Bài 12. Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

Định hướng. Bội của một số nhận được bằng cách nhân số đó lần lượt với $0;1;2;3;\dots$, nên chỉ cần nhân $6$ và nhân $9$ với các số tự nhiên liên tiếp.

Vậy $B(6)=\{0;6;12;18;24;30;36;42;48;54;\dots \}$ và $B(9)=\{0;9;18;27;36;45;54;\dots \}$.

Định hướng. Mỗi bội tiếp theo hơn bội liền trước đúng bằng chính số đó, nên có thể tìm bằng cách cộng dồn thay vì nhân lại từ đầu.

Vậy $B(6)=\{0;6;12;18;24;30;36;42;48;54;\dots \}$ và $B(9)=\{0;9;18;27;36;45;54;\dots \}$.

Nhận xét. Cách 1 tiện khi cần tìm ngay một bội thứ xa (chẳng hạn bội thứ 20) vì tính bằng một phép nhân duy nhất; Cách 2 tiện khi liệt kê liên tiếp từ đầu vì mỗi bước chỉ cộng thêm một lượng cố định.

Định hướng. Một số muốn vừa là bội của $6$ vừa là bội của $9$ thì phải có mặt ở cả hai tập $B(6)$ và $B(9)$ đã liệt kê, nên chỉ cần soát trùng hai danh sách.

Vậy BC(6, 9) $=\{0;18;36;54;\dots \}$.

Định hướng. Chỉ cần duyệt các bội của $6$ vừa tìm được, giữ lại đúng những số nào chia hết cho $9$ là ra ngay bội chung, khỏi phải đối chiếu cả bảng dài.

Vậy BC(6, 9) $=\{0;18;36;54;\dots \}$.

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần dùng một tập $B(6)$ là đủ, ít phải viết hơn Cách 1 vốn phải liệt kê đầy đủ cả hai tập rồi so sánh.

Định hướng. Dãy BC(6, 9) đã được liệt kê theo thứ tự tăng dần ở Hoạt động 2, nên chỉ cần bỏ số $0$ rồi lấy số liền sau.

Vậy số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6, 9) là 18.

Định hướng. So sánh từng cặp số hạng liên tiếp trong dãy bằng phép trừ để chắc chắn không bỏ sót số nào nhỏ hơn.

Vậy số nhỏ nhất khác 0 trong tập BC(6, 9) là 18.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy các bội chung của 6 và 9 cách đều nhau đúng 18 đơn vị — đó chính là lí do sau này BCNN(6, 9) = 18 được dùng làm “bước nhảy” để sinh ra mọi bội chung còn lại.

Định hướng. Trước khi phân tích dài dòng, nên thử xem số lớn có chia hết cho số nhỏ hay không, vì khi đó BCNN chính là số lớn.

Vậy BCNN(36, 9) = 36.

Định hướng. Dùng cách tổng quát — phân tích ra thừa số nguyên tố rồi lấy thừa số chung, riêng với số mũ lớn nhất — để kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Vậy BCNN(36, 9) $=2^2\cdot 3^2=36$, trùng kết quả Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 nhanh gọn nhờ nhận xét đặc biệt; Cách 2 dùng được cho mọi cặp số, kể cả khi không có quan hệ chia hết như ở đây, nên vẫn cho cùng kết quả để kiểm tra chéo.

Định hướng. Áp dụng đúng ba bước chuẩn: phân tích ra thừa số nguyên tố, chọn thừa số chung — riêng, lập tích với số mũ lớn nhất.

Vậy a) BCNN(6, 8) $=2^3\cdot 3=24$; b) BCNN(8; 9; 72) $=2^3\cdot 3^2=72$.

Định hướng. Trước khi phân tích dài dòng, nên thử xem số lớn nhất có chia hết cho các số còn lại hay không — nếu có thì ra kết quả ngay.

Vậy a) BCNN(6, 8) = 24 (tính như Cách 1); b) BCNN(8; 9; 72) = 72.

Nhận xét. Ở ý b), thử chia hết trước giúp bỏ hẳn bước phân tích thừa số nguyên tố; ý a) không có quan hệ chia hết nên vẫn phải phân tích như Cách 1.

Định hướng. Số tháng cần tìm phải vừa chia hết cho 6, vừa chia hết cho 9, và cần ít nhất — đó chính là BCNN(6, 9).

Vậy BCNN(6, 9) $=2\cdot 3^2=18$ nên sau ít nhất 18 tháng nữa hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng.

