Bài 11. Ước chung. Ước chung lớn nhất

Định hướng. Muốn tìm ước chung thì cứ liệt kê hết ước của từng số rồi soi xem số nào có mặt ở cả hai danh sách.

Vậy ƯC(24, 28) = {1; 2; 4} và ƯCLN(24, 28) = 4.

Định hướng. Mỗi ước chung của 24 và 28 chỉ có thể dựng từ những thừa số nguyên tố có mặt ở CẢ HAI số, nên phân tích 24 và 28 ra thừa số nguyên tố sẽ lộ ngay các ước chung.

Vậy ƯC(24, 28) = {1; 2; 4} và ƯCLN(24, 28) = 4.

Nhận xét. Cách 1 phải viết hết hai tập ước rồi mới so sánh; Cách 2 chỉ cần phân tích thừa số nguyên tố nên vẫn nhanh khi số đã cho rất lớn.

Định hướng. Ư(10) chỉ vỏn vẹn bốn số nên liệt kê hết rồi đối chiếu với ước của 90 là soi ra ngay ước chung lớn nhất.

Vậy ƯCLN(90, 10) = 10.

Định hướng. 90 chia hết cho 10 nên 10 đã là ước lớn nhất có thể xuất hiện trong mọi ước chung, không cần liệt kê.

Vậy ƯCLN(90, 10) = 10.

Nhận xét. Cách 2 áp dụng đúng nhận xét: nếu a chia hết cho b thì ƯCLN(a, b) = b, nên chỉ mất một phép chia, nhanh hơn hẳn Cách 1 khi số đã cho lớn.

Định hướng. Ba anh em nhận đều cả bóng xanh lẫn bóng đỏ nghĩa là số người 3 phải chia hết cả 12 lẫn 15, nên liệt kê ước chung của 12 và 15 rồi soi xem 3 có mặt hay không.

Vậy bố CÓ THỂ chia đều: mỗi bạn nhận 4 quả bóng xanh và 5 quả bóng đỏ.

Định hướng. Không cần liệt kê hết ước, chỉ cần đem 12 và 15 chia thử cho 3 người xem có dư hay không.

Vậy bố CÓ THỂ chia đều: mỗi bạn nhận 4 quả bóng xanh và 5 quả bóng đỏ.

Nhận xét. Cách 1 liệt kê đầy đủ nên còn cho biết bố CÒN CÓ cách chia khác (ví dụ chia cho 1 người); Cách 2 chỉ trả lời đúng câu hỏi với đúng 3 người nên gọn hơn.

Định hướng. Số nhóm chia được phải làm cho cả 40 nữ lẫn 36 nam cùng chia hết, nên số nhóm chính là một ước chung của 40 và 36; số nhóm nhiều nhất ứng với ước chung LỚN NHẤT.

Vậy a) có thể chia thành 1, 2 hoặc 4 nhóm; b) chia nhiều nhất được 4 nhóm.

Định hướng. Phân tích 40 và 36 ra thừa số nguyên tố sẽ tìm ngay ƯCLN, từ đó suy ra mọi ước chung đều là ước của ƯCLN đó.

Vậy a) có thể chia thành 1, 2 hoặc 4 nhóm; b) chia nhiều nhất được 4 nhóm.

Nhận xét. Hai cách cùng cho một kết quả; Cách 2 tìm ngay ƯCLN mà không cần liệt kê hết ước của cả hai số 40 và 36.

Định hướng. Đề đã phân tích sẵn 45 và 150 ra thừa số nguyên tố, chỉ còn việc chọn thừa số chung rồi lấy số mũ nhỏ nhất của từng thừa số.

Vậy ƯCLN(45, 150) = 15.

Định hướng. Kiểm tra lại kết quả bằng cách liệt kê hết ước của 45 rồi lọc ra những ước cũng chia hết 150.

Vậy ƯCLN(45, 150) = 15.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả 15, xác nhận việc chọn thừa số chung với số mũ nhỏ nhất ở Cách 1 là chính xác.

Định hướng. Phân tích 36 và 84 ra thừa số nguyên tố rồi chọn thừa số chung với số mũ nhỏ nhất là tìm được ƯCLN nhanh nhất.

Vậy ƯCLN(36, 84) = 12.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách liệt kê hết ước của 36 và 84 rồi lấy phần chung, tìm số lớn nhất trong đó.

Vậy ƯCLN(36, 84) = 12.

Nhận xét. Cách 2 phải liệt kê tới 12 ước của 84 mới lọc ra được ước chung, trong khi Cách 1 chỉ cần hai phép phân tích ra thừa số nguyên tố.

