Bài 5. Ôn tập các phép tính với phân số

Định hướng. Đưa mọi số hạng về cùng một mẫu số bằng cách quy đồng, rồi cộng hoặc trừ các tử số với nhau, giữ nguyên mẫu số chung.

Vậy a) $\frac{5}{3}$; b) $\frac{3}{16}$; c) $\frac{35}{8}$; d) $\frac{5}{7}$.

Định hướng. Những phân số lớn hơn 1 đổi được thành hỗn số; tách phần nguyên ra tính riêng, phần phân số quy đồng rồi cộng, trừ, sau đó gộp lại.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) $\frac{5}{3}$; b) $\frac{3}{16}$; c) $\frac{35}{8}$; d) $\frac{5}{7}$.

Định hướng. Lấy kết quả làm phép tính ngược với một số hạng đã cho, kiểm tra có ra đúng số hạng còn lại hay không.

Vậy cả bốn kết quả ở Cách 1 đều được kiểm chứng đúng.

Nhận xét. Phép cộng thử lại bằng phép trừ, phép trừ thử lại bằng phép cộng — đây là cách kiểm tra nhanh khi làm bài thi.

Định hướng. Với phân số khác mẫu, quy đồng cả cụm về một mẫu số chung; biểu thức có ngoặc thì tính trong ngoặc trước.

Vậy a) $\frac{1}{2}$; b) $\frac{1}{6}$.

Định hướng. Câu a) gộp hai số hạng cộng được trước rồi mới trừ; câu b) phá ngoặc trừ thành trừ lần lượt từng số hạng bên trong, tránh đổi hỗn số.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) $\frac{1}{2}$; b) $\frac{1}{6}$.

Định hướng. Lấy kết quả cộng ngược lại với số hạng đã trừ, phải ra đúng số hạng còn lại.

Vậy cả hai kết quả a) $\frac{1}{2}$ và b) $\frac{1}{6}$ đều được kiểm chứng đúng.

Nhận xét. Cách 2 (phá ngoặc trừ) và Cách 1 (cộng trong ngoặc trước) luôn cho cùng kết quả — chọn cách nào tính nhẹ hơn với từng bài.

Định hướng. Quy đồng $\frac{3}{5}$ và $\frac{7}{10}$ về cùng mẫu số 10, so sánh hai tử số để biết ai chạy được nhiều hơn, rồi lấy hiệu để tìm phân số chỉ phần hơn.

Vậy Việt chạy nhiều hơn Nam $\frac{1}{10}$ đoạn đường — chọn đáp án C.

Định hướng. Không cần tính hiệu ngay, thử lần lượt kiểm tra từng phương án xem có khớp với dữ kiện hay không, sai đâu loại đó.

Vậy chỉ có phương án C thoả mãn — chọn đáp án C.

Định hướng. Không cần tìm mẫu số chung nhỏ nhất, cứ nhân chéo hai phân số để đưa về cùng mẫu số là tích hai mẫu, sau đó rút gọn kết quả.

Vậy Việt chạy nhiều hơn Nam $\frac{1}{10}$ đoạn đường — chọn đáp án C, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Quy đồng bằng tích hai mẫu số luôn làm được nhưng cho số lớn hơn, phải rút gọn thêm một bước.

Định hướng. Coi cả thư viện là 1 đơn vị; cộng hai phần đã biết lại rồi lấy 1 trừ đi tổng đó, được phần còn lại.

Vậy phân số chỉ số truyện thiếu nhi và tạp chí là $\frac{1}{9}$ số sách.

Định hướng. Coi cả thư viện là 1 đơn vị, trừ lần lượt từng phần đã biết (sách giáo khoa, rồi sách tham khảo) ra khỏi 1, phần còn lại sau hai lần trừ chính là phần cần tìm.

Vậy số truyện thiếu nhi và tạp chí chiếm $\frac{1}{9}$ số sách, khớp với Cách 1.

