Bài 10. Số nguyên tố

Định hướng. Ước của một số chỉ có thể là những số không vượt quá số đó, nên ta thử chia số đã cho lần lượt cho $1;2;3;\dots$ và ghi lại các phép chia hết.

Vậy bảng ước và số ước của các số từ $2$ đến $9$ như trong Bảng 2.1 ở hình trên (kèm hai số $10;11$ SGK đã cho sẵn).

Định hướng. Mỗi ước luôn đi kèm một ước "bạn" sao cho tích của hai ước đó bằng chính số đã cho, nên chỉ cần tìm các cặp thừa số của số đó.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn với số lớn vì không phải thử từng số một; Cách 1 chắc chắn không bỏ sót ước nào.

Định hướng. Bảng 2.1 đã cho biết chính xác số ước của từng số, nên chỉ cần đọc cột "Số ước": đúng $2$ ước xếp vào nhóm $A$, nhiều hơn $2$ ước xếp vào nhóm $B$.

Vậy nhóm $A=\{2;3;5;7;11\}$, nhóm $B=\{4;6;8;9;10\}$.

Định hướng. Một số có nhiều hơn $2$ ước khi tìm được một ước khác $1$ và chính nó bằng dấu hiệu chia hết, không cần liệt kê đủ mọi ước.

Vậy nhóm $A=\{2;3;5;7;11\}$, nhóm $B=\{4;6;8;9;10\}$.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; Cách 2 gợi mở đúng định nghĩa số nguyên tố và hợp số sẽ học ngay sau đây.

Định hướng. Số $1$ chỉ có thể chia hết cho chính nó vì không có số tự nhiên nào khác nhỏ hơn $1$; còn số $0$ thì đem chia cho số nào (khác $0$) cũng được thương đúng bằng $0$, không bao giờ dư.

Vậy a) số $1$ chỉ có đúng $1$ ước là chính nó; b) $0$ chia hết cho cả $2;5;7;2017;2018$, tức là $0$ chia hết cho MỌI số tự nhiên khác $0$, nên $0$ có vô số ước.

Định hướng. Theo định nghĩa, $a$ chia hết cho $b$ khi viết được $a=b\times q$; với $a=0$ ta luôn chọn được $q=0$ cho mọi $b$, nên phép kiểm tra đúng với bất kì $b$ nào.

Vậy a) số $1$ chỉ có $1$ ước; b) $0$ chia hết cho mọi số tự nhiên khác $0$ nên số ước của $0$ là vô số.

Nhận xét. Chính vì $0$ và $1$ là hai trường hợp đặc biệt (không đúng 2 ước, cũng không nhiều hơn 2 ước theo nghĩa thông thường) nên SGK quy ước riêng: $0$ và $1$ không là số nguyên tố và cũng không là hợp số.

Định hướng. Định nghĩa vừa học nói thẳng: đúng $2$ ước là số nguyên tố, nhiều hơn $2$ ước là hợp số — chỉ cần lấy lại bảng số ước đã lập.

Vậy nhà "Số nguyên tố" gồm $2;3;5;7;11$; nhà "Hợp số" gồm $4;6;8;9;10$.

Định hướng. Không cần liệt kê hết ước, chỉ cần tìm được một ước khác $1$ và chính nó là đủ kết luận hợp số; nếu không tìm được thì đó là số nguyên tố.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: nhà "Số nguyên tố" gồm $2;3;5;7;11$; nhà "Hợp số" gồm $4;6;8;9;10$.

Nhận xét. Cách 2 tiện hơn khi số đã cho rất lớn, vì không phải liệt kê toàn bộ ước.

Định hướng. Chữ số tận cùng của $1930$ là $0$ nên lộ ngay một ước khác $1$ và chính nó; với $23$ ta thử lần lượt các số nguyên tố nhỏ để chắc chắn không bỏ sót ước nào.

Vậy a) $1930$ là hợp số vì ngoài $1$ và $1930$ nó còn có ước $2$; b) $23$ là số nguyên tố vì chỉ có hai ước là $1$ và $23$.

Định hướng. Muốn chắc một số nhỏ là số nguyên tố, chỉ cần thử các số nguyên tố mà bình phương không vượt quá số đó, vì nếu có ước lớn hơn thì luôn có ước nhỏ đi kèm.

