Chủ đề 1. Ôn tập và bổ sung

Bài 6. Cộng, trừ hai phân số khác mẫu số

SGK Toán 5 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán5 #ChủĐề1 #SGK_Tập1 #trang20–22 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong VỞ BÀI TẬP →

Bài 1 · Khám phá★★Trang 20— Cộng, trừ hai phân số khác mẫu số bằng cách quy đồng mẫu số

Khám phá (trang 20, 21). Việt và Mai cùng đổ nước vào một cái bình. Việt nói: “Tớ đã đổ

\frac{1}{5}

l nước vào bình.” Mai nói: “Tớ đã đổ

\frac{1}{2}

l nước vào bình.”
a) Cả hai bạn đã đổ bao nhiêu phần lít nước vào bình?
b) Mai và Việt, ai đổ nước vào bình nhiều hơn và nhiều hơn bao nhiêu lít nước?

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi cộng (hoặc trừ) hai phân số đã quy đồng mẫu số.
Khi hai mẫu số không chia hết cho nhau, có thể lấy mẫu số chung là tích của hai mẫu số.
Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta cũng quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai phân số có mẫu số khác nhau (5 và 2) nên không thể cộng hoặc trừ trực tiếp tử số với nhau như hai phân số cùng mẫu số đã học — phải đưa chúng về cùng một mẫu số rồi mới tính. Vì 5 và 2 không chia hết cho nhau, mẫu số chung tiện nhất là tích của hai mẫu số (

5 \times 2 = 10

). Bẫy của đề nằm ở câu b): phải xác định đúng ai đổ nhiều hơn (so sánh

\frac{1}{2}

với

\frac{1}{5}

) rồi mới lấy phần nhiều trừ phần ít, không được trừ tuỳ theo thứ tự nêu trong đề.

1Cách 1. Quy đồng mẫu số bằng tích hai mẫu số rồi tính

Định hướng. Hai phân số $\frac{1}{5}$ và $\frac{1}{2}$ có mẫu số khác nhau và không chia hết cho nhau, nên quy đồng bằng mẫu số chung là tích $5 \times 2 = 10$ , rồi cộng hoặc trừ hai phân số đã quy đồng.

Quy đồng mẫu số:

\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10}

;

\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}

a) Số phần lít nước cả hai bạn đã đổ là:

\frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{7}{10}

(l)

b) So sánh hai phân số đã quy đồng:

\frac{5}{10}

lớn hơn

\frac{2}{10}

nên Mai đổ nhiều hơn Việt
Số phần lít nước Mai đổ nhiều hơn Việt là:

\frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10}

(l)

Hình minh hoạ lời giải

Sơ đồ đoạn thẳng chia 10 phần bằng nhau minh hoạ 1/5 l và 1/2 l nước

Hình minh hoạ lời giải:

Vậy a) cả hai bạn đã đổ $\frac{7}{10}$ l nước vào bình; b) Mai đổ nhiều hơn Việt $\frac{3}{10}$ l nước.

2Cách 2. Sơ đồ đoạn thẳng chia 10 phần bằng nhau

Định hướng. Vẽ một đoạn thẳng dài 1 l, chia đều thành 10 phần bằng nhau (mỗi phần là $\frac{1}{10}$ l) vì cả $\frac{1}{5}$ lẫn $\frac{1}{2}$ đều đổi được về phần mười; tô màu đúng số phần của mỗi bạn rồi đếm trực tiếp trên hình.

a) Việt tô 2 phần (vì

\frac{1}{5} = \frac{2}{10}

), Mai tô tiếp 5 phần (vì

\frac{1}{2} = \frac{5}{10}

)
Đếm tổng số phần đã tô:

2 + 5 = 7

phần trong 10 phần, tức

\frac{7}{10}

(l)

b) Phần Mai tô (5 phần) dài hơn phần Việt tô (2 phần)
Đếm số phần Mai tô nhiều hơn Việt:

5 - 2 = 3

phần trong 10 phần, tức

\frac{3}{10}

(l)

Vậy nhìn trên sơ đồ cũng ra đúng kết quả: a) $\frac{7}{10}$ l; b) Mai đổ nhiều hơn Việt $\frac{3}{10}$ l.

Nhận xét. Đếm trên sơ đồ cho cùng kết quả với quy đồng bằng phép tính, vì tô màu theo phần mười chính là quy đồng mẫu số bằng hình vẽ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: quy đồng mẫu số rồi tính, làm được với mọi cặp phân số kể cả khi mẫu số lớn, không phụ thuộc việc vẽ hình chính xác.

Đáp số. a) 7/10 l. b) Mai đổ nhiều hơn Việt 3/10 l.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), thấy đề nêu “Mai và Việt” nên lấy ngay

\frac{1}{5} - \frac{1}{2}

mà không so sánh xem ai đổ nhiều hơn. Phải so sánh

\frac{5}{10}

với

\frac{2}{10}

trước, biết Mai đổ nhiều hơn thì mới lấy phần của Mai trừ phần của Việt, tránh lấy nhầm số bé trừ số lớn.

🚀 Mở rộng. Nếu có thêm một bạn thứ ba đổ

\frac{3}{10}

l nước vào cùng bình đó, tổng số nước cả ba bạn đã đổ là bao nhiêu lít?

