Bài 6. Cộng, trừ hai phân số khác mẫu số

Định hướng. Hai phân số $\frac{1}{5}$ và $\frac{1}{2}$ có mẫu số khác nhau và không chia hết cho nhau, nên quy đồng bằng mẫu số chung là tích $5\times 2=10$, rồi cộng hoặc trừ hai phân số đã quy đồng.

Vậy a) cả hai bạn đã đổ $\frac{7}{10}$ l nước vào bình; b) Mai đổ nhiều hơn Việt $\frac{3}{10}$ l nước.

Định hướng. Vẽ một đoạn thẳng dài 1 l, chia đều thành 10 phần bằng nhau (mỗi phần là $\frac{1}{10}$ l) vì cả $\frac{1}{5}$ lẫn $\frac{1}{2}$ đều đổi được về phần mười; tô màu đúng số phần của mỗi bạn rồi đếm trực tiếp trên hình.

Vậy nhìn trên sơ đồ cũng ra đúng kết quả: a) $\frac{7}{10}$ l; b) Mai đổ nhiều hơn Việt $\frac{3}{10}$ l.

Nhận xét. Đếm trên sơ đồ cho cùng kết quả với quy đồng bằng phép tính, vì tô màu theo phần mười chính là quy đồng mẫu số bằng hình vẽ.

Định hướng. Với mỗi phép tính, lấy mẫu số chung là tích hai mẫu số đã cho, quy đồng cả hai phân số về mẫu số đó rồi cộng hoặc trừ hai tử số.

Vậy a) $\frac{16}{63}$; $\frac{113}{132}$; $\frac{113}{30}$. b) $\frac{5}{36}$; $\frac{3}{20}$; $\frac{53}{56}$.

Định hướng. Với $\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}$, tưởng tượng một hình chữ nhật chia thành $b\times d$ ô bằng nhau: tô $a\times d$ ô cho phân số thứ nhất, $b\times c$ ô cho phân số thứ hai, rồi cộng hoặc trừ số ô đã tô trên tổng số ô.

Vậy đếm ô trên lưới cho đúng kết quả như Cách 1 ở cả sáu phép tính.

Nhận xét. Số ô tô trên lưới ($a\times d$ và $b\times c$) chính là hai tử số sau khi quy đồng, và tổng số ô ($b\times d$) chính là mẫu số chung — hai cách chỉ khác nhau ở việc hình dung bằng lưới ô vuông hay tính bằng phép nhân chéo.

Định hướng. Đề hỏi “cả hai vòi” nên lấy phần bể vòi thứ nhất cộng với phần bể vòi thứ hai; hai mẫu số 2 và 5 không chia hết cho nhau nên quy đồng bằng tích $2\times 5=10$.

Vậy cả hai vòi chảy được $\frac{9}{10}$ bể nước.

Định hướng. Vẽ một đoạn thẳng biểu diễn cả bể nước, chia đều thành 10 phần bằng nhau (mỗi phần là $\frac{1}{10}$ bể) vì cả $\frac{1}{2}$ lẫn $\frac{2}{5}$ đều đổi được về phần mười; tô phần của vòi thứ nhất rồi tô tiếp phần của vòi thứ hai, sau đó đếm tổng số phần đã tô.

Vậy đếm trên sơ đồ cũng cho cả hai vòi chảy được $\frac{9}{10}$ bể nước.

Định hướng. Thay vì cộng trực tiếp hai phần đã chảy, tìm phần bể còn trống (chưa có nước ở vòi nào) trước, rồi lấy cả bể trừ đi phần trống sẽ ra đúng phần hai vòi đã chảy — đây là cách làm ngược, tận dụng phép trừ để kiểm tra lại phép cộng.

Vậy tính phần trống rồi trừ ngược lại cũng ra $\frac{9}{10}$ bể nước, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại đáp số, vì phải tính qua một bước trung gian (phần trống) nên dài hơn Cách 1.

Định hướng. Lấy ngay mẫu số chung là tích hai mẫu số đã cho trong đề rồi quy đồng và cộng, trừ tử số — cách làm luôn đúng dù phân số có tối giản hay không.

Vậy a) $\frac{23}{22}$; b) $\frac{113}{210}$; c) $\frac{27}{20}$; d) $\frac{32}{45}$.

Định hướng. Trước khi quy đồng, kiểm tra xem phân số nào chưa tối giản thì rút gọn trước — mẫu số chung tìm được sẽ nhỏ hơn, tính nhẹ hơn hẳn ở câu d).

Vậy ba câu a, b, c ra cùng kết quả như Cách 1; riêng câu d) rút gọn trước cho mẫu số chung 45 thay vì 90, nhẹ tính hơn mà vẫn ra đúng $\frac{32}{45}$.

Nhận xét. Rút gọn trước không làm thay đổi kết quả, chỉ giúp các số trong phép tính nhỏ hơn — nên luôn kiểm tra phân số đã tối giản chưa trước khi quy đồng.