Vậy a) $1930$ là hợp số; b) $23$ là số nguyên tố.

Nhận xét. Với số $23$, chỉ cần thử đến $3$ là đủ (không cần thử tới $22$) vì $4^2=16<23<25=5^2$.

Định hướng. Xuất phát từ ô của Hà, mỗi bước chỉ xét các ô chung cạnh, kiểm tra số đó có là số nguyên tố hay không rồi mới bước tiếp, đi dần về phía phòng chiếu phim.

Vậy đường đi hợp lệ là Hà $\to 5\to 19\to 13\to 11\to 23\to 29\to 31\to 41\to 17\to$ phòng chiếu phim.

Định hướng. Thay vì dò mù từng bước, ta kiểm tra tính nguyên tố của TẤT CẢ các ô trong bảng trước, tô riêng các ô số nguyên tố, sau đó chỉ cần nhìn hình để nối một đường liên tục nối các ô đã tô.

Vậy đường đi hợp lệ là Hà $\to 5\to 19\to 13\to 11\to 23\to 29\to 31\to 41\to 17\to$ phòng chiếu phim.

Nhận xét. Cách 2 an toàn hơn vì nhìn được toàn cảnh bảng số nguyên tố trước khi chọn đường, tránh đi lạc vào ô hợp số rồi phải quay lại.

Định hướng. Một phép phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ đúng khi TẤT CẢ thừa số đều là số nguyên tố, nên ta soát lại từng thừa số $3;4;5$ mà Việt đã viết.

Vậy kết quả của Việt SAI vì $4$ không phải số nguyên tố; kết quả đúng là $60=2^2\cdot 3\cdot 5$.

Định hướng. Cách chắc chắn nhất để kiểm tra là quên hẳn kết quả của Việt, tự phân tích lại $60$ từ đầu theo sơ đồ cột rồi so sánh hai kết quả.

Vậy kết quả tự phân tích trùng với Cách 1: $60=2^2\cdot 3\cdot 5$, nên khẳng định lại kết quả của Việt là SAI.

Nhận xét. Sai lầm của Việt là dừng lại khi thấy tích đã bằng $60$ mà quên kiểm tra từng thừa số có phải số nguyên tố hay không.

Định hướng. SGK đã nêu rõ quy ước: dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là chính nó, nên chỉ cần đối chiếu $7$ với quy ước này.

Vậy bạn thứ hai ("Phân tích ra thừa số nguyên tố của số $7$ là $7$") nói ĐÚNG; bạn thứ nhất nói SAI.

Định hướng. Phân tích ra thừa số nguyên tố là viết một số thành tích các thừa số nguyên tố; với $7$ ta thử tách thành tích của hai số nhỏ hơn để kiểm chứng không tách được.

Vậy bạn thứ hai nói ĐÚNG: phân tích ra thừa số nguyên tố của $7$ là $7$.

Nhận xét. Đây là điểm khác biệt so với hợp số: hợp số luôn tách được thành tích của ít nhất hai thừa số nguyên tố, còn số nguyên tố thì "tích" đó chỉ gồm chính nó.

Định hướng. Nút gốc $18$ đã tách thành $3$ và một nhánh chưa biết; nhánh đó lại tách tiếp thành $2$ và một ô trống, nên chỉ việc chia ngược từ trên xuống để tìm số thiếu.

Vậy số còn thiếu ở nhánh giữa là $6$, số còn thiếu ở nhánh cuối là $3$; $18=3\times 2\times 3=2\cdot 3^2$.

Định hướng. Phân tích độc lập số $18$ theo sơ đồ cột (chia liên tiếp cho ước nguyên tố nhỏ nhất) sẽ cho một bộ thừa số nguyên tố để đối chiếu ngược lại với sơ đồ cây.

Vậy số còn thiếu là $6$ và $3$; $18=2\cdot 3^2$.

Nhận xét. Dù phân tích theo cách nào (sơ đồ cây bắt đầu từ $3$, hay sơ đồ cột bắt đầu từ $2$), kết quả cuối cùng luôn là $18=2\cdot 3^2$.

Định hướng. Mỗi dòng trong sơ đồ cột là kết quả của dòng trên chia cho ước nguyên tố bên phải, nên cứ thực hiện lần lượt phép chia là điền được hết số thiếu.