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Hoạt động 1★Trang 21— Cộng, trừ hai phân số khác mẫu số (áp dụng trực tiếp quy tắc)

Hoạt động 1 (trang 21). Tính.
a)

\frac{1}{7} + \frac{1}{9}

;

\frac{3}{11} + \frac{7}{12}

;

\frac{13}{5} + \frac{7}{6}

\frac{1}{4} - \frac{1}{9}

;

\frac{2}{5} - \frac{1}{4}

;

\frac{11}{7} - \frac{5}{8}

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi cộng (hoặc trừ) hai phân số đã quy đồng mẫu số.
Khi hai mẫu số không cùng chia hết cho một số nào khác 1, mẫu số chung tiện lợi nhất là tích của hai mẫu số.
Phân số có tử số lớn hơn mẫu số vẫn quy đồng và cộng, trừ theo đúng quy tắc như phân số bé hơn 1.

🧠 Phân tích tư duy

Sáu phép tính đều là cộng hoặc trừ hai phân số có mẫu số khác nhau, và từng cặp mẫu số ở đây (7 và 9, 11 và 12, 5 và 6, 4 và 9, 5 và 4, 7 và 8) đôi một không cùng chia hết cho một số nào khác 1, nên mẫu số chung tiện nhất luôn là tích của hai mẫu số. Bài chỉ luyện đúng một quy tắc vừa học nên việc cần làm là quy đồng cẩn thận rồi cộng, trừ đúng tử số. Bẫy dễ gặp ở

\frac{13}{5} + \frac{7}{6}

và

\frac{11}{7} - \frac{5}{8}

: đây là phân số có tử số lớn hơn mẫu số nhưng vẫn quy đồng và tính bình thường như mọi phân số khác, không cần đổi ra hỗn số trước.

1Cách 1. Quy đồng mẫu số bằng tích hai mẫu số rồi cộng, trừ tử số

Định hướng. Với mỗi phép tính, lấy mẫu số chung là tích hai mẫu số đã cho, quy đồng cả hai phân số về mẫu số đó rồi cộng hoặc trừ hai tử số.

\frac{1}{7} + \frac{1}{9} = \frac{1 \times 9}{7 \times 9} + \frac{1 \times 7}{9 \times 7} = \frac{9}{63} + \frac{7}{63} = \frac{16}{63}

\frac{3}{11} + \frac{7}{12} = \frac{3 \times 12}{11 \times 12} + \frac{7 \times 11}{12 \times 11} = \frac{36}{132} + \frac{77}{132} = \frac{113}{132}

\frac{13}{5} + \frac{7}{6} = \frac{13 \times 6}{5 \times 6} + \frac{7 \times 5}{6 \times 5} = \frac{78}{30} + \frac{35}{30} = \frac{113}{30}

\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{1 \times 9}{4 \times 9} - \frac{1 \times 4}{9 \times 4} = \frac{9}{36} - \frac{4}{36} = \frac{5}{36}

\frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} - \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{3}{20}

\frac{11}{7} - \frac{5}{8} = \frac{11 \times 8}{7 \times 8} - \frac{5 \times 7}{8 \times 7} = \frac{88}{56} - \frac{35}{56} = \frac{53}{56}

Vậy a) $\frac{16}{63}$ ; $\frac{113}{132}$ ; $\frac{113}{30}$ . b) $\frac{5}{36}$ ; $\frac{3}{20}$ ; $\frac{53}{56}$ .

2Cách 2. Mô hình lưới ô vuông (đếm số ô thay vì nhân chéo mẫu số)

Định hướng. Với $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d}$ , tưởng tượng một hình chữ nhật chia thành $b \times d$ ô bằng nhau: tô $a \times d$ ô cho phân số thứ nhất, $b \times c$ ô cho phân số thứ hai, rồi cộng hoặc trừ số ô đã tô trên tổng số ô.

\frac{1}{7} + \frac{1}{9}

: lưới có

7 \times 9 = 63

ô, tô

1 \times 9 = 9

ô và

7 \times 1 = 7

ô, được

9 + 7 = 16

ô trên 63 ô, tức

\frac{16}{63}

\frac{3}{11} + \frac{7}{12}

: lưới có

11 \times 12 = 132

ô, tô

3 \times 12 = 36

ô và

7 \times 11 = 77

ô, được

36 + 77 = 113

ô trên 132 ô, tức

\frac{113}{132}

\frac{13}{5} + \frac{7}{6}

: lưới có

5 \times 6 = 30

ô, tô

13 \times 6 = 78

ô và

7 \times 5 = 35

ô, được

78 + 35 = 113

ô trên 30 ô, tức

\frac{113}{30}

\frac{1}{4} - \frac{1}{9}

: lưới có

4 \times 9 = 36

ô, tô

1 \times 9 = 9

ô rồi bớt

1 \times 4 = 4

ô, còn

9 - 4 = 5

ô trên 36 ô, tức

\frac{5}{36}

\frac{2}{5} - \frac{1}{4}

: lưới có

5 \times 4 = 20

ô, tô

2 \times 4 = 8

ô rồi bớt

1 \times 5 = 5

ô, còn

8 - 5 = 3

ô trên 20 ô, tức

\frac{3}{20}

\frac{11}{7} - \frac{5}{8}

: lưới có

7 \times 8 = 56

ô, tô

11 \times 8 = 88

ô rồi bớt

5 \times 7 = 35

ô, còn

88 - 35 = 53

ô trên 56 ô, tức

\frac{53}{56}

Vậy đếm ô trên lưới cho đúng kết quả như Cách 1 ở cả sáu phép tính.

