Chủ đề 1. Ôn tập và bổ sung

Bài 3. Ôn tập phân số

SGK Toán 5 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán5 #ChủĐề1 #SGK_Tập1 #trang11–13 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong VỞ BÀI TẬP →

Bài 1 · Luyện tập (tiết 1) · Bài 1★Trang 11— Đọc, viết phân số chỉ phần đã tô màu của một hình

Luyện tập (tiết 1) — Bài 1 (trang 11). Viết rồi đọc phân số chỉ phần đã tô màu của mỗi hình dưới đây.
Hình A: hình vuông được chia thành 8 phần tam giác bằng nhau (bởi hai đường chéo và hai đường thẳng đi qua tâm song song với hai cạnh); có 3 phần tô màu đỏ.
Hình B: một dải gồm 8 hình lục giác đều ghép liền nhau theo kiểu tổ ong (hàng giữa 4 hình, hàng trên 2 hình, hàng dưới 2 hình); có 2 hình lục giác ở hàng giữa tô màu xanh lá.
Hình C: hình vuông được chia thành 9 ô vuông bằng nhau (bảng 3 hàng, 3 cột); có 5 ô xếp thành hình chữ thập ở giữa được tô màu cam.

Kiến thức cần nhớ

Phân số chỉ phần tô màu của một hình có tử số là số phần được tô màu, mẫu số là tổng số phần bằng nhau mà hình đó được chia ra.
Đọc phân số: đọc tử số trước, sau đó đọc "phần" rồi đọc mẫu số.

🧠 Phân tích tư duy

Muốn viết phân số chỉ phần tô màu, phải nhìn ra hai con số: hình được chia thành BAO NHIÊU phần bằng nhau (đó là mẫu số) và trong đó có MẤY phần được tô màu (đó là tử số). Bẫy của bài là mỗi hình chia phần theo một kiểu khác nhau (tam giác, lục giác, ô vuông) nên phải đếm cẩn thận từng hình một, không được đoán bằng mắt.

1Cách 1. Đếm trực tiếp số phần tô màu

Định hướng. Với mỗi hình, đếm tổng số phần bằng nhau rồi đếm số phần đã tô màu trong số đó, viết phân số theo đúng thứ tự tử số trên, mẫu số dưới.

Hình A: hình vuông chia 8 phần tam giác bằng nhau, tô màu 3 phần
Phân số chỉ phần tô màu:

\frac{3}{8}

, đọc là ba phần tám

Hình B: dải lục giác gồm 8 hình bằng nhau, tô màu 2 hình
Phân số chỉ phần tô màu:

\frac{2}{8}

, đọc là hai phần tám

Hình C: hình vuông chia 9 ô bằng nhau, tô màu 5 ô
Phân số chỉ phần tô màu:

\frac{5}{9}

, đọc là năm phần chín

Vậy hình A là $\frac{3}{8}$ , hình B là $\frac{2}{8}$ , hình C là $\frac{5}{9}$ .

2Cách 2. Đếm phần KHÔNG tô màu rồi suy ra phần tô màu

Định hướng. Đôi khi đếm phần trắng lại nhânh hơn đếm phần màu; đếm phần trắng trước rồi lấy tổng số phần trừ đi sẽ ra số phần tô màu.

Hình A: có 5 phần trắng trong 8 phần, nên số phần tô màu là:

8 - 5 = 3

(phần)
Phân số chỉ phần tô màu:

\frac{3}{8}

Hình B: có 6 hình trắng trong 8 hình, nên số hình tô màu là:

8 - 6 = 2

(hình)
Phân số chỉ phần tô màu:

\frac{2}{8}

Hình C: có 4 ô trắng (bốn góc) trong 9 ô, nên số ô tô màu là:

9 - 4 = 5

(ô)
Phân số chỉ phần tô màu:

\frac{5}{9}

Vậy đếm theo phần trắng cũng cho đúng ba phân số $\frac{3}{8}$ ; $\frac{2}{8}$ ; $\frac{5}{9}$ như trên.

3Cách 3. Dùng tính đối xứng của hình để đếm nhanh

Định hướng. Mỗi hình đều có trục đối xứng, chỉ cần đếm phần màu trên MỘT nửa hình rồi so sánh hai nửa để suy ra cả hình, tránh đếm sót hay đếm trùng.

Hình A: chia đôi theo đường chéo lớn, mỗi nửa có 4 tam giác; nửa trên có 1 tam giác đỏ, nửa dưới có 2 tam giác đỏ
Số phần tô màu cả hình:

1 + 2 = 3

(phần trong 8 phần)

Hình B: chia đôi theo trục dọc ở giữa, mỗi nửa có 4 hình lục giác; mỗi nửa có đúng 1 hình xanh lá
Số hình tô màu cả dải:

1 + 1 = 2

(hình trong 8 hình)

Hình C: chia đôi theo cột giữa, mỗi nửa có 3 ô cột giữa dùng chung; đếm hàng ngang giữa (3 ô cam) cộng thêm ô trên và ô dưới của cột giữa (2 ô cam)
Số ô tô màu cả hình:

3 + 2 = 5

(ô trong 9 ô)

Vậy dùng tính đối xứng để đếm cũng ra đúng $\frac{3}{8}$ ; $\frac{2}{8}$ ; $\frac{5}{9}$ , đúng như hai cách trên.

Nhận xét. Phân số $\frac{2}{8}$ của hình B còn rút gọn được thành $\frac{1}{4}$ , nghĩa là cứ 4 hình lục giác thì có 1 hình được tô màu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: đếm thẳng số phần tô màu, ít bước nhất và không phải làm thêm phép trừ hay so sánh hai nửa hình.

Đáp số. Hình A:

\frac{3}{8}

(ba phần tám). Hình B:

\frac{2}{8}

(hai phần tám). Hình C:

\frac{5}{9}

(năm phần chín).

Sai lầm thường gặp. Với hình B, nhiều bạn đếm nhầm tổng số hình lục giác (đếm thành 7 hình vì bỏ sót 1 hình ở hàng giữa), dẫn tới viết sai thành

\frac{2}{7}

. Phải đếm đủ cả ba hàng: hàng giữa 4 hình, hàng trên 2 hình, hàng dưới 2 hình, tổng cộng 8 hình.

🚀 Mở rộng. Nếu hình B có thêm 1 hình lục giác nữa được tô màu xanh lá (tổng 3 hình xanh trong 8 hình), phân số chỉ phần tô màu lúc đó là bao nhiêu và có rút gọn được không?

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập (tiết 1) · Bài 2★★Trang 11— Điền số vào dãy phân số bằng nhau và rút gọn phân số

Luyện tập (tiết 1) — Bài 2 (trang 11). a) Số?

\frac{24}{40} = \frac{12}{?} = \frac{?}{5}

\frac{36}{54} = \frac{?}{9} = \frac{2}{?} = \frac{?}{15}

b) Rút gọn các phân số:

\frac{18}{24}

;

\frac{56}{42}

;

\frac{72}{90}

Kiến thức cần nhớ

Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
Nếu chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 (thường là ước chung lớn nhất) thì được một phân số bằng phân số đã cho, đó là rút gọn phân số.
Phân số tối giản là phân số mà tử số và mẫu số không còn ước chung nào lớn hơn 1.

🧠 Phân tích tư duy

Các phân số trong một dãy "bằng nhau" đều được tạo ra từ phân số đầu bằng cách nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số với cùng một số. Chỉ cần tìm ra mẫu số (hoặc tử số) đã cho bị nhân hay chia cho mấy, rồi làm y hệt với số còn thiếu. Bẫy của câu b là

\frac{56}{42}

và

\frac{72}{90}

có tử số nhỏ hơn phân số đầu bài rất nhiều lần, phải tìm đúng ước chung lớn nhất chứ không chia ẩu.

1Cách 1. Chia dần từng bước bằng ước chung nhỏ

Định hướng. Cứ thấy tử số và mẫu số cùng chia hết cho số nào thì chia luôn cho số đó, chia nhiều lần liên tiếp cho tới khi khớp với phân số đề bài cho sẵn.