Định hướng. Chia cả thư viện thành 9 phần bằng nhau; đổi $\frac{2}{3}$ ra $\frac{6}{9}$ nghĩa là sách giáo khoa chiếm 6 phần, sách tham khảo chiếm 2 phần, đếm trực tiếp trên 9 phần đó để tìm số phần còn lại.

Vậy truyện thiếu nhi và tạp chí chiếm $\frac{1}{9}$ số sách — cả ba cách đều cho cùng đáp số.

Nhận xét. Cách 3 (đếm phần trên 9 phần bằng nhau) trực quan như đang nhìn sơ đồ, dễ hình dung nhất khi có hình vẽ minh hoạ.

Định hướng. Nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số (phép nhân); nhân với phân số đảo ngược (phép chia); sau đó rút gọn kết quả về dạng tối giản.

Vậy a) $\frac{1}{3}$; b) $\frac{3}{2}$; c) $\frac{14}{3}$; d) $\frac{6}{5}$.

Định hướng. Trước khi nhân tử với tử, mẫu với mẫu, tìm thừa số chung giữa tử số của phân số này với mẫu số của phân số kia để rút gọn ngay, số sẽ nhỏ đi rất nhiều.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1, nhưng số nhân ra nhỏ hơn hẳn.

Định hướng. Phép nhân thử lại bằng phép chia, phép chia thử lại bằng phép nhân — lấy kết quả làm phép tính ngược với một thừa số để kiểm tra ra thừa số còn lại.

Vậy cả bốn kết quả đều được kiểm chứng đúng như Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Rút gọn trước khi nhân (Cách 2) luôn cho cùng kết quả với nhân rồi rút gọn sau (Cách 1), nhưng số nhân nhỏ hơn nên khó nhầm hơn.

Định hướng. Chu vi hình vuông bằng 4 lần cạnh, nên cạnh bằng chu vi chia cho 4; diện tích hình vuông bằng cạnh nhân cạnh.

Vậy a) cạnh dài $\frac{9}{2}$ m; b) diện tích là $\frac{81}{4}$ m².

Định hướng. Bốn cạnh bằng nhau nên chia đôi sợi dây 18 m được độ dài của hai cạnh, chia đôi tiếp một lần nữa được độ dài của một cạnh — không cần chia thẳng cho 4 ngay từ đầu.

Vậy cạnh dài $\frac{9}{2}$ m, diện tích $\frac{81}{4}$ m² — khớp với Cách 1.

Định hướng. Sau khi tìm được cạnh, nhân cạnh với 4 để kiểm tra có ra đúng chu vi 18 m hay không; đổi cạnh ra số thập phân để ước lượng lại diện tích.

Vậy cả hai kết quả cạnh $\frac{9}{2}$ m và diện tích $\frac{81}{4}$ m² đều được kiểm chứng đúng.

Nhận xét. Đổi ra số thập phân chỉ nên dùng để kiểm tra lại, bài giải chính vẫn phải viết bằng phân số như đề yêu cầu.

Định hướng. Câu a) chỉ có nhân, chia nên tính lần lượt từ trái sang phải; câu b) có ngoặc nên tính trong ngoặc trước.

Vậy a) $\frac{1}{4}$; b) $\frac{1}{2}$.

Định hướng. Đổi mọi phép chia thành phép nhân với phân số đảo ngược trước, sau đó rút gọn tử số với mẫu số ngay trong một dòng tính thay vì tính từng bước riêng.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) $\frac{1}{4}$; b) $\frac{1}{2}$.

Định hướng. Lấy kết quả nhân, chia ngược lại với các thừa số đã cho để kiểm tra ra đúng số ban đầu.

Vậy cả hai kết quả a) $\frac{1}{4}$ và b) $\frac{1}{2}$ đều được kiểm chứng đúng.

Nhận xét. Câu b) nếu quên tính trong ngoặc trước mà chia $\frac{11}{4}$ cho $\frac{11}{14}$ ngay rồi mới nhân 7 sẽ ra kết quả khác hẳn — luôn phải làm trong ngoặc trước.

Định hướng. Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng; ba phần bằng nhau nên diện tích mỗi phần bằng diện tích cả tấm kính chia cho 3.