Nhận xét. Số ô tô trên lưới ( $a \times d$ và $b \times c$ ) chính là hai tử số sau khi quy đồng, và tổng số ô ( $b \times d$ ) chính là mẫu số chung — hai cách chỉ khác nhau ở việc hình dung bằng lưới ô vuông hay tính bằng phép nhân chéo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: quy đồng bằng tích hai mẫu số, viết trực tiếp thành phép tính, nhanh hơn hẳn so với vẽ hoặc tưởng tượng lưới ô vuông.

Đáp số. a) 16/63; 113/132; 113/30. b) 5/36; 3/20; 53/56.

Sai lầm thường gặp. Khi tính

\frac{13}{5} + \frac{7}{6}

, thấy tử số 13 lớn hơn mẫu số 5 nên vội đổi

\frac{13}{5}

ra hỗn số

2 \frac{3}{5}

trước rồi lúng túng không biết cộng hỗn số với phân số thế nào. Thực ra cứ quy đồng mẫu số bình thường như mọi phân số khác:

\frac{13}{5} = \frac{78}{30}

\frac{7}{6} = \frac{35}{30}

, cộng lại được

\frac{113}{30}

, không cần đổi ra hỗn số.

🚀 Mở rộng. Nếu ba phân số

\frac{1}{7}

\frac{1}{9}

và

\frac{1}{5}

cùng được cộng với nhau thì làm thế nào để tìm mẫu số chung của cả ba phân số?

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Hoạt động 2★★Trang 21— Toán có lời văn: cộng hai phân số khác mẫu số

Hoạt động 2 (trang 21). Có hai vòi nước cùng chảy vào một bể. Vòi thứ nhất chảy được

\frac{1}{2}

bể, vòi thứ hai chảy được

\frac{2}{5}

bể. Hỏi cả hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể nước?

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi cộng hai phân số đã quy đồng mẫu số.
Trong bài toán “cùng làm chung một việc”, phần việc cả hai làm được bằng tổng phần việc của từng bên.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số phần bể mỗi vòi chảy được và hỏi “cả hai vòi”, đây là dấu hiệu của phép cộng: lấy phần bể vòi thứ nhất chảy được cộng với phần bể vòi thứ hai chảy được. Hai phân số

\frac{1}{2}

và

\frac{2}{5}

khác mẫu số và không chia hết cho nhau nên phải quy đồng trước khi cộng. Bẫy của đề là dễ nhầm “cả hai vòi” với việc so sánh vòi nào chảy nhanh hơn — đề chỉ hỏi tổng, không hỏi hiệu.

1Cách 1. Quy đồng mẫu số rồi cộng trực tiếp

Định hướng. Đề hỏi “cả hai vòi” nên lấy phần bể vòi thứ nhất cộng với phần bể vòi thứ hai; hai mẫu số 2 và 5 không chia hết cho nhau nên quy đồng bằng tích $2 \times 5 = 10$ .

Quy đồng mẫu số:

\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}

;

\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}

Số phần bể nước cả hai vòi chảy được là:

\frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{5}{10} + \frac{4}{10} = \frac{9}{10}

(bể)

Vậy cả hai vòi chảy được $\frac{9}{10}$ bể nước.

2Cách 2. Sơ đồ đoạn thẳng chia 10 phần bằng nhau

Định hướng. Vẽ một đoạn thẳng biểu diễn cả bể nước, chia đều thành 10 phần bằng nhau (mỗi phần là $\frac{1}{10}$ bể) vì cả $\frac{1}{2}$ lẫn $\frac{2}{5}$ đều đổi được về phần mười; tô phần của vòi thứ nhất rồi tô tiếp phần của vòi thứ hai, sau đó đếm tổng số phần đã tô.

Vòi thứ nhất chảy được

\frac{1}{2}

bể, tức 5 phần trong 10 phần: tô 5 phần
Vòi thứ hai chảy được

\frac{2}{5}

bể, tức 4 phần trong 10 phần: tô tiếp 4 phần
Đếm tổng số phần đã tô:

5 + 4 = 9

phần trong 10 phần, tức

\frac{9}{10}

bể

Vậy đếm trên sơ đồ cũng cho cả hai vòi chảy được $\frac{9}{10}$ bể nước.

3Cách 3. Tính phần bể còn lại chưa có nước rồi suy ra phần đã chảy

Định hướng. Thay vì cộng trực tiếp hai phần đã chảy, tìm phần bể còn trống (chưa có nước ở vòi nào) trước, rồi lấy cả bể trừ đi phần trống sẽ ra đúng phần hai vòi đã chảy — đây là cách làm ngược, tận dụng phép trừ để kiểm tra lại phép cộng.

