

; so sánh

\overline{x}

để biết nhóm nào gang tay dài hơn, so sánh

C V

để biết nhóm nào đồng đều hơn. Kết quả số cụ thể xem HĐ4.

Sai lầm thường gặp. Lấy đầu mút trái (16, 17, …) thay cho giá trị đại diện (16,5; 17,5; …) làm trung bình lệch đúng

0, 5

cm. So độ phân tán hai nhóm bằng

s

trong khi hai trung bình khác nhau — phải so

C V

. Dùng công thức rút gọn nhưng làm tròn

\overline{x}

quá sớm: với

\overline{x}^{2} \approx 350

, sai

0, 01

ở

\overline{x}

làm

s^{2}

lệch khoảng

0, 37

🚀 Mở rộng. Có thể so thêm trung vị và mốt của hai nhóm: nếu trung bình, trung vị, mốt của nam đều lớn hơn của nữ thì kết luận "gang tay nam dài hơn" càng chắc chắn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ4a★★Trang 95— Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm và so sánh hai nhóm

HĐ4 (trang 95). Bảng tần số sau đây là dữ liệu thu được trên một lớp học. Hãy thực hiện HĐ3 cho mẫu số liệu này.

Chiều dài gang tay (cm)	Số học sinh nữ	Số học sinh nam
[16; 17)	$3$	$0$
[17; 18)	$6$	$0$
[18; 19)	$17$	$1$
[19; 20)	$14$	$4$
[20; 21)	$2$	$8$
[21; 22)	$1$	$6$
[22; 23)	$0$	$3$
[23; 24)	$0$	$2$

Bảng T.2
Yêu cầu của HĐ3: a) Tính độ dài gang tay trung bình của các học sinh nữ, học sinh nam trong lớp và so sánh. b) Tính phương sai, độ lệch chuẩn và từ đó tính hệ số biến thiên của độ dài gang tay của hai nhóm học sinh và so sánh.
Câu a: độ dài gang tay trung bình của hai nhóm và so sánh.

Kiến thức cần nhớ

Giá trị đại diện của nhóm $[a; b)$ là $\frac{a + b}{2}$ .
$\overline{x} = \frac{n _{1} x _{1} + \dots + n _{k} x _{k}}{n}$ với $n = n_{1} + \dots + n_{k}$ .
Đổi biến $u = x - c$ thì $\overline{x} = c + \overline{u}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bảng T.2 là mẫu ghép nhóm với tám khoảng dài

1

cm, nên thay mỗi khoảng bằng trung điểm rồi lấy trung bình có trọng số. Các giá trị đại diện cách đều nhau nên đổi biến

u = x - 19, 5

đưa về số nguyên nhỏ, tính nhẩm được. Bẫy: chia cho

67

(cả lớp) thay vì cỡ mẫu riêng của từng nhóm.

1Cách 1. Công thức trung bình có trọng số

Định hướng. Mỗi nhóm thay bằng trung điểm, nhân với tần số, cộng lại rồi chia cho cỡ mẫu của riêng nhóm đó.

\overline{x}_{1} = \frac{3 \cdot 16 , 5 + 6 \cdot 17 , 5 + 17 \cdot 18 , 5 + 14 \cdot 19 , 5 + 2 \cdot 20 , 5 + 1 \cdot 21 , 5}{43}

\overline{x}_{1} = \frac{49 , 5 + 105 + 314 , 5 + 273 + 41 + 21 , 5}{43} = \frac{804 , 5}{43} \approx 18, 71

\overline{x}_{2} = \frac{1 \cdot 18 , 5 + 4 \cdot 19 , 5 + 8 \cdot 20 , 5 + 6 \cdot 21 , 5 + 3 \cdot 22 , 5 + 2 \cdot 23 , 5}{24}

\overline{x}_{2} = \frac{18 , 5 + 78 + 164 + 129 + 67 , 5 + 47}{24} = \frac{504}{24} = 21

\overline{x}_{2} - \overline{x}_{1} \approx 21 - 18, 71 = 2, 29

Vậy độ dài gang tay trung bình của học sinh nữ khoảng $18, 71$ cm ( $\overline{x}_{1}$ ), của học sinh nam là $21$ cm ( $\overline{x}_{2}$ ); trung bình gang tay nam dài hơn nữ khoảng $2, 29$ cm.