\frac{24}{40}

, chia cả tử và mẫu cho 2:

\frac{24}{40} = \frac{12}{20}

Vậy ô đầu là 20
Từ

\frac{12}{20}

, chia cả tử và mẫu cho 4:

\frac{12}{20} = \frac{3}{5}

Vậy ô sau là 3

\frac{36}{54}

, chia cả tử và mẫu cho 6:

\frac{36}{54} = \frac{6}{9}

Vậy ô đầu là 6
Từ

\frac{6}{9}

, chia cả tử và mẫu cho 3:

\frac{6}{9} = \frac{2}{3}

Vậy ô thứ hai là 3
Từ

\frac{2}{3}

, nhân cả tử và mẫu với 5:

\frac{2}{3} = \frac{10}{15}

Vậy ô cuối là 10

b)

\frac{18}{24}

, chia cho 2 rồi chia cho 3:

\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}

\frac{56}{42}

, chia cho 2 rồi chia cho 7:

\frac{56}{42} = \frac{28}{21} = \frac{4}{3}

\frac{72}{90}

, chia cho 2 rồi chia cho 9:

\frac{72}{90} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5}

Vậy a) $\frac{24}{40} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ ; $\frac{36}{54} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{10}{15}$ . b) $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ ; $\frac{56}{42} = \frac{4}{3}$ ; $\frac{72}{90} = \frac{4}{5}$ .

2Cách 2. So sánh hệ số nhân hoặc chia tương ứng

Định hướng. So hai tử số (hoặc hai mẫu số) đã biết của cùng một cặp phân số để tìm ra hệ số nhân hay chia, rồi áp dụng đúng hệ số ấy cho số còn thiếu.

a) Từ

\frac{24}{40}

đến

\frac{12}{?}

: tử số 24 giảm còn 12, tức là giảm 2 lần (

24 : 12 = 2

)
Mẫu số cũng giảm 2 lần:

40 : 2 = 20

Từ

\frac{12}{20}

đến

\frac{?}{5}

: mẫu số 20 giảm còn 5, tức là giảm 4 lần (

20 : 5 = 4

)
Tử số cũng giảm 4 lần:

12 : 4 = 3

Từ

\frac{36}{54}

đến

\frac{?}{9}

: mẫu số 54 giảm còn 9, tức là giảm 6 lần
Tử số cũng giảm 6 lần:

36 : 6 = 6

Từ

\frac{6}{9}

đến

\frac{2}{?}

: tử số 6 giảm còn 2, tức là giảm 3 lần
Mẫu số cũng giảm 3 lần:

9 : 3 = 3

Từ

\frac{2}{3}

đến

\frac{?}{15}

: mẫu số 3 tăng lên 15, tức là tăng 5 lần
Tử số cũng tăng 5 lần:

2 \times 5 = 10

18 : 6 = 3

và

24 : 6 = 4

, được

\frac{3}{4}

56 : 14 = 4

và

42 : 14 = 3

, được

\frac{4}{3}

72 : 18 = 4

và

90 : 18 = 5

, được

\frac{4}{5}

Vậy so hệ số tương ứng cũng ra đúng kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Rút gọn về phân số tối giản bằng ước chung lớn nhất trước

Định hướng. Tìm ngay ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử số và mẫu số ban đầu để đưa phân số về dạng tối giản, sau đó suy ra tất cả các mắt xích còn lại cùng một lúc, không cần rút gọn nhiều lần.

a) ƯCLN(24, 40) = 8, nên

\frac{24}{40} = \frac{24 : 8}{40 : 8} = \frac{3}{5}

Vì

12 = 3 \times 4

nên ô đầu là

5 \times 4 = 20

Vì

\frac{3}{5}

chính là ô sau nên ô sau là 3

ƯCLN(36, 54) = 18, nên

\frac{36}{54} = \frac{36 : 18}{54 : 18} = \frac{2}{3}

Vì

9 = 3 \times 3

nên ô đầu là

2 \times 3 = 6

Ô thứ hai chính là mẫu số của phân số tối giản: 3
Vì

15 = 3 \times 5

nên ô cuối là

2 \times 5 = 10

b) ƯCLN(18, 24) = 6 nên

\frac{18}{24} = \frac{3}{4}

ƯCLN(56, 42) = 14 nên

\frac{56}{42} = \frac{4}{3}

ƯCLN(72, 90) = 18 nên

\frac{72}{90} = \frac{4}{5}

Vậy dùng ƯCLN cũng cho đúng các kết quả trên.

Nhận xét. Cách 3 chỉ cần một phép tính ƯCLN là suy ra được mọi ô trống trong cùng một dãy, nhânh hơn hẳn khi dãy có nhiều mắt xích.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2 (so hệ số nhân/chia): không cần tìm ƯCLN, chỉ cần lấy số này chia cho số kia là ra ngay hệ số, rất nhanh với dạng "điền số vào dãy phân số bằng nhau".

Đáp số. a)

\frac{24}{40} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}

(ô trống lần lượt là 20 và 3);

\frac{36}{54} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{10}{15}

(ô trống lần lượt là 6, 3, 10). b)

\frac{18}{24} = \frac{3}{4}

;

\frac{56}{42} = \frac{4}{3}

;

\frac{72}{90} = \frac{4}{5}

Sai lầm thường gặp. Ở dãy thứ hai, nhiều bạn thấy

\frac{2}{?}

đứng ngay sau

\frac{?}{9}

nên đoán bừa mẫu số là 9 luôn. Thực ra phải so tử số: từ 6 xuống 2 là giảm 3 lần nên mẫu số cũng phải giảm 3 lần, tức

9 : 3 = 3

chứ không phải giữ nguyên là 9.

🚀 Mở rộng. Nếu đề cho

\frac{72}{90} = \frac{?}{15}

thay vì yêu cầu rút gọn về tối giản, em tìm ô trống bằng cách nào nhanh nhất?

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập (tiết 1) · Bài 3★★Trang 11— Nhận biết phân số tối giản; đọc phân số bằng nhau qua hình vẽ chia không đều

Luyện tập (tiết 1) — Bài 3 (trang 11). Chọn câu trả lời đúng.
a) Phân số nào dưới đây là phân số tối giản?
A.

\frac{16}{18}

\frac{15}{12}

\frac{7}{9}

\frac{25}{30}

\frac{3}{5}

bằng phân số chỉ phần đã tô màu của hình nào dưới đây? (Bốn hình A, B, C, D đều là một hình lục giác kéo dài, mỗi hình gồm 4 tam giác nhỏ bằng nhau ở hai đầu và 2 tam giác lớn bằng nhau ở giữa, được tô màu khác nhau: hình A tô 2 tam giác nhỏ, hình B tô 2 tam giác lớn ở giữa, hình C và hình D tô theo hai cách khác.)

Kiến thức cần nhớ

Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho số nào lớn hơn 1 (ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số bằng 1).
Hai phân số bằng nhau khi phần tô màu chiếm cùng một tỉ lệ so với cả hình, dù cách chia phần trên hai hình có khác nhau.
$\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$ (nhân cả tử và mẫu với 2).

🧠 Phân tích tư duy

Muốn biết một phân số có tối giản hay không, chỉ cần thử xem tử số và mẫu số có còn ước chung nào lớn hơn 1 hay không. Với câu b, bẫy lớn nhất là bốn hình lục giác KHÔNG chia thành các phần bằng nhau đơn giản (không phải 5 hay 10 tam giác đều bằng nhau về hình dạng) — phải nhận ra hình được chia thành 10 phần bằng nhau về DIỆN TÍCH (4 tam giác nhỏ + 2 tam giác lớn, mỗi tam giác lớn bằng 3 tam giác nhỏ) rồi mới đếm được đúng số phần tô màu.