Quy đồng mẫu số:

\frac{1}{2} = \frac{5}{10}

;

\frac{2}{5} = \frac{4}{10}

Nếu bể còn trống phần

x

thì

x = 1 - \frac{5}{10} - \frac{4}{10}

, tức

x = \frac{10}{10} - \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}

(bể)
Suy ra phần bể hai vòi đã chảy được là:

1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}

(bể)

Vậy tính phần trống rồi trừ ngược lại cũng ra $\frac{9}{10}$ bể nước, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại đáp số, vì phải tính qua một bước trừng gian (phần trống) nên dài hơn Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: cộng trực tiếp hai phần đã chảy, ngắn gọn và đúng ngay với dấu hiệu “cả hai vòi” của đề.

Đáp số. 9/10 bể nước.

Sai lầm thường gặp. Thấy hai mẫu số 2 và 5 rồi cộng thẳng tử số với tử số, mẫu số với mẫu số:

\frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{3}{7}

. Đây là lỗi cộng hai phân số khác mẫu số như hai phân số cùng mẫu số; phải quy đồng mẫu số về

\frac{5}{10}

và

\frac{4}{10}

rồi mới cộng tử số, được

\frac{9}{10}

chứ không phải

\frac{3}{7}

🚀 Mở rộng. Nếu vòi thứ hai chảy nhanh gấp đôi, tức chảy được

\frac{4}{5}

bể trong cùng thời gian đó, thì cả hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 1★★Trang 21— Cộng, trừ hai phân số khác mẫu số, có phân số chưa tối giản

Luyện tập 1 (trang 21). Tính.
a)

\frac{6}{11} + \frac{1}{2}

\frac{3}{10} + \frac{5}{21}

\frac{11}{4} - \frac{7}{5}

\frac{20}{18} - \frac{2}{5}

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi cộng (hoặc trừ) hai phân số đã quy đồng mẫu số.
Nên rút gọn phân số về dạng tối giản trước khi quy đồng để mẫu số chung nhỏ nhất có thể, tính toán đỡ vất vả hơn.
Phân số sau khi cộng, trừ nếu chưa tối giản thì nên rút gọn để có đáp số gọn nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phép tính vẫn cộng hoặc trừ hai phân số khác mẫu số như Hoạt động 1, nhưng câu d) có phân số

\frac{20}{18}

chưa ở dạng tối giản (cả 20 và 18 đều chia hết cho 2). Nếu rút gọn

\frac{20}{18}

thành

\frac{10}{9}

trước thì mẫu số chung với

\frac{2}{5}

sẽ nhỏ hơn hẳn (45 thay vì 90), tính nhẹ nhàng hơn. Bẫy của đề là quên rút gọn, dẫn tới các số ở bước quy đồng lớn không cần thiết.

1Cách 1. Quy đồng mẫu số bằng tích hai mẫu số đã cho

Định hướng. Lấy ngay mẫu số chung là tích hai mẫu số đã cho trong đề rồi quy đồng và cộng, trừ tử số — cách làm luôn đúng dù phân số có tối giản hay không.

\frac{6}{11} + \frac{1}{2} = \frac{6 \times 2}{11 \times 2} + \frac{1 \times 11}{2 \times 11} = \frac{12}{22} + \frac{11}{22} = \frac{23}{22}

\frac{3}{10} + \frac{5}{21} = \frac{3 \times 21}{10 \times 21} + \frac{5 \times 10}{21 \times 10} = \frac{63}{210} + \frac{50}{210} = \frac{113}{210}

\frac{11}{4} - \frac{7}{5} = \frac{11 \times 5}{4 \times 5} - \frac{7 \times 4}{5 \times 4} = \frac{55}{20} - \frac{28}{20} = \frac{27}{20}

\frac{20}{18} - \frac{2}{5} = \frac{20 \times 5}{18 \times 5} - \frac{2 \times 18}{5 \times 18} = \frac{100}{90} - \frac{36}{90} = \frac{64}{90} = \frac{32}{45}

Vậy a) $\frac{23}{22}$ ; b) $\frac{113}{210}$ ; c) $\frac{27}{20}$ ; d) $\frac{32}{45}$ .

2Cách 2. Rút gọn phân số về dạng tối giản trước rồi mới quy đồng

Định hướng. Trước khi quy đồng, kiểm tra xem phân số nào chưa tối giản thì rút gọn trước — mẫu số chung tìm được sẽ nhỏ hơn, tính nhẹ hơn hẳn ở câu d).

\frac{6}{11}

và

\frac{1}{2}

đã tối giản, quy đồng như Cách 1:

\frac{12}{22} + \frac{11}{22} = \frac{23}{22}

\frac{3}{10}

và

\frac{5}{21}

đã tối giản, quy đồng như Cách 1:

\frac{63}{210} + \frac{50}{210} = \frac{113}{210}

\frac{11}{4}

và

\frac{7}{5}

đã tối giản, quy đồng như Cách 1:

\frac{55}{20} - \frac{28}{20} = \frac{27}{20}

d) Rút gọn

\frac{20}{18}

cho 2, được

\frac{10}{9}

; mẫu số chung của

\frac{10}{9}

và

\frac{2}{5}

là

9 \times 5 = 45

\frac{10}{9} - \frac{2}{5} = \frac{10 \times 5}{45} - \frac{2 \times 9}{45} = \frac{50}{45} - \frac{18}{45} = \frac{32}{45}

Vậy ba câu a, b, c ra cùng kết quả như Cách 1; riêng câu d) rút gọn trước cho mẫu số chung 45 thay vì 90, nhẹ tính hơn mà vẫn ra đúng $\frac{32}{45}$ .

