Hoạt động thực hành trải nghiệm

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 1 · 11 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #HoạtĐộngThựcHànhTrảiNghiệm #SGK_Tập1 #trang91 #BàiTiếpTheo

Bài 1 · Thực hành 1 – hàm số (1)★Trang 91— Đạo hàm cấp một, cấp hai, cực trị và đồ thị của hàm số bậc hai

Thực hành 1 (trang 91). Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:
Cho các hàm số đa thức sau:
(1)

y = 3 x^{2} + 3 x + 1

; (2)

y = x^{3} - 6 x^{2} + 9

; (3)

y = x^{4} - 4 x^{2} + 3

.
a) Tìm đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của các hàm số trên.
b) Tìm tất cả các điểm cực trị của các hàm số trên.
c) Vẽ đồ thị của các hàm số trên.
Lời giải dưới đây dành cho hàm số (1) $y = 3 x^{2} + 3 x + 1$ .

Kiến thức cần nhớ

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(c)^{'} = 0$ ; đạo hàm cấp hai $y^{''} = (y^{'})^{'}$ .
Nếu $y^{'}$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua $x_{0}$ thì $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Parabol $y = a x^{2} + b x + c$ có đỉnh $(- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ .
Lệnh GeoGebra (tiếng Anh / tiếng Việt): Derivative / DaoHam (đạo hàm, thêm đối số cấp để lấy đạo hàm cấp cao), Extremum / CucTri (cực trị), nhập hàm số vào ô lệnh để vẽ đồ thị.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm bậc hai có hệ số

a = 3 > 0

nên đồ thị là parabol quay bề lõm lên và chỉ có đúng một điểm cực trị là điểm cực tiểu, chính là đỉnh parabol. Hệ số

3

không làm bài khó thêm, chỉ cần giữ căn cẩn thận khi tính tung độ đỉnh. Bẫy: quên nhân

2

ở mẫu khi dùng

x = - \frac{b}{2 a}

1Cách 1. Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên

Định hướng. Đạo hàm của đa thức tính theo từng hạng tử; điểm cực trị đọc từ dấu của $y^{'}$ .

y^{'} = (3 x^{2})^{'} + (3 x)^{'} + (1)^{'} = 6 x + 3

y^{''} = (6 x + 3)^{'} = 6

y^{'} = 0 \Leftrightarrow 6 x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{6}

y (- \frac{3}{6}) = 3 \cdot \frac{3}{36} + 3 \cdot (- \frac{3}{6}) + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}

$x$	$- \infty$		$- \frac{3}{6}$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$
$y$	$+ \infty$	↘	$\frac{3}{4}$	↗	$+ \infty$

x = 0 \Rightarrow y = 1

;

Δ = (3)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = - 9 < 0

Đồ thị là parabol bề lõm quay lên, đỉnh

(- \frac{3}{6}; \frac{3}{4})

, cắt trục tung tại

(0; 1)

, không cắt trục hoành.

Hình minh hoạ lời giải

Parabol y = 3x² + √3x + 1 có đỉnh là điểm cực tiểu (−√3/6; 3/4)

Vậy $y^{'} = 6 x + 3$ , $y^{''} = 6$ ; hàm số có một điểm cực tiểu $x = - \frac{3}{6}$ với giá trị cực tiểu $\frac{3}{4}$ , không có điểm cực đại; đồ thị như hình vẽ.

2Cách 2. Biến đổi về dạng chính phương

Định hướng. Viết $y$ thành bình phương cộng hằng số: đỉnh, cực trị và hình dạng đồ thị đều hiện ra ngay mà không cần xét dấu.

y = 3 (x^{2} + \frac{3}{3} x) + 1 = 3 (x + \frac{3}{6})^{2} - 3 \cdot \frac{3}{36} + 1 = 3 (x + \frac{3}{6})^{2} + \frac{3}{4}

y^{'} = 3 \cdot 2 (x + \frac{3}{6}) = 6 x + 3

;

y^{''} = 6

y = 3 (x + \frac{3}{6})^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}

, dấu bằng khi

x = - \frac{3}{6}

y

giảm khi

x < - \frac{3}{6}

và tăng khi

x > - \frac{3}{6}

nên

x = - \frac{3}{6}

là điểm cực tiểu duy nhất
c) Đồ thị là parabol

y = 3 x^{2}

tịnh tiến sang trái

\frac{3}{6}

đơn vị và lên trên

\frac{3}{4}

đơn vị.

Vậy điểm cực tiểu $x = - \frac{3}{6}$ , giá trị cực tiểu $\frac{3}{4}$ ; $y^{'} = 6 x + 3$ , $y^{''} = 6$ .

3Cách 3. Thực hiện bằng GeoGebra (CAS và Graphics 2)

Định hướng. Dùng đúng các lệnh của hoạt động: CAS cho đạo hàm và cực trị, Graphics 2 cho đồ thị; kết quả phải trùng với tính tay.

Derivative(3x^2+sqrt(3)x+1)

⟶

6 x + 3

Derivative(3x^2+sqrt(3)x+1, 2)

⟶

6

Extremum(3x^2+sqrt(3)x+1)

⟶

(- \frac{3}{6}, \frac{3}{4})

View

\to

Graphics 2, nhập f(x)=3x^2+sqrt(3)x+1

⟶

parabol như hình vẽ

Vậy GeoGebra cho cùng kết quả: $y^{'} = 6 x + 3$ , $y^{''} = 6$ , điểm cực trị của đồ thị là $(- \frac{3}{6}; \frac{3}{4})$ và đó là điểm cực tiểu (nhìn đồ thị).

Nhận xét. Lệnh Extremum chỉ trả về toạ độ điểm, không nói cực đại hay cực tiểu; phải nhìn đồ thị hoặc xét dấu $y^{''} = 6 > 0$ để kết luận. Tính tay (Cách 2) là cách nhanh nhất để kiểm lại máy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng biến đổi chính phương cho luôn đỉnh, cực tiểu và hình dạng parabol; Cách 3 dùng để kiểm tra trên máy.

Đáp số.

y^{'} = 6 x + 3

y^{''} = 6

; điểm cực tiểu

x = - \frac{3}{6}

, giá trị cực tiểu

\frac{3}{4}

(không có cực đại); đồ thị là parabol đỉnh

(- \frac{3}{6}; \frac{3}{4})

Sai lầm thường gặp. Dùng

x = - \frac{b}{2 a}

mà quên nhân

2

ở mẫu, được

x = - \frac{3}{3}

; thử lại

y^{'} (- \frac{3}{3}) = - 23 + 3 = - 3 \neq = 0

nên sai. Khi gõ lệnh, nếu nghi ngờ phép nhân ngầm thì gõ rõ sqrt(3)*x để GeoGebra hiểu đúng biểu thức.

🚀 Mở rộng. Với mọi parabol

y = a x^{2} + b x + c

(

a \neq = 0

), Extremum luôn trả về đúng một điểm

(- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})

— hãy kiểm chứng với

y = - 2 x^{2} + 5 x

và cho biết đó là cực đại hay cực tiểu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Thực hành 1 – hàm số (2)★★Trang 91— Đạo hàm cấp một, cấp hai, cực trị và đồ thị của hàm số bậc ba

Thực hành 1 (trang 91). Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:
Cho các hàm số đa thức sau:
(1)

y = 3 x^{2} + 3 x + 1

; (2)

y = x^{3} - 6 x^{2} + 9

; (3)

y = x^{4} - 4 x^{2} + 3

.
a) Tìm đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của các hàm số trên.
b) Tìm tất cả các điểm cực trị của các hàm số trên.
c) Vẽ đồ thị của các hàm số trên.
Lời giải dưới đây dành cho hàm số (2) $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9$ .

Kiến thức cần nhớ

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ; $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
Nếu $y^{'} (x_{0}) = 0$ và $y^{''} (x_{0}) < 0$ thì $x_{0}$ là điểm cực đại; $y^{''} (x_{0}) > 0$ thì $x_{0}$ là điểm cực tiểu.
Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm có hoành độ là nghiệm của $y^{''} = 0$ làm tâm đối xứng.
Lệnh GeoGebra (tiếng Anh / tiếng Việt): Derivative / DaoHam (đạo hàm, thêm đối số cấp để lấy đạo hàm cấp cao), Extremum / CucTri (cực trị), nhập hàm số vào ô lệnh để vẽ đồ thị.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm bậc ba có

y^{'} = 3 x^{2} - 12 x

là tam thức có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có đủ một cực đại và một cực tiểu. Dấu của

y^{''}

tại từng nghiệm cho ngay loại cực trị mà không phải lập bảng. Bẫy: lẫn điểm cực trị của hàm số (hoành độ

x_{0}

) với điểm cực trị của đồ thị

(x_{0}; y_{0})

— lệnh Extremum trả về toạ độ điểm của đồ thị.