Vậy số còn thiếu là $15$ (sau khi chia $30$ cho $2$) và $5$ (ước nguyên tố cuối, đưa $5$ về $1$); $30=2\times 3\times 5$.

Định hướng. Tách $30$ thành tích hai thừa số theo một cách khác (sơ đồ cây), rồi so sánh với các số đã biết trong sơ đồ cột để suy ra số thiếu.

Vậy số còn thiếu là $15$ và $5$; kết quả thống nhất $30=2\times 3\times 5$.

Nhận xét. Dù xuất phát từ hướng nào, kết quả phân tích ra thừa số nguyên tố của cùng một số luôn duy nhất (không kể thứ tự viết).

Định hướng. Ở mỗi bước, ta tìm ước nguyên tố nhỏ nhất của số đang xét rồi chia, lặp lại đến khi thương bằng $1$.

Vậy $36=2^2\cdot 3^2$ và $105=3\times 5\times 7$.

Định hướng. Nhẩm nhanh một cặp thừa số quen thuộc có tích bằng số đã cho, rồi phân tích tiếp từng thừa số đến khi toàn bộ đều là số nguyên tố.

Vậy $36=2^2\cdot 3^2$ và $105=3\times 5\times 7$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn khi nhẩm được ngay một cặp thừa số quen thuộc; Cách 1 chắc chắn không bỏ sót vì đi tuần tự từng ước nguyên tố nhỏ nhất.

Định hướng. Chia $70$ và $115$ liên tiếp cho ước nguyên tố nhỏ nhất của từng thương cho đến khi về $1$.

Vậy $70=2\times 5\times 7$ và $115=5\times 23$.

Định hướng. Nhận ra ngay $70$ và $115$ đều có tận cùng đặc biệt để tách nhanh một thừa số, sau đó phân tích tiếp thừa số còn lại.

Vậy $70=2\times 5\times 7$ và $115=5\times 23$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Số tận cùng $0$ hoặc $5$ luôn gợi ý ngay thừa số $5$ (và $2$ nếu tận cùng $0$), giúp phân tích nhanh hơn.

Định hướng. Soát lại từng thừa số trong hai kết quả của Nam xem có phải số nguyên tố không, phát hiện thừa số sai rồi phân tích tiếp thừa số đó.

Vậy cả hai kết quả của Nam đều SAI; kết quả đúng là $120=2^3\cdot 3\cdot 5$ và $102=2\times 3\times 17$.

Định hướng. Bỏ qua hoàn toàn kết quả của Nam, tự phân tích lại $120$ và $102$ từ đầu để có căn cứ đối chiếu độc lập.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $120=2^3\cdot 3\cdot 5$, $102=2\times 3\times 17$; kết quả của Nam SAI.

Nhận xét. Cả hai lỗi của Nam đều giống nhau: dừng lại khi tích đủ bằng số ban đầu mà quên kiểm tra từng thừa số có phải số nguyên tố.

Định hướng. Với mỗi khẳng định, đối chiếu trực tiếp với định nghĩa số nguyên tố, hợp số, ước và bội đã học để kết luận đúng hay sai.

Vậy a) sai; b) sai; c) đúng; d) sai; e) sai.

Định hướng. Với các khẳng định có chữ "mọi", "luôn luôn", chỉ cần chỉ ra một trường hợp cụ thể không thoả mãn là bác bỏ được ngay.

Vậy a) sai; b) sai; c) đúng; d) sai; e) sai — trùng kết quả với Cách 1.

Nhận xét. Bốn khẳng định a), b), d), e) đều sai vì cùng "quên" trường hợp đặc biệt liên quan đến số nguyên tố $2$ hoặc $3$; đây là lỗi rất hay gặp.

Định hướng. Loại nhanh các số chia hết cho $2$, $3$, $5$ bằng dấu hiệu quen thuộc; số nào không bị loại thì thử chia tiếp cho $7;11;13;\dots$ đến khi thương nhỏ hơn số chia.

Vậy $89;97;541$ là số nguyên tố; $125;2013;2018$ là hợp số.

Định hướng. Sàng Ơ-ra-tô-xten cho ta bảng số nguyên tố nhỏ hơn $50$ (như hình vẽ) để tra thẳng, còn với số lớn hơn thì tiếp tục thử chia cho các số nguyên tố trong bảng.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $89;97;541$ là số nguyên tố; $125;2013;2018$ là hợp số.