Nhận xét. Rút gọn trước không làm thay đổi kết quả, chỉ giúp các số trong phép tính nhỏ hơn — nên luôn kiểm tra phân số đã tối giản chưa trước khi quy đồng.

3Cách 3. Mô hình lưới ô vuông

Định hướng. Với $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d}$ , hình dung một lưới $b \times d$ ô bằng nhau, tô $a \times d$ ô cho phân số thứ nhất và $b \times c$ ô cho phân số thứ hai rồi cộng hoặc trừ số ô đã tô.

a) Lưới

11 \times 2 = 22

ô, tô

6 \times 2 = 12

ô và

1 \times 11 = 11

ô:

12 + 11 = 23

ô trên 22 ô, tức

\frac{23}{22}

b) Lưới

10 \times 21 = 210

ô, tô

3 \times 21 = 63

ô và

5 \times 10 = 50

ô:

63 + 50 = 113

ô trên 210 ô, tức

\frac{113}{210}

c) Lưới

4 \times 5 = 20

ô, tô

11 \times 5 = 55

ô rồi bớt

7 \times 4 = 28

ô: còn

55 - 28 = 27

ô trên 20 ô, tức

\frac{27}{20}

d) Lưới

18 \times 5 = 90

ô, tô

20 \times 5 = 100

ô rồi bớt

2 \times 18 = 36

ô: còn

100 - 36 = 64

ô trên 90 ô, rút gọn

\frac{64}{90} = \frac{32}{45}

Vậy đếm ô trên lưới cũng cho đúng bốn kết quả như hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: rút gọn phân số trước khi quy đồng, vì mẫu số chung nhỏ hơn giúp tính tử số nhanh và ít khả năng nhân nhầm các số lớn.

Đáp số. a) 23/22. b) 113/210. c) 27/20. d) 32/45.

Sai lầm thường gặp. Ở câu d), quy đồng thẳng

\frac{20}{18}

và

\frac{2}{5}

với mẫu số chung

18 \times 5 = 90

rồi quên rút gọn kết quả cuối, để đáp số là

\frac{64}{90}

chưa tối giản. Phải rút gọn tiếp cho 2 để được

\frac{32}{45}

mới là đáp số đúng chuẩn.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi câu d) thành

\frac{20}{18} - \frac{2}{9}

(mẫu số 9 là ước của mẫu số 18 sau khi rút gọn), mẫu số chung nhỏ nhất khi đó là bao nhiêu?

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 21— Xác định phép tính (cộng hay trừ) qua kết quả cho sẵn

Luyện tập 2 (trang 21). Chọn dấu “+”, dấu “–” thích hợp thay cho dấu “?”.
a)

\frac{1}{20}

\frac{2}{3} = \frac{43}{60}

\frac{7}{11}

\frac{5}{8} = \frac{1}{88}

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi cộng (hoặc trừ) hai phân số đã quy đồng mẫu số.
Tổng của hai phân số dương luôn lớn hơn mỗi phân số đã cho; hiệu của hai phân số dương luôn bé hơn phân số bị trừ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn kết quả, việc cần làm là tìm đúng dấu phép tính (cộng hay trừ) khiến hai phân số đầu cho ra đúng kết quả đó. Dấu hiệu để đoán nhanh là so sánh ĐỘ LỚN của kết quả với hai phân số đã cho: nếu kết quả lớn hơn cả hai phân số thì chắc chắn là phép cộng, còn nếu kết quả bé hơn nhiều so với cả hai phân số thì phải là phép trừ. Bẫy của đề là vội thử cộng cả hai câu vì thấy dấu “?” giống nhau, trong khi mỗi câu có thể mang dấu khác nhau.

1Cách 1. Tính thử cả phép cộng và phép trừ rồi so khớp với kết quả cho sẵn

Định hướng. Tính cả hai phép tính “cộng” và “trừ” của cặp phân số đã cho, phép nào ra đúng kết quả trong đề thì đó là dấu cần điền.

a) Quy đồng:

\frac{1}{20} = \frac{3}{60}

;

\frac{2}{3} = \frac{40}{60}

Thử cộng:

\frac{3}{60} + \frac{40}{60} = \frac{43}{60}

, đúng bằng kết quả đề cho

b) Quy đồng:

\frac{7}{11} = \frac{56}{88}

;

\frac{5}{8} = \frac{55}{88}

Thử trừ:

\frac{56}{88} - \frac{55}{88} = \frac{1}{88}

, đúng bằng kết quả đề cho

Vậy a) điền dấu “+”; b) điền dấu “–”.