Định hướng. Liệt kê các tháng thứ mấy (kể từ tháng 5) mà mỗi máy được bảo dưỡng, rồi tìm tháng trùng đầu tiên.

Vậy sau ít nhất 18 tháng nữa hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng.

Nhận xét. Cách 2 trực quan như một cuốn lịch nhưng phải liệt kê tới khi gặp số trùng; Cách 1 tính thẳng ra BCNN nên nhanh hơn khi hai chu kì lớn.

Định hướng. Đề đã phân tích sẵn hai số, chỉ còn việc chọn thừa số chung với số mũ lớn nhất và giữ nguyên thừa số riêng.

Vậy BCNN(9, 15) $=3^2\cdot 5=45$.

Định hướng. Bội chung nhỏ nhất của 9 và 15 chắc chắn nằm trong dãy bội của 9, nên chỉ cần dò từng số xem có chia hết cho 15 hay không.

Vậy BCNN(9, 15) = 45, trùng kết quả Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng được với số lớn tuỳ ý; Cách 2 phải dò từng bội một nên chỉ tiện khi BCNN không quá lớn.

Định hướng. Vì mọi bội chung của 8 và 6 đều là bội của 24, nên chỉ cần nhân 24 với các số tự nhiên liên tiếp cho tới khi vượt quá 100.

Vậy các bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6 là 0; 24; 48; 72; 96.

Định hướng. Thay vì nhân lại từ đầu, có thể cộng dồn thêm 24 vào số hạng liền trước cho tới khi vượt quá 100.

Vậy các bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6 là 0; 24; 48; 72; 96.

Nhận xét. Hai cách cho cùng một dãy số; cộng dồn (Cách 2) tránh phải nhân với số lớn, còn nhân trực tiếp (Cách 1) tiện khi cần biết ngay bội chung thứ mấy mà không cần liệt kê hết các số trước đó.

Định hướng. Tìm BCNN(15, 54) bằng cách phân tích thừa số nguyên tố, sau đó nhân BCNN với các số tự nhiên liên tiếp cho tới khi vượt quá 1 000.

Vậy BCNN(15, 54) = 270; các bội chung nhỏ hơn 1 000 của 15 và 54 là 0; 270; 540; 810.

Định hướng. Sau khi có BCNN, cộng dồn 270 vào số hạng liền trước cho tới khi vượt quá 1 000, thay vì nhân lại từ đầu.

Vậy các bội chung nhỏ hơn 1 000 của 15 và 54 là 0; 270; 540; 810.

Nhận xét. Cộng dồn giúp kiểm tra chéo kết quả nhân ở Cách 1 mà không cần bảng cửu chương của 270.

Định hướng. Ba xe lại xuất bến cùng lúc sau mỗi khoảng thời gian bằng BCNN của ba chu kì 15; 9; 10 phút, nên cộng dồn khoảng đó vào mốc 10 giờ 35 phút.

Vậy trong khoảng từ 10 giờ 35 phút đến 22 giờ, ba xe buýt còn xuất bến cùng lúc vào các thời điểm: 12 giờ 05 phút; 13 giờ 35 phút; 15 giờ 05 phút; 16 giờ 35 phút; 18 giờ 05 phút; 19 giờ 35 phút; 21 giờ 05 phút.

Định hướng. Đổi mốc 10 giờ 35 phút thành số phút rồi cộng dồn 90 phút, tránh phải cộng giờ - phút thủ công nhiều lần.

Vậy các thời điểm ba xe cùng xuất bến trùng với kết quả Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 quy hết về phút nên phép cộng và phép so sánh với mốc 22 giờ (1 320 phút) đơn giản, ít nhầm lẫn hơn khi phải cộng giờ - phút thủ công như Cách 1.

Định hướng. Tìm BCNN(9, 15) làm mẫu chung, sau đó nhân thêm vào từng phân số đúng lượng cần thiết để mẫu bằng mẫu chung.

Vậy $\frac{7}{9}=\frac{35}{45}$ và $\frac{4}{15}=\frac{12}{45}$.

Định hướng. Chọn thẳng mẫu chung là tích $9\times 15$ (không cần là BCNN) rồi rút gọn lại về mẫu nhỏ nhất.

Vậy $\frac{7}{9}=\frac{35}{45}$ và $\frac{4}{15}=\frac{12}{45}$, trùng kết quả Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 luôn quy đồng được nhưng ra mẫu số lớn hơn cần thiết (135 thay vì 45) nên phải rút gọn thêm một bước; chọn thẳng BCNN như Cách 1 tránh được bước rút gọn này.

