Bài 17. Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên

Định hướng. Phép chia $135:9$ đã cho kết quả dương, nên chỉ cần đổi dấu số chia hoặc số bị chia là suy ra ngay thương của hai phép chia còn lại theo bảng dấu.

Vậy $135:9=15$; $135:(-9)=-15$; $(-135):(-9)=15$; $(-63):9=-7$; $(-24):(-8)=3$.

Định hướng. Mỗi phép chia hết $a:b=q$ kiểm tra lại được bằng đẳng thức $a=bq$, nên nhân ngược thương với số chia phải ra đúng số bị chia.

Vậy tất cả các thương ở Cách 1 đều đúng.

Nhận xét. Cách 1 dùng quy tắc dấu để tính nhanh, Cách 2 dùng để tự kiểm tra lại kết quả.

Định hướng. Muốn có đủ ước của $-9$ ta chỉ cần các ước dương của $9$ rồi viết thêm số đối; muốn có bội của $4$ trong khoảng đã cho ta liệt kê các bội rồi giữ lại đúng những số nằm giữa $-20$ và $20$.

Vậy các ước của $-9$ là $1;-1;3;-3;9;-9$, và các bội của $4$ thoả mãn là $-16;-12;-8;-4;0;4;8;12;16$.

Định hướng. Với ý a), thử lần lượt từng số từ $1$ đến $9$ xem có chia hết $-9$ không; với ý b), đánh dấu các điểm cách đều nhau $4$ đơn vị trên trục số rồi loại hai đầu mút.

Vậy kết quả giống Cách 1: ước của $-9$ là $\pm 1;\pm 3;\pm 9$; bội của $4$ thoả mãn là $-16;-12;-8;-4;0;4;8;12;16$.

Nhận xét. Cách 1 liệt kê nhanh cho số nhỏ; Cách 2 dùng trục số trực quan, dễ kiểm tra không bỏ sót mút khoảng.

Định hướng. Số đối của một số luôn chia hết cho chính số đó vì thương bằng $-1$, nên thử ngay một cặp số đối khác $0$.

Vậy có: chẳng hạn $a=5$, $b=-5$ thoả mãn $a$ chia hết cho $b$ và $b$ chia hết cho $a$ dù $a\ne b$.

Định hướng. Thay vì thử một cặp cụ thể, xét ngay dạng tổng quát $b=-a$ với $a\ne 0$ để thấy có vô số cặp như vậy chứ không chỉ một.

Vậy mọi cặp số nguyên đối nhau khác $0$ đều thoả mãn yêu cầu, chẳng hạn $(5;-5)$, $(7;-7)$, $(-2;2)$.

Nhận xét. Cách 1 chỉ ra một ví dụ cụ thể; Cách 2 chứng tỏ có vô số cặp như vậy, vì hai số đối nhau bất kì đều chia hết cho nhau.

Định hướng. Ba phép chia có ba kiểu dấu khác nhau, nên chia giá trị tuyệt đối trước rồi gắn đúng dấu theo bảng dấu của thương.

Vậy $297:(-3)=-99$; $(-396):(-12)=33$; $(-600):15=-40$.

Định hướng. Mỗi kết quả tìm được ở Cách 1 kiểm tra lại bằng cách nhân thương với số chia, phải ra đúng số bị chia.

Vậy cả ba kết quả ở Cách 1 đều đúng.

Nhận xét. Cách 2 không bắt buộc khi đã thạo quy tắc dấu, nhưng rất hữu ích để tự kiểm tra lại bài làm.

Định hướng. Tìm ước dương của từng số bằng cách chia thử, viết thêm số đối là đủ bộ ước; muốn có ước chung của $30$ và $42$ chỉ cần giữ lại những số có mặt ở cả hai danh sách ước dương.

Vậy ước của $30$, $42$, $-50$ như trên, và ước chung của $30$ và $42$ là $\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 6$.

Định hướng. Ước chung của hai số luôn là ước của ƯCLN hai số đó, nên phân tích $30$ và $42$ ra thừa số nguyên tố để tìm nhanh ƯCLN rồi suy ra hết các ước chung.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: ước chung của $30$ và $42$ là $\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 6$.

Nhận xét. Cách 1 an toàn với số nhỏ; Cách 2 qua ƯCLN nhanh hơn nhiều khi hai số có rất nhiều ước.

Định hướng. Trước hết viết ra các bội của $4$, sau đó chỉ giữ lại những số thoả đồng thời hai điều kiện $-16\le x$ và $x<20$.

Vậy $M=\{-16;-12;-8;-4;0;4;8;12;16\}$.

Định hướng. Mút trái $-16$ là một bội của $4$ và được lấy do có dấu bằng, nên chỉ việc cộng dồn $4$ đơn vị mỗi bước cho tới khi vượt quá $20$ thì dừng.

Vậy $M=\{-16;-12;-8;-4;0;4;8;12;16\}$, gồm $9$ phần tử.

Nhận xét. Cách 2 tự nhiên tránh bỏ sót mút trái $-16$, vì đi từ chính mút đó cộng dần lên.

Định hướng. Chỉ có đúng $8$ ước của $15$, nên liệt kê hết rồi ghép từng cặp cộng lại là tìm ra ngay cặp có tổng $-4$.

Vậy có hai cặp thoả mãn: $1$ và $-5$, hoặc $-1$ và $-3$.

Định hướng. Thay vì dò từng cặp, tách ngay $-4$ thành tổng của hai số rồi kiểm tra xem cả hai số đó có là ước của $15$ hay không.

Vậy $(-1;-3)$ và $(1;-5)$ đều là các cặp ước của $15$ có tổng bằng $-4$.

Nhận xét. Đề chỉ yêu cầu tìm hai ước có tổng $-4$ nên nêu một cặp là đủ, chẳng hạn $-1$ và $-3$; cặp $1$ và $-5$ là một đáp số khác cũng đúng.

Định hướng. Hai số cùng chia hết cho $-3$ nghĩa là mỗi số đều viết được dưới dạng $(-3)$ nhân một số nguyên; cộng hoặc trừ hai dạng đó vẫn đưa $(-3)$ ra làm thừa số chung.

Vậy $a+b$ và $a-b$ đều có dạng $(-3)$ nhân một số nguyên, nên $a+b$ và $a-b$ đều chia hết cho $-3$.

Định hướng. Trước khi lập luận tổng quát, thử ngay hai số cụ thể cùng chia hết cho $-3$ để thấy quy luật, rồi mới phát biểu kết luận chung cho một số chia bất kì.

Vậy ví dụ cụ thể cũng cho kết quả đúng như lập luận ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 chứng minh đúng cho mọi cặp số; Cách 2 chỉ minh hoạ một trường hợp nên không thay được cho lời giải thích tổng quát. Kết luận tổng quát: nếu hai số nguyên cùng chia hết cho một số nguyên $c$ ($c\ne 0$) thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho $c$.