2Cách 2. Tính ngược từ kết quả cho sẵn

Định hướng. Lấy kết quả đã cho trừ đi một trong hai phân số đầu; nếu ra đúng phân số còn lại thì dấu cần điền là “+”, còn nếu lấy kết quả cộng với một phân số đầu mà ra đúng phân số còn lại thì dấu cần điền là “–”.

a) Lấy kết quả trừ đi

\frac{1}{20}

\frac{43}{60} - \frac{3}{60} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}

, đúng bằng phân số còn lại nên đây là phép cộng

b) Lấy kết quả cộng với

\frac{5}{8}

\frac{1}{88} + \frac{55}{88} = \frac{56}{88} = \frac{7}{11}

, đúng bằng phân số còn lại nên đây là phép trừ (lấy

\frac{7}{11}

trừ

\frac{5}{8}

)

Vậy tính ngược cũng cho kết quả như Cách 1: a) dấu “+”; b) dấu “–”.

3Cách 3. Ước lượng độ lớn của kết quả để loại trừ

Định hướng. So sánh kết quả cho sẵn với từng phân số đã cho: kết quả của phép cộng phải lớn hơn cả hai phân số, còn kết quả của phép trừ phải bé hơn phân số bị trừ. Nhìn vào độ lớn là loại được ngay một trong hai dấu mà không cần tính chi tiết.

\frac{43}{60}

lớn hơn

\frac{2}{3}

(vì

\frac{2}{3} = \frac{40}{60}

) và lớn hơn

\frac{1}{20}

, nếu là phép trừ

\frac{1}{20} - \frac{2}{3}

thì kết quả phải âm, không thể bằng

\frac{43}{60}

dương — loại dấu “–”, chỉ còn dấu “+”

b)

\frac{7}{11}

và

\frac{5}{8}

khá gần nhau (đều xấp xỉ 0,6 đến 0,7), nếu cộng lại sẽ ra một số gần bằng 1, lớn hơn nhiều so với

\frac{1}{88}

rất bé — loại dấu “+”, chỉ còn dấu “–”

Vậy chỉ cần so sánh độ lớn cũng suy ra đúng: a) dấu “+”; b) dấu “–”.

Nhận xét. Cách 3 giúp đoán nhânh dấu cần điền trước khi tính, rất hữu ích để kiểm tra lại xem Cách 1 có tính nhầm dấu hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 3 để đoán dấu trước cho nhanh, sau đó dùng Cách 1 tính lại để chắc chắn không nhầm số khi quy đồng.

Đáp số. a) Dấu “+”. b) Dấu “–”.

Sai lầm thường gặp. Thấy câu b) có

\frac{7}{11}

đứng trước

\frac{5}{8}

nên nghĩ đây phải là phép cộng cho “tự nhiên”, trong khi kết quả

\frac{1}{88}

rất bé so với cả hai phân số — dấu hiệu rõ ràng của phép trừ hai số gần bằng nhau, không phải phép cộng.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi kết quả của câu a) thành

\frac{37}{60}

, dấu cần điền vào chỗ “?” sẽ là dấu gì?

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 3★★Trang 22— Cộng, trừ một số tự nhiên với một phân số

Luyện tập 3 (trang 22). Tính.
a)

7 + \frac{1}{5}

\frac{14}{5} + 1

3 - \frac{11}{8}

\frac{31}{10} - 2

Kiến thức cần nhớ

Một số tự nhiên $n$ bất kì có thể viết thành phân số $\frac{n}{1}$ , hoặc thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số kia.
Muốn cộng (hoặc trừ) một số tự nhiên với một phân số, ta đổi số tự nhiên thành phân số có cùng mẫu số với phân số đã cho rồi cộng (hoặc trừ) như hai phân số cùng mẫu số.
Một phân số có tử số lớn hơn mẫu số có thể tách thành tổng của một số tự nhiên và một phân số bé hơn 1 (hỗn số).

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phép tính đều có một số tự nhiên đứng cùng một phân số, khác với các bài trước là cả hai số hạng đều là phân số. Số tự nhiên có thể coi là phân số có mẫu số bằng 1, hoặc đổi thành phân số có cùng mẫu số với phân số kia rồi cộng, trừ như bình thường. Bẫy của đề ở câu c) và d): phải nhận ra

3

và

2

là số tự nhiên nguyên vẹn, không được trừ nhầm vào tử số của phân số kia.

1Cách 1. Đổi số tự nhiên thành phân số có cùng mẫu số rồi cộng, trừ tử số

Định hướng. Viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số đã cho (nhân số tự nhiên với mẫu số đó), rồi cộng hoặc trừ hai phân số cùng mẫu số như bình thường.

7 = \frac{7 \times 5}{5} = \frac{35}{5}

7 + \frac{1}{5} = \frac{35}{5} + \frac{1}{5} = \frac{36}{5}

1 = \frac{5}{5}

\frac{14}{5} + 1 = \frac{14}{5} + \frac{5}{5} = \frac{19}{5}

3 = \frac{3 \times 8}{8} = \frac{24}{8}

3 - \frac{11}{8} = \frac{24}{8} - \frac{11}{8} = \frac{13}{8}

2 = \frac{2 \times 10}{10} = \frac{20}{10}

\frac{31}{10} - 2 = \frac{31}{10} - \frac{20}{10} = \frac{11}{10}

Vậy a) $\frac{36}{5}$ ; b) $\frac{19}{5}$ ; c) $\frac{13}{8}$ ; d) $\frac{11}{10}$ .