Định hướng. Tìm BCNN của các mẫu rồi nhân thêm vào từng phân số đúng lượng cần thiết để mẫu bằng mẫu chung.

Vậy a) $\frac{5}{12}=\frac{25}{60}$, $\frac{7}{15}=\frac{28}{60}$; b) $\frac{2}{7}=\frac{72}{252}$, $\frac{4}{9}=\frac{112}{252}$, $\frac{7}{12}=\frac{147}{252}$.

Định hướng. Kiểm tra xem mẫu lớn nhất có chia hết cho các mẫu còn lại hay không, để biết có đường tắt hay bắt buộc phải phân tích đầy đủ.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $\frac{25}{60}$ và $\frac{28}{60}$; b) $\frac{72}{252}$, $\frac{112}{252}$, $\frac{147}{252}$.

Nhận xét. Ở cả hai ý, không có mẫu số nào là bội của các mẫu còn lại nên bắt buộc phải phân tích thừa số nguyên tố đầy đủ như Cách 1; bước thử chia hết trước chỉ giúp khẳng định không có đường tắt.

Định hướng. Tìm BCNN của các mẫu để làm mẫu chung, quy đồng rồi cộng hoặc trừ các tử số.

Vậy a) $\frac{3}{8}+\frac{5}{24}=\frac{7}{12}$; b) $\frac{7}{16}-\frac{5}{12}=\frac{1}{48}$.

Định hướng. Đưa các phân số về cùng mẫu là tích của hai mẫu, tính rồi rút gọn — dùng để kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $\frac{7}{12}$; b) $\frac{1}{48}$.

Nhận xét. Cách 2 luôn ra kết quả đúng nhưng số ở bước trung gian ($192$) lớn hơn nhiều so với dùng BCNN ($24$ hay $48$ ở Cách 1), nên dễ tính nhầm hơn và phải rút gọn thêm một bước.

Định hướng. Tìm BCNN của các số rồi nhân với các số tự nhiên liên tiếp cho tới khi vượt quá 200.

Vậy a) các bội chung nhỏ hơn 200 của 5 và 7 là 0; 35; 70; 105; 140; 175. b) các bội chung nhỏ hơn 200 của 3, 4 và 10 là 0; 60; 120; 180.

Định hướng. Cộng dồn thêm BCNN vào số hạng liền trước để kiểm tra lại kết quả nhân ở Cách 1.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) 0; 35; 70; 105; 140; 175. b) 0; 60; 120; 180.

Nhận xét. Cộng dồn (Cách 2) là cách tự kiểm tra nhanh cho kết quả nhân (Cách 1) mà không cần thuộc bảng nhân của 35 hay 60.

Định hướng. Vì đề đã phân tích sẵn, chỉ cần chọn thừa số chung với số mũ lớn nhất và giữ nguyên thừa số riêng.

Vậy a) BCNN $=2\cdot 3^3\cdot 5=270$; b) BCNN $=2\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7^2=7350$.

Định hướng. Nhân hẳn mỗi tích ra một số cụ thể, phân tích lại số đó ra thừa số nguyên tố để đối chiếu với Cách 1.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) 270; b) 7350.

Nhận xét. Cách 1 làm thẳng trên dạng thừa số nguyên tố nên nhanh và ít rủi ro nhân sai; Cách 2 phải nhân ra số cụ thể rồi phân tích lại, mất công hơn nhưng dùng để tự kiểm tra kết quả.

Định hướng. Phân tích các số ra thừa số nguyên tố rồi lập BCNN theo ba bước chuẩn.

Vậy a) BCNN(30, 45) $=2\cdot 3^2\cdot 5=90$; b) BCNN(18; 27; 45) $=2\cdot 3^3\cdot 5=270$.

Định hướng. Thử chia số lớn nhất cho các số còn lại trước, để phát hiện sớm quan hệ đặc biệt (nếu có).

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) BCNN(30, 45) = 90; b) BCNN(18; 27; 45) = 270.

Nhận xét. Ở cả hai ý đều không có số nào là bội của số còn lại nên vẫn phải phân tích thừa số nguyên tố đầy đủ; bước thử chia hết chỉ giúp khẳng định điều đó trước khi bắt tay vào tính.

Định hướng. Điều kiện $a⋮28$ và $a⋮32$ nghĩa là $a$ thuộc BC(28, 32); số nhỏ nhất khác 0 trong tập đó chính là BCNN(28, 32).

Vậy $a=$ BCNN(28, 32) $=2^5\cdot 7=224$.