2Cách 2. Đổi biến

u = x - 19, 5

(tính nhẩm với số nguyên)

Định hướng. Các trung điểm cách đều $1$ cm, chọn gốc $19, 5$ thì $u$ chỉ nhận các giá trị $- 3; \dots; 4$ .

u : - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4

\overline{u}_{1} = \frac{3 \cdot ( - 3 ) + 6 \cdot ( - 2 ) + 17 \cdot ( - 1 ) + 14 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2}{43} = \frac{- 34}{43} \approx - 0, 79

\overline{x}_{1} = 19, 5 + \overline{u}_{1} \approx 19, 5 - 0, 79 = 18, 71

\overline{u}_{2} = \frac{1 \cdot ( - 1 ) + 4 \cdot 0 + 8 \cdot 1 + 6 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 4}{24} = \frac{36}{24} = 1, 5

\overline{x}_{2} = 19, 5 + 1, 5 = 21

Vậy $\overline{x}_{1} \approx 18, 71$ cm, $\overline{x}_{2} = 21$ cm, nam hơn nữ khoảng $2, 29$ cm — trùng Cách 1.

3Cách 3. Chế độ thống kê của máy tính cầm tay

Định hướng. Nhập giá trị đại diện và tần số vào bảng thống kê của máy, máy trả về trung bình.

\to

Thống kê

\to

1-Variable (bật cột tần số Freq)
Cột X:

16, 5; 17, 5; 18, 5; 19, 5; 20, 5; 21, 5

— Freq:

3; 6; 17; 14; 2; 1

\overline{x} = 18, 709302 \dots, n = 43

Cột X:

18, 5; \dots; 23, 5

— Freq:

1; 4; 8; 6; 3; 2

\overline{x} = 21, n = 24

Vậy $\overline{x}_{1} \approx 18, 71$ cm và $\overline{x}_{2} = 21$ cm.

Nhận xét. Trung vị cũng cho cùng kết luận: trung vị nữ $\approx 18, 74$ cm, trung vị nam $\approx 20, 88$ cm — hai đường trung bình trên hình tách nhau rõ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 hay nhất khi làm tay: toàn số nguyên nhỏ, nhẩm được và khó sai; Cách 3 dùng để kiểm tra nhanh.

Đáp số. Nữ:

\overline{x}_{1} = \frac{804 , 5}{43} \approx 18, 71

cm; nam:

\overline{x}_{2} = 21

cm; gang tay trung bình của nam dài hơn của nữ khoảng

2, 29

cm.

Sai lầm thường gặp. Chia tổng của nữ cho

67

(cả lớp):

\frac{804 , 5}{67} \approx 12, 01

— vô lí vì nhỏ hơn cả khoảng nhỏ nhất. Dùng đầu mút trái làm giá trị đại diện cho

\overline{x}_{1} = \frac{783}{43} \approx 18, 21

, lệch

0, 5

cm. Quên hai nhóm [22; 23), [23; 24) của nam vì tần số nữ ở đó bằng

0

🚀 Mở rộng. Gộp cả lớp:

\overline{x} = \frac{804 , 5 + 504}{67} = \frac{1308 , 5}{67} \approx 19, 53

cm — trung bình chung là trung bình có trọng số của hai trung bình nhóm với trọng số

43

và

24

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ4b★★★Trang 95— Phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên của mẫu ghép nhóm; so sánh độ phân tán hai nhóm

HĐ4 (trang 95). Bảng tần số sau đây là dữ liệu thu được trên một lớp học. Hãy thực hiện HĐ3 cho mẫu số liệu này.

Chiều dài gang tay (cm)	Số học sinh nữ	Số học sinh nam
[16; 17)	$3$	$0$
[17; 18)	$6$	$0$
[18; 19)	$17$	$1$
[19; 20)	$14$	$4$
[20; 21)	$2$	$8$
[21; 22)	$1$	$6$
[22; 23)	$0$	$3$
[23; 24)	$0$	$2$

Bảng T.2
Yêu cầu của HĐ3: a) Tính độ dài gang tay trung bình của các học sinh nữ, học sinh nam trong lớp và so sánh. b) Tính phương sai, độ lệch chuẩn và từ đó tính hệ số biến thiên của độ dài gang tay của hai nhóm học sinh và so sánh.
Câu b: phương sai, độ lệch chuẩn, hệ số biến thiên của hai nhóm và so sánh.

