Bài 16. Phép nhân số nguyên

Định hướng. Khi thừa số thứ hai là số tự nhiên, tích được hiểu là một tổng nhiều số hạng bằng nhau, nên viết $(-11)$ liên tiếp 3 lần rồi cộng lại.

Vậy $(-11)\cdot 3=-33$, đúng bằng $-(11\cdot 3)=-33$.

Định hướng. Cộng hai tích $11\cdot 3$ và $(-11)\cdot 3$ lại rồi xem tổng có bằng $0$ hay không, không cần cộng lặp $(-11)$.

Vậy $(-11)\cdot 3$ là số đối của $33$, tức $(-11)\cdot 3=-33=-(11\cdot 3)$.

Nhận xét. Cách 2 không cần cộng lặp, chỉ dùng tính chất phân phối để suy ra ngay dấu của tích — đây chính là cách chứng minh quy tắc nhân hai số khác dấu ở phần sau.

Định hướng. Đưa mỗi tích về tổng nhiều số hạng bằng nhau như ở HĐ1; riêng $(-6)\cdot 8$ cần đổi chỗ hai thừa số trước để số hạng lặp lại là số âm.

Vậy $5\cdot (-7)=-35$ và $(-6)\cdot 8=-48$.

Định hướng. HĐ1 đã cho thấy tích của một số dương với một số âm bằng dấu trừ trước tích hai giá trị tuyệt đối; áp dụng thẳng nhận xét đó thay vì cộng lặp.

Vậy $5\cdot (-7)=-35$ và $(-6)\cdot 8=-48$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn hẳn khi thừa số lớn, vì không phải viết ra hàng chục số hạng để cộng.

Định hướng. Cả ba phép tính đều là tích của một số dương với một số âm, nên nhân thẳng hai giá trị tuyệt đối rồi đặt dấu trừ.

Vậy 1) a) $(-12)\cdot 12=-144$; b) $137\cdot (-15)=-2055$; 2) $5\cdot (-12)=-60$.

Định hướng. Tách thừa số tự nhiên thành tổng các số tròn chục để nhân từng phần rồi cộng lại, tiện cho việc tính nhẩm.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 giúp tính nhẩm nhanh những số có nhiều chữ số mà không cần nhân trực tiếp cả số lớn.

Định hướng. Ba lần ghi cùng $-15000$ đồng chính là ba lần lặp lại một số hạng, nên viết ngay thành tích thay vì cộng ba lần.

Vậy sổ ghi $-45000$ đồng, tức bạn Cao đã chi tất cả $45000$ đồng.

Định hướng. Đối chiếu lại bằng đúng phép cộng ba số âm mà đề bài gợi ý tránh, để chắc chắn phép nhân vừa dùng cho kết quả đúng.

Vậy $-45000=-45000$, khớp với Cách 1; bạn Cao đã chi $45000$ đồng.

Nhận xét. Phép nhân cho cùng kết quả với phép cộng lặp nhưng chỉ cần viết một dòng, đúng như câu hỏi mở đầu bài học đặt ra.

Định hướng. So sánh dòng 2 với dòng 1, rồi dòng 2 với dòng 3, để thấy mỗi lần chỉ một thừa số đổi dấu thì tích thay đổi thế nào.

Vậy đổi dấu đúng một thừa số (giữ nguyên thừa số còn lại) thì tích đổi dấu.

Định hướng. Dùng tính chất phân phối để giải thích vì sao đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu, đúng với mọi số chứ không riêng $3$ và $7$.

Vậy $(-a)\cdot b$ luôn là số đối của $a\cdot b$, tức đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu, khớp với quy luật quan sát ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 giải thích được tại sao quy luật đúng với mọi số, còn Cách 1 chỉ kiểm chứng trên ba dòng số cụ thể.

Định hướng. Đi từ $3\cdot 7=21$, áp dụng nhận xét ở HĐ3 hai lần liên tiếp: đổi dấu thừa số thứ nhất, rồi đổi dấu tiếp thừa số thứ hai.