1Cách 1. Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên

Định hướng. Tính $y^{'}$ , $y^{''}$ theo từng hạng tử, rồi xét dấu $y^{'}$ trên bảng biến thiên để đọc cực trị.

y^{'} = 3 x^{2} - 12 x

y^{''} = 6 x - 12

y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x (x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 4

y (0) = 9

;

y (4) = 4^{3} - 6 \cdot 4^{2} + 9 = 64 - 96 + 9 = - 23

$x$	$- \infty$		$0$		$4$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$9$	↘	$- 23$	↗	$+ \infty$

y^{''} = 0 \Leftrightarrow x = 2

;

y (2) = 8 - 24 + 9 = - 7

Đồ thị nhận

U (2; - 7)

làm tâm đối xứng, đi qua

(0; 9)

(4; - 23)

Hình minh hoạ lời giải

Đồ thị hàm bậc ba y = x³ − 6x² + 9 với cực đại (0; 9), cực tiểu (4; −23) và tâm đối xứng U(2; −7)

Vậy $y^{'} = 3 x^{2} - 12 x$ , $y^{''} = 6 x - 12$ ; hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ (giá trị cực đại $9$ ), đạt cực tiểu tại $x = 4$ (giá trị cực tiểu $- 23$ ); đồ thị như hình vẽ.

2Cách 2. Quy tắc đạo hàm cấp hai và tính đối xứng

Định hướng. Viết $y = x^{2} (x - 6) + 9$ để lấy đạo hàm bằng quy tắc tích; loại cực trị do dấu $y^{''}$ quyết định, đồ thị dựng từ tâm đối xứng.

y^{'} = [x^{2} (x - 6)]^{'} = 2 x (x - 6) + x^{2} = 3 x^{2} - 12 x

y^{''} = (3 x^{2} - 12 x)^{'} = 6 x - 12

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 4

y^{''} (0) = - 12 < 0 \Rightarrow x = 0

là điểm cực đại,

y (0) = 9

y^{''} (4) = 12 > 0 \Rightarrow x = 4

là điểm cực tiểu,

y (4) = - 23

c) Tâm đối xứng

U (2; - 7)

; điểm đối xứng của

(0; 9)

qua

U

là

(4; - 23)

y (- 2) = - 8 - 24 + 9 = - 23

;

y (6) = 216 - 216 + 9 = 9

Vậy điểm cực đại $x = 0$ , điểm cực tiểu $x = 4$ ; đồ thị đi qua $(- 2; - 23)$ , $(0; 9)$ , $U (2; - 7)$ , $(4; - 23)$ , $(6; 9)$ .

3Cách 3. Thực hiện bằng GeoGebra (CAS và Graphics 2)

Định hướng. Nhập ba lệnh trong CAS rồi vẽ đồ thị trong Graphics 2; đồ thị giúp gọi tên điểm nào là cực đại, điểm nào là cực tiểu.

Derivative(x^3-6x^2+9)

⟶

3 x^{2} - 12 x

Derivative(x^3-6x^2+9, 2)

⟶

6 x - 12

Extremum(x^3-6x^2+9)

⟶

{(0, 9), (4, - 23)}

View

\to

Graphics 2, nhập f(x)=x^3-6x^2+9

⟶

đường cong như hình vẽ

Vậy trên đồ thị, $(0; 9)$ là đỉnh cao nên là điểm cực đại, $(4; - 23)$ là đáy thấp nên là điểm cực tiểu.

Nhận xét. Có thể kiểm tra không cần máy: $y - 9 = x^{2} (x - 6)$ và $y + 23 = (x - 4)^{2} (x + 2)$ — nghiệm kép $x = 0$ và $x = 4$ cho thấy các đường $y = 9$ , $y = - 23$ tiếp xúc đồ thị đúng tại hai điểm cực trị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần thay hai nghiệm vào

y^{''}

là biết ngay cực đại, cực tiểu, không phải kẻ bảng.

Đáp số.

y^{'} = 3 x^{2} - 12 x

y^{''} = 6 x - 12

; điểm cực đại

x = 0

(giá trị cực đại

9

), điểm cực tiểu

x = 4

(giá trị cực tiểu

- 23

); đồ thị nhận

U (2; - 7)

làm tâm đối xứng.

Sai lầm thường gặp. Kết luận “hàm số có cực đại là

(0; 9)

” là nhầm:

(0; 9)

là điểm cực đại của đồ thị, còn điểm cực đại của hàm số là

x = 0

và giá trị cực đại là

9

. Một lỗi khác là tính

y (4) = 64 - 96 + 9

thành

- 32

do quên cộng

9

🚀 Mở rộng. Với hàm

y = x^{3} - 6 x^{2} + m

, hai điểm cực trị luôn có hoành độ

0

và

4

; dùng thanh trượt

m

trong GeoGebra để tìm

m

sao cho đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm (đáp số:

0 < m < 32

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Thực hành 1 – hàm số (3)★★Trang 91— Đạo hàm cấp một, cấp hai, cực trị và đồ thị của hàm số trùng phương

Thực hành 1 (trang 91). Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:
Cho các hàm số đa thức sau:
(1)

y = 3 x^{2} + 3 x + 1

; (2)

y = x^{3} - 6 x^{2} + 9

; (3)

y = x^{4} - 4 x^{2} + 3

.
a) Tìm đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của các hàm số trên.
b) Tìm tất cả các điểm cực trị của các hàm số trên.
c) Vẽ đồ thị của các hàm số trên.
Lời giải dưới đây dành cho hàm số (3) $y = x^{4} - 4 x^{2} + 3$ .

Kiến thức cần nhớ

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ ; $[u^{2}]^{'} = 2 u u^{'}$ .
Nếu $y^{'} (x_{0}) = 0$ và $y^{''} (x_{0}) < 0$ thì $x_{0}$ là điểm cực đại; $y^{''} (x_{0}) > 0$ thì $x_{0}$ là điểm cực tiểu.
Hàm $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ với $ab < 0$ có ba điểm cực trị.
Lệnh GeoGebra (tiếng Anh / tiếng Việt): Derivative / DaoHam (đạo hàm, thêm đối số cấp để lấy đạo hàm cấp cao), Extremum / CucTri (cực trị), nhập hàm số vào ô lệnh để vẽ đồ thị.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm trùng phương chỉ chứa luỹ thừa chẵn nên là hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung. Hệ số

a = 1 > 0

b = - 4 < 0

trái dấu nên có ba điểm cực trị: một cực đại ở giữa, hai cực tiểu hai bên. Bẫy: giải

4 x^{3} - 8 x = 0

mà chia cả hai vế cho

x

sẽ làm mất nghiệm

x = 0

1Cách 1. Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên

Định hướng. Đặt nhân tử chung $4 x$ trong $y^{'}$ để được đủ ba nghiệm, rồi xét dấu trên bảng biến thiên.

y^{'} = 4 x^{3} - 8 x

y^{''} = 12 x^{2} - 8

y^{'} = 0 \Leftrightarrow 4 x (x^{2} - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = - 2

hoặc

x = 2

y (0) = 3

;

y (\pm 2) = 4 - 8 + 3 = - 1

$x$	$- \infty$		$- 2$		$0$		$2$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$+ \infty$	↘	$- 1$	↗	$3$	↘	$- 1$	↗	$+ \infty$

y = 0 \Leftrightarrow x^{4} - 4 x^{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow (x^{2} - 1) (x^{2} - 3) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1

hoặc

x = \pm 3

Hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung, cắt trục tung tại

(0; 3)

Hình minh hoạ lời giải

Đồ thị hàm trùng phương y = x⁴ − 4x² + 3 đối xứng qua trục tung, hai cực tiểu (±√2; −1)

Vậy $y^{'} = 4 x^{3} - 8 x$ , $y^{''} = 12 x^{2} - 8$ ; điểm cực đại $x = 0$ (giá trị cực đại $3$ ), hai điểm cực tiểu $x = \pm 2$ (giá trị cực tiểu $- 1$ ); đồ thị như hình vẽ.

2Cách 2. Đưa về bình phương và dùng đạo hàm cấp hai

Định hướng. Nhận ra $y = (x^{2} - 2)^{2} - 1$ : đạo hàm theo quy tắc hàm hợp gọn hơn, và thấy ngay $y \geq - 1$ .

y = x^{4} - 4 x^{2} + 4 - 1 = (x^{2} - 2)^{2} - 1

y^{'} = 2 (x^{2} - 2) \cdot 2 x = 4 x^{3} - 8 x

;

y^{''} = 12 x^{2} - 8

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = \pm 2

y^{''} (0) = - 8 < 0 \Rightarrow x = 0

là điểm cực đại,

y (0) = 3

y^{''} (\pm 2) = 24 - 8 = 16 > 0 \Rightarrow x = \pm 2

là điểm cực tiểu,

y (\pm 2) = - 1

y = (x^{2} - 2)^{2} - 1 \geq - 1

, dấu bằng khi

x = \pm 2

;

y (- x) = y (x)

Vậy cực đại tại $x = 0$ , cực tiểu tại $x = \pm 2$ ; hai điểm cực tiểu cũng là hai điểm thấp nhất của đồ thị.