Vậy diện tích mỗi phần tấm kính làm mặt bàn là $\frac{10}{9}$ m².

Định hướng. Quan sát hình vẽ: tấm kính chia thành 3 cột bằng nhau theo CHIỀU DÀI, chiều rộng mỗi phần vẫn giữ nguyên. Tìm chiều dài của mỗi phần trước, rồi nhân với chiều rộng để ra diện tích một phần.

Vậy diện tích mỗi phần là $\frac{10}{9}$ m², khớp với Cách 1.

Định hướng. Ba phần bằng nhau nên cộng diện tích ba phần lại phải đúng bằng diện tích cả tấm kính — dùng phép cộng để kiểm tra kết quả chia.

Vậy diện tích mỗi phần $\frac{10}{9}$ m² là đúng, đã được kiểm chứng bằng phép cộng ngược.

Nhận xét. Cách 2 (chia chiều dài trước) cũng ra cùng kết quả với Cách 1 (chia diện tích) vì kết quả không đổi dù chia trước hay nhân trước.

Định hướng. Nhân lần lượt từng cặp phân số theo đúng thứ tự viết trong đề, rút gọn kết quả sau mỗi lần nhân.

Vậy $\frac{10}{11}\times \frac{9}{16}\times \frac{11}{10}\times \frac{8}{9}=\frac{1}{2}$.

Định hướng. Đổi chỗ và nhóm hai phân số có tử số của phân số này bằng mẫu số của phân số kia lại với nhau, mỗi nhóm triệt tiêu thành 1, việc nhân còn lại rất gọn.

Vậy tính bằng cách thuận tiện cũng cho kết quả $\frac{1}{2}$, khớp với Cách 1 nhưng gọn hơn nhiều.

Định hướng. Nhìn cả bốn phân số cùng lúc, rút gọn ngay tử số của phân số này với mẫu số của phân số kia nếu chúng bằng nhau, không cần nhân ra số lớn rồi mới rút gọn.

Vậy cả ba cách đều cho kết quả $\frac{1}{2}$.

Nhận xét. Cách 3 rút gọn ngay một lượt cả bốn phân số nên nhanh nhất, không cần viết riêng từng cặp ngoặc như Cách 2.

Định hướng. Tính lại độc lập vế trái của mỗi câu theo đúng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số, rồi so với kết quả đề đưa ra.

Vậy a) Đ; b) S; c) Đ; d) Đ.

Định hướng. Không tính lại từ đầu mà kiểm tra ngay bước biến đổi trung gian đề đã viết (mẫu số dùng để quy đồng, phép nhân chéo) xem có theo đúng quy tắc hay không.

Vậy a) Đ; b) S; c) Đ; d) Đ — khớp với Cách 1.

Định hướng. Lấy kết quả đề đưa ra làm phép tính ngược với một số hạng, xem có ra đúng số hạng còn lại hay không.

Vậy a) Đ; b) S; c) Đ; d) Đ — cả ba cách đều thống nhất.

Nhận xét. Câu b) sai vì mẫu số chung của 9 và 3 phải là 9, không phải 12 — quy đồng sai mẫu thì tử số quy đồng theo cũng sai theo, dẫn tới kết quả sai hẳn.

Định hướng. Câu a) có ngoặc nên tính trong ngoặc trước rồi mới nhân; câu b) không có ngoặc nên chia trước, cộng sau.

Vậy a) $\frac{1}{7}$; b) $\frac{5}{3}$.

Định hướng. Rút gọn những phân số chưa tối giản ngay từ đầu để số nhỏ đi, việc tính trong ngoặc và ngoài ngoặc đều nhẹ hơn.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) $\frac{1}{7}$; b) $\frac{5}{3}$.

Định hướng. Thử lại từng bước bằng phép tính ngược để chắc chắn kết quả cuối cùng không sai.

Vậy cả hai kết quả a) $\frac{1}{7}$ và b) $\frac{5}{3}$ đều được kiểm chứng đúng.