Định hướng. Số hàng dọc phải chia hết cả ba số chiến sĩ và cần lớn nhất có thể, nên đó chính là ƯCLN của 24, 28, 36; phân tích ba số này ra thừa số nguyên tố sẽ tìm ra ngay.

Vậy có thể xếp được nhiều nhất 4 hàng dọc.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách liệt kê ước của số nhỏ nhất trong ba số rồi lọc ra ước chia hết luôn hai số còn lại.

Vậy có thể xếp được nhiều nhất 4 hàng dọc.

Nhận xét. Ba số 24, 28, 36 chỉ có đúng một thừa số nguyên tố chung là 2, nên Cách 1 tính rất nhanh; Cách 2 xác nhận lại bằng danh sách ước cụ thể.

Định hướng. Mọi ước chung của 75 và 105 đều là ước của ƯCLN(75, 105) = 15, nên chỉ cần liệt kê ước của 15.

Vậy ƯC(75, 105) = {1; 3; 5; 15}.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách liệt kê ước của 75 rồi lọc ra ước nào cũng chia hết 105.

Vậy ƯC(75, 105) = {1; 3; 5; 15}.

Nhận xét. Cách 1 chỉ cần liệt kê 4 ước của 15; Cách 2 phải liệt kê hết 6 ước của 75 rồi lọc — Cách 1 luôn nhanh hơn khi đã biết sẵn ƯCLN.

Định hướng. Giá vé phải chia hết cả bốn số tiền thu theo từng ngày nên là ước chung của chúng; ứng với mỗi giá vé thoả điều kiện lớn hơn 2 nghìn đồng, số học sinh bằng tổng bốn ngày chia cho giá vé đó, chọn ra giá trị rơi đúng khoảng 20 đến 40.

Vậy a) giá vé có thể là 7 nghìn đồng hoặc 14 nghìn đồng; b) giá vé là 7 nghìn đồng và có 32 học sinh tham gia.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách liệt kê hết ước của số nhỏ nhất trong bốn số rồi lọc ra ước chia hết luôn ba số còn lại.

Vậy a) giá vé có thể là 7 nghìn đồng hoặc 14 nghìn đồng; b) giá vé là 7 nghìn đồng và có 32 học sinh tham gia.

Nhận xét. Hai cách cùng chỉ ra hai ứng viên giá vé là 7 và 14 nghìn đồng; điều kiện từ 20 đến 40 học sinh ở câu b chính là dữ kiện quyết định loại bỏ đáp án 14 để chốt đáp số duy nhất.

Định hướng. Muốn biết $\frac{16}{10}$ đã tối giản chưa thì tìm ƯCLN(16, 10); nếu khác 1 thì chia cả tử và mẫu cho đúng ƯCLN đó là được ngay phân số tối giản.

Vậy $\frac{16}{10}$ CHƯA tối giản; rút gọn về phân số tối giản là $\frac{8}{5}$.

Định hướng. Không cần tìm ngay ƯCLN, cứ thấy tử và mẫu còn ước chung nào lớn hơn 1 thì chia luôn, rồi lặp lại đến khi hết ước chung.

Vậy $\frac{16}{10}$ CHƯA tối giản; rút gọn về phân số tối giản là $\frac{8}{5}$, vì ƯCLN(8, 5) = 1 nên $\frac{8}{5}$ không rút gọn được nữa.

Nhận xét. Cách 1 tìm đúng ƯCLN ngay từ đầu nên chỉ cần một phép chia; Cách 2 rút gọn dần và phải kiểm tra thêm bước cuối để chắc chắn phân số mới đã tối giản.

Định hướng. Phân tích tử và mẫu ra thừa số nguyên tố để tìm đúng ƯCLN, rồi chia cả tử và mẫu cho ƯCLN đó là được ngay phân số tối giản.

Vậy a) $\frac{90}{27}=\frac{10}{3}$; b) $\frac{50}{125}=\frac{2}{5}$.

Định hướng. Cứ chia tử và mẫu cho một ước chung dễ thấy trước, rồi rút gọn tiếp cho tới khi không còn ước chung nào khác 1.

Vậy a) $\frac{90}{27}=\frac{10}{3}$; b) $\frac{50}{125}=\frac{2}{5}$.

Nhận xét. Cách 1 chia đúng một lần nhờ tìm sẵn ƯCLN; Cách 2 phải rút gọn hai lần liên tiếp nhưng không cần phân tích thừa số nguyên tố ngay từ đầu, vẫn ra cùng kết quả.

Định hướng. Tìm ƯCLN của mỗi cặp số bằng phân tích thừa số nguyên tố, rồi lấy ước của ƯCLN đó chính là tập hợp ước chung cần tìm.