Kiến thức cần nhớ

$s^{2} = \frac{\sum n _{i} ( x _{i} - x ) ^{2}}{n} = \frac{\sum n _{i} x _{i}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}$ , $s = s^{2}$ .
Đổi biến $u = x - c$ thì $s_{x}^{2} = s_{u}^{2} = \frac{\sum n _{i} u _{i}^{2}}{n} - \overline{u}^{2}$ .
$C V = \frac{s}{x} \cdot 100%$ , dùng để so độ phân tán của hai mẫu có trung bình khác nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đã có

\overline{x}_{1} \approx 18, 71

và

\overline{x}_{2} = 21

ở câu a; phương sai của nữ phải trừ một số lẻ ở mọi dòng nên dùng công thức rút gọn hoặc đổi biến sẽ gọn và chính xác hơn. Vì hai trung bình khác nhau, câu hỏi "nhóm nào đồng đều hơn" phải trả lời bằng hệ số biến thiên, không phải bằng độ lệch chuẩn.

1Cách 1. Công thức định nghĩa

Định hướng. Bình phương độ lệch của từng giá trị đại diện so với trung bình, nhân tần số, cộng lại rồi chia cỡ mẫu.

s_{1}^{2} = \frac{3 ( 16 , 5 - 18 , 71 ) ^{2} + 6 ( 17 , 5 - 18 , 71 ) ^{2} + 17 ( 18 , 5 - 18 , 71 ) ^{2} + 14 ( 19 , 5 - 18 , 71 ) ^{2} + 2 ( 20 , 5 - 18 , 71 ) ^{2} + 1 ( 21 , 5 - 18 , 71 ) ^{2}}{43}

s_{1}^{2} \approx \frac{14 , 64 + 8 , 77 + 0 , 74 + 8 , 75 + 6 , 41 + 7 , 79}{43} = \frac{47 , 12}{43} \approx 1, 10

s_{1} = 1, 0957 \dots \approx 1, 05

s_{2}^{2} = \frac{1 ( 18 , 5 - 21 ) ^{2} + 4 ( 19 , 5 - 21 ) ^{2} + 8 ( 20 , 5 - 21 ) ^{2} + 6 ( 21 , 5 - 21 ) ^{2} + 3 ( 22 , 5 - 21 ) ^{2} + 2 ( 23 , 5 - 21 ) ^{2}}{24}

s_{2}^{2} = \frac{6 , 25 + 9 + 2 + 1 , 5 + 6 , 75 + 12 , 5}{24} = \frac{38}{24} = \frac{19}{12} \approx 1, 58

s_{2} = \frac{19}{12} \approx 1, 26

C V_{1} = \frac{1 , 0468}{18 , 7093} \cdot 100% \approx 5, 59%

C V_{2} = \frac{1 , 2583}{21} \cdot 100% \approx 5, 99%

Vậy nữ: $s_{1}^{2} \approx 1, 10$ , $s_{1} \approx 1, 05$ cm, $C V_{1} \approx 5, 59%$ ; nam: $s_{2}^{2} \approx 1, 58$ , $s_{2} \approx 1, 26$ cm, $C V_{2} \approx 5, 99%$ . Vì $C V_{2} > C V_{1}$ nên gang tay của nam phân tán hơn một chút, của nữ đồng đều hơn.

2Cách 2. Công thức rút gọn

s^{2} = \overline{x^{2}} - \overline{x}^{2}

Định hướng. Không trừ số lẻ ở từng dòng: chỉ cần thêm tổng $\sum n_{i} x_{i}^{2}$ , giữ phân số đúng đến cuối.

