Bài 14. Phép cộng và phép trừ số nguyên

Định hướng. Mỗi đơn vị đi sang trái ứng với cộng thêm $-1$, nên cứ đếm số bước sang trái là ra ngay điểm biểu diễn.

Vậy nhiệt độ ban đêm ở đỉnh Mẫu Sơn là $-8^{\circ }\mathrm{C}$.

Định hướng. “Giảm thêm $5^{\circ }\mathrm{C}$” chính là “tăng thêm $-5^{\circ }\mathrm{C}$”, nên bài toán quy về cộng hai số nguyên âm $-3$ và $-5$.

Vậy nhiệt độ ban đêm ở đỉnh Mẫu Sơn là $-8^{\circ }\mathrm{C}$.

Nhận xét. Cách 1 cho thấy rõ vì sao tổng hai số âm lại là một số âm (đi mãi về bên trái gốc $O$); Cách 2 nhanh hơn khi số đã lớn, không cần vẽ hình.

Định hướng. Cả hai phép tính đều là tổng của hai số nguyên âm, nên chỉ cần cộng hai phần số tự nhiên rồi đặt dấu $-$.

Vậy $(-12)+(-48)=-60$ và $(-236)+(-1025)=-1261$.

Định hướng. Với số có nhiều chữ số, đặt phần số tự nhiên thẳng cột rồi cộng như số tự nhiên sẽ ít nhầm lẫn hơn cộng nhẩm.

Vậy $(-12)+(-48)=-60$ và $(-236)+(-1025)=-1261$.

Nhận xét. Kết quả hai cách trùng khớp; đặt tính theo cột dọc nên dùng khi phần số tự nhiên có từ ba chữ số trở lên để tránh cộng sót hàng.

Định hướng. Tàu đang lặn xuống, nên từ $B$ tàu còn phải đi tiếp $45\mathrm{m}$ về phía dưới (phía âm) mới tới $A$; ta cộng thêm $-45$ vào độ cao của $B$.

Vậy điểm $A$ nằm ở độ cao $-180\mathrm{m}$.

Định hướng. Nếu $A$ đúng là $-180\mathrm{m}$ thì khoảng cách từ $B$ đến $A$ phải đúng bằng $45\mathrm{m}$ như đề cho, ta kiểm tra lại bằng phép trừ.

Vậy khoảng cách tính được đúng bằng $45\mathrm{m}$ như đề bài, vậy $A$ ở độ cao $-180\mathrm{m}$ là đúng.

Nhận xét. Cách 2 không tính $A$ trực tiếp mà thử lại kết quả của Cách 1, nên chỉ dùng được sau khi đã có một đáp số để kiểm tra.

Định hướng. Số đối của một số nguyên chỉ khác số đã cho ở dấu, phần số tự nhiên giữ nguyên, nên đổi dấu là ra ngay kết quả.

Vậy số đối của $4$; $-5$; $9$; $-11$ lần lượt là $-4$; $5$; $-9$; $11$.

Định hướng. Hai số đối nhau nằm đối xứng qua gốc $O$, tức có cùng khoảng cách đến $O$ nhưng khác phía; đối chiếu vị trí là kiểm tra được kết quả.

Vậy số đối của $4$; $-5$; $9$; $-11$ lần lượt là $-4$; $5$; $-9$; $11$.

Nhận xét. Cách 2 giải thích được vì sao đổi dấu lại cho ra số đối — vì trục số đối xứng qua $O$; Cách 1 nhanh hơn khi cần tính hàng loạt.

Định hướng. Tìm số đối bằng cách đổi dấu, sau đó đặt cả bốn điểm lên cùng một trục số theo đúng thứ tự từ trái qua phải.

Vậy số đối của $5$ là $-5$, số đối của $-2$ là $2$; bốn điểm $-5,-2,2,5$ được biểu diễn như hình trên.

Định hướng. Không cần tính dấu, chỉ cần đo khoảng cách từ mỗi số đã cho đến $O$ rồi lấy đối xứng sang phía bên kia.