1Cách 1. Tính ước chung lớn nhất / đếm trực tiếp số phần bằng nhau

Định hướng. Với câu a, tính ƯCLN của tử số và mẫu số từng phân số. Với câu b, đếm tổng số phần bằng nhau của mỗi hình rồi đếm số phần tô màu, viết thành phân số và so với $\frac{3}{5}$ .

a) ƯCLN(16, 18) = 2 (không tối giản)
ƯCLN(15, 12) = 3 (không tối giản)
ƯCLN(7, 9) = 1 (tối giản)
ƯCLN(25, 30) = 5 (không tối giản)

b) Mỗi hình lục giác được chia thành 10 phần bằng nhau (4 tam giác nhỏ, mỗi tam giác bằng 1 phần; 2 tam giác lớn, mỗi tam giác bằng 3 phần)
Hình A tô màu 2 tam giác nhỏ:

1 + 1 = 2

(phần trong 10 phần)
Hình B tô màu 2 tam giác lớn:

3 + 3 = 6

(phần trong 10 phần)
Phân số chỉ phần tô màu của hình B là

\frac{6}{10}

, mà

\frac{6}{10} = \frac{3}{5}

Vậy a) chọn C ( $\frac{7}{9}$ ); b) chọn hình B.

2Cách 2. Thử rút gọn / đổi 3/5 thành phân số có mẫu số 10

Định hướng. Với câu a, thử chia lần lượt cho 2, 3, 5 xem phân số nào không rút gọn được. Với câu b, đổi $\frac{3}{5}$ ra phân số bằng nó có mẫu số 10 rồi tìm hình khớp với số phần đó.

\frac{16}{18}

chia được cho 2, thành

\frac{8}{9}

(rút gọn được)

\frac{15}{12}

chia được cho 3, thành

\frac{5}{4}

(rút gọn được)

\frac{7}{9}

không chia được cho 2, 3, 5, 7 chung với 9 (không rút gọn được)

\frac{25}{30}

chia được cho 5, thành

\frac{5}{6}

(rút gọn được)

b)

\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}

Cần tìm hình chia 10 phần bằng nhau mà tô đúng 6 phần
Hình B tô 2 tam giác lớn, mỗi tam giác bằng 3 phần, tổng cộng đúng 6 phần

Vậy a) chọn C; b) chọn hình B vì khớp đúng $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .

3Cách 3. Phân tích thừa số nguyên tố / ước lượng nhanh rồi kiểm tra lại

Định hướng. Với câu a, phân tích tử số và mẫu số ra thừa số nguyên tố để thấy ngay có thừa số chung hay không. Với câu b, ước lượng nhânh hình nào tô màu hơn một nửa (vì $\frac{3}{5} > \frac{1}{2}$ ) để loại bớt trước khi kiểm tra kỹ.

16 = 2^{4}

18 = 2 \times 3^{2}

: có chung thừa số 2

15 = 3 \times 5

12 = 2^{2} \times 3

: có chung thừa số 3

7

là số nguyên tố,

9 = 3^{2}

: không có thừa số chung

25 = 5^{2}

30 = 2 \times 3 \times 5

: có chung thừa số 5

b) Vì

\frac{3}{5} > \frac{1}{2}

nên hình đúng phải tô màu NHIỀU HƠN một nửa diện tích
Hình A chỉ tô 2 tam giác nhỏ trong 10 phần, tức

\frac{2}{10} = \frac{1}{5}

, ít hơn một nửa, loại
Hình B tô 2 tam giác lớn, chiếm

\frac{6}{10}

, nhiều hơn một nửa, đúng hướng nghi ngờ
Kiểm tra lại:

\frac{6}{10} = \frac{3}{5}

, khớp đề bài

Vậy a) chọn C ( $\frac{7}{9}$ là phân số duy nhất không có thừa số chung); b) chọn hình B.

Nhận xét. Ước lượng "lớn hơn hay bé hơn một nửa" giúp loại nhânh các phương án sai trước khi tính chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 cho câu a (tính ƯCLN chắc chắn không nhầm) và Cách 2 cho câu b (đổi

\frac{3}{5}

thành

\frac{6}{10}

rồi so trực tiếp với số phần của từng hình).

Đáp số. a) Chọn C (

\frac{7}{9}

là phân số tối giản). b) Chọn hình B (vì hình B tô màu

\frac{6}{10} = \frac{3}{5}

diện tích).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy

\frac{25}{30}

có tử và mẫu đều chia hết cho 5 nhưng lại nghĩ 5 không phải "số chia hết đặc biệt" nên bỏ qua, tưởng

\frac{25}{30}

đã tối giản. Phải nhớ kiểm tra CẢ ước 5 chứ không chỉ ước 2 và 3.

🚀 Mở rộng. Nếu hình D trong SGK tô màu đúng 7 phần trong 10 phần, phân số chỉ phần tô màu của hình D là bao nhiêu và có lớn hơn

\frac{3}{5}

không?

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập (tiết 1) · Bài 4★★Trang 12— Quy đồng mẫu số các phân số

Luyện tập (tiết 1) — Bài 4 (trang 12). Quy đồng mẫu số các phân số.
a)

\frac{9}{5}

và

\frac{21}{40}

\frac{17}{30}

và

\frac{53}{90}

\frac{1}{3}

;

\frac{7}{12}

và

\frac{35}{48}

Kiến thức cần nhớ

Muốn quy đồng mẫu số hai phân số, ta có thể nhân cả tử số và mẫu số của phân số này với mẫu số của phân số kia (cách tổng quát).
Nếu mẫu số lớn chia hết cho mẫu số bé thì lấy mẫu số lớn làm mẫu số chung, chỉ cần nhân thêm vào phân số có mẫu số bé.
Với ba phân số trở lên, mẫu số chung là bội chung nhỏ nhất (hoặc một bội chung) của tất cả các mẫu số.

🧠 Phân tích tư duy

Trước khi đi tìm mẫu số chung, phải kiểm tra xem trong các mẫu số đã cho có mẫu số nào là bội của các mẫu số còn lại không — nếu có thì lấy luôn mẫu số lớn nhất làm mẫu số chung, khỏi cần nhân chéo cho dài dòng. Cả ba câu của bài này đều rơi đúng vào trường hợp đó.

1Cách 1. Nhận xét mẫu số lớn chia hết cho mẫu số bé rồi quy đồng nhanh

Định hướng. Kiểm tra mẫu số lớn nhất có chia hết cho các mẫu số còn lại không; nếu có thì lấy luôn làm mẫu số chung, chỉ cần nhân thêm phân số có mẫu số bé hơn.

40 : 5 = 8

, chọn mẫu số chung là 40

\frac{9}{5} = \frac{9 \times 8}{5 \times 8} = \frac{72}{40}

; giữ nguyên

\frac{21}{40}

90 : 30 = 3

, chọn mẫu số chung là 90

\frac{17}{30} = \frac{17 \times 3}{30 \times 3} = \frac{51}{90}

; giữ nguyên

\frac{53}{90}

48 : 3 = 16

và

48 : 12 = 4

, chọn mẫu số chung là 48

\frac{1}{3} = \frac{1 \times 16}{3 \times 16} = \frac{16}{48}

\frac{7}{12} = \frac{7 \times 4}{12 \times 4} = \frac{28}{48}

; giữ nguyên

\frac{35}{48}

Vậy a) $\frac{72}{40}$ và $\frac{21}{40}$ ; b) $\frac{51}{90}$ và $\frac{53}{90}$ ; c) $\frac{16}{48}$ ; $\frac{28}{48}$ và $\frac{35}{48}$ .