3Cách 3. Thực hiện bằng GeoGebra (CAS và Graphics 2)

Định hướng. Ba lệnh CAS cho đạo hàm và toạ độ các điểm cực trị; đồ thị trong Graphics 2 cho biết điểm nào là cực đại.

Derivative(x^4-4x^2+3)

⟶

4 x^{3} - 8 x

Derivative(x^4-4x^2+3, 2)

⟶

12 x^{2} - 8

Extremum(x^4-4x^2+3)

⟶

{(- 2, - 1), (0, 3), (2, - 1)}

View

\to

Graphics 2, nhập f(x)=x^4-4x^2+3

⟶

đường cong hình chữ W như hình vẽ

Vậy $(0; 3)$ là điểm cực đại, $(- 2; - 1)$ và $(2; - 1)$ là hai điểm cực tiểu của đồ thị.

Nhận xét. Nếu máy hiển thị số thập phân thì $2 \approx 1, 41$ . Cách 2 là cách kiểm tra nhanh nhất vì dạng $(x^{2} - 2)^{2} - 1$ cho luôn giá trị cực tiểu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra

(x^{2} - 2)^{2} - 1

thì đạo hàm, cực trị và giá trị nhỏ nhất đều có trong hai dòng.

Đáp số.

y^{'} = 4 x^{3} - 8 x

y^{''} = 12 x^{2} - 8

; điểm cực đại

x = 0

(giá trị cực đại

3

), điểm cực tiểu

x = \pm 2

(giá trị cực tiểu

- 1

); đồ thị cắt trục hoành tại

x = \pm 1

x = \pm 3

Sai lầm thường gặp. Chia hai vế của

4 x^{3} - 8 x = 0

cho

x

thành

4 x^{2} - 8 = 0

rồi chỉ được

x = \pm 2

, mất nghiệm

x = 0

và mất luôn điểm cực đại. Phải đặt nhân tử chung

4 x (x^{2} - 2) = 0

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

y = x^{4} - 2 m x^{2} + c

(

m > 0

) có cực đại tại

x = 0

và hai cực tiểu tại

x = \pm m

; thử với thanh trượt

m

trong GeoGebra để thấy ba điểm cực trị luôn tạo thành tam giác cân.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Thực hành 2 – hàm số (1)★★Trang 91— Đạo hàm, tiệm cận và đồ thị của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Thực hành 2 (trang 91). Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:
Cho các hàm số phân thức hữu tỉ sau:
(1)

y = \frac{x}{x + 2}

; (2)

y = \frac{2 x - 1}{x + 1}

; (3)

y = \frac{x ^{2} - 2 x - 8}{x - 1}

; (4)

y = 5 x + 1 + \frac{3}{2 x - 3}

.
a) Tìm đạo hàm cấp một của các hàm số trên.
b) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số trên.
c) Vẽ đồ thị của các hàm số trên.
Lời giải dưới đây dành cho hàm số (1) $y = \frac{x}{x + 2}$ .

Kiến thức cần nhớ

$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ ; với $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ thì $y^{'} = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}}$ .
$x = x_{0}$ là tiệm cận đứng nếu $x \to x_{0}^{+} lim y$ hoặc $x \to x_{0}^{-} lim y$ bằng $\pm \infty$ ; $y = y_{0}$ là tiệm cận ngang nếu $x \to \pm \infty lim y = y_{0}$ .
$y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ) là tiệm cận xiên nếu $x \to + \infty lim [y - (a x + b)] = 0$ hoặc $x \to - \infty lim [y - (a x + b)] = 0$ .
Lệnh GeoGebra (tiếng Anh / tiếng Việt): Derivative / DaoHam (đạo hàm), Asymptote / TiemCan (tiệm cận); vẽ tiệm cận trước rồi nhập hàm số để vẽ đồ thị.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là hàm

y = \frac{a x + b}{c x + d}

với

a = 1

b = 0

c = 1

d = 2

, nên đồ thị là một hypebol có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Tách

y = 1 - \frac{2}{x + 2}

thì đạo hàm và cả hai tiệm cận đọc ra gần như tức thì. Bẫy: tiệm cận đứng là

x = - 2

chứ không phải

x = 2

1Cách 1. Quy tắc đạo hàm thương và tính giới hạn

Định hướng. Đạo hàm theo công thức thương; tiệm cận xác định bằng giới hạn tại vô cực và tại điểm làm mẫu bằng $0$ .

Tập xác định:

D = R ∖ {- 2}

y^{'} = \frac{( x ) ^{'} ( x + 2 ) - x ( x + 2 ) ^{'}}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{x + 2 - x}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{2}{( x + 2 ) ^{2}}

x \to \pm \infty lim \frac{x}{x + 2} = x \to \pm \infty lim \frac{1}{1 + \frac{2}{x}} = 1

x \to (- 2)^{-} lim \frac{x}{x + 2} = + \infty

;

x \to (- 2)^{+} lim \frac{x}{x + 2} = - \infty

y^{'} > 0

với mọi

x \neq = - 2

;

x = 0 \Rightarrow y = 0

; tâm đối xứng

I (- 2; 1)

Hình minh hoạ lời giải

Đồ thị hàm y = x/(x + √2) với tiệm cận đứng x = −√2 và tiệm cận ngang y = 1

Vậy $y^{'} = \frac{2}{( x + 2 ) ^{2}}$ ; tiệm cận đứng $x = - 2$ , tiệm cận ngang $y = 1$ ; hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định, đồ thị đi qua gốc toạ độ như hình vẽ.

2Cách 2. Tách phần nguyên

Định hướng. Viết $y$ thành hằng số cộng một phân thức đơn giản: đạo hàm chỉ còn một hạng tử, tiệm cận nhìn thấy ngay.

y = \frac{( x + 2 ) - 2}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}

y^{'} = - 2 \cdot (- \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}}) = \frac{2}{( x + 2 ) ^{2}}

x \to \pm \infty \Rightarrow \frac{2}{x + 2} \to 0 \Rightarrow y \to 1

x \to - 2 \Rightarrow \frac{2}{x + 2} \to + \infty

c) Đồ thị là hypebol

y = - \frac{2}{x}

tịnh tiến sang trái

2

đơn vị và lên trên

1

đơn vị.

Vậy tiệm cận đứng $x = - 2$ , tiệm cận ngang $y = 1$ , $y^{'} = \frac{2}{( x + 2 ) ^{2}}$ .

3Cách 3. Thực hiện bằng GeoGebra

Định hướng. Làm theo đúng trình tự của mục 4b: tìm và vẽ tiệm cận trước, sau đó nhập hàm số để vẽ đồ thị.

Derivative(x/(x+sqrt(2)))

⟶

\frac{2}{( x + 2 ) ^{2}}

(hoặc một dạng tương đương)
Asymptote(x/(x+sqrt(2)))

⟶

{y = 1, x = - 2}

Graphics 2: nhập lệnh Asymptote để vẽ hai tiệm cận, rồi nhập g(x)=x/(x+sqrt(2))

Vậy máy cho cùng kết quả: $y^{'} = \frac{2}{( x + 2 ) ^{2}}$ , hai tiệm cận $x = - 2$ và $y = 1$ , đồ thị gồm hai nhánh như hình vẽ.

Nhận xét. Công thức nhanh $y^{'} = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}} = \frac{1 \cdot 2 - 0 \cdot 1}{( x + 2 ) ^{2}}$ cho kết quả trong một dòng, dùng để kiểm tra máy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tách

y = 1 - \frac{2}{x + 2}

cho đồng thời đạo hàm, hai tiệm cận và hình dạng đồ thị.

Đáp số.

y^{'} = \frac{2}{( x + 2 ) ^{2}}

; tiệm cận đứng

x = - 2

, tiệm cận ngang

y = 1

; đồ thị hai nhánh, đi qua

O (0; 0)

, nhận

I (- 2; 1)

làm tâm đối xứng.