Vậy số đối của $5$ là $-5$, số đối của $-2$ là $2$, đúng như Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 phù hợp khi vẽ hình bằng compa, không cần biết trước quy tắc đổi dấu; Cách 1 nhanh hơn khi chỉ cần viết kết quả bằng số.

Định hướng. Mỗi đơn vị đi sang phải ứng với cộng thêm $1$, nên xuất phát từ $-5$ rồi đếm bước sang phải là ra điểm đến.

Vậy a) nhiệt độ dự báo là $-2^{\circ }\mathrm{C}$ ; b) nhiệt độ thực tế là $3^{\circ }\mathrm{C}$.

Định hướng. Hai số hạng $-5$ và $3$ (hoặc $-5$ và $8$) khác dấu và không đối nhau, nên lấy hiệu hai phần số tự nhiên rồi mang dấu của số có phần số tự nhiên lớn hơn.

Vậy a) nhiệt độ dự báo là $-2^{\circ }\mathrm{C}$ ; b) nhiệt độ thực tế là $3^{\circ }\mathrm{C}$.

Nhận xét. Cách 1 cho thấy trực quan vì sao kết quả đổi dấu khi số dương “vượt qua” gốc $O$; Cách 2 áp dụng được ngay cả khi số quá lớn để vẽ hình.

Định hướng. Ở mỗi câu, so sánh hai phần số tự nhiên để biết dấu của kết quả trước, rồi mới lấy hiệu.

Vậy $203+(-195)=8$ và $(-137)+86=-51$.

Định hướng. Nếu tổng đã tính đúng thì cộng ngược trở lại với số hạng đã trừ đi phải cho đúng số hạng còn lại.

Vậy cả hai kết quả đều được xác nhận đúng: $203+(-195)=8$ và $(-137)+86=-51$.

Nhận xét. Cách 2 chỉ dùng để kiểm tra lại đáp số của Cách 1, giúp phát hiện ngay nếu tính nhầm dấu hoặc nhầm hiệu.

Định hướng. Máy nổi lên $55\mathrm{m}$ so với hôm trước, tức độ cao tăng thêm $55$; ta cộng $55$ vào độ cao $-946$ đã có.

Vậy ngày hôm sau máy thăm dò hoạt động ở độ cao $-891\mathrm{m}$.

Định hướng. Nếu độ cao mới là $-891\mathrm{m}$ thì độ chênh so với hôm trước phải đúng bằng $55\mathrm{m}$.

Vậy độ chênh tính lại đúng bằng $55\mathrm{m}$, xác nhận độ cao ngày hôm sau là $-891\mathrm{m}$.

Nhận xét. Cách 2 tận dụng luôn phép trừ hai số nguyên (mục 4) để kiểm tra chéo kết quả của phép cộng ở Cách 1.

Định hướng. Thay đúng giá trị $a,b,c$ đã cho vào từng biểu thức rồi tính riêng hai vế để so sánh.

Vậy $a+b=b+a=4$ và $(a+b)+c=a+(b+c)=-8$, hai vế luôn bằng nhau ở cả hai hoạt động.

Định hướng. Không cần tính đúng thứ tự đề cho, mà nhóm ngay các số hạng dễ cộng với nhau để thấy tính chất được vận dụng ngược lại.

Vậy dù nhóm theo thứ tự nào, kết quả vẫn là $4$ (HĐ5) và $-8$ (HĐ6), đúng như Cách 1.

Nhận xét. Hai hoạt động minh hoạ đúng hai tính chất: HĐ5 cho tính chất giao hoán, HĐ6 cho tính chất kết hợp — đây chính là công cụ để tính hợp lí ở Ví dụ 3 và Luyện tập 4.

Định hướng. Câu a) cả ba số hạng đều âm nên cộng phần số tự nhiên với nhau trước. Câu b) nhóm riêng các số dương và các số âm để cộng gọn hơn.

