Bài 1. Tập hợp

Định hướng. Lớp có bao nhiêu tổ thì tập $B$ có bấy nhiêu phần tử, nên viết hẳn danh sách tổ trưởng ra là thấy ngay ai ở trong, ai ở ngoài.

Vậy An là một bạn thuộc tập $B$, còn Hoa là một bạn không thuộc tập $B$.

Định hướng. Dấu hiệu để được vào tập $B$ chỉ có một: bạn đó phải là tổ trưởng — vậy chỉ cần soi chức vụ của từng bạn, không cần danh sách đầy đủ.

Vậy An $\in B$ và Hoa $\notin B$.

Nhận xét. Cách 1 phải biết đủ cả lớp; Cách 2 chỉ cần biết chức vụ của đúng hai bạn được hỏi nên nhanh hơn khi lớp đông.

Định hướng. Từ NHATRANG viết ra thì có 8 chữ, nhưng số chữ cái KHÁC NHAU mới là số phần tử của $L$ — chỗ chênh lệch đó chính là chỗ bạn Nam sai.

Vậy bạn Nam viết SAI, vì đã liệt kê chữ A và chữ N tới hai lần; viết đúng là $L=\{\mathrm{N};\mathrm{H};\mathrm{A};\mathrm{T};\mathrm{R};\mathrm{G}\}$.

Định hướng. Đi dọc từ NHATRANG từ trái sang phải, chữ nào chưa có trong ngoặc thì nhận, chữ nào đã có thì bỏ — cuối hàng là được tập hợp cần tìm.

Vậy bạn Nam viết SAI; tập hợp $L$ chỉ có 6 phần tử.

Nhận xét. Hai cách cho cùng một kết quả. Cách 1 nhanh khi từ ngắn, Cách 2 an toàn hơn với từ dài vì không phải nhớ chữ nào đã lặp.

Định hướng. Hai tập chỉ khác nhau đúng một chỗ: ${\mathbb{N}}^{\ast }$ đã bỏ số $0$ ra ngoài, nên tập $B$ chính là tập $A$ thiếu số $0$.

Vậy $A=\{0;1;2;3;4\}$ và $B=\{1;2;3;4\}$.

Định hướng. Điều kiện $x<5$ cắt tia số ngay tại vạch $5$; mọi số tự nhiên đứng bên trái vạch đó đều được nhận.

Vậy $A=\{0;1;2;3;4\}$ và $B=\{1;2;3;4\}$.

Nhận xét. Tia số cho thấy ngay hai tập chỉ lệch nhau một điểm, nên khi đề đổi $x<5$ thành $x<8$ ta chỉ việc kéo dài thêm.

Định hướng. Giữa $6$ và $10$ chỉ còn đúng ba số tự nhiên, viết hẳn chúng ra là trả lời được cả hai ý cùng lúc.

Vậy a) $5\notin M$ ; $9\in M$ ; b) $M=\{7;8;9\}$ hoặc $M=\{x\in \mathbb{N}\mid 6<x<10\}$.

Định hướng. Muốn biết một số có thuộc $M$ hay không thì chỉ cần xem nó có lọt vào khoảng giữa $6$ và $10$ hay không.

Vậy a) $5\notin M$ ; $9\in M$ ; b) $M=\{7;8;9\}$ hoặc $M=\{x\in \mathbb{N}\mid 6<x<10\}$.

Nhận xét. Cách 1 tiện khi tập ít phần tử; Cách 2 vẫn dùng được khi tập rất nhiều phần tử, chẳng hạn “các số tự nhiên lớn hơn $6$ và nhỏ hơn $1000$”.

Định hướng. Bốn phần tử được hỏi đều nằm sẵn trong hai dãy đã cho, nên chỉ cần dò tên từng phần tử trong mỗi dãy là viết được ngay kí hiệu.

Vậy $a\in A,a\notin B$ ; $b\in A,b\in B$ ; $x\in A,x\notin B$ ; $u\notin A,u\in B$.

Định hướng. Xếp các phần tử vào hai vòng chồng nhau: phần tử nào có mặt ở cả hai dãy thì đặt vào chỗ chồng lên nhau, khi đó nhìn vị trí là đọc được kí hiệu.