\sum n_{i} x_{i}^{2} = 3 \cdot 16, 5^{2} + 6 \cdot 17, 5^{2} + 17 \cdot 18, 5^{2} + 14 \cdot 19, 5^{2} + 2 \cdot 20, 5^{2} + 1 \cdot 21, 5^{2} = 15098, 75

s_{1}^{2} = \frac{15 098 , 75}{43} - (\frac{804 , 5}{43})^{2} = \frac{2026}{1849} \approx 1, 0957

\sum n_{i} x_{i}^{2} = 1 \cdot 18, 5^{2} + 4 \cdot 19, 5^{2} + 8 \cdot 20, 5^{2} + 6 \cdot 21, 5^{2} + 3 \cdot 22, 5^{2} + 2 \cdot 23, 5^{2} = 10622

s_{2}^{2} = \frac{10 622}{24} - 2 1^{2} = 442, 5833 \dots - 441 = \frac{19}{12} \approx 1, 5833

Vậy $s_{1}^{2} = \frac{2026}{1849} \approx 1, 10$ , $s_{2}^{2} = \frac{19}{12} \approx 1, 58$ — trùng Cách 1, từ đó $s_{1} \approx 1, 05$ , $s_{2} \approx 1, 26$ , $C V_{1} \approx 5, 59%$ , $C V_{2} \approx 5, 99%$ .

3Cách 3. Đổi biến

u = x - 19, 5

— toàn số nguyên

Định hướng. Tịnh tiến không làm đổi phương sai; với $u$ nguyên nhỏ, mọi tổng đều nhẩm được và kết quả là phân số đúng.

Nhóm nữ:

$x_{i}$	$n_{i}$	$u_{i} = x_{i} - 19, 5$	$n_{i} u_{i}$	$n_{i} u_{i}^{2}$
$16, 5$	$3$	$- 3$	$- 9$	$27$
$17, 5$	$6$	$- 2$	$- 12$	$24$
$18, 5$	$17$	$- 1$	$- 17$	$17$
$19, 5$	$14$	$0$	$0$	$0$
$20, 5$	$2$	$1$	$2$	$2$
$21, 5$	$1$	$2$	$2$	$4$
Tổng	$43$		$- 34$	$74$

Nhóm nam:

$x_{i}$	$n_{i}$	$u_{i} = x_{i} - 19, 5$	$n_{i} u_{i}$	$n_{i} u_{i}^{2}$
$18, 5$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$
$19, 5$	$4$	$0$	$0$	$0$
$20, 5$	$8$	$1$	$8$	$8$
$21, 5$	$6$	$2$	$12$	$24$
$22, 5$	$3$	$3$	$9$	$27$
$23, 5$	$2$	$4$	$8$	$32$
Tổng	$24$		$36$	$92$

s_{1}^{2} = \frac{74}{43} - (\frac{- 34}{43})^{2} = \frac{74 \cdot 43 - 3 4 ^{2}}{4 3 ^{2}} = \frac{3182 - 1156}{1849} = \frac{2026}{1849} \approx 1, 10

s_{2}^{2} = \frac{92}{24} - (\frac{36}{24})^{2} = \frac{23}{6} - \frac{9}{4} = \frac{46 - 27}{12} = \frac{19}{12} \approx 1, 58

s_{1} \approx 1, 05; s_{2} \approx 1, 26

C V_{1} \approx \frac{1 , 05}{18 , 71} \approx 5, 6%; C V_{2} \approx \frac{1 , 26}{21} = 6%

Vậy nhóm nam có phương sai, độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên đều lớn hơn nhóm nữ: gang tay nữ đồng đều hơn, gang tay nam dài hơn nhưng phân tán hơn một chút.

Nhận xét. Hai hệ số biến thiên chỉ chênh khoảng $0, 4%$ , nên mức độ phân tán tương đối của hai nhóm gần như nhau; khác biệt rõ rệt nằm ở trung bình (khoảng $2, 29$ cm).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 hay nhất khi làm tay: bảng số nguyên nhỏ, ra phân số đúng

\frac{2026}{1849}

và

\frac{19}{12}

, không lo sai số làm tròn; Cách 1 khớp với cách làm trên Excel ở HĐ5.

Đáp số. Nữ:

s_{1}^{2} = \frac{2026}{1849} \approx 1, 10

;

s_{1} \approx 1, 05

cm;

C V_{1} \approx 5, 59%

. Nam:

s_{2}^{2} = \frac{19}{12} \approx 1, 58

;

s_{2} \approx 1, 26

cm;

C V_{2} \approx 5, 99%

. Gang tay nữ đồng đều hơn (hệ số biến thiên nhỏ hơn), nhưng chênh lệch không nhiều.