Vậy $(-2019)+(-550)+(-451)=-3020$ và $(-2)+5+(-6)+9=6$.

Định hướng. Không nhóm gì cả, cứ cộng tuần tự từng số hạng theo đúng thứ tự đã cho rồi so sánh với Cách 1.

Vậy cộng tuần tự cũng cho $-3020$ và $6$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 nhanh và ít khả năng nhầm dấu hơn hẳn vì gộp các số âm với nhau trước; Cách 2 chỉ nên dùng để kiểm tra lại.

Định hướng. Không thể trả lời chắc chắn “dương” hay “âm”, vì quy tắc cộng khác dấu nói rõ dấu kết quả phụ thuộc số nào có phần số tự nhiên lớn hơn.

Vậy tổng của hai số nguyên khác dấu có thể là số dương, số âm, hoặc bằng $0$ tuỳ vào số nào có phần số tự nhiên lớn hơn — không cố định là dương hay âm.

Định hướng. Xuất phát từ số âm rồi cộng thêm số dương (hoặc ngược lại) chính là đi trên trục số; điểm dừng ở bên trái hay bên phải gốc $O$ mới quyết định dấu.

Vậy dấu của tổng phụ thuộc việc điểm dừng nằm bên trái, bên phải hay đúng tại gốc $O$, nên không thể khẳng định tổng luôn dương hay luôn âm.

Nhận xét. Hai cách cùng đi đến một kết luận: phải so sánh phần số tự nhiên (hay quãng đường di chuyển) của hai số hạng mới biết dấu, chứ “khác dấu” không tự quyết định dấu của tổng.

Định hướng. Lỗ chính là phần làm giảm bớt số lãi đã có, nên lấy ngay số lãi trừ đi số lỗ.

Vậy tháng đó cửa hàng lãi $3$ triệu đồng.

Định hướng. Lỗ $2$ triệu đồng cũng chính là “lãi” $-2$ triệu đồng, nên bài toán trở thành cộng hai số nguyên $5$ và $-2$.

Vậy cả tháng cửa hàng lãi $3$ triệu đồng; và từ quy luật đó, $3-4=-1$, $3-5=-2$, tức trừ một số nguyên cũng chính là cộng với số đối của nó.

Nhận xét. Hai cách của HĐ7 cho cùng đáp số $3$ triệu đồng, nhưng Cách 2 mới là cách tổng quát hoá được cho MỌI phép trừ số nguyên, kể cả khi kết quả âm như ở HĐ8.

Định hướng. Áp dụng đúng quy tắc trừ hai số nguyên: đổi dấu số bị trừ rồi cộng vào.

Vậy $5-(-3)=8$ và $(-7)-8=-15$.

Định hướng. Nếu hiệu đã tính đúng thì cộng hiệu đó với số trừ phải cho lại đúng số bị trừ.

Vậy cả hai kết quả đều đúng: $5-(-3)=8$ và $(-7)-8=-15$.

Nhận xét. Câu a) trừ đi một số âm nên kết quả lớn hơn số bị trừ; câu b) trừ đi một số dương từ một số âm nên kết quả càng âm hơn — hai chiều biến đổi trái ngược nhau.

Định hướng. $27^{\circ }\mathrm{C}$ lớn hơn hẳn $-48^{\circ }\mathrm{C}$, nên độ chênh lệch chính là hiệu của số lớn trừ số nhỏ, đưa về phép trừ hai số nguyên.

Vậy nhiệt độ bên ngoài máy bay chênh lệch $75^{\circ }\mathrm{C}$ giữa hai thời điểm.

Định hướng. Hình dung nhiệt độ tăng dần từ $-48^{\circ }\mathrm{C}$ lên $0^{\circ }\mathrm{C}$ rồi từ $0^{\circ }\mathrm{C}$ lên $27^{\circ }\mathrm{C}$, cộng hai chặng lại.