Vậy $(-3)\cdot (-7)=21$.

Định hướng. Cộng hai tích $(-3)\cdot 7$ và $(-3)\cdot (-7)$ lại; vì $7$ và $-7$ là hai số đối nên tổng trong ngoặc bằng $0$.

Vậy $(-3)\cdot (-7)$ là số đối của $-21$, tức $(-3)\cdot (-7)=21$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Đây chính là cơ sở của quy tắc nhân hai số nguyên âm: tích luôn bằng tích hai giá trị tuyệt đối, không còn dấu trừ.

Định hướng. Cả hai tích đều là tích của hai số cùng âm, nên nhân thẳng hai giá trị tuyệt đối, kết quả mang dấu dương.

Vậy a) $(-12)\cdot (-12)=144$; b) $(-137)\cdot (-15)=2055$.

Định hướng. Tách thừa số thứ hai thành tổng các số tròn chục để nhân từng phần rồi cộng lại.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Việc tách $15$ thành $10+5$ giúp nhân nhẩm $137$ mà không cần đặt phép nhân dọc số lớn.

Định hướng. Gọi hai ô chưa biết ở hàng dưới cùng lần lượt là $x$, $y$; vì mỗi ô hàng trên bằng tích hai ô liền kề bên dưới, lập đẳng thức từ hai ô đã biết sẵn ở hàng 3 để tìm $x$, $y$ trước.

Vậy hàng dưới cùng là $-1$; $1$; $-1$; $-1$, hàng 3 là $-1$; $-1$; $1$, hàng 2 là $1$; $-1$ và đỉnh là $-1$.

Định hướng. Sau khi có đủ bốn số ở hàng dưới cùng, nhân xuôi từng cặp ô liền kề đi lên trên để kiểm tra có khớp với các số đã cho sẵn trong đề hay không.

Vậy kết quả khớp hoàn toàn với Cách 1, xác nhận lời giải đúng.

Nhận xét. Vì mọi ô trong hình chỉ nhận giá trị $1$ hoặc $-1$, việc kiểm tra lại bằng cách nhân xuôi từ dưới lên rất nhanh và chắc chắn không bỏ sót sai sót.

Định hướng. Ở vế trái, thực hiện phép cộng trong ngoặc trước rồi mới nhân, đúng thứ tự dấu ngoặc.

Vậy $a(b+c)=-20$.

Định hướng. Ở vế phải, nhân riêng $a$ với $b$ và $a$ với $c$ trước, rồi mới cộng hai tích lại.

Vậy $ab+ac=-20$, bằng đúng $a(b+c)$ ở Cách 1.

Nhận xét. Hai vế cho cùng một kết quả $-20$ dù đi theo hai con đường tính toán khác nhau, minh hoạ đúng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Định hướng. Nhân lần lượt từng cặp thừa số theo đúng thứ tự viết trong đề, mỗi bước áp dụng quy tắc dấu tương ứng.

Vậy 1) a) $P=360$; b) tích mới vẫn bằng $360$, không đổi; 2) $4\cdot (-39)-4\cdot (-14)=-100$.

Định hướng. Nhóm các thừa số âm lại với nhau và đặt thừa số chung ra ngoài trước khi tính, để đếm nhanh dấu và giảm số phép nhân.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Ở ý b), không cần nhân lại từ đầu: cứ đếm số thừa số bị đổi dấu, chẵn thì tích giữ nguyên, lẻ thì tích đổi dấu.

Định hướng. Mỗi tích là tích của một số dương với một số âm, nhân thẳng hai giá trị tuyệt đối rồi đặt dấu trừ.

Vậy a) $24\cdot (-25)=-600$; b) $(-15)\cdot 12=-180$.

Định hướng. Tách thừa số tự nhiên thành tổng các số tròn chục để nhân từng phần rồi cộng lại.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tiện khi tính nhẩm vì mỗi phần chỉ là một phép nhân với số tròn chục.