Sai lầm thường gặp. Viết tiệm cận đứng

x = 2

vì lấy nhầm dấu; mẫu

x + 2 = 0

khi

x = - 2

. Một lỗi khác là tính

y^{'} = \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}}

do quên rằng

(x)^{'} (x + 2) - x \cdot 1 = 2

chứ không phải

1

🚀 Mở rộng. Với

y = \frac{x}{x + m}

(

m \neq = 0

) ta luôn có tiệm cận ngang

y = 1

và

y^{'} = \frac{m}{( x + m ) ^{2}}

; hàm đồng biến hay nghịch biến tuỳ dấu của

m

— kiểm chứng bằng thanh trượt

m

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Thực hành 2 – hàm số (2)★★Trang 91— Đạo hàm, tiệm cận và đồ thị của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Thực hành 2 (trang 91). Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:
Cho các hàm số phân thức hữu tỉ sau:
(1)

y = \frac{x}{x + 2}

; (2)

y = \frac{2 x - 1}{x + 1}

; (3)

y = \frac{x ^{2} - 2 x - 8}{x - 1}

; (4)

y = 5 x + 1 + \frac{3}{2 x - 3}

.
a) Tìm đạo hàm cấp một của các hàm số trên.
b) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số trên.
c) Vẽ đồ thị của các hàm số trên.
Lời giải dưới đây dành cho hàm số (2) $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ .

Kiến thức cần nhớ

$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ ; với $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ thì $y^{'} = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}}$ .
$x = x_{0}$ là tiệm cận đứng nếu $x \to x_{0}^{+} lim y$ hoặc $x \to x_{0}^{-} lim y$ bằng $\pm \infty$ ; $y = y_{0}$ là tiệm cận ngang nếu $x \to \pm \infty lim y = y_{0}$ .
$y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ) là tiệm cận xiên nếu $x \to + \infty lim [y - (a x + b)] = 0$ hoặc $x \to - \infty lim [y - (a x + b)] = 0$ .
Lệnh GeoGebra (tiếng Anh / tiếng Việt): Derivative / DaoHam (đạo hàm), Asymptote / TiemCan (tiệm cận); vẽ tiệm cận trước rồi nhập hàm số để vẽ đồ thị.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm có dạng

y = \frac{a x + b}{c x + d}

với

a d - b c = 2 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1 = 3 \neq = 0

nên đồ thị là hypebol, không suy biến thành đường thẳng. Tiệm cận ngang là tỉ số hệ số

\frac{a}{c} = 2

, tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu. Bẫy: tính

a d - b c

nhầm dấu thành

2 - 1 = 1

1Cách 1. Quy tắc đạo hàm thương và tính giới hạn

Định hướng. Đạo hàm theo công thức thương; tiệm cận xác định bằng giới hạn tại vô cực và tại $x = - 1$ .

Tập xác định:

D = R ∖ {- 1}

y^{'} = \frac{2 ( x + 1 ) - ( 2 x - 1 ) \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x + 2 - 2 x + 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}

x \to \pm \infty lim \frac{2 x - 1}{x + 1} = x \to \pm \infty lim \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2

x \to (- 1)^{-} lim \frac{2 x - 1}{x + 1} = + \infty

;

x \to (- 1)^{+} lim \frac{2 x - 1}{x + 1} = - \infty

y^{'} > 0

với mọi

x \neq = - 1

;

x = 0 \Rightarrow y = - 1

;

y = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

; tâm đối xứng

I (- 1; 2)

Hình minh hoạ lời giải

Đồ thị hàm y = (2x − 1)/(x + 1) với tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận ngang y = 2

Vậy $y^{'} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}$ ; tiệm cận đứng $x = - 1$ , tiệm cận ngang $y = 2$ ; đồ thị cắt trục tung tại $(0; - 1)$ , cắt trục hoành tại $(\frac{1}{2}; 0)$ như hình vẽ.

2Cách 2. Tách phần nguyên

Định hướng. Tách $2 x - 1 = 2 (x + 1) - 3$ để đưa $y$ về hằng số cộng phân thức đơn giản.

y = \frac{2 ( x + 1 ) - 3}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}

y^{'} = - 3 \cdot (- \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}) = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}

x \to \pm \infty \Rightarrow \frac{3}{x + 1} \to 0 \Rightarrow y \to 2

;

x \to - 1 \Rightarrow \frac{3}{x + 1} \to + \infty

c) Đồ thị là hypebol

y = - \frac{3}{x}

tịnh tiến sang trái

1

đơn vị và lên trên

2

đơn vị.

Vậy tiệm cận đứng $x = - 1$ , tiệm cận ngang $y = 2$ , $y^{'} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

3Cách 3. Thực hiện bằng GeoGebra

Định hướng. Tìm tiệm cận bằng lệnh Asymptote và vẽ chúng trước, rồi nhập hàm số vào ô lệnh để có đồ thị.

Derivative((2x-1)/(x+1))

⟶

\frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}

(hoặc một dạng tương đương)
Asymptote((2x-1)/(x+1))

⟶

{y = 2, x = - 1}

Graphics 2: vẽ hai tiệm cận, rồi nhập g(x)=(2x-1)/(x+1)

Vậy máy cho cùng kết quả: $y^{'} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}$ , tiệm cận $x = - 1$ , $y = 2$ .

Nhận xét. Công thức nhanh: $y^{'} = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}} = \frac{2 \cdot 1 - ( - 1 ) \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tách

y = 2 - \frac{3}{x + 1}

là thấy ngay tiệm cận và dấu của đạo hàm.

Đáp số.

y^{'} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}

; tiệm cận đứng

x = - 1

, tiệm cận ngang

y = 2

; đồ thị đi qua

(0; - 1)

(\frac{1}{2}; 0)

, nhận

I (- 1; 2)

làm tâm đối xứng.

Sai lầm thường gặp. Tính

a d - b c = 2 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1)

nhưng viết thành

2 - 1 = 1

, ra

y^{'} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

— sai. Tiệm cận ngang cũng hay bị ghi nhầm

y = - 1

(lấy tỉ số hệ số tự do) thay vì

y = \frac{2}{1} = 2

🚀 Mở rộng. Với

y = \frac{2 x + m}{x + 1}

, đồ thị suy biến thành đường thẳng khi

m = 2

; với

m \neq = 2

luôn có tiệm cận

x = - 1

y = 2

— dùng thanh trượt

m

để quan sát.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Thực hành 2 – hàm số (3)★★★Trang 91— Đạo hàm, tiệm cận và đồ thị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Thực hành 2 (trang 91). Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:
Cho các hàm số phân thức hữu tỉ sau:
(1)

y = \frac{x}{x + 2}

; (2)

y = \frac{2 x - 1}{x + 1}

; (3)

y = \frac{x ^{2} - 2 x - 8}{x - 1}

; (4)

y = 5 x + 1 + \frac{3}{2 x - 3}

.
a) Tìm đạo hàm cấp một của các hàm số trên.
b) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số trên.
c) Vẽ đồ thị của các hàm số trên.
Lời giải dưới đây dành cho hàm số (3) $y = \frac{x ^{2} - 2 x - 8}{x - 1}$ .

Kiến thức cần nhớ

$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ ; với $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ thì $y^{'} = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}}$ .
$x = x_{0}$ là tiệm cận đứng nếu $x \to x_{0}^{+} lim y$ hoặc $x \to x_{0}^{-} lim y$ bằng $\pm \infty$ ; $y = y_{0}$ là tiệm cận ngang nếu $x \to \pm \infty lim y = y_{0}$ .
$y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ) là tiệm cận xiên nếu $x \to + \infty lim [y - (a x + b)] = 0$ hoặc $x \to - \infty lim [y - (a x + b)] = 0$ .
Lệnh GeoGebra (tiếng Anh / tiếng Việt): Derivative / DaoHam (đạo hàm), Asymptote / TiemCan (tiệm cận); vẽ tiệm cận trước rồi nhập hàm số để vẽ đồ thị.

🧠 Phân tích tư duy

Bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng một đơn vị nên đồ thị không có tiệm cận ngang mà có tiệm cận xiên. Chia đa thức cho

y = x - 1 - \frac{9}{x - 1}

: phần đa thức là tiệm cận xiên, phần dư quyết định tiệm cận đứng và dấu đạo hàm. Bẫy: tử

x^{2} - 2 x - 8

không triệt tiêu tại

x = 1

(bằng

- 9

) nên

x = 1

đúng là tiệm cận đứng.

1Cách 1. Quy tắc đạo hàm thương và tính giới hạn

Định hướng. Đạo hàm theo công thức thương; tìm tiệm cận xiên bằng hai giới hạn $a = lim \frac{y}{x}$ , $b = lim (y - a x)$ .