Định hướng. Liệt kê các bội của số lớn hơn (32) rồi kiểm tra từng số xem có chia hết cho 28 hay không.

Vậy $a=224$, trùng kết quả Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 tính thẳng bằng công thức nên nhanh; Cách 2 phải dò tới bảy bội của 32 mới gặp số thoả mãn, chỉ nên dùng để kiểm tra lại.

Định hướng. Số học sinh vừa chia hết cho 3, cho 4, vừa cho 9 nên là một bội chung của ba số đó; chỉ cần tìm BCNN rồi soát trong khoảng từ 30 đến 40.

Vậy số học sinh lớp 6A là 36 học sinh.

Định hướng. Vì khoảng cho trước chỉ có 11 số, có thể thử lần lượt từng số xem có chia hết cho cả 3, 4 và 9 hay không.

Vậy trong khoảng từ 30 đến 40, chỉ có 36 chia hết cho cả 3, 4 và 9, nên số học sinh lớp 6A là 36 học sinh.

Nhận xét. Cách 1 tìm thẳng BCNN rồi so khoảng nên nhanh và chắc chắn không bỏ sót; Cách 2 phải thử tới 11 số nên chỉ nên dùng để kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Định hướng. Vì mỗi đội trồng cùng một số cây, số đó vừa là bội của 8 vừa là bội của 11; tìm BCNN(8, 11) rồi chọn bội nằm trong khoảng 100 đến 200.

Vậy mỗi đội đã trồng 176 cây.

Định hướng. Liệt kê các bội của 11 nằm trong khoảng 100 đến 200 rồi kiểm tra từng số xem có chia hết cho 8 hay không.

Vậy số cây thoả mãn duy nhất trong khoảng là 176, trùng kết quả Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 tính thẳng BCNN rồi so khoảng nên nhanh gọn; Cách 2 phải thử tới chín bội của 11 nên chỉ nên dùng để kiểm tra lại.

Định hướng. Số ngày cần tìm phải vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 7 và là số nhỏ nhất, tức là BCNN(2, 7).

Vậy sau ít nhất 14 ngày nữa cún lại vừa được đi dạo, vừa được tắm.

Định hướng. Liệt kê các ngày (tính từ hôm nay) mà cún được đi dạo và các ngày được tắm, rồi tìm ngày trùng đầu tiên.

Vậy sau ít nhất 14 ngày nữa cún lại vừa được đi dạo, vừa được tắm.

Nhận xét. Cách 2 trực quan như một cuốn lịch nhưng phải liệt kê dài; Cách 1 dùng ngay tính chất “hai số không có ước chung nào khác 1” nên ra kết quả tức thì.

Định hướng. Tìm BCNN của các mẫu rồi nhân thêm vào từng phân số đúng lượng cần thiết để mẫu bằng mẫu chung.

Vậy a) $\frac{9}{12}=\frac{45}{60}$, $\frac{7}{15}=\frac{28}{60}$; b) $\frac{7}{10}=\frac{98}{140}$, $\frac{3}{4}=\frac{105}{140}$, $\frac{9}{14}=\frac{90}{140}$.

Định hướng. Ở ý a), $9$ và $12$ có ước chung $3$ nên rút gọn $\frac{9}{12}$ trước rồi mới quy đồng, giúp các số nhân thêm nhỏ hơn.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $\frac{45}{60}$ và $\frac{28}{60}$; b) $\frac{98}{140}$, $\frac{105}{140}$, $\frac{90}{140}$.

Nhận xét. Rút gọn $\frac{9}{12}$ về $\frac{3}{4}$ trước khi quy đồng vẫn cho cùng mẫu chung 60 như không rút gọn, nhưng số nhân thêm ở Cách 2 nhỏ hơn nên ít nhầm lẫn hơn.

Định hướng. Tìm BCNN của các mẫu, quy đồng rồi cộng hoặc trừ các tử số.

Vậy a) $\frac{7}{11}+\frac{5}{7}=\frac{104}{77}$; b) $\frac{7}{20}-\frac{2}{15}=\frac{13}{60}$.

Định hướng. Đưa các phân số về cùng mẫu là tích của hai mẫu, tính rồi rút gọn — dùng để kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $\frac{104}{77}$; b) $\frac{13}{60}$.

Nhận xét. Ở ý a), tích hai mẫu 11 và 7 đã đúng bằng BCNN của chúng nên hai cách hoàn toàn giống nhau; ở ý b), Cách 2 ra mẫu số lớn hơn (300 thay vì 60) nên phải rút gọn thêm một bước.