Nhận xét. Câu b) nếu cộng $\frac{20}{24}$ với $\frac{10}{4}$ trước rồi mới chia cho 3 sẽ ra kết quả khác — phải chia trước vì chia đứng trước phép cộng.

Định hướng. Muốn tìm $\frac{7}{8}$ của 96, ta lấy 96 nhân với $\frac{7}{8}$; sau đó cộng số sách của hai lớp lại được tổng cần tìm.

Vậy cả hai lớp 5A và 5B quyên góp được 180 quyển sách.

Định hướng. Coi 96 quyển sách của lớp 5A là 8 phần bằng nhau; lớp 5B có 7 phần như vậy. Tìm giá trị 1 phần trước, rồi tính số sách của lớp 5B và tổng số sách hai lớp.

Vậy cả hai lớp quyên góp được 180 quyển sách, khớp với Cách 1.

Định hướng. Coi lớp 5A là $\frac{8}{8}$ và lớp 5B là $\frac{7}{8}$ số sách của 5A, nên tổng số sách hai lớp bằng $\frac{8}{8}+\frac{7}{8}=\frac{15}{8}$ số sách của lớp 5A — chỉ cần một phép nhân là ra tổng, không cần tính riêng số sách lớp 5B.

Vậy cả hai lớp quyên góp được 180 quyển sách, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 nhanh nhất vì gộp cả hai bước (tìm số sách 5B rồi cộng) thành một phép nhân duy nhất.

Định hướng. Tính riêng từng tích theo đúng thứ tự đề bài, rồi quy đồng mẫu số để cộng hai kết quả lại.

Vậy $\frac{5}{6}\times \frac{3}{7}+\frac{3}{7}\times \frac{7}{6}=\frac{6}{7}$.

Định hướng. Hai số hạng cùng có thừa số $\frac{3}{7}$, đặt thừa số đó ra ngoài dấu ngoặc rồi cộng hai thừa số còn lại trước, cuối cùng mới nhân một lần.

Vậy tính bằng cách thuận tiện cũng cho kết quả $\frac{6}{7}$, khớp với Cách 1 nhưng gọn hơn nhiều.

Định hướng. Lấy kết quả trừ đi một trong hai số hạng đã tính ở Cách 1, phải ra đúng số hạng còn lại.

Vậy kết quả $\frac{6}{7}$ được kiểm chứng đúng bằng cả hai phép trừ ngược.

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần một phép cộng phân số cùng mẫu (mẫu 6) và một phép nhân, nhanh hơn hẳn Cách 1 phải quy đồng mẫu 14 ở bước cộng cuối.

Định hướng. Tìm xem $\frac{1}{2}$ m bằng mấy phần của $\frac{2}{3}$ m bằng phép chia hai phân số; số đó cho biết cần chia băng giấy thành bao nhiêu phần bằng nhau và lấy mấy phần.

Vậy gấp đôi băng giấy hai lần để được 4 phần bằng nhau, lấy 3 phần liền nhau là được đúng đoạn dài $\frac{1}{2}$ m.

Định hướng. Gấp đôi băng giấy từng bước một và ghép nối các đoạn gấp được cho tới khi vừa đủ $\frac{1}{2}$ m, không cần tìm tỉ số ngay từ đầu.

Vậy ghép đoạn $\frac{1}{3}$ m (gấp đôi 1 lần) với đoạn $\frac{1}{6}$ m (gấp đôi thêm 1 lần nữa) cũng được đúng $\frac{1}{2}$ m.

Định hướng. Tính trước phần CÒN THỪA nếu đã lấy đủ $\frac{1}{2}$ m từ băng giấy $\frac{2}{3}$ m, rồi làm ngược lại: gấp để tìm và cắt bỏ đúng phần thừa đó.

Vậy chỉ cần cắt bỏ đúng 1 trong 4 phần bằng nhau, phần còn lại dài $\frac{1}{2}$ m — khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều dẫn tới cùng một thao tác gấp đôi hai lần liên tiếp, chỉ khác nhau ở cách lập luận để tìm ra số phần cần lấy hay cần bỏ.