Tập xác định:

D = R ∖ {1}

y^{'} = \frac{( 2 x - 2 ) ( x - 1 ) - ( x ^{2} - 2 x - 8 )}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} - 4 x + 2 - x ^{2} + 2 x + 8}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x + 10}{( x - 1 ) ^{2}}

x \to 1^{-} lim \frac{x ^{2} - 2 x - 8}{x - 1} = + \infty

;

x \to 1^{+} lim \frac{x ^{2} - 2 x - 8}{x - 1} = - \infty

a = x \to \pm \infty lim \frac{x ^{2} - 2 x - 8}{x ( x - 1 )} = 1

b = x \to \pm \infty lim (\frac{x ^{2} - 2 x - 8}{x - 1} - x) = x \to \pm \infty lim \frac{- x - 8}{x - 1} = - 1

y^{'} = \frac{( x - 1 ) ^{2} + 9}{( x - 1 ) ^{2}} > 0

với mọi

x \neq = 1

;

x = 0 \Rightarrow y = 8

;

y = 0 \Leftrightarrow x = - 2

hoặc

x = 4

Hình minh hoạ lời giải

Đồ thị hàm y = (x² − 2x − 8)/(x − 1) với tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận xiên y = x − 1

Vậy $y^{'} = \frac{x ^{2} - 2 x + 10}{( x - 1 ) ^{2}}$ ; tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận xiên $y = x - 1$ (không có tiệm cận ngang); hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định, đồ thị như hình vẽ.

2Cách 2. Chia đa thức, tách phần nguyên

Định hướng. Nhận ra $x^{2} - 2 x - 8 = (x - 1)^{2} - 9$ nên $y$ tách ngay thành đường thẳng cộng phân thức đơn giản.

y = \frac{( x - 1 ) ^{2} - 9}{x - 1} = x - 1 - \frac{9}{x - 1}

y^{'} = 1 + \frac{9}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x + 10}{( x - 1 ) ^{2}}

x \to \pm \infty lim [y - (x - 1)] = x \to \pm \infty lim (- \frac{9}{x - 1}) = 0

x \to 1 \Rightarrow \frac{9}{x - 1} \to + \infty

y^{'} = 1 + \frac{9}{( x - 1 ) ^{2}} > 1

; giao của hai tiệm cận

I (1; 0)

là tâm đối xứng

Vậy tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận xiên $y = x - 1$ , $y^{'} = 1 + \frac{9}{( x - 1 ) ^{2}}$ .

3Cách 3. Thực hiện bằng GeoGebra

Định hướng. Lệnh Asymptote trả về cùng lúc cả tiệm cận xiên và tiệm cận đứng; vẽ chúng trước rồi nhập hàm số.

Derivative((x^2-2x-8)/(x-1))

⟶

\frac{x ^{2} - 2 x + 10}{( x - 1 ) ^{2}}

(hoặc một dạng tương đương)
Asymptote((x^2-2x-8)/(x-1))

⟶

{y = x - 1, x = 1}

Graphics 2: vẽ hai tiệm cận, rồi nhập g(x)=(x^2-2x-8)/(x-1)

Vậy máy cho cùng kết quả: tiệm cận xiên $y = x - 1$ , tiệm cận đứng $x = 1$ ; đồ thị hai nhánh đều đi lên.

Nhận xét. Đây chính là dạng bài mẫu $\frac{x ^{2} - 4 x + 5}{x - 3}$ của mục 3; Cách 2 cho biết vì sao máy trả về $y = x - 1$ : đó là thương của phép chia tử cho mẫu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: viết

y = x - 1 - \frac{9}{x - 1}

là có ngay tiệm cận xiên, tiệm cận đứng và dấu dương của đạo hàm.

Đáp số.

y^{'} = \frac{x ^{2} - 2 x + 10}{( x - 1 ) ^{2}}

; tiệm cận đứng

x = 1

, tiệm cận xiên

y = x - 1

; đồ thị cắt trục hoành tại

x = - 2

x = 4

, cắt trục tung tại

(0; 8)

Sai lầm thường gặp. Tìm tiệm cận ngang bằng

x \to \pm \infty lim y

rồi kết luận “không có tiệm cận” là bỏ sót tiệm cận xiên

y = x - 1

. Khai triển tử của

y^{'}

hay sai dấu:

- (x^{2} - 2 x - 8) = - x^{2} + 2 x + 8

, không phải

- x^{2} - 2 x - 8

🚀 Mở rộng. Với

y = \frac{x ^{2} - 2 x + m}{x - 1}

thì

y = x - 1 + \frac{m - 1}{x - 1}

: khi

m < 1

hàm luôn đồng biến, khi

m > 1

có hai cực trị, khi

m = 1

đồ thị suy biến — kiểm chứng bằng thanh trượt.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Thực hành 2 – hàm số (4)★★★Trang 91— Đạo hàm, tiệm cận và đồ thị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Thực hành 2 (trang 91). Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:
Cho các hàm số phân thức hữu tỉ sau:
(1)

y = \frac{x}{x + 2}

; (2)

y = \frac{2 x - 1}{x + 1}

; (3)

y = \frac{x ^{2} - 2 x - 8}{x - 1}

; (4)

y = 5 x + 1 + \frac{3}{2 x - 3}

.
a) Tìm đạo hàm cấp một của các hàm số trên.
b) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số trên.
c) Vẽ đồ thị của các hàm số trên.
Lời giải dưới đây dành cho hàm số (4) $y = 5 x + 1 + \frac{3}{2 x - 3}$ .

Kiến thức cần nhớ

$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ ; với $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ thì $y^{'} = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}}$ .
$x = x_{0}$ là tiệm cận đứng nếu $x \to x_{0}^{+} lim y$ hoặc $x \to x_{0}^{-} lim y$ bằng $\pm \infty$ ; $y = y_{0}$ là tiệm cận ngang nếu $x \to \pm \infty lim y = y_{0}$ .
$y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ) là tiệm cận xiên nếu $x \to + \infty lim [y - (a x + b)] = 0$ hoặc $x \to - \infty lim [y - (a x + b)] = 0$ .
Lệnh GeoGebra (tiếng Anh / tiếng Việt): Derivative / DaoHam (đạo hàm), Asymptote / TiemCan (tiệm cận); vẽ tiệm cận trước rồi nhập hàm số để vẽ đồ thị.
$(\frac{1}{u})^{'} = - \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm đã cho sẵn ở dạng "đường thẳng cộng phân thức", nên tiệm cận xiên

y = 5 x + 1

và tiệm cận đứng

x = \frac{3}{2}

gần như đọc được ngay. Đạo hàm tính theo quy tắc tổng, phần

\frac{3}{2 x - 3}

cần nhân thêm đạo hàm của

2 x - 3

. Bẫy: quên hệ số

2

khi đạo hàm

\frac{3}{2 x - 3}

1Cách 1. Đạo hàm theo quy tắc tổng và tính giới hạn

Định hướng. Giữ nguyên dạng đề cho: đạo hàm từng hạng tử, tiệm cận xiên kiểm tra bằng $lim [y - (5 x + 1)]$ .

Tập xác định:

D = R ∖ {\frac{3}{2}}

y^{'} = 5 + 3 \cdot (- \frac{2}{( 2 x - 3 ) ^{2}}) = 5 - \frac{6}{( 2 x - 3 ) ^{2}} = \frac{5 ( 2 x - 3 ) ^{2} - 6}{( 2 x - 3 ) ^{2}} = \frac{20 x ^{2} - 60 x + 39}{( 2 x - 3 ) ^{2}}

x \to (\frac{3}{2})^{-} lim y = - \infty

;

x \to (\frac{3}{2})^{+} lim y = + \infty

x \to \pm \infty lim [y - (5 x + 1)] = x \to \pm \infty lim \frac{3}{2 x - 3} = 0

y^{'} = 0 \Leftrightarrow (2 x - 3)^{2} = \frac{6}{5} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \pm \frac{30}{10}

y (\frac{3}{2} - \frac{30}{10}) = \frac{17}{2} - 30 \approx 3, 02

;

y (\frac{3}{2} + \frac{30}{10}) = \frac{17}{2} + 30 \approx 13, 98

;

x = 0 \Rightarrow y = 0

Hình minh hoạ lời giải

Đồ thị hàm y = 5x + 1 + 3/(2x − 3) với tiệm cận đứng x = 3/2 và tiệm cận xiên y = 5x + 1

Vậy $y^{'} = 5 - \frac{6}{( 2 x - 3 ) ^{2}}$ ; tiệm cận đứng $x = \frac{3}{2}$ , tiệm cận xiên $y = 5 x + 1$ ; đồ thị đi qua gốc toạ độ, có cực đại $\approx 3, 02$ và cực tiểu $\approx 13, 98$ như hình vẽ.