2Cách 2. Quy đồng theo cách tổng quát (nhân chéo hai mẫu số)

Định hướng. Không cần để ý mẫu số nào chia hết cho mẫu số nào, cứ nhân mẫu số của phân số này với mẫu số của phân số kia để ra một mẫu số chung an toàn.

a) Mẫu số chung:

5 \times 40 = 200

\frac{9}{5} = \frac{9 \times 40}{5 \times 40} = \frac{360}{200}

;

\frac{21}{40} = \frac{21 \times 5}{40 \times 5} = \frac{105}{200}

Rút gọn cả hai cho 5:

\frac{360}{200} = \frac{72}{40}

;

\frac{105}{200} = \frac{21}{40}

b) Mẫu số chung:

30 \times 90 = 2700

, sau khi rút gọn cả hai phân số cho 30 sẽ được đúng

\frac{51}{90}

và

\frac{53}{90}

như Cách 1

c) Với ba phân số, nhân lần lượt từng mẫu số với nhau:

3 \times 12 \times 48

rồi rút gọn dần cũng đưa về đúng

\frac{16}{48}

;

\frac{28}{48}

;

\frac{35}{48}

Vậy cách nhân chéo tổng quát cũng cho đúng kết quả như Cách 1, chỉ là số tính toán lớn hơn nên phải rút gọn lại ở bước cuối.

3Cách 3. Tìm mẫu số chung nhỏ nhất bằng cách phân tích thừa số nguyên tố

Định hướng. Phân tích mỗi mẫu số ra thừa số nguyên tố, ghép các thừa số với số mũ lớn nhất để tìm ra mẫu số chung nhỏ nhất — cách này đặc biệt hữu ích khi có từ ba phân số trở lên như câu c.

5 = 5

;

40 = 2^{3} \times 5

; mẫu số chung nhỏ nhất là

2^{3} \times 5 = 40

, trùng với Cách 1

b)

30 = 2 \times 3 \times 5

;

90 = 2 \times 3^{2} \times 5

; mẫu số chung nhỏ nhất là

2 \times 3^{2} \times 5 = 90

, trùng với Cách 1

c)

3 = 3

;

12 = 2^{2} \times 3

;

48 = 2^{4} \times 3

; mẫu số chung nhỏ nhất là

2^{4} \times 3 = 48

\frac{1}{3} = \frac{16}{48}

;

\frac{7}{12} = \frac{28}{48}

; giữ nguyên

\frac{35}{48}

Vậy phân tích thừa số nguyên tố cũng xác nhận đúng mẫu số chung 40; 90; 48 như hai cách trên.

Nhận xét. Với câu c có ba phân số, việc nhận ra 48 là bội chung nhỏ nhất giúp tránh phải nhân ba mẫu số với nhau ra một số rất lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: chỉ cần kiểm tra mẫu số lớn có chia hết cho mẫu số bé không, nếu có thì lấy ngay mẫu số lớn làm mẫu số chung — nhanh hơn hẳn so với nhân chéo hai mẫu số.

Đáp số. a)

\frac{72}{40}

và

\frac{21}{40}

. b)

\frac{51}{90}

và

\frac{53}{90}

. c)

\frac{16}{48}

;

\frac{28}{48}

và

\frac{35}{48}

Sai lầm thường gặp. Ở câu c, nhiều bạn vội lấy

3 \times 12 = 36

làm mẫu số chung cho cả ba phân số mà quên kiểm tra phân số thứ ba

\frac{35}{48}

có mẫu số 48 không chia hết cho 36. Phải chọn mẫu số chung chia hết cho CẢ BA mẫu số đã cho, ở đây là 48 chứ không phải 36.

🚀 Mở rộng. Nếu câu a đổi thành

\frac{9}{5}

và

\frac{21}{35}

, em hãy kiểm tra xem 35 có chia hết cho 5 không rồi quy đồng nhanh theo Cách 1 xem mẫu số chung là bao nhiêu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập (tiết 1) · Bài 5★★★Trang 12— Tính giá trị biểu thức phân số bằng cách rút gọn thừa số chung

Luyện tập (tiết 1) — Bài 5 (trang 12). Tính.

\frac{6 \times 12 \times 17}{17 \times 4 \times 20}

Kiến thức cần nhớ

Trong một phân số có dạng tích, nếu tử số và mẫu số có cùng một thừa số thì có thể rút gọn (chia) thừa số đó ở cả tử và mẫu.
Có thể rút gọn phân số ngay trong quá trình tính, không nhất thiết phải nhân hết ra rồi mới rút gọn.

🧠 Phân tích tư duy

Tử số và mẫu số đều là một tích của ba số. Trước khi vội nhân hết ra một số lớn, hãy nhìn xem có thừa số nào giống hệt nhau ở cả tử và mẫu (ở đây là 17) hoặc có thừa số nào chia hết cho nhau (như 12 và 4; 6 và 20) để rút gọn ngay từ đầu. Bẫy của bài là nhân hết ra số có bốn chữ số rồi lúng túng không biết rút gọn tiếp thế nào, trong khi rút gọn trước sẽ chỉ toàn làm việc với số nhỏ.

1Cách 1. Nhân hết tử số và mẫu số rồi rút gọn

Định hướng. Cứ nhân lần lượt các thừa số ở tử số, nhân lần lượt các thừa số ở mẫu số, rồi rút gọn phân số kết quả về dạng đơn giản nhất.

Tử số:

6 \times 12 \times 17 = 72 \times 17 = 1224

Mẫu số:

17 \times 4 \times 20 = 68 \times 20 = 1360

Phân số:

\frac{1224}{1360}

ƯCLN(1224, 1360) = 136

\frac{1224}{1360} = \frac{1224 : 136}{1360 : 136} = \frac{9}{10}

Vậy $\frac{6 \times 12 \times 17}{17 \times 4 \times 20} = \frac{9}{10}$ .

2Cách 2. Rút gọn thừa số giống hệt nhau (17) trước khi nhân

Định hướng. Thấy ngay số 17 có mặt ở cả tử số và mẫu số, rút gọn (bỏ) thừa số 17 ở cả hai trước, rồi mới nhân các thừa số còn lại — vừa nhânh vừa số nhỏ, khó sai.

\frac{6 \times 12 \times 17}{17 \times 4 \times 20} = \frac{6 \times 12}{4 \times 20}

Tử số:

6 \times 12 = 72

Mẫu số:

4 \times 20 = 80

\frac{72}{80} = \frac{72 : 8}{80 : 8} = \frac{9}{10}

Vậy rút gọn 17 trước cũng cho kết quả $\frac{9}{10}$ , đúng như Cách 1.

3Cách 3. Rút gọn chéo từng cặp thừa số trước khi nhân

Định hướng. Sau khi bỏ cặp 17, nhìn tiếp các thừa số còn lại xem cặp nào chia hết cho nhau để rút gọn tiếp, số sẽ nhỏ dần và không cần nhân số lớn.

\frac{6 \times 12 \times 17}{17 \times 4 \times 20} = \frac{6 \times 12}{4 \times 20}

Rút gọn 6 và 4 cho 2:

\frac{6}{4} = \frac{3}{2}

, còn lại

\frac{3 \times 12}{2 \times 20}

Rút gọn 12 và 20 cho 4:

\frac{12}{20} = \frac{3}{5}

, còn lại

\frac{3 \times 3}{2 \times 5}

Nhân nốt:

\frac{3 \times 3}{2 \times 5} = \frac{9}{10}

Vậy rút gọn chéo từng cặp cũng ra đúng $\frac{9}{10}$ , mà chỉ toàn tính với số một chữ số.

Nhận xét. Cách 3 không phải nhân số nào lớn hơn 20, an toàn nhất khi tính nhẩm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 3: rút gọn từng cặp thừa số trước khi nhân, số luôn nhỏ nên gần như không thể tính sai, lại nhanh hơn hẳn việc nhân ra số có bốn chữ số rồi mới rút gọn.

Đáp số.

\frac{6 \times 12 \times 17}{17 \times 4 \times 20} = \frac{9}{10}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhân hết tử số và mẫu số ra số lớn (

1224

và

1360

) rồi lúng túng không biết chia cho số nào để rút gọn, có bạn chỉ chia được cho 2 rồi dừng lại ở

\frac{612}{680}

và tưởng đó là kết quả cuối cùng — thực ra

\frac{612}{680}

vẫn rút gọn tiếp được thành

\frac{9}{10}

🚀 Mở rộng. Tính

\frac{8 \times 9 \times 25}{25 \times 6 \times 4}

bằng cách rút gọn thừa số chung trước, xem có nhanh như bài này không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập (tiết 2) · Bài 1★★Trang 12— So sánh hai phân số (và so sánh phân số với số tự nhiên)

Luyện tập (tiết 2) — Bài 1 (trang 12).