Sai lầm thường gặp. Dùng công thức rút gọn với

\overline{x}_{1}

đã làm tròn

18, 71

\frac{15 098 , 75}{43} - 18, 7 1^{2} \approx 351, 1337 - 350, 0641 = 1, 0696

— sai ở chữ số thập phân thứ hai. Chia cho

n - 1

\frac{38}{23} \approx 1, 65

thay vì

\frac{38}{24}

. Kết luận "nữ đồng đều hơn vì

s_{1} < s_{2}

" mà không xét trung bình — đúng kết quả ở đây nhưng sai lập luận.

🚀 Mở rộng. Tính khoảng tứ phân vị để đối chiếu: nữ

Δ_{Q} \approx 19, 446 - 18, 103 \approx 1, 34

cm, nam

Δ_{Q} \approx 21, 833 - 20, 125 \approx 1, 71

cm — cũng cho thấy nhóm nam phân tán hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ5★★Trang 96— Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm bằng bảng tính Excel

HĐ5 (trang 96–98). Góc công nghệ thông tin. Việc tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu được cho trong bảng tần số ghép nhóm có thể thực hiện trên phần mềm bảng tính Excel. Sau đây là minh hoạ việc tính trên mẫu số liệu thu được của học sinh nữ trong bảng cho trong HĐ4.
Bước 1. Nhập các đầu mút trái, các đầu mút phải, tần số của các nhóm tương ứng vào các cột. Sau đó xác định điểm đại diện của từng nhóm (H.T.12).
Bước 2. Nhân tần số với điểm đại diện của từng nhóm và tính tổng bằng cách dùng hàm SUM (H.T.13).
Bước 3. Tính tổng các tần số và thực hiện tính số trung bình. Kết quả thu được số trung bình bằng 18,71 (H.T.14).
Bước 4. Để tính phương sai, độ lệch chuẩn, ta lần lượt lấy các điểm đại diện trừ đi số trung bình và bình phương kết quả (H.T.15).
Bước 5. Lần lượt lấy tần số nhân với các bình phương vừa tạo ra ở Bước 4, rồi lấy tổng các kết quả thu được (H.T.16).
Bước 6. Tính phương sai, độ lệch chuẩn (H.T.17).
Kết quả thu được, phương sai của mẫu số liệu là 1,10 và độ lệch chuẩn là 1,05.
Yêu cầu: thực hiện lại trên Excel cho nhóm học sinh nữ, rồi làm tương tự cho nhóm học sinh nam của Bảng T.2.

Kiến thức cần nhớ

AVERAGE(B2:C2) cho trung điểm của nhóm; SUM cho tổng; SQRT cho căn bậc hai.
Tham chiếu tuyệt đối (phím F4) giữ nguyên ô khi sao chép công thức xuống các dòng.
SUMPRODUCT(D2:D7;E2:E7) $= \sum n_{i} x_{i}$ — nhân từng cặp rồi cộng.
$s^{2} = \frac{\sum n _{i} ( x _{i} - x ) ^{2}}{n} = \frac{\sum n _{i} x _{i}^{2}}{n} - \overline{x}^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Excel chỉ làm đúng những gì công thức định nghĩa yêu cầu, nên mỗi cột phụ của SGK ứng với một thành phần của công thức: điểm đại diện,

n_{i} x_{i}

(x_{i} - \overline{x})^{2}

n_{i} (x_{i} - \overline{x})^{2}

. Chỗ dễ sai là ô số trung bình C10 phải được khoá tuyệt đối khi kéo công thức xuống; ngoài ra có thể gộp cả sáu bước vào một ô bằng hàm SUMPRODUCT.

1Cách 1. Sáu bước với các cột phụ (theo SGK)

Định hướng. Mỗi cột tính một thành phần của công thức, cuối cùng chia cho tổng tần số và lấy căn.