Vậy độ chênh lệch vẫn là $75^{\circ }\mathrm{C}$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tách qua mốc $0^{\circ }\mathrm{C}$ để không phải làm việc trực tiếp với phép trừ số âm, phù hợp khi mới bắt đầu làm quen với số nguyên.

Định hướng. Cả bốn câu đều là tổng của hai số âm nên cộng phần số tự nhiên rồi đặt dấu $-$ trước kết quả.

Vậy $(-7)+(-2)=-9$ ; $(-8)+(-5)=-13$ ; $(-11)+(-7)=-18$ ; $(-6)+(-15)=-21$.

Định hướng. Xuất phát từ số hạng thứ nhất rồi đếm lùi thêm đúng số đơn vị của số hạng thứ hai.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1 ở cả bốn câu.

Nhận xét. Cách 2 trực quan với số nhỏ; với số lớn như câu d) thì áp dụng quy tắc ở Cách 1 vẫn nhanh và chắc chắn hơn.

Định hướng. Ở mỗi câu, so sánh phần số tự nhiên của hai số hạng để xác định dấu, rồi lấy hiệu.

Vậy $6+(-2)=4$ ; $9+(-3)=6$ ; $(-10)+4=-6$ ; $(-1)+8=7$.

Định hướng. Cộng một số dương với một số âm cũng chính là lấy số dương trừ đi phần số tự nhiên của số âm, khi số dương lớn hơn.

Vậy kết quả không đổi so với Cách 1.

Nhận xét. Hai cách chỉ là hai cách diễn đạt của cùng một quy tắc; viết theo Cách 2 giúp học sinh liên hệ trực tiếp với phép trừ số tự nhiên đã quen thuộc.

Định hướng. Trước hết đổi dấu $-4$ để có số đối, sau đó đặt cả hai điểm lên trục số theo đúng vị trí của chúng.

Vậy số đối của $-4$ là $4$; hai điểm $-4$ và $4$ được biểu diễn cách đều gốc $O$ như hình trên.

Định hướng. Nếu gấp đôi trục số tại đúng gốc $O$, hai điểm là số đối của nhau phải trùng khít lên nhau.

Vậy điểm trùng với $-4$ sau khi gấp chính là $4$, xác nhận $4$ là số đối của $-4$.

Nhận xét. Cách 2 chỉ dùng để kiểm tra trực quan bằng hình vẽ; khi làm bài không có hình sẵn thì dùng Cách 1 để tính nhanh.

Định hướng. Áp dụng đúng công thức $a-b=a+(-b)$ cho cả bốn câu, đặc biệt chú ý đổi dấu số trừ.

Vậy $9-(-2)=11$ ; $(-7)-4=-11$ ; $27-30=-3$ ; $(-63)-(-15)=-48$.

Định hướng. Với mỗi hiệu vừa tìm được, cộng nó với số trừ ban đầu phải cho đúng số bị trừ.

Vậy cả bốn kết quả đều được xác nhận đúng như Cách 1.

Nhận xét. Câu d) dễ nhầm nhất vì có hai dấu trừ liên tiếp; thử lại bằng phép cộng ngược giúp phát hiện ngay nếu quên đổi dấu số trừ.

Định hướng. Coi $C$ là gốc $0$, sau $1$ giờ mỗi ca nô ở đúng vị trí bằng vận tốc của nó (vì đi trong đúng $1$ giờ); khoảng cách là hiệu hai toạ độ đó.

Vậy a) sau một giờ hai ca nô cách nhau $5$ km ; b) sau một giờ hai ca nô cách nhau $17$ km.

Định hướng. Không cần lập toạ độ, chỉ cần nhận ra hai ca nô đi cùng chiều hay ngược chiều với nhau để chọn lấy hiệu hay lấy tổng quãng đường.

Vậy a) $5$ km ; b) $17$ km, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 không cần dùng số âm mà vẫn ra đúng kết quả, nhưng Cách 1 (dùng toạ độ trên trục số) mới là cách tổng quát áp dụng được cho mọi bài toán vận tốc có hướng.