>

;

<

;

=

?
a)

\frac{3}{4}

\frac{7}{12}

\frac{9}{5}

2

\frac{8}{5}

\frac{8}{7}

\frac{7}{6}

\frac{29}{24}

\frac{6}{5}

\frac{12}{10}

3

\frac{17}{8}

Kiến thức cần nhớ

Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, thường quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số; mẫu số bằng nhau thì phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
Hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số bé hơn thì lớn hơn.
Muốn so sánh phân số với một số tự nhiên, có thể viết số tự nhiên đó thành phân số có cùng mẫu số với phân số đã cho.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi cặp trong bài có một "lối tắt" riêng: có cặp cùng tử số thì mẫu số nào bé hơn phân số đó lớn hơn; có cặp phải quy đồng mẫu số mới so được; có cặp chỉ cần rút gọn là thấy ngay hai phân số bằng nhau; có cặp nên đổi số tự nhiên thành phân số cùng mẫu để so cho tiện. Bẫy của bài là đừng thấy phân số nào cũng đi quy đồng, có cặp sẽ mất nhiều bước không cần thiết.

1Cách 1. Quy đồng mẫu số rồi so sánh tử số

Định hướng. Đưa hai phân số (hoặc phân số và số tự nhiên) về cùng một mẫu số, sau đó chỉ cần so hai tử số là ra ngay dấu so sánh.

\frac{3}{4} = \frac{9}{12}

; so với

\frac{7}{12}

9 > 7

nên

\frac{3}{4} > \frac{7}{12}

2 = \frac{10}{5}

; so với

\frac{9}{5}

9 < 10

nên

\frac{9}{5} < 2

\frac{8}{5}

và

\frac{8}{7}

: cùng tử số 8, mẫu số

5 < 7

nên

\frac{8}{5} > \frac{8}{7}

\frac{7}{6} = \frac{28}{24}

; so với

\frac{29}{24}

28 < 29

nên

\frac{7}{6} < \frac{29}{24}

\frac{6}{5} = \frac{12}{10}

nên

\frac{6}{5} = \frac{12}{10}

3 = \frac{24}{8}

; so với

\frac{17}{8}

24 > 17

nên

3 > \frac{17}{8}

Vậy a) $\frac{3}{4} > \frac{7}{12}$ ; $\frac{9}{5} < 2$ . b) $\frac{8}{5} > \frac{8}{7}$ ; $\frac{7}{6} < \frac{29}{24}$ . c) $\frac{6}{5} = \frac{12}{10}$ ; $3 > \frac{17}{8}$ .

2Cách 2. Dùng mẹo so sánh riêng cho từng dạng (cùng tử số, cùng mẫu số, rút gọn)

Định hướng. Nhận ra ngay dạng đặc biệt của từng cặp để so sánh mà không cần quy đồng: cùng tử số thì so mẫu số; rút gọn được thì rút gọn trước; so với số tự nhiên thì so phần nguyên trước.

\frac{3}{4}

và

\frac{7}{12}

: đổi

\frac{3}{4} = \frac{9}{12}

(mẫu số 12 là bội của 4), so tử số

9 > 7

\frac{9}{5}

và

2

: vì

\frac{9}{5} = 1

dư

\frac{4}{5}

nên

\frac{9}{5}

bé hơn 2

b)

\frac{8}{5}

và

\frac{8}{7}

: cùng tử số, mẫu số bé hơn thì phân số lớn hơn, nên

\frac{8}{5} > \frac{8}{7}

\frac{7}{6}

và

\frac{29}{24}

: đổi

\frac{7}{6} = \frac{28}{24}

(mẫu số 24 là bội của 6), so tử số

28 < 29

\frac{6}{5}

và

\frac{12}{10}

: rút gọn

\frac{12}{10} = \frac{6}{5}

, thấy ngay hai phân số bằng nhau

3

và

\frac{17}{8}

: vì

\frac{17}{8} = 2

dư

\frac{1}{8}

, bé hơn 3

Vậy dùng mẹo riêng từng dạng cũng cho đúng kết quả như Cách 1, mà nhiều phép so sánh làm được ngay không cần đặt tính quy đồng.

3Cách 3. So sánh bằng cách nhân chéo

Định hướng. So sánh $\frac{a}{b}$ với $\frac{c}{d}$ bằng cách so sánh $a \times d$ với $b \times c$ mà không cần viết hẳn mẫu số chung ra.

\frac{3}{4}

và

\frac{7}{12}

: so

3 \times 12 = 36

với

4 \times 7 = 28

; vì

36 > 28

nên

\frac{3}{4} > \frac{7}{12}

\frac{9}{5}

và

\frac{10}{5}

(đổi từ 2): so tử số cùng mẫu,

9 < 10

nên

\frac{9}{5} < 2

\frac{8}{5}

và

\frac{8}{7}

: so

8 \times 7 = 56

với

5 \times 8 = 40

; vì

56 > 40

nên

\frac{8}{5} > \frac{8}{7}

\frac{7}{6}

và

\frac{29}{24}

: so

7 \times 24 = 168

với

6 \times 29 = 174

; vì

168 < 174

nên

\frac{7}{6} < \frac{29}{24}

\frac{6}{5}

và

\frac{12}{10}

: so

6 \times 10 = 60

với

5 \times 12 = 60

; bằng nhau nên

\frac{6}{5} = \frac{12}{10}

3

và

\frac{17}{8}

: so

3 \times 8 = 24

với

17

; vì

24 > 17

nên

3 > \frac{17}{8}

Vậy nhân chéo cũng cho đúng sáu kết quả như hai cách trên.

Nhận xét. Nhân chéo tiện khi hai mẫu số không phải bội của nhau, khỏi cần dò mẫu số chung.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: nhận ra ngay cặp nào cùng tử số, cặp nào rút gọn được, cặp nào gần một số tự nhiên — tiết kiệm thời gian hơn hẳn việc quy đồng máy móc mọi cặp.

Đáp số. a)

\frac{3}{4} > \frac{7}{12}

;

\frac{9}{5} < 2

. b)

\frac{8}{5} > \frac{8}{7}

;

\frac{7}{6} < \frac{29}{24}

. c)

\frac{6}{5} = \frac{12}{10}

;

3 > \frac{17}{8}

Sai lầm thường gặp. Với cặp

\frac{8}{5}

và

\frac{8}{7}

, nhiều bạn thấy mẫu số 7 lớn hơn 5 nên vội kết luận

\frac{8}{7}

lớn hơn — làm ngược quy tắc. Khi tử số bằng nhau, mẫu số CÀNG BÉ thì phân số đó CÀNG LỚN (vì chia một cái bánh giống nhau ra ít phần thì mỗi phần to hơn), nên

\frac{8}{5}

mới là phân số lớn hơn.

🚀 Mở rộng. So sánh

\frac{5}{9}

với

\frac{5}{11}

chỉ bằng cách nhìn mẫu số, không cần quy đồng — em rút ra được quy tắc gì?

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập (tiết 2) · Bài 2★★Trang 12— So sánh phân số với 1 và với một phân số cho trước qua trắc nghiệm

Luyện tập (tiết 2) — Bài 2 (trang 12). Chọn câu trả lời đúng.
a) Phân số nào dưới đây lớn hơn 1?
A.

\frac{16}{17}

\frac{31}{29}

\frac{90}{100}

\frac{120}{125}

b) Phân số nào dưới đây bé hơn phân số

\frac{4}{7}

?
A.

\frac{5}{7}

\frac{20}{35}

\frac{13}{21}

\frac{12}{28}

c) Phân số nào dưới đây lớn hơn phân số

\frac{5}{8}

?
A.