Vậy $a\in A,a\notin B$ ; $b\in A,b\in B$ ; $x\in A,x\notin B$ ; $u\notin A,u\in B$.

Nhận xét. Sơ đồ Ven tốn công vẽ nhưng trả lời được cho MỌI phần tử chỉ bằng một hình, còn cách dò tên phải làm lại từ đầu với mỗi phần tử mới.

Định hướng. Dấu hiệu vào tập $U$ là chia hết cho $3$, nên cứ đem từng số chia cho $3$ rồi nhìn số dư.

Vậy $3\in U$ , $6\in U$ , $0\in U$ và $5\notin U$ , $7\notin U$.

Định hướng. Các số chia hết cho $3$ xếp thành một dãy cách đều nhau $3$ đơn vị, viết ra vài số đầu là đủ để soi năm số của đề bài.

Vậy $3\in U$ , $6\in U$ , $0\in U$ và $5\notin U$ , $7\notin U$.

Nhận xét. Cách 1 dùng được với số lớn bất kì; Cách 2 nhanh hơn khi các số cần kiểm tra đều nhỏ, và cho thấy luôn hình ảnh dãy bội của $3$ trên tia số.

Định hướng. Cả ba ý đều là bài đổi lời văn sang danh sách phần tử: ý a) đếm trên tia số, ý b) tra số ngày của 12 tháng, ý c) tách từng chữ cái của cụm từ.

Vậy $K=\{0;1;2;3;4;5;6\}$ ; $D=$ {tháng Tư; tháng Sáu; tháng Chín; tháng Mười Một} ; $M=$ {Đ; I; Ê; N; B; P; H; U}.

Định hướng. Thay vì tìm thẳng phần tử được nhận, ta viết ra danh sách đầy đủ rồi gạch đi những gì không thoả mãn — cách này khó bỏ sót hơn.

Vậy $K=\{0;1;2;3;4;5;6\}$ ; $D=$ {tháng Tư; tháng Sáu; tháng Chín; tháng Mười Một} ; $M=$ {Đ; I; Ê; N; B; P; H; U}.

Nhận xét. Cách 2 còn cho biết luôn SỐ PHẦN TỬ của mỗi tập ($7$, $4$, $8$), rất tiện để tự kiểm tra xem mình có bỏ sót hay kể thừa phần tử nào không.

Định hướng. Đề đã cho sẵn hai dấu hiệu: phần tử là số tự nhiên, và phần tử nhỏ hơn $10$ — chỉ việc chép hai dấu hiệu đó vào khuôn.

Vậy $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x<10\}$.

Định hướng. Trong các số tự nhiên nhỏ hơn $10$, số lớn nhất là $9$; vậy “nhỏ hơn $10$” và “nhỏ hơn hoặc bằng $9$” mô tả cùng một tập.

Vậy $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\le 9\}$, cũng chính là tập ở Cách 1.

Nhận xét. Hai dấu hiệu $x<10$ và $x\le 9$ khác nhau về chữ nhưng cho cùng một tập hợp; điều này chỉ đúng vì $x$ là số tự nhiên — nếu $x$ được lấy cả phân số thì hai tập sẽ khác nhau.

Định hướng. Đề đã kể tên đủ $8$ hành tinh, việc còn lại chỉ là xếp chúng vào dấu ngoặc nhọn và tuyệt đối không kéo Mặt Trời vào cùng.

Vậy $S$ = {Sao Thuỷ; Sao Kim; Trái Đất; Sao Hoả; Sao Mộc; Sao Thổ; Sao Thiên Vương; Sao Hải Vương}.

Định hướng. Tám hành tinh này có chung đúng một dấu hiệu — cùng quay quanh Mặt Trời — nên gói cả tám vào một câu mô tả là đủ.

Vậy $S$ = {$x$ | $x$ là hành tinh của Hệ Mặt Trời}.

Nhận xét. Cách 1 cho thấy rõ từng phần tử và đếm được ngay số phần tử; Cách 2 ngắn gọn và vẫn đúng nếu mai này khoa học công nhận thêm một hành tinh mới.