2Cách 2. Gộp thành một phân thức

Định hướng. Gộp lại để được đúng dạng phân thức bậc hai trên bậc nhất, rồi dùng quy tắc thương và phép chia đa thức.

y = \frac{( 5 x + 1 ) ( 2 x - 3 ) + 3}{2 x - 3} = \frac{10 x ^{2} - 13 x}{2 x - 3}

y^{'} = \frac{( 20 x - 13 ) ( 2 x - 3 ) - 2 ( 10 x ^{2} - 13 x )}{( 2 x - 3 ) ^{2}} = \frac{40 x ^{2} - 86 x + 39 - 20 x ^{2} + 26 x}{( 2 x - 3 ) ^{2}} = \frac{20 x ^{2} - 60 x + 39}{( 2 x - 3 ) ^{2}}

10 x^{2} - 13 x = (2 x - 3) (5 x + 1) + 3

; tử tại

x = \frac{3}{2}

bằng

\frac{45}{2} - \frac{39}{2} = 3 \neq = 0

y = 0 \Leftrightarrow x (10 x - 13) = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = \frac{13}{10}

Vậy $y^{'} = \frac{20 x ^{2} - 60 x + 39}{( 2 x - 3 ) ^{2}}$ ; tiệm cận đứng $x = \frac{3}{2}$ , tiệm cận xiên $y = 5 x + 1$ ; đồ thị cắt trục hoành tại $x = 0$ và $x = \frac{13}{10}$ .

3Cách 3. Thực hiện bằng GeoGebra

Định hướng. Nhập nguyên biểu thức đề cho vào lệnh; máy tự nhận ra tiệm cận xiên và tiệm cận đứng.

Derivative(5x+1+3/(2x-3))

⟶

5 - \frac{6}{( 2 x - 3 ) ^{2}}

(hoặc một dạng tương đương)
Asymptote(5x+1+3/(2x-3))

⟶

{y = 5 x + 1, x = \frac{3}{2}}

Graphics 2: vẽ hai tiệm cận, rồi nhập g(x)=5x+1+3/(2x-3)

Vậy máy cho cùng kết quả: tiệm cận xiên $y = 5 x + 1$ , tiệm cận đứng $x = \frac{3}{2}$ .

Nhận xét. Vì tung độ thay đổi nhanh (hệ số góc $5$ ), khi vẽ nên phóng to theo trục tung để thấy rõ hai điểm cực trị gần $x \approx 0, 95$ và $x \approx 2, 05$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đề đã cho sẵn dạng đường thẳng cộng phân thức, đạo hàm từng hạng tử là ngắn nhất.

Đáp số.

y^{'} = 5 - \frac{6}{( 2 x - 3 ) ^{2}} = \frac{20 x ^{2} - 60 x + 39}{( 2 x - 3 ) ^{2}}

; tiệm cận đứng

x = \frac{3}{2}

, tiệm cận xiên

y = 5 x + 1

; đồ thị đi qua

O (0; 0)

và

(\frac{13}{10}; 0)

Sai lầm thường gặp. Đạo hàm

(\frac{3}{2 x - 3})^{'} = - \frac{3}{( 2 x - 3 ) ^{2}}

là sai vì quên nhân

(2 x - 3)^{'} = 2

; đúng là

- \frac{6}{( 2 x - 3 ) ^{2}}

. Viết tiệm cận đứng

x = 3

(quên chia cho

2

) cũng là lỗi hay gặp.

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

y = a x + b + \frac{k}{c x + d}

(

a, c, k \neq = 0

) luôn có tiệm cận xiên

y = a x + b

và tiệm cận đứng

x = - \frac{d}{c}

; từ

y^{'} = a - \frac{k c}{( c x + d ) ^{2}}

suy ra hàm có hai cực trị khi và chỉ khi

ak c > 0

(ở đây

5 \cdot 3 \cdot 2 > 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Thực hành 3a★★Trang 91— Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm bậc ba trên một đoạn

Thực hành 3 (trang 91). Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)

y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 35

trên đoạn

[- 4; 4]

; b)

y = - 3 x^{4} + 4 x^{2} + 2

trên đoạn

[- 1; 1]

;
c)

y = x + \frac{5}{x}

trên đoạn

[1; 10]

; d)

y = sin 2 x - x

trên đoạn

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

.
Lời giải dưới đây dành cho câu a) $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 35$ trên đoạn $[- 4; 4]$ .

Kiến thức cần nhớ

Hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc: tìm các điểm $x_{i} \in (a; b)$ tại đó $y^{'} = 0$ hoặc không xác định, tính $y (a)$ , $y (b)$ , $y (x_{i})$ rồi so sánh.
Lệnh GeoGebra (tiếng Anh / tiếng Việt): Max / GTLN và Min / GTNN với cú pháp (hàm số, a, b); kết quả là một điểm, tung độ của điểm đó là giá trị cần tìm.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm đa thức liên tục trên đoạn

[- 4; 4]

nên chắc chắn có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Hai nghiệm của

y^{'}

là

- 1

và

3

đều nằm trong đoạn nên phải so sánh bốn giá trị. Bẫy: giá trị nhỏ nhất rơi vào đầu mút

x = - 4

chứ không phải điểm cực tiểu

x = 3

1Cách 1. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn

Định hướng. Tìm nghiệm của $y^{'}$ trong đoạn, tính giá trị tại các nghiệm đó và hai đầu mút rồi so sánh.

y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x + 1) (x - 3)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 1

hoặc

x = 3

(đều thuộc

[- 4; 4]

)

y (- 4) = - 64 - 48 + 36 + 35 = - 41

y (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 35 = 40

y (3) = 27 - 27 - 27 + 35 = 8

y (4) = 64 - 48 - 36 + 35 = 15

Vậy $[- 4; 4] max y = y (- 1) = 40$ , $[- 4; 4] min y = y (- 4) = - 41$ .

2Cách 2. Đánh giá bằng phân tích nhân tử

Định hướng. Đoán trước đáp số rồi chứng minh $y - 40 \leq 0$ và $y + 41 \geq 0$ trên đoạn bằng cách phân tích thành nhân tử.

y - 40 = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5 = (x + 1)^{2} (x - 5)

x \in [- 4; 4] \Rightarrow x - 5 < 0 \Rightarrow (x + 1)^{2} (x - 5) \leq 0 \Rightarrow y \leq 40

, dấu bằng khi

x = - 1

y + 41 = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 76 = (x + 4) (x^{2} - 7 x + 19) = (x + 4) [(x - \frac{7}{2})^{2} + \frac{27}{4}]

x \in [- 4; 4] \Rightarrow x + 4 \geq 0 \Rightarrow y + 41 \geq 0 \Rightarrow y \geq - 41

, dấu bằng khi

x = - 4

Vậy giá trị lớn nhất bằng $40$ (tại $x = - 1$ ), giá trị nhỏ nhất bằng $- 41$ (tại $x = - 4$ ).

3Cách 3. Thực hiện bằng GeoGebra

Định hướng. Dùng hai lệnh Max, Min với đúng đoạn đề cho; tung độ của điểm trả về là giá trị cần tìm.

Max(x^3-3x^2-9x+35, -4, 4)

⟶

(- 1, 40)

Min(x^3-3x^2-9x+35, -4, 4)

⟶

(- 4, - 41)

Vậy $[- 4; 4] max y = 40$ đạt tại $x = - 1$ , $[- 4; 4] min y = - 41$ đạt tại $x = - 4$ .

Nhận xét. Giống ví dụ Max ở mục 2b (kết quả $(3, 56)$ là đầu mút), giá trị nhỏ nhất ở đây cũng đạt tại đầu mút $x = - 4$ ; Cách 2 cho biết vì sao máy đúng mà không cần so sánh bốn số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy tắc bốn giá trị là chắc ăn và nhanh; Cách 2 đẹp nhưng cần đoán trước đáp số.

Đáp số.

[- 4; 4] max y = 40

tại

x = - 1

;

[- 4; 4] min y = - 41

tại

x = - 4

Sai lầm thường gặp. Lấy giá trị cực tiểu

y (3) = 8

làm giá trị nhỏ nhất là sai vì quên so với đầu mút:

y (- 4) = - 41 < 8

. Cực trị chỉ là "lớn nhất, nhỏ nhất ở gần", còn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất phải so trên cả đoạn.

🚀 Mở rộng. Đổi đoạn thành

[- 2; 5]

: khi đó

y (- 2) = 33

y (5) = 40

nên giá trị lớn nhất

40

đạt tại cả hai điểm

x = - 1

và

x = 5

, còn giá trị nhỏ nhất là

8

tại

x = 3

— thử xem lệnh Max báo điểm nào.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Thực hành 3b★★Trang 91— Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm trùng phương trên một đoạn

Thực hành 3 (trang 91). Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)

y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 35

trên đoạn

[- 4; 4]

; b)

y = - 3 x^{4} + 4 x^{2} + 2

trên đoạn

[- 1; 1]

;
c)

y = x + \frac{5}{x}

trên đoạn

[1; 10]

; d)

y = sin 2 x - x

trên đoạn

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

.
Lời giải dưới đây dành cho câu b) $y = - 3 x^{4} + 4 x^{2} + 2$ trên đoạn $[- 1; 1]$ .