\frac{10}{16}

\frac{25}{32}

\frac{13}{24}

\frac{3}{8}

Kiến thức cần nhớ

Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó lớn hơn 1; tử số bé hơn mẫu số thì phân số đó bé hơn 1.
Muốn so một phân số với một phân số mốc cho trước, quy đồng mẫu số (hoặc rút gọn) rồi so tử số.
Phân số bằng phân số mốc thì KHÔNG thoả điều kiện "lớn hơn" hay "bé hơn" mốc đó.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a chỉ cần so tử số với mẫu số của CHÍNH phân số đó (tử lớn hơn mẫu thì phân số lớn hơn 1), không cần quy đồng gì cả. Câu b, c thì phải đưa các phân số về cùng mẫu số với phân số mốc (

\frac{4}{7}

hoặc

\frac{5}{8}

) rồi mới so được — bẫy là có một phương án luôn BẰNG phân số mốc chứ không lớn hơn hay bé hơn, phải cảnh giác với chữ "bằng" khi đề hỏi "lớn hơn" hoặc "bé hơn".

1Cách 1. Quy đồng mẫu số với phân số mốc rồi so tử số

Định hướng. Đưa mỗi phương án về cùng mẫu số với phân số mốc (1, $\frac{4}{7}$ hoặc $\frac{5}{8}$ ) rồi so trực tiếp tử số để chọn phương án đúng.

a) So tử số với mẫu số từng phân số:

16 < 17

;

31 > 29

;

90 < 100

;

120 < 125

Chỉ có B có tử số lớn hơn mẫu số

b) Quy đồng mẫu số 7 hoặc bội của 7 với các phân số:

\frac{20}{35} = \frac{4}{7}

(bằng mốc, loại);

\frac{13}{21} = \frac{13}{21}

, so với

\frac{4}{7} = \frac{12}{21}

13 > 12

(lớn hơn mốc, loại);

\frac{12}{28}

, so với

\frac{4}{7} = \frac{16}{28}

12 < 16

(bé hơn mốc, đúng)

c) So với mốc

\frac{5}{8}

\frac{10}{16} = \frac{5}{8}

(bằng mốc, loại);

\frac{25}{32}

, so với

\frac{5}{8} = \frac{20}{32}

25 > 20

(lớn hơn mốc, đúng)

Vậy a) chọn B; b) chọn D; c) chọn B.

2Cách 2. Rút gọn từng phân số về dạng đơn giản nhất trước khi so

Định hướng. Rút gọn mỗi phương án cho gọn lại, khi đó việc so sánh với phân số mốc thường trở nên rất rõ ràng, không cần quy đồng số lớn.

\frac{90}{100} = \frac{9}{10}

(bé hơn 1);

\frac{120}{125} = \frac{24}{25}

(bé hơn 1);

\frac{16}{17}

giữ nguyên (bé hơn 1); chỉ

\frac{31}{29}

có tử lớn hơn mẫu

b)

\frac{20}{35} = \frac{4}{7}

(bằng mốc);

\frac{12}{28} = \frac{3}{7}

, so với

\frac{4}{7}

3 < 4

nên bé hơn mốc

c)

\frac{10}{16} = \frac{5}{8}

(bằng mốc);

\frac{13}{24}

không rút gọn được nữa, quy đồng với

\frac{5}{8} = \frac{15}{24}

13 < 15

nên bé hơn mốc (loại);

\frac{3}{8}

bé hơn

\frac{5}{8}

ngay vì cùng mẫu số (loại)

Vậy rút gọn trước cũng dẫn tới đúng ba đáp án B, D, B như Cách 1.

3Cách 3. Ước lượng nhanh bằng cách so tử số với một nửa mẫu số hoặc với mốc quen thuộc

Định hướng. Với câu b, c có thể ước lượng nhânh bằng cách nhân đôi tử số rồi so với mẫu số (mẹo so với $\frac{1}{2}$ ), hoặc so trực tiếp phần hơn/kém so với mốc mà không cần quy đồng đầy đủ.

16 \times 2 = 32 > 17

nên

\frac{16}{17} > \frac{1}{2}

nhưng vẫn bé hơn 1 (vì

16 < 17

);

31 > 29

nên

\frac{31}{29}

vượt qua 1 — đây là dấu hiệu chắc chắn nhất

b)

\frac{13}{21}

: nhân chéo với

\frac{4}{7}

13 \times 7 = 91

và

21 \times 4 = 84

; vì

91 > 84

nên

\frac{13}{21} > \frac{4}{7}

(loại)

\frac{12}{28}

: nhân chéo

12 \times 7 = 84

và

28 \times 4 = 112

; vì

84 < 112

nên

\frac{12}{28} < \frac{4}{7}

(đúng)

c)

\frac{25}{32}

: nhân chéo với

\frac{5}{8}

25 \times 8 = 200

và

32 \times 5 = 160

; vì

200 > 160

nên

\frac{25}{32} > \frac{5}{8}

(đúng)

Vậy ước lượng và nhân chéo cũng xác nhận đúng đáp án B, D, B như hai cách trên.

Nhận xét. Câu a chỉ cần một mẹo duy nhất "tử lớn hơn mẫu thì phân số lớn hơn 1" là làm được ngay, không cần tính gì thêm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 (quy đồng với mốc) cho câu b, c vì chắc chắn không nhầm, và dùng mẹo "tử lớn hơn mẫu thì lớn hơn 1" cho câu a vì cực nhanh.

Đáp số. a) Chọn B (

\frac{31}{29}

). b) Chọn D (

\frac{12}{28}

). c) Chọn B (

\frac{25}{32}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, nhiều bạn chọn nhầm phương án B (

\frac{20}{35}

) vì thấy tử số 20 nhỏ hơn tử số 4... nhầm lẫn vì không quy đồng mà so trực tiếp hai phân số khác mẫu số. Thực ra

\frac{20}{35}

rút gọn đúng bằng

\frac{4}{7}

(bằng mốc, không phải bé hơn), nên phải loại phương án này dù thoạt nhìn tử số rất khác nhau.

🚀 Mở rộng. Phân số

\frac{9}{16}

so với mốc

\frac{5}{8}

thì lớn hơn hay bé hơn? Em thử dùng cả hai cách (quy đồng và nhân chéo) để kiểm tra lại lẫn nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập (tiết 2) · Bài 3★★★Trang 12— Sắp xếp các phân số theo thứ tự bằng cách quy đồng mẫu số

Luyện tập (tiết 2) — Bài 3 (trang 12). Cho các phân số

\frac{3}{4}

;

\frac{7}{12}

;

\frac{20}{16}

;

\frac{19}{24}

. Viết các phân số đã cho theo thứ tự:
a) Từ bé đến lớn.
b) Từ lớn đến bé.

Kiến thức cần nhớ

Muốn sắp xếp nhiều phân số khác mẫu số theo thứ tự, ta quy đồng tất cả về cùng một mẫu số chung rồi so sánh các tử số.
Bội chung nhỏ nhất của 4, 12, 16, 24 là 48.
Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1, đây là mốc để kiểm tra nhanh.

🧠 Phân tích tư duy

Có bốn phân số với bốn mẫu số khác nhau (4; 12; 16; 24), nên phải tìm MỘT mẫu số chung cho cả bốn phân số cùng lúc rồi mới xếp thứ tự được — không thể so từng đôi một một cách rời rạc. Dấu hiệu đặc biệt: phân số

\frac{20}{16}

có tử số lớn hơn mẫu số nên chắc chắn lớn hơn 1, trong khi ba phân số còn lại đều bé hơn 1, đây là điểm tựa để kiểm tra lại kết quả.

1Cách 1. Quy đồng cả bốn phân số về mẫu số chung 48

Định hướng. Đưa cả bốn phân số về cùng mẫu số 48 (bội chung nhỏ nhất của 4, 12, 16, 24), khi đó chỉ cần xếp thứ tự bốn tử số là ra ngay thứ tự các phân số.