2Cách 2. Tách phân số thành hỗn số rồi cộng, trừ riêng phần nguyên và phần phân số

Định hướng. Nếu phân số trong bài lớn hơn 1, tách phân số đó thành phần số tự nhiên và phần phân số bé hơn 1, rồi cộng (hoặc trừ) riêng phần số tự nhiên với số tự nhiên đã cho, giữ nguyên hoặc xử lí riêng phần phân số.

\frac{1}{5}

đã bé hơn 1, cộng thẳng phần nguyên:

7 + \frac{1}{5} = \frac{36}{5}

(tức

7 \frac{1}{5}

)
b)

\frac{14}{5} = 2 \frac{4}{5}

: cộng phần nguyên

2 + 1 = 3

, giữ phần phân số

\frac{4}{5}

, được

3 \frac{4}{5} = \frac{19}{5}

\frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8}

: lấy phần nguyên

3 - 1 = 2

, rồi trừ tiếp phần phân số:

2 - \frac{3}{8} = \frac{16}{8} - \frac{3}{8} = \frac{13}{8}

\frac{31}{10} = 3 \frac{1}{10}

: lấy phần nguyên

3 - 2 = 1

, giữ phần phân số

\frac{1}{10}

, được

1 \frac{1}{10} = \frac{11}{10}

Vậy tách hỗn số cũng ra đúng kết quả như Cách 1: a) $\frac{36}{5}$ ; b) $\frac{19}{5}$ ; c) $\frac{13}{8}$ ; d) $\frac{11}{10}$ .

Nhận xét. Cách 2 gọn hơn hẳn ở câu c), d) vì tránh nhân số tự nhiên với mẫu số lớn, nhưng phải cẩn thận khi trừ phần nguyên nếu phần phân số bị trừ lớn hơn phần phân số bị trừ đi.

3Cách 3. Đếm bước nhảy trên tia số

Định hướng. Coi phép cộng (trừ) số tự nhiên với phân số là các bước nhảy trên tia số: nhảy đúng số tự nhiên bước dài 1 đơn vị, rồi nhảy thêm (hoặc lùi lại) một bước bằng đúng phân số đã cho.

a) Từ 0 nhảy 7 bước dài 1 đơn vị đến vị trí 7, nhảy thêm

\frac{1}{5}

đơn vị đến vị trí

7 \frac{1}{5} = \frac{36}{5}

b) Từ 0 nhảy đến

\frac{14}{5}

(tức

2 \frac{4}{5}

), nhảy thêm 1 bước dài 1 đơn vị đến

3 \frac{4}{5} = \frac{19}{5}

c) Từ vị trí 3 lùi lại

\frac{11}{8}

đơn vị (tức lùi

1 \frac{3}{8}

đơn vị) đến vị trí

1 \frac{5}{8}

, mà

1 \frac{5}{8} = \frac{13}{8}

d) Từ vị trí

\frac{31}{10}

(tức

3 \frac{1}{10}

) lùi lại 2 bước dài 1 đơn vị đến vị trí

1 \frac{1}{10} = \frac{11}{10}

Vậy đếm bước nhảy trên tia số cũng cho đúng bốn kết quả như hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: tách hỗn số rồi tính riêng phần nguyên và phần phân số, đặc biệt gọn cho câu c), d) vì không phải nhân số tự nhiên với mẫu số lớn.

Đáp số. a) 36/5. b) 19/5. c) 13/8. d) 11/10.

Sai lầm thường gặp. Ở câu d), lấy nhầm mẫu số trừ cho 2 thay vì đổi 2 thành phân số

\frac{20}{10}

rồi trừ tử số, ra kết quả sai

\frac{31}{8}

. Phải nhớ số tự nhiên 2 chỉ được đổi thành

\frac{20}{10}

(nhân với mẫu số 10) rồi trừ đúng tử số với tử số, giữ nguyên mẫu số 10.

🚀 Mở rộng. Nếu thay số 7 ở câu a) bằng một số tự nhiên

n

bất kì, kết quả

n + \frac{1}{5}

viết dưới dạng phân số sẽ có tử số bằng bao nhiêu?

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 4★★★Trang 22— Vận dụng cộng, trừ phân số khác mẫu số vào chia đều đồ vật

Luyện tập 4 (trang 22). Để chia đều 5 chiếc bánh cho 6 người, hai bạn Nam và Rô-bốt đã đề xuất cách làm như hình dưới đây (phần bánh của mỗi người thể hiện bằng các phần tô màu đỏ).
a) Em hãy mô tả cách chia bánh của mỗi bạn.
b) Em hãy giải thích vì sao với cách chia bánh của Rô-bốt thì mỗi bạn được

\frac{5}{6}

cái bánh.