Kiến thức cần nhớ

Hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc: tìm các điểm $x_{i} \in (a; b)$ tại đó $y^{'} = 0$ hoặc không xác định, tính $y (a)$ , $y (b)$ , $y (x_{i})$ rồi so sánh.
Lệnh GeoGebra (tiếng Anh / tiếng Việt): Max / GTLN và Min / GTNN với cú pháp (hàm số, a, b); kết quả là một điểm, tung độ của điểm đó là giá trị cần tìm.
Đặt $t = x^{2}$ đưa hàm trùng phương về tam thức bậc hai theo $t$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm trùng phương chẵn, đoạn

[- 1; 1]

đối xứng nên chỉ cần xét

x^{2} \in [0; 1]

. Ba nghiệm của

y^{'}

là

0

và

\pm \frac{6}{3}

đều nằm trong đoạn. Hằng số

2

chỉ tịnh tiến đồ thị, không ảnh hưởng vị trí đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

1Cách 1. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn

Định hướng. Tìm các nghiệm của $y^{'}$ trong đoạn, tính giá trị tại các nghiệm và hai đầu mút rồi so sánh.

y^{'} = - 12 x^{3} + 8 x = - 4 x (3 x^{2} - 2)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = \pm \frac{6}{3}

(đều thuộc

[- 1; 1]

)

y (\pm 1) = - 3 + 4 + 2 = 1 + 2

y (\pm \frac{6}{3}) = - 3 \cdot \frac{4}{9} + 4 \cdot \frac{2}{3} + 2 = - \frac{4}{3} + \frac{8}{3} + 2 = \frac{4}{3} + 2

y (0) = 2

2 < 1 + 2 < \frac{4}{3} + 2

Vậy $[- 1; 1] max y = \frac{4}{3} + 2$ tại $x = \pm \frac{6}{3}$ , $[- 1; 1] min y = 2$ tại $x = 0$ .

2Cách 2. Biến đổi chính phương và đánh giá

Định hướng. Hoàn thành bình phương theo $x^{2}$ để có chặn trên; tách nhân tử $x^{2}$ để có chặn dưới.

y = - 3 (x^{4} - \frac{4}{3} x^{2}) + 2 = \frac{4}{3} + 2 - 3 (x^{2} - \frac{2}{3})^{2} \leq \frac{4}{3} + 2

dấu bằng khi

x^{2} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{6}{3} \in [- 1; 1]

y - 2 = x^{2} (4 - 3 x^{2})

;

x \in [- 1; 1] \Rightarrow x^{2} \leq 1 \Rightarrow 4 - 3 x^{2} \geq 1 > 0

\Rightarrow y - 2 \geq 0

, dấu bằng khi

x = 0

Vậy giá trị lớn nhất bằng $\frac{4}{3} + 2$ , giá trị nhỏ nhất bằng $2$ .

3Cách 3. Thực hiện bằng GeoGebra

Định hướng. Dùng Max, Min trên đoạn $[- 1; 1]$ ; chú ý hàm đạt giá trị lớn nhất tại hai điểm đối xứng nhưng máy chỉ trả về một điểm.

Max(-3x^4+4x^2+sqrt(2), -1, 1)

⟶

điểm có tung độ

\frac{4}{3} + 2 \approx 2, 748

(hoành độ

\approx \pm 0, 816

)
Min(-3x^4+4x^2+sqrt(2), -1, 1)

⟶

(0, 2)

Vậy $[- 1; 1] max y = \frac{4}{3} + 2$ , $[- 1; 1] min y = 2$ .

Nhận xét. Máy chỉ báo một điểm đạt giá trị lớn nhất; vì hàm chẵn nên điểm đối xứng $x = \mp \frac{6}{3}$ cũng đạt — nhìn đồ thị trong Graphics 2 sẽ thấy hai đỉnh cao bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng chính phương cho giá trị lớn nhất và điểm đạt, không phải tính giá trị tại năm điểm.

Đáp số.

[- 1; 1] max y = \frac{4}{3} + 2

tại

x = \pm \frac{6}{3}

;

[- 1; 1] min y = 2

tại

x = 0

Sai lầm thường gặp. Chỉ so sánh hai đầu mút

y (\pm 1) = 1 + 2

với

y (0)

rồi kết luận giá trị lớn nhất là

1 + 2

là sai, vì bỏ sót hai nghiệm

x = \pm \frac{6}{3}

cho

\frac{4}{3} + 2

lớn hơn. Viết

\frac{2}{3} = \frac{2}{3}

cũng sai; đúng là

\frac{6}{3}

🚀 Mở rộng. Trên đoạn

[0; 2]

, hàm này có giá trị nhỏ nhất

y (2) = - 32 + 2

tại đầu mút — hãy kiểm chứng bằng lệnh Min và giải thích bằng dạng chính phương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Thực hành 3c★★★Trang 91— Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

y = x + \frac{k}{x}

trên một đoạn

Thực hành 3 (trang 91). Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)

y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 35

trên đoạn

[- 4; 4]

; b)

y = - 3 x^{4} + 4 x^{2} + 2

trên đoạn

[- 1; 1]

;
c)

y = x + \frac{5}{x}

trên đoạn

[1; 10]

; d)

y = sin 2 x - x

trên đoạn

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

.
Lời giải dưới đây dành cho câu c) $y = x + \frac{5}{x}$ trên đoạn $[1; 10]$ .

Kiến thức cần nhớ

Hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc: tìm các điểm $x_{i} \in (a; b)$ tại đó $y^{'} = 0$ hoặc không xác định, tính $y (a)$ , $y (b)$ , $y (x_{i})$ rồi so sánh.
Lệnh GeoGebra (tiếng Anh / tiếng Việt): Max / GTLN và Min / GTNN với cú pháp (hàm số, a, b); kết quả là một điểm, tung độ của điểm đó là giá trị cần tìm.
Bất đẳng thức Cô-si: với $a, b \geq 0$ thì $a + b \geq 2 ab$ , dấu bằng khi $a = b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm liên tục trên

[1; 10]

(không chứa

x = 0

). Dạng "

x

cộng hằng số chia

x

" gợi ngay bất đẳng thức Cô-si cho giá trị nhỏ nhất. Nghiệm của

y^{'}

là

x = 45 \approx 1, 495

, không phải

5

. Giá trị lớn nhất phải so hai đầu mút, và đầu mút

x = 10

thắng rõ.

1Cách 1. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn

Định hướng. Tìm nghiệm của $y^{'}$ trong đoạn, so sánh giá trị tại nghiệm đó và hai đầu mút.

y^{'} = 1 - \frac{5}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 5}{x ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 5 \Leftrightarrow x = 45 \in [1; 10]

y (1) = 1 + 5 \approx 3, 236

y (45) = 45 + \frac{5}{4 5} = 45 + 45 = 245 \approx 2, 991

y (10) = 10 + \frac{5}{10} \approx 10, 224

Vậy $[1; 10] max y = 10 + \frac{5}{10}$ tại $x = 10$ , $[1; 10] min y = 245$ tại $x = 45$ .

2Cách 2. Bất đẳng thức Cô-si và phân tích nhân tử

Định hướng. Hai số dương $x$ và $\frac{5}{x}$ có tích không đổi, Cô-si cho giá trị nhỏ nhất; hiệu $y - y (10)$ phân tích được thành tích để có giá trị lớn nhất.

x \in [1; 10] \Rightarrow x > 0

\frac{5}{x} > 0

y = x + \frac{5}{x} \geq 2 x \cdot \frac{5}{x} = 25 = 245

dấu bằng khi

x = \frac{5}{x} \Leftrightarrow x = 45 \in [1; 10]

y - (10 + \frac{5}{10}) = (x - 10) + \frac{5 ( 10 - x )}{10 x} = (x - 10) (1 - \frac{5}{10 x})

x \leq 10 \Rightarrow x - 10 \leq 0

;

10 x \geq 10 > 5 \Rightarrow 1 - \frac{5}{10 x} > 0

\Rightarrow y \leq 10 + \frac{5}{10}

, dấu bằng khi

x = 10

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $245$ , giá trị lớn nhất bằng $10 + \frac{5}{10}$ .

3Cách 3. Thực hiện bằng GeoGebra

Định hướng. Dùng Max, Min với đoạn $[1; 10]$ ; căn bậc hai gõ là sqrt.