\frac{3}{4} = \frac{3 \times 12}{4 \times 12} = \frac{36}{48}

\frac{7}{12} = \frac{7 \times 4}{12 \times 4} = \frac{28}{48}

\frac{20}{16} = \frac{20 \times 3}{16 \times 3} = \frac{60}{48}

\frac{19}{24} = \frac{19 \times 2}{24 \times 2} = \frac{38}{48}

So sánh bốn tử số:

28 < 36 < 38 < 60

, tức là

\frac{28}{48} < \frac{36}{48} < \frac{38}{48} < \frac{60}{48}

Vậy a) từ bé đến lớn: $\frac{7}{12}$ ; $\frac{3}{4}$ ; $\frac{19}{24}$ ; $\frac{20}{16}$ . b) từ lớn đến bé: $\frac{20}{16}$ ; $\frac{19}{24}$ ; $\frac{3}{4}$ ; $\frac{7}{12}$ .

2Cách 2. Tách riêng phân số lớn hơn 1, rồi so ba phân số còn lại

Định hướng. Nhận ra ngay $\frac{20}{16}$ có tử số lớn hơn mẫu số nên lớn hơn 1, tách nó ra đứng cuối bảng xếp hạng; ba phân số còn lại đều bé hơn 1 nên chỉ cần quy đồng riêng ba phân số đó với mẫu số chung nhỏ hơn.

\frac{20}{16} > 1

(vì

20 > 16

), trong khi

\frac{3}{4}

;

\frac{7}{12}

;

\frac{19}{24}

đều bé hơn 1 (tử số bé hơn mẫu số)
Quy đồng ba phân số còn lại với mẫu số chung 24:

\frac{3}{4} = \frac{18}{24}

;

\frac{7}{12} = \frac{14}{24}

; giữ nguyên

\frac{19}{24}

So sánh:

14 < 18 < 19

, tức

\frac{7}{12} < \frac{3}{4} < \frac{19}{24}

Vậy ghép $\frac{20}{16}$ vào cuối, ta được đúng thứ tự như Cách 1: $\frac{7}{12} < \frac{3}{4} < \frac{19}{24} < \frac{20}{16}$ .

3Cách 3. So sánh từng cặp một rồi ghép lại theo kiểu bắc cầu

Định hướng. So sánh lần lượt từng cặp phân số bằng cách quy đồng riêng từng đôi một, sau đó ghép các kết quả lại để tìm ra thứ tự chung của cả bốn phân số.

\frac{7}{12}

và

\frac{3}{4}

\frac{7}{12}

và

\frac{9}{12}

, vì

7 < 9

nên

\frac{7}{12} < \frac{3}{4}

\frac{3}{4}

và

\frac{19}{24}

\frac{18}{24}

và

\frac{19}{24}

, vì

18 < 19

nên

\frac{3}{4} < \frac{19}{24}

\frac{19}{24}

và

\frac{20}{16}

: vì

\frac{19}{24} < 1 < \frac{20}{16}

nên

\frac{19}{24} < \frac{20}{16}

Ghép ba kết quả theo tính bắc cầu:

\frac{7}{12} < \frac{3}{4} < \frac{19}{24} < \frac{20}{16}

Vậy so từng cặp rồi ghép lại cũng cho đúng thứ tự như hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng được khi so "trúng" đủ các cặp liền kề trong thứ tự cuối cùng; nếu chọn nhầm cặp để so thì phải so thêm nhiều lần mới ghép đủ thứ tự.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: tách ngay phân số lớn hơn 1 ra một bên, phần còn lại quy đồng với mẫu số chung nhỏ hơn (24 thay vì 48), tính toán nhẹ nhàng hơn hẳn.

Đáp số. a) Từ bé đến lớn:

\frac{7}{12}

;

\frac{3}{4}

;

\frac{19}{24}

;

\frac{20}{16}

. b) Từ lớn đến bé:

\frac{20}{16}

;

\frac{19}{24}

;

\frac{3}{4}

;

\frac{7}{12}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên

\frac{20}{16}

là phân số lớn hơn 1 (vì thấy mẫu số 16 nhỏ nên tưởng phân số này bé), rồi xếp nó lẫn vào giữa ba phân số kia mà không kiểm tra lại. Chỉ cần nhớ mẹo "tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1" là tránh được lỗi này ngay.

🚀 Mở rộng. Nếu thêm phân số

\frac{5}{6}

vào danh sách bốn phân số trên, phân số này sẽ đứng ở vị trí nào trong thứ tự từ bé đến lớn?

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập (tiết 2) · Bài 4★★★Trang 13— So sánh nhiều phân số khác mẫu số trong bài toán thực tế

Luyện tập (tiết 2) — Bài 4 (trang 13). Cho biết số học sinh khối 5 tham gia các môn thể thao ở Câu lạc bộ thể thao của một trường tiểu học như sau:
Cầu lông:

\frac{1}{3}

số học sinh của khối 5. Bóng đá:

\frac{2}{5}

số học sinh của khối 5.
Võ:

\frac{1}{5}

số học sinh của khối 5. Bóng rổ:

\frac{4}{15}

số học sinh của khối 5.
Trong các môn thể thao trên, môn nào được học sinh khối 5 của trường tiểu học đó tham gia nhiều nhất?

Kiến thức cần nhớ

Muốn biết phân số nào lớn nhất trong nhiều phân số khác mẫu số, phải quy đồng mẫu số rồi so các tử số.
Phân số biểu diễn tỉ số học sinh tham gia lớn nhất ứng với môn thể thao có nhiều học sinh tham gia nhất (vì cùng chia trên một khối 5).

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phân số có bốn mẫu số khác nhau (3; 5; 5; 15), nên phải đưa cả bốn về CÙNG một mẫu số chung mới so sánh trực tiếp được — không được so "cầu lông

\frac{1}{3}

" với "bóng rổ

\frac{4}{15}

" chỉ bằng cách nhìn tử số vì mẫu số đang khác nhau. Mẫu số 15 chính là gợi ý: 15 chia hết cho cả 3 và 5 nên chọn 15 làm mẫu số chung sẽ nhanh nhất.

1Cách 1. Quy đồng mẫu số chung 15 rồi so sánh tử số

Định hướng. Nhận ra 15 chia hết cho cả 3 và 5, nên đưa tất cả bốn phân số về mẫu số chung 15, khi đó tử số nào lớn nhất ứng với môn có nhiều học sinh tham gia nhất.

Cầu lông:

\frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}

Bóng đá:

\frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15}

Võ:

\frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}

Bóng rổ: giữ nguyên

\frac{4}{15}

So sánh bốn tử số:

3 < 4 < 5 < 6

, tức Võ

<

Bóng rổ

<

Cầu lông

<

Bóng đá

Vậy môn Bóng đá ( $\frac{6}{15}$ số học sinh khối 5) được tham gia nhiều nhất.

2Cách 2. So sánh loại dần từng cặp một (đấu loại trực tiếp)

Định hướng. Lấy hai môn ra so trước, môn nào bé hơn thì loại; lấy môn thắng so tiếp với môn thứ ba, cứ thế đến khi còn lại đúng một môn nhiều học sinh nhất.

So Cầu lông

\frac{1}{3}

với Bóng đá

\frac{2}{5}

: quy đồng mẫu số 15 được

\frac{5}{15}

và

\frac{6}{15}

; vì

5 < 6

nên loại Cầu lông, Bóng đá thắng
So Bóng đá

\frac{6}{15}

với Võ

\frac{1}{5} = \frac{3}{15}

: vì

6 > 3

nên Bóng đá vẫn thắng
So Bóng đá

\frac{6}{15}

với Bóng rổ

\frac{4}{15}

: vì

6 > 4

nên Bóng đá vẫn thắng

Vậy qua ba lần so sánh, Bóng đá luôn thắng nên đây là môn được tham gia nhiều nhất.