Định hướng. Cả hai tích đều là tích của hai số cùng âm, nhân thẳng hai giá trị tuyệt đối, kết quả mang dấu dương.

Vậy a) $(-298)\cdot (-4)=1192$; b) $(-10)\cdot (-135)=1350$.

Định hướng. Tách một thừa số thành hiệu của một số tròn trăm/chục để nhân từng phần rồi trừ lại.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Tách $298$ thành $300-2$ và $135$ thành $140-5$ giúp nhân nhẩm với số tròn trăm/chục thay vì đặt tính nhân dọc.

Định hướng. Chỉ cần đếm số thừa số âm trong tích rồi xét số đó chẵn hay lẻ, không cần biết giá trị cụ thể của từng thừa số.

Vậy a) tích mang dấu âm; b) tích mang dấu dương.

Định hướng. Chọn thử các thừa số cụ thể có đúng số lượng âm như đề yêu cầu, tính tích rồi quan sát dấu để kiểm chứng kết luận ở Cách 1.

Vậy a) tích $-6$ mang dấu âm; b) tích $5$ mang dấu dương, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Ví dụ thử chỉ để kiểm tra chiều dấu, giá trị tuyệt đối cụ thể không quan trọng.

Định hướng. Tính lần lượt từng phần trong biểu thức theo đúng thứ tự dấu ngoặc, không nhóm lại.

Vậy a) kết quả bằng $7720$; b) kết quả bằng $360$.

Định hướng. Đưa nhân tử chung ra ngoài để hai số hạng đối nhau tự triệt tiêu, tránh nhân với số lớn.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tránh hẳn việc nhân $4$ với $3949$ hay $3$ với $103$, chỉ còn một phép nhân đơn giản ở bước cuối.

Định hướng. Giá trị tuyệt đối của cả hai tích cần tìm đều bằng $n\cdot m=36$, chỉ cần xác định dấu theo quy tắc nhân khác dấu và cùng dấu.

Vậy $n\cdot (-m)=-36$ và $(-n)\cdot (-m)=36$.

Định hướng. Dùng chính tính chất phân phối như ở HĐ3, HĐ4 để suy ra hai kết quả mà không cần thừa nhận quy tắc dấu.

Vậy $n\cdot (-m)=-36$ và $(-n)\cdot (-m)=36$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chứng minh lại đúng hai quy tắc dấu đã học bằng tính chất phân phối, cho thấy các quy tắc đó không phải quy ước tuỳ ý.

Định hướng. Tính lần lượt từng tích theo đúng quy tắc dấu rồi cộng trừ theo thứ tự viết trong đề.

Vậy a) kết quả bằng $-720$; b) kết quả bằng $-27000$.

Định hướng. Viết mọi tích theo cùng nhân tử $-8$ (hoặc $27$) rồi đặt nhân tử chung ra ngoài, chỉ còn một phép nhân duy nhất ở bước cuối.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Đưa mọi số hạng về cùng nhân tử $-8$ hoặc $27$ giúp tránh hẳn phép nhân với số có bốn chữ số như $1011$.

Định hướng. Với mỗi bạn, nhân số điểm của từng vòng với số lần trúng vòng đó rồi cộng cả năm tích lại.

Vậy An được $20$ điểm, Bình được $17$ điểm, Cường được $23$ điểm.

Định hướng. Gộp các vòng điểm dương ($10$, $7$, $3$) tính tổng dương, gộp các vòng điểm âm ($-1$, $-3$) tính tổng âm, rồi cộng hai phần lại, tránh cộng trừ đan xen nhiều số.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: An $20$ điểm, Bình $17$ điểm, Cường $23$ điểm.

Nhận xét. Tách dương – âm giúp kiểm tra chéo dễ dàng: Cường thắng không phải vì tổng dương lớn nhất một mình, mà còn vì tổng âm của Cường nhỏ nhất (ít bị trừ nhất).