Max(x+sqrt(5)/x, 1, 10)

⟶

(10, 10 + \frac{5}{10})

, tung độ

\approx 10, 224

Min(x+sqrt(5)/x, 1, 10)

⟶

điểm có hoành độ

\approx 1, 495

, tung độ

\approx 2, 991

Vậy $[1; 10] max y \approx 10, 224$ , $[1; 10] min y \approx 2, 991$ ; đối chiếu Cách 1, đó chính là $10 + \frac{5}{10}$ và $245$ .

Nhận xét. Nếu máy trả về số thập phân, hãy nhận dạng lại: $1, 49 5^{2} \approx 2, 236 = 5$ nên hoành độ là $45$ — máy cho số, còn tính tay cho dạng đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho giá trị nhỏ nhất (Cô-si một dòng) và so hai đầu mút cho giá trị lớn nhất.

Đáp số.

[1; 10] max y = 10 + \frac{5}{10}

tại

x = 10

;

[1; 10] min y = 245

tại

x = 45

Sai lầm thường gặp. Giải

x^{2} = 5

thành

x = 5

là sai; đúng là

x = 45

, và khi đó

y = 245

chứ không phải

25

. Dùng Cô-si mà không kiểm tra điểm đạt dấu bằng có nằm trong đoạn hay không cũng dễ sai nếu đoạn thay đổi, ví dụ trên

[2; 10]

thì giá trị nhỏ nhất đạt tại

x = 2

🚀 Mở rộng. Trên đoạn

[2; 10]

, vì

45 < 2

nên hàm đồng biến, giá trị nhỏ nhất là

y (2) = 2 + \frac{5}{2}

— kiểm chứng bằng lệnh Min.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Thực hành 3d★★★Trang 91— Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm lượng giác trên một đoạn

Thực hành 3 (trang 91). Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)

y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 35

trên đoạn

[- 4; 4]

; b)

y = - 3 x^{4} + 4 x^{2} + 2

trên đoạn

[- 1; 1]

;
c)

y = x + \frac{5}{x}

trên đoạn

[1; 10]

; d)

y = sin 2 x - x

trên đoạn

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

.
Lời giải dưới đây dành cho câu d) $y = sin 2 x - x$ trên đoạn $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ .

Kiến thức cần nhớ

Hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc: tìm các điểm $x_{i} \in (a; b)$ tại đó $y^{'} = 0$ hoặc không xác định, tính $y (a)$ , $y (b)$ , $y (x_{i})$ rồi so sánh.
Lệnh GeoGebra (tiếng Anh / tiếng Việt): Max / GTLN và Min / GTNN với cú pháp (hàm số, a, b); kết quả là một điểm, tung độ của điểm đó là giá trị cần tìm.
$cos u = \frac{1}{2} \Leftrightarrow u = \pm \frac{π}{3} + k 2 π$ ( $k \in Z$ ).
Hàm lẻ trên đoạn đối xứng $[- a; a]$ thì giá trị lớn nhất bằng số đối của giá trị nhỏ nhất.

🧠 Phân tích tư duy

y^{'} = 2 cos 2 x - 1

dẫn về phương trình lượng giác cơ bản, phải chọn nghiệm thuộc đoạn. Hàm

y = sin 2 x - x

là hàm lẻ, đoạn đối xứng nên giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là hai số đối nhau. Bẫy: tưởng giá trị lớn nhất đạt tại điểm cực đại

x = \frac{π}{6}

, thật ra đầu mút

x = - \frac{π}{2}

cho giá trị lớn hơn.

1Cách 1. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn

Định hướng. Giải $y^{'} = 0$ , chọn nghiệm thuộc đoạn, rồi so sánh giá trị tại các nghiệm và hai đầu mút.

y^{'} = 2 cos 2 x - 1

y^{'} = 0 \Leftrightarrow cos 2 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{6} + k π

(

k \in Z

)

x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] \Rightarrow x = - \frac{π}{6}

hoặc

x = \frac{π}{6}

y (- \frac{π}{2}) = sin (- π) + \frac{π}{2} = \frac{π}{2} \approx 1, 571

y (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2} + \frac{π}{6} \approx - 0, 342

y (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} - \frac{π}{6} \approx 0, 342

y (\frac{π}{2}) = sin π - \frac{π}{2} = - \frac{π}{2} \approx - 1, 571

Vậy $max y = \frac{π}{2}$ tại $x = - \frac{π}{2}$ , $min y = - \frac{π}{2}$ tại $x = \frac{π}{2}$ (trên đoạn $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ ).

2Cách 2. Dùng tính lẻ, xét trên nửa đoạn

Định hướng. Vì $y (- x) = - y (x)$ , chỉ cần khảo sát trên $[0; \frac{π}{2}]$ rồi lấy đối xứng; số giá trị phải tính giảm một nửa.

y (- x) = sin (- 2 x) + x = - (sin 2 x - x) = - y (x)

Trên

[0; \frac{π}{2}]

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{6}

;

y^{'} > 0

trên

[0; \frac{π}{6})

y^{'} < 0

trên

(\frac{π}{6}; \frac{π}{2}]

y (0) = 0

;

y (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} - \frac{π}{6}

;

y (\frac{π}{2}) = - \frac{π}{2}

[0; \frac{π}{2}] max y = \frac{3}{2} - \frac{π}{6}

;

[0; \frac{π}{2}] min y = - \frac{π}{2}

[- \frac{π}{2}; 0] max y = \frac{π}{2}

;

[- \frac{π}{2}; 0] min y = - \frac{3}{2} + \frac{π}{6}

\frac{π}{2} > \frac{3}{2} - \frac{π}{6}

Vậy trên cả đoạn, giá trị lớn nhất là $\frac{π}{2}$ (tại $x = - \frac{π}{2}$ ), giá trị nhỏ nhất là $- \frac{π}{2}$ (tại $x = \frac{π}{2}$ ).

3Cách 3. Thực hiện bằng GeoGebra

Định hướng. Dùng Max, Min với hai đầu mút $- \frac{π}{2}$ , $\frac{π}{2}$ ; số $π$ gõ là pi.

Max(sin(2x)-x, -pi/2, pi/2)

⟶

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \approx (- 1, 571; 1, 571)

Min(sin(2x)-x, -pi/2, pi/2)

⟶

(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2}) \approx (1, 571; - 1, 571)

Vậy giá trị lớn nhất $\frac{π}{2}$ và giá trị nhỏ nhất $- \frac{π}{2}$ , đều đạt tại đầu mút.

Nhận xét. Hai điểm cực trị $x = \pm \frac{π}{6}$ chỉ cho $y \approx \pm 0, 342$ , nhỏ hơn nhiều so với giá trị ở đầu mút; nhìn đồ thị trong Graphics 2 sẽ thấy phần $- x$ "kéo" đồ thị lên ở đầu trái và xuống ở đầu phải.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; nếu đã nhận ra hàm lẻ thì Cách 2 giảm một nửa số giá trị phải tính.

Đáp số.

max y = \frac{π}{2}

tại

x = - \frac{π}{2}

;

min y = - \frac{π}{2}

tại

x = \frac{π}{2}

(trên đoạn

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

Sai lầm thường gặp. Viết

y^{'} = cos 2 x - 1

(quên nhân

2

) thì

y^{'} \leq 0

với mọi

x

và mất hai nghiệm

\pm \frac{π}{6}

. Kết luận giá trị lớn nhất là

\frac{3}{2} - \frac{π}{6}

(giá trị cực đại) là quên so với đầu mút

y (- \frac{π}{2}) = \frac{π}{2}

🚀 Mở rộng. Với

y = sin 2 x - m x

trên

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

, giá trị lớn nhất đạt tại đầu mút khi

m

đủ lớn và tại điểm cực đại khi

m

nhỏ — dùng thanh trượt

m

để tìm ngưỡng chuyển.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài tập cuối chương III Bài tiếp theo ›Hoạt động thực hành trải nghiệm: Vẽ vectơ tổng của ba vectơ trong không gian bằng phần mềm GeoGebra

📚 Cùng chương: Hoạt động thực hành trải nghiệm

▶ Hoạt động thực hành trải nghiệm: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra
Hoạt động thực hành trải nghiệm: Vẽ vectơ tổng của ba vectơ trong không gian bằng phần mềm GeoGebra
Hoạt động thực hành trải nghiệm: Độ dài gang tay (gang tay của bạn dài bao nhiêu?)

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Khảo sát hàm số, GTLN – GTNN, cực trị — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Hoạt động thực hành trải nghiệm

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

GTLN – GTNN của hàm số — Toán 12 (7 dạng)

Đề THPT 2027 – Ứng dụng đạo hàm

Khảo sát hàm số 12

Khảo sát & vẽ đồ thị hàm số 12

Toán 12 Toàn diện — cả năm