Vậy a) ƯC(30, 45) = {1; 3; 5; 15}; b) ƯC(42, 70) = {1; 2; 7; 14}.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách liệt kê hết ước của từng số trong mỗi cặp rồi lấy phần chung.

Vậy a) ƯC(30, 45) = {1; 3; 5; 15}; b) ƯC(42, 70) = {1; 2; 7; 14}.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả; Cách 1 qua trung gian ƯCLN nên nhanh hơn khi hai số có nhiều ước.

Định hướng. Phân tích từng cặp số ra thừa số nguyên tố rồi chọn thừa số chung với số mũ nhỏ nhất.

Vậy a) ƯCLN(40, 70) = 10; b) ƯCLN(55, 77) = 11.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách liệt kê hết ước của từng số rồi lấy phần chung, chọn số lớn nhất.

Vậy a) ƯCLN(40, 70) = 10; b) ƯCLN(55, 77) = 11.

Nhận xét. Ở câu b) hai số 55 và 77 chỉ có đúng một thừa số nguyên tố chung là 11 nên ƯCLN chính là 11 — hai số như vậy vẫn có ước chung khác 1 nên KHÔNG phải là hai số nguyên tố cùng nhau.

Định hướng. Với các số đã cho sẵn dạng phân tích, chỉ cần đối chiếu xem thừa số nguyên tố nào có mặt ở tất cả các số rồi lấy đúng số mũ nhỏ nhất của thừa số đó.

Vậy a) ƯCLN = 10; b) ƯCLN = 4.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách nhân ra số tự nhiên bình thường rồi liệt kê ước của số nhỏ nhất, lọc ra ước chia hết các số còn lại.

Vậy a) ƯCLN = 10; b) ƯCLN = 4.

Nhận xét. Cách 1 làm việc thẳng trên dạng phân tích nên nhanh và không sợ nhân nhầm; Cách 2 phải nhân ra số cụ thể rồi liệt kê dài dòng hơn nhưng vẫn xác nhận đúng kết quả.

Định hướng. Phân tích cả hai số ra thừa số nguyên tố trước, rồi chọn thừa số chung số mũ nhỏ nhất để có ƯCLN, cuối cùng lấy ước của ƯCLN.

Vậy a) $72=2^3\cdot 3^2$, $96=2^5\cdot 3$; b) ƯCLN(72, 96) = 24 và ƯC(72, 96) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách liệt kê hết ước của 72 rồi lọc ra những ước cũng chia hết 96.

Vậy ƯCLN(72, 96) = 24 và ƯC(72, 96) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Nhận xét. Hai cách cho cùng một tập ƯC gồm 8 phần tử, xác nhận Cách 1 chọn đúng thừa số chung với số mũ nhỏ nhất.

Định hướng. Tìm ƯCLN của tử và mẫu bằng phân tích thừa số nguyên tố; nếu ƯCLN khác 1 thì chia cả tử và mẫu cho đúng ƯCLN đó để được phân số tối giản.

Vậy a) $\frac{50}{85}$ CHƯA tối giản, rút gọn được $\frac{10}{17}$; b) $\frac{23}{81}$ ĐÃ là phân số tối giản.

Định hướng. Kiểm tra lại bằng cách liệt kê ước của tử rồi lọc ra ước nào cũng chia hết mẫu.

Vậy a) $\frac{50}{85}$ CHƯA tối giản, rút gọn được $\frac{10}{17}$; b) $\frac{23}{81}$ ĐÃ là phân số tối giản.

Nhận xét. Ở câu b), 23 là số nguyên tố và 81 không chia hết cho 23 nên tử và mẫu không còn ước chung nào khác 1 — cả hai cách đều xác nhận điều đó.

Định hướng. Muốn hai hợp số có ƯCLN bằng 1 thì chỉ cần chọn chúng từ hai số nguyên tố khác nhau, mỗi số lấy luỹ thừa từ 2 trở lên để chắc chắn là hợp số.

Vậy 4 và 9 là hai hợp số có ƯCLN(4, 9) = 1.

Định hướng. Cách khác là ghép mỗi số từ tích của hai số nguyên tố khác nhau, miễn bốn số nguyên tố dùng trong hai số đó đôi một khác nhau.

Vậy 6 và 35 là hai hợp số có ƯCLN(6, 35) = 1.

Nhận xét. Cả hai ví dụ đều theo cùng một nguyên tắc: chỉ cần hai hợp số không chung bất kỳ thừa số nguyên tố nào thì ƯCLN của chúng chắc chắn bằng 1, dù bản thân mỗi số vẫn có nhiều hơn hai ước.