Định hướng. Mũi tên xanh lá chỉ rõ số hạng thứ nhất (điểm xuất phát) và kết quả (điểm đến); từ đó suy ra số hạng thứ hai bằng độ dài và chiều của mũi tên.

Vậy a) hình vẽ mô phỏng phép tính $(-5)+5=0$ ; b) hình vẽ mô phỏng phép tính $2+(-5)=-3$.

Định hướng. Đếm số đơn vị giữa hai đầu mút của mũi tên xanh lá để biết “lượng” cộng thêm, rồi nhìn chiều mũi tên để biết dấu của số hạng đó.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: a) $(-5)+5=0$ ; b) $2+(-5)=-3$.

Nhận xét. Mũi tên xanh dương trong cả hai hình chỉ đóng vai trò đánh dấu vị trí của gốc $O$ so với điểm đầu hoặc điểm cuối, giúp đọc toạ độ chính xác chứ không phải một phép cộng khác.

Định hướng. Ba câu a), b), c) là số âm gặp số âm nên cộng phần số tự nhiên; câu d) là phép trừ nên đổi thành cộng với số đối.

Vậy $(-3)+(-2)=-5$ ; $(-8)-7=-15$ ; $(-35)+(-15)=-50$ ; $12-(-8)=20$.

Định hướng. Với số tròn chục, tách rời rồi ghép lại giúp nhẩm nhanh hơn cộng thẳng.

Vậy kết quả nhẩm trùng khớp với Cách 1 ở cả bốn câu.

Nhận xét. Câu c) và câu d) đều liên quan đến số tròn chục nên tách nhóm $5+5=10$ hoặc $2+8=10$ trước sẽ nhẩm nhanh hơn cộng trực tiếp.

Định hướng. Chuyển các dấu trừ thành cộng với số đối, sau đó ghép các số hạng cho ra kết quả tròn để cộng nhanh.

Vậy $152+(-73)-(-18)-127=-30$ và $7+8+(-9)+(-10)=-4$.

Định hướng. Không nhóm gì cả, cộng tuần tự theo đúng thứ tự viết để kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Vậy cộng tuần tự cũng cho $-30$ và $-4$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 nhanh hơn hẳn nhờ ghép $152$ với $-127$ ra số tròn chục ($25$) trước khi cộng tiếp; Cách 2 chậm hơn nhưng chắc chắn dùng để kiểm tra.

Định hướng. Ở câu c), phải tính $x$ trước, sau đó mới thay vào biểu thức $(-156)-x$ như hai câu kia.

Vậy a) $(-156)-x=-130$ ; b) $(-156)-x=-232$ ; c) $(-156)-x=-271$.

Định hướng. Nếu kết quả đúng thì cộng nó với $x$ tương ứng phải cho lại đúng $-156$.

Vậy cả ba kết quả đều được xác nhận đúng, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Câu c) dễ sai nhất vì phải tính $x$ qua một phép trừ trung gian trước; luôn thử lại bằng phép cộng ngược để chắc chắn không sai ở bước tính $x$.

Định hướng. Cả hai câu đều có dạng “tổng của hai số nguyên bằng một số cho trước”, nên tìm số hạng còn thiếu bằng phép trừ.

Vậy a) $(-66)+(-34)=-100$ ; b) $(-789)+274=-515$.

Định hướng. Vì $\overline{6\ast }$ chỉ có $10$ khả năng cho chữ số hàng đơn vị, có thể thử từng số rồi kiểm tra tổng có đúng bằng $-100$ hay không; câu b) làm tương tự với hai chữ số.

Vậy cả hai phép thử đều khớp với đề bài, xác nhận $\overline{6\ast }=66$ và $\overline{2\ast \ast }=274$.

Nhận xét. Cách 1 tính thẳng ra chữ số cần tìm bằng một phép trừ duy nhất, nhanh và chắc chắn hơn hẳn việc thử từng chữ số như Cách 2.