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi cộng hai phân số đã quy đồng mẫu số.
Chia đều $a$ đồ vật giống nhau cho $b$ người thì mỗi người được $\frac{a}{b}$ đồ vật (phân số là thương của một phép chia).
Có thể chia cùng một số bánh theo nhiều cách cắt khác nhau, miễn phần mỗi người nhận được là bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai hình vẽ minh hoạ hai cách chia khác nhau cùng một số lượng bánh cho cùng một số người, và hỏi vì sao mỗi người trong cách chia của Rô-bốt lại được đúng

\frac{5}{6}

cái bánh. Nhìn vào hình, cách của Rô-bốt tách 5 cái bánh thành hai nhóm cắt khác nhau (nhóm cắt đôi và nhóm cắt ba) nên phần của một người gồm hai phân số khác mẫu số cộng lại — đúng trọng tâm bài học. Bẫy của đề là chỉ nhìn hình rồi đoán

\frac{5}{6}

mà không giải thích được bằng phép cộng phân số cụ thể.

1Cách 1. Mô tả và tính theo cách chia của Nam (cắt mỗi bánh thành 6 phần)

Định hướng. Nhìn vào nhóm hình bên trái: mỗi trong 5 cái bánh được cắt thành 6 phần bằng nhau, mỗi người lấy đúng 1 phần từ mỗi cái bánh — cộng 5 phân số cùng mẫu số $\frac{1}{6}$ sẽ ra phần bánh của một người.

a) Cách chia của Nam: cắt mỗi cái trong 5 cái bánh thành 6 phần bằng nhau, mỗi người lấy 1 phần từ mỗi cái bánh, tức lấy đủ 5 phần (mỗi phần là

\frac{1}{6}

cái bánh)

b) Tính phần bánh của một người theo cách của Nam:

\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

(cái bánh)

Vậy theo cách chia của Nam, mỗi người cũng nhận được $\frac{5}{6}$ cái bánh, bằng đúng phần của cách chia của Rô-bốt.

2Cách 2. Mô tả và tính theo cách chia của Rô-bốt (cắt đôi và cắt ba)

Định hướng. Nhìn vào nhóm hình bên phải: Rô-bốt cắt 3 cái bánh thành 2 phần bằng nhau (mỗi phần $\frac{1}{2}$ cái bánh) và cắt 2 cái bánh còn lại thành 3 phần bằng nhau (mỗi phần $\frac{1}{3}$ cái bánh); mỗi người nhận đúng 1 phần từ nhóm cắt đôi và 1 phần từ nhóm cắt ba, rồi cộng hai phân số khác mẫu số này lại.

a) Cách chia của Rô-bốt: cắt 3 cái bánh thành 2 phần bằng nhau, đủ

3 \times 2 = 6

nửa bánh chia cho 6 người (mỗi người 1 nửa); cắt 2 cái bánh còn lại thành 3 phần bằng nhau, đủ

2 \times 3 = 6

phần ba bánh chia cho 6 người (mỗi người 1 phần ba)

b) Mỗi người nhận

\frac{1}{2}

cái bánh (từ nhóm cắt đôi) và

\frac{1}{3}

cái bánh (từ nhóm cắt ba); quy đồng mẫu số:

\frac{1}{2} = \frac{3}{6}

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

Số bánh mỗi người nhận được là:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

(cái bánh)

Vậy mỗi người được $\frac{5}{6}$ cái bánh vì $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ , đúng như đề đã nêu.

3Cách 3. Lấy tổng số bánh chia cho tổng số người (phân số là thương của phép chia)

Định hướng. Không cần nhìn cách cắt cụ thể trong hình, chỉ cần dùng kiến thức phân số là thương của một phép chia: chia đều 5 cái bánh cho 6 người thì mỗi người nhận được $5 : 6$ cái bánh, viết dưới dạng phân số là $\frac{5}{6}$ .

Tổng số bánh là 5 cái, tổng số người là 6 người
Mỗi người được số bánh là:

5 : 6 = \frac{5}{6}

(cái bánh)

Vậy dù chia theo cách của Nam hay cách của Rô-bốt, mỗi người vẫn nhận đúng $\frac{5}{6}$ cái bánh, khớp với cả Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Ba cách tuy xuất phát khác nhau (đếm phần cùng mẫu số, cộng hai phân số khác mẫu số, hoặc dùng phép chia) nhưng đều cho cùng một đáp số, vì tổng số bánh mỗi người nhận được không phụ thuộc vào việc bánh được cắt theo kiểu nào, miễn chia đều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2 để giải thích đúng trọng tâm câu hỏi (cách chia của Rô-bốt), vì đây là cách duy nhất trực tiếp dùng phép cộng hai phân số khác mẫu số vừa học trong bài; Cách 3 nên dùng thêm để kiểm tra lại đáp số cho nhanh.

Đáp số. Mỗi người nhận được 5/6 cái bánh theo cả hai cách chia.

Sai lầm thường gặp. Nhìn cách chia của Rô-bốt rồi cộng nhầm mẫu số với mẫu số:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}

. Đây là lỗi cộng hai phân số khác mẫu số như cùng mẫu số; phải quy đồng về mẫu số chung 6 trước:

\frac{1}{2} = \frac{3}{6}

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

, cộng lại mới đúng

\frac{5}{6}

🚀 Mở rộng. Nếu chia đều 7 cái bánh cho 6 người theo đúng kiểu của Rô-bốt (một số bánh cắt đôi, một số bánh cắt ba), mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu cái bánh?

Mở bài này trong app ↗