E2 =AVERAGE(B2:C2)

\to

16, 5; 17, 5; \dots; 21, 5

F2 =D2*E2

\to

49, 5; 105; 314, 5; 273; 41; 21, 5

; F8 =SUM(F2:F7)

\to

804, 5

D8 =SUM(D2:D7)

\to

43

; C10 =F8/D8

\to

18, 71

G2 =(E2-C10)^2, khoá C10 tuyệt đối

\to

4, 88; 1, 46; 0, 04; 0, 63; 3, 21; 7, 79

H2 =D2*G2

\to

14, 64; 8, 77; 0, 74; 8, 75; 6, 41; 7, 79

; H8 =SUM(H2:H7)

\to

47, 12

C11 =H8/D8

\to

1, 10

; C12 =SQRT(C11)

\to

1, 05

Vậy nhóm nữ có $\overline{x} \approx 18, 71$ , $s^{2} \approx 1, 10$ , $s \approx 1, 05$ ; làm tương tự với cột tần số của nam ( $1; 4; 8; 6; 3; 2$ ở các nhóm từ [18; 19) đến [23; 24)) được $\overline{x} = 21$ , $s^{2} \approx 1, 58$ , $s \approx 1, 26$ .

2Cách 2. Một ô công thức với SUMPRODUCT

Định hướng. Bỏ các cột phụ F, G, H: hàm SUMPRODUCT nhân từng cặp và cộng ngay trong một ô.

C10 =SUMPRODUCT(D2:D7;E2:E7)/SUM(D2:D7)

\to

18, 71

C11 =SUMPRODUCT(D2:D7;(E2:E7-C10)^2)/SUM(D2:D7)

\to

1, 10

C12 =SQRT(C11)

\to

1, 05

Nam: dán tần số

1; 4; 8; 6; 3; 2

và các nhóm [18; 19) … [23; 24)

\to

21; 1, 58; 1, 26

Vậy ba ô công thức cho ngay trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn, trùng kết quả Cách 1.

3Cách 3. Công thức rút gọn trên bảng tính

Định hướng. Dùng $s^{2} = \overline{x^{2}} - \overline{x}^{2}$ : chỉ cần thêm tổng $\sum n_{i} x_{i}^{2}$ , không cần cột độ lệch.

=SUMPRODUCT(D2:D7;E2:E7^2)/D8

\to

\frac{15 098 , 75}{43} \approx 351, 1337

s^{2} \approx 351, 1337 - 18, 709 3^{2} \approx 351, 1337 - 350, 0379 = 1, 0957 \approx 1, 10

s = 1, 0957 \approx 1, 05

Nam:

\frac{10 622}{24} - 2 1^{2} \approx 442, 5833 - 441 = 1, 5833 \approx 1, 58

s \approx 1, 26

Vậy kết quả trùng với SGK (nữ: $18, 71$ ; $1, 10$ ; $1, 05$ ) và cho nhóm nam $21$ ; $1, 58$ ; $1, 26$ .

Nhận xét. Excel giữ đủ chữ số của C10, còn tính tay phải giữ ít nhất $4$ chữ số thập phân của $\overline{x}$ khi dùng công thức rút gọn, nếu không phương sai sẽ lệch.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 gọn nhất: ba ô công thức, đổi dữ liệu là có kết quả ngay cho nhóm khác; Cách 1 giúp nhìn rõ từng thành phần của công thức khi mới học.

Đáp số. Nữ: số trung bình

\approx 18, 71

, phương sai

\approx 1, 10

, độ lệch chuẩn

\approx 1, 05

(khớp SGK). Nam: số trung bình

21

, phương sai

\approx 1, 58

, độ lệch chuẩn

\approx 1, 26

Sai lầm thường gặp. Không khoá ô C10 khi viết G2 rồi kéo xuống: G3 thành =(E3-C11)^2, trừ nhầm ô trống nên mọi bình phương sai. Dùng hàm VAR.S hay STDEV.S trên cột điểm đại diện: vừa bỏ qua tần số vừa chia cho

n - 1

. Dùng dấu phẩy ngăn đối số trên máy cài định dạng Việt Nam (phải dùng dấu chấm phẩy) khiến Excel báo lỗi công thức.

🚀 Mở rộng. Thêm cột I =D2/D8 (tần số tương đối) và vẽ biểu đồ cột từ bảng tính cho cả hai nhóm trên cùng trục — đó chính là biểu đồ của HĐ2, tạo tự động từ dữ liệu.

Mở bài này trong app ↗