3Cách 3. Dùng sơ đồ cột trực quan để so sánh chiều cao các phần

Định hướng. Vẽ một cột chia thành 15 phần bằng nhau cho mỗi môn, tô số phần đúng bằng tử số sau khi quy đồng; cột nào tô cao nhất thì môn đó nhiều học sinh nhất — nhìn hình là thấy ngay không cần so số.

Đưa cả bốn phân số về mẫu số 15 như Cách 1:

\frac{5}{15}

;

\frac{6}{15}

;

\frac{3}{15}

;

\frac{4}{15}

Vẽ bốn cột cùng chia 15 phần: cột Cầu lông tô 5 phần, cột Bóng đá tô 6 phần, cột Võ tô 3 phần, cột Bóng rổ tô 4 phần
Nhìn hình vẽ, cột Bóng đá cao nhất (6 phần)

Vậy nhìn sơ đồ cột cũng thấy ngay Bóng đá là môn được tham gia nhiều nhất, đúng như hai cách trên.

Nhận xét. Vẽ sơ đồ cột giúp nhìn được cả bốn môn cùng lúc, tiện khi phải thuyết trình hay giải thích cho người khác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: quy đồng một lần cả bốn phân số về mẫu số 15 rồi so tử số, nhanh và chắc chắn hơn việc so loại dần từng cặp.

Đáp số. Môn Bóng đá được học sinh khối 5 của trường tiểu học đó tham gia nhiều nhất (chiếm

\frac{2}{5} = \frac{6}{15}

số học sinh khối 5).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhìn tử số mà kết luận luôn "Bóng rổ

\frac{4}{15}

nhiều hơn Cầu lông

\frac{1}{3}

vì

4 > 1

" — đây là lỗi so sánh phân số khác mẫu số mà không quy đồng. Phải đổi

\frac{1}{3}

thành

\frac{5}{15}

trước, khi đó mới thấy

5 > 4

, tức Cầu lông đông hơn Bóng rổ.

🚀 Mở rộng. Nếu trường có thêm môn Bơi với

\frac{7}{15}

số học sinh khối 5 tham gia, môn nào lúc này sẽ được tham gia nhiều nhất?

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Luyện tập (tiết 2) · Bài 5★★★Trang 13— Tìm số tự nhiên thoả mãn một phân số nằm giữa hai phân số cho trước

Luyện tập (tiết 2) — Bài 5 (trang 13). Đố em! Số?

\frac{3}{8} < \frac{?}{8} < \frac{4}{7}

Kiến thức cần nhớ

Hai phân số cùng mẫu số thì phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
Muốn so hai phân số khác mẫu số, có thể quy đồng mẫu số hoặc nhân chéo (so $a \times d$ với $b \times c$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Phân số ở giữa có sẵn mẫu số 8 giống hệt phân số bên trái, nên điều kiện thứ nhất (

\frac{3}{8} < \frac{?}{8}

) chỉ cần so tử số là xong. Điều kiện thứ hai (

\frac{?}{8} < \frac{4}{7}

) lại có mẫu số khác nên phải quy đồng hoặc nhân chéo mới tìm được giới hạn trên. Bẫy của bài là số cần tìm phải thoả mãn CẢ HAI điều kiện cùng một lúc, thiếu một điều kiện là sai.

1Cách 1. Quy đồng mẫu số chung để tìm khoảng giá trị của tử số

Định hướng. Đưa phân số $\frac{4}{7}$ về mẫu số 56 (bội chung của 8 và 7) để so trực tiếp với $\frac{?}{8}$ cũng đổi về mẫu số 56, từ đó tìm khoảng giá trị hợp lệ của tử số cần điền.

Điều kiện 1:

\frac{3}{8} < \frac{?}{8}

, vì cùng mẫu số nên

? > 3

Điều kiện 2:

\frac{?}{8} < \frac{4}{7}

, quy đồng mẫu số 56:

\frac{? \times 7}{56} < \frac{4 \times 8}{56} = \frac{32}{56}

, tức là

? \times 7 < 32

Số tự nhiên

?

lớn hơn 3 mà nhân với 7 vẫn bé hơn 32: thử

? = 4

4 \times 7 = 28 < 32

(đúng); thử

? = 5

5 \times 7 = 35 > 32

(sai)

Vậy số cần điền là 4, ta được $\frac{3}{8} < \frac{4}{8} < \frac{4}{7}$ .

2Cách 2. Thử trực tiếp từng số tự nhiên rồi kiểm tra

Định hướng. Vì tử số cần tìm chắc chắn lớn hơn 3 (do điều kiện thứ nhất), cứ thử lần lượt các số 4, 5, 6... vào ô trống rồi kiểm tra xem có thoả điều kiện thứ hai hay không.

Thử

? = 4

\frac{4}{8} = \frac{1}{2}

, so với

\frac{4}{7}

: vì

\frac{1}{2} = \frac{3.5}{7}

nhỏ hơn

\frac{4}{7}

nên

\frac{4}{8} < \frac{4}{7}

(thoả mãn)
Thử

? = 5

\frac{5}{8}

, so với

\frac{4}{7}

bằng cách nhân chéo:

5 \times 7 = 35

và

8 \times 4 = 32

; vì

35 > 32

nên

\frac{5}{8} > \frac{4}{7}

(không thoả mãn)

Vậy chỉ có $? = 4$ thoả mãn cả hai điều kiện, trùng với kết quả ở Cách 1.

3Cách 3. Nhân chéo trực tiếp bất đẳng thức để tìm giới hạn của số cần điền

Định hướng. Viết thẳng điều kiện $\frac{?}{8} < \frac{4}{7}$ dưới dạng nhân chéo $? \times 7 < 4 \times 8$ để tìm ngay giới hạn trên của số cần điền, kết hợp với điều kiện $? > 3$ để chốt đáp số.

Từ

\frac{?}{8} < \frac{4}{7}

, nhân chéo:

? \times 7 < 4 \times 8 = 32

Vì

4 \times 7 = 28 < 32

và

5 \times 7 = 35 > 32

nên số tự nhiên lớn nhất thoả điều kiện này là 4
Kết hợp với điều kiện

? > 3

(từ

\frac{3}{8} < \frac{?}{8}

): số tự nhiên duy nhất vừa lớn hơn 3 vừa thoả

? \times 7 < 32

là 4

Vậy số cần điền là 4, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Nhân chéo giúp tìm giới hạn ngay mà không cần quy đồng hẳn về một mẫu số chung như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 3 (nhân chéo): tìm giới hạn trên chỉ bằng một phép nhân và một phép so sánh, nhanh hơn hẳn việc quy đồng mẫu số chung 56.

Đáp số. Số cần điền là 4, ta có

\frac{3}{8} < \frac{4}{8} < \frac{4}{7}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chỉ để ý điều kiện

? > 3

rồi chọn đại

? = 5

hoặc

? = 6

mà quên kiểm tra điều kiện thứ hai với

\frac{4}{7}

. Khi thử lại,

\frac{5}{8}

đã LỚN HƠN

\frac{4}{7}

rồi (vì

5 \times 7 = 35 > 4 \times 8 = 32

), không còn thoả mãn đề bài, nên phải kiểm tra đủ cả hai điều kiện trước khi chốt đáp số.

🚀 Mở rộng. Có bao nhiêu số tự nhiên

?

thoả mãn

\frac{1}{8} < \frac{?}{8} < \frac{4}{7}

(mở rộng vế trái bé hơn)? Em thử tìm hết các giá trị đó.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 2. Ôn tập các phép tính với số tự nhiên Bài tiếp theo ›Bài 4. Phân số thập phân

📚 Cùng chương: Chủ đề 1. Ôn tập và bổ sung

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Số tự nhiên, phân số, số nguyên — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 3. Ôn tập phân số

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chủ đề 1. Ôn tập và bổ sung

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Tuyển tập 100 đề giữa kì I Toán 6

Tuyển tập 100+ đề giữa kì I Toán 9 (106 đề)

Đề THPT 2027 – Ứng dụng đạo hàm

Toán 6 – Học chủ động

Toán 9 – Luyện thi vào 10