Nhận xét. Bảng số nguyên tố (sàng Ơ-ra-tô-xten) chỉ liệt kê trực tiếp được số nguyên tố nhỏ hơn $50$ (hoặc $1000$ nếu tra bảng cuối sách); với số lớn hơn ta vẫn phải kết hợp phép thử chia.

Định hướng. Cả $4$ và $9$ đều không phải số nguyên tố nhưng đã là bình phương của một số nguyên tố, nên chỉ cần thay vào rồi áp dụng công thức luỹ thừa của luỹ thừa.

Vậy $A=2^8\cdot 3^{10}$.

Định hướng. Viết hẳn $4^4$ và $9^5$ thành tích lặp lại của $4$ và $9$, rồi thay mỗi $4=2\times 2$, mỗi $9=3\times 3$ để đếm trực tiếp số lượng thừa số nguyên tố.

Vậy $A=2^8\cdot 3^{10}$, trùng với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 giúp hiểu rõ VÌ SAO công thức $(a^m{)}^n=a^{mn}$ đúng: chỉ cần đếm trực tiếp tổng số lần thừa số nguyên tố xuất hiện.

Định hướng. Với sơ đồ cột, chia liên tiếp theo đúng ước nguyên tố đã cho; với sơ đồ cây, nhân các lá đã biết để suy ngược lên các nút cha còn thiếu.

Vậy a) $210=2\times 3\times 5\times 7$ (số thiếu: $105$ và $5$); b) nút gốc $=630$, nhánh giữa $=105$, nhánh sâu nhất $=35$.

Định hướng. Tính độc lập giá trị đầy đủ của mỗi sơ đồ bằng cách nhân toàn bộ các thừa số nguyên tố ở hai đầu, rồi so lại với các số đã cho sẵn để điền đúng ô còn thiếu.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $210=2\times 3\times 5\times 7$; b) gốc $=630$, các nhánh thiếu là $105$ và $35$.

Nhận xét. Ở sơ đồ cây phần b), nút gốc chính là TÍCH của mọi số nguyên tố ở các lá: $2\times 3\times 3\times 5\times 7=2\times 3^2\times 5\times 7=630$.

Định hướng. Số người mỗi nhóm chia hết $30$ học sinh nên phải là ước của $30$; sau đó loại ước $1$ (nhóm chỉ $1$ người, không đúng "nhiều hơn $1$") và loại $30$ (chỉ có đúng một nhóm, không phải "các nhóm").

Vậy mỗi nhóm có thể có $2;3;5;6;10$ hoặc $15$ người.

Định hướng. Thay vì xét số người mỗi nhóm, ta xét số NHÓM (cũng phải là ước của $30$, và từ $2$ nhóm trở lên, mỗi nhóm ít nhất $2$ người) rồi tính ngược ra số người mỗi nhóm.

Vậy mỗi nhóm có thể có $2;3;5;6;10$ hoặc $15$ người — trùng kết quả Cách 1.

Nhận xét. Số người mỗi nhóm và số nhóm luôn là một CẶP ƯỚC của $30$ nhân với nhau bằng $30$, nên hai cách nhìn (theo người/nhóm hay theo số nhóm) cho cùng một tập kết quả.

Định hướng. Số người mỗi hàng nhân với số hàng phải đúng bằng $33$, nên trước tiên phân tích $33$ ra thừa số nguyên tố để tìm hết các ước.

Vậy có $2$ cách sắp xếp: $3$ hàng (mỗi hàng $11$ người), hoặc $11$ hàng (mỗi hàng $3$ người).

Định hướng. Thử trực tiếp các cách chia $33$ thành tích của hai số tự nhiên đều lớn hơn $1$, mỗi cách chia tương ứng với một cách xếp hàng.

Vậy có đúng $2$ cách sắp xếp: $3$ hàng $\times 11$ người, hoặc $11$ hàng $\times 3$ người.

Nhận xét. Vì $33=3\times 11$ chỉ có hai thừa số nguyên tố khác nhau, số cách chia thành hai nhóm đều lớn hơn $1$ chỉ có đúng $2$, ứng với hai cách hoán đổi vai trò "số hàng" và "số người mỗi hàng".