Định hướng. Với $\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}$, hình dung một lưới $b\times d$ ô bằng nhau, tô $a\times d$ ô cho phân số thứ nhất và $b\times c$ ô cho phân số thứ hai rồi cộng hoặc trừ số ô đã tô.

Vậy đếm ô trên lưới cũng cho đúng bốn kết quả như hai cách trên.

Định hướng. Tính cả hai phép tính “cộng” và “trừ” của cặp phân số đã cho, phép nào ra đúng kết quả trong đề thì đó là dấu cần điền.

Vậy a) điền dấu “+”; b) điền dấu “–”.

Định hướng. Lấy kết quả đã cho trừ đi một trong hai phân số đầu; nếu ra đúng phân số còn lại thì dấu cần điền là “+”, còn nếu lấy kết quả cộng với một phân số đầu mà ra đúng phân số còn lại thì dấu cần điền là “–”.

Vậy tính ngược cũng cho kết quả như Cách 1: a) dấu “+”; b) dấu “–”.

Định hướng. So sánh kết quả cho sẵn với từng phân số đã cho: kết quả của phép cộng phải lớn hơn cả hai phân số, còn kết quả của phép trừ phải bé hơn phân số bị trừ. Nhìn vào độ lớn là loại được ngay một trong hai dấu mà không cần tính chi tiết.

Vậy chỉ cần so sánh độ lớn cũng suy ra đúng: a) dấu “+”; b) dấu “–”.

Nhận xét. Cách 3 giúp đoán nhanh dấu cần điền trước khi tính, rất hữu ích để kiểm tra lại xem Cách 1 có tính nhầm dấu hay không.

Định hướng. Viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số đã cho (nhân số tự nhiên với mẫu số đó), rồi cộng hoặc trừ hai phân số cùng mẫu số như bình thường.

Vậy a) $\frac{36}{5}$; b) $\frac{19}{5}$; c) $\frac{13}{8}$; d) $\frac{11}{10}$.

Định hướng. Nếu phân số trong bài lớn hơn 1, tách phân số đó thành phần số tự nhiên và phần phân số bé hơn 1, rồi cộng (hoặc trừ) riêng phần số tự nhiên với số tự nhiên đã cho, giữ nguyên hoặc xử lí riêng phần phân số.

Vậy tách hỗn số cũng ra đúng kết quả như Cách 1: a) $\frac{36}{5}$; b) $\frac{19}{5}$; c) $\frac{13}{8}$; d) $\frac{11}{10}$.

Nhận xét. Cách 2 gọn hơn hẳn ở câu c), d) vì tránh nhân số tự nhiên với mẫu số lớn, nhưng phải cẩn thận khi trừ phần nguyên nếu phần phân số bị trừ lớn hơn phần phân số bị trừ đi.

Định hướng. Coi phép cộng (trừ) số tự nhiên với phân số là các bước nhảy trên tia số: nhảy đúng số tự nhiên bước dài 1 đơn vị, rồi nhảy thêm (hoặc lùi lại) một bước bằng đúng phân số đã cho.

Vậy đếm bước nhảy trên tia số cũng cho đúng bốn kết quả như hai cách trên.

Định hướng. Nhìn vào nhóm hình bên trái: mỗi trong 5 cái bánh được cắt thành 6 phần bằng nhau, mỗi người lấy đúng 1 phần từ mỗi cái bánh — cộng 5 phân số cùng mẫu số $\frac{1}{6}$ sẽ ra phần bánh của một người.

Vậy theo cách chia của Nam, mỗi người cũng nhận được $\frac{5}{6}$ cái bánh, bằng đúng phần của cách chia của Rô-bốt.

Định hướng. Nhìn vào nhóm hình bên phải: Rô-bốt cắt 3 cái bánh thành 2 phần bằng nhau (mỗi phần $\frac{1}{2}$ cái bánh) và cắt 2 cái bánh còn lại thành 3 phần bằng nhau (mỗi phần $\frac{1}{3}$ cái bánh); mỗi người nhận đúng 1 phần từ nhóm cắt đôi và 1 phần từ nhóm cắt ba, rồi cộng hai phân số khác mẫu số này lại.

Vậy mỗi người được $\frac{5}{6}$ cái bánh vì $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$, đúng như đề đã nêu.

Định hướng. Không cần nhìn cách cắt cụ thể trong hình, chỉ cần dùng kiến thức phân số là thương của một phép chia: chia đều 5 cái bánh cho 6 người thì mỗi người nhận được $5:6$ cái bánh, viết dưới dạng phân số là $\frac{5}{6}$.

Vậy dù chia theo cách của Nam hay cách của Rô-bốt, mỗi người vẫn nhận đúng $\frac{5}{6}$ cái bánh, khớp với cả Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Ba cách tuy xuất phát khác nhau (đếm phần cùng mẫu số, cộng hai phân số khác mẫu số, hoặc dùng phép chia) nhưng đều cho cùng một đáp số, vì tổng số bánh mỗi người nhận được không phụ thuộc vào việc bánh được cắt theo kiểu nào, miễn chia đều.